Cote n° 10 · batch 5 · pages 81–100 · Transcription · Catégories tensorielles : notes manuscrites (s.d.), tapuscrits (s.d.)
Datation de l’inventaire : [à partir de 1958]
Édition de démonstration

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Catégories tannakiennes définies par des cristaux, fin (pages 81 à 83)

Suite et fin du tapuscrit commencé page 66 et interrompu en bas de la page 80 sur « D'ailleurs, ». Comme dans le lot précédent, les lettres de groupes, les indices \(a\) et plusieurs signes manquaient à la machine et sont encrés de sa main ; on ne les relève pas un à un. Ses insertions sont données entre crochets, ses suppressions barrées, ses notes marginales en retrait.

81les \(E_{i}\) qui sont à composantes isopentiques \(\lambda\) tels que \(0 < \lambda \leq 1\) sont exactement les modules de Dieudonné des groupes formels \(p\)-divisibles sur \(k\) (la catégorie de ces modules de Dieudonné correspond [est opposée] à la catégorie de ces groupes, mod isogénie).

D'autre part, un \(F\)-isocristal est d'amplitude isopentique contenue dans \([0,1]\) (intervalle fermé) sss c'est le module de Dieudonné d'un groupe de Barsotti-Tate sur \(k\) (la catégorie des \(F\)-isocristaux envisagée étant [anti-]équivalente à la catégorie des groupes de B.T. sur \(k\) mod. isogénie …) : le \(F\)-isocristal unité correspond au groupe de B.T. ind-étale \(\underline{\mathbb{Q}}_{p}/\underline{\mathbb{Z}}_{p}\) sur \(k\).

Supposant toujours \(k\) parfait, la condition qu'il existe que \((E, F_{E})\) soit effectif et qu'il existe un \(V_{i}\) [effectif] tel que \(F V_{i} = V_{i} F = p^{i}\,\mathrm{id}\) (cf n° 2) signifie que \(E\) est d'amplitude isopentique contenue dans \([0,i]\). « effectif » est tapé en interligne ; un trait à l'encre le rattache au point situé entre \(V_{i}\) et « tel », et le même trait traverse « tel ». La page ne décide pas si l'insertion remplace « tel que » ou s'y ajoute.

Il est clair alors que pour \(\underline{\mathbb{F}}_{q}\) comme pour \(\underline{\mathbb{F}}_{p}\), la réponse à 6.2 est affirmative, donc les considérations du n° 7 s'appliquent : on trouve la structure de \(\underline{G}(\underline{\mathbb{F}}_{q})\) comme gerbe \(+\) ses structures supplémentaires examinées jusqu'à présent.

Le foncteur fibre [canonique] [\((E,F_{E}) \mapsto E\)] sur \(\mathrm{FCriso}(\underline{\mathbb{F}}_{q})\) à valeurs sur le corps \(K_{a} = K(\underline{\mathbb{F}}_{q = p^{a}})\) (i.e. section canonique de \(\underline{G}(\underline{\mathbb{F}}_{q})\) sur \(K_{a}\)) est muni d'une structure supplémentaire, savoir un automorphisme linéaire \(F_{E}^{a}\), de sorte que le groupe algébrique sur \(k\) \(K_{a}\) correspondant à cette section de \(\underline{G}(\underline{\mathbb{F}}_{q})\) sur \(K_{a}\), savoir le sous-groupe \(G_{a}\) de \(G_{K_{a}}\) ouvert d'indice \(a\) (correspondant au sous-groupe des racines \(a\)-èmes de \(1\) dans le groupe des caractères \(\bar{\underline{\mathbb{Q}}}^{*}\) de \(G_{K_{a}}\)), prendre plutôt \(= f_{q}\) (comme un automorph. du foncteur identique de \(\mathrm{FCriso}(\underline{\mathbb{F}}_{q})\), soit donc un élément de \(G_{p}(\underline{\mathbb{Q}}_{p})\) …

