Cote n° 1 · batch 3 · pages 41–60 · Transcription · Analyse fonctionnelle : notes manuscrites (s.d.), lettre (1953)
Datation de l’inventaire : 1953
Édition de démonstration

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Caractérisation des opérateurs de Fredholm (fin)

Titre de l'éditeur. La page 41 achève le « II » des feuillets jaunis qui closent le lot 2 (pages 37 à 40) : après \(\|u\|_1 = \sum \rho_i(u)\) et la définition de \(L^{p}(E,F)\), le dual de \(L_0(E,F)\).

41Dual de \(L_0(E,F)\). Il Il […] est […] identifié isométriquement avec \(L^{1}(F,E)\), […] par \[(u, v) = \operatorname{Tr} vu\] encadré ([…] \(E' \otimes F\) et \(F' \otimes E\) […] […] […]) et l'application naturelle de \(L^{1}(F,E)\) dans \((L_0(E,F))'\) […] une isométrie : si \(v \in L^{1}(F,E)\) a […] \(\sum \rho_i\, \bar{f}_i \otimes e_i\) le \(\bar{f}_i\) est surchargé, il suffit de prendre \(u = \sum_{1}^{n} \rho_i\, \bar{e}_i \otimes f_i\) pour trouver \((u,v) = \sum_{1}^{n} \rho_i\). ainsi sur la page, le facteur \(\rho_i\) dans les deux sommes ; avec \(v = \sum \rho_i \bar{f}_i \otimes e_i\) on attendrait \(u = \sum \bar{e}_i \otimes f_i\) Montrons qu'elle est […]. En effet, si \(\Phi\) est une forme linéaire continue sur \(L_0(E,F)\), alors \(\Phi(x' \otimes y)\) est une forme bilinéaire continue sur \(E' \times F\), donc définit une application linéaire \(F \to E\), soit \(v\). On \(\langle u, \Phi\rangle = \operatorname{Tr} vu\), il suffit de montrer que \(v\) est de Fredholm, et alors \(|\operatorname{Tr} vu| \leq M\,\|u\|\) pour \(u \in E' \otimes F\). Considérons \(p = vv^{*} \in L(E,E)\), on a \(\operatorname{Tr} Wv = \operatorname{Tr} vW\) (\(u \in E' \otimes E\))

\(|\operatorname{Tr} uw| = |\operatorname{Tr} uvv^{*}| \leq |\operatorname{Tr} v^{*}uv|\) […] donc […] \(w\) […] pourtant que \(v\). On […] bloc de trois lignes biffé d'un trait ondulé

\(w = (vv^{*})^{1/2} \in L(E,E)\), donc \(v = Ww\), \(w = Vv\), on voit aussitôt que \(W\) en interligne : « \(= Vv\) », biffé la partie unitaire de \(v\), montrons que \(w\) est opérateur de Fredholm, donc \(v\) en interligne : « \(= Ww\) » […] (ce qui ramène à : \(F = E\)). On montre d'abord que \(w\) est […], par […] il contient un sous-espace \(E_1 \subset E\) stable « stable » en interligne […] \(w\), si \(w\) n'était pas inversible, ce qui amène une contradiction. On aura donc \(w = \sum \rho_i\, \bar{f}_i \otimes e_i\), et prenant \(u = \sum \bar{e}_i \otimes f_i\), on trouve \(\sum \rho_i \leq M\). D'où la conclusion. — Méthode « méthode » en interligne plus élémentaire : […] \(\Phi\) une forme linéaire […] sur \(L^{p}(E,F)\), […] donnée par un \(v \in L^{q}(F,E)\), […] […] […] opérateur […]. […] […] […] tout : […] la page s'arrête sur cette ligne ; la page 42 est blanche

Produits tensoriels hilbertiens

Titre de sa main, en tête de la page 43, sous une ligne de plan « 1. Rappels et notations. Opérateurs de Fredholm » ; ce N° 2 court des pages 43 à 57. Il écrit le produit tensoriel hilbertien \(\otimes\) avec un petit « (2) » au-dessus du signe ; ce « (2) » est rendu ici en exposant, \(\otimes^{(2)}\). Les classes d'opérateurs de Hilbert-Schmidt et de Fredholm sont écrites tour à tour \(L^{(2)}\), \(L^{2}\), \(L^{(1)}\), \(L^{1}\) ; uniformisées en \(L^{(2)}(E,F)\) et \(L^{(1)}(E,F)\).

431. Rappels […] et notations. Opérateurs de Fredholm les mots « Opérateurs de Fredholm » sont soulignés au crayon orange

2. Produits tensoriels hilbertiens. Des Fredholm et des Hilbert-Schmidt titre souligné deux fois ; en interligne au-dessous : « Tout le contenu de ce N° est […] classique », avec « vraiment » ajouté au-dessus

Soit \(E\) un espace de Banach (sur le corps des nombres complexes), désignons par \(\bar{E}\) l'espace […] vectoriel obtenu en prenant sur \(E\) la structure vectorielle ayant la même structure additive que \(E\), mais où la multiplication scalaire […] est donnée par \((\lambda, x) \to \bar{\lambda}.x\) \(\bar{E}\) […] \(\lambda \bar{x} = \overline{\bar{\lambda} x}\) lecture incertaine des barres de conjugaison sur cette formule On a bien là une structure d'espace vectoriel, et les fonctions \(\|x\|\) […] […]. L'application identique de \(E\) sur \(\bar{E}\) est antilinéaire, i.e. additive et satisfait à \(\overline{\lambda x} = \bar{\lambda}\,\bar{x}\), […] […] […] (en particulier […] […] de Banach \(\bar{E}\)). Notons aussi \[\text{(1)}\qquad \bar{\bar{E}} = E\] au-dessous, une ligne biffée : « \(\bar{E} = E\) […] »

