Inégalités de convexité et classes remarquables d'opérateurs
Le titre est de lui, en tête de la page 81, souligné : « 4. Inégalités de convexité et classes remarquables d'opérateurs, compléments ». Le dernier mot est très abrégé et la lecture en est douteuse. Les formules sont numérotées à partir de (1) et courent jusqu'à (48) sur les pages 81 à 92.
4. Inégalités de convexité et classes remarquables d'opérateurs, compléments
Th. 1 le numéro est cerclé, ainsi que le « 1° » qui suit ; deux lignes sont biffées sous le titre 1° La méthode de (H. Weyl). Lemme fondamental. Considérons deux suites finies (\alpha_i)_{i \leq n} et (\beta_i)_{i \leq n} de nbs réels, la deuxième décroissante deux mots en interligne, incertains et le « (2) » qui suit est cerclé
\text{(1)}\qquad \alpha_1 \geq \alpha_2 \geq \cdots \geq \alpha_n
\text{(2)}\qquad \alpha_1 + \cdots + \alpha_m \leq \beta_1 + \cdots + \beta_m \qquad \text{pour } m = 1, \ldots, n,
(1) est encadrée, (2) encadrée d'un trait double soit \varphi(t_1, \ldots, t_n) fonction numérique convexe et symétrique sur \mathbf{R}^n. On suppose vérifiée l'une des deux conditions suivantes : a) \varphi est croissante en chaque argument t_i croissante dans \mathbf{R}^n ; b) \sum_{i=1}^n \alpha_i = \sum_{i=1}^n \beta_i. Sous ces conditions, on a
\text{(3)}\qquad \varphi(\alpha_1, \ldots, \alpha_n) \leq \varphi(\beta_1, \ldots, \beta_n) .
le lemme suivant immédiatement trois lignes lourdement biffées
2° Lemme le « 2° » est cerclé Soit f(\rho_1, \ldots, \rho_n) en interligne au-dessus de « fonction » fonction numérique en interligne : « numérique » de n arguments \rho_i > 0, telle que f(e^{t_1}, \ldots, e^{t_n}) soit une fonction convexe de (t_1, \ldots, t_n) \in \mathbf{R}^n. Soient (\rho_1, \ldots, \rho_n) et (\sigma_1, \ldots, \sigma_n) deux suites finies en interligne : « finies », telles que « (4) » et « (5) » cerclés
\text{(4)}\qquad \rho_1 \geq \rho_2 \geq \cdots \geq \rho_n
\text{(5)}\qquad \rho_1 \cdots \rho_m \leq \sigma_1 \cdots \sigma_m \qquad \text{pour tout } m = 1, \ldots, n .
les deux formules encadrées On suppose vérifiée l'une des deux conditions suivantes : a) f est fonction croissante de chaque argument \rho_i en interligne, biffé : « chaque argument \rho_i » ; la ligne « fonction croissante de » est reprise deux fois ; b) \rho_1 \cdots \rho_n = \sigma_1 \cdots \sigma_n \neq 0. Sous ces conditions on a
\text{(6)}\qquad f(\rho_1, \ldots, \rho_n) \leq f(\sigma_1, \ldots, \sigma_n) .
le « (6) » est précédé d'un signe cerclé, peut-être un « (4) » corrigé
En effet, si les \rho_i, \sigma_i sont > 0, cet énoncé est manifestement équivalent à l'énoncé du th. lemme « th. » en interligne au-dessus du mot biffé (2°) sans le cas , en posant \alpha_i = \log \rho_i, \beta_i = \log \sigma_i. , puisque Dans le cas a), l'ensemble des systèmes deux lignes biffées, dont les mots « dans le cas a) » en interligne systèmes (\rho_i), (\sigma_i) tels que \rho_i \geq 0, \rho_i > 0, \rho_1 \geq \rho_2 \geq \cdots \geq \rho_n \geq 0, \rho_1 \cdots \rho_n = \sigma_1 \cdots \sigma_n) l'adhérence deux lignes biffées dans \mathbf{R}^{2n} des du système analogue de systèmes (\rho_i'), (\sigma_i') avec \rho_i' > 0, \sigma_i' > 0 (d'où le corollaire « (2°) » en interligne dans le cas a) pour f continue aux conditions imposées, et systèmes (\rho_i') = (\rho_i'), avec \rho_i' = \sigma_i' = \frac{1}{n} dans ce cas ; Si plus généralement, donc d'ici la conclusion cherchée d'abord les six dernières lignes de la page sont biffées d'un trait chacune ; un trait ondulé au crayon rouge court le long de la marge gauche de cette moitié de page
deux notes dans la marge gauche, écrites de côté : l'une au crayon, cerclée, en haut, où l'on lit « \alpha_i », « (1) », « Xavier » ; l'autre à l'encre, en regard du 2°, qui commence par un astérisque, « Il est », et où l'on lit « soit d'abord », « corollaire » ; l'une et l'autre restent illisibles même redressées
Vérifions (\rho_i), (\sigma_i) par les systèmes (\rho_i' = \rho_i), (\sigma_i + \varepsilon) (\rho_i'), (\sigma_i') k = satisfont aux conditions \sigma_{n-1}' \neq 0 ( pour quatre lignes en tête de page, entourées d'un cadre et biffées
Il suffit donc, dans le cas , en interligne : « systèmes admissibles » d'approcher « d'approcher » en interligne, au-dessus d'un mot biffé les systèmes (\rho_i), (\sigma_i) par des en interligne : « \sigma_{n-1} = 0, », biffé (\rho_i'), (\sigma_i') avec \sigma_n > 0, et on prendra
des (\rho_i'), (\sigma_i') avec \sigma_{n-1}' > 0, soit pour (\rho_i') = (\rho_i), \sigma_i' = \sigma_i + \varepsilon pour tout i \leq n-1, \sigma_n' = \sigma_n ( admissible, \prod \rho_i' = \prod \sigma_i' = 0) pour \sigma_{n-1} > 0, \sigma_n = 0, tout ce bloc, qui occupe la moitié supérieure de la page, est entouré d'un cadre et barré de quatre longs traits obliques ; il reprend, pour le cas b), l'argument d'approximation de la page précédente
Prouvons maintenant le lemme. Il est bien connu qu'une fonction convexe \varphi sur \mathbf{R}^n est dans l'enveloppe « fonctions » en interligne, « linéaires affines mot en interligne, souligné, incertain dans \mathbf{R}^n (ça résulte du fait que le sous-ensemble de \mathbf{R}^n \times \mathbf{R} au-dessus du graphe de \varphi est convexe par définition des fonctions convexes, et fermé si \varphi est continue, — donc intersection de demi-espaces fermés, dont on constate aussitôt qu'ils les L_k le sont, le voir ». En effet, si on avait a_i < 0, alors la fonction
