Fonds Grothendieck, cote n° 10, pages 21–40 — transcriptionAlexandre Grothendiecktranscription automatique — première passe, non vérifiée contre les pages par une personne (2026-09-10)Fable 5.1 (claude-fable-5-1)procédure, outillage, export TEIgrothendieck.commutator.io (Commutator, Paris)Édition de démonstrationCommutatorParis2026-09-25
Le fonds Alexandre Grothendieck est sous droits. Cette transcription
est une édition de démonstration, non autorisée, produite par une
machine et non vérifiée ; aucune image du fonds n'est reproduite. La
source LaTeX dont ce fichier dérive est publiée sous https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-project.
https://grothendieck.commutator.ioFranceMontpellierUniversité de MontpellierFonds Alexandre Grothendieck (archives mathématiques, 1949–1991)10
Catégories tensorielles : notes manuscrites (s.d.), tapuscrits (s.d.)
Pages 21 à 40 de la cote, dans la
numérotation des archivistes (crayon, en bas à gauche de chaque
page) ; lot 2 de vingt pages.
Les pages absentes de la transcription ne portent pas de
mathématiques et sont omises ; le saut dans la numérotation en est
le seul enregistrement.[à partir de 1958]Datation de l'inventaire de l'Université de Montpellier, reproduite telle quelle ; les crochets sont ceux des archivistes.https://grothendieck.umontpellier.fr/10.pdfFac-similé numérique de l'Université de Montpellier. Sa
première page est une feuille de garde générée par
l'université : la page n des archivistes
est la page n+1 du PDF, et l'attribut
facs de chaque
pb tient compte de ce décalage.
Transcription mathématique du fonds, une passe de vingt pages par
conversation avec un grand modèle multimodal, sous la procédure
transcribe-grothendieck du dépôt. Le fichier
LaTeX est la source de référence ; ce TEI en est dérivé mécaniquement
par scripts/tei.mjs et n'a pas été relu.
L'édition n'est pas diplomatique : elle encode les mathématiques et
l'apparat, rien du support. Correspondance avec l'apparat de la source :
\ill devient gap[@reason='illegible']
(jamais deviné) ; \uncertain devient
unclear ; \add devient
supplied ; \struck devient
del (biffé par l'auteur) ;
\note devient note[@type='editorial']
(du transcripteur) ; \marginal devient
note[@type='authorial'][@place='margin'] (de l'auteur) ;
\page devient pb.
Les mathématiques sont transportées en TeX dans
formula[@notation='TeX'], les diagrammes
commutatifs en formula[@notation='tikz-cd'],
sans conversion. Une marque d'apparat située à l'intérieur d'une
formule (un exposant illisible, un symbole biffé) reste dans le TeX de
la formule, sous les mêmes macros.
Orthographe, ponctuation et lapsus de l'auteur sont conservés ; une
faute évidente est signalée par une note, jamais corrigée.
https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-projectfrançais, avec la notation mathématique de l'auteurPremière passe de transcription.Export TEI depuis la source LaTeX.
Notes anciennes, suite (pages 22 à 30)
Suite du feuillet « Notes anciennes » du lot précédent (pages 18 et
20) : même encre noire, même papier jauni, mêmes objets — un motif M muni
d'une forme \varphi de poids p, A = \mathrm{End}(M), l'adjoint
u \mapsto u^{\varphi}. Dans tout le feuillet, « tt » abrège tout,
« élt » élément, « ½-simple » semi-simple, « néc. »
nécessairement, « nb » nombre, et « = » placé devant un nom
se lit même.
Les résultatspour les l'involutions
u \mapsto u^{\varphi} correspondant à une forme symétrique
resp. alternée (suivant p pair ou impair). On a :
(u+v)^{\varphi} = u^{\varphi} + v^{\varphi}(\lambda u)^{\varphi} = \lambda u^{\varphi} \quad (\lambda \in \mathbb{Q})(u^{\varphi})^{\varphi} = u(uv)^{\varphi} = \struck{\ill{}}\ v^{\varphi} u^{\varphi}Le membre de droite de la dernière formule est précédé d'un facteur
biffé, non lu.
Si on remplace \varphi par une forme \psi du même type (paire resp.
impaire) on aura \psi = \varphi a\psi(x,y) \struck{\ill{}} = \varphi(ax, y)
et la hyp. sur \psi s'exprime comme on l'a dit par
a^{\varphi} = a. On aura de plus
u^{\psi} = \struck{\ill{}}\ a^{-1} u^{\varphi} a \qquad (a \text{ étant inversible}).
donc l'involution de A = \mathrm{End}(M) est bien déterminée mod
automorphismes intérieurs (indépendamment du choix des \varphi, —
\psi), — en fait si \varphi est fixé, mod aut. int. par un élément
\varphi-hermitien symétrique de A.
On notera cependant que la donnée d'une forme \varphi est plus précise
que la donnée de l'involution sur A = \mathrm{End}(M), ainsi si
\mathrm{End}(M) est commutatif, ttes les \varphi donnent la même
involution ! De même, si \lambda \in \mathbb{Q}^{*}, \lambda\varphi
donne la même involution que \varphi.
Un mot interlinéaire au-dessus de « forme \varphi », .
