Fonds Grothendieck, cote n° 10, pages 141–160

Anneaux des représentations de certains groupes algébriques (pages 142 à 148)

Le faisceau annoncé par la chemise de la page 140 commence ici. La page 141 est blanche. Les sept feuillets qui suivent sont de sa main, d'un trait rapide, et il les numérote lui-même de (1) à (34).

Considérons la catégorie des espaces vectoriels de dim. finie sur un corps k (qu'on fixe une fois pour toutes). Pour tout groupe fini G, soit A^{G} la catégorie des espaces vectoriels de dim. finie où G opère. C'est aussi une catégorie avec produit tensoriel et involution (et A^{e} est la catégorie des ).

~~On a de plus un bifoncteur A^{G} \times A^{G'} \to A^{G}~~

Cette catégorie dépend fonctoriellement de G : si un hom. u : G \to G', a un foncteur contravariant (1) \qquad A^{u} : A^{G'} \longrightarrow A^{G} et (1') \qquad A^{\mathrm{id}_{G}} = 1_{A^{G}} , \qquad A^{uv} = A^{v} A^{u} . ~~Ces foncteurs sont~~ Ils permettent de définir de façon le produit tensoriel extérieur (2) \qquad A^{G} \times A^{G'} \longrightarrow A^{G \times G'} en posant, si p_{1}, p_{2} les projections de G \times G' sur ses deux facteurs, (2') \qquad M \boxtimes M' = \struck{\ill{}} \ A^{p_{1}}(M) \otimes A^{p_{2}}(M') .

dans imparfait

la somme directe extérieure \boxplus « commutatif », « associatif ». \boxtimes est un bifoncteur additif. les structures multiplicatives dans les A^{G} se reconstruire à partir de ces dernières, par la considération de \Delta_{G} : G \to G \times G : (3) \qquad M \otimes M' = A^{\Delta_{G}}(M \boxtimes M') . Enfin, on a aussi une notion de représentation induite, qui pour u : G \to G' définit un foncteur covariant additif

(4) \qquad I^{u} : A^{G} \longrightarrow A^{G'} et (4') \qquad I^{\mathrm{id}_{G}} = 1_{A^{G}} , \qquad I^{uv} = I^{u} I^{v} . les compatibilités entre ces deux sortes de foncteurs et les opérations \otimes étant (5) \qquad A^{u}\bigl(I^{u}(M)\bigr) = M^{[G' : G]} \qquad (M \in A^{G} , \ G \subset G')

On a d'ailleurs deux homomorphismes fonctoriels (6) \qquad M \longrightarrow A^{u} I^{u}(M) (7) \qquad M' \longrightarrow I^{u}\bigl(A^{u}(M')\bigr)

(10) Si g \in G, et si on désigne par \sigma_{g} l'automorphisme intérieur , on a pour M \in A^{G} : M \simeq I^{\sigma_{g}}(M) \simeq A^{\sigma_{g}}(M), l'isomorphisme étant canonique et défini par

(8) \qquad \text{si $u$ est un isom., alors } I^{u} = A^{u^{-1}} , donc I^{u} et A^{u} sont des foncteurs inverses l'un de l'autre.

~~Définition~~ (9) Soit s la symétrie G_{1} \times G_{2} \to G_{2} \times G_{1}. Alors I^{s}(M \boxtimes M') = M' \boxtimes M.

Soit, pour un entier p \geq 1 et des entiers p_{1}, \ldots, p_{h} de somme p, (10) \qquad u_{p_{1}, \ldots, p_{h}} : \mathfrak{S}_{p_{1}} \times \cdots \times \mathfrak{S}_{p_{h}} \longrightarrow \mathfrak{S}_{p} l'hom. (injectif) bien connu. Posons, pour M \in A^{\mathfrak{S}_{p}}, M' \in A^{\mathfrak{S}_{q}}, (11) \qquad M * M' = I^{u_{p,q}}(M \boxtimes M') . On a un isomorphisme canonique (12) \qquad M * M' \simeq M' * M , \alpha unique de \mathfrak{S}_{p+q} vérifiant \alpha\, u_{p,q}\, \alpha^{-1} = u_{q,p}\, s_{p,q}, où s_{p,q} est la symétrie \mathfrak{S}_{p} \times \mathfrak{S}_{q} \to \mathfrak{S}_{q} \times \mathfrak{S}_{p}, et un isomorphisme canonique (13) \qquad (M * M') * M'' \simeq M * (M' * M'') \simeq I^{u_{p,q,r}}(M \boxtimes M' \boxtimes M'') .