fixant les arguments t_j pour j \neq i, L_k(t) = L_k(t_1, \ldots, t_n) serait fonction linéaire strictement décroissante de s = t_i, fonction continue croissante \varphi(t_1, \ldots, t_n), indifférente impossible, \lambda(s) si s \to -\infty, pour pour s \to -\infty. bloc de cinq lignes entouré d'un cadre et barré ; les mots « s = t_i », « \lambda(s) », « s \to -\infty » sont sûrs, la prose ne l'est pas on aurait L(t) \to \infty si t_i \to -\infty, tandis que \varphi(t) resterait en interligne borné pour t_i \to -\infty, en contradiction avec L(t) \leq \varphi(t) pour tout t. Comme en interligne : « Si maintenant » \varphi est aussi symétrique, L_k(t_{\sigma 1}, \ldots, t_{\sigma n}) \leq \varphi(t_{\sigma 1}, \ldots, t_{\sigma n}) en interligne au-dessus : « (L_k fonction ) » et « \sigma L \leq \varphi » pour tout \sigma \in \mathfrak{S}_n (pour des permutations, on pose \sigma L(t_1, \ldots, t_n) = L(t_{\sigma^{-1} 1}, \ldots, t_{\sigma^{-1} n})) le \sigma des indices porte un accent ou un exposant, lu \sigma^{-1} ; incertain, donc ligne biffée sous la parenthèse
\text{(7)}\qquad \struck{\varphi(t)}\; \varphi = \operatorname{Sup}_k \operatorname{Sup}_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} \sigma . L_k \struck{(t_1, \ldots, t_n)}
le second membre de (7) est biffé après « \sigma . L_k »
Il s'ensuit qu'il pour prouver (3), il suffit de prouver que L = L_k, en interligne \sigma L_k(\alpha_1, \ldots, \alpha_n) \leq \varphi(\beta_1, \ldots, \beta_n) ligne biffée puis reprise ; le « (\alpha_1, \ldots, \alpha_n) » est ajouté en interligne pour Dans deux lignes biffées, avec en interligne « On peut d'ailleurs » il suffit supposer b = 0. D'où \sum a_i b_i L(\alpha_1, \ldots, \alpha_n) \leq L(\ldots) lorsque trois lignes biffées
\sum a_i \alpha_i \leq \sum a_i \alpha_{\sigma i} \qquad \struck{\ill{}} \ill{}
la formule et la ligne qui la suit sont barrées d'un grand trait ondulé ; on lit dans le trait « quitte à \sigma une permutation » telle que la suite des a_{\sigma i} soit décroissante en interligne, plus petit : « visible aussitôt puisque que a_1 \geq a_2 \geq \cdots » ce lemme fondamental, sans D'où, = \sum a_i \alpha_{\sigma^{-1} i} en interligne au-dessus de la formule suivante
\sum a_{\sigma i}\, \alpha_i \quad (\ill{} \uncertain{maximum} \ill{}), \qquad \text{pour } \sigma \in \mathfrak{S}_n \text{ variable},
« variable » incertain
prend le max (a_{\sigma i}) est décroissante, on peut donc se ramener au besoin (\sigma), pour le a_1 \geq a_2 \geq \cdots \geq a_n trois lignes biffées ramené à prouver que si a_1 \geq a_2 \geq \cdots \geq a_n, on a \sum a_i \alpha_i en interligne, biffé
\sum a_i \alpha_i \leq \sum a_i \beta_i ,
le second membre est surchargé : un « \sum a_i \alpha_i » corrigé en « \sum a_i \beta_i » ; la fin de la ligne est biffée : « pourvu que » lorsque positifs soient en interligne : « on peut aussi » supposons de plus, les a_i ligne biffée positifs dans le cas b) on a « hypothèse » ou « suppose » en interligne suppose \sum \alpha_i = \sum \beta_i. On a — en effet
\begin{align}
\text{(9)}\qquad \sum a_i \alpha_i &= (a_1 - a_2)\,\alpha_1 + (a_2 - a_3)(\alpha_1 + \alpha_2) + \cdots \notag \\
&\qquad + (a_{n-1} - a_n)(\alpha_1 + \cdots + \alpha_{n-1}) + a_n(\alpha_1 + \cdots + \alpha_n) \notag
\end{align}
les \alpha de (9) sont surchargés, écrits sur des \beta ou l'inverse ; le « (9) » est cerclé \sum a_i \ldots formule analogue pour \sum a_i \beta_i. Comme les coefficients (a_1 - a_2), \ldots, (a_{n-1} - a_{n-1}) ainsi sur la page ; lire (a_{n-1} - a_n) sont positifs, ainsi que et que \alpha_1 \leq \beta_1, …, (\alpha_1 + \cdots + \alpha_{n-1}) \leq (\beta_1 + \cdots + \beta_{n-1}), on en conclut que les termes de la somme (9) sont majorés par les termes correspondants de la somme relative aux \beta_i, à l'exception en interligne aussi a_n(\alpha_1 + \cdots + \alpha_n) \leq a_n(\beta_1 + \cdots + \beta_n) dans le cas a) (a_n \geq 0, \sum \alpha_i \leq \sum \beta_i) et dans le cas b) (\sum \alpha_i = \sum \beta_i), d'où la conclusion en interligne : « l'inégalité (1) ».
Corollaire 1a en interligne au-dessus, souligné : « Th. 1, 2°, b) » ; le numéro du corollaire est corrigé, « 1 » surchargé ; deux lignes sous le titre sont biffées, dont « (resp. du corollaire 1, a)) » et « les mêmes hypothèses » Sous les conditions du Th. 1, 2°, b), on a aussi
\text{(10)}\qquad f\Bigl(\frac{1}{\rho_1}, \ldots, \frac{1}{\rho_n}\Bigr) \leq f\Bigl(\frac{1}{\sigma_1}, \ldots, \frac{1}{\sigma_n}\Bigr)
le « (10) » est cerclé ; en marge à gauche, cerclé : « petits caractères », consigne de mise en page comme à la page 88
En effet, on a \rho_1 \cdots \rho_n = \sigma_1 \cdots \sigma_n d'où pour tout en marge : « 1 \leq M \leq n » ou « \sigma \leq M \leq », incertain
\rho_M \cdots \rho_n = \frac{\sigma_1 \cdots \sigma_{M-1}}{\rho_1 \cdots \rho_{M-1}}\; \sigma_M \cdots \sigma_n ,
\qquad \text{d'où}\quad \rho_M \cdots \rho_n \;\uncertain{\geq}\; \sigma_M \cdots \sigma_n
« \rho_M \cdots \rho_n » à gauche est surchargé, un « |M| » ou « \rho_M » repassé ; le facteur \sigma_M \cdots \sigma_n est écrit après un mot biffé ; le sens des deux signes d'inégalité de cette ligne et de la suivante est peu lisible, le trait étant le même dans les deux cas \sigma_1 \cdots \sigma_{M-1} \;\uncertain{\geq}\; \rho_1 \cdots \rho_{M-1}. Il s'ensuit que les suites \bigl(\frac{1}{\rho_n}, \ldots, \frac{1}{\rho_1}\bigr) et \bigl(\frac{1}{\sigma_n}, \ldots, \frac{1}{\sigma_1}\bigr) satisfont encore aux conditions du corollaire (la première étant décroissante, la seconde le produit des \frac{1}{\sigma_i}, et enfin \frac{1}{\rho_n} \cdots \frac{1}{\rho_i} \leq \frac{1}{\sigma_n} \cdots \frac{1}{\sigma_i} pour 1 \leq M \leq n), d'où l'inégalité (10).
