Fonds Grothendieck, cote n° 10, pages 81–100

Catégories tannakiennes définies par des cristaux, fin (pages 81 à 83)

Suite et fin du tapuscrit commencé page 66 et interrompu en bas de la page 80 sur « D'ailleurs, ». Comme dans le lot précédent, les lettres de groupes, les indices a et plusieurs signes manquaient à la machine et sont encrés de sa main ; on ne les relève pas un à un. Ses insertions sont données entre crochets, ses suppressions barrées, ses notes marginales en retrait.

les E_{i} qui sont à composantes isopentiques \lambda tels que 0 < \lambda \leq 1 sont exactement les modules de Dieudonné des groupes formels p-divisibles sur k (la catégorie de ces modules de Dieudonné ~~correspond~~ est opposée à la catégorie de ces groupes, mod isogénie).

D'autre part, un F-isocristal est d'amplitude isopentique contenue dans [0,1] (intervalle fermé) sss c'est le module de Dieudonné d'un groupe de Barsotti-Tate sur k (la catégorie des F-isocristaux envisagée étant anti-équivalente à la catégorie des groupes de B.T. sur k mod. isogénie …) : le F-isocristal unité correspond au groupe de B.T. ind-étale \underline{\mathbb{Q}}_{p}/\underline{\mathbb{Z}}_{p} sur k.

Supposant toujours k parfait, la condition ~~qu'il existe~~ que (E, F_{E}) soit effectif et qu'il existe un V_{i} effectif tel que F V_{i} = V_{i} F = p^{i}\,\mathrm{id} (cf n° 2) signifie que E est d'amplitude isopentique contenue dans [0,i]. « effectif » est tapé en interligne ; un trait à l'encre le rattache au point situé entre V_{i} et « tel », et le même trait traverse « tel ». La page ne décide pas si l'insertion remplace « tel que » ou s'y ajoute.

Il est clair alors que pour \underline{\mathbb{F}}_{q} comme pour \underline{\mathbb{F}}_{p}, la réponse à 6.2 est affirmative, donc les considérations du n° 7 s'appliquent : on trouve la structure de \underline{G}(\underline{\mathbb{F}}_{q}) comme gerbe + ses structures supplémentaires examinées jusqu'à présent.

Le foncteur fibre canonique (E,F_{E}) \mapsto E sur \mathrm{FCriso}(\underline{\mathbb{F}}_{q}) ~~à valeurs~~ sur le corps K_{a} = K(\underline{\mathbb{F}}_{q = p^{a}}) (i.e. section canonique de \underline{G}(\underline{\mathbb{F}}_{q}) sur K_{a}) est muni d'une structure supplémentaire, savoir un automorphisme linéaire F_{E}^{a}, de sorte que le groupe ~~algébrique~~ sur k K_{a} correspondant à cette section de \underline{G}(\underline{\mathbb{F}}_{q}) sur K_{a}, savoir le sous-groupe G_{a} de G_{K_{a}} ouvert d'indice a (correspondant au sous-groupe des racines a-èmes de 1 dans le groupe des caractères \bar{\underline{\mathbb{Q}}}^{*} de G_{K_{a}}), prendre plutôt = f_{q} (comme un automorph. du foncteur identique de \mathrm{FCriso}(\underline{\mathbb{F}}_{q}), soit donc un élément de G_{p}(\underline{\mathbb{Q}}_{p}) …

est muni d'un élément f_{q} de G_{a}(K_{a}) (« Frobenius relatif à \underline{\mathbb{F}}_{q} »). Ce dernier n'est autre d'ailleurs que f^{a}, où f est le générateur canonique de G (le Frobenius absolu !). ~~on voit donc que G_{a} est encore engendré par~~ Notons que a \cdot \mathrm{Id}_{G} est un monomorphisme (car x \mapsto x^{a} est un épimorphisme dans \bar{\underline{\mathbb{Q}}}^{*}_{p}), donc induit un isomorphisme entre G_{K_{a}} et G_{a} \simeq G(\underline{\mathbb{F}}_{q}), transformant le frobenius ~~relatif~~ absolu en le frobenius relatif à \underline{\mathbb{F}}_{q}. Grâce à ceci, on voit :

