Cote n° 1 · batch 5 · pages 81–100 · Transcription · Analyse fonctionnelle : notes manuscrites (s.d.), lettre (1953)
Datation de l’inventaire : 1953
Édition de démonstration

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Inégalités de convexité et classes remarquables d'opérateurs

Le titre est de lui, en tête de la page 81, souligné : « 4. Inégalités de convexité et classes remarquables d'opérateurs, compléments ». Le dernier mot est très abrégé et la lecture en est douteuse. Les formules sont numérotées à partir de (1) et courent jusqu'à (48) sur les pages 81 à 92.

814. Inégalités de convexité et classes remarquables d'opérateurs, compléments

Th. 1 le numéro est cerclé, ainsi que le « 1° » qui suit ; deux lignes sont biffées sous le titre 1° La méthode de […] (H. Weyl). Lemme fondamental. Considérons deux suites finies \((\alpha_i)_{i \leq n}\) et \((\beta_i)_{i \leq n}\) de nbs réels, la deuxième décroissante deux mots en interligne, incertains et le « (2) » qui suit est cerclé \[\text{(1)}\qquad \alpha_1 \geq \alpha_2 \geq \cdots \geq \alpha_n\] \[\text{(2)}\qquad \alpha_1 + \cdots + \alpha_m \leq \beta_1 + \cdots + \beta_m \qquad \text{pour } m = 1, \ldots, n,\] (1) est encadrée, (2) encadrée d'un trait double soit \(\varphi(t_1, \ldots, t_n)\) fonction numérique convexe et symétrique sur \(\mathbf{R}^n\). On suppose vérifiée l'une des deux conditions suivantes : a) \(\varphi\) est croissante en chaque argument \(t_i\) […] croissante […] dans \(\mathbf{R}^n\) ; b) \(\sum_{i=1}^n \alpha_i = \sum_{i=1}^n \beta_i\). Sous ces conditions, on a \[\text{(3)}\qquad \varphi(\alpha_1, \ldots, \alpha_n) \leq \varphi(\beta_1, \ldots, \beta_n) .\] […] le lemme suivant […] […] […] immédiatement trois lignes lourdement biffées

2° Lemme le « 2° » est cerclé Soit \(f(\rho_1, \ldots, \rho_n)\) en interligne au-dessus de « fonction » fonction numérique en interligne : « numérique » de \(n\) arguments \(\rho_i > 0\), telle que \(f(e^{t_1}, \ldots, e^{t_n})\) soit une fonction convexe de \((t_1, \ldots, t_n) \in \mathbf{R}^n\). Soient \((\rho_1, \ldots, \rho_n)\) et \((\sigma_1, \ldots, \sigma_n)\) deux suites finies en interligne : « finies », telles que « (4) » et « (5) » cerclés \[\text{(4)}\qquad \rho_1 \geq \rho_2 \geq \cdots \geq \rho_n\] \[\text{(5)}\qquad \rho_1 \cdots \rho_m \leq \sigma_1 \cdots \sigma_m \qquad \text{pour tout } m = 1, \ldots, n .\] les deux formules encadrées On suppose vérifiée l'une des deux conditions suivantes : a) \(f\) est fonction croissante de chaque argument \(\rho_i\) en interligne, biffé : « chaque argument \(\rho_i\) » ; la ligne « fonction croissante de […] » est reprise deux fois ; b) \(\rho_1 \cdots \rho_n = \sigma_1 \cdots \sigma_n \neq 0\). Sous ces conditions on a \[\text{(6)}\qquad f(\rho_1, \ldots, \rho_n) \leq f(\sigma_1, \ldots, \sigma_n) .\] le « (6) » est précédé d'un signe cerclé, peut-être un « (4) » corrigé En effet, si les \(\rho_i, \sigma_i\) sont \(> 0\), cet énoncé est manifestement équivalent à l'énoncé du th. lemme « th. » en interligne au-dessus du mot biffé […] […] (2°) […] sans le cas […], en posant \(\alpha_i = \log \rho_i\), \(\beta_i = \log \sigma_i\). […] […], puisque Dans le cas a), l'ensemble des systèmes deux lignes biffées, dont les mots « dans le cas a) » en interligne […] systèmes \((\rho_i), (\sigma_i)\) tels que \(\rho_i \geq 0\), \(\rho_i > 0\), \(\rho_1 \geq \rho_2 \geq \cdots \geq \rho_n \geq 0\), […] \(\rho_1 \cdots \rho_m \leq \sigma_1 \cdots \sigma_m\) pour \(m = 1, \ldots, n\), est limite […] \(\rho_1 \cdots \rho_n = \sigma_1 \cdots \sigma_n\)) […] l'adhérence […] deux lignes biffées dans \(\mathbf{R}^{2n}\) des […] du système analogue […] de […] systèmes […] \((\rho_i'), (\sigma_i')\) avec \(\rho_i' > 0\), \(\sigma_i' > 0\) (d'où le corollaire « (2°) » en interligne dans le cas a) pour \(f\) […] continue […] \(\sigma_i > 0\) pour tout \(i\) ; […] […]). En effet, si […] alors […], […] les \(\rho_i\) qui seraient nuls […] et il suffit d'approcher les systèmes […] […] aux conditions imposées, et […] […] systèmes \((\rho_i') = (\rho_i')\), avec […] \(\rho_i' = \sigma_i' = \frac{1}{n}\) […] […] dans ce cas ; Si plus généralement, donc d'ici la conclusion cherchée […] d'abord […] les six dernières lignes de la page sont biffées d'un trait chacune ; un trait ondulé au crayon rouge court le long de la marge gauche de cette moitié de page […] deux notes dans la marge gauche, écrites de côté : l'une au crayon, cerclée, en haut, où l'on lit « \(\alpha_i\) », « (1) », « Xavier » ; l'autre à l'encre, en regard du 2°, qui commence par un astérisque, « Il est […] », et où l'on lit « soit d'abord », « corollaire » ; l'une et l'autre restent illisibles même redressées

82Vérifions \((\rho_i)\), \((\sigma_i)\) par les systèmes \((\rho_i' = \rho_i)\), \((\sigma_i + \varepsilon)\) […] \((\rho_i'), (\sigma_i')\) […] \(k =\) […] […] satisfont […] aux conditions […] […] \(\sigma_{n-1}' \neq 0\) ([…] pour […] quatre lignes en tête de page, entourées d'un cadre et biffées

Il suffit donc, dans le cas […], en interligne : « systèmes admissibles » d'approcher « d'approcher » en interligne, au-dessus d'un mot biffé les systèmes \((\rho_i), (\sigma_i)\) par des en interligne : « \(\sigma_{n-1} = 0\), […] », biffé \((\rho_i'), (\sigma_i')\) avec \(\sigma_n > 0\), et on prendra […] […]

[…] des \((\rho_i'), (\sigma_i')\) avec \(\sigma_{n-1}' > 0\), […] […] soit […] pour […] \((\rho_i') = (\rho_i)\), \(\sigma_i' = \sigma_i + \varepsilon\) pour tout \(i \leq n-1\), \(\sigma_n' = \sigma_n\) ([…] […] […] admissible, […] […] \(\prod \rho_i' = \prod \sigma_i' = 0\)) […] pour […] […] \(\sigma_{n-1} > 0\), \(\sigma_n = 0\), […] […] […] pour \(\sigma_i' = \sigma_i\) pour \(i \leq n-1\), \(\sigma_n' = \sigma_n + \varepsilon\) […] […]. Dans le cas […], si […] […] les systèmes \((\rho_i'), (\sigma_i')\) sont admissibles, i.e. […] […] […] \(\prod \rho_i = \prod \sigma_i\) […] […] […] pas \(\prod \rho_i' = \prod \sigma_i'\). Mais […] […] […] les \(\rho_i\) nuls, […] obtient […] que […] \(\rho_i' \cdots \rho_j' \leq \sigma_i' \cdots \sigma_j'\) […] […] augmentation […] les […] \(\rho_1' \cdots \rho_n' = \sigma_1' \cdots \sigma_n'\). Prenons \(\rho_i' = \rho_i\), \(\sigma_i' = \sigma_i + \varepsilon\). tout ce bloc, qui occupe la moitié supérieure de la page, est entouré d'un cadre et barré de quatre longs traits obliques ; il reprend, pour le cas b), l'argument d'approximation de la page précédente

Prouvons maintenant le lemme. Il est bien connu qu'une fonction convexe […] \(\varphi\) sur \(\mathbf{R}^n\) est dans l'enveloppe « fonctions » en interligne, « […] » biffé supérieure \(\varphi = \operatorname{Sup}_k L_k\) le « \(L_k\) » est corrigé, surchargé où les \(L_k\) sont des fonctions linéaires affines mot en interligne, souligné, incertain dans \(\mathbf{R}^n\) (ça résulte du fait que le sous-ensemble de \(\mathbf{R}^n \times \mathbf{R}\) au-dessus du graphe de \(\varphi\) est convexe par définition des fonctions convexes, et fermé si \(\varphi\) est continue, — donc intersection de demi-espaces fermés, dont on constate aussitôt qu'ils […] peuvent « peuvent » en interligne se mettre sous la forme trait ondulé au crayon rouge sous cette ligne […] d'équations […] \(L_k(t) \geq 0\)). De plus, si \(\varphi\) est […] croissante « croissante » en interligne, […] […] les \(L_k\) le sont, […] i.e. […] pour \(L_k(t) = \sum_{i=1}^n a_i t_i + b_k\), […] \(a_i \geq 0\) la fin de la ligne est biffée : « […] le voir ». En effet, si on avait \(a_i < 0\), alors la fonction […]