Bien qu'on les conditions Bien les conditions du Th. 1, 1°, dans les hypothèses b), que l'inégalité analogue (11) \varphi(-\alpha_1, \ldots, -\alpha_n) \leq \varphi(-\beta_1, \ldots, -\beta_n) quatre lignes en tête de page, biffées d'un long trait ondulé et de traits verticaux ; la formule, numérotée « (11) » ou « (4) », est aussi surchargée
Remarque souligné ; le mot recouvre un « Notons » et un « toutefois » biffés que si deux suites (\alpha_i)_{i \leq n}, (\beta_i)_{i \leq n} satisfont aux en interligne : « (\alpha_1 \geq \cdots \geq \alpha_n, \alpha_1 + \cdots + \alpha_m \leq \beta_1 + \cdots + \beta_m 1 \leq m \leq n) », cerclé conditions générales du lemme en interligne : « Th. 1, 1° », il les dans la suite \varphi(\alpha_i)_{i \leq p} \leq \varphi(\beta_i)_{i \leq p} (pour \sum \alpha_i \leq \sum \beta_i donc pour alors on aura aussi que les fonctions de \varphi(\alpha_1, \ldots, \alpha_p) les pour sous les conditions \alpha_{p+1}, \ldots, \alpha_n et \beta_{p+1}, \ldots, \beta_n bloc de six lignes biffé de grands traits ondulés, dont on ne retient que les formules alors il en est de même au bas du bloc, souligné : « à la définition » des suites (\alpha_i)_{i \leq k} et (\beta_i)_{i \leq k} pour tout entier k tel que en interligne : « qui suit » 1 \leq k \leq n. Comme à une suite de le lemme, et que si \varphi est une fonction convexe symétrique sur les en interligne : « croissante » ou « de k » de k arguments, on a aussi
\varphi(\alpha_1, \ldots, \alpha_k) \leq \varphi(\beta_1, \ldots, \beta_k) .
La même remarque pour 2 conditions des corollaire 1 du lemme en interligne, remplaçant le texte biffé : « Th. 1, 2° ».
Applications des corollaires 1 ligne biffée, soulignée d'un trait double Donnons des cas intéressants de fonctions f satisfaisant aux conditions du corollaire 1 en interligne : « Th. 1, 2° ». les arguments (t_i) \in \mathbf{R}^n fonction convexe qui en interligne, souligné : « f sera » ; sept lignes biffées, avec en interligne « limite de fonctions linéaires » f(e^{t_1}, \ldots, e^{t_n}) est enveloppe supérieure fonction convexe des fonctions \sum a_i e^{t_i} + b, qui sont convexes puisque les fonctions e^{t_i} sont convexes, et les a_i , elle est elle-même convexe. Enfin pour une fonction de , comme une de sur \mathbf{R}^n toute deux lignes biffées, soulignées norme souligné d'un trait double, avec un trait rouge dessous N(x) = N(x_1, \ldots, x_n) qui est symétrique, telle que en interligne : « pour x_1 \geq 0, \ldots, x_n \geq 0 »
\text{(\uncertain{12})}\qquad N(x_1, \ldots, x_n) = N(|x_1|, \ldots, |x_n|) \qquad \struck{\ill{} \uncertain{fonction} \uncertain{croissante} \uncertain{de} \uncertain{chaque} \ill{}}
le numéro est cerclé ; la fin de la ligne est biffée, ainsi que les deux lignes suivantes : « normalisée par N(e_i) = 1 », « les sont »
(Nous supposons N vérifiant les conditions (\lambda_i) des (i.e. 2 les conditions, et stable multiplication par (\lambda_i) avec |\lambda_i| = 1 ) majorant \sum \lambda_i f tel \sum d_i \leq \sum seulement n éléments ) longue note de côté dans la marge gauche, en deux blocs, l'un descendant le long de la page et l'autre en escalier au bas ; un trait rouge la longe ; elle porte sur la normalisation de N et reste pour l'essentiel illisible même redressée
norme de Schatten ainsi lu ; le mot est abrégé « Sch. » et suivi d'un trait N(x_1, \ldots, x_n) satisfait aux conditions exigées en interligne : « id » dans l'énoncé du corollaire en interligne : « Th. 1, 2° » en interligne : « pour la fonction f. On en déduit » application suivante : si (\rho_i) \rho(x) et (\sigma_i) sont comme dans le Th. = soit la fonction pour tout conditions, dans l'hypothèse b), dans l'hypothèse a) bloc de sept lignes entouré d'un cadre et biffé ; sa fin est reprise en clair : dans l'hypothèse b), \pm 0) aussi. Que la fonction (e^{t_i})^p est aussi f(r_1, \ldots, r_n) = r_1^p \cdots r_n^p formule en partie encadrée d'un trait ondulé ; l'exposant p du dernier facteur est incertain qu'un p réel quelconque est satisfait aux conditions conditions ainsi que Pour tout, les conditions en interligne : « réel » b), (\prod_1^m \rho_i \leq \prod_1^m \sigma_i, \prod_1^n \rho_i = \prod_1^n \sigma_i) « m » et « n » au-dessus des \prod ; le second \prod est corrigé
\text{(15)}\qquad \sum_1^n \rho_i^p \leq \sum_1^n \sigma_i^p \qquad (p \text{ réel})
le « (15) » est surchargé, écrit sur un « (9) » ou un « (1) » , et si p \geq 0, Remarquons d'ailleurs que deux systèmes (\rho_i), (\sigma_i) satisfont aux inégalités (16), pour p entier \geq 0, pour vérifient quatre lignes entourées d'un cadre et barrées de grands zigzags
Th 2 (Premier théorème de convexité dans les espaces de Hilbert) « Th 2 » dans la marge gauche, souligné ; le titre entre parenthèses est souligné
Soit u un opérateur \varphi la suite f(\rho_1, \ldots, \rho_n) en interligne une fonction (de n arguments r_i \geq 0, croissante pour chaque argument, et telle que f(e^{t_1}, \ldots, e^{t_n}) soit fonction convexe de (t_i) \in \mathbf{R}^n. Alors on a lemme en interligne : « Th. 1, 2° » (hypothèse a)) avec N_2 ainsi ; peut-être « \rho_i » ou le n° 2, pour 3 ; corollaire 2. — En particulier ligne obscure : elle renvoie aux corollaires du n° 3 pour les inégalités |\lambda_1 \cdots \lambda_k| \leq \rho_1 \cdots \rho_k
Corollaire 1. Si f(\rho) est une fonction convexe en interligne : « croissante » croissante de \rho \geq 0 telle que f(e^t) soit convexe, et u un opérateur dans un espace de Hilbert, on a
(13) N(\rho_1, \ldots, \rho_n) \leq N(\sigma_1, \ldots, \sigma_n) lorsque N pour tout 1 \leq k \leq n (14) N(\rho_1, \ldots, \rho_k) \leq N(\sigma_1, \ldots, \sigma_k), 1 \leq k \leq n pour note de côté dans la marge gauche, en regard du haut de la page : deux formules cerclées (13) et (14), la seconde écrite deux fois, l'une biffée, et quelques mots de commentaire illisibles ; les numéros sont lus (13) et (14) par leur place entre (12) et (15), mais le second chiffre est peu net
Petit feuillet brunâtre, comme les pages 74 et 75 du lot 4, écrit sur sa moitié supérieure seulement : une reprise au propre de la fin de la page 85 et du haut de la page 86, avec ses propres numéros (13) et (14).
