Cote n° 10, pages 141–160

Cote n° 10 · batch 8 · pages 141–160 · Transcription · Catégories tensorielles : notes manuscrites (s.d.), tapuscrits (s.d.)
Datation de l’inventaire : [à partir de 1958]
Édition de démonstration

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Anneaux des représentations de certains groupes algébriques (pages 142 à 148)

Le faisceau annoncé par la chemise de la page 140 commence ici. La page 141 est blanche. Les sept feuillets qui suivent sont de sa main, d'un trait rapide, et il les numérote lui-même de (1) à (34).

142

Considérons la catégorie des espaces vectoriels [de dim. finie] sur un corps $k$ (qu'on fixe une fois pour toutes). Pour tout groupe fini $G$, soit $A^{G}$ la catégorie des espaces vectoriels de dim. finie où $G$ opère. C'est aussi une catégorie avec produit tensoriel [et involution] (et $A^{e}$ […] est la catégorie des […]).

On a de plus un bifoncteur $A^{G} \times A^{G'} \to A^{G}$

Cette catégorie dépend fonctoriellement de $G$ : si […] un hom. $u : G \to G'$, […] a un foncteur contravariant \[(1) \qquad A^{u} : A^{G'} \longrightarrow A^{G}\] et \[(1') \qquad A^{\mathrm{id}_{G}} = 1_{A^{G}} , \qquad A^{uv} = A^{v} A^{u} .\] Ces foncteurs sont […] Ils permettent de définir de façon […] le produit tensoriel extérieur \[(2) \qquad A^{G} \times A^{G'} \longrightarrow A^{G \times G'}\] en posant, si $p_{1}, p_{2}$ […] les projections de $G \times G'$ sur ses deux facteurs, \[(2') \qquad M \boxtimes M' = \struck{\ill{}} \ A^{p_{1}}(M) \otimes A^{p_{2}}(M') .\]

[…] dans […] imparfait

[…] la somme directe extérieure $\boxplus$ […] « commutatif », « associatif ». $\boxtimes$ est un bifoncteur additif. […] les structures multiplicatives dans les $A^{G}$ […] se reconstruire à partir de ces dernières, par […] la considération de $\Delta_{G} : G \to G \times G$ : \[(3) \qquad M \otimes M' = A^{\Delta_{G}}(M \boxtimes M') .\] Enfin, on a aussi une notion de représentation induite, qui pour […] $u : G \to G'$ définit un foncteur covariant additif

143

\[(4) \qquad I^{u} : A^{G} \longrightarrow A^{G'}\] et \[(4') \qquad I^{\mathrm{id}_{G}} = 1_{A^{G}} , \qquad I^{uv} = I^{u} I^{v} .\] […] les compatibilités entre ces deux sortes de foncteurs […] et les opérations $\otimes$ étant \[(5) \qquad A^{u}\bigl(I^{u}(M)\bigr) = M^{[G' : G]} \qquad (M \in A^{G} , \ G \subset G')\] […]

On a d'ailleurs deux homomorphismes fonctoriels \[(6) \qquad M \longrightarrow A^{u} I^{u}(M)\] \[(7) \qquad M' \longrightarrow I^{u}\bigl(A^{u}(M')\bigr)\] […]

(10) Si $g \in G$, et si on désigne par $\sigma_{g}$ l'automorphisme intérieur […], on a pour $M \in A^{G}$ : $M \simeq I^{\sigma_{g}}(M) \simeq A^{\sigma_{g}}(M)$, l'isomorphisme étant canonique et défini par […]

\[(8) \qquad \text{si $u$ est un isom., alors } I^{u} = A^{u^{-1}} ,\] donc $I^{u}$ et $A^{u}$ sont des foncteurs inverses l'un de l'autre.

Définition (9) Soit $s$ la symétrie $G_{1} \times G_{2} \to G_{2} \times G_{1}$. Alors $I^{s}(M \boxtimes M') = M' \boxtimes M$.