Considérons la forme symétrique
\mathrm{Tr}\, v^{\varphi} u = \mathrm{Tr}\, u^{\varphi} vsur A \simeq \mathrm{End}(M) \simeq \check M \otimes M, par la forme
cette forme n'est autre que \check\varphi \otimes \varphi où
(déduite de \varphi par transposée structurale par
\varphi) \check\varphi est la forme duale de \varphi sur \check M,
Suivent deux lignes biffées et encadrées, dans lesquelles on lit
« \mathrm{End}(M) » et « \simeq M \otimes M ».
définit ainsi une forme sur \mathrm{End}(M) : à valeurs dans
\mathbb{Q}, notée .
Supposons que cette forme soit définie positive (elle est néc.
non dég., donc définie positive). Soit P le cône des Alors
A = \mathrm{End}(M) devient une « algèbre de Riemann ».
Soit A^{+} un cône positif, engendrél'adhérence de
l'ens. des combinaisons linéaires à coefficients \geqslant 0 des
u^{\varphi} u (u \in A ; on peut supposeru \in A^{*},
groupe des unités de A). Il correspond dans \Phi^{s} au cône fermé
\Phi^{+} engendré par les \varphi^{u} [\varphi^{u}(x,y) =
\varphi(ux, uy)], i.e. le plus petit cône fermé dans \Phi^{s} contenant
\varphi et stable par les automorphismes de M.
La majuscule cursive qui désigne l'espace des formes se lit tantôt
\Phi, tantôt comme un L bouclé ; on l'a uniformisée en \Phi dans
tout le feuillet. L'exposant s n'est pas défini sur ces pages
(symétriques, vraisemblablement).
Tout élément de De la théor. des algèbres de Riemann résulte que
tt élt a intérieur à A^{+} est une unité, donc tt élt intérieur
à\Phi^{+} est une forme non dégénérée ; De
plus, par un tel a, l'involution (correspondant \varphi engendre une des cône\varphi \in \Phi^{+} intérieur
à\Phi^{+}) l'involution
u \mapsto u^{\psi} = a^{-1} u^{\varphi} asatisfait étant déduite
u^{\psi} u = a^{-1} u^{\varphi} a u = \sum_i b_i^{-1}
(b_i^{\varphi})^{-1} u^{\varphi} b_i^{\varphi} b_i u
de la précédente par un automorphisme (intérieur) , elle
possède
les mêmes propriétés de positivité, savoir
\mathrm{Tr}\, u^{\psi} u \;\bigl(= \mathrm{Tr}\, (a^{-1}ua)^{\varphi}
(a^{-1}ua)\bigr) \geqslant 0
égalité seulement si u = 0. Donc tt élt de l'intérieur du cône
de\Phi^{+} engendre (via automorphismes de M) le même cône
\Phi^{+}. C'est la donnée du cône \Phi^{+} qui, intrinsèquement,
constitue une structure supplémentaire importante.
Dégager la structure déduite :
Ariemannienne, \Phi sur Alibre, , Trace sur A, autres ; le bon
cône de \PhiNote marginale écrite en diagonale, à gauche du texte, liste rapide
dont les mots sont pour moitié perdus.
On notera que, sous cette forme abstraite, on ne peut (parmi les cônes
possibles, correspondants aux divers choix de \varphi) en distinguer de
meilleurs que d'autres. Ainsi, si \varphi satisfait la condition de
positivité , de même -\varphi, qui définit le cône -\Phi^{+}.
Note aussi : Pour un cône convexe fermé si v, w \in A^{+},
alors \mathrm{Tr}\, vw \geqslant 0 [et en fait, A^{+}
est son propre polaire dans A^{s} pour la forme \mathrm{Tr}\, vw].
« hermitiens » ajouté au-dessus de A^{s}.
Or pour
Or, la forme \mathrm{Tr}\, vw devient la forme sur
\Phi \simeq (\check M \otimes \check M(p))déduite par
\check\varphi \otimes \check\varphi, ou encore,Bloc encadré et barré d'une diagonale.
identifiant A d'une part par \Theta_{\varphi} à
\Phi(M) = \check M \otimes \check M(p), d'autre part via
u \mapsto {}^{t}u et \check\varphi [ou via
\Phi(M) \simeq \Phi(M^{*}), à l'aide de l'isom.
\tilde\varphi \colon M \to M^{*}] à \Phi(M^{*}) = M \otimes M(-p), la
forme \mathrm{Tr}\, vw sur A \times A devient la forme évidente de
contraction sur \Phi(M) \times \Phi(M^{*}). Notons d'autre part que pour
tt cône positif « admissible » \Phi^{+}(M) dans
\Phi(M), correspond un « cône admissible » \Phi^{+}(M^{*})
dans \Phi(M^{*}), en prenant les \check\varphi^{*}
(\varphi \in \Phi^{+}(M^{*})).
Lecture douteuse de l'argument entre parenthèses ; on attendrait
\varphi \in \Phi^{+}(M).
Ceci posé, on voit que \Phi^{+}(M) et \Phi^{+}(M^{*}) sont
polaires l'un de l'autre. Conséquence :
Si on a deux cônes convexes fermésP, P^{*} dans \Phi(M),
\Phi(M^{*}), qui sont tels que
P, P^{*} stables par automorphismes(P, P^{*}) \geqslant 0Il existe \varphi, \varphi^{*} polaires l'un de l'autre,
« admissibles » [i.e. Pour\varphi non dég. et
\mathrm{Tr}\, u^{\varphi} u \geqslant 0 pour tt u \in A], avec
\varphi \in P, \varphi^{*} \in P^{*}
alors P, P^{*} sont nécessairement deux cônes
admissibles, (et en particulier chacun est déterminé
par l'autre, et \mathring{P}{}^{+} contient les \check\varphi pour
\varphi \in \mathring{P}{}^{+}).