83fixant les arguments \(t_j\) pour \(j \neq i\), \(L_k(t) = L_k(t_1, \ldots, t_n)\) serait […] fonction linéaire strictement décroissante de \(s = t_i\), […] […] fonction continue croissante \(\varphi(t_1, \ldots, t_n)\), […] indifférente […] impossible, […] […] \(\lambda(s)\) […] si \(s \to -\infty\), […] pour […] […] pour \(s \to -\infty\). bloc de cinq lignes entouré d'un cadre et barré ; les mots « \(s = t_i\) », « \(\lambda(s)\) », « \(s \to -\infty\) » sont sûrs, la prose ne l'est pas on aurait \(L(t) \to \infty\) si \(t_i \to -\infty\), tandis que \(\varphi(t)\) resterait en interligne borné pour \(t_i \to -\infty\), en contradiction avec \(L(t) \leq \varphi(t)\) pour tout \(t\). Comme […] en interligne : « Si maintenant » \(\varphi\) est aussi symétrique, \(L_k(t_{\sigma 1}, \ldots, t_{\sigma n}) \leq \varphi(t_{\sigma 1}, \ldots, t_{\sigma n})\) en interligne au-dessus : « (\(L_k\) fonction […]) » et « \(\sigma L \leq \varphi\) » pour tout \(\sigma \in \mathfrak{S}_n\) (pour […] des permutations, on pose \(\sigma L(t_1, \ldots, t_n) = L(t_{\sigma^{-1} 1}, \ldots, t_{\sigma^{-1} n})\)) le \(\sigma\) des indices porte un accent ou un exposant, lu \(\sigma^{-1}\) ; incertain, donc […] […] […] ligne biffée sous la parenthèse \[\text{(7)}\qquad \struck{\varphi(t)}\; \varphi = \operatorname{Sup}_k \operatorname{Sup}_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} \sigma . L_k \struck{(t_1, \ldots, t_n)}\] le second membre de (7) est biffé après « \(\sigma . L_k\) »

Il s'ensuit qu'il […] pour prouver (3), il suffit de prouver que \(L = L_k\), […] en interligne \(\sigma L_k(\alpha_1, \ldots, \alpha_n) \leq \varphi(\beta_1, \ldots, \beta_n)\) ligne biffée puis reprise ; le « \((\alpha_1, \ldots, \alpha_n)\) » est ajouté en interligne pour […] tout \(k\), et tout \(\sigma \in \mathfrak{S}_n\). […] Désignant « Désignant » en interligne alors \(\sigma L_k\) par \(L\), on est ramené à prouver \[\text{(8)}\qquad \operatorname{Sup}_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} (\sigma . L)(\alpha_1, \ldots, \alpha_n) \leq \operatorname{Sup}_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} (\sigma L)(\beta_{\sigma 1}, \ldots, \beta_{\sigma n})\] le second membre est écrit « \(\operatorname{Sup}_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} (\sigma L)(\beta_{\sigma 1}, \ldots, \beta_{\sigma n})\) », le \(\sigma L\) surchargé d'un \(L\) ; les indices \(\sigma 1, \ldots, \sigma n\) sont surchargés et incertains (car le deuxième membre est […] \(\leq \varphi(\beta_1, \ldots, \beta_n)\)). Dans cette « Dans cette » en interligne, au-dessus de « Dans […] », souligné au crayon rouge inégalité, \(L(t_1, \ldots, t_n) = \sum_{i=1}^n a_i t_i + b\) ligne soulignée […] avec des […] coefficients a_i […] quelconques dans le cas b), et des \(a_i \geq 0\) pour tout \(i\) dans le cas a). […] […] […] deux lignes biffées, avec en interligne « On peut d'ailleurs […] » […] il suffit […] supposer \(b = 0\). D'où […] \(\sum a_i b_i\) […] \(L(\alpha_1, \ldots, \alpha_n) \leq L(\ldots)\) […] lorsque trois lignes biffées \[\sum a_i \alpha_i \leq \sum a_i \alpha_{\sigma i} \qquad \struck{\ill{}} \ill{}\] la formule et la ligne qui la suit sont barrées d'un grand trait ondulé ; on lit dans le trait « quitte à \(\sigma\) […] une permutation […] » telle que la suite des \(a_{\sigma i}\) soit décroissante en interligne, plus petit : « visible aussitôt puisque que \(a_1 \geq a_2 \geq \cdots\) […] » […] ce lemme fondamental, sans […] […] D'où, […] \(= \sum a_i \alpha_{\sigma^{-1} i}\) en interligne au-dessus de la formule suivante \[\sum a_{\sigma i}\, \alpha_i \quad (\ill{} \uncertain{maximum} \ill{}), \qquad \text{pour } \sigma \in \mathfrak{S}_n \text{ variable},\] « variable » incertain

84prend le max \((a_{\sigma i})\) est décroissante, […] on peut donc se ramener au besoin […] […] […] \((\sigma)\), […] […] pour […] le […] \(a_1 \geq a_2 \geq \cdots \geq a_n\) trois lignes biffées ramené à prouver que si \(a_1 \geq a_2 \geq \cdots \geq a_n\), on a \(\sum a_i \alpha_i\) en interligne, biffé \[\sum a_i \alpha_i \leq \sum a_i \beta_i ,\] le second membre est surchargé : un « \(\sum a_i \alpha_i\) » corrigé en « \(\sum a_i \beta_i\) » ; la fin de la ligne est biffée : « […] pourvu que » lorsque positifs […] soient […] en interligne : « on peut aussi » […] […] supposons de plus, les \(a_i\) ligne biffée positifs […] dans le cas b) on a « hypothèse » ou « suppose » en interligne suppose \(\sum \alpha_i = \sum \beta_i\). On a […] — en effet \[\begin{align} \text{(9)}\qquad \sum a_i \alpha_i &= (a_1 - a_2)\,\alpha_1 + (a_2 - a_3)(\alpha_1 + \alpha_2) + \cdots \notag \\ &\qquad + (a_{n-1} - a_n)(\alpha_1 + \cdots + \alpha_{n-1}) + a_n(\alpha_1 + \cdots + \alpha_n) \notag \end{align}\] les \(\alpha\) de (9) sont surchargés, écrits sur des \(\beta\) ou l'inverse ; le « (9) » est cerclé […] et une \(\sum a_i \ldots\) formule analogue pour \(\sum a_i \beta_i\). Comme les coefficients \((a_1 - a_2), \ldots, (a_{n-1} - a_{n-1})\) ainsi sur la page ; lire \((a_{n-1} - a_n)\) sont positifs, […] ainsi que […] et que \(\alpha_1 \leq \beta_1\), …, \((\alpha_1 + \cdots + \alpha_{n-1}) \leq (\beta_1 + \cdots + \beta_{n-1})\), on en conclut que les termes de la somme […] (9) sont majorés par les termes correspondants de la somme relative aux \(\beta_i\), à l'exception […] en interligne : « à priori » du dernier. Mais on a […] […] en interligne aussi \(a_n(\alpha_1 + \cdots + \alpha_n) \leq a_n(\beta_1 + \cdots + \beta_n)\) dans le cas a) (\(a_n \geq 0\), \(\sum \alpha_i \leq \sum \beta_i\)) et dans le cas b) (\(\sum \alpha_i = \sum \beta_i\)), d'où la conclusion en interligne : « l'inégalité (1) ».

Corollaire 1a en interligne au-dessus, souligné : « Th. 1, 2°, b) » ; le numéro du corollaire est corrigé, « 1 » surchargé ; deux lignes sous le titre sont biffées, dont « (resp. du corollaire 1, a)) » et « les mêmes hypothèses » Sous les conditions du […] […] Th. 1, 2°, b), […] […] on a aussi \[\text{(10)}\qquad f\Bigl(\frac{1}{\rho_1}, \ldots, \frac{1}{\rho_n}\Bigr) \leq f\Bigl(\frac{1}{\sigma_1}, \ldots, \frac{1}{\sigma_n}\Bigr)\] le « (10) » est cerclé ; en marge à gauche, cerclé : « petits caractères », consigne de mise en page comme à la page 88 En effet, on a \(\rho_1 \cdots \rho_n = \sigma_1 \cdots \sigma_n\) […] d'où pour tout […] en marge : « \(1 \leq M \leq n\) » ou « \(\sigma \leq M \leq\) », incertain \[\rho_M \cdots \rho_n = \frac{\sigma_1 \cdots \sigma_{M-1}}{\rho_1 \cdots \rho_{M-1}}\; \sigma_M \cdots \sigma_n , \qquad \text{d'où}\quad \rho_M \cdots \rho_n \;\uncertain{\geq}\; \sigma_M \cdots \sigma_n\] « \(\rho_M \cdots \rho_n\) » à gauche est surchargé, un « \(|M|\) » ou « \(\rho_M\) » repassé ; le facteur \(\sigma_M \cdots \sigma_n\) est écrit après un mot biffé ; le sens des deux signes d'inégalité de cette ligne et de la suivante est peu lisible, le trait étant le même dans les deux cas […] \(\sigma_1 \cdots \sigma_{M-1} \;\uncertain{\geq}\; \rho_1 \cdots \rho_{M-1}\). Il s'ensuit que les suites \(\bigl(\frac{1}{\rho_n}, \ldots, \frac{1}{\rho_1}\bigr)\) et \(\bigl(\frac{1}{\sigma_n}, \ldots, \frac{1}{\sigma_1}\bigr)\) satisfont encore aux conditions du corollaire (la première étant décroissante, […] […] la seconde […] […] le produit des \(\frac{1}{\sigma_i}\), et enfin \(\frac{1}{\rho_n} \cdots \frac{1}{\rho_i} \leq \frac{1}{\sigma_n} \cdots \frac{1}{\sigma_i}\) pour \(1 \leq M \leq n\)), d'où l'inégalité (10).

85Bien […] qu'on […] les conditions […] Bien […] les conditions du Th. 1, 1°, dans les hypothèses b), […] que […] […] l'inégalité analogue (11) […] \(\varphi(-\alpha_1, \ldots, -\alpha_n) \leq \varphi(-\beta_1, \ldots, -\beta_n)\) quatre lignes en tête de page, biffées d'un long trait ondulé et de traits verticaux ; la formule, numérotée « (11) » ou « (4) », est aussi surchargée

Remarque souligné ; le mot recouvre un « Notons » et un « toutefois » biffés que si deux suites \((\alpha_i)_{i \leq n}\), \((\beta_i)_{i \leq n}\) satisfont aux en interligne : « (\(\alpha_1 \geq \cdots \geq \alpha_n\), \(\alpha_1 + \cdots + \alpha_m \leq \beta_1 + \cdots + \beta_m\) […] \(1 \leq m \leq n\)) », cerclé conditions générales du […] lemme en interligne : « Th. 1, 1° », […] […] il […] […] les […] […] […] dans la suite \(\varphi(\alpha_i)_{i \leq p} \leq \varphi(\beta_i)_{i \leq p}\) (pour […] […] \(\sum \alpha_i \leq \sum \beta_i\) […] donc […] […] pour […] alors on aura aussi […] que les fonctions de […] \(\varphi(\alpha_1, \ldots, \alpha_p)\) […] les […] pour […] sous les conditions […] […] […] \(\alpha_{p+1}, \ldots, \alpha_n\) et \(\beta_{p+1}, \ldots, \beta_n\) bloc de six lignes biffé de grands traits ondulés, dont on ne retient que les formules alors il en est de même au bas du bloc, souligné : « à la définition » des suites \((\alpha_i)_{i \leq k}\) et \((\beta_i)_{i \leq k}\) pour tout entier \(k\) tel que en interligne : « qui suit » \(1 \leq k \leq n\). Comme […] […] à une suite de […] le lemme, et que si \(\varphi\) est une fonction convexe symétrique sur […] les […] en interligne : « croissante » ou « de \(k\) » de \(k\) arguments, on a aussi \[\varphi(\alpha_1, \ldots, \alpha_k) \leq \varphi(\beta_1, \ldots, \beta_k) .\] La même remarque […] pour […] 2 […] conditions des corollaire 1 du lemme en interligne, remplaçant le texte biffé : « Th. 1, 2° ».

