Cote n° 10 · batch 2 · pages 21–40 · Transcription · Catégories tensorielles : notes manuscrites (s.d.), tapuscrits (s.d.)
Datation de l’inventaire : [à partir de 1958]
Édition de démonstration

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Notes anciennes, suite (pages 22 à 30)

Suite du feuillet « Notes anciennes » du lot précédent (pages 18 et 20) : même encre noire, même papier jauni, mêmes objets — un motif \(M\) muni d'une forme \(\varphi\) de poids \(p\), \(A = \mathrm{End}(M)\), l'adjoint \(u \mapsto u^{\varphi}\). Dans tout le feuillet, « tt » abrège tout, « élt » élément, « ½-simple » semi-simple, « néc. » nécessairement, « nb » nombre, et « \(=\) » placé devant un nom se lit même.

22Les résultats pour les l'involutions \(u \mapsto u^{\varphi}\) correspondant à une forme symétrique resp. alternée (suivant \(p\) pair ou impair). On a […] : \[(u+v)^{\varphi} = u^{\varphi} + v^{\varphi}\] \[(\lambda u)^{\varphi} = \lambda u^{\varphi} \quad (\lambda \in \mathbb{Q})\] \[(u^{\varphi})^{\varphi} = u\] \[(uv)^{\varphi} = \struck{\ill{}}\ v^{\varphi} u^{\varphi}\] Le membre de droite de la dernière formule est précédé d'un facteur biffé, non lu.

Si on remplace \(\varphi\) par une forme \(\psi\) du même type (paire resp. impaire) on aura \(\psi = \varphi a\) \[\psi(x,y) \struck{\ill{}} = \varphi(ax, y)\] et la hyp. sur \(\psi\) s'exprime comme on l'a dit par \(a^{\varphi} = a\). On aura de plus \[u^{\psi} = \struck{\ill{}}\ a^{-1} u^{\varphi} a \qquad (a \text{ étant inversible}).\] donc l'involution de \(A = \mathrm{End}(M)\) est bien déterminée mod automorphismes intérieurs (indépendamment du choix des \(\varphi\), — \(\psi\)), — en fait si \(\varphi\) est fixé, mod aut. int. par un élément […] \(\varphi\)-hermitien symétrique de \(A\).

23On notera cependant que la donnée d'une forme \(\varphi\) est plus précise que la donnée de l'involution sur \(A = \mathrm{End}(M)\), ainsi si \(\mathrm{End}(M)\) est commutatif, ttes les \(\varphi\) donnent la même involution ! De même, si \(\lambda \in \mathbb{Q}^{*}\), \(\lambda\varphi\) donne la même involution que \(\varphi\). Un mot interlinéaire au-dessus de « forme \(\varphi\) », […].

Considérons la forme symétrique \[\mathrm{Tr}\, v^{\varphi} u = \mathrm{Tr}\, u^{\varphi} v\] sur \(A \simeq \mathrm{End}(M) \simeq \check M \otimes M\), par la forme cette forme n'est autre que \(\check\varphi \otimes \varphi\) où (déduite de \(\varphi\) par transposée structurale par \(\varphi\)) \(\check\varphi\) est la forme duale de \(\varphi\) sur \(\check M\), […] Suivent deux lignes biffées et encadrées, dans lesquelles on lit « \(\mathrm{End}(M)\) » et « \(\simeq M \otimes M\) ». définit ainsi une forme sur \(\mathrm{End}(M)\) : à valeurs dans \(\mathbb{Q}\), notée […].

Supposons que cette forme soit définie positive (elle est néc. non dég., donc définie positive). Soit \(P\) le cône des Alors \(A = \mathrm{End}(M)\) devient une « algèbre de Riemann ».

24Soit \(A^{+}\) un cône positif, engendré l'adhérence de l'ens. des combinaisons linéaires à coefficients \(\geqslant 0\) des \(u^{\varphi} u\) (\(u \in A\) ; on peut supposer \(u \in A^{*}\), groupe des unités de \(A\)). Il correspond dans \(\Phi^{s}\) au cône fermé \(\Phi^{+}\) engendré par les \(\varphi^{u}\) [\(\varphi^{u}(x,y) = \varphi(ux, uy)\)], i.e. le plus petit cône fermé dans \(\Phi^{s}\) contenant \(\varphi\) et stable par les automorphismes de \(M\). La majuscule cursive qui désigne l'espace des formes se lit tantôt \(\Phi\), tantôt comme un \(L\) bouclé ; on l'a uniformisée en \(\Phi\) dans tout le feuillet. L'exposant \(s\) n'est pas défini sur ces pages (symétriques, vraisemblablement).