Proposition 10.1. La catégorie \mathrm{FCriso}(\underline{\mathbb{F}}_{q})^{\mathrm{tann.}} \otimes_{\underline{\mathbb{Q}}_{p}} K_{a} est équivalente à la catégorie \mathrm{FCriso}(\underline{\mathbb{F}}_{p})^{\mathrm{tann.}} \otimes_{\underline{\mathbb{Q}}_{p}} K_{a}, avec f_{q} correspondant à f^{a} (où on peut, si on veut, considérer f_{q} et f comme des endomorphismes des foncteurs identiques de \mathrm{FCriso}(\underline{\mathbb{F}}_{q}) resp. \mathrm{FCriso}(\underline{\mathbb{F}}_{p})), et correspondance des foncteurs fibres canoniques. i.e. la catégorie des couples (E, F'_{E}) d'un vectoriel sur K_{a} et d'un automorphisme de ce vectoriel …)

Le foncteur déduit du changement de base \underline{\mathbb{F}}_{p} \to \underline{\mathbb{F}}_{q} \mathrm{FCriso}(\underline{\mathbb{F}}_{p}) \otimes_{\underline{\mathbb{Q}}_{p}} K_{a} \longrightarrow \mathrm{FCriso}(\underline{\mathbb{F}}_{q}) \otimes_{\underline{\mathbb{Q}}_{p}} K_{a} s'identifie, par l'équivalence précédente, au foncteur qui à tout couple (E, F_{E}) d'un vectoriel sur K_{a} et d'un automorphisme dudit, associe le couple (E, F_{E}^{a}) ; analogue pour \mathrm{FCriso}(\underline{\mathbb{F}}_{1}) \to \mathrm{FCriso}(\underline{\mathbb{F}}_{q}) \otimes_{\underline{\mathbb{Q}}_{p}} K_{a} ; il s'identifie : (E, F_{E}) \mapsto (E, F_{E}^{a}). L'indice du premier \underline{\mathbb{F}} de l'ajout est un simple trait vertical ; le contexte appellerait p. On laisse comme il est écrit.

10.2. Comme on connait \underline{G}(\underline{\mathbb{F}}_{q}) comme une sous-gerbe G_{a} de G = \underline{G}(\underline{\mathbb{F}}_{p}), et que celle-ci contient \underline{H}, on connait donc en principe l'inclusion \underline{H} \longrightarrow G_{a} = \underline{G}(\underline{\mathbb{F}}_{q}) , donc aussi le foncteur \operatorname{Rep}(G_{a}) \simeq \mathrm{FCriso}(\underline{\mathbb{F}}_{q}) \longrightarrow \operatorname{Rep}(\underline{H}) , ~~considérons~~ et le foncteur correspondant \mathrm{FCriso}(\underline{\mathbb{F}}_{q}) \otimes_{\underline{\mathbb{Q}}_{p}} K_{a} \longrightarrow \operatorname{Rep}(\underline{H}) \otimes_{\underline{\mathbb{Q}}_{p}} K_{a} . Cette dernière phrase et la formule qui la suit sont biffées d'un long trait à la main.

L'effet de ces foncteurs sur les classes d'isomorphie d'éléments est connu (comme chaque fois qu'il s'agit d'un morphisme d'une ~~gerbe de~~ catégorie tannakienne à lien commutatif dans une autre à lien de type multiplicatif) par la connaissance de l'homomorphisme de liens correspondant

\underline{H} \xrightarrow{\;u_{a}\;} G_{a} \longrightarrow G , lui-même déterminé par la connaissance de l'homomorphisme en sens inverse sur les groupes de caractères

\begin{tikzcd} \underline{\mathbb{Q}} & \bar{\underline{\mathbb{Q}}}^{*} \arrow[l, "u_{a}^{*}"'] & \bar{\underline{\mathbb{Q}}}^{*} \arrow[l, "\lambda^{a}"'] \arrow[ll, bend left=25, "|\lambda|"'] \end{tikzcd}