Soit, pour un entier $p \geq 1$ et des entiers $p_{1}, \ldots, p_{h}$ de somme $p$, \[(10) \qquad u_{p_{1}, \ldots, p_{h}} : \mathfrak{S}_{p_{1}} \times \cdots \times \mathfrak{S}_{p_{h}} \longrightarrow \mathfrak{S}_{p}\] l'hom. (injectif) bien connu. Posons, pour $M \in A^{\mathfrak{S}_{p}}$, $M' \in A^{\mathfrak{S}_{q}}$, \[(11) \qquad M * M' = I^{u_{p,q}}(M \boxtimes M') .\] On a un isomorphisme canonique \[(12) \qquad M * M' \simeq M' * M ,\] […] […] $\alpha$ unique de $\mathfrak{S}_{p+q}$ vérifiant $\alpha\, u_{p,q}\, \alpha^{-1} = u_{q,p}\, s_{p,q}$, où $s_{p,q}$ est la symétrie $\mathfrak{S}_{p} \times \mathfrak{S}_{q} \to \mathfrak{S}_{q} \times \mathfrak{S}_{p}$, et un isomorphisme canonique \[(13) \qquad (M * M') * M'' \simeq M * (M' * M'') \simeq I^{u_{p,q,r}}(M \boxtimes M' \boxtimes M'') .\]

144

[…]

Soit $M \in A^{G}$ ; alors pour tout entier $n$, $\otimes^{n} M$ est un objet de $A^{G \times \mathfrak{S}_{n}} = (A^{G})^{\mathfrak{S}_{n}}$, qu'on note $T^{n}(M)$. Ainsi $T^{n}$ est un foncteur (non plus additif !) \[(15) \qquad T^{n} : A^{G} \longrightarrow (A^{G})^{\mathfrak{S}_{n}}\] dont la propriété essentielle est \[(16) \qquad \boxed{\ T^{n}(M + M') \simeq \sum_{p+q=n} T^{p}(M) * T^{q}(M')\ }\]

expliquer 2 opérations : $\boxtimes M \in A^{\uncertain{G^{n}}}$ où on considère $G^{n}$ et $\mathfrak{S}_{n}$ opère dans $\boxtimes M$ […]

De plus, le diagramme \[(17)\]

LaTeX source

\begin{tikzcd}[column sep=large]
A^{G'} \arrow[r, "T^{n}_{G'}"] \arrow[d, "A^{u}"'] &
  (A^{G'})^{\mathfrak{S}_{n}} \arrow[d, "A^{u \times 1_{\mathfrak{S}_{n}}}"] \\
A^{G} \arrow[r, "T^{n}_{G}"'] & (A^{G})^{\mathfrak{S}_{n}}
\end{tikzcd}

est commutatif (à préciser les compatibilités […] hom. fonctoriels).

Considérons enfin l'hom. \[(18) \qquad u_{p,q} : \mathfrak{S}_{p} \times \mathfrak{S}_{q} \longrightarrow \mathfrak{S}_{pq}\] défini par $u_{p,q}(\sigma, \tau) = \alpha_{p,q}(\sigma)\, u_{\underbrace{\tau, \ldots, \tau}_{p}}\, \alpha_{p,q}(\sigma)^{-1}$, où $\alpha_{p,q}(\sigma) \in \mathfrak{S}_{pq}$ est défini par \[(19) \qquad \begin{cases} \alpha_{p,q}(\sigma) \text{ est croissant dans les intervalles } \bigl] iq, (i+1)q \bigr] \\ \text{et applique ceux-ci sur les intervalles } \bigl] \sigma(i) q, (\sigma(i)+1) q \bigr] \end{cases}\] Sous ces conditions, on a \[(20) \qquad T^{m}\bigl(T^{n}(M)\bigr) \simeq \struck{\ill{}}\ A^{u_{m,n}}\bigl(T^{mn}(M)\bigr)\] (les deux membres dans $A^{G \times \mathfrak{S}_{m} \times \mathfrak{S}_{n}}$).

145

On a aussi \[(21) \qquad T^{n}(M \otimes M') \simeq T^{n}(M) \otimes T^{n}(M') \ \in \ A^{G \times \mathfrak{S}_{n}} .\]

Le feuillet ne porte que ces deux lignes.