Applications des corollaires 1 ligne biffée, soulignée d'un trait double Donnons des cas intéressants de fonctions \(f\) satisfaisant aux conditions du corollaire 1 en interligne : « Th. 1, 2° ». […] Si […] \(f(\rho_1, \ldots, \rho_n)\) est une fonction convexe croissante souligné des arguments \(\rho_i > 0\), alors \(f(e^{t_1}, \ldots, e^{t_n})\) est […] en interligne : « une » […] […] […] les arguments \((t_i) \in \mathbf{R}^n\) […] fonction convexe […] qui […] en interligne, souligné : « \(f\) sera » ; sept lignes biffées, avec en interligne « limite de fonctions linéaires » \(f(e^{t_1}, \ldots, e^{t_n})\) est enveloppe supérieure […] fonction convexe des fonctions \(\sum a_i e^{t_i} + b\), qui sont convexes puisque les fonctions \(e^{t_i}\) sont convexes, et les \(a_i\) […], elle est elle-même convexe. Enfin […] pour […] une fonction de […] […], comme une de […] sur \(\mathbf{R}^n\) toute deux lignes biffées, soulignées norme souligné d'un trait double, avec un trait rouge dessous \(N(x) = N(x_1, \ldots, x_n)\) qui est symétrique, telle que en interligne : « pour \(x_1 \geq 0, \ldots, x_n \geq 0\) » \[\text{(\uncertain{12})}\qquad N(x_1, \ldots, x_n) = N(|x_1|, \ldots, |x_n|) \qquad \struck{\ill{} \uncertain{fonction} \uncertain{croissante} \uncertain{de} \uncertain{chaque} \ill{}}\] le numéro est cerclé ; la fin de la ligne est biffée, ainsi que les deux lignes suivantes : « […] normalisée par \(N(e_i) = 1\) », « […] les […] sont […] » (Nous […] supposons \(N\) […] […] vérifiant les conditions \((\lambda_i)\) […] […] des […] (i.e. 2 les conditions, et […] stable […] multiplication par […] \((\lambda_i)\) avec \(|\lambda_i| = 1\) […] […]) […] […] majorant […] […] […] \(\sum \lambda_i\) […] […] \(f\) tel […] \(\sum d_i \leq \sum\) […] […] seulement […] […] \(n\) éléments […] […]) longue note de côté dans la marge gauche, en deux blocs, l'un descendant le long de la page et l'autre en escalier au bas ; un trait rouge la longe ; elle porte sur la normalisation de \(N\) et reste pour l'essentiel illisible même redressée

86norme de Schatten ainsi lu ; le mot est abrégé « Sch. » et suivi d'un trait \(N(x_1, \ldots, x_n)\) satisfait aux conditions exigées en interligne : « id […] » dans l'énoncé du corollaire en interligne : « Th. 1, 2° » en interligne : « pour la fonction \(f\). On en […] déduit » […] application […] suivante : si \((\rho_i)\) \(\rho(x)\) et \((\sigma_i)\) sont comme dans le Th. […] \(=\) […] soit […] la fonction […] […] […] pour tout […] […] conditions, […] […] dans l'hypothèse b), […] dans l'hypothèse a) […] bloc de sept lignes entouré d'un cadre et biffé ; sa fin est reprise en clair : dans l'hypothèse b), […] \(\pm 0\)) […] aussi. Que la fonction \((e^{t_i})^p\) est […] aussi \(f(r_1, \ldots, r_n) = r_1^p \cdots r_n^p\) formule en partie encadrée d'un trait ondulé ; l'exposant \(p\) du dernier facteur est incertain […] qu'un \(p\) réel quelconque est satisfait aux […] […] […] conditions […] dans le corollaire 1, […] et \(=\) […] […] conditions ainsi que […] Pour tout, […] les conditions […] en interligne : « […] réel […] » b), […] (\(\prod_1^m \rho_i \leq \prod_1^m \sigma_i\), \(\prod_1^n \rho_i = \prod_1^n \sigma_i\)) « \(m\) » et « \(n\) » au-dessus des \(\prod\) ; le second \(\prod\) est corrigé \[\text{(15)}\qquad \sum_1^n \rho_i^p \leq \sum_1^n \sigma_i^p \qquad (p \text{ réel})\] le « (15) » est surchargé, écrit sur un « (9) » ou un « (1) » […] […] […], […] et si \(p \geq 0\), […] en interligne : « \(\prod_1^m \rho_i \leq \prod_1^m \sigma_i\) […] » \[\text{(16)}\qquad \sum_1^k \rho_i^p \leq \sum_1^k \sigma_i^p \qquad (p \geq 0,\; \struck{\ill{}} k = 1, \ldots, n) .\] le « (16) » est écrit au-dessus d'un « (12) » biffé ; un mot est biffé après « \(p \geq 0\), » Remarquons d'ailleurs que deux systèmes \((\rho_i)\), \((\sigma_i)\) […] satisfont aux […] inégalités (16), […] pour […] \(p\) entier \(\geq 0\), […] pour […] vérifient […] quatre lignes entourées d'un cadre et barrées de grands zigzags

[…] […]

Th 2 (Premier théorème de convexité dans les espaces de Hilbert) « Th 2 » dans la marge gauche, souligné ; le titre entre parenthèses est souligné

Soit \(u\) un opérateur […] dans un espace de Hilbert, soit \(\varphi\) la suite \(f(\rho_1, \ldots, \rho_n)\) en interligne une fonction (de \(n\) arguments \(r_i \geq 0\), croissante pour chaque argument, et telle que \(f(e^{t_1}, \ldots, e^{t_n})\) soit fonction convexe de \((t_i) \in \mathbf{R}^n\). Alors on a […] « \(N_2\) » ou « \(N_0\) » biffé, puis en interligne : « (avec les notations ordinaires du n° 3) » ; l'énoncé est marqué d'un trait vertical dans la marge \[\text{(17)}\qquad f(|\lambda_1|, \ldots, |\lambda_n|) \leq f(\rho_1, \ldots, \rho_n)\] Il suffit en effet d'appliquer le corollaire 1 du lemme en interligne : « Th. 1, 2° » (hypothèse a)) avec […] \(N_2\) ainsi ; peut-être « \(\rho_i\) » ou le n° 2, pour 3 ; corollaire 2. — En particulier […] ligne obscure : elle renvoie aux corollaires du n° 3 pour les inégalités \(|\lambda_1 \cdots \lambda_k| \leq \rho_1 \cdots \rho_k\)

Corollaire 1. Si \(f(\rho)\) est une fonction convexe en interligne : « croissante » croissante de \(\rho \geq 0\) telle que \(f(e^t)\) soit convexe, et \(u\) un opérateur dans un espace de Hilbert, on a (13) \(N(\rho_1, \ldots, \rho_n) \leq N(\sigma_1, \ldots, \sigma_n)\) […] […] […] […] lorsque \(N\) […] […] pour tout […] \(1 \leq k \leq n\) (14) \(N(\rho_1, \ldots, \rho_k) \leq N(\sigma_1, \ldots, \sigma_k)\), \(1 \leq k \leq n\) […] […] pour […] note de côté dans la marge gauche, en regard du haut de la page : deux formules cerclées (13) et (14), la seconde écrite deux fois, l'une biffée, et quelques mots de commentaire illisibles ; les numéros sont lus (13) et (14) par leur place entre (12) et (15), mais le second chiffre est peu net

87Petit feuillet brunâtre, comme les pages 74 et 75 du lot 4, écrit sur sa moitié supérieure seulement : une reprise au propre de la fin de la page 85 et du haut de la page 86, avec ses propres numéros (13) et (14). En anticipant l'un, soit \(f(\rho)\) une fonction définie pour \(\rho > 0\), telle que \(f(e^t)\) soit convexe, posons \(f(\rho_1, \ldots, \rho_n) = \sum f(\rho_i)\), c'est une fonction symétrique des en interligne : « \(\rho_i\) » […] des \(\rho_i > 0\), et telle que \(f(e^{t_1}, \ldots, e^{t_n})\) soit […] convexe. Par suite, […] \(f(\rho_1, \ldots, \rho_n)\) satisfait aux conditions du corollaire 1, sous l'hypothèse b. Si de plus \(f(\rho)\) est croissante, et définie et continue aussi pour \(\rho \geq 0\), alors \(f(\rho_1, \ldots, \rho_n)\) satisfait aux conditions du corollaire 1 en interligne : « Th. 1, 2° » sous l'hypothèse a. D'où, […] […] […] en interligne : « sous les conditions a), b), respectivement » \((\alpha_i)\), \((\beta_i)\), […] inégalités l'inégalité : \[\text{(13)}\qquad \sum_1^n f(\rho_i) \leq \sum_1^n f(\sigma_i)\] et sous les conditions a), compte tenu de la remarque précédente, la suite d'inégalités \[\text{(14)}\qquad \sum_1^k f(\rho_i) \leq \sum_1^k f(\sigma_i) \qquad (k = 1, \ldots, n)\] Prenons p.ex, pour […] en interligne : « pour \(p\) réel positif » \(f(\rho) = \rho^p\), en interligne : « (\(\rho > 0\)) » alors \(f(e^t) = e^{pt}\) « \(f(\rho)\) » écrit sous \(f(e^t)\), qui est bien une fonction convexe, […] et définie et […] continue […] fonction croissante de \(\rho\), pour \(\rho \geq 0\), et […] d'où pour \(p \geq 0\) les […] […] la dernière ligne est biffée ; le reste de la feuille est blanc

