Cote n° 1 · batch 8 · pages 141–149 · Transcription · Analyse fonctionnelle : notes manuscrites (s.d.), lettre (1953)
Datation de l’inventaire : 1953
Édition de démonstration

TEI P5 source — open the XML · download batch-08.fr.xml

Dernier lot du dossier : neuf pages, toutes transcrites. Les pages 141 et 142, à l'encre, énoncent une proposition sur la convergence des suites d'hermitiens dans \(\mathcal{L}^p(H)\) et ses corollaires. Les pages 143 à 147, au crayon, reprennent la question pour les espaces de Banach, démontrent deux inégalités sur les nombres singuliers, et établissent un lemme sur les petites valeurs singulières d'une suite convergente. Les pages 148 et 149, à l'encre, portent un théorème sur les opérateurs \(P_n(u)\) et \(R(u) = \det(1+u)/(1+u)\) d'un opérateur à trace.

141Proposition. Pour que la suite \((H_i)\) d'hermitiens \(\in \mathcal{L}^p(H)\) converge vers \(H_0 \in \mathcal{L}^p(H)\), il faut et il suffit que

1°) \(\|H_i\|_p \to \|H_0\|_p\) (ou seulement \(\limsup_{i \to \infty} \|H_i\|_p \leq \|H_0\|_p\))

2°) Pour tout \(\lambda\) du spectre de \(H_0\), (soit \(\alpha > 0\) tel qu'il n'existe pas d'autre \([\lambda - \alpha, \lambda + \alpha]\) ne contienne valeur spectrale \(\mu \neq \lambda\) de \(H_0\) telle que \(|\lambda - \mu| \leq \alpha\) l'ensemble spectral de \(H\) […] et telle et tel que \(\lambda - \alpha\) et \(\lambda + \alpha\) n'appartiennent aux spectres d'aucun \(H_i\)) alors la projection spectrale \(H_i\), de \(H_i\) relative dans \([\lambda - \alpha, \lambda + \alpha]\) est de dimension […] égale à qui finit par être égale à celle de \(H_0\), et \(h_i \to h_0\) (inutile de spécifier la topologie, cela résulte d'une proposition préliminaire sur l'identité de toutes ces topologies) les projections spectrales sont notées \(h_i\), \(h_0\) en minuscules ; la parenthèse finale est serrée en bas de l'énoncé, sur deux lignes

Corollaire 1. Les deux conditions suivantes sont néc. et suff. pour la convergence de la suite \(H_i\) vers \(H_0\)

1) \(\|H_i\|_p \to \|H_0\|_p\) (resp. […])

2) \(H_i \to H_0\) dans \(\mathcal{L}^\infty(H)\)

Corollaire 2. \(A \to |A|^r\) est application continue de \(\mathcal{L}^p\) dans \(\mathcal{L}^{p/r}\).

En effet, elle est composée de \(A \to A^{*}A\), continue de \(\mathcal{L}^p\) dans \(\mathcal{L}^{p/2}\), avec

142\(H \to H^{r/2}\) de \(\mathcal{L}^{+\,p/2}\) dans \(\mathcal{L}^{p/r}\) ; or, les conditions de la prop. 1 sont manifestement vérifiées […] (condition 1 triviale, condition 2 se voit ainsi en se ramenant à […] en interligne : « la dimension » finie, on est ramené au cas trivial (\(\sum_{i=1}^{n} \lambda_i\, a_i \otimes a_i\), \(\lambda_i \geq 0\) et \(a_i\) variables, \(\to \lambda_i^{(0)}\) et \(a_i^{(0)}\) ; […] pour \(\sum \lambda_i^{r/2}\, a_i \otimes a_i\) […]) le \(\mathcal{L}^{+\,p/2}\) porte un \(+\) en exposant, pour le cône des hermitiens positifs

Remarque 1 Si \(1 \leq p \leq 2\), pour qu'une suite d'hermitiens \(H_i\) dans \(\mathcal{L}^p\) converge, il faut et il suffit qu'elle converge faiblement, et que \(\|K_i\| \to \|K\|\) ainsi, \(K\) pour \(H\), et la norme sans indice (cela est connu au cas hilbertien) Est-ce vrai si \(p < +\infty\) ? Uniforme convexité de \(\mathcal{L}^p\) ?