On lit sur ce diagramme que, pour l'isomorphisme naturel du groupe des caractères de G_{a} avec \bar{\underline{\mathbb{Q}}}^{*}, provenant de l'élément f_{q} \in G_{a}(\underline{\mathbb{Q}}), on ~~qui~~ donne u_{a}^{*}(\lambda) = \frac{v_{p}(\lambda)}{a} .

On trouve donc le résultat suivant de Manin, énoncé sous une forme plus jolie et débarássé d'hypothèses restrictives parasites : Sic, l'accent est de la machine.

Proposition 10.3. Soit (E, F_{E}) un F-isocristal sur \underline{\mathbb{F}}_{q}, q = p^{a}, et considérons le polynôme caractéristique f(T) de F_{E}^{a}, soient \lambda_{1}, \dots, \lambda_{N} (N = \operatorname{rang} E) ses racines, et c_{1}, \dots, c_{N} leurs valeurs absolues normalisées (c_{i} = v_{p}(\lambda_{i}), v_{p}(p) = 1). Alors ~~sur~~ dans \operatorname{Rep}(\underline{H}) \otimes_{\underline{\mathbb{Q}}_{p}} \bar{\underline{\mathbb{Q}}}_{p} \simeq \mathrm{FCriso}(\underline{\mathbb{F}}_{q}) \otimes_{\underline{\mathbb{Q}}_{p}} \bar{\underline{\mathbb{Q}}}_{p}, l'image de (E, F_{E}) a comme pentes les nombres c_{1}/a, \dots, c_{N}/a, de sorte que, si les différentes pentes possibles sont ~~p_{i} avec multiplicités~~ p_{i} = s_{i}/r_{i} (s_{i}, r_{i} \in \underline{\mathbb{Z}}, r_{i} \geq 1, (s_{i}, r_{i}) = 1) avec multiplicité d_{i}, on a r_{i} \mid d_{i} i.e. d_{i} = d_{i}' r_{i}, et l'image de (E, F_{E}) dans \mathrm{FCriso}(\bar{\underline{\mathbb{F}}}_{p}) est isomorphe à \sum_{i} E_{p_{i}}^{d_{i}'}. N.B. ou : — prendre plutôt la val. v_{q} telle que v_{q}(q) = 1, i.e. les valeurs propres v_{q}(\lambda_{i}) (sans diviser par a))

Cor. Le mot est écrit de sa main et souligné ; rien ne le suit, et le tapuscrit s'arrête là.

Topos classifiant d'un pro-groupe (page 85)

Feuillet d'un tout autre tapuscrit, corrigé de sa main : c'est lui qui ajoute « pro- », les lettres de groupes, les numéros de sous-section et « (à gauche, disons) ».

2.7. Topos classifiant d'un pro-~~profini~~ groupe.

2.7.1 Soit \underline{G} = (G_{i})_{i \in I} un système projectif ~~strict~~ de groupes, avec G_{i}, I \in \mathcal{U}. On suppose le système projectif strict, i.e. les morphismes de transition G_{j} \to G_{i} surjectifs. Si E est un ensemble, on ~~dit que \underline{G} opère sur E~~ appelle opération de \underline{G} sur E (à gauche, disons) la structure suivante : a) une famille (E_{i})_{i \in I} de parties de E, de réunion E ; b) pour tout i \in I, une opération du groupe G_{i} sur l'ensemble E_{i} ; on suppose de plus ces données soumises à la condition suivante : pour j \geq i, E_{i} est le sous-ensemble de E_{j} formé des éléments fixes sous le groupe noyau de G_{j} \to G_{i}. On dit aussi que \underline{G} opère sur E (à gauche) si on s'est donnée une opération de \underline{G} sur E (à gauche). Les ensembles \in \mathcal{U} munis d'une opération de \underline{G} forment une catégorie de façon évidente. On constate aussitôt, grâce au critère de Giraud, que cette catégorie est un \mathcal{U}-topos. On le note B_{\underline{G}} et on l'appelle topos classifiant de \underline{G}. Lorsque I admet un objet initial i_{0}, posant G = G_{i_{0}}, on retrouve le topos classifiant de 2.3.