Tout élément de De la théor. des algèbres de Riemann résulte que tt élt \(a\) intérieur à \(A^{+}\) est une unité, donc tt élt intérieur à \(\Phi^{+}\) est une forme non dégénérée ; […] De plus, par un tel \(a\), l'involution (correspondant […] \(\varphi\) engendre une des cône \(\varphi \in \Phi^{+}\) intérieur à \(\Phi^{+}\)) l'involution \[u \mapsto u^{\psi} = a^{-1} u^{\varphi} a\] satisfait étant déduite \(u^{\psi} u = a^{-1} u^{\varphi} a u = \sum_i b_i^{-1} (b_i^{\varphi})^{-1} u^{\varphi} b_i^{\varphi} b_i u\) de la précédente par un automorphisme (intérieur) […], elle […] possède

25les mêmes propriétés de positivité, savoir \[\mathrm{Tr}\, u^{\psi} u \;\bigl(= \mathrm{Tr}\, (a^{-1}ua)^{\varphi} (a^{-1}ua)\bigr) \geqslant 0\] égalité seulement si \(u = 0\). Donc tt élt de l'intérieur du cône de \(\Phi^{+}\) engendre (via automorphismes de \(M\)) le même cône \(\Phi^{+}\). C'est la donnée du cône \(\Phi^{+}\) qui, intrinsèquement, constitue une structure supplémentaire importante.

Dégager la structure déduite : […] \(A\) riemannienne, \(\Phi\) sur \(A\) libre, […], Trace sur \(A\), autres ; le bon cône de \(\Phi\) Note marginale écrite en diagonale, à gauche du texte, liste rapide dont les mots sont pour moitié perdus.

On notera que, sous cette forme abstraite, on ne peut (parmi les cônes possibles, correspondants aux divers choix de \(\varphi\)) en distinguer de meilleurs que d'autres. Ainsi, si \(\varphi\) satisfait la condition de positivité […], de même \(-\varphi\), qui définit le cône \(-\Phi^{+}\).

Note aussi : Pour un cône convexe fermé si \(v, w \in A^{+}\), […] alors \(\mathrm{Tr}\, vw \geqslant 0\) [et en fait, \(A^{+}\) est son propre polaire dans \(A^{s}\) pour la forme \(\mathrm{Tr}\, vw\)]. « hermitiens » ajouté au-dessus de \(A^{s}\). Or pour

26Or, la forme \(\mathrm{Tr}\, vw\) devient la forme sur \(\Phi \simeq (\check M \otimes \check M(p))\) déduite par \(\check\varphi \otimes \check\varphi\) […], ou encore, Bloc encadré et barré d'une diagonale. identifiant \(A\) d'une part par \(\Theta_{\varphi}\) à \(\Phi(M) = \check M \otimes \check M(p)\), d'autre part via […] \(u \mapsto {}^{t}u\) et \(\check\varphi\) [ou via \(\Phi(M) \simeq \Phi(M^{*})\), à l'aide de l'isom. \(\tilde\varphi \colon M \to M^{*}\)] à \(\Phi(M^{*}) = M \otimes M(-p)\), la forme \(\mathrm{Tr}\, vw\) sur \(A \times A\) devient la forme évidente de contraction sur \(\Phi(M) \times \Phi(M^{*})\). Notons d'autre part que pour tt cône positif […] « admissible » \(\Phi^{+}(M)\) dans \(\Phi(M)\), correspond un « cône admissible » \(\Phi^{+}(M^{*})\) dans \(\Phi(M^{*})\), en prenant les \(\check\varphi^{*}\) (\(\varphi \in \Phi^{+}(M^{*})\)). Lecture douteuse de l'argument entre parenthèses ; on attendrait \(\varphi \in \Phi^{+}(M)\). Ceci posé, on voit que \(\Phi^{+}(M)\) et \(\Phi^{+}(M^{*})\) sont polaires l'un de l'autre. Conséquence :

27Si on a deux cônes convexes fermés \(P\), \(P^{*}\) dans \(\Phi(M)\), \(\Phi(M^{*})\), qui sont tels que

alors \(P\), \(P^{*}\) sont nécessairement deux cônes admissibles, (et en particulier chacun est déterminé par l'autre, et \(\mathring{P}{}^{+}\) contient les \(\check\varphi\) pour \(\varphi \in \mathring{P}{}^{+}\)). Le rond au-dessus de \(P\), et plus loin de \(\Phi\), n'est pas défini sur ces pages ; dans la première occurrence, un exposant est biffé et remplacé par \(+\).

Abstraitement

Nous avons une algèbre \(A\) ½-simple de type fini, munie d'une forme \(\mathrm{tr}\) sur \(\mathbb{Q}\), telle que \(\mathrm{tr}(uv)\) non dégénérée, un bimodule \(\Phi\) (à droite) sous \(A \otimes A\) ([…] \(\rho\), l'isom. […] de \(A\) écrite \(u\varphi v\)) transportés de rang \(1\) sur \(A \otimes 1\) et sur \(1 \otimes A\) (isom. correspond. à \(A\)), le \(\mathbb{Q}\)-dual \(\Phi^{*}\), […] muni de sa structure de module sur \(A^{\circ} \otimes A^{\circ}\) \(A\) par conséquent. Pour un élément \(\varphi\) de \(\Phi\), il […] de dire qu'il est une bonne […] […] « sur \(\mathbb{Q}\) » et « (à droite) » sont ajoutés en interligne. Les deux dernières lignes de la page, dont une biffée, ne se lisent pas.