88\[\text{(18)}\qquad \struck{f(\rho)}\; \sum_1^k f(|\lambda_i|) \leq \sum_1^k f(\rho_i) \qquad (k = 1, \ldots) \; \struck{(k \leq \dim E)}\] les formules (18) et (19) sont marquées d'un trait vertical dans la marge En particulier, pour […] si […] est de dimension […], si \(\sum_{i=0}^\infty f(\rho_i)\) converge, […] en interligne : « est convergente », il en est de même de \(\sum_{i=0}^\infty f(|\lambda_i|)\), et on a \[\text{(19)}\qquad \sum_{i=1}^\infty f(|\lambda_i|) \leq \sum_{i=0}^\infty f(\rho_i)\] ainsi sur la page : la somme de gauche part de \(i = 1\), celle de droite de \(i = 0\)

En particulier, prenons \(f(r) = r^p\) (\(p > 0\)), […] telle […] que […] compris, d'où […] […] le […] \(p > 0\). Alors, pour tout entier \(k > 0\)

Corollaire 2 Soit \(u\) un opérateur dans un espace de Hilbert \(E\), et soit \(p > 0\) un nombre réel. Alors on a l'énoncé est marqué d'un trait vertical dans la marge \[\text{(20)}\qquad \sum_{i=1}^k |\lambda_i|^p \leq \sum_{i=1}^k \rho_i^p = \struck{\|u\|_p} \qquad \struck{(k \leq \dim E)}\] formule encadrée au crayon rouge ; le « \(= \|u\|_p\) » final est cerclé et biffé, la parenthèse de droite est barrée d'un zigzag ; sous la formule, une ligne biffée : « […] \(E\) est de dimension finie […] » \[\text{(21)}\qquad \sum_i |\lambda_i|^p \leq \sum_i \rho_i^p = \|u\|_p\] formule encadrée au crayon rouge (où le second membre est fini ou non, la somme est […])

En particulier, prenons \(p = 1\) et \(p = 2\), et utilisant le N° 1, Th. 2 et Th. 3, formules (15) et (20), on trouve

Corollaire 3 Soit \(u\) un opérateur de Fredholm (resp. un op. de Hilb H.-S.) dans […] un espace de Hilbert. Alors la suite des valeurs propres est sommable (resp. de carré sommable) et on a \[\text{(21)}\qquad \sum |\lambda_i| \leq \|u\|_1\] \[\text{(22)}\qquad \Bigl(\sum |\lambda_i|^2\Bigr)^{1/2} \leq \|u\|_2\] les deux formules sont encadrées ensemble au crayon rouge ; la première porte le numéro (21) comme la formule précédente, ainsi sur la page

Signalons aussi le

Corollaire 4 Soit \(u\) un opérateur […] dans un espace de Hilbert de dimension finie \(n\), Alors soit \(f(\rho_1, \ldots, \rho_n)\) une fonction de \(n\) arguments \(\rho_i > 0\) telle que \(f(e^{t_1}, \ldots, e^{t_n})\) soit convexe (pas forcément croissante). Si \(u\) est défini pour […] \(\rho_i \geq 0\), ou si \(u\) est inversible, on a l'énoncé est marqué d'un trait vertical dans la marge, et d'un trait rouge \[\text{(23)}\qquad f(|\lambda_1|, \ldots, |\lambda_n|) \leq f(\rho_1, \ldots, \rho_n) .\] le « (23) » est cerclé ; la formule est encadrée petits caractères écrit de côté dans la marge gauche, en regard du corollaire 4 : une consigne de mise en page, non une note mathématique Alors En effet, […] résulte des inégalités \[|\lambda_1 \cdots \lambda_k| \leq \rho_1 \cdots \rho_k \qquad (k \leq n),\] l'égalité

89\(|\lambda_1| \cdots |\lambda_n| = \rho_1 \cdots \rho_n\). En effet, […] ce qui suit est écrit dans deux cadres emboîtés \[|\lambda_1 \cdots \lambda_n|^2 = |\det u|^2 = \ill{} = \det u^{*} u = \rho_1^2 \cdots \rho_n^2 \quad (\text{\uncertain{de} } u^{*} u)\] […] les \(\rho_i^2\) étant les valeurs propres de \(u^{*} u\) […], d'où […] i.e. […] la condition […] du Th. 1, 2° […] b) […] vérifiée. […] les conditions […] trois lignes sous les cadres, très rapides (25) \(\lambda_1(u) \cdots \lambda_n(u) = \det u\) \(\bigl(\rho_1(u) \cdots \rho_n(u)\bigr)^2 = \rho_1(u^{*}u) \cdots \rho_n(u^{*}u) = \det(u^{*}u) = \det u^{*} \det u = \overline{\det u}\, \det u = |\det u|^2\), d'où (26) \(\rho_1(u) \cdots \rho_n(u) = |\det u|\) de côté dans la marge gauche, en haut de la page ; la formule (26), cerclée, est encadrée ; le numéro (25) est biffé et remplacé ; un « (24) » figure plus bas dans la même marge, près d'un bloc au crayon gribouillé jusqu'à l'illisibilité Si \(u\) est inversible, […] dans […] les […] les conditions du Th. 1, 2°, hyp. b) sont vérifiées, […] […]. Si \(f\) est […] définie et continue pour \(\rho_i \geq 0\), […] aussi (23), pour \(u\) non inversible, […] résulte de […] continuité […] vérifiée aussitôt, […] vérifiée pour tout \(u\) […]. […] […] […] corollaire 4 […] par […] inversible […] la formule (21) […] vérifiée […] trois lignes biffées d'un trait ondulé Nota […] (26) […] deux lignes biffées

Corollaire 5 Soit \(u\) un opérateur dans un espace de Hilbert \(E\), soit \(N\) une norme de Schatten sur \(\mathbf{R}^k\) en interligne : « \(k \leq \dim E\) » ; un « \(I = (1, \ldots, n)\) » biffé, […] alors l'énoncé est marqué d'un trait vertical dans la marge \[\text{(27)}\qquad N(|\lambda_1|, \ldots, |\lambda_k|) \leq N(\rho_1, \ldots, \rho_k)\] D'où, […] Par suite, si la dimension de \(E\) est infinie, et si \(N\) est une norme de Schatten sur l'espace \(\mathbf{R}^{(\mathbf{N})}\), […] \(N\) […] en interligne : « […] » \[\text{(28)}\qquad N\bigl((|\lambda_i|)\bigr) \leq N\bigl((\rho_i)\bigr)\] Dans cet énoncé, \(\mathbf{N}\) désigne l'ensemble des entiers, le \(\mathbf{N}\) est souligné, et de même dans \(\mathbf{R}^{(\mathbf{N})}\) \(\mathbf{R}^{(\mathbf{N})}\) l'espace des suites de nombres réels qui sont […] nulles […] (i.e. n'ayant qu'un nombre fini de termes non nuls). Une norme sur \(\mathbf{R}^{(\mathbf{N})}\) est dite une norme de Schatten, si elle induit une norme de Schatten sur tout \(\mathbf{R}^n\), […] \(\mathbf{R}^n\) (identifié à un sous-ensemble de \(\mathbf{R}^{(\mathbf{N})}\)).

90Un feuillet est collé sur le bas de la page et en couvre les dernières lignes ; il est transcrit à sa place, après le corollaire 1. […] […] deux mots biffés en tête de page En effet, si \(\xi = (\xi_i)\) est un élément de \(\mathbf{R}^{(\mathbf{N})}\) […] positif, posons \(x_n = (\xi_1, \ldots, \xi_n, 0, \ldots, 0)\), alors \(N(x_n)\) est une suite croissante et […] « tend avec […] » en interligne on pose \[N(\xi) = N\bigl((\xi_i)\bigr) = \lim N(x_n), \qquad \ill{} \text{ limite croissante } \geq 0 .\] « limite croissante » incertain Alors La formule (28, […]) […] particulier de […], si \(N\) […] […] en interligne : « […] » […], […] \(f\) […], […]. La formule (28, […]) en résulte par un passage à la limite.

Th 3 Deuxième théorème de convexité dans les espaces de Hilbert « Th 3 » dans la marge, souligné ; le titre est souligné

Soient \(E, F, G\) trois espaces de Hilbert, soit \(u\) une application linéaire continue en interligne : « cpte » de \(E\) dans \(F\), et \(v\) une application linéaire continue en interligne : « cpte » de \(F\) dans \(G\), […] […] […] en interligne : « symétrique et croissante » puis « soit » soit \(f(\rho_1, \ldots, \rho_n)\) une fonction […] (de \(n\) arguments \(\rho_i \geq 0\), telle que […] \(f(e^{t_1}, \ldots, e^{t_n})\) soit fonction convexe de \((t_i) \in \mathbf{R}^n\). Alors on a l'énoncé est marqué d'un trait vertical dans la marge \[\text{(29)}\qquad f\bigl(\rho_1(vu), \ldots, \rho_n(vu)\bigr) \leq f\bigl(\rho_1(v)\rho_1(u), \ldots, \rho_n(v)\rho_n(u)\bigr)\] le « (29) » est cerclé et surchargé En effet, il suffit d'appliquer le lemme en interligne : « th. 1 » fondamental, […] conditions aux deux suites \(\bigl(\rho_i(vu)\bigr)_{i \leq n}\) et \(\bigl(\rho_i(v)\rho_i(u)\bigr)_{i \leq n}\). Les conditions du corollaire 1 de ce lemme sont en interligne : « à l'hyp. b », « n° 2°) du th. 1 » satisfaites, […] en vertu du N° 3, Prop. 3, corollaire 3 […]. la fin de la ligne est biffée

Corollaire 1 Soient \(u\) et \(v\) comme dans le Th. 3, soit \(f(\rho)\) une fonction continue croissante de \(\rho \geq 0\) telle que \(f(e^t)\) soit […] fonction convexe de \(t \in \mathbf{R}\). Alors, pour tout […] entier \(n > 0\), on a l'énoncé est marqué d'un trait vertical dans la marge \[\text{(30)}\qquad \sum_{i=1}^n f\bigl(\rho_i(vu)\bigr) \leq \sum_{i=1}^n f\bigl(\rho_i(v)\rho_i(u)\bigr)\] d'où en interligne : « d'où » \[\text{(31)}\qquad \sum_i f\bigl(\rho_i(vu)\bigr) \leq \sum_i f\bigl(\rho_i(v)\rho_i(u)\bigr)\] (la somme, finie ou infinie […] étant […] la suite \((i)\))