Remarque 2 Est-ce que \(S_p\bigl(|H^r - K^r|^{1/r}\bigr)\) est fonction croissante de \(r\) (\(H\) hermitien positif) ? — Il suffirait de le savoir pour \(r < 1\) […]. \[\bigl\|\,|H^r - K^r|^{1/r}\,\bigr\| \leq \|H - K\|\] — Alors on aurait une précision notable dans le corollaire 1.

[…] note au crayon, en biais dans la marge gauche inférieure, biffée de grands traits ; illisible

143le haut de la page est à l'encre, la suite au crayon ; les deux inégalités sont réunies par une accolade \[\begin{gather*} \rho_{m+n-1}(vu) \leq \rho_m(u)\, \rho_n(v) \\ \rho_{m+n-1}(u+v) \leq \rho_m(u) + \rho_n(v) \end{gather*}\] \(u \in\) […] \(E \to F \to G\) dans la marge droite, en regard de la première ligne de la démonstration

En effet, \(\rho_{m+n-1}(vu) = \operatorname*{Inf}_{E_{m+n-2}} \operatorname*{Sup}_{x \perp E_{m+n-2},\ \|x\| \leq 1} \|vux\|\). Or il existe \(E_{n-1} \subset E\) tel que \(\operatorname*{Sup}_{\|x\| \leq 1,\ x \perp E_{n-1}} \|ux\| = \rho_n(u)\) et il existe \(F_{m-1} \subset F\) tel que \(\operatorname*{Sup}_{\|y\| \leq 1,\ y \perp F_{m-1}} \|vy\| = \rho_m(v)\), soit alors \(H = \bar{u}(F_{m-1})\) « \(E_{m+n-2}\) » biffé sous le \(H\) ; le \(\bar{u}\) se lit aussi \(\bar{u}^{-1}\), — on \[\operatorname*{Sup}_{x \perp H \wedge E_{n-1},\ \|x\| \leq 1} \|vux\| \leq \rho_n(u)\, \rho_m(v)\] or \(p - 1 = \operatorname{codim} H \wedge E_{n-1} \geq \operatorname{cod} H + \operatorname{cod} E_{n-1} \geq m - 1 + n - 1 = (m+n-1) - 1\) ainsi ; le « \(1\) » après \(p\) est surchargé, et les deux signes sont écrits \(\geq\), où l'argument demande une majoration d'où \[\rho_p(vu) \leq \operatorname{Inf} \operatorname*{Sup}_{x \perp E_{p-1},\ \|x\| \leq 1} \|vux\| \leq \rho_n(u)\, \rho_m(v)\] à fortiori \(\rho_{m+n-1}(vu) \leq \rho_n(u)\, \rho_m(v)\) encadré.

De même, si \(u, v \in L_0(E, F)\), — on a \(p - 1 = \operatorname{codim}(E_{n-1}, F_{m-1}) \geq m - 1 + n - 1 = (m+n-1) - 1\) même remarque sur le sens du signe, \(\rho_p(u+v) \leq \operatorname*{Sup}_{x \perp E_{n-1},\, F_{m-1},\ \|x\| \leq 1} \|(u+v)x\| \leq \rho_n(u) + \rho_m(v)\) le premier membre \(\rho_p(u+v) \leq\) est barré d'un trait ou souligné d'où à fortiori \(\rho_{m+n-1}(u+v) \leq \rho_p(u+v) \leq \rho_n(u) + \rho_m(v)\).

sous un trait, en bas de page, au crayon : Est-ce qu'on peut avoir \(\limsup \dfrac{|\lambda_i(u)|}{\rho_i(u)} = +\infty\) ; Hypothèse : invraisemblable pour \(|\lambda_i(u)| \leq \rho_{i/2}(u)\) ou analogue ? l'indice du dernier \(\rho\) se lit \(i/2\)

[…] parties […] trois mots au crayon, soulignés, écrits de bas en haut dans la marge gauche vers le milieu de la page

144page au crayon, pâle ; les énoncés se lisent, la prose entre eux beaucoup moins

Si \(E\) est un Banach, et si \(u_i \to u\) dans \(L_0(E)\), alors \(\sigma(u_i) \to \sigma(u)\) dans le sens connu […]. De plus, convergence des projecteurs spectraux […]. Dans le cas des op. hermitiens, dans l'esp. de Hilbert, — […] et le […] des conditions nécessaires et suffisantes de convergence.