2.7.2 Un autre exemple important est celui où les groupes G_{i} sont finis, de sorte que G = \varprojlim G_{i} est un groupe topologique compact totalement discontinu, ou groupe profini. Une opération de \underline{G} sur E revient alors à une opération de G sur E qui est continue, ou ce qui revient au même, telle que le stabilisateur de tout point de E est un sous-groupe ouvert de G. Le topos classifiant B_{\underline{G}} sera aussi noté B_{G}, où, bien entendu, G doit être considéré comme muni de sa topologie profinie. à la ligne

2.7.3. Il est facile de vérifier, en utilisant les remarques de 2.6, que le topos B_{\underline{G}} défini par un système projectif strict de \underline{G} = (G_{i})_{i \in I} de groupes n'est équivalent à un topos de la forme \hat{C} que si ce système projectif est essentiellement constant ; dans le cas d'un groupe profini, cela signifie que ce groupe est en fait fini.

Les types simples, un recensement (page 86)

De sa main seule, au dos du feuillet précédent. Les formes de la colonne de droite portent un tilde ; l'exposant « ad » est celui de la forme adjointe.

A_{n}, A_{n}^{\mathrm{ad}}, (A_{n,d}) (d \mid n, 1 \leq d < n) ; en regard : \tilde{A}_{n}, \tilde{A}_{n}^{\mathrm{ad}}, (\tilde{A}_{n,d}) B_{n}, B_{n}^{\mathrm{ad}} C_{n}, C_{n}^{\mathrm{ad}} D_{n}, D_{n}^{\mathrm{ad}}, D_{n}', D_{n}'' (si n pair \geq 6) ; en regard : \tilde{D}_{n}, \tilde{D}_{n}^{\mathrm{ad}}, \tilde{D}_{n}' E_{6}, E_{6}^{\mathrm{ad}} ; en regard : \tilde{E}_{6}, \tilde{E}_{6}^{\mathrm{ad}} E_{7}, E_{7}^{\mathrm{ad}} E_{8} F_{4}. G_{2}

21 cas à examiner

a) un produit des groupes b) un des Chevalley

Filtration des foncteurs fibres (pages 88 à 98)

Le titre est de sa main, sur un feuillet par ailleurs vierge qui précède la suite (page 87). Tout ce qui suit est de sa main. Il numérote lui-même les feuillets : la page 88 porte son n° 1, la page 89 son n° 2, la page 92 son n° 3. Il n'y souligne pas les corps de nombres et on ne le supplée pas.

Filtration sur foncteur fibre pour catégorie tensorielle

Soit E \mathcal{M} une catégorie tensorielle ~~sur~~ « rigide » sur un corps k, S un schéma sur k, F un foncteur fibre relatif : \mathcal{M} \longrightarrow \text{faisceaux localement libres sur } S .

Une filtration de F par des sous-foncteurs F^{(p)} est dite admissible si elle satisfait aux conditions :

(0) Chaque F^{(p)}(M) est loc. facteur direct dans M (\forall M \in \mathcal{O}b\,\mathcal{M}) (i) Additivité : F^{(p)}(M \ast N) = F^{(p)} M \ast F^{(p)} N (ii) Multiplicativité : F^{(p)}(M \otimes N) = \sum_{q + r = p} F^{q}(M) \otimes F^{r}(N) (iii) F^{p}(\check{M}) est l'orthogonal de F^{-p}(M) (iv) Pour chaque M, la filtration F^{(p)}(M) est loc. exhaustive et séparée.