Soit M \in A^{G} ; alors pour tout entier n, \otimes^{n} M est un objet de A^{G \times \mathfrak{S}_{n}} = (A^{G})^{\mathfrak{S}_{n}}, qu'on note T^{n}(M). Ainsi T^{n} est un foncteur (non plus additif !) (15) \qquad T^{n} : A^{G} \longrightarrow (A^{G})^{\mathfrak{S}_{n}} dont la propriété essentielle est (16) \qquad \boxed{\ T^{n}(M + M') \simeq \sum_{p+q=n} T^{p}(M) * T^{q}(M')\ }

expliquer 2 opérations : \boxtimes M \in A^{\uncertain{G^{n}}} où on considère G^{n} et \mathfrak{S}_{n} opère dans \boxtimes M

De plus, le diagramme (17)

\begin{tikzcd}[column sep=large] A^{G'} \arrow[r, "T^{n}_{G'}"] \arrow[d, "A^{u}"'] & (A^{G'})^{\mathfrak{S}_{n}} \arrow[d, "A^{u \times 1_{\mathfrak{S}_{n}}}"] \\ A^{G} \arrow[r, "T^{n}_{G}"'] & (A^{G})^{\mathfrak{S}_{n}} \end{tikzcd}

est commutatif (à préciser les compatibilités hom. fonctoriels).

Considérons enfin l'hom. (18) \qquad u_{p,q} : \mathfrak{S}_{p} \times \mathfrak{S}_{q} \longrightarrow \mathfrak{S}_{pq} défini par u_{p,q}(\sigma, \tau) = \alpha_{p,q}(\sigma)\, u_{\underbrace{\tau, \ldots, \tau}_{p}}\, \alpha_{p,q}(\sigma)^{-1}, où \alpha_{p,q}(\sigma) \in \mathfrak{S}_{pq} est défini par (19) \qquad \begin{cases} \alpha_{p,q}(\sigma) \text{ est croissant dans les intervalles } \bigl] iq, (i+1)q \bigr] \\ \text{et applique ceux-ci sur les intervalles } \bigl] \sigma(i) q, (\sigma(i)+1) q \bigr] \end{cases} Sous ces conditions, on a (20) \qquad T^{m}\bigl(T^{n}(M)\bigr) \simeq \struck{\ill{}}\ A^{u_{m,n}}\bigl(T^{mn}(M)\bigr) (les deux membres dans A^{G \times \mathfrak{S}_{m} \times \mathfrak{S}_{n}}).

On a aussi (21) \qquad T^{n}(M \otimes M') \simeq T^{n}(M) \otimes T^{n}(M') \ \in \ A^{G \times \mathfrak{S}_{n}} .

Le feuillet ne porte que ces deux lignes.

De plus, le foncteur M * M' est bi-additif en chaque argument. Il y a un élément unité pour * : \mathbf{1} = K \in A^{\mathfrak{S}_{0}} \qquad \bigl( \text{par définition } \mathfrak{S}_{0} = \{e\} , \text{ et } u_{0,p} = u_{p,0} = \ill{} \bigr) .

Passons aux groupes de classes (pour fixer les idées, posons) (22) \qquad A(G) = K(A^{G}) . A(G) est un anneau de Chern commutatif augmenté, ; A(G) est un foncteur ~~covariant~~ contravariant en G : u : G \to G' définit (23) \qquad A(u) : A(G') \longrightarrow A(G) et A(1_{G}) = 1_{A(G)}, A(uv) = A(v) A(u). On définit, pour \alpha \in A(G), \beta \in A(G'), (24) \qquad \alpha \boxdot \beta = \struck{\ill{}}\ A(p_{1})(\alpha) \cdot A(p_{2})(\beta) \ \in \ A(G \times G') . D'ailleurs, de deux structures de groupe sur les A(G), et de l'opération \alpha \boxdot \beta, c.-à-d. les structures d'anneau de A(G)

Il y a aussi un foncteur additif, pour u : G \to G', (25) \qquad I(u) : A(G) \longrightarrow A(G') ( mais pas multiplicatif). On a (26) \qquad \begin{cases} A(u) I(u) = \text{multiplication par } [G' : G] \\ I(u) A(u) = \text{multiplication par } [G' : G] \end{cases}