Conséquence de l'hermiticité en interligne : « \(ds \to dl\) », incertain dans \(L^p(E)\) : deux […] réciproque et […] que (b) […], (a) \(u_i \to u\) spectralement, i.e. dans \(L(E)\) (il suffit […] que l'on ait la convergence spectrale individuelle en chaque \(\lambda \in \sigma(u)\), \(\lambda \neq 0\))

Corollaire 1 \(u \to |u|\) de \(L^p(E, F)\) dans \(L^p(E)\) est continue. Plus généralement, \(u \to |u|^r\) de \(L^p(E,F)\) dans \(L^{p/r}(E)\) est continue : c'est la composée de \(u \to u^{*}u\) de \(L^p(E,F)\) dans \((L^{p/2}(E))^{+}\), avec \(\sigma \to \sigma^{r/2}\) de \((L^{p/2}(E))^{+}\) dans \(L^{p/r}(E)\) ; cette dernière est continue, car elle est continue de \(L_0(E)^{+}\) dans \(L_0(E)\) (ce qui se vérifie spectralement, […] […] […] aussi de \(L(E)^{+}\) dans \(L(E)\) ? Inégalités précises ?)

Corollaire 2 Si \(0 < p \leq 1\), pour qu'une suite en interligne : « d'hermitiens \(u_i \to u\) » […] converge dans \(L^p(E)\), il faut et il suffit que […] \(u_i \to u\) […] et qu'on ait la convergence faible.

145seul le tiers supérieur de la page est écrit, au crayon pâle

Question : Dans quel cas (uniforme convexité des esp. \(L^p(E,F)\)) vrai pour \(0 < p < \infty\) ? Pas d'importance.

1) Pour la continuité de \(H \to H^r\), — se ramène au cas \(0 < r < 1\) (car […] […] pour \(r\) entier) Il semble probable que \[\bigl\|\,|H^r - K^r|^{1/r}\,\bigr\| \leq \|H - K\| \qquad \text{pour } 0 < r < 1 .\] Il revient au même de prouver que \[S_{p/r}(H^r - K^r) = S_p\bigl(|H^r - K^r|^{1/r}\bigr)\] est fonction croissante de \(r\), (c'est le […] […], \(p\) quelconque). On peut faire aussi \(p = 1\).

146page au crayon ; une note verticale dans la marge gauche, en tête, et une annotation cerclée à côté

[…] de la continuité de \(A \to |A|\), […] \(|A|\) […] \(A^{*}A\) […] écrite de bas en haut le long de la marge gauche ; à côté, cerclés, trois signes illisibles

Th. Si \(A_i \to A\) dans \(\mathcal{L}^p(H)\), alors \(\hat{A}_i \to \hat{A}\) dans \(\Sigma_p\) ainsi : \(\hat{A}\) pour la suite des nombres singuliers, \(\Sigma_p\) pour l'espace qui les reçoit ; ni l'un ni l'autre n'est défini sur la page

Cela résulte facilement du

Lemme Pour tout \(\varepsilon > 0\), existe \(\rho > 0\) et \(i_0\) tel que pour \(i \geq i_0\) on ait \[\sum_{r_\nu(A_i) \leq \rho} \bigl(r_\nu(A_i)\bigr)^p \leq \varepsilon\]

Pour le démontrer, soit \(\omega(t)\) la fonction convexe de \(t\) qui est égale à \(e^{pt}\) pour \(t \leq \log \rho\), et linéaire pour \(t \geq \log \rho\), i.e. \[\omega(t) = p\rho^p\,(t - \log \rho) + \rho^p = \rho^p \log e\Bigl(\frac{e^t}{\rho}\Bigr)^p\] « \(\log e(x)^p\) » est sa façon d'écrire \(\log\bigl(e \cdot x^p\bigr)\), ce que la première expression confirme ; la notation revient jusqu'à la page 147 […] […] (posons \(r_\nu = r_\nu(A_i)\)) en interligne : « \(s_\nu = r_\nu(|A_i|')\) », le dernier signe peu net […] analogue) \(\sum \omega(\log r_\nu) \leq \sum \omega(\log s_\nu)\) soit \[\sum_{r_\nu \leq \rho} r_\nu^{\,p} + \rho^p \sum_{r_\nu > \rho} \log e\Bigl(\frac{r_\nu}{\rho}\Bigr)^p \leq \sum_{s_\nu \leq \rho} s_\nu^{\,p} + \rho^p \sum_{s_\nu > \rho} \log e\Bigl(\frac{s_\nu}{\rho}\Bigr)^p \qquad \text{(ou } |A_i| \to |A|\text{)}\] On peut donc supposer les \(A_i \geq 0\), (et […] […]) […], par extraction d'une […] ligne presque entièrement perdue […] \(\varepsilon > 0\), existe \(\rho > 0\) et \(i_0\) tel que \[\sum_{r_\nu(A_i) \leq \rho} r_\nu(A_i)^p + \rho^p \sum_{r_\nu(A_i) > \rho} \log e\Bigl(\frac{r_\nu(A_i)}{\rho}\Bigr)^p \leq \varepsilon\] […], posons \(r_\nu = r_\nu(A_i)\) ; il suffit de montrer […] :