Le signe de (i) est une petite étoile à six branches, donnée ici \ast ; l'exposant de (iii) est repassé sur la page.

Considérons donc le foncteur M \rightsquigarrow \operatorname{gr} F(M) . En vertu de (0), il est à valeurs dans les modules loc. cohérents (p. libres) sur S, (i) indique qu'il est additif, (ii) qu'il est multiplicatif, et (iii) qu'il commute à : \vee. Le signe final est le petit « v » de la dualité, celui que (iii) écrit \check{M}.

N.B. ~~Ses conditions impliquent~~ (iii) et (iv) exigent F^{(0)}(\mathbf{1}) = \mathbf{1}, F^{(1)}(\mathbf{1}) = 0, d'où \operatorname{gr} F(\mathbf{1}) = \mathbf{1} en degré 0. Si \mathcal{M} ½simple, alors \operatorname{gr} F exact (sinon il faut en mettre une condition dans (i).)

Son n° 2. G = \underline{\operatorname{Aut}}_{S}(F) (schéma en groupes affine sur S), alors \operatorname{gr}(F), en tant que foncteur-fibre (à un oubli ), est défini par un G-torseur P, \operatorname{gr}(F) \simeq F^{P}, P = \underline{\operatorname{Isom}}_{S}(F, \operatorname{gr} F). (De plus, la graduation sur ~~\otimes~~ le foncteur ~~sur~~ \operatorname{gr}(F) est définie par un homomorphisme \mathbb{G}_{m_{S}} \xrightarrow{\;i\;} G^{P} = G' . )

Toutes ces constructions sont locales et compatibles avec changement de base. Parmi les isom. de F sur \operatorname{gr}(F), on distingue ceux et induisant l'identité sur les gradués associés, qui respectent la filtration. Ils forment () un sous-foncteur Q de P, qui est un quasi-torseur à g. sous le sous-groupe H' de G'^{P} et induisant l'identité sur \operatorname{gr}, qui respectent la filtration canonique de F' = \operatorname{gr} F, et une torseur à droite sous le sous-groupe analogue H de \underline{Q}. bien puisque c'est un torseur,

Cependant, il faut démontrer que loc. Q admet une section, donc qu'il existe un isom. respectant les filtrations de F et F' et induisant l'identité sur les gr. associés. (en supposant \mathcal{M} de type fini)

On peut que F et F' isomorphes, s'il est vrai que deux foncteurs fibres sont isomorphes loc. , du moins ~~en tout cas~~ si le de , en supposant que \mathcal{M} ½simple ( comme lien de schémas et plat sur S, ). Les six premières lignes de la page sont écrites à toute vitesse, sur un passage déjà repris ; seuls les mots donnés se lisent.

Déterminons le groupe H', et pour cela choisissons un générateur M, alors G' = \underline{\operatorname{Aut}}_{\mathcal{O}_{S}}(F'(M)), et H' est le sous-groupe de G' formé des g' tels que, \forall p \in \mathbb{Z}, g' x_{p}^{(p)} \equiv x_{p}^{(p)} \qquad \bigl( F'^{(p+1)}(M) \bigr) Le membre de droite est repris et biffé ; l'expression entre parenthèses est portée au-dessus du passage biffé, et un « \in » clôt la ligne sans complément. Construction intrinsèque de G'^{\mathrm{ad}}, \mathbb{G}_{m} \xrightarrow{\;i\;} G' (comme pour G).

Les transformations infinitésimales de H' s'obtiennent ainsi : comme de \mathfrak{g} , i.e. i : \mathbb{G}_{m} \to G', \mathfrak{g}' se décompose suivant les caractères de \mathbb{G}_{m}, et on a \boxed{\;\mathfrak{h}' = \sum_{n \geq 1} \mathfrak{g}'_{n}\;}

N.B. Le sous-groupe qui respecte la filtration, : l'algèbre de Lie \mathfrak{b}' = \sum_{n \geq 0} \mathfrak{g}'_{n}. C'est le produit semi-direct de \mathfrak{g}, et de \mathfrak{h}'. \mathfrak{h}' est nilpotente, et correspond d'ailleurs à un groupe unipotent, tandis que \mathfrak{b}' est parabolique ; le centralisateur de i est un sous-groupe de Levi. « groupe » est barré et « unipotent » repris au-dessus.