Les deux lignes de (26) portent le même facteur [G':G] sur le feuillet ; la transcription les donne telles quelles.

avec M * M' Ces conditions que si est un automorphisme intérieur, A(u) et I(u) sont l'un de l'autre. Enfin (27) \qquad A(\sigma_{g}) = I(\sigma_{g}) = \text{identité de } A(G) \qquad (g \in G) . Les propriétés soulignées peuvent sur deux sommes directes : (28) \qquad A^{n} = A(\mathfrak{S}_{n}) \quad (n \geq 1) , \quad A^{0} = \mathbb{Z} \ ; \qquad A^{\bullet} = \coprod_{n=0}^{\infty} A^{n} muni d'une structure d'anneau gradué commutatif. (et on a de même les A(G)^{n} = A^{G \times \mathfrak{S}_{n}}, A(G)^{\bullet} = \coprod_{0}^{\infty} A(G)^{n}).

D'ailleurs, on a, pour \alpha \in A^{p}, \beta \in A^{q}, (29) \qquad A(u_{p,q})(\alpha * \beta) = \frac{(p+q)!}{p!\, q!}\ \alpha \boxdot \beta \ \in \ A^{\mathfrak{S}_{p} \times \mathfrak{S}_{q}} , d'où, si on une multiplication dans A^{\bullet} (30) \qquad A(u_{p,p})(\alpha * \beta) = \frac{(2p)!}{p!\, q!}\ \alpha \beta

Dans (30), « 2p » est écrit au-dessus de « p+q » rayé, le dénominateur restant p!\,q!.

qui relie la multiplication dans les A^{n} à la multiplication « globale » *.

De plus, la formule (16) une forme commode : (31) \qquad \begin{cases} T = T_{G} : A(G) \longrightarrow 1 + \widehat{A(G)^{\bullet}}^{\,+} \\ T(\alpha) = \sum_{n} T^{n}(\alpha) \qquad (T^{0}(\alpha) = 1) \end{cases} définie par (32) \qquad T\bigl(\gamma(M)\bigr) = \sum_{n} T^{n}(M) (33) \qquad T^{n}(\alpha + \beta) = \sum_{p+q=n} T^{p}(\alpha) * T^{q}(\beta) (on distingue de (31) ) (33) \qquad T^{n}(\alpha \beta) = T^{n}(\alpha)\, T^{n}(\beta) (qui, comparé à (29), explique « pourquoi » )

Deux formules portent ici le numéro (33).

T^{n}(\alpha\beta) : il n'y a de l'opération * et des opérations à multiplication. Il sont commodes les T^{n}(\lambda^{i}(\alpha)), on y reviendra. Bien entendu, les homomorphismes T_{G} sont fonctoriels : si u : G \to G', le diagramme (34)

\begin{tikzcd}[column sep=large] A(G') \arrow[r, "T_{G'}"] \arrow[d, "A(u)"'] & 1 + \widehat{A(G')^{\bullet}}^{\,+} \arrow[d, "\widehat{A(u)}"] \\ A(G) \arrow[r, "T_{G}"'] & 1 + \widehat{A(G)^{\bullet}}^{\,+} \end{tikzcd}

Récapitulation (page 149)

Les quatre articles résument, au crayon, le formalisme des pages précédentes. Le bas de la feuille ne porte rien.