[…] \(F\) […] application […] \(E\) dans \(F\) […] \(E\) dans \(F\), \(G\) […] \(E\), \(F\), \(G\) trois […] \((x,y) \to u(x,y)\) […] bloc de quatre lignes biffé d'un trait ondulé et de traits obliques bilinéaire de \(E \times \bar{E}\) […] dans \(G\) est dite sesquilinéaire si elle est linéaire en \(x\), antilinéaire en \(y\) ; il revient au même de dire que c'est une application bilinéaire de \(E \times \bar{F}\) dans \(G\). Une application sesquilinéaire correspond donc à une application linéaire de \(E \otimes \bar{F}\) dans \(G\). en fin de ligne, à droite : « N.b. aussi \(L(E,\bar{F}) = \overline{L(E,F)}\) », lecture incertaine

[…] \(B\) […] \(\|x\|\) […] deux lignes biffées de zigzags au bas de la page

en marge gauche, le long d'un trait oblique, sur plusieurs lignes : […] \(\bar{E}\) […] \(E'\) […] \((x,y)\) […]

44Notons que pour deux espaces vectoriels \(E\), \(F\), on a un isomorphisme canonique \[\text{(2)}\qquad \overline{E \otimes F} = \bar{E} \otimes \bar{F}\] En effet, l'application \((\bar{x}, \bar{y}) \to \overline{x \otimes y}\) de \(\bar{E} \times \bar{F}\) le signe entre \(\bar{E}\) et \(\bar{F}\) est surchargé dans \(\overline{E \otimes F}\) est manifestement bilinéaire, donc se prolonge en une application linéaire \(\bar{E} \otimes \bar{F} \to \overline{E \otimes F}\). On vérifie alors aussitôt, au moyen de bases dans \(E\) et \(F\) par exemple, que c'est un isomorphisme du premier espace sur le second.

Supposons Rappelons, […] […] préhilbertien […] un espace vectoriel \(E\), muni d'une forme sesquilinéaire sur \(E \times E\), […] \(x, y\) notée \((x,y)\), satisfaisant à la condition \((x,x) \geq 0\) pour tout \(x\). Alors […] \(E \otimes\) \(\|x\| = \sqrt{(x,x)}\) est une semi-norme sur \(E\), et \(E\) est dit un espace de Hilbert si \(E\) est séparé et complet pour cette norme. Soit […] […] Soient […] […] préhilbertiens \(E\) et \(F\) deux espaces préhilbertiens […]. On peut définir sur \(E \otimes F\) une structure préhilbertienne d'une […] […] : on doit définir une forme linéaire […] sur \((E \otimes F) \otimes \overline{E \otimes F}\) ; d'après (2), […] […] isomorphe canoniquement à \((E \otimes \bar{E}) \otimes (F \otimes \bar{F})\), il faut donc définir une forme linéaire sur […], on prend […] la phrase se poursuit page 47, après la reprise de la page 45

dans un cercle, en bas à gauche : « Introduire \(E \otimes F \subset L(\bar{E}, F)\) puis \(\operatorname{Tr}(v^{*}u)\) directement »

en marge gauche, sideways, le long de traits obliques, un brouillon de ce que la page 45 écrit au net : […] \(y \in E\) […] \((x,y)\) […] \(E\) […] \(E'\) […] ; (3) \(E' = \bar{E}\) (\(E\) […]) ; \(\|\bar{x}\| =\) […]

45les cinq premières lignes du feuillet, plus étroit, reprennent mot pour mot le début de la page 44, de « Notons que » à « \(\bar{E} \otimes \bar{F} \to \overline{E \otimes F}\) » ; elles ne sont pas répétées

Notons maintenant que si \(E\) est un espace préhilbertien, alors la fonction \((\bar{x}, \bar{y}) \to \overline{(y,x)}\) sur \(\bar{E} \times \bar{E}\) est une forme sesquilinéaire ; qui sera notée \((\bar{x}, \bar{y})\) ; qui […] \(\bar{E}\) […] est […] positive, car \((\bar{x}, \bar{x}) = (x, x)\). Elle fait de l'ensemble \(\bar{E}\) un espace préhilbertien, Comme […] sous la ligne, en petit : « \((\bar{x},\bar{y}) = (y,x)\) », « \(\|x\| = \|\bar{x}\|\) » \(\|x\| = \|\bar{x}\|\), la norme de \(\bar{E}\) coïncide donc avec celle de \(E\). Si donc \(E\) est séparé, \(\bar{E}\) l'est, et si \(E\) est un espace de Hilbert, \(\bar{E}\) est aussi un espace de Hilbert. Dans ce dernier cas, on sait que l'application qui à […] \(y \in E\) fait correspondre la forme \(x \to (x,y)\) sur \(E\), est une application antilinéaire « antilinéaire » en interligne bijective de \(E\) sur le dual \(E'\), conservant la norme ; par suite […] […] un isomorphisme canonique d'espaces normés : \[\text{(3)}\qquad E' = \bar{E} \qquad (E \text{ espace de Hilbert})\] Cet isomorphisme permet de considérer \(E'\) comme […] […] un espace de Hilbert. le reste du feuillet est blanc ; la page 46 est blanche

47forme quatre fois linéaire sur \(E \times \bar{E} \times F \times \bar{F}\). Pour […] ceci […] Ceci revient par suite à définir dans \(E \otimes F\) une structure préhilbertienne une forme sesquilinéaire, […] notée \((u,v)\) donnée par : \[\text{(5)}\qquad (x_1 \otimes y_1,\; x_2 \otimes y_2) = (x_1, x_2)\,(y_1, y_2)\] encadré au crayon rouge ; aucun (4) n'apparaît ; dans le second membre, les virgules sont surchargées sur des signes \(\otimes\) (car le deuxième membre de (5) est bien linéaire en \(x_1 \in E\), \(x_2 \in \bar{E}\), \(y_1 \in F\), \(y_2 \in \bar{F}\)). Montrons que […] Montrons que cette forme définie positive est une forme définie positive,

i.e. que \((u,u) \geq 0\) […] \((u,u) = 0 \Longleftrightarrow u = 0\). Soit \((e_i)_{i \in I}\) une base orthonormale dans \(E\), \((f_j)_{j \in J}\) […] […] dans \(F\), alors \((e_i \otimes f_j)_{(i,j) \in I \times J}\) […] bloc de trois lignes biffé d'un trait ondulé