N.B. Étudier les relations entre « ss-gpes à 1 paramètre » et sous-groupes paraboliques avec déc. de Levi. N.B. H' gpes connexes (étant unipotent !)

Son n° 3. Bien entendu, on récupère F, donc aussi la filtration de F connaissant F' = F^{P}, i : \mathbb{G}_{m} \to G' = G^{P} \bigl( = \underline{\operatorname{Ad}}_{S}(P) \bigr), et le sous-H'-torseur à gauche Q de P.

En résumé (si k est , \mathcal{M} ½simple), la donnée d'un ~~foncteur~~ fibre filtré admissible sur \mathcal{M}, à « valeurs dans S », équivaut à la donnée

(i) d'un foncteur fibre gradué admissible sur \mathcal{M}, F', à valeurs dans S, i.e. d'un foncteur fibre F' sur \mathcal{M}, et d'un hom. i : \mathbb{G}_{m_{S}} \longrightarrow G' = \underline{\operatorname{Aut}}_{S} F' ; (ii) d'un ~~G'^{\geq}~~-torseur P Q' à droite, H' ~~groupe~~ uni-parabolique de G' défini par i.

À ces données, on associe le foncteur fibre F = F'^{Q'}, avec la filtration déduite par descente de la filtration ~~canonique~~ de F' ~~gradué~~ sa graduation. D'ailleurs Q la filtration du foncteur F « splitte » …

Si \mathcal{M} est muni ~~des~~ de la donnée et des structures intrinsèques, dans : i : \mathbb{G}_{m_{S}} \to G' central, et : i_{1}, il convient de prendre i_{2} défini par i_{1}(\lambda)\, i_{2}(\lambda) = f(\lambda) Alors i_{1}, i_{2} sont dits complémentaires. Les paraboliques associés sont opposés (), et leur intersection est un Levi commun.

s'il y a aussi la structure intrinsèque de Tate, définissant donc \xi : G' \longrightarrow \mathbb{G}_{m} alors \xi\, i_{1}(\lambda) = \lambda^{n}, et l'entier n est le degré du « motif de Tate » effectif (noté T ou (\mathbb{G}_{m})^{-1}).

Dans le cas auquel nous nous intéressons, i.e. dans , le cas est qu'il y a compatibilité avec la structure de Tate. — Donc : \xi\, i_{1}(\lambda) = \lambda

Exemple. Soit S préschéma connexe sur \underline{\mathbb{Q}}, et \mathcal{M} la catégorie des motifs sur S. Le foncteur de De Rham sur \mathcal{M} est donc à valeurs dans les ~~Modules~~ loc. libres sur S, et est admissible.

À ce titre, il définit donc une donnée F' (qui n'est autre que le foncteur de Hodge) G', i : \mathbb{G}_{m} \longrightarrow G', (d'où \mathfrak{g}'^{\geq}) et un G'^{\geq}-torseur Q. (Étant donné la structure de G'^{\geq} (par univ.), il s'ensuit d'ailleurs que si S est réduit à un pt, Q est trivial, donc le foncteur de De Rham filtré splitte (mais le splitting du foncteur n'est pas canonique, en particulier n'est pas stable par les autom. de ce foncteur ou par ceux qui respectent la filtration,

et induisant l'identité sur les gradués associés.

Supposons maintenant S = \operatorname{Spec} K, K un corps, et considérons un hom. i : K \to \mathbb{C}. Alors la donnée de i définit le foncteur-fibre de Betti, soit F'', à valeurs dans \mathbb{Q}.