(i)Anneaux ~~commutatifs~~ de Chern involutifs augmentés A^{n}, A^{0} = \mathbb{Z}. (ii)Pour tout hom. u : \mathfrak{S}_{p} \to \mathfrak{S}_{q}, un hom. A(u) : A^{q} \to A^{p}, avec A(uv) = A(v) A(u), A(1_{\mathfrak{S}_{p}}) = 1_{A^{p}}, et A(\sigma_{g}) = 1_{A^{p}} si g \in \mathfrak{S}_{p}. (iii)~~Des~~ applications bilinéaires A^{p} \times A^{q} \to A^{p+q}, (\alpha, \beta) \mapsto \alpha * \beta, faisant de A^{\bullet} = \coprod_{0}^{\infty} A^{n} un anneau gradué commutatif avec unité. On a la relation \frac{(2p)!}{(p!)^{2}}\, \alpha \beta = A(u_{p})(\alpha * \beta) où u_{p} est le composé \mathfrak{S}_{p} \xrightarrow{\ \Delta\ } \mathfrak{S}_{p} \times \mathfrak{S}_{p} \xrightarrow{\ u_{p,p}\ } \mathfrak{S}_{2p}. (iv)~~Des~~ homomorphismes de groupes T : A^{\bullet} \longrightarrow \widetilde{A^{\bullet}} = \mathbb{Z} \times \bigl( 1 + \widehat{A^{\bullet +}} \bigr) défini par des composantes T^{n}, avec T^{0}(\alpha) = 1, T^{1}(\alpha) = \alpha, T^{n}(\alpha) \in A^{n}. On a donc T^{n}(\alpha + \beta) = \sum_{p+q=n} T^{p}(\alpha)\, T^{q}(\alpha) Le second facteur est écrit T^{q}(\alpha) sur le feuillet, là où l'énoncé demande T^{q}(\beta) ; la leçon est donnée telle quelle. De plus T^{n}(\alpha \cdot \beta) = T^{n}(\alpha)\, T^{n}(\beta) .

A(T) = \mathbb{Z}(\hat{T}) (pages 150 et 151)

Soit \rho : T \to Gl(n) ; induit \rho : T \to k^{*n}, d'où n éléments \alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n} de \hat{T}. Les fonctions symétriques élémentaires en les \alpha_{i} sont notées C^{i}(\rho) (0 \leq i \leq n) ; elles ne dépendent que de \rho. Soit C(\rho) = \sum_{0}^{\infty} C^{i}(\rho) \in \mathbb{Z}[\hat{T}] (avec C^{i}(\rho) = 0 si i > \deg \rho) ; si \rho est une extension de \rho' par \rho'', C(\rho) = C(\rho')\, C(\rho'').

On peut prolonger \rho \mapsto (\deg \rho, C(\rho)) en un hom. (1) \qquad A(T) \simeq \mathbb{Z}(\hat{T}) \longrightarrow \mathbb{Z} \times \bigl( 1 + \mathbb{Z}[[\hat{T}]]^{+} \bigr) ; c'est un hom. d'anneaux de Chern, caractérisé par ses valeurs sur les \rho_{\chi} (\chi \in \hat{T}) : \tilde{C}(\rho_{\chi}) = \bigl( 1 ,\ 1 + [\chi] \bigr) . Je dis que cet hom. (1) est injectif et à image dense. Pour le voir, on avec \varphi : \mathbb{Z} \times \bigl( 1 + \mathbb{Z}[[\hat{T}]]^{+} \bigr) \longrightarrow \mathbb{Q}[[\hat{T}]] transformant \chi en e^{\chi}, et on note que les e^{\chi} sont linéairement indépendants. Pour montrer que l'image est dense, on montre que si des polynômes C^{1}, \ldots, C^{n} sont donnés, avec C^{i} \in \mathbb{Z}[X_{1}, \ldots, X_{r}] (1 \leq i \leq n), C^{i} de degré i, on peut trouver des formes linéaires \alpha^{1}, \ldots, \alpha^{N} en les X_{i}, telles que C^{i} = \sigma_{i}(\alpha^{1}, \ldots, \alpha^{N}) pour 1 \leq i \leq n. Récurrence sur

n, triviale pour n = 0. On une récurrence C^{1} = \cdots = C^{n-1} = 0, donc à prouver le

Lemme. Il existe des formes linéaires \alpha^{1}, \ldots, \alpha^{N}, des X^{1}, \ldots, X^{r}, telles que \sigma^{1}\bigl((\alpha^{i})\bigr) = \cdots = \sigma^{n-1}\bigl((\alpha^{i})\bigr) = 0 , \qquad \sigma^{n}\bigl((\alpha^{i})\bigr) = C^{n} \ \text{polynôme donné} .

Le reste de la page est un schéma au crayon, dans la colonne de gauche, séparé du corps par un trait vertical.