Feuillet collé, couvrant le bas de la page : […] \((\rho_i(vu))\) associée à […] \(u\), \(v\), la […] majoration […] par celle qui […] si on avait \(\rho_i(vu) = \rho_i(u)\rho_i(v)\), donc si \(u\) et \(v\) étaient des opérateurs de multiplication dans \(\ell^2\) par les \((\rho_i(u))\) resp. \((\rho_i(v))\). […] […] […] en interligne, souligné : « Nous […] » […] […] d'où […] corollaire […] à […] […] trois lignes biffées corollaire 5 du Th. 1, mais […] laissons […] au lecteur. la phrase est reliée par un trait d'accolade

Dans l'inégalité (30), […] peut faire et […] […] tend vers […], d'où […] par (30), […] et on obtient à la limite. deux lignes barrées de traits ondulés

91Feuillet étroit, pencilé 93 ; les formules (30) et (31) sont rappelées en tête, au crayon, au-dessus des numéros (27) et (28) qu'il cite ; sa moitié inférieure est un feuillet collé, portant le corollaire 4. Une longue note de côté occupe la marge gauche. En effet, 27 « 30 » au-dessus, au crayon est un cas particulier du Th. 2, et 28 « 31 » au-dessus, au crayon, en résulte par passage à la limite pour \(n \to +\infty\). un astérisque au crayon rouge En particulier Prenons en particulier, au corollaire 1, \(f(r) = r^p\) […] \(p > 0\), on obtient deux lignes biffées soient \(p, q, \struck{r}\) tels que \[\text{(34)}\qquad \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{1}{s} \qquad (p, q, s \geq 0)\] le « (34) » est surchargé sur un autre numéro ; un \(\sum\) biffé à gauche posons \(f(\rho) = \rho^s\), […] dans le corollaire 1 […] l'inégalité […] (31), donne \[\Bigl(\sum_{i=1}^\infty \rho_i(vu)^s\Bigr)^{1/s} \leq \Bigl(\sum_{i=1}^\infty \bigl(\rho_i(u)\rho_i(v)\bigr)^s\Bigr)^{1/s}\] Or (inégalité de Hölder […] en interligne : « soit bien connue » […] quels […] exposants […] conjugués […] le second membre est majoré par \(\bigl(\sum \rho_i(u)^s\bigr)\) […] \[\Bigl(\sum \rho_i(u)^p\Bigr)^{1/p} \Bigl(\sum \rho_i(v)^q\Bigr)^{1/q} .\] On trouve en interligne : « […] »

Corollaire 2, (« Inégalité de Hölder pour opérateurs […] »). le titre entre guillemets est souligné, avec un trait rouge dessous ; un trait rouge dans la marge […] […] Soient \(E, F, G\) trois espaces de Hilbert, soit \(u\) une op. cpt de \(E\) dans \(F\), \(v\) une op. cpt de \(F\) dans \(G\), alors on a, pour tout […] en interligne : « […] entier » \((p, q, s)\) […] satisfaisant à (34), et tout entier \(n > 0\) l'énoncé est marqué d'un trait vertical dans la marge \[\text{(35)}\qquad \Bigl(\sum_{i=1}^n \rho_i(vu)^s\Bigr)^{1/s} \leq \Bigl(\sum_{i=1}^n \rho_i(u)^p\Bigr)^{1/p} \Bigl(\sum_{i=1}^n \rho_i(v)^q\Bigr)^{1/q}\] En particulier \[\text{(36)}\qquad \Bigl(\sum \rho_i(vu)^s\Bigr)^{1/s} \leq \Bigl(\sum \rho_i(u)^p\Bigr)^{1/p} \Bigl(\sum \rho_i(v)^q\Bigr)^{1/q}\] \[\struck{N_s(vu) \leq N_p(u)\, N_q(v)} \qquad \|vu\|_s \leq \|u\|_p\, \|v\|_q \qquad \Bigl(\frac{1}{s} = \frac{1}{p} + \frac{1}{q}\Bigr)\] les deux lignes de (36) sont encadrées ensemble au crayon rouge ; la forme en \(N_s\) est biffée et récrite dessous avec les \(\|\cdot\|\) ; une ligne biffée suit : « (où […] le second membre […] fini […]) »

Le cas le plus important de l'inégalité (37) ainsi ; il s'agit de (36) est celui où \(s = 1\), i.e. où \(p\) et \(q\) sont deux « exposants conjugués » ; Nous y reviendrons […] […] inégalités au N° […] […] plus frappante trois lignes biffées \[\text{(38)}\qquad \|vu\|_1 \leq \|u\|_p\, \|v\|_{p'} \qquad \Bigl(\frac{1}{p} + \frac{1}{p'} = 1\Bigr)\] formule encadrée au crayon rouge, le numéro cerclé […] l'inégalité de Hölder […] (38) résulte d'ailleurs aussi de (32), grâce à l'inégalité de Hölder ordinaire. la dernière ligne est barrée

(32) \(\sum f\bigl(\rho_i(vu)\bigr) \leq \sum f\bigl(\rho_i(u)\rho_i(v)\bigr)\). Tenons compte […] […] […] on aura \(|\operatorname{Tr} vu| \leq \struck{\sum} \sum \rho_i(vu)\) (N° 2, Th. […]) […] formule (21), […] d'où […]. Prenons en particulier \(f(s) = s\), on obtient de (21) N° 1, Th. 3, […] \(p = 1\), […] […] \(vu\) est un op. de Fredholm. Par […] d'où \(|\operatorname{Tr}(vu)| \leq \sum |\lambda_i(vu)| \leq\) \(|\operatorname{Tr} vu| \leq \sum \rho_i(u)\rho_i(v)\). Pour […] Corollaire 3 Soient \(E, F\) deux espaces de Hilbert, \(u\) une application linéaire […] de \(E\) dans \(F\), […] de \(F\) dans \(G\), […] \(\sum \rho_i(u)\rho_i(v)\) […] on a […] et […] (33) \(|\operatorname{Tr} vu| \leq \sum \rho_i(u)\rho_i(v)\) […] Ce résultat […] […] de Fredholm […] (39). longue note de côté dans la marge gauche, courant sur toute la hauteur du feuillet et se poursuivant sur le feuillet collé ; les formules (32) et (33) y sont encadrées au crayon rouge, (32) cerclée ; un bloc biffé en zigzag en sépare les deux parties. Elle ajoute, entre le corollaire 2 et le corollaire 4, un corollaire 3 : l'inégalité de trace

Feuillet collé, moitié inférieure de la page ; un point d'interrogation au crayon rouge dans sa marge, et au crayon : « Est-ce utile ? d'où […] » Corollaire 4 Soient \(E, F, G\) trois espaces de Hilbert de dimension finie \(n\), \(u\) une op. […] de \(E\) dans \(F\), \(v\) une op. de \(F\) dans \(G\), \(f(\rho_1, \ldots, \rho_n)\) fonction […] de \(n\) arguments \(\rho_i > 0\), telle que \(f(e^{t_1}, \ldots, e^{t_n})\) soit fonction convexe de \((t_i) \in \mathbf{R}^n\). Sous ces conditions, en interligne : « si \(f\) est définie et continue pour \(\rho_i \geq 0\), ou si \(u\) et \(v\) sont inversibles » on a l'énoncé est marqué d'un trait vertical dans la marge \[\text{(39)}\qquad f\bigl(\rho_1(vu), \ldots, \rho_n(vu)\bigr) \leq f\bigl(\rho_1(u)\rho_1(v), \ldots, \rho_n(u)\rho_n(v)\bigr)\] En effet, […] cela résulte du Th. 1, 2°, hyp. b), […] en vertu de \[\text{(40)}\qquad \prod \rho_i(vu) = \struck{f(vu)}\; \prod \rho_i(u)\rho_i(v)\] En effet Pour établir en interligne : « vérifier » (40), on élève au carré peut évidemment supposer que \(E = F = G\), alors, en vertu de […] (26), les deux membres de (40) sont resp. \(|\det(vu)|\) et \(|\det u|\,|\det v|\) (formule (26)), d'où le résultat. Si \(u\) et \(v\) ne sont pas inversibles, mais \(f\) définie et continue pour \(\rho_i \geq 0\), (39) se ramène par passage à la limite à partir du cas précédent.

Dans des […] sur la comparaison des opérateurs […] antilinéaire deux lignes au crayon, très pâles, au bas du feuillet collé

92Th 4 (Troisième Th. de convexité dans les espaces de Hilbert) « Th 4 » souligné, le titre souligné ; l'énoncé est marqué d'un trait vertical dans la marge

Soient \(E, F\) deux espaces de Hilbert, \(u, v\) deux opérateurs compacts de \(E\) dans \(F\), soit enfin \(\varphi(\rho_1, \ldots, \rho_n)\) une fonction convexe symétrique croissante […] continue symétrique […] deux lignes biffées, avec en interligne « convexe symétrique croissante » récrit de \(n\) arguments \(s_i \geq 0\), telle que en interligne : « Alors » \(f(e^{t_1}, \ldots, e^{t_n})\) soit fonction convexe de \((t_i) \in \mathbf{R}^n\). Alors ligne biffée : l'hypothèse de convexité logarithmique est retirée \[\text{(41)}\qquad \varphi\bigl(\rho_1(u+v), \ldots, \rho_n(u+v)\bigr) \leq \varphi\bigl(\rho_1(u)+\rho_1(v), \ldots, \rho_n(u)+\rho_n(v)\bigr)\] En effet, c'est un cas particulier du Th. 1, 1°, hyp. a, compte tenu des formules du N° 1.