En anticipant l'un, soit f(\rho) une fonction définie pour \rho > 0, telle que f(e^t) soit convexe, posons f(\rho_1, \ldots, \rho_n) = \sum f(\rho_i), c'est une fonction symétrique des en interligne : « \rho_i » corollaire 1 en interligne : « Th. 1, 2° » sous l'hypothèse a. D'où, en interligne : « sous les conditions a), b), respectivement » (\alpha_i), (\beta_i), inégalités l'inégalité :
\text{(13)}\qquad \sum_1^n f(\rho_i) \leq \sum_1^n f(\sigma_i)
et sous les conditions a), compte tenu de la remarque précédente, la suite d'inégalités
\text{(14)}\qquad \sum_1^k f(\rho_i) \leq \sum_1^k f(\sigma_i) \qquad (k = 1, \ldots, n)
Prenons p.ex, pour en interligne : « pour p réel positif » f(\rho) = \rho^p, en interligne : « (\rho > 0) » alors f(e^t) = e^{pt} « f(\rho) » écrit sous f(e^t), qui est bien une fonction convexe, la dernière ligne est biffée ; le reste de la feuille est blanc
\text{(18)}\qquad \struck{f(\rho)}\; \sum_1^k f(|\lambda_i|) \leq \sum_1^k f(\rho_i) \qquad (k = 1, \ldots) \; \struck{(k \leq \dim E)}
les formules (18) et (19) sont marquées d'un trait vertical dans la marge
En particulier, pour si est de dimension , si \sum_{i=0}^\infty f(\rho_i) converge, en interligne : « est convergente », il en est de même de \sum_{i=0}^\infty f(|\lambda_i|), et on a
\text{(19)}\qquad \sum_{i=1}^\infty f(|\lambda_i|) \leq \sum_{i=0}^\infty f(\rho_i)
ainsi sur la page : la somme de gauche part de i = 1, celle de droite de i = 0
En particulier, prenons f(r) = r^p (p > 0), telle que compris, d'où le p > 0. Alors, pour tout entier k > 0
Corollaire 2 Soit u un opérateur dans un espace de Hilbert E, et soit p > 0 un nombre réel. Alors on a l'énoncé est marqué d'un trait vertical dans la marge
\text{(20)}\qquad \sum_{i=1}^k |\lambda_i|^p \leq \sum_{i=1}^k \rho_i^p = \struck{\|u\|_p} \qquad \struck{(k \leq \dim E)}
formule encadrée au crayon rouge ; le « = \|u\|_p » final est cerclé et biffé, la parenthèse de droite est barrée d'un zigzag ; sous la formule, une ligne biffée : « E est de dimension finie »
\text{(21)}\qquad \sum_i |\lambda_i|^p \leq \sum_i \rho_i^p = \|u\|_p
formule encadrée au crayon rouge (où le second membre est fini ou non, la somme est )
En particulier, prenons p = 1 et p = 2, et utilisant le N° 1, Th. 2 et Th. 3, formules (15) et (20), on trouve
Corollaire 3 Soit u un opérateur de Fredholm (resp. un op. de Hilb H.-S.) dans
Signalons aussi le
Corollaire 4 Soit u un opérateur Alors soit f(\rho_1, \ldots, \rho_n) une fonction de n arguments \rho_i > 0 telle que f(e^{t_1}, \ldots, e^{t_n}) soit convexe (pas forcément croissante). Si u est défini pour Alors En effet, résulte des inégalités
|\lambda_1 \cdots \lambda_k| \leq \rho_1 \cdots \rho_k \qquad (k \leq n),
l'égalité
|\lambda_1| \cdots |\lambda_n| = \rho_1 \cdots \rho_n. En effet, (25) \lambda_1(u) \cdots \lambda_n(u) = \det u \bigl(\rho_1(u) \cdots \rho_n(u)\bigr)^2 = \rho_1(u^{*}u) \cdots \rho_n(u^{*}u) = \det(u^{*}u) = \det u^{*} \det u = \overline{\det u}\, \det u = |\det u|^2, d'où (26) \rho_1(u) \cdots \rho_n(u) = |\det u| de côté dans la marge gauche, en haut de la page ; la formule (26), cerclée, est encadrée ; le numéro (25) est biffé et remplacé ; un « (24) » figure plus bas dans la même marge, près d'un bloc au crayon gribouillé jusqu'à l'illisibilité
Si u est inversible, dans les les conditions du Th. 1, 2°, hyp. b) sont vérifiées, . Si f est définie et continue pour \rho_i \geq 0, aussi (23), pour u non inversible, résulte de continuité vérifiée aussitôt, vérifiée pour tout u . corollaire 4 par inversible la formule (21) vérifiée trois lignes biffées d'un trait ondulé Nota (26) deux lignes biffées
Corollaire 5 Soit u un opérateur dans un espace de Hilbert E, soit N une norme de Schatten sur \mathbf{R}^k en interligne : « k \leq \dim E » ; un « I = (1, \ldots, n) » biffé, alors l'énoncé est marqué d'un trait vertical dans la marge
\text{(27)}\qquad N(|\lambda_1|, \ldots, |\lambda_k|) \leq N(\rho_1, \ldots, \rho_k)
D'où, Par suite, si la dimension de E est infinie, et si N est une norme de Schatten sur l'espace \mathbf{R}^{(\mathbf{N})}, N en interligne : « »
\text{(28)}\qquad N\bigl((|\lambda_i|)\bigr) \leq N\bigl((\rho_i)\bigr)
Dans cet énoncé, \mathbf{N} désigne l'ensemble des entiers, le \mathbf{N} est souligné, et de même dans \mathbf{R}^{(\mathbf{N})} \mathbf{R}^{(\mathbf{N})} l'espace des suites de nombres réels qui sont nulles (i.e. n'ayant qu'un nombre fini de termes non nuls). Une norme sur \mathbf{R}^{(\mathbf{N})} est dite une norme de Schatten, si elle induit une norme de Schatten sur tout \mathbf{R}^n, \mathbf{R}^n (identifié à un sous-ensemble de \mathbf{R}^{(\mathbf{N})}).
Un feuillet est collé sur le bas de la page et en couvre les dernières lignes ; il est transcrit à sa place, après le corollaire 1.
deux mots biffés en tête de page En effet, si \xi = (\xi_i) est un élément de \mathbf{R}^{(\mathbf{N})} positif, posons x_n = (\xi_1, \ldots, \xi_n, 0, \ldots, 0), alors N(x_n) est une suite croissante et « tend avec » en interligne on pose
N(\xi) = N\bigl((\xi_i)\bigr) = \lim N(x_n), \qquad \ill{} \text{ limite croissante } \geq 0 .
« limite croissante » incertain
Alors La formule (28, ) particulier de , si N en interligne : « » , f , . La formule (28, ) en résulte par un passage à la limite.