\mathbb{Z}[[\xi_{1}, \ldots]]

\begin{tikzcd} E_{T} \arrow[d] \\ B_{T} \end{tikzcd}

\begin{tikzcd}[column sep=large] \mathbb{Z}(\hat{T}) \arrow[r] & H^{*}(B_{T}, \mathbb{Z}) \\ A(T) \arrow[u, "\mathrm{alg}"] \arrow[ur, "\text{top.\ via Chern}"'] \end{tikzcd}

Sur le feuillet, la flèche « alg » monte obliquement de A(T) vers \mathbb{Z}(\hat{T}) et la flèche « top. via Chern » monte verticalement de A(T) vers H^{*}(B_{T},\mathbb{Z}) ; le diagramme les redresse. La flèche horizontale du haut est tracée à deux pointes.

\begin{tikzcd}[column sep=large] \mathbb{Z}[\hat{T}] \arrow[r, "\text{hom.\ car.}"] & H^{*}(X, \mathbb{Z}) \\ A(T) \arrow[u] \arrow[ur, "\text{top.\ via Chern}"'] \end{tikzcd}

Il faudrait prouver que \mathbb{Z}[\hat{T}] \to l'anneau de Chern attaché à A(T) \simeq \mathbb{Z}(\hat{T}).

K(G), CK(G) et l'homomorphisme caractéristique (pages 152 à 154)

Soit G un groupe algébrique. On désignera par K(G) l'anneau ~~des~~ engendré par les classes des représentations rationnelles irréductibles de G : en tant que groupe additif, il est de base libre ; c'est un anneau de Chern. On désignera par CK(G) « l'anneau des classes de Chern » de K(G) c'est un anneau gradué, et on a un homomorphisme canonique (1) \qquad K(G) \xrightarrow{\ c_{G}\ } \mathbb{Z} \times \bigl( 1 + CK(G)^{+} \bigr) . K(G) et CK(G) sont des foncteurs en G, et (1) est un hom. fonctoriel. Si \sigma est un automorphisme intérieur de G, alors \sigma^{*} est l'automorphisme identique de K(G) et CK(G).

Soit P un fibré algébrique principal de groupe structural G, de base X. À toute représentation linéaire rationnelle \rho de G est associé un fibré vectoriel algébrique sur X, d'où un élément de K(X). On en conclut un hom. d'anneaux de Chern K(G) \longrightarrow K(X) d'où un hom. d'anneaux gradués (2) \qquad CK(G) \longrightarrow CK(X) = A(X) appelé hom. caractéristique du fibré P. Le

(3)

\begin{tikzcd}[column sep=large] K(G) \arrow[r, "\text{ass.}"] \arrow[d, "c_{G}"'] & K(X) \arrow[d, "c_{X}"] \\ \widetilde{CK}(G) \arrow[r, "\text{hom.\ car.}"'] & \widetilde{CK}(X) = \widetilde{A}(X) \end{tikzcd}

De plus, si est un hom. rat. G \xrightarrow{\ \varphi\ } G' et si P' est associé à P et \varphi, on a commutativité dans (4)

\begin{tikzcd}[column sep=large] CK(G') \arrow[r, "\varphi^{*}"] \arrow[dr, "\tau_{P'}"'] & CK(G) \arrow[d, "\tau_{P}"] \\ & A(X) \end{tikzcd}

Il vaut calculer explicitement CK(G).

Voici les résultats essentiels dans cette voie.

Proposition. Soit T un tore algébrique de dim. r. Alors K(T) \simeq \mathbb{Z}(\hat{T}) \qquad (\text{algèbre du groupe } \hat{T}) \bigl\{ \simeq \mathbb{Z}[x^{1}, \ldots, x^{r}]_{x^{1} \cdots x^{r}} \ \struck{\text{associé}}\ \add{\text{avec}}\ \varepsilon(x^{i}) = 1 , \ \lambda x^{i} = 1 - x^{i} t \bigr\} avec \varepsilon(\chi) = 1, \lambda(\chi) = 1 + \chi t pour \chi \in \hat{T}. On a CK(T) \simeq \mathbb{Z}[\hat{T}] (algèbre symétrique sur \mathbb{Z} du \mathbb{Z}-module \hat{T}), avec c_{T}(\chi) = 1 + \chi \qquad \text{i.e.} \qquad c_{T}^{i}(\chi) = \begin{cases} 1 & \text{si } i = 0 \\ \chi & \text{si } i = 1 \\ 0 & \text{si } i > 1 \end{cases}

Le signe de \lambda change d'une ligne à l'autre : 1 - x^{i}t dans l'accolade, 1 + \chi t à la ligne suivante. Les deux leçons sont celles du feuillet.