Le rond au-dessus de P, et plus loin de \Phi, n'est pas défini
sur ces pages ; dans la première occurrence, un exposant est biffé et
remplacé par +.
Abstraitement
Nous avons une algèbre A ½-simple de type fini, munie d'une forme
\mathrm{tr} sur \mathbb{Q}, telle que \mathrm{tr}(uv) non dégénérée,
un bimodule\Phi (à droite) sous A \otimes A (\rho,
l'isom. de A écrite u\varphi v)
transportés de rang 1 sur A \otimes 1 et sur 1 \otimes A(isom. correspond. à A), le \mathbb{Q}-dual \Phi^{*},
muni de sa structure de module sur
A^{\circ} \otimes A^{\circ}A par conséquent. Pour un élément
\varphi de \Phi, il de dire qu'il est une bonne« sur \mathbb{Q} » et « (à droite) » sont ajoutés en interligne.
Les deux dernières lignes de la page, dont une biffée, ne se lisent pas.
il lui correspond alors \tilde\varphi un élément canoniqueDeux lignes biffées ; dans la première, « unique » est biffé et
remplacé par « canonique » avant que la ligne entière ne le soit.
sur 1 \otimes A — sur A \otimes 1. L'utilisant pour écrire un isom. de
modules sur A \otimes 1 : \Phi \simeq A, et utilisant
composant avec \mathrm{tr} sur A dont A \simeq A, on
obtient une forme sur \Phi, i.e. un élt \check\varphi. Provient ? de forme pareil. On peututiliser une symétrie de \Phi qui échange les
deux structures de A-modules. L'application
\mathring{\Phi}{}^{*} \to \mathring{\Phi}{}^{*} commutant néc. à cette
symétrie. Pour tt élt \varphi de \mathring{\Phi}{}^{s} [fixe par
symétrie] au moyen d'une formeune bijectionA \to \Phi, d'où sur A une involution application
u \mapsto u^{\varphi} linéaire, telle que (u^{\varphi})^{\varphi} = u,
[dites déterminée mod composition composition avec aut.
int. par un élt a de A tel que a^{\varphi} = a, si
\varphi \sim \psi]. Ceci on fait la par
\check\varphi, — donner une A^{\circ} = A (semi-simplicité !)
! La structure de donnée d'une la structure
a\,u\,b^{\varphi}, et \varphi \sim \varphi' donnent
u \mapsto u^{\varphi}Page de brouillon rapide : les formules portent, la prose de liaison
est aux deux tiers perdue.
(mais non : conjugaison par !)Note marginale cerclée, en haut à gauche, ouverte par un grand
signe, Z ou \Sigma, non lu.
On a ici (uv)^{\psi} = v^{\psi} u^{\psi} (indépendant du
choix particulier de \psi)
On dit que (A, \Phi)\Phi\varphi est
riemannien si A, muni de la trace et de
l'involution u \mapsto u^{\varphi}, est une algèbre riemannienne, i.e.
lorsque\mathrm{Tr}\, u^{\varphi} u \geqslant 0 \qquad \forall u
[NB utilisant les identifications A \simeq \Phi,
A^{\circ} \simeq \Phi^{*} définies par \varphi et
\check\varphi^{-1}, la forme \mathrm{Tr}\, u^{\varphi} u
sur A^{\circ} \times A s'identifie à la forme canonique sur
\Phi \times \Phi^{*}, elle est donc non dégénérée].
Tout \varphi riemannien définit comme plus haut un cône convexe fermé
\Phi^{+}(\varphi) = \Phi^{+}, savoir le plus petit cône convexe fermé
stable par u \otimes u (u \in A) contenant \varphi, et qui correspond
par \Theta_{\varphi} \colon A \simeq \Phi au cône des « éléments
positifs » de l'algèbre hilb. riemannienne A, engendré par les
éléments de la forme u^{\varphi} u. De même,
A^{\circ} \to \Phi^{*} transforme en \Phi^{*+} défini
en termes de \check\varphi^{-1}. La théorie des alg.
hilbertiennes nous dit que les cônes \Phi^{+} et \Phi^{*+} sont
polaires l'un de l'autre, que leurs
intérieurs correspondent aux formes non dégénérées, ou
encore (étant toutes des riemanniennes ) riemanniennes, et que pour
tt\psi de l'intérieur de \Phi^{+}(\varphi) le cône
\Phi^{+}(\psi)est égal à\Phi^{+}(\varphi).
Un mot interlinéaire, « pri », au-dessus de « riemanniennes » dans
la parenthèse, non résolu.
On trouve ainsi dans \Phi un certain nombre de cônes convexes fermés
P_{\alpha} deux à deux distincts, stables par les
u \otimes u (u \in A) et dont les intérieurs sont deux à deux
disjoints, la réunion des intérieurs étant l'ens. des formes riemanniennes
relativement à \Phi.
« fermés » et « des intérieurs » ajoutés en interligne.
S'il y a une \varphi riemannienne, alors -\varphi est riemannienne,
mais certainement pas dans le même cône (les deux cônes opposés).
