Dernier lot du dossier : neuf pages, toutes transcrites. Les pages 141 et 142, à l'encre, énoncent une proposition sur la convergence des suites d'hermitiens dans \mathcal{L}^p(H) et ses corollaires. Les pages 143 à 147, au crayon, reprennent la question pour les espaces de Banach, démontrent deux inégalités sur les nombres singuliers, et établissent un lemme sur les petites valeurs singulières d'une suite convergente. Les pages 148 et 149, à l'encre, portent un théorème sur les opérateurs P_n(u) et R(u) = \det(1+u)/(1+u) d'un opérateur à trace.
Proposition. Pour que la suite (H_i) d'hermitiens \in \mathcal{L}^p(H) converge vers H_0 \in \mathcal{L}^p(H), il faut et il suffit que
1°) \|H_i\|_p \to \|H_0\|_p (ou seulement \limsup_{i \to \infty} \|H_i\|_p \leq \|H_0\|_p)
2°) Pour tout \lambda du spectre de H_0, (soit \alpha > 0 tel qu'il n'existe pas d'autre [\lambda - \alpha, \lambda + \alpha] ne contienne valeur spectrale \mu \neq \lambda de H_0 telle que |\lambda - \mu| \leq \alpha l'ensemble spectral de H et telle et tel que \lambda - \alpha et \lambda + \alpha n'appartiennent aux spectres d'aucun H_i) alors la projection spectrale H_i, de H_i relative dans [\lambda - \alpha, \lambda + \alpha] est de dimension égale à qui finit par être égale à celle de H_0, et h_i \to h_0 (inutile de spécifier la topologie, cela résulte d'une proposition préliminaire sur l'identité de toutes ces topologies) les projections spectrales sont notées h_i, h_0 en minuscules ; la parenthèse finale est serrée en bas de l'énoncé, sur deux lignes
Corollaire 1. Les deux conditions suivantes sont néc. et suff. pour la convergence de la suite H_i vers H_0
1) \|H_i\|_p \to \|H_0\|_p (resp. )
2) H_i \to H_0 dans \mathcal{L}^\infty(H)
Corollaire 2. A \to |A|^r est application continue de \mathcal{L}^p dans \mathcal{L}^{p/r}.
En effet, elle est composée de A \to A^{*}A, continue de \mathcal{L}^p dans \mathcal{L}^{p/2}, avec
H \to H^{r/2} de \mathcal{L}^{+\,p/2} dans \mathcal{L}^{p/r} ; or, les conditions de la prop. 1 sont manifestement vérifiées ainsi en se ramenant à
Remarque 1 Si 1 \leq p \leq 2, pour qu'une suite d'hermitiens H_i dans \mathcal{L}^p converge, il faut et il suffit qu'elle converge faiblement, et que \|K_i\| \to \|K\| ainsi, K pour H, et la norme sans indice (cela est connu au cas hilbertien) Est-ce vrai si p < +\infty ? Uniforme convexité de \mathcal{L}^p ?
Remarque 2 Est-ce que S_p\bigl(|H^r - K^r|^{1/r}\bigr) est fonction croissante de r (H hermitien positif) ? — Il suffirait de le savoir pour r < 1 .
\bigl\|\,|H^r - K^r|^{1/r}\,\bigr\| \leq \|H - K\|
— Alors on aurait une précision notable dans le corollaire 1.