82est muni d'un élément [\(f_{q}\)] de \(G_{a}(K_{a})\) (« Frobenius relatif à \(\underline{\mathbb{F}}_{q}\) »). Ce dernier n'est autre d'ailleurs que \(f^{a}\), où \(f\) est le générateur canonique de \(G\) (le Frobenius absolu !). on voit donc que \(G_{a}\) est encore engendré par Notons que \(a \cdot \mathrm{Id}_{G}\) est un monomorphisme (car \(x \mapsto x^{a}\) est un épimorphisme dans \(\bar{\underline{\mathbb{Q}}}^{*}_{p}\)), donc induit un isomorphisme entre \(G_{K_{a}}\) et \(G_{a} \simeq G(\underline{\mathbb{F}}_{q})\), transformant le frobenius relatif absolu en le frobenius relatif à \(\underline{\mathbb{F}}_{q}\). Grâce à ceci, on voit :

Proposition 10.1. La catégorie \(\mathrm{FCriso}(\underline{\mathbb{F}}_{q})^{\mathrm{tann.}} \otimes_{\underline{\mathbb{Q}}_{p}} K_{a}\) est équivalente à la catégorie \(\mathrm{FCriso}(\underline{\mathbb{F}}_{p})^{\mathrm{tann.}} \otimes_{\underline{\mathbb{Q}}_{p}} K_{a}\), avec \(f_{q}\) correspondant à \(f^{a}\) (où on peut, si on veut, considérer \(f_{q}\) et \(f\) comme des endomorphismes des foncteurs identiques de \(\mathrm{FCriso}(\underline{\mathbb{F}}_{q})\) resp. \(\mathrm{FCriso}(\underline{\mathbb{F}}_{p})\)), et correspondance des foncteurs fibres canoniques. i.e. la catégorie des couples \((E, F'_{E})\) d'un vectoriel sur \(K_{a}\) et d'un automorphisme de ce vectoriel …)

Le foncteur déduit du changement de base \(\underline{\mathbb{F}}_{p} \to \underline{\mathbb{F}}_{q}\) \[\mathrm{FCriso}(\underline{\mathbb{F}}_{p}) \otimes_{\underline{\mathbb{Q}}_{p}} K_{a} \longrightarrow \mathrm{FCriso}(\underline{\mathbb{F}}_{q}) \otimes_{\underline{\mathbb{Q}}_{p}} K_{a}\] s'identifie, par l'équivalence précédente, au foncteur qui à tout couple \((E, F_{E})\) d'un vectoriel sur \(K_{a}\) et d'un automorphisme dudit, associe le couple \((E, F_{E}^{a})\) ; [analogue pour \(\mathrm{FCriso}(\underline{\mathbb{F}}_{1}) \to \mathrm{FCriso}(\underline{\mathbb{F}}_{q}) \otimes_{\underline{\mathbb{Q}}_{p}} K_{a}\) ; il s'identifie : \((E, F_{E}) \mapsto (E, F_{E}^{a})\).] L'indice du premier \(\underline{\mathbb{F}}\) de l'ajout est un simple trait vertical ; le contexte appellerait \(p\). On laisse comme il est écrit.

10.2. Comme on connait \(\underline{G}(\underline{\mathbb{F}}_{q})\) comme une sous-gerbe \(G_{a}\) de \(G = \underline{G}(\underline{\mathbb{F}}_{p})\), et que celle-ci contient \(\underline{H}\), on connait donc en principe l'inclusion \[\underline{H} \longrightarrow G_{a} = \underline{G}(\underline{\mathbb{F}}_{q}) ,\] donc aussi le foncteur \[\operatorname{Rep}(G_{a}) \simeq \mathrm{FCriso}(\underline{\mathbb{F}}_{q}) \longrightarrow \operatorname{Rep}(\underline{H}) ,\] considérons et le foncteur correspondant \[\mathrm{FCriso}(\underline{\mathbb{F}}_{q}) \otimes_{\underline{\mathbb{Q}}_{p}} K_{a} \longrightarrow \operatorname{Rep}(\underline{H}) \otimes_{\underline{\mathbb{Q}}_{p}} K_{a} .\] Cette dernière phrase et la formule qui la suit sont biffées d'un long trait à la main.