Th 3 Deuxième théorème de convexité dans les espaces de Hilbert « Th 3 » dans la marge, souligné ; le titre est souligné
Soient E, F, G trois espaces de Hilbert, soit u une application linéaire continue en interligne : « cpte » de E dans F, et v une application linéaire continue en interligne : « cpte » de F dans G, en interligne : « symétrique et croissante » puis « soit » soit f(\rho_1, \ldots, \rho_n) une fonction lemme en interligne : « th. 1 » fondamental, du corollaire 1 de ce lemme sont en interligne : « à l'hyp. b », « n° 2°) du th. 1 » satisfaites,
Corollaire 1 Soient u et v comme dans le Th. 3, soit f(\rho) une fonction continue croissante de \rho \geq 0 telle que f(e^t) soit tout d'où en interligne : « d'où »
\text{(31)}\qquad \sum_i f\bigl(\rho_i(vu)\bigr) \leq \sum_i f\bigl(\rho_i(v)\rho_i(u)\bigr)
(la somme, finie ou infinie étant la suite (i))
Feuillet collé, couvrant le bas de la page :
(\rho_i(vu)) associée à u, v, la majoration par celle qui si on avait \rho_i(vu) = \rho_i(u)\rho_i(v), donc si u et v étaient des opérateurs de multiplication dans \ell^2 par les (\rho_i(u)) resp. (\rho_i(v)). en interligne, souligné : « Nous »
Dans l'inégalité (30), peut faire et tend vers , d'où par (30), et on obtient à la limite. deux lignes barrées de traits ondulés
Feuillet étroit, pencilé 93 ; les formules (30) et (31) sont rappelées en tête, au crayon, au-dessus des numéros (27) et (28) qu'il cite ; sa moitié inférieure est un feuillet collé, portant le corollaire 4. Une longue note de côté occupe la marge gauche.
En effet, 27 « 30 » au-dessus, au crayon est un cas particulier du Th. 2, et 28 « 31 » au-dessus, au crayon, en résulte par passage à la limite pour n \to +\infty. un astérisque au crayon rouge En particulier Prenons en particulier, au corollaire 1, f(r) = r^p p > 0, on obtient deux lignes biffées soient p, q, \struck{r} tels que
\text{(34)}\qquad \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{1}{s} \qquad (p, q, s \geq 0)
le « (34) » est surchargé sur un autre numéro ; un \sum biffé à gauche posons f(\rho) = \rho^s, dans le corollaire 1 l'inégalité quels exposants conjugués le second membre est majoré par \bigl(\sum \rho_i(u)^s\bigr)
\Bigl(\sum \rho_i(u)^p\Bigr)^{1/p} \Bigl(\sum \rho_i(v)^q\Bigr)^{1/q} .
On trouve en interligne : « »
Corollaire 2, (« Inégalité de Hölder pour opérateurs »). le titre entre guillemets est souligné, avec un trait rouge dessous ; un trait rouge dans la marge Soient E, F, G trois espaces de Hilbert, soit u une op. cpt de E dans F, v une op. cpt de F dans G, alors on a, pour tout en interligne : « entier » (p, q, s) (où le second membre fini ) »
Le cas le plus important de l'inégalité (37) ainsi ; il s'agit de (36) est celui où s = 1, i.e. où p et q sont deux « exposants conjugués » ; Nous y reviendrons inégalités au N° plus frappante trois lignes biffées
\text{(38)}\qquad \|vu\|_1 \leq \|u\|_p\, \|v\|_{p'} \qquad \Bigl(\frac{1}{p} + \frac{1}{p'} = 1\Bigr)
formule encadrée au crayon rouge, le numéro cerclé l'inégalité de Hölder (38) résulte d'ailleurs aussi de (32), grâce à l'inégalité de Hölder ordinaire. la dernière ligne est barrée
(32) \sum f\bigl(\rho_i(vu)\bigr) \leq \sum f\bigl(\rho_i(u)\rho_i(v)\bigr). Tenons compte on aura |\operatorname{Tr} vu| \leq \struck{\sum} \sum \rho_i(vu) (N° 2, Th. ) formule (21), d'où . Prenons en particulier f(s) = s, on obtient de (21) N° 1, Th. 3, p = 1, d'où |\operatorname{Tr}(vu)| \leq \sum |\lambda_i(vu)| \leq |\operatorname{Tr} vu| \leq \sum \rho_i(u)\rho_i(v). Pour Corollaire 3 Soient E, F deux espaces de Hilbert, u une application linéaire de E dans F, de F dans G, \sum \rho_i(u)\rho_i(v) on a et (33) |\operatorname{Tr} vu| \leq \sum \rho_i(u)\rho_i(v) Ce résultat de Fredholm (39). longue note de côté dans la marge gauche, courant sur toute la hauteur du feuillet et se poursuivant sur le feuillet collé ; les formules (32) et (33) y sont encadrées au crayon rouge, (32) cerclée ; un bloc biffé en zigzag en sépare les deux parties. Elle ajoute, entre le corollaire 2 et le corollaire 4, un corollaire 3 : l'inégalité de trace
Feuillet collé, moitié inférieure de la page ; un point d'interrogation au crayon rouge dans sa marge, et au crayon : « Est-ce utile ? d'où »
Corollaire 4 Soient E, F, G trois espaces de Hilbert de dimension finie n, u une op. de E dans F, v une op. de F dans G, f(\rho_1, \ldots, \rho_n) fonction En effet Pour établir en interligne : « vérifier » (40), on élève au carré peut évidemment supposer que E = F = G, alors, en vertu de
Dans des sur la comparaison des opérateurs antilinéaire deux lignes au crayon, très pâles, au bas du feuillet collé
Th 4 (Troisième Th. de convexité dans les espaces de Hilbert) « Th 4 » souligné, le titre souligné ; l'énoncé est marqué d'un trait vertical dans la marge
Soient E, F deux espaces de Hilbert, u, v deux opérateurs compacts de E dans F, soit enfin \varphi(\rho_1, \ldots, \rho_n) une fonction convexe symétrique croissante continue symétrique deux lignes biffées, avec en interligne « convexe symétrique croissante » récrit de n arguments s_i \geq 0, telle que en interligne : « Alors » f(e^{t_1}, \ldots, e^{t_n}) soit fonction convexe de (t_i) \in \mathbf{R}^n. Alors ligne biffée : l'hypothèse de convexité logarithmique est retirée
\text{(41)}\qquad \varphi\bigl(\rho_1(u+v), \ldots, \rho_n(u+v)\bigr) \leq \varphi\bigl(\rho_1(u)+\rho_1(v), \ldots, \rho_n(u)+\rho_n(v)\bigr)
En effet, c'est un cas particulier du Th. 1, 1°, hyp. a, compte tenu des formules du N° 1.
Corollaire. Soient u et v comme ci-dessus, soit \varphi(s) une fonction convexe de s \geq 0, alors on a pour tout n > 0
Nous serons surtout intéressés par le
Corollaire 1 Soient u et v comme ci-dessus en interligne : « E et F deux espaces de Hilbert », et soit N une norme de Schatten sur \mathbf{R}^n, alors les quantités posons, pour tout tout opérateur compact u de E dans F
\text{(43)}\qquad \|u\|_N = N\bigl(\rho_1(u), \ldots, \rho_n(u)\bigr)
Alors on a
\text{(44)}\qquad \struck{\|\lambda u\|_N = |\lambda|\, \|u\|_N} \qquad \|u + v\|_N \leq \|u\|_N + \|v\|_N
la seconde ligne est encadrée au crayon rouge ; la première, biffée, est en partie prise dans le cadre est donc une norme sur (L_0(E,F)) sous-espace \mathbf{R}^{(\mathbf{N})} deux lignes biffées de traits en boucle
En effet, N(s_1, \ldots, s_n) pour s_i \geq 0 satisfait aux conditions de (41), on a donc
N\bigl(\rho_1(u+v), \ldots, \rho_n(u+v)\bigr) \leq N\bigl(\rho_1(u)+\rho_1(v), \ldots, \rho_n(u)+\rho_n(v)\bigr)
et le second membre est majoré par N\bigl(\rho_1(u), \ldots, \rho_n(u)\bigr) + N\bigl(\rho_1(v), \ldots, \rho_n(v)\bigr) puisque N est une norme, d'où (44). En particulier
Corollaire 2 Soient si u, v \in \uncertain{L_0^{p}}(E,F) l'exposant est peu net ; une flèche le désigne, et (\struck{\chi} 1 \leq p \leq +\infty). pour tout n > 0 \|u+v\|_p \leq
\text{(45)}\qquad \Bigl(\sum_1^n \bigl(\rho_i(u+v)\bigr)^p\Bigr)^{1/p} \leq \Bigl(\sum_1^n \rho_i(u)^p\Bigr)^{1/p} + \Bigl(\sum_1^n \rho_i(v)^p\Bigr)^{1/p}
d'où par passage à la limite
Classes remarquables d'opérateurs dans l'espace de Hilbert
Le titre est de lui, en tête de la page 93 : « 5. Classes remarquables d'opérateurs dans l'espace de Hilbert ». La numérotation des formules repart de (1).