note au crayon, en biais dans la marge gauche inférieure, biffée de grands traits ; illisible
le haut de la page est à l'encre, la suite au crayon ; les deux inégalités sont réunies par une accolade
\begin{gather*}
\rho_{m+n-1}(vu) \leq \rho_m(u)\, \rho_n(v) \\
\rho_{m+n-1}(u+v) \leq \rho_m(u) + \rho_n(v)
\end{gather*}
u \in E \to F \to G dans la marge droite, en regard de la première ligne de la démonstration
En effet, \rho_{m+n-1}(vu) = \operatorname*{Inf}_{E_{m+n-2}} \operatorname*{Sup}_{x \perp E_{m+n-2},\ \|x\| \leq 1} \|vux\|. Or il existe E_{n-1} \subset E tel que \operatorname*{Sup}_{\|x\| \leq 1,\ x \perp E_{n-1}} \|ux\| = \rho_n(u) et il existe F_{m-1} \subset F tel que \operatorname*{Sup}_{\|y\| \leq 1,\ y \perp F_{m-1}} \|vy\| = \rho_m(v), soit alors H = \bar{u}(F_{m-1}) « E_{m+n-2} » biffé sous le H ; le \bar{u} se lit aussi \bar{u}^{-1}, — on
\operatorname*{Sup}_{x \perp H \wedge E_{n-1},\ \|x\| \leq 1} \|vux\| \leq \rho_n(u)\, \rho_m(v)
or p - 1 = \operatorname{codim} H \wedge E_{n-1} \geq \operatorname{cod} H + \operatorname{cod} E_{n-1} \geq m - 1 + n - 1 = (m+n-1) - 1 ainsi ; le « 1 » après p est surchargé, et les deux signes sont écrits \geq, où l'argument demande une majoration d'où
\rho_p(vu) \leq \operatorname{Inf} \operatorname*{Sup}_{x \perp E_{p-1},\ \|x\| \leq 1} \|vux\| \leq \rho_n(u)\, \rho_m(v)
à fortiori \rho_{m+n-1}(vu) \leq \rho_n(u)\, \rho_m(v) encadré.
De même, si u, v \in L_0(E, F), — on a p - 1 = \operatorname{codim}(E_{n-1}, F_{m-1}) \geq m - 1 + n - 1 = (m+n-1) - 1 même remarque sur le sens du signe, \rho_p(u+v) \leq \operatorname*{Sup}_{x \perp E_{n-1},\, F_{m-1},\ \|x\| \leq 1} \|(u+v)x\| \leq \rho_n(u) + \rho_m(v) le premier membre \rho_p(u+v) \leq est barré d'un trait ou souligné d'où à fortiori \rho_{m+n-1}(u+v) \leq \rho_p(u+v) \leq \rho_n(u) + \rho_m(v).
sous un trait, en bas de page, au crayon : Est-ce qu'on peut avoir \limsup \dfrac{|\lambda_i(u)|}{\rho_i(u)} = +\infty ; Hypothèse : invraisemblable pour |\lambda_i(u)| \leq \rho_{i/2}(u) ou analogue ? l'indice du dernier \rho se lit i/2
parties trois mots au crayon, soulignés, écrits de bas en haut dans la marge gauche vers le milieu de la page
page au crayon, pâle ; les énoncés se lisent, la prose entre eux beaucoup moins
Si E est un Banach, et si u_i \to u dans L_0(E), alors \sigma(u_i) \to \sigma(u) dans le sens connu . De plus, convergence des projecteurs spectraux . Dans le cas des op. hermitiens, dans l'esp. de Hilbert, — et le des conditions nécessaires et suffisantes de convergence.
Conséquence de l'hermiticité en interligne : « ds \to dl », incertain dans L^p(E) : deux réciproque et que (b) , (a) u_i \to u spectralement, i.e. dans L(E) (il suffit que l'on ait la convergence spectrale individuelle en chaque \lambda \in \sigma(u), \lambda \neq 0)
Corollaire 1 u \to |u| de L^p(E, F) dans L^p(E) est continue. Plus généralement, u \to |u|^r de L^p(E,F) dans L^{p/r}(E) est continue : c'est la composée de u \to u^{*}u de L^p(E,F) dans (L^{p/2}(E))^{+}, avec \sigma \to \sigma^{r/2} de (L^{p/2}(E))^{+} dans L^{p/r}(E) ; cette dernière est continue, car elle est continue de L_0(E)^{+} dans L_0(E) (ce qui se vérifie spectralement, aussi de L(E)^{+} dans L(E) ? Inégalités précises ?)
Corollaire 2 Si 0 < p \leq 1, pour qu'une suite en interligne : « d'hermitiens u_i \to u » converge dans L^p(E), il faut et il suffit que u_i \to u et qu'on ait la convergence faible.
seul le tiers supérieur de la page est écrit, au crayon pâle
Question : Dans quel cas (uniforme convexité des esp. L^p(E,F)) vrai pour 0 < p < \infty ? Pas d'importance.
1) Pour la continuité de H \to H^r, — se ramène au cas 0 < r < 1 (car pour r entier) Il semble probable que
\bigl\|\,|H^r - K^r|^{1/r}\,\bigr\| \leq \|H - K\| \qquad \text{pour } 0 < r < 1 .