Corollaire. Soient \(u\) et \(v\) […] comme ci-dessus, soit \(\varphi(s)\) une fonction convexe de \(s \geq 0\), alors on a pour tout \(n > 0\) en interligne : « croissante » \[\struck{\text{(42)}\qquad \sum_1^n \varphi\bigl(\rho_i(u+v)\bigr) \leq \sum_1^n \varphi\bigl(\rho_i(u) + \rho_i(v)\bigr)}\] le corollaire et la formule (42) sont entourés d'un cadre et barrés de grands traits

Nous serons surtout intéressés par le

Corollaire 1 Soient \(u\) et \(v\) comme ci-dessus en interligne : « \(E\) et \(F\) deux espaces de Hilbert », et soit \(N\) une norme de Schatten sur \(\mathbf{R}^n\), alors les quantités posons, pour tout tout opérateur compact \(u\) de \(E\) dans \(F\) \[\text{(43)}\qquad \|u\|_N = N\bigl(\rho_1(u), \ldots, \rho_n(u)\bigr)\] Alors on a \[\text{(44)}\qquad \struck{\|\lambda u\|_N = |\lambda|\, \|u\|_N} \qquad \|u + v\|_N \leq \|u\|_N + \|v\|_N\] la seconde ligne est encadrée au crayon rouge ; la première, biffée, est en partie prise dans le cadre […] est donc une norme sur \((L_0(E,F))\) sous-espace […] […] \(\mathbf{R}^{(\mathbf{N})}\) deux lignes biffées de traits en boucle

En effet, \(N(s_1, \ldots, s_n)\) pour \(s_i \geq 0\) satisfait aux conditions de (41), on a donc \[N\bigl(\rho_1(u+v), \ldots, \rho_n(u+v)\bigr) \leq N\bigl(\rho_1(u)+\rho_1(v), \ldots, \rho_n(u)+\rho_n(v)\bigr)\] et le second membre est majoré par \(N\bigl(\rho_1(u), \ldots, \rho_n(u)\bigr) + N\bigl(\rho_1(v), \ldots, \rho_n(v)\bigr)\) puisque \(N\) est une norme, d'où (44). En particulier

Corollaire 2 Soient si \(u, v \in \uncertain{L_0^{p}}(E,F)\) l'exposant est peu net ; une flèche le désigne, et […] (\(\struck{\chi}\) \(1 \leq p \leq +\infty\)). […] pour tout \(n > 0\) \(\|u+v\|_p \leq\) \[\text{(45)}\qquad \Bigl(\sum_1^n \bigl(\rho_i(u+v)\bigr)^p\Bigr)^{1/p} \leq \Bigl(\sum_1^n \rho_i(u)^p\Bigr)^{1/p} + \Bigl(\sum_1^n \rho_i(v)^p\Bigr)^{1/p}\] d'où par passage à la limite […] \[\text{(46)}\qquad \|u + v\|_p \leq \|u\|_p + \|v\|_p\] formule encadrée au crayon rouge ; le reste de la page est blanc

Classes remarquables d'opérateurs dans l'espace de Hilbert

Le titre est de lui, en tête de la page 93 : « 5. Classes remarquables d'opérateurs dans l'espace de Hilbert ». La numérotation des formules repart de (1).

935. Classes remarquables d'opérateurs dans l'espace de Hilbert

Nous commençons par donner un exposé de la théorie de Schatten, qui est […] un bon […] simplifiée […] par la lemme en interligne : « inégalités de convexité » de Weyl, et en y apportant quelques compléments. un point d'interrogation au crayon rouge dans la marge, et deux traits rouges sous « exposé » et « apportant » […] Rappelons le

Définition 1 Soit Une norme \(N\) sur \(\mathbf{R}^n\) est dite norme de Schatten si elle est symétrique, satisfait à le corps de la définition est marqué d'un trait vertical dans la marge \[\text{(1)}\qquad N(x_1, \ldots, x_n) = N(|x_1|, \ldots, |x_n|)\] et si elle 2. « 2. » ou « i. » elle est croissante […] sur l'ens. des \(x_i \geq 0\), et elle satisfait est normalisée par \(N(1, 0, \ldots, 0) = 1\)

Une norme \(N\) sur \(\mathbf{R}^{(\mathbf{N})}\) \(\mathbf{N}\) […] (suites […] en interligne : « […] » infinies […] […] de nombres réels n'ayant qu'un nombre fini de termes […]) est appelée une norme de Schatten, pour tout […] \(n > 0\), si elle induit sur […] sur \(\mathbf{R}^n\) une norme de Schatten (\(\mathbf{R}^n\) est ici identifié à l'ensemble […] en interligne : « aux suites […] » de \(\mathbf{R}^{(\mathbf{N})}\) […] nulles, […] à partir du rang \(n+1\)). Notons qu'une norme de Schatten sur \(\mathbf{R}^n\) induit sur \(\mathbf{R}^m\) (\(m \leq n\)) une norme de Schatten. […] […] en interligne : « Exemples de normes de » Schatten : \(N_p((x_i)) = \bigl(\sum |x_i|^p\bigr)^{1/p}\) […] \(1 \leq p\) formule biffée les normes \(N_p((x_i)) = \|(x_i)\|_p\), définies pour […] \(p = \infty\) par ligne biffée \[\text{(2)}\qquad \|(x_i)\|_p = \Bigl(\sum |x_i|^p\Bigr)^{1/p} \qquad (1 \leq p < +\infty)\] \[\text{(3)}\qquad \|(x_i)\|_\infty = \operatorname{Sup}_i |x_i|\] Si \(N_0\) est une norme de Schatten […] sur \(\mathbf{R}^n\), il existe […] une norme de Schatten \(N\) sur \(\mathbf{R}^{(\mathbf{N})}\) en interligne : « qui » l'induise \(N_0\) […]. Soit, pour tout \(x = (x_i) \in \uncertain{c_0}\) « \(\underline{C}_0\) », souligné ; incertain, […] […] soit \((\uncertain{R_i}(x))\) la suite des \(|x_i|\) […] en interligne : « […] » rangée par ordre décroissant, pour […], posons \(N(x) = N_0\bigl(\rho_1(x), \ldots, \rho_n(x)\bigr)\). Il est trivial deux traits rouges sous les dernières lignes ; deux points d'interrogation au crayon rouge dans la marge

94que \(N(x)\) induit sur \(\mathbf{R}^n\) la fonction \(N_0(x)\), et qu'on a \(N(\lambda x) = |\lambda|\, N(x)\) et \(N(x) = 0 \Rightarrow x = 0\), il faut seulement prouver \(N(x+y) \leq N(x) + N(y)\) (seule chose \(=\) pour \(x, y \in c_0\)) « seule » souligné au crayon rouge ; le bloc est marqué d'un trait vertical dans la marge. Pour ceci, on regarde \((x_i)\) et \((y_i)\) comme remarque que si \(u_x\) est l'opérateur de multiplication par \(x\) dans \(\ell^2\) (qui est un opérateur […] pour \(x \in c_0\)), on a \(u_{x+y} = u_x\) \(\rho_i(u_x) = \rho_i(x)\), donc […] pour […] \(u_{x+y} = u_x + u_y\), et l'inégalité à prouver résulte alors du N° 4, Th. 4, corollaire. — En résumé, les normes […] en interligne : « de Schatten » ainsi associées à des normes ligne biffée de Schatten \(N_0\) sur \(\mathbf{R}^n\) […] qu'il existe une infinité en interligne : « continue » de normes de Schatten sur \(\mathbf{R}^{(\mathbf{N})}\) équivalentes à la norme induite par \(c_0\).

Soit \(N\) […] une norme de Schatten sur […] \(\mathbf{R}^{(\mathbf{N})}\). Soit \(\ell^N\) l'espace des suites complexes \(x = (x_i)\) telles que […] soit \(N(x)\) […] \(N(|x_1|, \ldots, |x_n|, 0, 0, \ldots)\) sont avec \(n\), […] finie quatre lignes biffées, avec un « si \(n\) varie » en interligne Soit \(|x|_n = (|x_1|, \ldots, |x_n|, 0, \ldots)\). Comme […] si \(n\) varie […] alors \(|x+y|_n \leq |x|_n + |y|_n\) deux lignes biffées \(|x|_n\) est une suite croissante d'éléments positifs de \(\mathbf{R}^{(\mathbf{N})}\), posons \[\text{(4)}\qquad N(x) = \lim_n N(|x|_n)\] La valeur […] \(\geq 0\) […] […] deux lignes biffées ; en interligne, cerclé : « à \(N(x)\), qui coïncide avec \(N(x)\) quand \(x \in \mathbf{R}^{(\mathbf{N})}\) » \[\text{(5)}\qquad N(\lambda x) = |\lambda|\, N(x), \qquad N(x+y) \leq N(x) + N(y),\] […] \(N(x) < +\infty\) la première formule, […] en interligne : « il faut prouver la deuxième » […] i.e. […] […] 1, valeur […] s'il […] […] fini […] trois lignes biffées ; un mot souligné au crayon rouge La deuxième formule résulte de ce que \(N(\ldots)\) \(|x+y|_n \leq |x|_n + |y|_n\), d'où \(N(|x+y|_n) \leq N(|x|_n + |y|_n) \leq N(|x|_n) + N(|y|_n)\). Soit Soit \(\ell^N\) l'espace des suites complexes \(x\) telles que \(N(x) < +\infty\) plusieurs mots biffés et récrits en interligne autour de cette phrase : « muni de », « c'est un espace » […] pour […] \(N(x)\) est une norme sur \(\ell^N\) […]. D'ailleurs […] \(\mathbf{R}^{(\mathbf{N})} \subset \ell^N\) […] \(N(x)\) […] […] les trois dernières lignes de la page sont biffées de grands traits en boucle

95[…], si […] ou \(N \leq\) […] ligne biffée en tête de page (6) \(\ell^1 \subset \ell^N \subset \ell^\infty\) et la norme de \(\ell^1\) est plus fine que celle induite par \(\ell^N\), qui est à son tour plus fine que celle induite par […] la formule et les trois lignes sont entourées d'un cadre et barrées d'un grand trait ondulé ; elles sont reprises plus bas comme (6)