5. Classes remarquables d'opérateurs dans l'espace de Hilbert
Nous commençons par donner un exposé de la théorie de Schatten, qui est un bon simplifiée par la lemme en interligne : « inégalités de convexité » de Weyl, et en y apportant quelques compléments. un point d'interrogation au crayon rouge dans la marge, et deux traits rouges sous « exposé » et « apportant »
Définition 1 Soit Une norme N sur \mathbf{R}^n est dite norme de Schatten si elle est symétrique, satisfait à le corps de la définition est marqué d'un trait vertical dans la marge
\text{(1)}\qquad N(x_1, \ldots, x_n) = N(|x_1|, \ldots, |x_n|)
et si elle 2. « 2. » ou « i. » elle est croissante elle satisfait est normalisée par N(1, 0, \ldots, 0) = 1
Une norme N sur \mathbf{R}^{(\mathbf{N})} \mathbf{N} (suites en interligne : « » infinies pour tout n > 0, si elle induit sur à l'ensemble en interligne : « aux suites » de \mathbf{R}^{(\mathbf{N})} nulles, à partir du rang n+1). Notons qu'une norme de Schatten sur \mathbf{R}^n induit sur \mathbf{R}^m (m \leq n) une norme de Schatten. en interligne : « Exemples de normes de » Schatten : N_p((x_i)) = \bigl(\sum |x_i|^p\bigr)^{1/p} 1 \leq p formule biffée les normes N_p((x_i)) = \|(x_i)\|_p, définies pour p = \infty par ligne biffée
\text{(2)}\qquad \|(x_i)\|_p = \Bigl(\sum |x_i|^p\Bigr)^{1/p} \qquad (1 \leq p < +\infty)
\text{(3)}\qquad \|(x_i)\|_\infty = \operatorname{Sup}_i |x_i|
Si N_0 est une norme de Schatten N_0 . Soit, pour tout x = (x_i) \in \uncertain{c_0} « \underline{C}_0 », souligné ; incertain,
que N(x) induit sur \mathbf{R}^n la fonction N_0(x), et qu'on a N(\lambda x) = |\lambda|\, N(x) et N(x) = 0 \Rightarrow x = 0, il faut seulement prouver N(x+y) \leq N(x) + N(y) (seule chose = pour x, y \in c_0) « seule » souligné au crayon rouge ; le bloc est marqué d'un trait vertical dans la marge. Pour ceci, on regarde (x_i) et (y_i) comme remarque que si u_x est l'opérateur de multiplication par x dans \ell^2 (qui est un opérateur pour x \in c_0), on a u_{x+y} = u_x \rho_i(u_x) = \rho_i(x), donc pour ainsi associées à des normes ligne biffée de Schatten N_0 sur \mathbf{R}^n qu'il existe une infinité en interligne : « continue » de normes de Schatten sur \mathbf{R}^{(\mathbf{N})} équivalentes à la norme induite par c_0.
Soit N Soit \ell^N l'espace des suites complexes x = (x_i) telles que soit N(x) N(|x_1|, \ldots, |x_n|, 0, 0, \ldots) sont avec n, finie quatre lignes biffées, avec un « si n varie » en interligne Soit |x|_n = (|x_1|, \ldots, |x_n|, 0, \ldots). Comme si n varie alors |x+y|_n \leq |x|_n + |y|_n deux lignes biffées |x|_n est une suite croissante d'éléments positifs de \mathbf{R}^{(\mathbf{N})}, posons
\text{(4)}\qquad N(x) = \lim_n N(|x|_n)
La valeur \geq 0 N(x) quand x \in \mathbf{R}^{(\mathbf{N})} »
\text{(5)}\qquad N(\lambda x) = |\lambda|\, N(x), \qquad N(x+y) \leq N(x) + N(y),
N(x) < +\infty la première formule, i.e. 1, valeur s'il fini trois lignes biffées ; un mot souligné au crayon rouge La deuxième formule résulte de ce que N(\ldots) |x+y|_n \leq |x|_n + |y|_n, d'où N(|x+y|_n) \leq N(|x|_n + |y|_n) \leq N(|x|_n) + N(|y|_n). Soit Soit \ell^N l'espace des suites complexes x telles que N(x) < +\infty plusieurs mots biffés et récrits en interligne autour de cette phrase : « muni de », « c'est un espace » pour N(x) est une norme sur \ell^N D'ailleurs \mathbf{R}^{(\mathbf{N})} \subset \ell^N N(x) les trois dernières lignes de la page sont biffées de grands traits en boucle
, si ou N \leq ligne biffée en tête de page
(6) \ell^1 \subset \ell^N \subset \ell^\infty
et la norme de \ell^1 est plus fine que celle induite par \ell^N, qui est à son tour plus fine que celle induite par la formule et les trois lignes sont entourées d'un cadre et barrées d'un grand trait ondulé ; elles sont reprises plus bas comme (6)
Si N' et N'' sont deux normes de Schatten telles que N' \leq N'', il est immédiat que \ell^{N''} \subset \ell^{N'}, et la norme de \ell^{N'} \ell^{N'} \subset \ell^{N''} est moins fine que celle induite par \ell^{N''}. En particulier, En particulier, si on remarque que toute norme de Schatten est comprise entre les normes de Schatten N_1(x) = \sum_i |x_i| et N_\infty(x) = \operatorname{Sup}_i |x_i| et que les espaces \ell^N associés à ces deux dernières normes sont \ell^{N_1} et \ell^{N_\infty} \ell^1 et \ell^\infty, on voit que
\text{(6)}\qquad \ell^1 \subset \ell^N \subset \ell^\infty
les applications identiques N étant une fonction croissante sur \mathbf{R}^m ligne biffée d'un trait on aura N(|x|_m) \leq N\bigl(\sum_k |x^k|_m\bigr), et N\bigl(\sum_k |x^k|_m\bigr) = \lim_{n \to \infty} N\bigl(\sum_{k=1}^n |x^k|_m\bigr), et comme N\bigl(\sum_{k=1}^n |x^k|_m\bigr) \leq \sum_{k=1}^n N(|x^k|_m) \leq \sum_{k=1}^n N(x^k), on aura N\bigl(\sum_k |x^k|_m\bigr) \leq \sum_k N(x^k), donc pour tout m N(|x|_m) \leq \sum_k N(x^k), d'où par définition de N(x) l'inégalité (7). la moitié inférieure de la page est traversée de grandes boucles et de traits obliques qui relient les lignes entre elles, sans les biffer : l'ordre de lecture est celui donné ici
Le membre de (7) que \ell^N est complet. Il suffit de prouver qu'une suite (x^k) \ell^N d'éléments x^k \in \ell^N, telle que \sum \|x^k\|_N < +\infty, est sommable dans \ell^N. elle : à fortiori \sum \|x^k\|_\infty < +\infty, donc la série est sommable dans \ell^\infty, en interligne : « vers un x \in \ell^\infty ; d'autre part » avec soit (7), x \in \ell^N. D'autre part,
N\Bigl(x - \sum_{k=1}^n x^k\Bigr) = \struck{\ill{}}\; N\Bigl(\struck{x} \sum_{n+1}^\infty x^k\Bigr) \leq \sum_{n+1}^\infty N(x^k),
qui tend vers zéro pour +\infty fin de ligne biffée, puisque \sum N(x^k) est une série convergente. Il s'ensuit que aussi \sum x^k = x dans \ell^N.