L'effet de ces foncteurs sur les classes d'isomorphie d'éléments est connu (comme chaque fois qu'il s'agit d'un morphisme d'une gerbe de catégorie tannakienne à lien commutatif dans une autre à lien de type multiplicatif) par la connaissance de l'homomorphisme de liens correspondant

83\[\underline{H} \xrightarrow{\;u_{a}\;} G_{a} \longrightarrow G ,\] lui-même déterminé par la connaissance de l'homomorphisme en sens inverse sur les groupes de caractères

LaTeX source
\begin{tikzcd}
\underline{\mathbb{Q}} &
\bar{\underline{\mathbb{Q}}}^{*} \arrow[l, "u_{a}^{*}"'] &
\bar{\underline{\mathbb{Q}}}^{*} \arrow[l, "\lambda^{a}"']
  \arrow[ll, bend left=25, "|\lambda|"']
\end{tikzcd}

On lit sur ce diagramme que, pour l'isomorphisme naturel du groupe des caractères de \(G_{a}\) avec \(\bar{\underline{\mathbb{Q}}}^{*}\), provenant de l'élément \(f_{q} \in G_{a}(\underline{\mathbb{Q}})\), [on] qui donne \[u_{a}^{*}(\lambda) = \frac{v_{p}(\lambda)}{a} .\]

On trouve donc le résultat suivant de Manin, énoncé sous une forme plus jolie et débarássé d'hypothèses restrictives parasites : Sic, l'accent est de la machine.

Proposition 10.3. Soit \((E, F_{E})\) un \(F\)-isocristal sur \(\underline{\mathbb{F}}_{q}\), \(q = p^{a}\), et considérons le polynôme caractéristique \(f(T)\) de \(F_{E}^{a}\), soient \(\lambda_{1}, \dots, \lambda_{N}\) (\(N = \operatorname{rang} E\)) ses racines, et \(c_{1}, \dots, c_{N}\) leurs valeurs absolues normalisées (\(c_{i} = v_{p}(\lambda_{i})\), \(v_{p}(p) = 1\)). Alors sur dans \(\operatorname{Rep}(\underline{H}) \otimes_{\underline{\mathbb{Q}}_{p}} \bar{\underline{\mathbb{Q}}}_{p} \simeq \mathrm{FCriso}(\underline{\mathbb{F}}_{q}) \otimes_{\underline{\mathbb{Q}}_{p}} \bar{\underline{\mathbb{Q}}}_{p}\), l'image de \((E, F_{E})\) a comme pentes les nombres \(c_{1}/a, \dots, c_{N}/a\), de sorte que, si les [différentes] pentes possibles sont \(p_{i}\) avec multiplicités \(p_{i} = s_{i}/r_{i}\) (\(s_{i}, r_{i} \in \underline{\mathbb{Z}}\), \(r_{i} \geq 1\), \((s_{i}, r_{i}) = 1\)) avec multiplicité \(d_{i}\), on a \(r_{i} \mid d_{i}\) i.e. \(d_{i} = d_{i}' r_{i}\), et l'image de \((E, F_{E})\) dans \(\mathrm{FCriso}(\bar{\underline{\mathbb{F}}}_{p})\) est isomorphe à \(\sum_{i} E_{p_{i}}^{d_{i}'}\). N.B. ou : — prendre plutôt la val. \(v_{q}\) telle que \(v_{q}(q) = 1\), i.e. […] les valeurs propres \(v_{q}(\lambda_{i})\) (sans diviser par \(a\)))

Cor. Le mot est écrit de sa main et souligné ; rien ne le suit, et le tapuscrit s'arrête là.

Topos classifiant d'un pro-groupe (page 85)

Feuillet d'un tout autre tapuscrit, corrigé de sa main : c'est lui qui ajoute « pro- », les lettres de groupes, les numéros de sous-section et « (à gauche, disons) ».