Si \(N'\) et \(N''\) sont deux normes de Schatten telles que \(N' \leq N''\), il est immédiat que \(\ell^{N''} \subset \ell^{N'}\), et la norme de \(\ell^{N'}\) \(\ell^{N'} \subset \ell^{N''}\) est moins fine que celle induite par \(\ell^{N''}\). En particulier, En particulier, si on remarque que toute norme de Schatten est comprise entre les normes de Schatten \(N_1(x) = \sum_i |x_i|\) et \(N_\infty(x) = \operatorname{Sup}_i |x_i|\) et que les espaces \(\ell^N\) associés à ces deux dernières normes sont \(\ell^{N_1}\) et \(\ell^{N_\infty}\) \(\ell^1\) et \(\ell^\infty\), […] on voit que \[\text{(6)}\qquad \ell^1 \subset \ell^N \subset \ell^\infty\] les applications identiques […] \(\ell^1 \to \ell^N\) et \(\ell^N \to \ell^\infty\) étant de norme \(\leq 1\). Notons […] l'inégalité la fin de la ligne est prise dans une longue boucle \[\text{(7)}\qquad \struck{\sum}\; N\Bigl(\sum_k x^k\Bigr) \leq \sum_k N(x^k)\] valable pour toute suite […] \((x^k)\) d'éléments […] en interligne : « \(x^k \in \ell^N\) » […] pour laquelle […] convergente dès que le second membre est fini, i.e. \(\sum_k |x_i^k| < +\infty\). Il suffit en effet de prouver (7) si le second membre est fini ; alors en posant \(x = \sum_k x^k\), on aura \(|x|_m \leq \sum_k |x^k|_m\) ; \(N\) étant une fonction croissante sur \(\mathbf{R}^m\) ligne biffée d'un trait on aura \(N(|x|_m) \leq N\bigl(\sum_k |x^k|_m\bigr)\), et \(N\bigl(\sum_k |x^k|_m\bigr) = \lim_{n \to \infty} N\bigl(\sum_{k=1}^n |x^k|_m\bigr)\), et comme \(N\bigl(\sum_{k=1}^n |x^k|_m\bigr) \leq \sum_{k=1}^n N(|x^k|_m) \leq \sum_{k=1}^n N(x^k)\), on aura \(N\bigl(\sum_k |x^k|_m\bigr) \leq \sum_k N(x^k)\), donc pour tout \(m\) \(N(|x|_m) \leq \sum_k N(x^k)\), d'où par définition de \(N(x)\) l'inégalité (7). la moitié inférieure de la page est traversée de grandes boucles et de traits obliques qui relient les lignes entre elles, sans les biffer : l'ordre de lecture est celui donné ici

96Le membre de (7) que \(\ell^N\) est complet. Il suffit de prouver qu'une suite \((x^k)\) […] \(\ell^N\) d'éléments \(x^k \in \ell^N\), telle que \(\sum \|x^k\|_N < +\infty\), est sommable dans \(\ell^N\). […] elle […] : à fortiori \(\sum \|x^k\|_\infty < +\infty\), donc la série est […] sommable dans \(\ell^\infty\), en interligne : « vers un \(x \in \ell^\infty\) ; d'autre part » […] avec soit […] (7), […] \(x \in \ell^N\). D'autre part, \[N\Bigl(x - \sum_{k=1}^n x^k\Bigr) = \struck{\ill{}}\; N\Bigl(\struck{x} \sum_{n+1}^\infty x^k\Bigr) \leq \sum_{n+1}^\infty N(x^k),\] qui tend vers zéro […] pour […] \(+\infty\) fin de ligne biffée, puisque \(\sum N(x^k)\) est une série convergente. Il s'ensuit que […] aussi \(\sum x^k = x\) dans \(\ell^N\). Il est immédiat de vérifier que […] […] l'inégalité […] […] \(\ell^N\) est […] de côté dans la marge gauche, en regard du haut de la page, en cinq lignes courtes ; largement illisible

Soit \(\ell_N\) l'adhérence de \(\underline{\mathbf{R}^{(\mathbf{N})}}\) dans \(\ell^N\), comme \(\ell^N\) est complet, \(\ell_N\) s'identifie au complété de \(\mathbf{C}^{(\mathbf{N})}\) pour la norme \(N\). Il est encore trivial que si \(N' \leq N''\), alors \(\ell_{N'} \subset \ell_{N''}\), et l'application identique \(\ell_{N'} \to \ell_{N''}\) est de norme \(\leq 1\). ainsi sur la page : le sens de l'inclusion est l'inverse de celui de \(\ell^{N''} \subset \ell^{N'}\) à la page précédente ; les indices \(N'\), \(N''\) sont peu nets En particulier, les espaces \(\ell_N\) associés à \(N_1\) et \(N_\infty\) étant resp. \(\ell^1\) et \(c_0\), on obtient \[\text{(8)}\qquad \ell^1 \subset \ell_N \subset c_0\] Proposition 1 […] \(\ell^N \subset c_0\) si et seulement si \(N\) est équivalente à […] : Notons les \(N_\infty\) […] propriétés suivantes le titre est souligné ; deux lignes biffées le suivent, et la formule qui suit est prise dans un grand trait en boucle \[\struck{\text{(9)}\qquad \ell_N = \ell^N \cap c_0}\] Il suffit de prouver que \(x \in \ell^N \cap c_0\) implique \(x \in \ell_N\). […] En effet […] deux lignes biffées, la seconde soulignée d'une ligne pointillée

Notons que \(\mathbf{R}^{(\mathbf{N})}\) le \(\mathbf{R}\) est repassé à l'encre épaisse est en dualité avec lui-même \(=\) par l'accouplement \(\langle x, y \rangle = \sum x_i y_i\). Cela permet de faire correspondre à toute norme \(N\) sur \(\mathbf{R}^{(\mathbf{N})}\), […] une norme polaire, notée \(N^{\circ}\), définie par \[\text{(9)}\qquad N^{\circ}(y) = \operatorname{Sup}_{N(x) \leq 1} |\langle x, y \rangle|\] le \(y\) de \(N^{\circ}(y)\) et de \(\langle x, y \rangle\) est surchargé, écrit sur un \(x'\) Si \(N\) est une norme de Schatten, on vérifie trivialement que \(N^{\circ}\) est une norme de Schatten, et si \(x \in \ell_N\), \(x' \in \ell^{N^{\circ}}\), alors […] […] \(\ell^{N'}\), […] \(\sum x_i x_i'\) est […], […] et […] les deux dernières lignes sont biffées et reliées par une accolade au « et » De plus, clairement \(= (N^{\circ})^{\circ} = N\), […] vérifier […] de côté dans la marge gauche, au bas de la page, en regard de la norme polaire ; sa fin est biffée

97\[\text{(10)}\qquad \sum |x_i x_i'| \leq N(x)\, N'(x')\] le « (10) » est surchargé ; \(N'\) désigne ici la norme polaire \(N^{\circ}\) de la page précédente, et l'écriture \(N'\) est celle de toute la suite En effet, on a \(\sum_1^n |x_i x_i'| = \langle |x|_n, |x'|_n \rangle \leq N(|x|_n)\, N'(|x'|_n) \leq N(x)\, N'(x')\), d'où (10). Il en résulte un accouplement naturel entre \(\ell^N\) et \(\ell^{N'}\) « naturel » souligné […] […] […] ligne biffée, avec en interligne « i.e. une application linéaire continue », « de norme \(\leq 1\) » \(\ell_N\) et \(\ell^{N'}\), […] par lequel le dual de \(\ell_N\) s'identifie ligne biffée, cerclée à sa fin ; deux traits rouges « !! » dans la marge en regard est identique à \(\ell^{N'}\) souligné (avec sa norme) pour […] accouplement. En effet, […] il suffit de montrer qu'une forme linéaire continue \(X'\) sur \(\ell_N\) est définie par un \(x'\) élément de \(\ell^{N'}\) […] tel que \(N'(x') \leq \|X'\|\). En effet, \(X'\) est […] en interligne : « aussi » il suffit de le voir pour sa […] restriction à \(\ell^1\), alors \(X'\) est définie par un en interligne : « est » \(x' \in \ell^\infty\), […] […] \(N'(|x'|_n) \leq \|X'\|\), donc […] \(N'(x') \leq \|X'\|\), et le résultat. — Notons qu'en général, le dual de \(\ell^N\) n'est pas \(\ell^{N'}\), car \(\ell_N\) n'est pas dense dans \(\ell^N\). Ex : \(N = N_\infty\). Notons que

Prop dans la marge, souligné, avec un point d'interrogation au crayon rouge en dessous pour que \(\ell_N\) soit réflexif, il faut et il suffit que \(\ell^N\) […] \(\ell_{N'}\) […] \(\ell^{N'}\) le soit en interligne : « il faut et il suffit qu'on ait » En effet, on ait \(\ell_N = \ell^N\) et \(\ell_{N'} = \ell^{N'}\) cette ligne est soulignée ; l'énoncé est souligné en entier \(\ell^N\) réflexif implique \(\ell_N\) réflexif (sous-espace fermé) qui implique \(\ell^{N'}\) réflexif (dual de \(\ell_N\)) qui implique \(\ell_{N'}\) réflexif et donc […] \(\ell^N\) réflexif, […] quatre lignes biffées d'un trait chacune, avec des mots en interligne : « de même que », « d'un réflexif » qui admise la démonstration circulaire de l'équivalence des 4 conditions. Alors \(\ell_{N'}\), qui est un sous-espace en interligne : « il faut donc fermé » du dual \(\ell^{N'}\) de \(\ell_N\), est réflexif ; « réflexif » ou « isomorphe », souligné au crayon rouge, avec un point d'interrogation rouge dans la marge \(\ell^{N'}\), il par […] \(=\) […] on aura \(\ell_N = \ell^N\). Réciproquement, s'il en est ainsi, alors le dual de \(\ell_N\) est \(\ell^{N'} = \ell_{N'}\), et le dual de ce dernier est \(\ell^N = \ell_N\), donc \(\ell_N\) coïncide avec son bidual, et est donc réflexif.