28il lui correspond alors \(\tilde\varphi\) un élément canonique […] Deux lignes biffées ; dans la première, « unique » est biffé et remplacé par « canonique » avant que la ligne entière ne le soit. sur \(1 \otimes A\) — sur \(A \otimes 1\). L'utilisant pour écrire un isom. de modules sur \(A \otimes 1\) : \(\Phi \simeq A\), et utilisant composant avec \(\mathrm{tr}\) sur \(A\) […] dont \(A \simeq A\), on obtient une forme sur \(\Phi\), i.e. un élt […] \(\check\varphi\). Provient ? […] de forme pareil. On peut utiliser une symétrie de \(\Phi\) qui échange les deux structures de \(A\)-modules. L'application \(\mathring{\Phi}{}^{*} \to \mathring{\Phi}{}^{*}\) commutant néc. à cette symétrie. Pour tt élt \(\varphi\) de \(\mathring{\Phi}{}^{s}\) [fixe par symétrie] au moyen d'une forme une bijection \(A \to \Phi\), d'où sur \(A\) une involution application \(u \mapsto u^{\varphi}\) linéaire, telle que \((u^{\varphi})^{\varphi} = u\), [dites […] déterminée mod composition composition avec aut. int. par un élt \(a\) de \(A\) tel que \(a^{\varphi} = a\), si \(\varphi \sim \psi\)]. Ceci on fait la […] par \(\check\varphi\), — donner une […] \(A^{\circ} = A\) (semi-simplicité !) […] ! La structure de donnée d'une […] la structure \(a\,u\,b^{\varphi}\), et \(\varphi \sim \varphi'\) donnent \(u \mapsto u^{\varphi}\) […] Page de brouillon rapide : les formules portent, la prose de liaison est aux deux tiers perdue.

[…] (mais non : conjugaison par !) Note marginale cerclée, en haut à gauche, ouverte par un grand signe, \(Z\) ou \(\Sigma\), non lu.

On a ici \((uv)^{\psi} = v^{\psi} u^{\psi}\) (indépendant du choix particulier de \(\psi\))

29On dit que \((A, \Phi)\) \(\Phi\) \(\varphi\) est […] riemannien si \(A\), muni de la trace et de l'involution \(u \mapsto u^{\varphi}\), est une algèbre riemannienne, i.e. lorsque \[\mathrm{Tr}\, u^{\varphi} u \geqslant 0 \qquad \forall u\] […] [NB utilisant les identifications \(A \simeq \Phi\), \(A^{\circ} \simeq \Phi^{*}\) définies par \(\varphi\) et \(\check\varphi^{-1}\), la forme \(\mathrm{Tr}\, u^{\varphi} u\) sur \(A^{\circ} \times A\) s'identifie à la forme canonique sur \(\Phi \times \Phi^{*}\), elle est donc non dégénérée].

Tout \(\varphi\) riemannien définit comme plus haut un cône convexe fermé \(\Phi^{+}(\varphi) = \Phi^{+}\), savoir le plus petit cône convexe fermé stable par \(u \otimes u\) (\(u \in A\)) contenant \(\varphi\), et qui correspond par \(\Theta_{\varphi} \colon A \simeq \Phi\) au cône des « éléments positifs » de l'algèbre hilb. riemannienne \(A\), engendré par les éléments de la forme \(u^{\varphi} u\). De même, \(A^{\circ} \to \Phi^{*}\) transforme […] en […] \(\Phi^{*+}\) défini en termes de \(\check\varphi^{-1}\). La théorie des alg. hilbertiennes nous dit que les cônes \(\Phi^{+}\) et \(\Phi^{*+}\) sont polaires l'un de l'autre, […] que leurs

30intérieurs correspondent aux formes […] non dégénérées, ou encore (étant toutes des riemanniennes […]) riemanniennes, et que pour tt \(\psi\) de l'intérieur de \(\Phi^{+}(\varphi)\) le cône \(\Phi^{+}(\psi)\) est égal à \(\Phi^{+}(\varphi)\). Un mot interlinéaire, « pri », au-dessus de « riemanniennes » dans la parenthèse, non résolu.

On trouve ainsi dans \(\Phi\) un certain nombre de cônes convexes fermés \(P_{\alpha}\) deux à deux distincts, stables par les \(u \otimes u\) (\(u \in A\)) et dont les intérieurs sont deux à deux disjoints, la réunion des intérieurs étant l'ens. des formes riemanniennes relativement à \(\Phi\). « fermés » et « des intérieurs » ajoutés en interligne. S'il y a une \(\varphi\) riemannienne, alors \(-\varphi\) est riemannienne, mais certainement pas dans le même cône (les deux cônes […] opposés). Quel est la signification de l'invariant : « nb des cônes riemanniens dans \(\Phi\) » (qu'on peut aussi considérer comme un invariant pour une alg. riemannienne ou \(A\), — […] sur \(\mathbb{R}\) […]].

Tapuscrit : « 10. Passage à la limite projective dans les préschémas en groupes et les préschémas à groupe d'opérateurs » (pages 32 à 40)

Tapuscrit de neuf feuillets numérotés \(1\) à \(9\) en tête, de sa main, portant les numéros 10.0 à 10.16 ; il s'interrompt au milieu d'une phrase au bas de la page 40. Chaque feuillet est corrigé de sa main, au crayon et à l'encre bleue : les insertions sont en [], les suppressions en . La machine écrit « lim » avec une flèche pour la limite inductive, un \(\mathbb{T}\) gras pour la topologie, \(\mathcal{O}\) pour le faisceau structural et \(\kappa\) pour le corps résiduel ; le symbole \(\psi\) des pages 38-39 est tapé.