852.7. Topos classifiant d'un [pro-]profini groupe.

2.7.1 Soit [\(\underline{G} =\)] \((G_{i})_{i \in I}\) un système projectif strict de groupes, avec \(G_{i}, I \in \mathcal{U}\). On suppose le système projectif strict, i.e. les morphismes de transition \(G_{j} \to G_{i}\) surjectifs. Si \(E\) est un ensemble, on dit que \(\underline{G}\) opère sur \(E\) appelle opération de \(\underline{G}\) sur \(E\) [(à gauche, disons)] la structure suivante : a) une famille \((E_{i})_{i \in I}\) de parties de \(E\), de réunion \(E\) ; b) pour tout \(i \in I\), une opération du groupe \(G_{i}\) sur l'ensemble \(E_{i}\) ; on suppose de plus ces données soumises à la condition suivante : pour \(j \geq i\), \(E_{i}\) est le sous-ensemble de \(E_{j}\) formé des éléments fixes sous le groupe noyau de \(G_{j} \to G_{i}\). On dit [aussi] que \(\underline{G}\) opère sur \(E\) (à gauche) si on s'est donnée une opération de \(\underline{G}\) sur \(E\) (à gauche). Les ensembles \(\in \mathcal{U}\) munis d'une opération de \(\underline{G}\) forment une catégorie de façon évidente. On constate aussitôt, grâce au critère de Giraud, que cette catégorie est un [\(\mathcal{U}\)-]topos. On le note \(B_{\underline{G}}\) et on l'appelle topos classifiant de \(\underline{G}\). Lorsque \(I\) admet un objet […] initial \(i_{0}\), posant \(G = G_{i_{0}}\), on retrouve le topos classifiant de 2.3.

[2.7.2] Un autre exemple important est celui où les groupes \(G_{i}\) sont finis, de sorte que \[G = \varprojlim G_{i}\] est un groupe topologique compact totalement discontinu, ou groupe profini. Une opération de \(\underline{G}\) sur \(E\) revient alors à une opération de \(G\) sur \(E\) qui est continue, ou ce qui revient au même, telle que le stabilisateur de tout point de \(E\) est un sous-groupe ouvert de \(G\). Le topos classifiant \(B_{\underline{G}}\) sera aussi noté \(B_{G}\), où, bien entendu, \(G\) doit être considéré comme muni de sa topologie profinie. à la ligne

[2.7.3.] Il est facile de vérifier, en utilisant les remarques de 2.6, que le topos \(B_{\underline{G}}\) défini par un système projectif strict de \(\underline{G} = (G_{i})_{i \in I}\) de groupes n'est équivalent à un topos de la forme \(\hat{C}\) que si ce système projectif est essentiellement constant ; dans le cas d'un groupe profini, cela signifie que ce groupe est en fait fini.

Les types simples, un recensement (page 86)

De sa main seule, au dos du feuillet précédent. Les formes de la colonne de droite portent un tilde ; l'exposant « ad » est celui de la forme adjointe.

86

21 cas à examiner

Filtration des foncteurs fibres (pages 88 à 98)

Le titre est de sa main, sur un feuillet par ailleurs vierge qui précède la suite (page 87). Tout ce qui suit est de sa main. Il numérote lui-même les feuillets : la page 88 porte son n° 1, la page 89 son n° 2, la page 92 son n° 3. Il n'y souligne pas les corps de nombres et on ne le supplée pas.

88Filtration sur foncteur fibre pour catégorie tensorielle

Soit \(E\) \(\mathcal{M}\) une catégorie tensorielle sur « rigide […] » sur un corps \(k\), \(S\) un schéma sur \(k\), \(F\) un foncteur fibre relatif : \[\mathcal{M} \longrightarrow \text{faisceaux localement libres sur } S .\]

Une filtration de \(F\) par des sous-foncteurs \(F^{(p)}\) est dite admissible si elle satisfait aux conditions :

Le signe de (i) est une petite étoile à six branches, donnée ici \(\ast\) ; l'exposant de (iii) est repassé sur la page.

Considérons donc le foncteur \[M \rightsquigarrow \operatorname{gr} F(M) .\] En vertu de (0), il est à valeurs dans les modules loc. cohérents [(p. libres)] sur \(S\), (i) indique qu'il est additif, (ii) qu'il est multiplicatif, et (iii) qu'il commute à : \(\vee\). Le signe final est le petit « v » de la dualité, celui que (iii) écrit \(\check{M}\).

N.B. Ses conditions impliquent (iii) et (iv) exigent \(F^{(0)}(\mathbf{1}) = \mathbf{1}\), \(F^{(1)}(\mathbf{1}) = 0\), d'où \(\operatorname{gr} F(\mathbf{1}) = \mathbf{1}\) […] en degré \(0\). Si […] \(\mathcal{M}\) ½simple, alors \(\operatorname{gr} F\) exact (sinon il faut en mettre une condition dans (i).)