En effet, si \(u, v \in E \otimes F\), alors \(u\) […] […] \(u, v \in E_0 \otimes F_0\), […] […] où \(E_0\) et \(F_0\) […] sont deux sous-espaces de dimension finie de \(E\) et de \(F\), Prenons alors une soit \((e_i)\) en interligne une base orthonormale dans \(E_0\), une autre \((f_j)\) dans \(F_0\), […] \(u = \sum\) alors \((e_i \otimes f_j)\) est une base de l'espace vectoriel […], et on voit sur (5) que \[\text{(6)}\qquad (e_i \otimes f_j,\; e_{i'} \otimes f_{j'}) = \delta_{(i,j),(i',j')} \qquad (\text{indice de Kronecker}),\] ce qui prouve que \((u,v)\) induit sur \(E_0 \otimes F_0\) une forme définie positive. Comme \(E \otimes F\) est réunion des espaces \(E_0 \otimes F_0\), il s'ensuit que \((u,v)\) est définie positive.

Définition. Soient \(E\), \(F\) deux espaces de Hilbert. On appelle produit tensoriel hilbertien de \(E\) et \(F\), et on note \(E \otimes^{(2)} F\), le complété de l'espace \(E \otimes F\) préhilbertien la phrase se poursuit page 48

48préhilbertien \(E \otimes F\), […] le produit scalaire […] défini par (5). […] si \(u \in E \otimes^{(2)} F\) […] on note \(\|u\|_2\) […] ligne serrée entre les lignes, biffée \(E \otimes^{(2)} F\) devient […] un espace de Hilbert.

Prop 1. Soient \(E\) et \(F\) deux espaces de Hilbert. Si \(x \in E\), \(y \in F\), […] \(\|x \otimes y\|_2 = \|x\|\,\|y\|\). 2) Soit Soit \((e_i)_{i \in I}\) une base orthonormale dans \(E\), \((f_j)_{j \in J}\) une base orthonormale dans \(F\), alors \((e_i \otimes f_j)_{(i,j) \in I \times J}\) est une base orthonormale dans \(E \otimes^{(2)} F\). l'énoncé est embrassé d'une accolade en marge gauche

En effet, d'après (6), le système \((e_i \otimes f_j)\) est orthonormal, […] […] […] dense \(E \otimes^{(2)} F\) […] et il est total : cela résulte de ce que les combinaisons linéaires des \(e_i \otimes f_j\) sont denses dans \(E \otimes^{(2)} F\). Pour le voir, il suffit de voir que tout \(u \in E \otimes F\) est limite […] […] si \(E_0\) est engendré par des combinaisons finies des \(e_i\), \(F_0\) […] des \(f_j\), […] dans \(E\), \(F_0\) dans \(F\), donc […] \(E_0 \otimes F_0\) dans […] \(E \otimes F\), donc […] dans \(E \otimes^{(2)} F\). Notons aussi deux formules : \[\text{(7)}\qquad \|x \otimes y\|_2 = \|x\|\,\|y\|\] encadré au crayon rouge (qui résulte aussitôt de […] \((x \otimes y, x \otimes y) = (x,x)(y,y)\)), […] et aussi que l'isomorphisme canonique \(\overline{E \otimes F} = \bar{E} \otimes \bar{F}\) (cf. (2)) conserve […] les produits scalaires, donc définit un isomorphisme d'espaces préhilbertiens, d'où un isomorphisme canonique \[\text{(8)}\qquad \overline{E \otimes^{(2)} F} = \bar{E} \otimes^{(2)} \bar{F}\]

49les quatre premières lignes de la page sont enfermées dans une longue boucle partant du haut à gauche ; « Th 1 » et un premier « Exemple » y sont biffés

L'exemple le plus important de produit tensoriel hilbertien est donné par le Th 1 Soit \(E\) un espace de Hilbert, […] \(\mu\) une mesure positive sur un espace localement compact \(M\), considérons […] \(L^{2}(\mu)\), et l'espace de Hilbert

Exemple Soit Soit \(M\) un espace localement compact, \(\mu\) une mesure positive sur \(M\), considérons l'espace de Hilbert \(L^{2}(\mu)\) (où \((\varphi, \psi) = \int \varphi\,\bar{\psi}\, d\mu\)). Plus généralement, si \(E\) est un espace de Hilbert, \(L^{2}_{E}(\mu)\) désigne l'espace des fonctions […] sur \(M\) à valeurs dans \(E\), de carré intégrable, muni de la norme \[\text{(9)}\qquad \|f\|_2 = \Bigl(\int \struck{\ill{}}\, \|f(t)\|^{2}\, d\mu(t)\Bigr)^{1/2}\] qui en fait un espace de Banach ([…]) et même un espace de Hilbert ; le produit scalaire étant défini par la forme sesquilinéaire \[\text{(10)}\qquad (f, g) = \int \langle f(t), g(t)\rangle\, d\mu(t)\] dont \(L^{2}_{E}(\mu)\) est un espace de Hilbert. On a une application bilinéaire \((\varphi, a) \to \varphi.a\) de \(L^{2}(\mu) \times E\) dans \(L^{2}_{E}\), d'où une application linéaire \(L^{2} \otimes E \to L^{2}_{E}\) en interligne : « \(u \to \tilde{u}\) », dont l'image est dense dans \(L^{2}_{E}\). […] c'est un isomorphisme préhilbertien […], i.e. \((\varphi.a, \psi.b) = (\varphi, \psi)(a, b)\), i.e. \((\widetilde{\varphi \otimes a}, \widetilde{\psi \otimes b}) = (\varphi \otimes a, \psi \otimes b)\), d'où \((\tilde{u}, \tilde{v}) = (u, v)\) pour tout \(u, v \in L^{2} \otimes E\).