32Les 11 pages qui suivent sont le texte correspondant aux anciennes pages 82 à 117) Note cerclée dans la marge gauche, de sa main.

10. Passage à la limite projective dans les préschémas en groupes et les préschémas à groupe d'opérateurs.

10.0. Rappelons le résultat essentiel de (EGA IV 8.8) : Etant donnée la situation suivante : \(S_{0}\) un préschéma quasi-compact et quasi-séparé, \(I\) un ensemble préordonné filtrant croissant, \((\mathcal{A}_{i})_{i \in I}\) un système inductif de \(\mathcal{O}_{S_{0}}\)-Algèbres commutatives quasi-cohérentes, \(\mathcal{A} = \varinjlim \mathcal{A}_{i}\), \(S_{i} = \mathrm{Spec}\, \mathcal{A}_{i}\) pour \(i \in I\), et \(S = \mathrm{Spec}\, \mathcal{A}\), alors la catégorie des \(S\)-préschémas de présentation finie est déterminée à équivalence près par la donnée des catégories des \(S_{i}\)-préschémas de présentation finie, des foncteurs \(\rho_{ij} \colon X_{i} \mapsto X_{i} \times_{S_{i}} S_{j}\) pour \(i \leqslant j\) entre ces catégories, et des isomorphismes de transitivité \(\rho_{jk} \circ \rho_{ij} \xrightarrow{\sim} \rho_{ik}\). Plus précisément [Précisons.] « entre ces catégories » est cerclé et relié par un trait au mot « foncteurs », pour être déplacé.

Etant donné \(j \in I\), et un \(S_{j}\)-préschéma de présentation finie \(X_{j}\), nous poserons, pour tout \(i \in I\) tel que \(j \leqslant i\), \(X_{i} = X_{j} \times_{S_{j}} S_{i}\), et \(X = X_{j} \times_{S_{j}} S\). Alors [(EGA IV 8.8.2)] :

On en conclut (EGA IV 8.8.3) que, chaque fois qu'on aura un diagramme \(D\) portant sur un nombre fini d'objets et de flèches de la catégorie des \(S\)-préschémas de présentation finie, on peut trouver un indice \(i \in I\) et un diagramme \(D_{i}\) dans la catégorie des \(S_{i}\)-préschémas de présentation finie, tels que le diagramme \(D\) provienne à isomorphisme près du diagramme \(D_{i}\) par le changement de base \(S \to S_{i}\). On peut même trouver \(i\) et \(D_{i}\) tels que tout carré cartésien de \(D\) provienne d'un carré cartésien de \(D_{i}\).

[10.1.] De plus, un grand nombre de propriétés […] courantes pour un morphisme, stables par changement de base, possèdent la propriété suivante ; étant donné un indice \(j \in I\) deux \(S_{j}\)-préschémas de présentation finie \(X_{j}\) et \(Y_{j}\) et un \(S_{j}\)-morphisme \(u_{j} \colon X_{j} \to Y_{j}\), pour que \(u = u_{j} \times_{S_{j}} S\) ait la propriété \(\mathbb{P}\), il faut et il suffit qu'il existe un indice \(i \in I\) tel que \(j \leqslant i\) et que \(u_{i} = u_{j} \times_{S_{j}} S_{i}\) ait la propriété \(\mathbb{P}\). Il en est ainsi dans le cas où \(\mathbb{P}\) est la [l'une des] propriété[s] [suivantes] pour un morphisme : être séparé, surjectif, radiciel, affine, quasi-affine, fini, quasi-fini, propre, projectif, quasi-projectif, un isomor-

33phisme, un monomorphisme, une immersion, une immersion ouverte, une immersion fermée, lisse, non ramifié ou étale (EGA IV 8.10.5, 11.2.6 et 17.7.6). Remarquons qu'il en est encore ainsi […] dans le cas où \(\mathbb{P}\) est la propriété d'être couvrant pour la topologie fidèlement plate localement de présentation finie (notée fppf) ; en effet, étant donnés deux \(S\)-préschémas de présentation finie \(X\) et \(Y\), et un morphisme [\(S\)-morphisme] \(u \colon X \to Y\), il résulte de (Exp. IV 6.3.1 (i)) que, pour que \(u\) soit couvrant pour la topologie fppf, il faut et il suffit qu'il existe un \(S\)-préschéma \(Z\) et un \(S\)-morphisme \(v \colon Z \to Y\) fidèlement plat et de présentation finie qui se factorise à travers \(u\).

Le but de ce numéro est d'étendre [de donner des variantes de] ce genre de résultats à [pour] la catégorie des \(S\)-groupes de présentation finie, et à celle des \(S\)-préschémas à groupe d'opérateurs, et à [pour] certaines propriétés pour des monomorphismes de groupes (être invariant, central, à faisceau quotient inversible, etc ...).

Les deux résultats préliminaires de ce type sont les suivants :

10.1[2]. Dans la situation rappelée au début de (10.0), soient […] \(j \in I\), \(G_{j}\) et \(H_{j}\) deux \(S_{j}\)-groupes de présentation finie ; posons, pour tout \(i \in I\) tel que \(j \leqslant i\), \(G_{i} = G_{j} \times_{S_{j}} S_{i}\), \(G = G_{j} \times_{S_{j}} S\), et définissons de même \(H_{i}\) et \(H\). Alors l'application canonique de \(\varinjlim_{i \geqslant j} \mathrm{Hom}_{S_{i}\text{-gr.}}(G_{i}, H_{i})\) dans \(\mathrm{Hom}_{S\text{-gr.}}(G, H)\) est bijective.