89Son n° 2. \[G = \underline{\operatorname{Aut}}_{S}(F)\] (schéma en groupes affine sur \(S\)), alors \(\operatorname{gr}(F)\), en tant que foncteur-fibre (à un oubli […]), est défini par un \(G\)-torseur \(P\), [\(\operatorname{gr}(F) \simeq F^{P}\), \(P = \underline{\operatorname{Isom}}_{S}(F, \operatorname{gr} F)\).] (De plus, la graduation sur \(\otimes\) le foncteur sur \(\operatorname{gr}(F)\) est définie par un homomorphisme \[\mathbb{G}_{m_{S}} \xrightarrow{\;i\;} G^{P} = G' . )\]

Toutes ces constructions sont locales et compatibles avec changement de base. Parmi les isom. de \(F\) sur \(\operatorname{gr}(F)\), on distingue ceux [et induisant l'identité sur les gradués associés,] qui respectent la filtration. Ils forment ([…]) un sous-foncteur \(Q\) de \(P\), qui est un [quasi-]torseur à g. sous le sous-groupe \(H'\) de \(G'^{P}\) [et induisant l'identité sur \(\operatorname{gr}\),] qui respectent la filtration [canonique] de \(F' = \operatorname{gr} F\), et une torseur à droite sous le sous-groupe analogue \(H\) de \(\underline{Q}\). [bien puisque c'est un torseur,]

Cependant, il faut démontrer que loc. \(Q\) admet une section, donc qu'il existe un isom. respectant les filtrations de \(F\) et \(F'\) et induisant l'identité sur les gr. associés. (en supposant \(\mathcal{M}\) de type fini)

90On peut […] que \(F\) et \(F'\) isomorphes, […] s'il est vrai que deux foncteurs fibres sont isomorphes loc. […], du moins en tout cas si le […] de […], [en supposant que \(\mathcal{M}\) ½simple] ([…] comme lien de schémas […] et plat sur \(S\), […]). Les six premières lignes de la page sont écrites à toute vitesse, sur un passage déjà repris ; seuls les mots donnés se lisent.

Déterminons le groupe \(H'\), et pour cela choisissons un générateur \(M\), alors \(G' = \underline{\operatorname{Aut}}_{\mathcal{O}_{S}}(F'(M))\), et \(H'\) est le sous-groupe de \(G'\) formé des \(g'\) tels que, \(\forall p \in \mathbb{Z}\), \[g' x_{p}^{(p)} \equiv x_{p}^{(p)} \qquad \bigl( F'^{(p+1)}(M) \bigr)\] Le membre de droite est repris et biffé ; l'expression entre parenthèses est portée au-dessus du passage biffé, et un « \(\in\) » clôt la ligne sans complément. Construction intrinsèque de \(G'^{\mathrm{ad}}\), \(\mathbb{G}_{m} \xrightarrow{\;i\;} G'\) (comme pour \(G\)).

Les transformations infinitésimales de \(H'\) s'obtiennent ainsi : comme […] de \(\mathfrak{g}\) […], i.e. \(i : \mathbb{G}_{m} \to G'\), \(\mathfrak{g}'\) se décompose suivant les caractères de \(\mathbb{G}_{m}\), et on a \[\boxed{\;\mathfrak{h}' = \sum_{n \geq 1} \mathfrak{g}'_{n}\;}\]

N.B. Le sous-groupe qui respecte la filtration, […] : l'algèbre de Lie \(\mathfrak{b}' = \sum_{n \geq 0} \mathfrak{g}'_{n}\). C'est le produit semi-direct […] de \(\mathfrak{g}\), et de \(\mathfrak{h}'\). \(\mathfrak{h}'\) est nilpotente, et correspond d'ailleurs à un groupe unipotent, tandis que \(\mathfrak{b}'\) est parabolique ; le centralisateur de \(i\) est un sous-groupe de Levi. « groupe » est barré et « unipotent » repris au-dessus.

N.B. Étudier les relations entre « ss-gpes à \(1\) paramètre » et sous-groupes paraboliques avec déc. de Levi. N.B. \(H'\) […] gpes connexes (étant unipotent !)