Quel est la signification de l'invariant : « nb des cônes
riemanniens dans \Phi » (qu'on peut aussi considérer comme un invariant
pour une alg. riemannienne ouA, — sur \mathbb{R}].
Tapuscrit : « 10. Passage à la limite projective dans les préschémas en groupes et les préschémas à groupe d'opérateurs » (pages 32 à 40)
Tapuscrit de neuf feuillets numérotés 1 à 9 en tête, de sa main,
portant les numéros 10.0 à 10.16 ; il s'interrompt au milieu d'une phrase
au bas de la page 40. Chaque feuillet est corrigé de sa main, au crayon et
à l'encre bleue : les insertions sont en , les suppressions en
. La machine écrit « lim » avec une flèche pour la limite
inductive, un \mathbb{T} gras pour la topologie, \mathcal{O} pour le
faisceau structural et \kappa pour le corps résiduel ; le symbole
\psi des pages 38-39 est tapé.
Les 11 pages qui suivent sont le texte correspondant
aux anciennes pages 82 à 117)Note cerclée dans la marge gauche, de sa main.
10. Passage à la limite projective dans les préschémas en groupes et les préschémas à groupe d'opérateurs.
10.0. Rappelons le résultat essentiel de (EGA IV 8.8) : Etant donnée la
situation suivante : S_{0} un préschéma quasi-compact et quasi-séparé,
I un ensemble préordonné filtrant croissant, (\mathcal{A}_{i})_{i \in I}
un système inductif de \mathcal{O}_{S_{0}}-Algèbres commutatives
quasi-cohérentes, \mathcal{A} = \varinjlim \mathcal{A}_{i},
S_{i} = \mathrm{Spec}\, \mathcal{A}_{i} pour i \in I, et
S = \mathrm{Spec}\, \mathcal{A}, alors la catégorie des S-préschémas de
présentation finie est déterminée à équivalence près par la donnée des
catégories des S_{i}-préschémas de présentation finie, des foncteurs
\rho_{ij} \colon X_{i} \mapsto X_{i} \times_{S_{i}} S_{j} pour
i \leqslant jentre ces catégories, et des isomorphismes de
transitivité \rho_{jk} \circ \rho_{ij} \xrightarrow{\sim} \rho_{ik}.
Plus précisémentPrécisons.« entre ces catégories » est cerclé et relié par un trait au mot
« foncteurs », pour être déplacé.
Etant donné j \in I, et un S_{j}-préschéma de présentation finie
X_{j}, nous poserons, pour tout i \in I tel que j \leqslant i,
X_{i} = X_{j} \times_{S_{j}} S_{i}, et X = X_{j} \times_{S_{j}} S.
Alors (EGA IV 8.8.2) :
Etant donné j \in I, et deux S_{j}-préschémas de
présentation finie X_{j} et Y_{j}, l'application canonique de
\varinjlim_{i \geqslant j} \mathrm{Hom}_{S_{i}}(X_{i}, Y_{i}) dans
\mathrm{Hom}(X, Y) est bijectivePour tout S-préschéma de présentation finie X, il existe
un indice j \in I, et un S_{j}-préschéma de présentation
finie X_{j} et un S-isomorphisme
X \simeq X_{j} \times_{S_{j}} S.
On en conclut (EGA IV 8.8.3) que, chaque fois qu'on aura un diagramme D
portant sur un nombre fini d'objets et de flèches de la catégorie des
S-préschémas de présentation finie, on peut trouver un indice i \in I
et un diagramme D_{i} dans la catégorie des S_{i}-préschémas de
présentation finie, tels que le diagramme D provienne à isomorphisme
près du diagramme D_{i} par le changement de base S \to S_{i}. On peut
même trouver i et D_{i} tels que tout carré cartésien de D provienne
d'un carré cartésien de D_{i}.
10.1. De plus, un grand nombre de propriétés
courantes pour un morphisme, stables par changement de base, possèdent la
propriété suivante ; étant donné un indice j \in I deux
S_{j}-préschémas de présentation finie X_{j} et Y_{j} et un
S_{j}-morphisme u_{j} \colon X_{j} \to Y_{j}, pour que
u = u_{j} \times_{S_{j}} S ait la propriété \mathbb{P}, il faut et il
suffit qu'il existe un indice i \in I tel que j \leqslant i et que
u_{i} = u_{j} \times_{S_{j}} S_{i} ait la propriété \mathbb{P}. Il en
est ainsi dans le cas où \mathbb{P} est lal'une des
propriétéssuivantes pour un morphisme : être séparé,
surjectif, radiciel, affine, quasi-affine, fini, quasi-fini, propre,
projectif, quasi-projectif, un isomor-
phisme, un monomorphisme, une immersion, une immersion ouverte, une
immersion fermée, lisse, non ramifié ou étale (EGA IV 8.10.5, 11.2.6 et
17.7.6). Remarquons qu'il en est encore ainsi dans le cas
où \mathbb{P} est la propriété d'être couvrant pour la topologie
fidèlement plate localement de présentation finie (notée fppf) ; en effet,
étant donnés deux S-préschémas de présentation finie X et Y, et un
morphismeS-morphismeu \colon X \to Y, il résulte de
(Exp. IV 6.3.1 (i)) que, pour que u soit couvrant pour la topologie
fppf, il faut et il suffit qu'il existe un S-préschéma Z et un
S-morphisme v \colon Z \to Y fidèlement plat et de présentation finie
qui se factorise à travers u.