10.2[3]. Dans la situation rappelée au début de (10.0), soit \(G\) un \(S\)-groupe de présentation finie ; alors il existe un indice \(j \in I\), et un \(S_{j}\)-groupe de présentation finie \(G_{j}\), et un […] \(S\)-isomorphisme de groupes de \(G\) sur \(G_{j} \times_{S_{j}} S\).

Les assertions (10.1[2]) et (10.2[3]) sont des conséquences faciles de EGA IV 8.8.2 et 8.8.3 [(10.0) et (10.1)] compte tenu de l'interprétation de la structure de \(S\)-groupe donnée en (EGA \(0_{\mathrm{III}}\) 8.2.5 et 8.2.6). Le bas de la page est recouvert d'une bande collée, sous laquelle transparaît une première rédaction de 10.4 (une liste (i), (ii), (iii) de propriétés d'un morphisme de préschémas en groupes) ; elle n'est pas transcrite. La page 34 s'ouvre sur la fin de cette liste, biffée.

34fermé de \(H\)),

(v) être un monomorphisme central (6.6),

vi) être un monomorphisme invariant (6.6). soit un monomorphisme central (resp. un monomorphisme invariant) Les deux lignes (v), (vi) sont barrées de traits obliques, et la phrase encadrée dans la marge droite, reliée par un trait au lieu de « ait la propriété \(\mathbb{P}\) » biffé ci-dessous, la remplace ; le numéro « 10.4. » est écrit dans la marge gauche.

[10.4.] Soient \(j \in I\), \(G_{j}\) et \(H_{j}\) deux \(S_{j}\)-groupes de présentation finie, et \(u_{j} \colon G_{j} \to H_{j}\) un morphisme de \(S_{j}\)-groupes. Pour que \(u = u_{j} \times_{S_{j}} S\) ait la propriété \(\mathbb{P}\), il faut et il suffit qu'il existe \(i \in I\), \(i \geqslant j\) tel que \(u_{i} = u_{j} \times_{S_{j}} S_{i}\) ait la [même] propriété \(\mathbb{P}\).

Les assertions (i) à (iv) résultent de (EGA 8.10.5). Les assertions (v) et (vi) [C'est] sont une conséquence immédiate de EGA 8.8.2 et 8.8.3 [(10.0) et (10.1)] compte tenu de la caractérisation donnée en (6.7) des monomorphismes de groupes centraux et invariants.

[Corollaire] 10.5. Soit \(j \in I\), et soit \(G_{j}\) un \(S_{j}\)-groupe de présentation finie. Pour que \(G = G_{j} \times_{S_{j}} S\) soit abélien, il faut et il suffit qu'il existe \(i \in I\), \(i \geqslant j\), tel que \(G_{i} = G_{j} \times_{S_{j}} S_{i}\) soit abélien.

En effet, il revient au même de dire qu'un \(S\)-groupe est abélien, ou que, considéré comme sous-préschéma en groupes de lui-même, il est central.

Proposition 10.6. — Dans la situation rappelée au début de (10.0), soient \(j \in I\), \(G_{j}\) un \(S_{j}\)-groupe de présentation finie, \(G'_{j}\) un sous-préschéma en groupes de \(G_{j}\) plat et de présentation finie sur \(S_{j}\). Pour que \(G_{j} \times_{S_{j}} S / G'_{j} \times_{S_{j}} S\) soit représentable (pour la topologie fpqc), il faut et il suffit qu'il existe \(i \in I\), \(i \geqslant j\), tel que \(G_{j} \times_{S_{j}} S_{i} / G'_{j} \times_{S_{j}} S_{i}\) soit représentable.

C'est une conséquence du lemme plus général suivant :

Lemme 10.7. — Soit \(\mathbb{T}\) la topologie fppf ou fpqc ; soient \(j \in I\), \(X_{j}\) un \(S_{j}\)-préschéma de

35présentation finie, et \(R_{j}\) une relation d'équivalence sur \(X_{j}\) définie par un \(S_{j}\)-monomorphisme \(v_{j} \colon R_{j} \to X_{j} \times_{S_{j}} X_{j}\) tel que le morphisme \(\mathrm{pr}_{1,j} \circ v_{j} \colon R_{j} \to X_{j}\) déduit de \(v_{j}\) par composition avec la première projection \(X_{j} \times_{S_{j}} X_{j} \to X_{j}\) soit plat et de présentation finie. Alors, pour que le faisceau quotient \(X_{j} \times_{S_{j}} S / R_{j} \times_{S_{j}} S\) pour la topologie \(\mathbb{T}\) soit représentable, il faut et il suffit qu'il existe \(i \in I\), \(i \geqslant j\), le faisceau quotient \(X_{j} \times_{S_{j}} S_{i} / R_{j} \times_{S_{j}} S_{i}\) pour la topologie \(\mathbb{T}\) soit représentable.