92Son n° 3. Bien entendu, on récupère \(F\), donc aussi la filtration de \(F\) connaissant \(F' = F^{P}\), \(i : \mathbb{G}_{m} \to G' = G^{P}\) \(\bigl( = \underline{\operatorname{Ad}}_{S}(P) \bigr)\), et le sous-\(H'\)-torseur [à gauche] \(Q\) de \(P\).

En résumé (si \(k\) est […], \(\mathcal{M}\) ½simple), la donnée d'un foncteur [fibre] filtré admissible sur \(\mathcal{M}\), à « valeurs dans \(S\) », équivaut à la donnée

À ces données, on associe le foncteur fibre \(F = F'^{Q'}\), avec la filtration déduite par descente de la filtration canonique de \(F'\) gradué […] sa graduation. D'ailleurs \(Q\) […] la filtration du foncteur \(F\) « splitte » …

Si \(\mathcal{M}\) est muni des [de la] donnée […] et des structures intrinsèques, […] dans […] : \(i : \mathbb{G}_{m_{S}} \to G'\) […] central, et : \(i_{1}\), il convient de prendre \(i_{2}\) défini par \[i_{1}(\lambda)\, i_{2}(\lambda) = f(\lambda)\] Alors \(i_{1}\), \(i_{2}\) sont dits complémentaires. Les paraboliques associés sont opposés ([…]), et leur intersection est un Levi commun.

94s'il y a aussi la structure intrinsèque de Tate, définissant donc \[\xi : G' \longrightarrow \mathbb{G}_{m}\] alors \(\xi\, i_{1}(\lambda) = \lambda^{n}\), et l'entier \(n\) est le degré du […] « motif de Tate » effectif (noté \(T\) ou \((\mathbb{G}_{m})^{-1}\)).

Dans le cas auquel nous nous intéressons, i.e. dans […], […] le cas est qu'il y a compatibilité avec la structure de Tate. — Donc : \[\xi\, i_{1}(\lambda) = \lambda\]

Exemple. Soit \(S\) préschéma [connexe] sur \(\underline{\mathbb{Q}}\), et \(\mathcal{M}\) la catégorie des motifs sur \(S\). Le foncteur de De Rham sur \(\mathcal{M}\) est donc à valeurs dans les Modules loc. libres sur \(S\), et est admissible.

À ce titre, il définit donc une donnée \(F'\) (qui n'est autre que le foncteur de Hodge) […] \(G'\), \(i : \mathbb{G}_{m} \longrightarrow G'\), (d'où \(\mathfrak{g}'^{\geq}\)) et un \(G'^{\geq}\)-torseur \(Q\). (Étant donné la structure de \(G'^{\geq}\) (par univ.), il s'ensuit d'ailleurs que si \(S\) est réduit à un pt, \(Q\) est trivial, donc le foncteur de De Rham filtré splitte (mais le splitting du foncteur n'est pas canonique, en particulier n'est pas stable par les autom. de ce foncteur [ou par ceux qui respectent la filtration],

95et induisant l'identité sur les gradués associés.

Supposons maintenant \(S = \operatorname{Spec} K\), \(K\) un corps, et considérons un hom. \(i : K \to \mathbb{C}\). Alors la donnée de \(i\) définit le foncteur-fibre de Betti, soit \(F''\), à valeurs dans \(\mathbb{Q}\).

De plus, on a des deux isom. canoniques \[F''_{\mathbb{C}} \;\overset{\text{Gaga}}{\simeq}\; F_{\mathbb{C}} \;\overset{\substack{\text{th. de Hodge}\\ \text{des intégrales harmoniques}}} {\simeq}\; F'_{\mathbb{C}}\]

D'ailleurs, l'isom. \(F_{\mathbb{C}} \simeq F'_{\mathbb{C}} \simeq \operatorname{gr}(F_{\mathbb{C}})\) est déduit de l'isom. \(F_{\mathbb{C}} \simeq F''_{\mathbb{C}}\), traduisant une structure réelle sur \(F_{\mathbb{C}}\), donnée par une involution \(\sigma\), et la filtration [conj.] de \(F_{\mathbb{C}}\), par \[F^{p,q}_{\mathbb{C}} = F^{(p)}_{\mathbb{C}} \cdot \sigma\bigl( F^{(q)}_{\mathbb{C}} \bigr) \dots\]

96Soit \(G\) un schéma en gr. affine sur un corps \(k\), \(i : \mathbb{G}_{m_{k}} \longrightarrow G\) un hom., i.e. une structure de \(\otimes\)-graduation sur le foncteur oubli sur \(\operatorname{Rep}(G)\).