146

De plus, le foncteur $M * M'$ est bi-additif en chaque argument. Il y a un élément unité pour $*$ : \[\mathbf{1} = K \in A^{\mathfrak{S}_{0}} \qquad \bigl( \text{par définition } \mathfrak{S}_{0} = \{e\} , \text{ et } u_{0,p} = u_{p,0} = \ill{} \bigr) .\]

Passons aux groupes de classes (pour fixer les idées, posons) \[(22) \qquad A(G) = K(A^{G}) .\] $A(G)$ est un […] anneau de Chern commutatif augmenté, […] ; $A(G)$ est un foncteur covariant contravariant en $G$ : $u : G \to G'$ définit \[(23) \qquad A(u) : A(G') \longrightarrow A(G)\] et $A(1_{G}) = 1_{A(G)}$, $A(uv) = A(v) A(u)$. On définit, pour $\alpha \in A(G)$, $\beta \in A(G')$, \[(24) \qquad \alpha \boxdot \beta = \struck{\ill{}}\ A(p_{1})(\alpha) \cdot A(p_{2})(\beta) \ \in \ A(G \times G') .\] D'ailleurs, […] de deux structures de groupe sur les $A(G)$, et de l'opération $\alpha \boxdot \beta$, c.-à-d. les structures d'anneau de $A(G)$ […]

Il y a aussi un foncteur [additif], pour $u : G \to G'$, \[(25) \qquad I(u) : A(G) \longrightarrow A(G')\] ([…] mais pas multiplicatif). On a \[(26) \qquad \begin{cases} A(u) I(u) = \text{multiplication par } [G' : G] \\ I(u) A(u) = \text{multiplication par } [G' : G] \end{cases}\]

Les deux lignes de (26) portent le même facteur $[G':G]$ sur le feuillet ; la transcription les donne telles quelles.

147

[…] avec $M * M'$ […] Ces conditions […] que si […] est un automorphisme intérieur, $A(u)$ et $I(u)$ sont […] l'un de l'autre. Enfin \[(27) \qquad A(\sigma_{g}) = I(\sigma_{g}) = \text{identité de } A(G) \qquad (g \in G) .\] Les propriétés soulignées peuvent […] sur deux sommes directes : \[(28) \qquad A^{n} = A(\mathfrak{S}_{n}) \quad (n \geq 1) , \quad A^{0} = \mathbb{Z} \ ; \qquad A^{\bullet} = \coprod_{n=0}^{\infty} A^{n}\] muni d'une structure d'anneau gradué commutatif. […] (et on a de même les $A(G)^{n} = A^{G \times \mathfrak{S}_{n}}$, $A(G)^{\bullet} = \coprod_{0}^{\infty} A(G)^{n}$).

D'ailleurs, on a, pour $\alpha \in A^{p}$, $\beta \in A^{q}$, \[(29) \qquad A(u_{p,q})(\alpha * \beta) = \frac{(p+q)!}{p!\, q!}\ \alpha \boxdot \beta \ \in \ A^{\mathfrak{S}_{p} \times \mathfrak{S}_{q}} ,\] d'où, si on […] une multiplication dans $A^{\bullet}$ […] \[(30) \qquad A(u_{p,p})(\alpha * \beta) = \frac{(2p)!}{p!\, q!}\ \alpha \beta\]

Dans (30), « $2p$ » est écrit au-dessus de « $p+q$ » rayé, le dénominateur restant $p!\,q!$.

qui relie la multiplication dans les $A^{n}$ […] à la multiplication « globale » $*$.

De plus, la formule (16) […] une forme […] commode : \[(31) \qquad \begin{cases} T = T_{G} : A(G) \longrightarrow 1 + \widehat{A(G)^{\bullet}}^{\,+} \\ T(\alpha) = \sum_{n} T^{n}(\alpha) \qquad (T^{0}(\alpha) = 1) \end{cases}\] définie par \[(32) \qquad T\bigl(\gamma(M)\bigr) = \sum_{n} T^{n}(M)\] \[(33) \qquad T^{n}(\alpha + \beta) = \sum_{p+q=n} T^{p}(\alpha) * T^{q}(\beta)\] (on distingue […] de (31) […]) \[(33) \qquad T^{n}(\alpha \beta) = T^{n}(\alpha)\, T^{n}(\beta)\] (qui, comparé à (29), explique « pourquoi » […])

Deux formules portent ici le numéro (33).