Compte tenu des énoncés de (EGA IV 8.8.2, 8.8.3, 8.10.5 et 11.2.6) rappelés en (10.0), ce lemme est conséquence du résultat suivant :

Lemme 10.8. — Soit \(\mathbb{T}\) la topologie fppf ou fpqc ; soient […] \(X\) un \(S\)-préschéma de présentation finie (resp. localement de présentation finie), \(R\) une relation d'équivalence sur \(X\) définie par un monomorphisme \(v \colon R \to X \times_{S} X\) tel que \(\mathrm{pr}_{1} \circ v\) soit plat et de présentation finie (resp. plat et localement de présentation finie). Alors les conditions suivantes sont équivalentes :

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\begin{tikzcd}
R \arrow[r, "\mathrm{pr}_{1} \circ v"] \arrow[d, "\mathrm{pr}_{2} \circ v"'] & X \arrow[d, "p"] \\
X \arrow[r, "p"'] & X
\end{tikzcd}

Le diagramme est étiqueté (D) sur la page ; son coin inférieur droit est tapé \(X\), coquille pour \(Y\), laissée telle quelle. (où \(\mathrm{pr}_{1}\) et \(\mathrm{pr}_{2}\) sont les projections \(X \times_{S} X \rightrightarrows X\)) soit cartésien.

Notons d'abord que d'après (Exp. IV 3.3.2 et 4.4.3), pour que le faisceau \(X/R\) pour la topologie \(\mathbb{T}\) soit représentable par \(Y\), il faut et il suffit que le diagramme (D) soit cartésien et que \(p\) soit couvrant pour la topologie \(\mathbb{T}\).

Montrons que i) entraîne ii). L'hypothèse (i) implique que le diagramme (D) est cartésien, donc que \(\mathrm{pr}_{1} \circ v\) se déduit de \(p\) par changement de base par \(p\), et que \(p\) est

36est couvrant pour la topologie fpqc. Puisque \(\mathrm{pr}_{1} \circ v\) est fidèlement plat et de présentation finie, (resp. fidèlement plat et localement de présentation finie), il en est de même de \(p\) (EGA IV 2.7.1), et comme \(X\) est de présentation finie (resp. localement de présentation finie) sur \(S\), il en est de même de \(Y\) (EGA IV 17.7.4). « est » est répété au passage de la page 35 à la page 36 ; tel quel.

Montrons que ii) entraîne i). Il suffit de montrer que \(p\) est couvrant pour la topologie fppf ; or \(p\) est fidèlement plat par hypothèse, et localement de présentation finie, puisque \(X\) et \(Y\) sont localement de présentation finie sur \(S\).

10.9. — Dans la situation rappelée au début de (10.0), soient \(j \in I\), et \(G_{j}\) un \(S_{j}\)-groupe de présentation finie. Pour que \(G^{\circ} = (G_{j} \times_{S_{j}} S)^{\circ}\) soit représentable, il faut et il suffit qu'il existe […] \(i \in I\), \(i \geqslant j\), tel que \((G_{i})^{\circ} = (G_{j} \times_{S_{j}} S_{i})^{\circ}\) soit représentable.

La condition est suffisante (3.3).

Montrons que la condition est nécessaire. Alors [En effet,] \(G^{\circ}\) est de présentation finie sur \(S\) et ouvert dans \(G\) (3.9). D'après (10.0), il existe \(i \in I\), \(i \geqslant j\), et un sous-préschéma en groupes ouvert \(G_{i}^{\circ}\) de \(G_{i}\) tel que \(G_{i}^{\circ} \times_{S_{i}} S = G^{\circ}\). Le morphisme structural \(G^{\circ} \to S\) est connexe (i.e. à fibres géométriquement connexes) (Exp. VI\(_{\mathrm{A}}\) 2.1.1). Alors, (EGA IV 9.3.3 et 9.7.7), quitte à augmenter \(i\), on peut supposer que le morphisme structural \(G_{i}^{\circ} \to S\) est connexe, donc que l'espace sous-jacent à \(G_{i}^{\circ}\) n'est autre que \((G_{i})^{\circ}\) (3.10.1), donc que \(G_{i}^{\circ}\) représente \((G_{i})^{\circ}\).

10.10. Rappelons deux cas particuliers très utiles de la situation énoncée en (10.0).

37Etant donné que les \(\mathcal{A}_{i}\) sont des anneaux […] noethériens, cela permet dans de nombreux [cas] de passer du cas général au cas noethérien. « général » et « noethérien » sont cerclés et reliés par une double flèche, avec dans la marge, cerclé, « intervertir » : lire du cas noethérien au cas général.

Nous allons maintenant donner deux résultats concernant le cas particulier envisagé en a).