Il est immédiat de vérifier que l'inégalité \ell^N est de côté dans la marge gauche, en regard du haut de la page, en cinq lignes courtes ; largement illisible
Soit \ell_N l'adhérence de \underline{\mathbf{R}^{(\mathbf{N})}} dans \ell^N, comme \ell^N est complet, \ell_N s'identifie au complété de \mathbf{C}^{(\mathbf{N})} pour la norme N. Il est encore trivial que si N' \leq N'', alors \ell_{N'} \subset \ell_{N''}, et l'application identique \ell_{N'} \to \ell_{N''} est de norme \leq 1. ainsi sur la page : le sens de l'inclusion est l'inverse de celui de \ell^{N''} \subset \ell^{N'} à la page précédente ; les indices N', N'' sont peu nets En particulier, les espaces \ell_N associés à N_1 et N_\infty étant resp. \ell^1 et c_0, on obtient
\text{(8)}\qquad \ell^1 \subset \ell_N \subset c_0
Proposition 1 \ell^N \subset c_0 si et seulement si N est équivalente à : Notons les N_\infty propriétés suivantes le titre est souligné ; deux lignes biffées le suivent, et la formule qui suit est prise dans un grand trait en boucle
\struck{\text{(9)}\qquad \ell_N = \ell^N \cap c_0}
Il suffit de prouver que x \in \ell^N \cap c_0 implique x \in \ell_N. En effet deux lignes biffées, la seconde soulignée d'une ligne pointillée
Notons que \mathbf{R}^{(\mathbf{N})} le \mathbf{R} est repassé à l'encre épaisse est en dualité avec lui-même = par l'accouplement \langle x, y \rangle = \sum x_i y_i. Cela permet de faire correspondre à toute norme N sur \mathbf{R}^{(\mathbf{N})}, une norme polaire, notée N^{\circ}, définie par
\text{(9)}\qquad N^{\circ}(y) = \operatorname{Sup}_{N(x) \leq 1} |\langle x, y \rangle|
le y de N^{\circ}(y) et de \langle x, y \rangle est surchargé, écrit sur un x'
Si N est une norme de Schatten, on vérifie trivialement que N^{\circ} est une norme de Schatten, et si x \in \ell_N, x' \in \ell^{N^{\circ}}, alors \ell^{N'}, \sum x_i x_i' est , et les deux dernières lignes sont biffées et reliées par une accolade au « et »
De plus, clairement = (N^{\circ})^{\circ} = N, vérifier de côté dans la marge gauche, au bas de la page, en regard de la norme polaire ; sa fin est biffée
\text{(10)}\qquad \sum |x_i x_i'| \leq N(x)\, N'(x')
le « (10) » est surchargé ; N' désigne ici la norme polaire N^{\circ} de la page précédente, et l'écriture N' est celle de toute la suite
En effet, on a \sum_1^n |x_i x_i'| = \langle |x|_n, |x'|_n \rangle \leq N(|x|_n)\, N'(|x'|_n) \leq N(x)\, N'(x'), d'où (10). Il en résulte un accouplement naturel entre \ell^N et \ell^{N'} « naturel » souligné ligne biffée, avec en interligne « i.e. une application linéaire continue », « de norme \leq 1 » \ell_N et \ell^{N'}, par lequel le dual de \ell_N s'identifie ligne biffée, cerclée à sa fin ; deux traits rouges « !! » dans la marge en regard est identique à \ell^{N'} souligné (avec sa norme) pour accouplement. En effet, est en interligne : « aussi » il suffit de le voir pour sa est définie par un en interligne : « est » x' \in \ell^\infty,
Prop dans la marge, souligné, avec un point d'interrogation au crayon rouge en dessous pour que \ell_N soit réflexif, il faut et il suffit que \ell^N \ell_{N'} \ell^{N'} le soit en interligne : « il faut et il suffit qu'on ait » En effet, on ait \ell_N = \ell^N et \ell_{N'} = \ell^{N'} cette ligne est soulignée ; l'énoncé est souligné en entier \ell^N réflexif implique \ell_N réflexif (sous-espace fermé) qui implique \ell^{N'} réflexif (dual de \ell_N) qui implique \ell_{N'} réflexif et donc \ell^N réflexif, quatre lignes biffées d'un trait chacune, avec des mots en interligne : « de même que », « d'un réflexif » qui admise la démonstration circulaire de l'équivalence des 4 conditions. Alors \ell_{N'}, qui est un sous-espace en interligne : « il faut donc fermé » du dual \ell^{N'} de \ell_N, est réflexif ; « réflexif » ou « isomorphe », souligné au crayon rouge, avec un point d'interrogation rouge dans la marge \ell^{N'}, il par = on aura \ell_N = \ell^N. Réciproquement, s'il en est ainsi, alors le dual de \ell_N est \ell^{N'} = \ell_{N'}, et le dual de ce dernier est \ell^N = \ell_N, donc \ell_N coïncide avec son bidual, et est donc réflexif.
Soit N une norme de Schatten sur \mathbf{R}^{(\mathbf{N})} non équivalente à N_\infty en interligne, biffé, avec au-dessus « non équivalente à N_\infty » récrit. Soient E, F deux espaces de Hilbert, N on désigne par L^N(E,F) le L est repassé, l'exposant N surchargé d'un indice biffé l'espace sous-espace de L_0(E,F) formé des u tels que (\rho_i(u)) \in \ell^N, i.e. tels que
\text{(11)}\qquad N(u) = N\bigl((\rho_i(u))\bigr) < +\infty
Si N Sous ces conditions, deux lignes biffées en tête de page Alors la fonction u \mapsto N(u) sur L^N(E,F) est une norme. En effet, on a N(u+v) = \lim_{n \to \infty} N\bigl(|\rho_i(u+v)|_n\bigr) prouvons en interligne : « soit » qu'il est complet « complet » souligné d'un trait double, la ligne biffée. L_N(E,F) le sous-espace normé formé des u tels que (\rho_i(u)) \in \ell_N. Je dis que L_N(E,F) est l'adhérence de \bar{E} \otimes F dans L^N(E,F). En effet, Montrons que \sum \rho_i\, \bar{e}_i \otimes f_i est limite des sommes partielles \sum_1^n \rho_i\, \bar{e}_i \otimes f_i, dans le cas où N\bigl(\sum_{n+1}^\infty \rho_i\, \bar{e}_i \otimes f_i\bigr) = N(\rho_{n+1}, \rho_{n+2}, \ldots) \to 0 pour n \to +\infty, ce qui démontre donc, que dans \ell_N les opérations x \mapsto t_n(x) = (0, \ldots, 0, x_{n+1}, x_{n+2}, \ldots) les n zéros sont marqués d'une accolade « n » tendent vers 0 simplement. Les deux formes sont équivalentes, où tout ceci est zéro dans , on peut le avoir. \ell^N(E,F) fin de ligne biffée
Le dual de L_N(E,F) s'identifie à un sous-espace du dual de L_{N_1}(E,F) = L^1(E,F), donc de L(F,E). Il résulte que N n'est pas équivalente à N_1, donc N' n'est pas équivalente à N_\infty. Je dis que
\bigl(L_N(E,F)\bigr)' = L^{N'}(F,E) .