148

[…] $T^{n}(\alpha\beta)$ : il n'y a […] de l'opération $*$ et des opérations […] à […] multiplication. Il […] sont commodes […] les $T^{n}(\lambda^{i}(\alpha))$, on y reviendra. Bien entendu, les homomorphismes $T_{G}$ sont […] fonctoriels : si $u : G \to G'$, le diagramme \[(34)\]

LaTeX source

\begin{tikzcd}[column sep=large]
A(G') \arrow[r, "T_{G'}"] \arrow[d, "A(u)"'] &
  1 + \widehat{A(G')^{\bullet}}^{\,+} \arrow[d, "\widehat{A(u)}"] \\
A(G) \arrow[r, "T_{G}"'] & 1 + \widehat{A(G)^{\bullet}}^{\,+}
\end{tikzcd}

[…]

Récapitulation (page 149)

Les quatre articles résument, au crayon, le formalisme des pages précédentes. Le bas de la feuille ne porte rien.

149

(i)Anneaux commutatifs [de Chern involutifs augmentés] $A^{n}$, $A^{0} = \mathbb{Z}$.
(ii)Pour tout hom. $u : \mathfrak{S}_{p} \to \mathfrak{S}_{q}$, un hom. $A(u) : A^{q} \to A^{p}$, avec $A(uv) = A(v) A(u)$, $A(1_{\mathfrak{S}_{p}}) = 1_{A^{p}}$, et $A(\sigma_{g}) = 1_{A^{p}}$ si $g \in \mathfrak{S}_{p}$.
(iii)Des applications bilinéaires $A^{p} \times A^{q} \to A^{p+q}$, $(\alpha, \beta) \mapsto \alpha * \beta$, faisant de $A^{\bullet} = \coprod_{0}^{\infty} A^{n}$ un anneau gradué commutatif avec unité. On a la relation \[\frac{(2p)!}{(p!)^{2}}\, \alpha \beta = A(u_{p})(\alpha * \beta)\] où $u_{p}$ est le composé $\mathfrak{S}_{p} \xrightarrow{\ \Delta\ } \mathfrak{S}_{p} \times \mathfrak{S}_{p} \xrightarrow{\ u_{p,p}\ } \mathfrak{S}_{2p}$.
(iv)Des homomorphismes de groupes \[T : A^{\bullet} \longrightarrow \widetilde{A^{\bullet}} = \mathbb{Z} \times \bigl( 1 + \widehat{A^{\bullet +}} \bigr)\] défini par des composantes $T^{n}$, avec $T^{0}(\alpha) = 1$, $T^{1}(\alpha) = \alpha$, $T^{n}(\alpha) \in A^{n}$. On a donc \[T^{n}(\alpha + \beta) = \sum_{p+q=n} T^{p}(\alpha)\, T^{q}(\alpha)\] Le second facteur est écrit $T^{q}(\alpha)$ sur le feuillet, là où l'énoncé demande $T^{q}(\beta)$ ; la leçon est donnée telle quelle. De plus \[T^{n}(\alpha \cdot \beta) = T^{n}(\alpha)\, T^{n}(\beta) .\]

$A(T) = \mathbb{Z}(\hat{T})$ (pages 150 et 151)

150

Soit $\rho : T \to Gl(n)$ ; […] induit $\rho : T \to k^{*n}$, d'où $n$ éléments $\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}$ de $\hat{T}$. Les fonctions symétriques élémentaires en les $\alpha_{i}$ sont notées $C^{i}(\rho)$ ($0 \leq i \leq n$) ; elles ne dépendent que de $\rho$. Soit $C(\rho) = \sum_{0}^{\infty} C^{i}(\rho) \in \mathbb{Z}[\hat{T}]$ (avec $C^{i}(\rho) = 0$ si $i > \deg \rho$) ; si $\rho$ est une extension de $\rho'$ par $\rho''$, […] $C(\rho) = C(\rho')\, C(\rho'')$.