Il revient au même de prouver que
S_{p/r}(H^r - K^r) = S_p\bigl(|H^r - K^r|^{1/r}\bigr)
est fonction croissante de r, (c'est le , p quelconque). On peut faire aussi p = 1.
page au crayon ; une note verticale dans la marge gauche, en tête, et une annotation cerclée à côté
de la continuité de A \to |A|, |A| A^{*}A écrite de bas en haut le long de la marge gauche ; à côté, cerclés, trois signes illisibles
Th. Si A_i \to A dans \mathcal{L}^p(H), alors \hat{A}_i \to \hat{A} dans \Sigma_p ainsi : \hat{A} pour la suite des nombres singuliers, \Sigma_p pour l'espace qui les reçoit ; ni l'un ni l'autre n'est défini sur la page
Cela résulte facilement du
Lemme Pour tout \varepsilon > 0, existe \rho > 0 et i_0 tel que pour i \geq i_0 on ait
\sum_{r_\nu(A_i) \leq \rho} \bigl(r_\nu(A_i)\bigr)^p \leq \varepsilon
Pour le démontrer, soit \omega(t) la fonction convexe de t qui est égale à e^{pt} pour t \leq \log \rho, et linéaire pour t \geq \log \rho, i.e.
\omega(t) = p\rho^p\,(t - \log \rho) + \rho^p = \rho^p \log e\Bigl(\frac{e^t}{\rho}\Bigr)^p
« \log e(x)^p » est sa façon d'écrire \log\bigl(e \cdot x^p\bigr), ce que la première expression confirme ; la notation revient jusqu'à la page 147 (posons r_\nu = r_\nu(A_i)) en interligne : « s_\nu = r_\nu(|A_i|') », le dernier signe peu net analogue) \sum \omega(\log r_\nu) \leq \sum \omega(\log s_\nu) soit
\sum_{r_\nu \leq \rho} r_\nu^{\,p} + \rho^p \sum_{r_\nu > \rho} \log e\Bigl(\frac{r_\nu}{\rho}\Bigr)^p
\leq
\sum_{s_\nu \leq \rho} s_\nu^{\,p} + \rho^p \sum_{s_\nu > \rho} \log e\Bigl(\frac{s_\nu}{\rho}\Bigr)^p
\qquad \text{(ou } |A_i| \to |A|\text{)}
On peut donc supposer les A_i \geq 0, (et ) , par extraction d'une ligne presque entièrement perdue \varepsilon > 0, existe \rho > 0 et i_0 tel que
\sum_{r_\nu(A_i) \leq \rho} r_\nu(A_i)^p + \rho^p \sum_{r_\nu(A_i) > \rho} \log e\Bigl(\frac{r_\nu(A_i)}{\rho}\Bigr)^p \leq \varepsilon
, posons r_\nu = r_\nu(A_i) ; il suffit de montrer :
a) \rho^p \sum_{r_\nu > \rho} \log e\bigl(\frac{r_\nu}{\rho}\bigr)^p \to 0 si \rho \to 0
b) L'inégalité du lemme pour les hermitiens positifs (A_i
Preuve de a), — on a en effet
\begin{align*}
\rho^p \sum_{r_\nu > \rho} \log e\Bigl(\frac{r_\nu}{\rho}\Bigr)^p
&= \rho^p \int_{r > \rho}^{+\infty} - \log e\Bigl(\frac{r}{\rho}\Bigr)^p\, dn(r) \\
&= \rho^p \Bigl[- n(r) \log e\Bigl(\frac{r}{\rho}\Bigr)^p\Bigr]_{\rho+0}^{+\infty} + p\rho^p \int_\rho^{+\infty} \frac{n(r)}{r}\, dr \\
&= \rho^p\, n(\rho) + p\rho^p \int_\rho^{+\infty} \frac{n(r)}{r}\, dr
\end{align*}
le crochet de la deuxième ligne est écrit [-n(r)\log \ldots], l'argument du \log n'étant pas répété ; n(r) est la fonction de comptage des r_\nu, comme au lot 6 et il est bien connu, puisque \sum r_\nu^{\,p} < +\infty, que \rho^p\, n(\rho) \to 0
seule la moitié supérieure de la page est écrite, au crayon
et que \displaystyle\int_0^{+\infty} \frac{n(r)}{r^{1+p}}\, dr < +\infty ; partant \displaystyle\int_\rho^{+\infty} \frac{n(r)}{r}\, dr < +\infty, d'où
p\rho^p \int_\rho^{+\infty} \frac{n(r)}{r}\, dr < p\rho^p \int_{\uncertain{0}}^{+\infty} \frac{n(r)}{r}\, dr \to 0 \quad \text{si } \rho \to 0 .