En premier lieu, si u \in L_N(E,F), v \in L^{N'}(F,E), donc vu \in L^1(E,E), avec
\|vu\|_1 \leq N(u)\, N'(v)
tout ce bloc, du « Le dual » à la formule, est entouré d'un cadre et traversé de trois longs traits obliques ; le bloc est repris à la page suivante
(12) N(u^{*}) = N(u) ; (13) N(vu) \leq \|v\|\, N(u), N(uv) \leq \|v\|\, N(u) ; (14) N(u) = \operatorname{Sup} \ill{} pour u' \in \bar{F}' \otimes E, N^{\circ}(u') \leq 1 L^N(E,F) si N = N^{\circ} définition de L^N(E,F) ; (L^{N_\infty}(E,F) = L(E,F) L_{N_\infty}(E,F) ) trois notes de côté dans la marge gauche : les formules (12), (13) en haut, la formule (14), cerclée et encadrée, au milieu, et une parenthèse au bas sur les cas N = N_\infty ; l'argument de (14) est en partie perdu
Soient N, N', N'' des normes de Schatten la ligne est soulignée d'un long trait telles que
\text{(\uncertain{15})}\qquad N(xy) \leq N'(x)\, N''(y)
formule encadrée ; le numéro est surchargé, (13) ou (15) pour tout x, y \in \mathbf{R}^{(\mathbf{N})}. Alors la même formule est valable pour x \struck{y} \in \ell^{N'}, y \in \ell^{N''}. Par suite, si u \in L^{N'}(E,F), v \in L^{N''}(F,G), on a vu \in L^N(E,G), avec
\text{(16)}\qquad N(vu) \leq N'(u)\, N''(v)
formule encadrée, au bas de la page
Ce résultat résulte en interligne au-dessus, cerclé : « d'où, L si N' \neq N_\infty, N^{\circ} \neq N_\infty, » en admission sur la caractérisation en interligne : « de la définition » précédente, et des formules \rho_{i}(uv) \struck{-} \ill{} \leq \bigl(\rho_i(u)\rho_j(v)\bigr) \ill{} formule très serrée en fin de ligne : une majoration de \rho_{i+j}(uv) par \rho_i(u)\rho_j(v), incertaine (N° 2, formule (37)). — En particulier, à la fois en interligne : « » en tenant compte »
() N(uv) \leq \|u\|\, N(v), N(uv) \leq \|v\|\, N(u) ligne encadrée et biffée d'un trait ondulé, avec un mot cerclé et biffé à sa gauche ; les formules sont celles de la note marginale (13) de la page précédente
Le dual de L_N(E,F) s'identifie à un sous-espace du dual de L_{N_1}(E,F) = L^1(E,F), donc de L(F,E). un trait rouge dans la marge et sous « L_{N_1}(E,F) = L^1(E,F) » Ce sous-espace contient L^{N^{\circ}}(F,E), et l'application L^{N^{\circ}}(F,E) \to \bigl(L_N(E,F)\bigr)' est un morphisme métrique « métrique » souligné. Montrons que c'est sur. On peut supposer N \neq N_1, prouvons en interligne : « Soit » en interligne : « admet », « i.e. a » \Phi \in \bigl(L_N(E,F)\bigr)', v \in L(F,E), i.e. a v \in L^{N^{\circ}}(F,E). On d'où F , E. v^{*} v |\operatorname{Tr} vu| \leq M\, N(u), pour u \in E' \otimes F, v v^{*} \in L(E,F) trois lignes biffées d'un trait chacune aussi w \in \bigl(L_N(E,E)\bigr)', compatible, en interligne : « » \|u\|_1 \leq P, deux lignes biffées, avec « \operatorname{Tr} P = » barré soit P, soit 1 \in (\ell_N)' = \ell^{N^{\circ}}, . v = \sum \rho_i\, \bar{e}_i \otimes e_i, et on trouve « trouve » souligné au crayon rouge que (\rho_i) \in (\ell_N)' = \ell^{N^{\circ}}, d'où la conclusion. — Cette conséquence souligné au crayon rouge ; un point d'interrogation rouge dans la marge L^{N^{\circ}}(E,F) F souligné au crayon rouge , L^N(E,F) L_N(E,F) la dernière ligne, soulignée au crayon rouge, est en partie perdue
N^{\circ} N' = N^{\circ} N'' \neq N(\rho_i) N(u) = \lim P une note au crayon, de côté dans la marge gauche, en regard du haut de la page, en une dizaine de lignes courtes ; elle porte sur N^{\circ} et N' et reste illisible même redressée
Corollaire 1 u \in L^N(E,F) si et seulement si |u| \in L^N(E,F), et l'énoncé est marqué d'un trait vertical dans la marge
N(u) = N(|u|)
u \in L_N(E,F) si et seulement si |u| \in L_N(E,F).
Corollaire 2 un opérateur compact sur l'espace de Hilbert u^{*} u E. En effet, (\rho_i(u)) fonction croissante
Corollaire 2 Si u = h + ik, h et k hermitiens, alors
u \in L_N(E) \iff h, k \in L_N(E), \qquad u \in L^N(E) \iff h, k \in L^N(E) .
Remarque Soit p une norme sur E' \otimes F satisfaisant aux conditions : a) p(Vu) = p(u), p(uU) = p(u) pour V unitaire dans F, U unitaire dans E les deux égalités sont écrites l'une sous l'autre ; « U » est biffé puis récrit, « E » ajouté au-dessus de « F » ; b) p(x' \otimes y) = p(x')\, p(y) ainsi sur la page : p désigne aussi les normes de E' et de F. Supposons E et F de dimension infinie pour fixer les idées, soient (e_i), (f_i) des systèmes orthonormaux infinis dans E et F, considérons \mathbf{R}^{(\mathbf{N})} \to E' \otimes F \subset L(E,F) le \mathbf{N} est souligné, avec un \varphi ou \lambda au-dessus par (\lambda_i) \mapsto \sum \lambda_i\, \bar{e}_i \otimes f_i. Alors p(\varphi(\lambda)) sur \mathbf{R}^{(\mathbf{N})} est une norme, induisant sur \mathbf{R}^n des normes de Schatten invariantes par \mathfrak{S}_n (condition a) p) normalisées (condition b) dépendant que de (|\lambda_i|) (condition a)). Elle N est donc une souligné et biffé norme de Schatten. On vérifie alors, considérant (condition a)) que l'on a N(u) = p(u) pour tout u \in E' \otimes F. On a ainsi obtenu une caractérisation axiomatique des normes N(u) sur les espaces L(E,F) E' \otimes F. le reste de la page est blanc