On peut prolonger $\rho \mapsto (\deg \rho, C(\rho))$ en un hom. […] \[(1) \qquad A(T) \simeq \mathbb{Z}(\hat{T}) \longrightarrow \mathbb{Z} \times \bigl( 1 + \mathbb{Z}[[\hat{T}]]^{+} \bigr) ;\] c'est un hom. d'anneaux de Chern, caractérisé par ses valeurs sur les $\rho_{\chi}$ ($\chi \in \hat{T}$) : \[\tilde{C}(\rho_{\chi}) = \bigl( 1 ,\ 1 + [\chi] \bigr) .\] Je dis que cet hom. (1) est injectif […] et à image dense. Pour le voir, on […] avec […] \[\varphi : \mathbb{Z} \times \bigl( 1 + \mathbb{Z}[[\hat{T}]]^{+} \bigr) \longrightarrow \mathbb{Q}[[\hat{T}]]\] transformant $\chi$ en $e^{\chi}$, et on note que les $e^{\chi}$ sont linéairement indépendants. Pour montrer que l'image est dense, on montre que si […] des polynômes $C^{1}, \ldots, C^{n}$ sont donnés, […] avec $C^{i} \in \mathbb{Z}[X_{1}, \ldots, X_{r}]$ ($1 \leq i \leq n$), $C^{i}$ de degré $i$, on peut trouver des formes linéaires $\alpha^{1}, \ldots, \alpha^{N}$ en les $X_{i}$, telles que $C^{i} = \sigma_{i}(\alpha^{1}, \ldots, \alpha^{N})$ pour $1 \leq i \leq n$. Récurrence sur

151

$n$, triviale pour $n = 0$. On […] une récurrence […] $C^{1} = \cdots = C^{n-1} = 0$, donc à prouver le

Lemme. Il existe des formes linéaires $\alpha^{1}, \ldots, \alpha^{N}$, […] des $X^{1}, \ldots, X^{r}$, telles que \[\sigma^{1}\bigl((\alpha^{i})\bigr) = \cdots = \sigma^{n-1}\bigl((\alpha^{i})\bigr) = 0 , \qquad \sigma^{n}\bigl((\alpha^{i})\bigr) = C^{n} \ \text{polynôme donné} .\]

Le reste de la page est un schéma au crayon, dans la colonne de gauche, séparé du corps par un trait vertical.

$\mathbb{Z}[[\xi_{1}, \ldots]]$

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\begin{tikzcd}
E_{T} \arrow[d] \\ B_{T}
\end{tikzcd}

LaTeX source

\begin{tikzcd}[column sep=large]
\mathbb{Z}(\hat{T}) \arrow[r] & H^{*}(B_{T}, \mathbb{Z}) \\
A(T) \arrow[u, "\mathrm{alg}"] \arrow[ur, "\text{top.\ via Chern}"']
\end{tikzcd}

Sur le feuillet, la flèche « alg » monte obliquement de $A(T)$ vers $\mathbb{Z}(\hat{T})$ et la flèche « top. via Chern » monte verticalement de $A(T)$ vers $H^{*}(B_{T},\mathbb{Z})$ ; le diagramme les redresse. La flèche horizontale du haut est tracée à deux pointes.

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\begin{tikzcd}[column sep=large]
\mathbb{Z}[\hat{T}] \arrow[r, "\text{hom.\ car.}"] & H^{*}(X, \mathbb{Z}) \\
A(T) \arrow[u] \arrow[ur, "\text{top.\ via Chern}"']
\end{tikzcd}

Il faudrait prouver que $\mathbb{Z}[\hat{T}] \to$ l'anneau de Chern attaché à $A(T)$ $\simeq \mathbb{Z}(\hat{T})$.

$K(G)$, $CK(G)$ et l'homomorphisme caractéristique (pages 152 à 154)

152

Soit $G$ un groupe algébrique. On désignera par $K(G)$ l'anneau des engendré par les classes des représentations rationnelles irréductibles de $G$ : en tant que groupe additif, il est de base libre ; c'est un anneau de Chern. On désignera par $CK(G)$ « l'anneau des classes de Chern » de $K(G)$ [c'est un anneau gradué], […] et on a un homomorphisme canonique \[(1) \qquad K(G) \xrightarrow{\ c_{G}\ } \mathbb{Z} \times \bigl( 1 + CK(G)^{+} \bigr) .\] $K(G)$ et $CK(G)$ sont des foncteurs en $G$, et (1) est un hom. fonctoriel. Si $\sigma$ est un automorphisme intérieur de $G$, alors $\sigma^{*}$ est l'automorphisme identique de $K(G)$ et $CK(G)$.