50On en conclut le

Théorème 1. suivi d'un signe cerclé Soit \(E\) un espace de Hilbert, \(\mu\) une mesure positive sur un espace localement compact, on a un isomorphisme canonique d'espaces hilbertiens \[\text{(11)}\qquad L^{2}(\mu) \otimes^{(2)} E = L^{2}_{E}(\mu)\] l'énoncé est embrassé d'une accolade en marge gauche, comme les deux corollaires

Corollaire 1. \(I\) étant un ensemble quelconque d'indices, \(E\) un espace de Hilbert, on a un isomorphisme canonique \[\text{(12)}\qquad l^{2}(I) \otimes^{(2)} E = l^{2}_{E}(I)\] qui à […] fait correspondre […] la famille \((a_i)_{i \in I}\) d'éléments de \(E\), […] […] […] (avec […] le produit scalaire \(((x_i), (y_i)) = \sum (x_i, y_i)\)).

Corollaire 2. Soient \(M\), \(N\) deux espaces localement compacts, \(\mu\), \(\nu\) des mesures positives dessus, alors on a un isomorphisme canonique d'espaces hilbertiens \[\text{(13)}\qquad L^{2}(\mu) \otimes^{(2)} L^{2}(\nu) = L^{2}(\mu \otimes \nu)\] (où \(\mu \otimes \nu\) est le produit […] sur \(M \times N\)). En effet, par définition \(L^{2}(\mu \otimes \nu) = L^{2}_{L^{2}(\nu)}(\mu)\), et on applique deux fois le th. 1. En particulier, \(L^{2}(\mu)\) et \(L^{2}(\nu)\) […] \(l^{2}(I)\) et \(l^{2}(J)\), […] retrouve la prop. 1. […]

Soient maintenant \(E\) et \(F\) deux espaces de Hilbert, […] […] à \(E' = \bar{E}\), […] il y a une correspondance entre \(\bar{E} \otimes F\) et l'espace des applications linéaires de rang fini de \(E\) dans \(F\), définie par \[\text{(14)}\qquad (\bar{a} \otimes b).x = (x, a).b\] suivi d'un point d'exclamation

51Montrons que […] […] (15) […] Comme […] quatre lignes biffées en tête de page […] (d'après la seconde […] (15) la seconde) […] l'espace préhilbertien […] \(\bar{E} \otimes F\) s'identifie, grâce à la bijection précédente, et \(u = \bar{a} \otimes b\), \[\text{(15)}\qquad (ux, y) = (u,\; \bar{x} \otimes y)\] d'où, par linéarité, pour tout \(u\) […] […] préhilbertien \(\bar{E} \otimes F\)), formule qui […] pour […] \(u \in \bar{E} \otimes F\). D'où on conclut que \[|(ux, y)| \leq \|u\|_2\, \|\bar{x} \otimes y\|_2 = \|u\|_2\, \|\bar{x}\|\, \|y\| = \|u\|_2\, \|x\|\, \|y\|,\] d'où résulte que l'opérateur […] norme \(\leq \|u\|_2\). Par suite \(u \to \tilde{u}\) de \(\bar{E} \otimes F\) dans \(L(E,F)\) est continue et se prolonge en une application linéaire continue de […] norme \(\leq 1\) de \(\bar{E} \otimes^{(2)} F\) dans \(L(E,F)\) le signe après \(\bar{E} \otimes^{(2)} F\), peut-être un \(\subset\), n'est pas lisible. Cette application est d'ailleurs biunivoque, car si \((e_i)_{i \in I}\) est une base orthonormale dans \(E\) en interligne : « \((\bar{e}_i)\) une base orthonormale dans \(\bar{E}\) », \((f_j)_{j \in J}\) une base orthonormale dans \(F\), alors \(\bar{E} \otimes^{(2)} F\) s'identifie à l'espace des matrices […] (prop. 1) […] […] de carré sommable, et l'application […] […] à \(u = (u_{ij})_{(i,j) \in I \times J}\) fait correspondre l'opérateur […] défini par la matrice \((u_{ij})\), donc \(u\) est nul si cet opérateur est nul. Nous ne distinguerons pas par la notation […] \(\bar{E} \otimes^{(2)} F\) et les opérateurs qu'ils définissent

Définition 2. Soient \(E\) et \(F\) deux espaces de Hilbert. On appelle opérateur de Hilbert-Schmidt de \(E\) dans \(F\) […] tout opérateur linéaire de \(E\) dans \(F\) défini par un élément de \(\bar{E} \otimes^{(2)} F\). L'ensemble de ces opérateurs, muni de la structure la phrase se poursuit page 52

52hilbertienne définie par celle de \(\bar{E} \otimes^{(2)} F\), sera noté \(L^{(2)}(E,F)\) en interligne : « \(L^{(2)}(E)\) si \(F = E\) » ; […] […] de Hilbert-Schmidt, on écrira si \(u \in L^{(2)}(E,F)\) sa norme \(\|u\|_2\). On a […] donc \[\text{(16)}\qquad \|u\|_{\infty} \leq \|u\|_2\] Les opérateurs de Hilbert-Schmidt sont des applications compactes […] dans \(L(E,F)\) […] de […], c'est même un opérateur […] compact dans les opérateurs \((u_{ij})\) […]. Si […] bases orthonormales \((e_i)\), \((f_j)\), alors la matrice […] et on a donc \(\|u\|_2 = \bigl(\sum |u_{ij}|^{2}\bigr)^{1/2}\) (matrices de Hilbert-Schmidt). Pour les […] on peut identifier \(\bar{E} \otimes^{(2)} F\) et \(L^{(2)}(E,F)\).

au crayon, en marge gauche, en oblique : « (mais aussi […] \(\|u\|\) […] \(\|\bar{u}\|\) […]) »

Théorème 2. Soient \(E\) et \(F\) deux espaces de Hilbert, soit \(u\) une […] H.-S. application linéaire continue de \(E\) dans \(F\). accolade en marge gauche