De plus, on a ~~des~~ deux isom. canoniques F''_{\mathbb{C}} \;\overset{\text{Gaga}}{\simeq}\; F_{\mathbb{C}} \;\overset{\substack{\text{th. de Hodge}\\ \text{des intégrales harmoniques}}} {\simeq}\; F'_{\mathbb{C}}

D'ailleurs, l'isom. F_{\mathbb{C}} \simeq F'_{\mathbb{C}} \simeq \operatorname{gr}(F_{\mathbb{C}}) est déduit de l'isom. F_{\mathbb{C}} \simeq F''_{\mathbb{C}}, traduisant une structure réelle sur F_{\mathbb{C}}, donnée par une involution \sigma, et la filtration conj. de F_{\mathbb{C}}, par F^{p,q}_{\mathbb{C}} = F^{(p)}_{\mathbb{C}} \cdot \sigma\bigl( F^{(q)}_{\mathbb{C}} \bigr) \dots

Soit G un schéma en gr. affine sur un corps k, i : \mathbb{G}_{m_{k}} \longrightarrow G un hom., i.e. une structure de \otimes-graduation sur le foncteur oubli sur \operatorname{Rep}(G).

Cette \otimes-graduation définit une \otimes-filtration, et on peut regarder les k-groupes U \subset P \subset G \qquad P = \underline{\operatorname{Aut}}_{\otimes,\,\mathrm{filt}}\, T , \quad U = \underline{\operatorname{Aut}}_{\otimes,\,\mathrm{filt},\, \mathrm{id.\ sur\ Gr}}(T)

Lorsque G est réductif sur k de car. 0, et que admet un module fidèle V, alors V est gradué par \operatorname{Gr}^{i}(V), filtré par \operatorname{Fil}^{p}(V) = \sum_{i \geq p} \operatorname{Gr}^{i}(V) Sous le \operatorname{Gr} subsiste un indice biffé que la page ne détermine pas. et P est le k-groupe de \underline{\operatorname{Aut}}_{k}(V) laissant invariante cette filtration, et U le sous-gpe noyau de P \to \prod_{i} \underline{\operatorname{Aut}}_{k} \operatorname{Gr}^{i}(V).

Dans le cas général, P et U sont des intersections de tels gr. pour P_{V}, U_{V} (V \in \mathcal{O}b \operatorname{Rep}_{k}(G)) ; si P , il y a un V tel que P_{V} = P, U_{V} = U.

~~Précisons~~ dans \mathfrak{g} = \operatorname{Lie} G, \xi \in \mathfrak{g} définit l'image du générateur ~~can.~~ de \mathfrak{t} = \operatorname{Lie} \mathbb{G}_{m} par \operatorname{Lie} i : \mathfrak{t} \to \mathfrak{g}, et \mathfrak{g} = \sum_{\alpha \in \mathbb{Z}} \mathfrak{g}^{\alpha} la décomposition de \mathfrak{g} suivant les car. de \mathbb{G}_{m} opérant sur \mathfrak{g}, V = \sum_{\beta \in \mathbb{Z}} V^{\beta} de même. On a donc [\mathfrak{g}^{\alpha}, \mathfrak{g}^{\beta}] \subset \mathfrak{g}^{\alpha + \beta} \qquad \mathfrak{g}^{\alpha} \cdot V^{\beta} \subset V^{\alpha + \beta}