Proposition 10.11. — Soient \(S\) un préschéma intègre de point générique \(\eta\), \(G\) un \(S\)-groupe de présentation finie, \(X\) un \(S\)-préschéma de présentation finie, \(u\) et \(v\) deux \(S\)-morphismes de \(X\) dans \(G\), \(i \colon H \to G\) et \(j \colon K \to G\) deux monomorphismes de présentation finie. Alors :

Puisque \(G_{\eta}\), \(X_{\eta}\), \(H_{\eta}\), \(K_{\eta}\) sont plats sur le corps \(\kappa(\eta)\), et que

38\(G_{\eta}\) est séparé sur \(\kappa(\eta)\) (Exp. VI\(_{\mathrm{A}}\) 0.2), d'après (10.2, 10.10 a), EGA IV 8.8.2 et 8.10.5), il existe un ouvert [affine] \(S'\) de \(S\) tel que \(G'\) soit un \(S'\)-groupe de type [présentation] fini[e], plat et séparé sur \(S'\), et que \(X'\), \(H'\) et \(K'\) soient plats et de présentation finie sur \(S'\). Si on suppose \(H_{\eta}\) (resp. \(K_{\eta}\)) fermé dans \(G_{\eta}\), on peut choisir \(S'\) de sorte que \(H'\) (resp. \(K'\)) soit fermé dans \(G'\). D'après (EGA IV 11.3.15), quitte à remplacer \(S'\) par un ouvert affine de \(S'\), on peut supposer que \(G'\), \(H'\), \(K'\) et \(X'\) sont essentiellement libres sur \(S'\) (au sens de Exp. VIII (6.1)). Il résulte alors de (Exp. VIII 5.5 b) et e)\(^{(*)}\)) que, sous les hypothèses de l'énoncé, les foncteurs considérés sont représentables par des sous-préschémas fermés (donc de présentation finie sur \(S'\)) de \(G'\). (*) Voir note page 51 Appel de note et renvoi ajoutés de sa main, le renvoi au bas de la page, suivi d'un chiffre cerclé, 40. Les « Exp. » de cette page sont biffés d'un trait à chaque occurrence (« Exp. » → « VI\(_A\) », « VIII ») ; on les a conservés.

Proposition 10.12. — Soient \(S\) un préschéma intègre, \(G\) un […] \(S\)-groupe de présentation finie, \(A\) et \(B\) deux sous-préschémas en groupes de présentation finie de \(G\), à fibre générique lisse, tels que […] [\(A\) soit à fibre générique connexe] (resp. […] \(A\) et \(B\) soient invariants dans \(G\)). Alors il existe un ouvert non vide \(S'\) de \(S\) et un sous-préschéma en groupes [fermé, \(D'\)] de présentation finie, à fibres lisses et fermé \(D'\) de \(G' = G|S'\), tel que \(D'\) soit […] à fibres connexes (resp. soit invariant dans \(G'\)), et que \(D'\) représente le faisceau associé, pour la topologie fppf ou fpqc, au préfaisceau en groupes des commutateurs de \(A\) et \(B\) dans \(G\). En particulier, pour tout \(s \in S'\), on a \(D'_{s} = (A_{s}, B_{s})\) avec les notations de (7.2 (vii)).

Soit \(\eta\) le point générique de \(S\) ; posons \(D'_{\eta} = (A_{\eta}, B_{\eta})\). D'après (7.8) (resp. 7.3 v)), \(D'_{\eta}\) est connexe (resp. invariant dans \(G_{\eta}\)). D'après (10.1 et 10.10 a)), il existe un ouvert non vide \(S'\) de \(S\) et un sous-\(S'\)-préschéma en groupes \(D'\) de présentation finie et fermé dans \(G'\), à fibres séparables (EGA IV 9.7.7 et 9.3.3), ayant \(D'_{\eta}\) pour fibre au point \(\eta\), et tel que \(D'\) soit à fibres connexes (i.e. géométriquement connexes (Exp. VI\(_{\mathrm{A}}\) 2.1.1)) (resp. soit invariant dans \(G'\)) (EGA IV 9.7.7 et 9.3.3 (resp. (10.4)). De plus, nous avons vu, au cours de la démonstration de (7.8), qu'il existe un entier \(n\) tel que \(\psi_{\eta}^{n}\bigl((A_{\eta} \times_{\kappa(\eta)} B_{\eta})^{n}\bigr) = D'\), où \(\psi_{\eta} \colon A_{\eta} \times_{\kappa(\eta)} B_{\eta} \to G_{\eta}\)

39est défini comme en (7.2 (vii)). Nous pouvons définir, par les mêmes formules qu'en (7.2 (vii) et 7.1 (ii)), les morphismes \(\psi' \colon A' \times_{S'} B' \to G'\) et \(\psi'^{n} \colon (A' \times_{S'} B')^{n} \to G'\), on a bien \(\psi'^{n}(\kappa(\eta)) = \psi_{\eta}^{n}\). Par conséquent (EGA IV 8.8.3 et 8.10.5 [et 17.2.6]), on peut choisir \(S'\) tel que le morphisme \(\psi'^{n}\) [soit plat et] se factorise à travers \(D'\), et que le morphisme \((A' \times_{S'} B')^{n} \to D'\) déduit de \(\psi'^{n}\) soit surjectif. Alors (7.5) le morphisme \((A' \times_{S'} B')^{n+1} \to D'\) déduit de \(\psi'^{n+1}\) est couvrant pour la topologie fppf (et a fortiori pour la topologie fpqc). Donc \(D'\) représente le faisceau associé, pour la topologie fppf ou fpqc, au préfaisceau des commutateurs de \(A\) et \(B\) dans \(G\). De plus, pour tout \(s \in S'\), le morphisme \((A_{s} \times_{\kappa(s)} B_{s})^{n} \to D'_{s}\) déduit de \(\psi_{s}^{n}\) est surjectif ; donc (7.6), \((A_{s}, B_{s})\) représente le faisceau des commutateurs de \(A_{s}\) et \(B_{s}\) dans \(G_{s}\) (pour la topologie fppf ou fpqc), d'où \(D'_{s} = (A_{s}, B_{s})\).