1) Si \(u\) est un opérateur de H.-S., […] il en est de même de \(Au\) lorsque \(A\) le \(A\) est surchargé est une application linéaire continue de \(F\) dans […] un espace de Hilbert \(G\) (resp. de \(uA\) lorsque \(A\) […] dans \(E\)) ; et on a \[\text{(17)}\qquad \|Au\|_2 \leq \|A\|\,\|u\|_2 \qquad (\text{resp. } \|uA\|_2 \leq \|A\|\,\|u\|_2)\] encadré au crayon rouge ; un premier « (17) » est biffé au-dessous

2) Pour que \(u\) soit un opérateur de Hilbert-Schmidt, il faut et il suffit que \(u^{*}\) soit un opérateur de H.-S. et alors \(\|u\|_2 = \|u^{*}\|_2\) encadré au crayon rouge. Plus précisément, si \(F\) et […] \(E\)). (On a, pour \(u, v \in L^{(2)}(E,F)\) \[\text{(18)}\qquad \struck{(u, v) = (v^{*}, u^{*})}\] ligne encadrée au crayon rouge puis biffée d'un trait ondulé ; suivie de « cor. […] […] dans \(E\)) »

Th. 3. Soit \(h = \sqrt{u^{*}u}\) « \((u^{*}u)\) » en interligne […] Pour que \(u\) soit un opérateur de H.-S., il faut et il suffit […] que […] soit […] deux lignes biffées, avec « (") » en interligne que les valeurs propres \((\rho_i)\) de \(u\) soient telles que \(\sum \rho_i^{2} < +\infty\). Alors, \[\text{(19)}\qquad \|u\|_2 = \|u^{*}\|_2 = \Bigl(\sum \rho_i^{2}\Bigr)^{1/2}\] encadré au crayon rouge

[…] Corollaire 1. \(u\) H.-S. \(\Longleftrightarrow\) \(u^{*}u\) Fredholm, et on a \(\|u\|_2 = \sqrt{\operatorname{Tr} \struck{\ill{}}\, u^{*}u} = \sqrt{\|u^{*}u\|_1}\).

en marge gauche, en oblique, l'amorce du même énoncé : « Corollaire », « \(u\) H.-S. \(\Longrightarrow\) », « \(\|u\|_1\) » ; au crayon, au-dessous : « (Condition […]) »

53Démonstration. Il suffit 1) Prouvons par exemple que \(Au\) est un opérateur de Hilbert-Schmidt si \(u\) l'est, et que […] \(\|Au\|_2 \leq \|A\|\,\|u\|_2\). En effet, soit \((e_i)\) une base orthonormale dans \(E\), on a \(\sum \|Aue_i\|\) \(\sum \|Aue_i\|^{2} \leq \struck{\ill{}} \sum \|A\|^{2} \struck{\ill{}} \|ue_i\|^{2} = \|A\|^{2} \sum \|ue_i\|^{2}\), d'où […] résulte aussitôt l'assertion. […] […] […] \(\sum \|ue_i\|^{2}\) […] […] […] (?). […] plusieurs lignes biffées 2) […] […] […] […]. Considérons […] \(\overline{\bar{E} \otimes^{(2)} F} = E \otimes^{(2)} \bar{F}\) d'après (8), […] isomorphisme […] […] \(= E \otimes^{(2)} \bar{F}\), donc […] : \(\bar{F} \otimes^{(2)} E\). […] un isomorphisme […] de Hilbert de \(\bar{E} \otimes F\) \(L^{(2)}(E,F)\) sur \(L^{(2)}(F,E)\), et on vérifie aussitôt que cette application est donnée par \(u \to u^{*}\) (\(u \in L^{(2)}(E,F)\)), d'où 2).

3) On sait qu'il existe […] […] \(u = Uh\), où \(U\) est une isométrie partielle de \(E\) dans \(F\), et \(h = Vu\), où \(V\) est une application partiellement isométrique de \(F\) dans \(E\). On en conclut, par 1), que […] si \(u\) est un opérateur de H.-S., il en est de même de \(h\), et inversement […] si \(h\) est de H.-S., et que […] alors \(\|u\|_2 = \|h\|_2\). D'autre part, pour que \(h\) soit un opérateur de Hilbert-Schmidt, il faut et il suffit que […]. Alors on sait la phrase se poursuit page 54

54que la […] une base orthonormale […] de \(E\), la […] dans […] avec la matrice diagonale […], […] alors la matrice diagonale […] les valeurs propres \((\rho_i)\) de \(h\), de […], le […] de H.-S. si et seulement si […] […] est de carré sommable, i.e. si \(\bigl(\sum |\rho_i|^{2}\bigr)^{1/2} < +\infty\), et alors \(\|h\|_2 = \bigl(\sum \rho_i^{2}\bigr)^{1/2}\). Le th. 3 est donc démontré.

Les relations entre opérateurs de H.-S. et opérateurs de Fredholm sont exprimées dans le

Th 3. ce théorème porte le même numéro que le Th. 3 de la page 52 ; le « 3 » est surchargé Soient \(E\) et \(F\) deux espaces de Hilbert. L'application linéaire canonique de \(\bar{E} \otimes^{(2)} F\) dans \(L(E,F)\) est biunivoque. Pour qu'une application linéaire \(u\) de \(E\) dans \(F\) soit application de Fredholm, il faut et il suffit que \(h = \sqrt{u^{*}u}\) le soit Pour Pour ceci, il faut et il suffit que les valeurs propres \((\rho_i)\) […] […] soit compact et que […] les valeurs propres […] de \(h\) soient sommables, et alors […] : \(\sum \rho_i < +\infty\), et alors deux lignes biffées, la première tachée de rouge ; accolade en marge gauche sur l'énoncé […] \[\text{(20)}\qquad \|u\|_1 = \|h\|_1 = \sum \rho_i\] On peut aussi y remplacer \(h\) par \(\sqrt{uu^{*}}\). […]