Cette \(\otimes\)-graduation définit une \(\otimes\)-filtration, et on peut regarder les \(k\)-groupes \[U \subset P \subset G \qquad P = \underline{\operatorname{Aut}}_{\otimes,\,\mathrm{filt}}\, T , \quad U = \underline{\operatorname{Aut}}_{\otimes,\,\mathrm{filt},\, \mathrm{id.\ sur\ Gr}}(T)\]

Lorsque \(G\) [est réductif sur \(k\) de car. \(0\), et que] admet un module fidèle \(V\), […] alors \(V\) est gradué par \(\operatorname{Gr}^{i}(V)\), filtré par \[\operatorname{Fil}^{p}(V) = \sum_{i \geq p} \operatorname{Gr}^{i}(V)\] Sous le \(\operatorname{Gr}\) subsiste un indice biffé que la page ne détermine pas. et \(P\) […] est le \(k\)-groupe de \(\underline{\operatorname{Aut}}_{k}(V)\) laissant invariante [cette] filtration, et \(U\) le sous-gpe noyau de \(P \to \prod_{i} \underline{\operatorname{Aut}}_{k} \operatorname{Gr}^{i}(V)\).

Dans le cas général, \(P\) et \(U\) sont des intersections de tels gr. pour \(P_{V}\), \(U_{V}\) (\(V \in \mathcal{O}b \operatorname{Rep}_{k}(G)\)) ; si \(P\) […], il y a un \(V\) tel que \(P_{V} = P\), \(U_{V} = U\).

Précisons dans \(\mathfrak{g} = \operatorname{Lie} G\), \(\xi \in \mathfrak{g}\) définit l'image du générateur can. de \(\mathfrak{t} = \operatorname{Lie} \mathbb{G}_{m}\) par \(\operatorname{Lie} i : \mathfrak{t} \to \mathfrak{g}\), et \(\mathfrak{g} = \sum_{\alpha \in \mathbb{Z}} \mathfrak{g}^{\alpha}\) la décomposition de \(\mathfrak{g}\) suivant les car. de \(\mathbb{G}_{m}\) opérant sur \(\mathfrak{g}\), \(V = \sum_{\beta \in \mathbb{Z}} V^{\beta}\) de même. On a donc \[[\mathfrak{g}^{\alpha}, \mathfrak{g}^{\beta}] \subset \mathfrak{g}^{\alpha + \beta} \qquad \mathfrak{g}^{\alpha} \cdot V^{\beta} \subset V^{\alpha + \beta}\]

L'algèbre de Lie \(\mathfrak{p}\) de \(P_{V}\) est formée des

97\(x \in \mathfrak{g}\) tels que \[x V^{\beta} \subset \sum_{\beta' \geq \beta} V^{\beta'} \qquad \text{pour tout } \beta \in \mathbb{Z} .\] Il suffit que l'on ait \[x \in \sum_{\alpha \geq 0} \mathfrak{g}^{\alpha} ,\] et c'est aussi nécessaire si \(V\) est un module fidèle, on écrit \(x = \sum_{\alpha \in \mathbb{Z}} x^{\alpha}\), et si \(\alpha\) \(\mu\) est le plus petit des \(\alpha\) tels que \(x^{\alpha} \neq 0\), i.e. \(x = x^{\mu} + \sum_{\lambda > \mu} x^{\lambda}\), \(x^{\mu} \neq 0\) : […] \(\exists\, \alpha\) tel. que \(x^{\mu} \cdot V^{\alpha} \neq \emptyset\), donc et comme \[x^{\mu} V^{\alpha} \subset V^{\alpha + \mu}\] il faut qu'on ait \(\nu + \mu \leq \alpha\) i.e. \(\mu \leq 0\). Les deux inégalités sont écrites « \(\leq\) » sur la page, et le premier terme se lit \(\nu\) ; la condition d'invariance donnée quatre lignes plus haut demanderait \(\alpha + \mu \geq \alpha\), donc \(\mu \geq 0\), en accord avec \(x \in \sum_{\alpha \geq 0} \mathfrak{g}^{\alpha}\). On laisse comme il est écrit. On voit […] de même que si \(V\) est fidèle, on a \(\mathfrak{u} = \operatorname{Lie} U = \sum_{\alpha > 0} \mathfrak{g}^{\alpha}\). Par passage à la limite, on obtient aisément, dans tous les cas \[\mathfrak{p} = \sum_{\alpha \geq 0} \mathfrak{g}^{\alpha} , \qquad \mathfrak{u} = \sum_{\alpha > 0} \mathfrak{g}^{\alpha} .\]