Le but de ce numéro est d'étendrede donner des variantes
de ce genre de résultats àpour la catégorie des
S-groupes de présentation finie, et à celle des S-préschémas
à groupe d'opérateurs, et àpour certaines propriétés pour
des monomorphismes de groupes (être invariant, central, à faisceau
quotient inversible, etc ...).
Les deux résultats préliminaires de ce type sont les suivants :
10.12. Dans la situation rappelée au début de
(10.0), soient j \in I, G_{j} et H_{j} deux
S_{j}-groupes de présentation finie ; posons, pour tout i \in I tel
que j \leqslant i, G_{i} = G_{j} \times_{S_{j}} S_{i},
G = G_{j} \times_{S_{j}} S, et définissons de même H_{i} et H. Alors
l'application canonique de
\varinjlim_{i \geqslant j} \mathrm{Hom}_{S_{i}\text{-gr.}}(G_{i}, H_{i})
dans \mathrm{Hom}_{S\text{-gr.}}(G, H) est bijective.
10.23. Dans la situation rappelée au début de
(10.0), soit G un S-groupe de présentation finie ; alors il existe un
indice j \in I, et un S_{j}-groupe de présentation finie
G_{j}, et un S-isomorphisme de groupes de G sur
G_{j} \times_{S_{j}} S.
Les assertions (10.12) et (10.23) sont des
conséquences faciles de EGA IV 8.8.2 et 8.8.3(10.0) et
(10.1) compte tenu de l'interprétation de la structure de S-groupe
donnée en (EGA 0_{\mathrm{III}} 8.2.5 et 8.2.6).
Le bas de la page est recouvert d'une bande collée, sous laquelle
transparaît une première rédaction de 10.4 (une liste (i), (ii), (iii)
de propriétés d'un morphisme de préschémas en groupes) ; elle n'est pas
transcrite. La page 34 s'ouvre sur la fin de cette liste, biffée.
fermé de H),
(v) être un monomorphisme central (6.6),
vi) être un monomorphisme invariant (6.6).soit un monomorphisme central (resp. un monomorphisme
invariant)Les deux lignes (v), (vi) sont barrées de traits obliques, et la
phrase encadrée dans la marge droite, reliée par un trait au lieu de
« ait la propriété \mathbb{P} » biffé ci-dessous, la remplace ; le
numéro « 10.4. » est écrit dans la marge gauche.
10.4. Soient j \in I, G_{j} et H_{j} deux S_{j}-groupes de
présentation finie, et u_{j} \colon G_{j} \to H_{j} un morphisme de
S_{j}-groupes. Pour que u = u_{j} \times_{S_{j}} Sait la
propriété \mathbb{P}, il faut et il suffit qu'il existe i \in I,
i \geqslant j tel que u_{i} = u_{j} \times_{S_{j}} S_{i} ait la
même propriété \mathbb{P}.
Les assertions (i) à (iv) résultent de (EGA 8.10.5). Les
assertions (v) et (vi)C'estsont une conséquence
immédiate de EGA 8.8.2 et 8.8.3(10.0) et (10.1) compte
tenu de la caractérisation donnée en (6.7) des monomorphismes de groupes
centraux et invariants.
Corollaire10.5. Soit j \in I, et soit G_{j} un
S_{j}-groupe de présentation finie. Pour que
G = G_{j} \times_{S_{j}} S soit abélien, il faut et il suffit qu'il
existe i \in I, i \geqslant j, tel que G_{i} = G_{j} \times_{S_{j}}
S_{i} soit abélien.
En effet, il revient au même de dire qu'un S-groupe est abélien, ou que,
considéré comme sous-préschéma en groupes de lui-même, il est central.
Proposition 10.6. — Dans la situation rappelée au début de
(10.0), soient j \in I, G_{j} un S_{j}-groupe de présentation finie,
G'_{j} un sous-préschéma en groupes de G_{j} plat et de présentation
finie sur S_{j}. Pour que
G_{j} \times_{S_{j}} S / G'_{j} \times_{S_{j}} S soit représentable
(pour la topologie fpqc), il faut et il suffit qu'il existe i \in I,
i \geqslant j, tel que
G_{j} \times_{S_{j}} S_{i} / G'_{j} \times_{S_{j}} S_{i} soit
représentable.
C'est une conséquence du lemme plus général suivant :
Lemme 10.7. — Soit \mathbb{T} la topologie fppf ou fpqc ;
soient j \in I, X_{j} un S_{j}-préschéma de
présentation finie, et R_{j} une relation d'équivalence sur X_{j}
définie par un S_{j}-monomorphisme
v_{j} \colon R_{j} \to X_{j} \times_{S_{j}} X_{j} tel que le morphisme
\mathrm{pr}_{1,j} \circ v_{j} \colon R_{j} \to X_{j} déduit de v_{j}
par composition avec la première projection
X_{j} \times_{S_{j}} X_{j} \to X_{j} soit plat et de présentation finie.
Alors, pour que le faisceau quotient
X_{j} \times_{S_{j}} S / R_{j} \times_{S_{j}} S pour la topologie
\mathbb{T} soit représentable, il faut et il suffit qu'il existe
i \in I, i \geqslant j, le faisceau quotient
X_{j} \times_{S_{j}} S_{i} / R_{j} \times_{S_{j}} S_{i} pour la
topologie \mathbb{T} soit représentable.