Que \(u\) et \(h\) soient simultanément de Fredholm, et que \(\|u\|_1 = \|h\|_1\), résulte du fait qu'on a \(u = Uh\), \(h = Vu\), avec \(\|U\| \leq 1\), \(\|V\| \leq 1\). […] Alors, \(h\) sera un opérateur compact, s'il en est […] donc \(h = \sum \lambda_i\, \bar{a}_i \otimes a_i\) de la forme \(\sum \rho_i\, \bar{a}_i \otimes a_i\) le \(\rho\) corrigé sur un \(\lambda\), où les \((a_i)\) forment un système orthonormal, les \(\rho_i\) sont les valeurs propres de \(h\). Soit \(p_n\) le projecteur de \(E\) sur l'espace engendré par les \(a_1, \ldots, a_n\), on aura donc \[\sum_{1}^{n} \rho_i = \operatorname{Tr} p_n h \leq \|p_n h\|_1 \leq \|h\|_1,\] d'où \(\sum \rho_i \leq \|h\|_1 \leq \|u\|_1\). Réciproquement, supposons la phrase se poursuit page 55

en marge gauche, sideways, reliée par une boucle aux deux lignes biffées de l'énoncé : « […] dans 2 premières […] ; […] des théorèmes […] ; d'où […] signalé de la fin des ; § 1, N° 1, (petites corrections) » ; au crayon rouge, un « ? »

55[…] le […] et la série de ses valeurs propres « \((\rho_i)\) » en interligne […] \(h = \sum \rho_i\, \bar{a}_i \otimes a_i\), où \((a_i)\) […] orthonormal, d'où \(\|h\|_1 = \sum \rho_i\, \|a_i\|^{2} = \sum \rho_i\), ce qui prouve que \(h\) est de Fredholm, et on a (20). Le cas où l'on remplace \(h\) par \(h' = \sqrt{uu^{*}}\), on peut […] soit directement, soit par application du fait que […] […] en interligne : « \(L(E,F)\) » […] \(\sqrt{u^{*}u}\) et \(\sqrt{uu^{*}}\) ont les mêmes valeurs propres « les mêmes valeurs propres » est biffé puis récrit. En effet si \((\lambda_i)\) […] \(h = \sqrt{u^{*}u}\), on aura \(h = \sum \rho_i\, \bar{a}_i \otimes a_i\) […] isométrique sur l'espace engendré […] \[u = \sum \rho_i\, \bar{a}_i \otimes b_i,\] où \((b_i) = (Ua_i)\) orthonormal « dans \(F\) » en interligne […] système orthonormal, d'où \[u^{*} = \sum \rho_i\, \bar{b}_i \otimes a_i, \quad \text{et}\quad uu^{*} = \sum_{i,j} \rho_i \rho_j\, (a_i, a_j)\, \bar{b}_j \otimes b_i = \sum \rho_i^{2}\, \bar{b}_i \otimes b_i,\] \[\text{d'où}\quad \sqrt{uu^{*}} = \sum \rho_i\, \bar{b}_i \otimes b_i,\]

Corollaire 1. Les opérateurs de Fredholm de \(E\) dans \(F\) sont exactement les […] opérateurs qui peuvent se mettre sous la forme \[\text{(21)}\qquad u = \sum \rho_i\, \bar{a}_i \otimes b_i\] le numéro est cerclé, la formule encadrée où \((a_i)\) et \((b_i)\) sont des systèmes orthonormaux dans \(E\) (resp. dans \(F\)), et \((\rho_i)\) une suite de nombres \(\geq 0\) sommable ; on a alors \(\|u\|_1 = \sum \rho_i\). Comme \(\bar{E} \otimes^{(2)} E = L(E)\) […] biunivoque, […] par le produit […] opérateur de Fredholm dans […] l'espace de Hilbert […] ; […] 2. Tr de […] […] la formule (20) peut s'écrire aussi « s'écrire aussi » en interligne \[\text{(22)}\qquad \|u\|_1 = \operatorname{Tr} \sqrt{u^{*}u} = \operatorname{Tr} \sqrt{uu^{*}}\] le numéro est cerclé, la formule encadrée

Corollaire 2. Si \(u\) est un opérateur de Fredholm de \(E\) dans \(F\), \[\text{(23)}\qquad \|u\|_1 = \sup_{\|A\| \leq 1} |\operatorname{Tr} Au| \qquad (A \in L(F,E))\] le numéro est cerclé ; « \(\|A\| \leq 1\) » est ajouté en interligne (car […], le dual de \(E' \otimes^{(2)} F\) […] \(= B(E', F) \approx L(F,E)\)) coche au crayon rouge […] les opérateurs de Fredholm et opérateurs de H.-S. […] […] dans l'énoncé […]

Th. 4. Soient \(E\), \(F\), \(G\) trois espaces de Hilbert, \(u \in L^{(2)}(E,F)\), \(v \in L^{(2)}(F,G)\). Alors \(vu \in L^{(1)}(E,G)\), et […] \[\text{(24)}\qquad \|vu\|_1 \leq \|v\|_2\, \|u\|_2\] le numéro est cerclé, la formule encadrée au crayon rouge

en marge gauche, sideways, sur une dizaine de lignes, des corollaires en brouillon : « Utiliser aussi […] ; Corollaire 3 […] par le th. 2, puis (19), […] ; pour que \(u\) soit […] que \(u^{*}u\) soit un opérateur de Fredholm, et alors (23) \(\|u\|_2 = \sqrt{\operatorname{Tr}(u^{*}u)}\) ; […] \(= \sqrt{\|u^{*}u\|_1}\) ; Corollaire […] \(L^{(1)}(E,F) = \bar{E} \otimes F \subset E' \otimes^{(2)} F\) […] \(L^{(2)}(E,F)\) […] \(L^{(1)}(E)\) […] » ; le (23) de la marge n'est pas celui du corps de la page

56De plus, si \(u, v \in L^{(2)}(E,F)\), on a \[\text{(25)}\qquad (u, v) = \operatorname{Tr} uv^{*} = \operatorname{Tr} v^{*}u\] le numéro est cerclé, la formule encadrée