Corollaire 10.13. — Soient \(S\) un préschéma intègre de point générique \(\eta\), \(G\) un \(S\)-groupe de présentation finie, \(D\) un sous-\(S\)-préschéma en groupes de présentation finie de \(G\) à fibres lisses et invariant dans \(G\). Supposons qu'on ait \((D_{\eta}, D_{\eta}) = D_{\eta}\) (resp. \((G_{\eta}, D_{\eta}) = D_{\eta}\)). Il existe alors un ouvert non vide \(S'\) de \(S\) tel que pour tout \(s \in S'\), on ait \((D_{s}, D_{s}) = D_{s}\) (resp. \((G_{s}, D_{s}) = D_{s}\)).

Cela résulte immédiatement de (10.12) et de (EGA IV 8.8.2.5).

Les énoncés (10.1[2]) et (10.2[3]) concernant la catégorie des \(S\)-groupes de présentation finie s'étendent à la catégorie des couples formés d'un \(S\)-groupe de présentation finie et d'un […] \(S\)-préschéma de présentation finie à groupe d'opérateurs \(G\). De façon précise :

10.14. (i) Dans la situation rappelée au début de (10.0), soient \(j \in I\), \(G_{j}\) et \(G'_{j}\) deux \(S_{j}\)-groupes de présentation finie, \(H_{j}\) (resp. \(H'_{j}\)) un \(S_{j}\)-préschéma de présentation

40finie à groupe d'opérateurs \(G_{j}\) (resp. \(G'_{j}\)). Posons, pour \(i \in I\), \(i \geqslant j\), \(G_{i} = G_{j} \times_{S_{j}} S_{i}\) et \(G = G_{j} \times_{S_{j}} S\), et définissons de même \(G'_{i}\), \(G'\), \(H_{i}\), \(H\), \(H'_{i}\), et \(H'\). Notons \(\mathrm{Dihom}_{S\text{-gr.}}((G, H), (G', H'))\) l'ensemble des di-morphismes de \(S\)-groupes et de \(S\)-préschémas à groupe d'opérateurs du couple \((G, H)\) dans le couple \((G', H')\). Alors l'application canonique de \(\varinjlim_{i \geqslant j} \mathrm{Dihom}_{S_{i}\text{-gr.}}((G_{i}, H_{i}), (G'_{i}, H'_{i}))\) dans \(\mathrm{Dihom}_{S\text{-gr.}}((G, H), (G', H'))\) est bijective.

(ii) Dans la situation rappelée au début de (10.0), soient \(G\) un \(S\)-groupe […] de présentation finie et \(H\) un \(S\)-préschéma de présentation finie à groupe d'opérateurs \(G\) ; il existe alors un indice \(j \in J\), un \(S_{j}\)-groupe de présentation finie \(G_{j}\), un \(S_{j}\)-préschéma de présentation finie \(H_{j}\) à groupe d'opérateurs \(G_{j}\) et un di-isomorphisme de \(S\)-groupes et de \(S\)-préschémas à groupes d'opérateurs de \((G_{j} \times_{S_{j}} S, H_{j} \times_{S_{j}} S)\) sur \((G, H)\). « \(j \in J\) » est tapé ainsi, pour \(j \in I\) ; tel quel.

Proposition [Définition] 10.15. — Etant donné un \(S\)-foncteur en groupes \(G\) et un \(S\)-foncteur \(H\) à groupe d'opérateurs \(G\), on dit que \(H\) est un \(S\)-foncteur en espaces homogènes sous \(G\) pour la topologie \(\mathbb{T}\), si le morphisme canonique \(G \times_{S} H \to H \times_{S} H\) (défini par \((g, h) \mapsto (g.h, h)\) pour \(g \in G(T)\), \(h \in H(T)\)) est un épimorphisme de faisceaux pour la topologie \(\mathbb{T}\).

Si \(G\) est un \(S\)-groupe et si \(H\) est un \(S\)-préschéma à […] groupe d'opérateurs \(G\), dire que \(H\) est un \(S\)-préschéma en espaces homogènes sous \(G\) pour la topologie \(\mathbb{T}\) revient donc à dire que le morphisme canonique \(G \times_{S} H \to H \times_{S} H\) défini comme précédemment est couvrant pour la topologie \(\mathbb{T}\) (Exp. IV 4.4.3).

De même, dire qu'un \(S\)-préschéma \(H\) à groupe d'opérateurs un \(S\)-groupe \(G\) est un fibré principal homogène sous \(G\) pour la topologie \(\mathbb{T}\) (Exp. IV 5.1.5) revient à dire (Exp. IV 5.6 (ii)) que le morphisme canonique \(G \times_{S} H \to H \times_{S} H\) est un isomorphisme et que le morphisme structural \(H \to S\) est couvrant pour la topologie \(\mathbb{T}\).

10.16. — Dans la situation rappelée au début de (10.0), soient \(j \in I\), \(G_{j}\) un \(S_{j}\)-grou- Le feuillet s'arrête ici, au milieu du mot ; la suite est dans le lot suivant.