L'algèbre de Lie \mathfrak{p} de P_{V} est formée des

x \in \mathfrak{g} tels que x V^{\beta} \subset \sum_{\beta' \geq \beta} V^{\beta'} \qquad \text{pour tout } \beta \in \mathbb{Z} . Il suffit que l'on ait x \in \sum_{\alpha \geq 0} \mathfrak{g}^{\alpha} , et c'est aussi nécessaire si V est un module fidèle, on écrit x = \sum_{\alpha \in \mathbb{Z}} x^{\alpha}, et si ~~\alpha~~ \mu est le plus petit des \alpha tels que x^{\alpha} \neq 0, i.e. x = x^{\mu} + \sum_{\lambda > \mu} x^{\lambda}, x^{\mu} \neq 0 : \exists\, \alpha tel. que x^{\mu} \cdot V^{\alpha} \neq \emptyset, donc et comme x^{\mu} V^{\alpha} \subset V^{\alpha + \mu} il faut qu'on ait \nu + \mu \leq \alpha i.e. \mu \leq 0. Les deux inégalités sont écrites « \leq » sur la page, et le premier terme se lit \nu ; la condition d'invariance donnée quatre lignes plus haut demanderait \alpha + \mu \geq \alpha, donc \mu \geq 0, en accord avec x \in \sum_{\alpha \geq 0} \mathfrak{g}^{\alpha}. On laisse comme il est écrit. On voit de même que si V est fidèle, on a \mathfrak{u} = \operatorname{Lie} U = \sum_{\alpha > 0} \mathfrak{g}^{\alpha}. Par passage à la limite, on obtient aisément, dans tous les cas \mathfrak{p} = \sum_{\alpha \geq 0} \mathfrak{g}^{\alpha} , \qquad \mathfrak{u} = \sum_{\alpha > 0} \mathfrak{g}^{\alpha} .

Supposons comme que P = P_{V}, U = U_{V}, donc, si V fidèle P' \subset P réciproque P' = \underline{\operatorname{Aut}}(V), et U' le qui stabilise la filtration de V, et U' le qui induit id sur \operatorname{Gr}(V), P = G \cap P' , \qquad U = G \cap U' ~~par suite on a une imm. fermée~~ G/P \hookrightarrow G'/P' Tout le bas de la page est enfermé dans une grande boucle tracée à la main et traversé de longs traits ; les deux formules relevées s'y lisent seules avec certitude.

Proposition. Supposons \underline{G} connexe, de t.f., et ~~k parfait~~ G réductif. Alors P est un sous-gr. de type parabolique, U son radical unipotent, et leurs formations commutent : ~~U est c.-à-d. à b.n.~~ ~~Dans tous les cas, la et~~ \Longrightarrow U unipotent … Vérifier que G sans connexité ?

Supposons d'abord G réductif. En car. 0, l'assertion résulte aisément de la théorie . En car. p > 0, ~~on que des voisins de et que~~ il faut sans doute travailler un peu …

~~Formation de~~ Corollaire. Toute \otimes-filtration d'un foncteur fibre sur un corps parfait [ou même sur un quelc.] splitte …

~~Démonstration.~~ En effet, H^{1}(k, U) = 0 par Rosenlicht …

Remarque. Soit T = \operatorname{Im} i, et soit U' une dans U. Alors ~~(si k )~~ l'ensemble des u T u^{-1} (u \in U') engendre le groupe T \cdot U (produit semi-direct) [En , l'algèbre de Lie \underline{\mathfrak{a}} contient les u \in U, donc [en car. 0] donc les [\mathfrak{u}, x], , donc \mathfrak{u}] les \mathfrak{g}^{\alpha}, \alpha > 0 [car [\mathfrak{g}^{\alpha}, x] = \alpha\, \mathfrak{g}^{\alpha} = \mathfrak{g}^{\alpha}], donc \mathfrak{u}.

D'où pour toute représentation V de G, V^{T \cdot U} \left[ \; = \bigcap_{u \in U'} V^{u T u^{-1}} \right] V^{G} = V^{P} , \qquad P \text{ étant parabolique,}

~~V^{P} = V^{T \cdot U} V^{U} V sur P/U V^{P/U} = V^{T} \operatorname{Lie} G rang 1 d'ailleurs~~ Ce dernier bloc est enfermé dans un cadre et barré d'une dizaine de longues diagonales ; seules les formules relevées se lisent, la prose qui les relie est perdue.

Notes Saavedra (page 99)

Ces deux mots, de sa main sur un feuillet par ailleurs vierge, nomment la suite : le tapuscrit qu'ils annoncent commence après ce lot.