a) \(\rho^p \sum_{r_\nu > \rho} \log e\bigl(\frac{r_\nu}{\rho}\bigr)^p \to 0\) si \(\rho \to 0\)

b) L'inégalité du lemme pour les hermitiens positifs \((A_i\) […] […] les deux lignes a) et b) sont barrées de grandes boucles au crayon, et la ligne qui suit b) est entièrement gribouillée ; leurs démonstrations, qui suivent, ne sont pas biffées

Preuve de a), — on a en effet \[\begin{align*} \rho^p \sum_{r_\nu > \rho} \log e\Bigl(\frac{r_\nu}{\rho}\Bigr)^p &= \rho^p \int_{r > \rho}^{+\infty} - \log e\Bigl(\frac{r}{\rho}\Bigr)^p\, dn(r) \\ &= \rho^p \Bigl[- n(r) \log e\Bigl(\frac{r}{\rho}\Bigr)^p\Bigr]_{\rho+0}^{+\infty} + p\rho^p \int_\rho^{+\infty} \frac{n(r)}{r}\, dr \\ &= \rho^p\, n(\rho) + p\rho^p \int_\rho^{+\infty} \frac{n(r)}{r}\, dr \end{align*}\] le crochet de la deuxième ligne est écrit \([-n(r)\log \ldots]\), l'argument du \(\log\) n'étant pas répété ; \(n(r)\) est la fonction de comptage des \(r_\nu\), comme au lot 6 et il est bien connu, puisque \(\sum r_\nu^{\,p} < +\infty\), que \(\rho^p\, n(\rho) \to 0\)

147seule la moitié supérieure de la page est écrite, au crayon

et que \(\displaystyle\int_0^{+\infty} \frac{n(r)}{r^{1+p}}\, dr < +\infty\) ; partant \(\displaystyle\int_\rho^{+\infty} \frac{n(r)}{r}\, dr < +\infty\), d'où \[p\rho^p \int_\rho^{+\infty} \frac{n(r)}{r}\, dr < p\rho^p \int_{\uncertain{0}}^{+\infty} \frac{n(r)}{r}\, dr \to 0 \quad \text{si } \rho \to 0 .\] l'exposant des deux \(\rho\) se lit \(p\) ou \(\alpha\) ; la borne inférieure de la seconde intégrale est peu nette

[…] […] […] […] que […] : \(\sum \|A_{i+1} - A_i\|_p < +\infty\), […] […] […] […] \(\sum S_p(A_{i+1} - A_i) < +\infty\), alors \(A = \sum A_{i+1} - A_i\), d'où \(A \leq \sum |A_{i+1} - A_i|\) bloc de quatre lignes barré de grandes boucles ; le premier \(A_{i+1}\) est lui-même surchargé

Preuve de b) On a \[\sum_{r_\nu(A_i) \leq \rho} \bigl(r_\nu(A_i)\bigr)^p = S_p(A_i) - \sum_{r_\nu(A_i) > \rho} \bigl(r_\nu(A_i)\bigr)^p \to \struck{\leq}\; S_p(A) - \sum_{r_\nu > \rho} r_\nu^{\,p} = \sum_{r_\nu \leq \rho} r_\nu^{\,p}\] les signes sous les deux derniers \(\sum\) sont surchargés ; il suffit de prendre \(\rho\) tel que \(\sum_{r_\nu \leq \rho} r_\nu^{\,p} < \varepsilon\), puis \(i\) assez grand.