Soit G un groupe algébrique linéaire quelconque, T un tore maximal, N son normalisateur et W = N/T. N opère sur G et T de façon compatible par automorphismes intérieurs, et d'un canonique CK(G) \longrightarrow CK(T) \simeq \mathbb{Z}[\hat{T}] est compatible avec les opérations de N. N opère trivialement sur le premier membre, et T opère trivialement sur le second, donc on voit W opère sur \mathbb{Z}[\hat{T}] via les opérations de W sur \hat{T}. On a donc un hom. (5) \qquad CK(G) \longrightarrow \mathbb{Z}[\hat{T}]^{W} où \mathbb{Z}[\hat{T}]^{W} désigne ~~le sous-groupe~~ l'anneau des éléments de \mathbb{Z}[\hat{T}] invariants sous W.

On En général on n'a pas là une bijection. Mais c'est sans doute une bijection s'il n'y a pas de torsion , et de plus l'homomorphisme analogue (5\ \mathrm{bis}) \qquad C\bigl( K(G) \otimes_{\mathbb{Z}} k \bigr) \longrightarrow k[\hat{T}]^{W} (où k est un corps commutatif ) est bijectif si la car. de k est premier à la torsion de G.

Le feuillet s'arrête là ; la page 155 est blanche.

Classes abéliennes de k-modules et algèbres topologiques (pages 156 à 160)

Dernier faisceau du lot, de sa main et d'un trait plus rapide encore : les formules portent, une bonne part de la prose de liaison ne porte pas, et les quatre derniers feuillets sont largement raturés.

\mathcal{C} classe abélienne, dont les éléments sont des modules sur l'anneau commutatif k et les homomorphismes des hom. de modules, la composition des hom. étant la composition usuelle ; que le foncteur d'oubli \mathcal{C} \to \mathcal{C}^{k} soit exact et qu'il existe un ensemble de A_{i} \in \mathcal{C} tels que M \in \mathcal{C} soit isomorphe à l'un d'eux.

Notation \operatorname{Hom}_{k}(M, N) si M, N \in \mathcal{C}.

Le noyau, l'image etc. sont k : ce sont ordinaires.

Lemme I. \mathcal{C} \to \mathcal{C}^{k} le foncteur . Les endomorphismes de ce foncteur d'oubli les k-modules (u_{i}), u_{i} \in L_{k}(A_{i}), tels que pour \varphi \in L_{k}(A_{i}, A_{j}), on ait commutativité dans

\begin{tikzcd} A_{i} \arrow[r, "\varphi"] \arrow[d, "u_{i}"'] & A_{j} \arrow[d, "u_{j}"] \\ A_{i} \arrow[r, "\varphi"'] & A_{j} \end{tikzcd}

\varphi u_{i} = u_{j} \varphi .

Ces endomorphismes forment donc un sous-anneau topologique de \prod_{i} L(A_{i}), fermé pour la topologie produit, quand les L(A_{i}) sont munis de la topologie (A_{i} étant discrets). Donc muni d'une topologie linéaire complète, qu'il \mathcal{U}. Si V \in \mathcal{C}, alors V est un module sur \mathcal{U}, et \underline{\mathcal{U}} \to L_{s}(V) est continu ; de plus, les \varphi \in \operatorname{Hom}_{k}(V, W) sont des \mathcal{U}-homomorphismes.

On a ainsi un foncteur canonique, noté I, de \mathcal{C} dans les \mathcal{U}-modules « permis » (i.e. tels que \mathcal{U} \to L_{s}(V) soit continue). On se donne des conditions, pour que ce soit ~~bijectif~~ un isomorphisme. Si les A_{i} à engendrement fini sur k, alors les L(A_{i}) sont discrets, donc \mathcal{U} est un anneau linéaire (avec une topologie ) et se borner à considérer les \underline{\mathcal{U}}-modules permis à engendrement fini sur k.

Les deux tiers inférieurs du feuillet sont annulés par de longues diagonales et par une boucle tracée à la main ; le bloc ainsi rayé porte sur les \operatorname{Hom}_{k}(V,V), sur un foncteur F_{\mathcal{U}} de \mathcal{C}^{\mathcal{U}} dans \mathcal{C} et sur son identité avec I, et ne rend ni ses phrases ni la plupart de ses formules.