Démonstration. Pour prouver (24), il suffit par raison de continuité […] de le prouver au cas où \(u, v\) sont de rang fini (alors l'application bilinéaire \((u,v) \to vu\) […] par continuité en une application bilinéaire de norme \(\leq 1\) de \(L^{(2)}(E,F) \times L^{(2)}(F,G)\) dans \(L^{(1)}(E,G)\), qui doit bien […] ne pouvoir être que \((u,v) \to vu\)). Or, on d'après (22), on a […] \(|\operatorname{Tr} Avu| \leq \|Av\|_2\, \|u\|_2\) pour \(A \in L(G,E)\), \(\|A\| \leq 1\). Comme \(\|Av\|_2 \leq \|A\|\,\|v\|_2\) (formule (17)), on en conclut, prenant […] le sup en \(A\) en interligne : « posons \(w = v^{*}\) », […] (\(v \in \struck{\bar{E} \otimes F}\)) en interligne, cerné : « (\(v \in E' \otimes F\)) », \(\|v\| = \|v^{*}\|_2\), d'où […] \(v^{*}\) […] \(|\operatorname{Tr} v^{*}u| \leq \|v^{*}\|_2\, \|u\|_2\). Mais […] résulte de (25), puisque \(|(u,v)| \leq \|u\|_2\, \|v\|_2\). Reste à prouver (25) ; par raison de continuité, il suffit de le faire lorsque \(u, v\) sont de rang fini, et même lorsque […] Ou Or le prouver lorsque […] fini est trivial : […] lorsque […] est \[u = \bar{a} \otimes b, \quad v = \bar{a}' \otimes b', \quad \text{d'où}\quad v^{*} = \bar{b}' \otimes a',\] \[v^{*}u = (b, b')\, \bar{a} \otimes a', \qquad \struck{uv^{*} = (a', a)\, \bar{b} \otimes \ill{}} \qquad \text{d'où}\] \[(u, v) = (\bar{a}, \bar{a}')\,(b, b') = \struck{(a^{*}, a')}\,(b, b'), \qquad \operatorname{Tr} v^{*}u = (a', a)\,(b, b').\] au-dessus du facteur biffé, en interligne : « \((a', a)\) » Comme \(\operatorname{Tr} v^{*}u = \operatorname{Tr} uv^{*}\) ([…] en interligne : « formule de » […] pour 2 traces) lorsque \(u, v\) de rang fini. Remarquons d'ailleurs que (25) est […] par […] dans le théorème, donc aussi : la première partie du th. est démontrée, et la formule (25), valable pour \(u \in L^{(2)}(E,F)\), \(v \in L^{(2)}(E,F)\), peut s'écrire par continuité […]

57Corollaire 1. Pour que \(u \in L(E,F)\) soit […] de H.-S., il faut et il suffit que […] \(vu\) soit opérateur de Fredholm pour […] tout \(v \in L^{(2)}(F,E)\). Alors Alors \[\text{(26)}\qquad \|u\|_2 = \sup_{\|v\|_2 \leq 1} |\operatorname{Tr} vu| \qquad (v \in L^{(2)}(F,E))\] En effet, […] de la prop. […] la condition est nécessaire, et d'autre part la formule (25) s'écrit \[\|u\|_2 = \sup_{\|w\|_2 \leq 1} |\operatorname{Tr} w^{*}u| \qquad (w \in L^{(2)}(E,F))\] ce qui résulte immédiatement de \(\operatorname{Tr} w^{*}u = (u, w)\). Réciproquement, supposons que \(vu \in L^{(1)}(E,E)\) pour […] tout \(v \in L^{(2)}(F,E)\), l'application \(v \to vu\) de \(L^{(2)}(F,E)\) dans \(L^{(1)}(E)\) un signe biffé après \(L^{(1)}(E)\), ici et deux lignes plus bas est continue ; car elle est […] fermée (comme elle est continue pour la topologie induite par \(L^{(1)}(E)\) […] la topologie de la norme plus faible dans \(L(E)\), […] continue, donc par suite […] […] […]) […] par suite la forme […] \(w \to \operatorname{Tr} w^{*}u\) le \(w^{*}\) est corrigé sur \(\bar{E} \otimes^{(2)} F\) est continue, donc définie par un élément \(u_0\) de \(\bar{E} \otimes^{(2)} F\) […] […] : \(\operatorname{Tr}(w^{*}u) = (u_0, w)\) ; prenant \(w = \bar{x} \otimes y\), on trouve […] \((ux, y) = (u_0 x, y)\) pour tout \(x \in E\), \(y \in F\), d'où \(u = u_0\) […], d'où le corollaire […]

Corollaire 2. Pour que \(u \in L(E)\) soit opérateur de Fredholm, il faut et il suffit qu'il soit de la forme \(u = vw\), où \(u, v \in L^{(2)}(E)\) sic : \(u, v\) sur la page, là où l'on attend \(v, w\), et on peut choisir \(\|v\|_2 = \|w\|_2 = \sqrt{\|u\|_1}\) les lettres \(u\), \(v\), \(w\) se confondent dans cette ligne ; lecture d'après le sens ; accolade en marge gauche sur l'énoncé. Il suffit d'écrire, si \(u \in L(E)\) […], résulte du th. 4 la […] suffisance, et réciproquement, écrivons \(u = Uh = UW^{2}\), où \(W = \sqrt{h}\), on a (nécessité) \(\|W\|_2^{2} = \|h\|_1 = \|u\|_1\), et prenons \(v = UW\), on a \(\|v\|_2 \leq \|W\|_2\), et d'ailleurs \(\|v\|_2 = \|W\|_2\) (\(= \sqrt{\|u\|_1}\)), et aussi \(\|u\|_1\) \(u = vW\). […] […] ; […] \(\|v\|_2\, \|W\|_2 \leq \|u\|_1\). la page s'arrête sur cette ligne

Produits extérieurs hilbertiens. Applications : des inégalités diverses

Titre de sa main, en tête de la page 58, numéroté « 3. ». La numérotation des formules repart de (1).