Compte tenu des énoncés de (EGA IV 8.8.2, 8.8.3, 8.10.5 et 11.2.6)
rappelés en (10.0), ce lemme est conséquence du résultat suivant :
Lemme 10.8. — Soit \mathbb{T} la topologie fppf ou fpqc ;
soient X un S-préschéma de présentation finie (resp.
localement de présentation finie), R une relation d'équivalence sur X
définie par un monomorphisme v \colon R \to X \times_{S} X tel que
\mathrm{pr}_{1} \circ v soit plat et de présentation finie (resp. plat
et localement de présentation finie). Alors les conditions suivantes sont
équivalentes :
Le faisceau quotient X/R pour la topologie \mathbb{T} est
représentable.il existe un S-préschéma de présentation finie (resp.
localement de présentation finie) Y et un morphisme fidèlement plat
p \colon X \to Y tel que le diagramme
\begin{tikzcd}
R \arrow[r, "\mathrm{pr}_{1} \circ v"] \arrow[d, "\mathrm{pr}_{2} \circ v"'] & X \arrow[d, "p"] \\
X \arrow[r, "p"'] & X
\end{tikzcd}
Le diagramme est étiqueté (D) sur la page ; son coin inférieur
droit est tapé X, coquille pour Y, laissée telle quelle.
(où \mathrm{pr}_{1} et \mathrm{pr}_{2} sont les projections
X \times_{S} X \rightrightarrows X) soit cartésien.
Notons d'abord que d'après (Exp. IV 3.3.2 et 4.4.3), pour que le faisceau
X/R pour la topologie \mathbb{T} soit représentable par Y, il faut
et il suffit que le diagramme (D) soit cartésien et que p soit couvrant
pour la topologie \mathbb{T}.
Montrons que i) entraîne ii). L'hypothèse (i) implique que le diagramme
(D) est cartésien, donc que \mathrm{pr}_{1} \circ v se déduit de p par
changement de base par p, et que p est
est couvrant pour la topologie fpqc. Puisque \mathrm{pr}_{1} \circ v est
fidèlement plat et de présentation finie, (resp. fidèlement plat et
localement de présentation finie), il en est de même de p (EGA IV
2.7.1), et comme X est de présentation finie (resp. localement de
présentation finie) sur S, il en est de même de Y (EGA IV 17.7.4).
« est » est répété au passage de la page 35 à la page 36 ; tel
quel.
Montrons que ii) entraîne i). Il suffit de montrer que p est couvrant
pour la topologie fppf ; or p est fidèlement plat par hypothèse, et
localement de présentation finie, puisque X et Y sont localement de
présentation finie sur S.
10.9. — Dans la situation rappelée au début de (10.0), soient
j \in I, et G_{j} un S_{j}-groupe de présentation finie. Pour que
G^{\circ} = (G_{j} \times_{S_{j}} S)^{\circ} soit représentable, il
faut et il suffit qu'il existe i \in I, i \geqslant j,
tel que (G_{i})^{\circ} = (G_{j} \times_{S_{j}} S_{i})^{\circ} soit
représentable.
La condition est suffisante (3.3).
Montrons que la condition est nécessaire. AlorsEn effet,G^{\circ} est de présentation finie sur S et ouvert dans G (3.9).
D'après (10.0), il existe i \in I, i \geqslant j, et un
sous-préschéma en groupes ouvert G_{i}^{\circ} de G_{i} tel que
G_{i}^{\circ} \times_{S_{i}} S = G^{\circ}. Le morphisme structural
G^{\circ} \to S est connexe (i.e. à fibres géométriquement connexes)
(Exp. VI_{\mathrm{A}} 2.1.1). Alors, (EGA IV 9.3.3 et 9.7.7), quitte à
augmenter i, on peut supposer que le morphisme structural
G_{i}^{\circ} \to S est connexe, donc que l'espace sous-jacent à
G_{i}^{\circ} n'est autre que (G_{i})^{\circ} (3.10.1), donc que
G_{i}^{\circ} représente (G_{i})^{\circ}.
10.10. Rappelons deux cas particuliers très utiles de la
situation énoncée en (10.0).
Etant donné un point x d'un préschéma X, on pose
S_{0} = \mathrm{Spec}\, \mathbb{Z} et on considère la famille
(S_{i})_{i \in I} filtrante décroissante des voisinages
ouverts affines de x ; alors
S = \mathrm{Spec}\, \mathcal{O}_{X,x}. En particulier, si x est le
point générique d'un schéma intègre X, on trouve S = \kappa(x).On pose S_{0} = \mathrm{Spec}\, \mathbb{Z}, et on considère
la famille (\mathcal{A}_{i})_{i \in I} préordonnée par inclusion des
sous-\mathbb{Z}-algèbres de type fini de l'anneau d'un schéma affine
S.
Etant donné que les \mathcal{A}_{i} sont des anneaux
noethériens, cela permet dans de nombreux cas de passer du cas
général au cas noethérien.
« général » et « noethérien » sont cerclés et reliés par une double
flèche, avec dans la marge, cerclé, « intervertir » : lire du cas
noethérien au cas général.
Nous allons maintenant donner deux résultats concernant le cas
particulier envisagé en a).