Soit $P$ un fibré algébrique principal de groupe structural $G$, de base $X$. À toute représentation linéaire rationnelle $\rho$ de $G$ est associé un fibré vectoriel [algébrique] sur $X$, d'où un élément de $K(X)$. On en conclut un hom. d'anneaux de Chern \[K(G) \longrightarrow K(X)\] d'où un hom. d'anneaux gradués \[(2) \qquad CK(G) \longrightarrow CK(X) = A(X)\] appelé hom. caractéristique du fibré $P$. Le […]

153

\[(3)\]

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\begin{tikzcd}[column sep=large]
K(G) \arrow[r, "\text{ass.}"] \arrow[d, "c_{G}"'] & K(X) \arrow[d, "c_{X}"] \\
\widetilde{CK}(G) \arrow[r, "\text{hom.\ car.}"'] &
  \widetilde{CK}(X) = \widetilde{A}(X)
\end{tikzcd}

De plus, si […] est un hom. rat. $G \xrightarrow{\ \varphi\ } G'$ et si $P'$ est associé à $P$ et $\varphi$, on a commutativité dans \[(4)\]

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\begin{tikzcd}[column sep=large]
CK(G') \arrow[r, "\varphi^{*}"] \arrow[dr, "\tau_{P'}"'] & CK(G) \arrow[d, "\tau_{P}"] \\
 & A(X)
\end{tikzcd}

Il vaut […] calculer explicitement $CK(G)$.

Voici les résultats essentiels dans cette voie.

Proposition. Soit $T$ un tore algébrique [de dim. $r$]. Alors \[K(T) \simeq \mathbb{Z}(\hat{T}) \qquad (\text{algèbre du groupe } \hat{T})\] \[\bigl\{ \simeq \mathbb{Z}[x^{1}, \ldots, x^{r}]_{x^{1} \cdots x^{r}} \ \struck{\text{associé}}\ \add{\text{avec}}\ \varepsilon(x^{i}) = 1 , \ \lambda x^{i} = 1 - x^{i} t \bigr\}\] avec $\varepsilon(\chi) = 1$, $\lambda(\chi) = 1 + \chi t$ pour $\chi \in \hat{T}$. On a $CK(T) \simeq \mathbb{Z}[\hat{T}]$ (algèbre symétrique sur $\mathbb{Z}$ du $\mathbb{Z}$-module $\hat{T}$), avec \[c_{T}(\chi) = 1 + \chi \qquad \text{i.e.} \qquad c_{T}^{i}(\chi) = \begin{cases} 1 & \text{si } i = 0 \\ \chi & \text{si } i = 1 \\ 0 & \text{si } i > 1 \end{cases}\]

Le signe de $\lambda$ change d'une ligne à l'autre : $1 - x^{i}t$ dans l'accolade, $1 + \chi t$ à la ligne suivante. Les deux leçons sont celles du feuillet.

154

Soit $G$ un groupe […] algébrique linéaire quelconque, $T$ un tore maximal, $N$ son normalisateur et $W = N/T$. […] $N$ opère sur $G$ et $T$ de façon compatible par automorphismes intérieurs, et […] d'un […] canonique \[CK(G) \longrightarrow CK(T) \simeq \mathbb{Z}[\hat{T}]\] est compatible avec les opérations de $N$. $N$ opère trivialement sur le premier membre, et $T$ opère trivialement sur le second, donc on voit $W$ opère sur $\mathbb{Z}[\hat{T}]$ via les opérations de $W$ sur $\hat{T}$. On a donc un hom. \[(5) \qquad CK(G) \longrightarrow \mathbb{Z}[\hat{T}]^{W}\] où $\mathbb{Z}[\hat{T}]^{W}$ désigne le sous-groupe [l'anneau] des éléments de $\mathbb{Z}[\hat{T}]$ invariants sous $W$.

On En général […] on n'a pas là une bijection. Mais c'est [sans doute] une bijection s'il n'y a pas de torsion […], et de plus l'homomorphisme analogue \[(5\ \mathrm{bis}) \qquad C\bigl( K(G) \otimes_{\mathbb{Z}} k \bigr) \longrightarrow k[\hat{T}]^{W}\] (où $k$ est un corps commutatif […]) est bijectif si […] [la car. de $k$ est] premier à la torsion de $G$.

Le feuillet s'arrête là ; la page 155 est blanche.

Classes abéliennes de $k$-modules et algèbres topologiques (pages 156 à 160)

Dernier faisceau du lot, de sa main et d'un trait plus rapide encore : les formules portent, une bonne part de la prose de liaison ne porte pas, et les quatre derniers feuillets sont largement raturés.