Pour tout V \in \mathcal{C}^{k} (k-modules de type fini), soit K(V) et K'(V) l'ensemble des « structures de type \mathcal{C} » resp. des structures de \underline{\mathcal{U}}-modules permis sur k. On a défini une fonctorielle K(V) \longrightarrow K'(V). On veut :

1°)On veut que cet hom. soit bijectif ; 2°)Si V, W \in \mathcal{C}, on veut que les k-hom. de V dans W soient identiques aux \underline{\mathcal{U}}-homomorphismes.

On est amené à considérer les \underline{\mathcal{U}}-modules permis qui sont à engendrement fini sur k. \underline{\mathcal{U}} est un anneau ~~topologique~~ linéairement complet voisinages de

anneaux de type fini, s'obtenir ainsi.

Première structure supplémentaire : lorsque V libre qu'on doit être muni canoniquement d'une structure k, i.e. sur une structure privilégiée de \underline{\mathcal{U}}-module, il sur \underline{\mathcal{U}} une augmentation continue \varepsilon.

\boxed{\ \text{Les } \underline{\mathcal{U}}\text{-modules permis sont les } \ill{} \text{ sur } A \ \ill{} \text{ qui sont de dim.\ finie sur } k . \ }

Un bloc entier remplit la marge gauche du feuillet et est annulé par une douzaine de diagonales ; il ne rend ni ses phrases ni ses formules.

Soient \underline{\mathcal{U}}, \underline{V} deux « \underline{k}-algèbres », i.e. algèbres topologiques satisfaisant aux conditions dites plus haut. Un hom. continu ~~compatible aux augmentations~~ \underline{V} \to \underline{\mathcal{U}} définit un foncteur permis \mathcal{C}^{\underline{\mathcal{U}}} \to \mathcal{C}^{\underline{V}} ; tel que

\begin{tikzcd}[column sep=large] \mathcal{C}^{\underline{\mathcal{U}}} \arrow[r] \arrow[dr, "I^{\underline{\mathcal{U}}}"'] & \mathcal{C}^{\underline{V}} \arrow[d, "I^{\underline{V}}"] \\ & \mathcal{C}^{k} \end{tikzcd}

soit commutatif.

Réciproquement, foncteur, défini soit V \in \mathcal{C}'{}^{\underline{\mathcal{U}}}, I(W), F(V) les V-modules.

Un bloc encadré à la main occupe le milieu du feuillet et est traversé par deux longues diagonales ; il ne rend que les symboles isolés donnés ici.

I^{\underline{\mathcal{U}}} = I^{\underline{V}} \circ F, de I^{\underline{V}} de I^{\underline{\mathcal{U}}}, de I^{\underline{V}} \underline{V} \underline{\mathcal{U}},

Ainsi, les hom. continus \underline{V} \to \underline{\mathcal{U}} s'identifient aux hom. précédents des foncteurs.

Si sur \underline{\mathcal{U}} et \underline{V} des augmentations continues, les hom. compatibles avec l'augmentation correspondent aux foncteurs permis, qui transforment le \underline{\mathcal{U}}-module trivial k en le \underline{V}-module trivial k. Transitivités, etc.

Autres structures supplémentaires

donné un foncteur F^{\vee} : \mathcal{C}^{\underline{\mathcal{U}}} \to \mathcal{C}^{\underline{\mathcal{U}}} associant à tout V \in \mathcal{C}^{\underline{\mathcal{U}}} une structure de \underline{\mathcal{U}}-module permise sur le dual V' de V, ~~De telle façon que~~ i.e. un foncteur tel que

\begin{tikzcd}[column sep=large] \mathcal{C}^{\underline{\mathcal{U}}} \arrow[r, "F^{\vee}"] \arrow[d] & \mathcal{C}^{\underline{\mathcal{U}}} \arrow[d] \\ \mathcal{C}^{k} \arrow[r, "F^{\vee}"'] & \mathcal{C}^{k} \end{tikzcd}

\check{F}(V) = V'

soit commutatif. V' ~~\mathcal{U}^{\circ}-module (l'inverse de \underline{\mathcal{U}})~~ Ceci définit, pour F^{\vee} F^{\vee} = \text{identité} . soit alors V tout permis sur \underline{\mathcal{U}}^{\circ} (l'inverse de \underline{\mathcal{U}}), V' est un module sur \underline{\mathcal{U}} (par ) donc (V')' est un module sur \underline{\mathcal{U}}. On a ainsi un foncteur permis de \underline{\mathcal{U}}

Le lot s'arrête là, en pleine phrase.