Proposition 10.11. — Soient S un préschéma intègre de point
générique \eta, G un S-groupe de présentation finie, X un
S-préschéma de présentation finie, u et v deux S-morphismes de X
dans G, i \colon H \to G et j \colon K \to G deux monomorphismes de
présentation finie. Alors :
il existe un ouvert non vide S' de S tel que si on note
G' (resp. H', resp. X', resp. u', resp. v') la restriction
de G (resp. H, resp. X, resp. u, resp. v) au-dessus de
l'ouvert S' de S, le foncteur \underline{\mathrm{Transp}}(u', v')
(resp. \underline{\mathrm{Centr}}(u'),
\underline{\mathrm{Centr}}_{G'}H') soit représentable par un
sous-S'-préschéma fermé de présentation finie T'_{1} (resp.
C'_{1}, resp. C'_{2}) de G'.supposons que K_{\eta} soit fermé dans G_{\eta} (ce qui
est le cas si K est un sous-S-préschéma en groupes de G
(1.4.2)) ; alors il existe un ouvert non vide S' de S tel que si
on note G' (resp. H', resp. K') la restriction de G (resp.
H, resp. K) au-dessus de l'ouvert S' de S, le foncteur
\underline{\mathrm{Transp}}_{G'}(H', K') (resp.
\underline{\mathrm{Norm}}_{G'}K') soit représentable par un
sous-S'-préschéma fermé de présentation finie T'_{2} (resp. N')
de G'.supposons que H_{\eta} et K_{\eta} soient fermés dans
G_{\eta} (ce qui est le cas si H et K sont des sous-préschémas
en groupes de G (1.4.2)) ; alors il existe un ouvert non vide
S' de S tel que si on note G' (resp. H', resp. K') la
restriction de G (resp. H, resp. K) au-dessus de l'ouvert S'
de S, le foncteur \underline{\mathrm{Transpstr}}_{G'}(H', K') soit
représentable par un sous-S'-préschéma fermé de présentation finie
de G'.
Puisque G_{\eta}, X_{\eta}, H_{\eta}, K_{\eta} sont plats sur le
corps \kappa(\eta), et que
G_{\eta} est séparé sur \kappa(\eta) (Exp. VI_{\mathrm{A}} 0.2),
d'après (10.2, 10.10 a), EGA IV 8.8.2 et 8.10.5), il existe un ouvert
affineS' de S tel que G' soit un S'-groupe de typeprésentation finie, plat et séparé sur S', et que X', H'
et K' soient plats et de présentation finie sur S'. Si on suppose
H_{\eta} (resp. K_{\eta}) fermé dans G_{\eta}, on peut choisir S'
de sorte que H' (resp. K') soit fermé dans G'. D'après (EGA IV
11.3.15), quitte à remplacer S' par un ouvert affine de S', on peut
supposer que G', H', K' et X' sont essentiellement libres sur S'
(au sens de Exp. VIII (6.1)). Il résulte alors de (Exp. VIII 5.5 b) et
e)^{(*)}) que, sous les hypothèses de l'énoncé, les foncteurs considérés
sont représentables par des sous-préschémas fermés (donc de présentation
finie sur S') de G'.
(*) Voir note page 51Appel de note et renvoi ajoutés de sa main, le renvoi au bas de la
page, suivi d'un chiffre cerclé, 40. Les « Exp. » de cette
page sont biffés d'un trait à chaque occurrence (« Exp. » → « VI_A »,
« VIII ») ; on les a conservés.
Proposition 10.12. — Soient S un préschéma intègre, G un
S-groupe de présentation finie, A et B deux
sous-préschémas en groupes de présentation finie de G, à fibre
générique lisse, tels que A soit à fibre générique
connexe (resp. A et B soient invariants dans G).
Alors il existe un ouvert non vide S' de S et un sous-préschéma en
groupes fermé, D' de présentation finie, à fibres lisses
et fermé D' de G' = G|S', tel que D' soit à
fibres connexes (resp. soit invariant dans G'), et que D' représente
le faisceau associé, pour la topologie fppf ou fpqc, au préfaisceau en
groupes des commutateurs de A et B dans G. En particulier, pour tout
s \in S', on a D'_{s} = (A_{s}, B_{s}) avec les notations de (7.2
(vii)).
Soit \eta le point générique de S ; posons
D'_{\eta} = (A_{\eta}, B_{\eta}). D'après (7.8) (resp. 7.3 v)),
D'_{\eta} est connexe (resp. invariant dans G_{\eta}). D'après (10.1
et 10.10 a)), il existe un ouvert non vide S' de S et un
sous-S'-préschéma en groupes D' de présentation finie et fermé dans
G', à fibres séparables (EGA IV 9.7.7 et 9.3.3), ayant D'_{\eta} pour
fibre au point \eta, et tel que D' soit à fibres connexes (i.e.