156

$\mathcal{C}$ classe abélienne, […] dont les éléments sont des modules sur l'anneau commutatif $k$ et les homomorphismes des hom. de modules, la composition des hom. étant la composition usuelle ; […] que le foncteur d'oubli $\mathcal{C} \to \mathcal{C}^{k}$ soit exact et qu'il existe un ensemble de $A_{i} \in \mathcal{C}$ tels que […] $M \in \mathcal{C}$ soit isomorphe à l'un d'eux.

Notation $\operatorname{Hom}_{k}(M, N)$ si $M, N \in \mathcal{C}$.

Le noyau, l'image etc. […] sont $k$ […] : ce sont […] ordinaires.

[…]

Lemme I. $\mathcal{C} \to \mathcal{C}^{k}$ le foncteur […]. Les endomorphismes de ce foncteur d'oubli [[…]] […] […] les $k$-modules $(u_{i})$, $u_{i} \in L_{k}(A_{i})$, tels que pour […] $\varphi \in L_{k}(A_{i}, A_{j})$, on ait commutativité dans

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\begin{tikzcd}
A_{i} \arrow[r, "\varphi"] \arrow[d, "u_{i}"'] & A_{j} \arrow[d, "u_{j}"] \\
A_{i} \arrow[r, "\varphi"'] & A_{j}
\end{tikzcd}

\[\varphi u_{i} = u_{j} \varphi .\]

Ces endomorphismes forment donc un […] sous-anneau topologique de $\prod_{i} L(A_{i})$, fermé pour la topologie produit, quand les $L(A_{i})$ sont munis de la topologie […] ($A_{i}$ étant discrets). Donc […] muni d'une topologie […] linéaire […] complète, qu'il […] $\mathcal{U}$. Si $V \in \mathcal{C}$, alors $V$ est un module sur $\mathcal{U}$, et $\underline{\mathcal{U}} \to L_{s}(V)$ est continu ; de plus, les $\varphi \in \operatorname{Hom}_{k}(V, W)$ sont des $\mathcal{U}$-homomorphismes. […]

157

[…] On a ainsi un foncteur canonique, noté $I$, de $\mathcal{C}$ dans les $\mathcal{U}$-modules « permis » (i.e. tels que $\mathcal{U} \to L_{s}(V)$ soit continue). On se donne des conditions, pour que ce soit bijectif [un isomorphisme]. Si […] les $A_{i}$ à engendrement fini sur $k$, alors les $L(A_{i})$ sont discrets, donc $\mathcal{U}$ est un anneau […] linéaire […] (avec une topologie […]) et […] se borner à considérer les $\underline{\mathcal{U}}$-modules permis à engendrement fini sur […] $k$. […]

[…]

Les deux tiers inférieurs du feuillet sont annulés par de longues diagonales et par une boucle tracée à la main ; le bloc ainsi rayé porte sur les $\operatorname{Hom}_{k}(V,V)$, sur un foncteur $F_{\mathcal{U}}$ de $\mathcal{C}^{\mathcal{U}}$ dans $\mathcal{C}$ et sur son identité avec $I$, et ne rend ni ses phrases ni la plupart de ses formules.

158

Pour tout $V \in \mathcal{C}^{k}$ ($k$-modules de type fini), soit $K(V)$ et $K'(V)$ l'ensemble des « structures de type $\mathcal{C}$ » resp. des structures de $\underline{\mathcal{U}}$-modules permis sur $k$. On a défini une […] fonctorielle $K(V) \longrightarrow K'(V)$. On veut :

1°)On veut que cet hom. soit bijectif ;
2°)Si $V, W \in \mathcal{C}$, on veut que les $k$-hom. de $V$ dans $W$ soient identiques aux $\underline{\mathcal{U}}$-homomorphismes.

On est amené à considérer les $\underline{\mathcal{U}}$-modules permis qui sont à engendrement fini sur $k$. $\underline{\mathcal{U}}$ est un anneau topologique [linéairement […] complet] […] voisinages de […] […]

[…] anneaux de […] type fini, s'obtenir ainsi.

Première structure supplémentaire : lorsque […] $V$ libre […] […] qu'on doit être muni canoniquement d'une structure $k$, i.e. […] sur […] une structure privilégiée de $\underline{\mathcal{U}}$-module, […] il […] […] sur $\underline{\mathcal{U}}$ une augmentation continue $\varepsilon$.

\[\boxed{\ \text{Les } \underline{\mathcal{U}}\text{-modules permis sont les } \ill{} \text{ sur } A \ \ill{} \text{ qui sont de dim.\ finie sur } k . \ }\]

Un bloc entier remplit la marge gauche du feuillet et est annulé par une douzaine de diagonales ; il ne rend ni ses phrases ni ses formules.