l'exposant des deux \rho se lit p ou \alpha ; la borne inférieure de la seconde intégrale est peu nette
que : \sum \|A_{i+1} - A_i\|_p < +\infty, \sum S_p(A_{i+1} - A_i) < +\infty, alors A = \sum A_{i+1} - A_i, d'où A \leq \sum |A_{i+1} - A_i| bloc de quatre lignes barré de grandes boucles ; le premier A_{i+1} est lui-même surchargé
Preuve de b) On a
\sum_{r_\nu(A_i) \leq \rho} \bigl(r_\nu(A_i)\bigr)^p = S_p(A_i) - \sum_{r_\nu(A_i) > \rho} \bigl(r_\nu(A_i)\bigr)^p
\to \struck{\leq}\; S_p(A) - \sum_{r_\nu > \rho} r_\nu^{\,p} = \sum_{r_\nu \leq \rho} r_\nu^{\,p}
les signes sous les deux derniers \sum sont surchargés ; il suffit de prendre \rho tel que \sum_{r_\nu \leq \rho} r_\nu^{\,p} < \varepsilon, puis i assez grand.
page à l'encre, d'une écriture serrée ; les formules se lisent, la prose par endroits seulement
Naturellement, si u est à trace,
\frac{1}{1+u} = 1 - u\, \frac{R(u)}{\det(1+u)} \qquad R(u) = \sum_0^\infty P_k(u) = \frac{\det(1+u)}{1+u}
les deux formules sont en tête de page, la première en retrait, la seconde dans la marge droite sur deux lignes
Théorème 1) Soit u un opérateur à trace . Alors
\text{(*), (**)}\qquad \struck{\ill{}}\quad |P_n(u)| \leq P_n(|u|),\qquad |R(u)| \leq R(|u|)
les deux inégalités sont soulignées ; entre les numéros et la première, un signe biffé En particulier, si u est \geq 0, il en est de même de P_n(u), et de R(u)
2) Si u \geq 0, alors la suite des valeurs \alpha_{n-k}(u)\, u^k dans l'expression de P_n(u), P_n(u) = \sum_{k=0}^{n} \alpha_{n-k}(u)\, u^k, est une suite décroissante d'hermitiens, . Donc on a en particulier, pour u \geq 0 :
\text{(**)}\qquad \struck{\ill{}}\quad 0 \leq P_n(u) \leq \alpha_n(u) \cdot 1 \quad \text{d'où} \quad \struck{\ill{}}\quad 0 \leq R(u) \leq \det(1+u)
la dernière inégalité est encadrée ; « (**) » repris ici après un bloc biffé ; le « \cdot 1 » est l'opérateur identique
Corollaire un signe en boucle précède le mot Si u est : on a ,
\text{(***)}\qquad
\begin{cases}
\|R(u)\|_\infty \leq \|R(|u|)\|_\infty \leq \det(1+|u|) \leq e^{\|u\|_1} \\[4pt]
\|P_n(u)\|_\infty \leq \|P_n(|u|)\|_\infty \leq \alpha_n(|u|) \leq \dfrac{\|u\|_1^{\,n}}{n!}
\end{cases}
Démonstration Le en interligne : « »
Lemme Si u = \sum_1^\infty \lambda_i\, e_i \otimes e_i' encadré, alors P_n(u) = \sum p_i(u)\, e_i \otimes e_i' , où
p_i(u) = \sum_{(I)}{}' \lambda_{i_1} \cdots \lambda_{i_n},
\sum' étant étendue aux : en interligne, biffé les ne contenant pas i, I = \{i_1, \ldots, i_n\} ce paragraphe est accolé d'un trait vertical dans la marge gauche
Pour le voir, on calcule successivement (d'où )
Remarque Notons que si les p_i sont les valeurs propres de R(u), on a p_i = \prod_{j \neq i} (1 + \lambda_j) d'où |p_i| \leq \prod_j (1 + |\lambda_j|) = \det(1 + |u|), on retrouve une
seul le tiers supérieur de la page est écrit ; le reste est vierge
partie de (***). Mais en interligne au-dessus : « pas pour, » Mais si voisins voisins de \det(1+u) !) « voisins » récrit en interligne au-dessus du mot biffé