148page à l'encre, d'une écriture serrée ; les formules se lisent, la prose par endroits seulement

Naturellement, si \(u\) est à trace, \[\frac{1}{1+u} = 1 - u\, \frac{R(u)}{\det(1+u)} \qquad R(u) = \sum_0^\infty P_k(u) = \frac{\det(1+u)}{1+u}\] les deux formules sont en tête de page, la première en retrait, la seconde dans la marge droite sur deux lignes

Théorème 1) Soit \(u\) un opérateur à trace […]. Alors \[\text{(*), (**)}\qquad \struck{\ill{}}\quad |P_n(u)| \leq P_n(|u|),\qquad |R(u)| \leq R(|u|)\] les deux inégalités sont soulignées ; entre les numéros et la première, un signe biffé En particulier, si \(u\) est \(\geq 0\), il en est de même de \(P_n(u)\), et de \(R(u)\)

2) Si \(u \geq 0\), alors la suite des valeurs \(\alpha_{n-k}(u)\, u^k\) dans l'expression de \(P_n(u)\), \(P_n(u) = \sum_{k=0}^{n} \alpha_{n-k}(u)\, u^k\), est une suite décroissante d'hermitiens, […] […]. Donc on a en particulier, pour \(u \geq 0\) : \[\text{(**)}\qquad \struck{\ill{}}\quad 0 \leq P_n(u) \leq \alpha_n(u) \cdot 1 \quad \text{d'où} \quad \struck{\ill{}}\quad 0 \leq R(u) \leq \det(1+u)\] la dernière inégalité est encadrée ; « (**) » repris ici après un bloc biffé ; le « \(\cdot 1\) » est l'opérateur identique

[…] Corollaire un signe en boucle précède le mot Si \(u\) est […] […] […] : on a […], […] \[\text{(***)}\qquad \begin{cases} \|R(u)\|_\infty \leq \|R(|u|)\|_\infty \leq \det(1+|u|) \leq e^{\|u\|_1} \\[4pt] \|P_n(u)\|_\infty \leq \|P_n(|u|)\|_\infty \leq \alpha_n(|u|) \leq \dfrac{\|u\|_1^{\,n}}{n!} \end{cases}\]

Démonstration Le […] […] en interligne : « […] […] »

Lemme Si \(u = \sum_1^\infty \lambda_i\, e_i \otimes e_i'\) encadré, alors \(P_n(u) = \sum p_i(u)\, e_i \otimes e_i'\) […], où \[p_i(u) = \sum_{(I)}{}' \lambda_{i_1} \cdots \lambda_{i_n},\] \(\sum'\) étant étendue aux […] : […] […] en interligne, biffé les […] […] […] […] ne contenant pas \(i\), \(I = \{i_1, \ldots, i_n\}\) […] ce paragraphe est accolé d'un trait vertical dans la marge gauche

Pour le voir, on calcule successivement (d'où […]) […] \(u^n - \alpha_1(u)\, u^{n-1}\), \(u^n - \alpha_1(u)\, u^{n-1} + \alpha_2(u)\, u^{n-2}\), et l'on obtient \[\sum_{k=0}^{n} u^{n-k}\, \alpha_k(u)\, (-1)^k = (-1)^n \sum{}' \lambda_{i_1} \cdots \lambda_{i_n} \ \ill{}\] […] le […] résultat. par récurrence […] d'où […] […]. Maintenant 1) devient évident. 2) se vérifie […] de façon immédiate.

Remarque Notons que si les \(p_i\) sont les valeurs propres de \(R(u)\), on a \(p_i = \prod_{j \neq i} (1 + \lambda_j)\) d'où \(|p_i| \leq \prod_j (1 + |\lambda_j|) = \det(1 + |u|)\), on retrouve une

149seul le tiers supérieur de la page est écrit ; le reste est vierge

partie de (***). Mais en interligne au-dessus : « […] pas […] pour, » Mais si […] […] […], par suite \(p_i \struck{\ill{}} = \dfrac{\det(1+u)}{1 + \lambda_i}\) \(\leq\) d'où \[\|R(u)\|_\infty \geq |\det(1+u)| \qquad (\ill{})\] encadré (car il existe des \(\lambda_i\) arbitrairement petits, donc des \(p_i\) arbitrairement voisins voisins de \(\det(1+u)\) !) « voisins » récrit en interligne au-dessus du mot biffé […] […] […] (pour l'inégalité (***) a) […] pour l'évaluation […], car elle devient égalité pour \(u \geq 0\) !