Soit \(N\) une norme de Schatten sur \(\mathbf{R}^{(\mathbf{N})}\) non équivalente à \(N_\infty\) en interligne, biffé, avec au-dessus « non équivalente à \(N_\infty\) » récrit. Soient \(E, F\) deux espaces de Hilbert, \(N\) on désigne par \(L^N(E,F)\) le \(L\) est repassé, l'exposant \(N\) surchargé d'un indice biffé l'espace sous-espace de \(L_0(E,F)\) formé des \(u\) tels que \((\rho_i(u)) \in \ell^N\), i.e. tels que \[\text{(11)}\qquad N(u) = N\bigl((\rho_i(u))\bigr) < +\infty\]

98Si \(N\) […] […] Sous ces conditions, deux lignes biffées en tête de page Alors la fonction \(u \mapsto N(u)\) sur \(L^N(E,F)\) est une norme. En effet, on a \(N(u+v) = \lim_{n \to \infty} N\bigl(|\rho_i(u+v)|_n\bigr)\) […], le second membre est majoré par \(N\bigl(|\rho_i(u)|_n\bigr) \struck{\ill{}} + N\bigl(|\rho_i(v)|_n\bigr) \struck{\ill{}}\) (N° 4, formule (45)), donc par \(N(u) + N(v)\). On voit trivialement \(N(\lambda u) = |\lambda|\, N(u)\), et \(N(u) = 0 \Rightarrow u = 0\). L'espace \(L^N(E,F)\) est donc un espace normé ; prouvons en interligne : « soit » qu'il est complet « complet » souligné d'un trait double, la ligne biffée. \(L_N(E,F)\) le sous-espace normé formé des \(u\) tels que \((\rho_i(u)) \in \ell_N\). Je dis que \(L_N(E,F)\) est l'adhérence de \(\bar{E} \otimes F\) dans \(L^N(E,F)\). En effet, Montrons que \(\sum \rho_i\, \bar{e}_i \otimes f_i\) est limite des sommes partielles \(\sum_1^n \rho_i\, \bar{e}_i \otimes f_i\), dans le cas où \(N\bigl(\sum_{n+1}^\infty \rho_i\, \bar{e}_i \otimes f_i\bigr) = N(\rho_{n+1}, \rho_{n+2}, \ldots) \to 0\) pour \(n \to +\infty\), ce qui démontre donc, que dans \(\ell_N\) les opérations \(x \mapsto t_n(x) = (0, \ldots, 0, x_{n+1}, x_{n+2}, \ldots)\) les \(n\) zéros sont marqués d'une accolade « \(n\) » tendent vers \(0\) simplement. Les deux formes sont équivalentes, où tout ceci est zéro dans […], on peut le avoir. […] \(\ell^N(E,F)\) fin de ligne biffée

Le dual de \(L_N(E,F)\) s'identifie à un sous-espace du dual de \(L_{N_1}(E,F) = L^1(E,F)\), donc de \(L(F,E)\). Il résulte que \(N\) n'est pas équivalente à \(N_1\), donc \(N'\) n'est pas équivalente à \(N_\infty\). Je dis que \[\bigl(L_N(E,F)\bigr)' = L^{N'}(F,E) .\] En premier lieu, si \(u \in L_N(E,F)\), \(v \in L^{N'}(F,E)\), donc \(vu \in L^1(E,E)\), avec \[\|vu\|_1 \leq N(u)\, N'(v)\] tout ce bloc, du « Le dual » à la formule, est entouré d'un cadre et traversé de trois longs traits obliques ; le bloc est repris à la page suivante (12) \(N(u^{*}) = N(u)\) ; (13) \(N(vu) \leq \|v\|\, N(u)\), \(N(uv) \leq \|v\|\, N(u)\) ; (14) \(N(u) = \operatorname{Sup} \ill{}\) pour \(u' \in \bar{F}' \otimes E\), \(N^{\circ}(u') \leq 1\) […] \(L^N(E,F)\) si \(N = N^{\circ}\) […] définition de \(L^N(E,F)\) ; (\(L^{N_\infty}(E,F) = L(E,F)\) […] \(L_{N_\infty}(E,F)\) […]) […] trois notes de côté dans la marge gauche : les formules (12), (13) en haut, la formule (14), cerclée et encadrée, au milieu, et une parenthèse au bas sur les cas \(N = N_\infty\) ; l'argument de (14) est en partie perdu

Soient \(N, N', N''\) des normes de Schatten la ligne est soulignée d'un long trait telles que \[\text{(\uncertain{15})}\qquad N(xy) \leq N'(x)\, N''(y)\] formule encadrée ; le numéro est surchargé, (13) ou (15) pour tout \(x, y \in \mathbf{R}^{(\mathbf{N})}\). Alors la même formule est valable pour \(x \struck{y} \in \ell^{N'}\), \(y \in \ell^{N''}\). Par suite, si \(u \in L^{N'}(E,F)\), \(v \in L^{N''}(F,G)\), on a \(vu \in L^N(E,G)\), avec \[\text{(16)}\qquad N(vu) \leq N'(u)\, N''(v)\] formule encadrée, au bas de la page

99Ce résultat résulte en interligne au-dessus, cerclé : « d'où, \(L\) […] si \(N' \neq N_\infty\), \(N^{\circ} \neq N_\infty\), » en admission sur la caractérisation […] en interligne : « de la définition » précédente, et des formules \(\rho_{i}(uv) \struck{-} \ill{} \leq \bigl(\rho_i(u)\rho_j(v)\bigr) \ill{}\) formule très serrée en fin de ligne : une majoration de \(\rho_{i+j}(uv)\) par \(\rho_i(u)\rho_j(v)\), incertaine (N° 2, formule (37)). — En particulier, […] à la fois en interligne : « […] » […] aux normes polaires \(N\) et \(N^{\circ}\), on trouve \[\text{(17)}\qquad \|uv\|_1 \leq N(u)\, N^{\circ}(v)\] formule encadrée ; le « (17) » est cerclé et barré d'une croix ; en fin de ligne, biffé : « en tenant compte » ([…]) \(N(uv) \leq \|u\|\, N(v)\), \(N(uv) \leq \|v\|\, N(u)\) ligne encadrée et biffée d'un trait ondulé, avec un mot cerclé et biffé à sa gauche ; les formules sont celles de la note marginale (13) de la page précédente

Le dual de \(L_N(E,F)\) s'identifie à un sous-espace du dual de \(L_{N_1}(E,F) = L^1(E,F)\), donc de \(L(F,E)\). un trait rouge dans la marge et sous « \(L_{N_1}(E,F) = L^1(E,F)\) » Ce sous-espace contient \(L^{N^{\circ}}(F,E)\), et l'application \(L^{N^{\circ}}(F,E) \to \bigl(L_N(E,F)\bigr)'\) est un morphisme métrique « métrique » souligné. Montrons que c'est sur. On peut supposer […] \(N \neq N_1\), prouvons en interligne : « Soit » […] en interligne : « admet », « i.e. a » \(\Phi \in \bigl(L_N(E,F)\bigr)'\), […] \(v \in L(F,E)\), i.e. a \(v \in L^{N^{\circ}}(F,E)\). On […] […] […] d'où \(F\) […], \(E\). […] \(v^{*} v\) […] […] \(|\operatorname{Tr} vu| \leq M\, N(u)\), pour \(u \in E' \otimes F\), […] \(v v^{*} \in L(E,F)\) […] […] […] trois lignes biffées d'un trait chacune […] \(v = U|v|\), il suffit de prouver que \(|v| \in L^{N^{\circ}}(E)\) un \(F\) ou \(E\) surchargé après la parenthèse, or \(|v| = V v\), donc […] la même condition : \(v\) (\(|\operatorname{Tr}(vu)| \leq M\, N(u)\) pour \(u \in E' \otimes F\), \(M\) constante). On est ramené à : \(F = E\), \(v \geq 0\). […] et quel […] il existe un projecteur \(w\) tel que \(\struck{\ill{}}\, w v = P\), projecteur hermitien de rang fini, […] […] […] aussi […] \(w \in \bigl(L_N(E,E)\bigr)'\), […] […] compatible, […] […] en interligne : « […] » […] […] \(\|u\|_1 \leq P\), […] deux lignes biffées, avec « \(\operatorname{Tr} P =\) » barré […] soit […] \(P\), […] soit […] […] \(1 \in (\ell_N)' = \ell^{N^{\circ}}\), […] […] […]. […] […] \(v = \sum \rho_i\, \bar{e}_i \otimes e_i\), et on trouve « trouve » souligné au crayon rouge […] […] que \((\rho_i) \in (\ell_N)' = \ell^{N^{\circ}}\), d'où la conclusion. — Cette conséquence souligné au crayon rouge ; un point d'interrogation rouge dans la marge […] […] \(L^{N^{\circ}}(E,F)\) […] F […] souligné au crayon rouge […], […] […] \(L^N(E,F)\) […] […] […] \(L_N(E,F)\) la dernière ligne, soulignée au crayon rouge, est en partie perdue \(N^{\circ}\) […] \(N' =\) […] […] \(N^{\circ}\) […] […] \(N'' \neq\) […] […] \(N(\rho_i)\) […] \(N(u) = \lim\) […] […] \(P\) […] une note au crayon, de côté dans la marge gauche, en regard du haut de la page, en une dizaine de lignes courtes ; elle porte sur \(N^{\circ}\) et \(N'\) et reste illisible même redressée

100Corollaire 1 \(u \in L^N(E,F)\) si et seulement si \(|u| \in L^N(E,F)\), et l'énoncé est marqué d'un trait vertical dans la marge \[N(u) = N(|u|)\] \(u \in L_N(E,F)\) si et seulement si \(|u| \in L_N(E,F)\).

Corollaire 2 […] un opérateur compact sur l'espace de Hilbert […] \(u^{*} u\) […] \(E\). En effet, \((\rho_i(u))\) […] fonction croissante […] trois lignes barrées de grands zigzags

Corollaire 2 Si \(u = h + ik\), \(h\) et \(k\) hermitiens, alors \[u \in L_N(E) \iff h, k \in L_N(E), \qquad u \in L^N(E) \iff h, k \in L^N(E) .\]

Remarque Soit \(p\) une norme sur \(E' \otimes F\) satisfaisant aux conditions : a) \(p(Vu) = p(u)\), \(p(uU) = p(u)\) pour \(V\) unitaire dans \(F\), \(U\) unitaire dans \(E\) les deux égalités sont écrites l'une sous l'autre ; « \(U\) » est biffé puis récrit, « \(E\) » ajouté au-dessus de « \(F\) » ; b) \(p(x' \otimes y) = p(x')\, p(y)\) ainsi sur la page : \(p\) désigne aussi les normes de \(E'\) et de \(F\). Supposons \(E\) et \(F\) de dimension infinie pour fixer les idées, soient \((e_i)\), \((f_i)\) des systèmes orthonormaux infinis dans \(E\) et \(F\), […] considérons \(\mathbf{R}^{(\mathbf{N})} \to E' \otimes F \subset L(E,F)\) le \(\mathbf{N}\) est souligné, avec un \(\varphi\) ou \(\lambda\) au-dessus par \((\lambda_i) \mapsto \sum \lambda_i\, \bar{e}_i \otimes f_i\). Alors \(p(\varphi(\lambda))\) sur \(\mathbf{R}^{(\mathbf{N})}\) est une norme, induisant sur \(\mathbf{R}^n\) des normes de Schatten invariantes par \(\mathfrak{S}_n\) (condition a) […] \(p\)) normalisées (condition b) […] dépendant […] que de \((|\lambda_i|)\) (condition a)). Elle \(N\) est donc une souligné et biffé norme de Schatten. On vérifie alors, considérant (condition a)) que l'on a \(N(u) = p(u)\) pour tout \(u \in E' \otimes F\). On a ainsi obtenu une caractérisation axiomatique des normes \(N(u)\) sur les espaces \(L(E,F)\) \(E' \otimes F\). le reste de la page est blanc