Supposons […] comme […] que \(P = P_{V}\), \(U = U_{V}\), […] donc, si \(V\) […] fidèle […] \(P' \subset P\) […] réciproque […] \(P' = \underline{\operatorname{Aut}}(V)\), et \(U'\) le […] qui stabilise la filtration de \(V\), et \(U'\) le […] qui induit id sur \(\operatorname{Gr}(V)\), \[P = G \cap P' , \qquad U = G \cap U'\] par suite on a une imm. fermée \[G/P \hookrightarrow G'/P'\] Tout le bas de la page est enfermé dans une grande boucle tracée à la main et traversé de longs traits ; les deux formules relevées s'y lisent seules avec certitude.

98Proposition. Supposons [\(\underline{G}\) connexe, de t.f., et] \(k\) parfait […] \(G\) réductif. Alors \(P\) est un sous-gr. de type parabolique, […] \(U\) son radical unipotent, [et leurs formations commutent : \(U\) est […] c.-à-d. à b.n.] Dans tous les cas, la […] et […] \(\Longrightarrow\) \(U\) unipotent … Vérifier que \(G\) sans connexité […] ?

Supposons d'abord \(G\) réductif. En car. \(0\), l'assertion résulte aisément de la théorie […]. En car. \(p > 0\), on […] que […] des voisins de […] et que […] il faut sans doute travailler un peu …

Formation de Corollaire. Toute \(\otimes\)-filtration d'un foncteur fibre sur un corps parfait [[ou même sur un […] quelc.]] splitte …

Démonstration. En effet, \(H^{1}(k, U) = 0\) par Rosenlicht …

Remarque. Soit \(T = \operatorname{Im} i\), et soit \(U'\) une […] dans \(U\). Alors (si \(k\) […]) l'ensemble des \(u T u^{-1}\) (\(u \in U'\)) engendre […] le groupe […] \(T \cdot U\) (produit semi-direct) [[En […], […] l'algèbre de Lie \(\underline{\mathfrak{a}}\) contient les […] \(u \in U\), donc [en car. \(0\)] donc les […] \([\mathfrak{u}, x]\), […], donc \(\mathfrak{u}\)]] les \(\mathfrak{g}^{\alpha}\), \(\alpha > 0\) [car \([\mathfrak{g}^{\alpha}, x] = \alpha\, \mathfrak{g}^{\alpha} = \mathfrak{g}^{\alpha}\)], donc \(\mathfrak{u}\).

D'où […] pour toute représentation \(V\) de \(G\), \[V^{T \cdot U} \left[ \; = \bigcap_{u \in U'} V^{u T u^{-1}} \right]\] \[V^{G} = V^{P} , \qquad P \text{ étant parabolique,}\]

[…] \(V^{P} = V^{T \cdot U}\) […] \(V^{U}\) […] \(V\) sur \(P/U\) […] \(V^{P/U} = V^{T}\) […] \(\operatorname{Lie} G\) […] rang \(1\) […] d'ailleurs […] Ce dernier bloc est enfermé dans un cadre et barré d'une dizaine de longues diagonales ; seules les formules relevées se lisent, la prose qui les relie est perdue.

Notes Saavedra (page 99)

Ces deux mots, de sa main sur un feuillet par ailleurs vierge, nomment la suite : le tapuscrit qu'ils annoncent commence après ce lot.