géométriquement connexes (Exp. VI_{\mathrm{A}} 2.1.1)) (resp. soit
invariant dans G') (EGA IV 9.7.7 et 9.3.3 (resp. (10.4)). De plus, nous
avons vu, au cours de la démonstration de (7.8), qu'il existe un entier
n tel que
\psi_{\eta}^{n}\bigl((A_{\eta} \times_{\kappa(\eta)} B_{\eta})^{n}\bigr)
= D', où
\psi_{\eta} \colon A_{\eta} \times_{\kappa(\eta)} B_{\eta} \to G_{\eta}
est défini comme en (7.2 (vii)). Nous pouvons définir, par les mêmes
formules qu'en (7.2 (vii) et 7.1 (ii)), les morphismes
\psi' \colon A' \times_{S'} B' \to G' et
\psi'^{n} \colon (A' \times_{S'} B')^{n} \to G', on a bien
\psi'^{n}(\kappa(\eta)) = \psi_{\eta}^{n}. Par conséquent (EGA IV 8.8.3
et 8.10.5 et 17.2.6), on peut choisir S' tel que le morphisme
\psi'^{n}soit plat et se factorise à travers D', et que le
morphisme (A' \times_{S'} B')^{n} \to D' déduit de \psi'^{n} soit
surjectif. Alors (7.5) le morphisme (A' \times_{S'} B')^{n+1} \to D'
déduit de \psi'^{n+1} est couvrant pour la topologie fppf (et a fortiori
pour la topologie fpqc). Donc D' représente le faisceau associé, pour la
topologie fppf ou fpqc, au préfaisceau des commutateurs de A et B dans
G. De plus, pour tout s \in S', le morphisme
(A_{s} \times_{\kappa(s)} B_{s})^{n} \to D'_{s} déduit de
\psi_{s}^{n} est surjectif ; donc (7.6), (A_{s}, B_{s}) représente le
faisceau des commutateurs de A_{s} et B_{s} dans G_{s} (pour la
topologie fppf ou fpqc), d'où D'_{s} = (A_{s}, B_{s}).
Corollaire 10.13. — Soient S un préschéma intègre de point
générique \eta, G un S-groupe de présentation finie, D un
sous-S-préschéma en groupes de présentation finie de G à fibres
lisses et invariant dans G. Supposons qu'on ait
(D_{\eta}, D_{\eta}) = D_{\eta} (resp. (G_{\eta}, D_{\eta}) = D_{\eta}).
Il existe alors un ouvert non vide S' de S tel que pour tout
s \in S', on ait (D_{s}, D_{s}) = D_{s} (resp.
(G_{s}, D_{s}) = D_{s}).
Cela résulte immédiatement de (10.12) et de (EGA IV 8.8.2.5).
Les énoncés (10.12) et (10.23) concernant la
catégorie des S-groupes de présentation finie s'étendent à la catégorie
des couples formés d'un S-groupe de présentation finie et d'un
S-préschéma de présentation finie à groupe d'opérateurs
G. De façon précise :
10.14. (i) Dans la situation rappelée au début de (10.0), soient
j \in I, G_{j} et G'_{j} deux S_{j}-groupes de présentation finie,
H_{j} (resp. H'_{j}) un S_{j}-préschéma de présentation
finie à groupe d'opérateurs G_{j} (resp. G'_{j}). Posons, pour
i \in I, i \geqslant j, G_{i} = G_{j} \times_{S_{j}} S_{i} et
G = G_{j} \times_{S_{j}} S, et définissons de même G'_{i}, G',
H_{i}, H, H'_{i}, et H'. Notons
\mathrm{Dihom}_{S\text{-gr.}}((G, H), (G', H')) l'ensemble des
di-morphismes de S-groupes et de S-préschémas à groupe d'opérateurs
du couple (G, H) dans le couple (G', H'). Alors l'application
canonique de
\varinjlim_{i \geqslant j} \mathrm{Dihom}_{S_{i}\text{-gr.}}((G_{i}, H_{i}),
(G'_{i}, H'_{i})) dans \mathrm{Dihom}_{S\text{-gr.}}((G, H), (G', H'))
est bijective.
(ii) Dans la situation rappelée au début de (10.0), soient G un
S-groupe de présentation finie et H un S-préschéma
de présentation finie à groupe d'opérateurs G ; il existe alors un
indice j \in J, un S_{j}-groupe de présentation finie G_{j}, un
S_{j}-préschéma de présentation finie H_{j} à groupe d'opérateurs
G_{j} et un di-isomorphisme de S-groupes et de S-préschémas à
groupes d'opérateurs de (G_{j} \times_{S_{j}} S, H_{j} \times_{S_{j}} S)
sur (G, H).
« j \in J » est tapé ainsi, pour j \in I ; tel quel.
PropositionDéfinition10.15. — Etant donné un
S-foncteur en groupes G et un S-foncteur H à groupe d'opérateurs
G, on dit que H est un S-foncteur en espaces homogènes sous
G pour la topologie \mathbb{T}, si le morphisme canonique
G \times_{S} H \to H \times_{S} H (défini par
(g, h) \mapsto (g.h, h) pour g \in G(T), h \in H(T)) est un
épimorphisme de faisceaux pour la topologie \mathbb{T}.
Si G est un S-groupe et si H est un S-préschéma à
groupe d'opérateurs G, dire que H est un
S-préschéma en espaces homogènes sous G pour la topologie
\mathbb{T} revient donc à dire que le morphisme canonique
G \times_{S} H \to H \times_{S} H défini comme précédemment est couvrant
pour la topologie \mathbb{T} (Exp. IV 4.4.3).
De même, dire qu'un S-préschéma H à groupe d'opérateurs un S-groupe
G est un fibré principal homogène sous G pour la topologie
\mathbb{T} (Exp. IV 5.1.5) revient à dire (Exp. IV 5.6 (ii)) que le
morphisme canonique G \times_{S} H \to H \times_{S} H est un
isomorphisme et que le morphisme structural H \to S est couvrant pour
la topologie \mathbb{T}.
10.16. — Dans la situation rappelée au début de (10.0), soient
j \in I, G_{j} un S_{j}-grou-
Le feuillet s'arrête ici, au milieu du mot ; la suite est dans le
lot suivant.