159

Soient $\underline{\mathcal{U}}, \underline{V}$ deux […] « $\underline{k}$-algèbres », i.e. algèbres topologiques […] satisfaisant aux conditions dites plus haut. Un hom. continu compatible aux augmentations $\underline{V} \to \underline{\mathcal{U}}$ définit un […] [foncteur] permis $\mathcal{C}^{\underline{\mathcal{U}}} \to \mathcal{C}^{\underline{V}}$ ; […] […] tel que

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\begin{tikzcd}[column sep=large]
\mathcal{C}^{\underline{\mathcal{U}}} \arrow[r]
  \arrow[dr, "I^{\underline{\mathcal{U}}}"'] &
  \mathcal{C}^{\underline{V}} \arrow[d, "I^{\underline{V}}"] \\
 & \mathcal{C}^{k}
\end{tikzcd}

soit commutatif.

Réciproquement, [[…]] […] foncteur, défini […] soit $V \in \mathcal{C}'{}^{\underline{\mathcal{U}}}$, […] […] $I(W)$, […] […] $F(V)$ […] les $V$-modules. […]

Un bloc encadré à la main occupe le milieu du feuillet et est traversé par deux longues diagonales ; il ne rend que les symboles isolés donnés ici.

[…] $I^{\underline{\mathcal{U}}} = I^{\underline{V}} \circ F$, […] de $I^{\underline{V}}$ […] de $I^{\underline{\mathcal{U}}}$, […] de $I^{\underline{V}}$ […] $\underline{V}$ […] $\underline{\mathcal{U}}$, […]

Ainsi, les hom. continus $\underline{V} \to \underline{\mathcal{U}}$ s'identifient aux hom. précédents des foncteurs.

160

Si […] sur $\underline{\mathcal{U}}$ et $\underline{V}$ des augmentations continues, les hom. compatibles avec l'augmentation correspondent aux foncteurs permis, qui transforment le $\underline{\mathcal{U}}$-module trivial $k$ en le $\underline{V}$-module trivial $k$. Transitivités, etc.

[…]

Autres structures supplémentaires

[…] […] donné un foncteur $F^{\vee} : \mathcal{C}^{\underline{\mathcal{U}}} \to \mathcal{C}^{\underline{\mathcal{U}}}$ […] associant à tout $V \in \mathcal{C}^{\underline{\mathcal{U}}}$ une structure de $\underline{\mathcal{U}}$-module permise sur le dual $V'$ de $V$, De telle façon que i.e. un foncteur tel que

LaTeX source

\begin{tikzcd}[column sep=large]
\mathcal{C}^{\underline{\mathcal{U}}} \arrow[r, "F^{\vee}"] \arrow[d] &
  \mathcal{C}^{\underline{\mathcal{U}}} \arrow[d] \\
\mathcal{C}^{k} \arrow[r, "F^{\vee}"'] & \mathcal{C}^{k}
\end{tikzcd}

\[\check{F}(V) = V'\]

soit commutatif. […] $V'$ […] $\mathcal{U}^{\circ}$-module (l'inverse de $\underline{\mathcal{U}}$) […] [Ceci définit, pour] \[F^{\vee} F^{\vee} = \text{identité} .\] […] soit alors $V$ […] tout […] permis sur $\underline{\mathcal{U}}^{\circ}$ (l'inverse de $\underline{\mathcal{U}}$), $V'$ est un module sur $\underline{\mathcal{U}}$ (par […]) donc $(V')'$ est un module sur $\underline{\mathcal{U}}$. On a ainsi un […] foncteur permis de $\underline{\mathcal{U}}$ […]

Le lot s'arrête là, en pleine phrase.

Anneaux des représentations de certains groupes algébriques (pages 142 à 148)

Récapitulation (page 149)

\(A(T) = \mathbb{Z}(\hat{T})\) (pages 150 et 151)

\(K(G)\), \(CK(G)\) et l'homomorphisme caractéristique (pages 152 à 154)

Classes abéliennes de \(k\)-modules et algèbres topologiques (pages 156 à 160)