58Soient \(E_1, \ldots, E_n\) n espaces de Hilbert. Alors par récurrence, on […] leur produit tensoriel hilbertien \(\bigotimes^{(2)}_{1 \leq i \leq n} E_i\), évidemment l'espace préhilbertien séparé […], à une structure préhilbertienne sur le tensoriel […], définie par la \[\text{(1)}\qquad (a_1 \otimes \cdots \otimes a_n,\; b_1 \otimes \cdots \otimes b_n) = (a_1, b_1) \cdots (a_n, b_n)\] qui résulte aussitôt du N° 1 qu'on obtient là une forme sesquilinéaire […] positive, […] bien hilbertienne et donne […] c'est l'espace produit tensoriel hilbertien des \(E_i\), et ligne biffée et enfermée dans une boucle avec la précédente ; en interligne : « \(\bigotimes^{(2)}_{i \in I_\alpha}\) […] » hilbertien […] de […] […] : \(\bigotimes^{(2)}_{i} E_i\) si […] les \(E_i\) sont isomorphes […] à \(E\). […] […] Si \((e^{i}_{\alpha_i})_{\alpha_i \in A_i}\) est une base orthonormale de \(E_i\) pour tout \(i\), alors on obtient une base orthonormale \((e_\alpha)_{\alpha \in A}\) de \(\bigotimes^{(2)}_{1 \leq i \leq n} E_i\), où \(A = A_1 \times \cdots \times A_n\), et pour \(\alpha = (\alpha_1, \ldots, \alpha_n)\), on pose \(e_\alpha = e^{1}_{\alpha_1} \otimes \cdots \otimes e^{n}_{\alpha_n}\).

Soient maintenant deux séquences \((E_i)\), \((F_i)_{1 \leq i \leq n}\) d'espaces de Hilbert, et soit pour tout \(i\), \(u_i\) une application linéaire continue de \(E_i\) dans \(F_i\), alors l'application \(\bigotimes u_i\) de \(\bigotimes_{1 \leq i \leq n} E_i\) dans \(\bigotimes F_i\) est continue pour les structures hilbertiennes, et de façon précise \[\text{(2)}\qquad \|u_1 \otimes \cdots \otimes u_n\| \leq \|u_1\| \cdots \|u_n\|\] Il suffit de le démontrer quand tous les \(u_i\) sauf un sont l'identité, et alors le résultat en découle […] la phrase se poursuit page 59

en marge gauche, sideways, sur plusieurs lignes : « l'associativité de l'opération […] ; \(1 \leq \alpha < \beta \cdots < \gamma < n\), […] ; avec \((\bigotimes^{(2)}_{1 \leq i \leq \alpha} E_i) \otimes^{(2)} (\bigotimes^{(2)}_{\alpha < i \leq \beta} E_i) \otimes \cdots \otimes (\bigotimes^{(2)}_{\gamma < i \leq n} E_i)\) […] ; […] est aussi le produit tensoriel hilbertien : si […] de \(\bigotimes^{(2)} E_i\) à […] »

59de le prouver au produit, en suivant […] car on a \(u_1 \otimes \cdots \otimes u_n = U_1 \circ \cdots \circ U_n\), où \(U_i\) est le \(u = 1 \otimes \cdots \otimes 1 \otimes \ill{}\) ligne lourdement biffée produit tensoriel de \(n\) opérateurs, tous égaux à l'identité sauf le \(i\)-ème égal à \(u_i\). Mais […] Prenons par […] Mais, \(u \otimes 1 \otimes \cdots \otimes 1\), où \(A \in L(E_1, F_1)\), la première façon la plus simple […] identifions \(E_i\) […] avec \(l^{2}(A_i)\), alors \(F_i\) […] avec […], \(\bigotimes^{(2)}_{1 \leq i \leq n} E_i\) est identifié à […] \(l^{2}(A_1 \times \cdots \times A_n)\) […] \(E_1\) et identifié […] \(l^{2}(A_1 \ldots\) […] \(F_1 \otimes^{(2)} E_2 \otimes^{(2)} \cdots \otimes^{(2)} E_n\) les cinq lignes de « \(A \in L(E_1,F_1)\) » à « \(F_1 \otimes E_2 \otimes \cdots\) » sont enfermées dans une longue boucle […] en vertu de l'associativité du produit tensoriel hilbertien, on est ramené au cas de deux facteurs \(E_1\) et \(E_2\), \(F_1\) et \(F_2 = E_2\), et à \(A_1 \in L(E_1, F_1)\), \(A_2 = 1\). Mais alors, identifiant \(E_1 \otimes^{(2)} E_2\) à \(L^{(2)}(\bar{E}_1, E_2)\), \(F_1 \otimes^{(2)} E_2\) à \(L^{(2)}(\bar{F}_1, E_2)\), on est ramené à prouver que pour tout \(u \in L^{(2)}(\bar{E}_1, E_2)\), on a \(u \circ {}^{t}\!A \in L^{(2)}(\bar{F}_1, E_2)\) lecture incertaine de l'opérateur composé avec \(u\) ; un \(A\) affecté d'un signe, transposé ou adjoint, et \(\|u\, {}^{t}\!A\|_2 \leq \|u\|_2\, \|A\|\), ce qui n'est en effet que la formule (17) du N° 1 ainsi sur la page ; la formule (17) est celle du N° 2 ci-dessus. Par suite, l'application \(u_1 \otimes \cdots \otimes\) Par suite \(\bigotimes u_i\) […] se […] prolonge en une application de \(\bigotimes^{(2)}_{1 \leq i \leq n} E_i\) dans \(\bigotimes^{(2)} F_i\), de norme \(\leq\) […] (indiquée dans […]), de la même façon. En particulier ceci s'applique lorsque tous les \(E_i\) sont un même espace de Hilbert \(E\), considérons […] espaces de Hilbert \(E_i \ldots E_n\) \(\bigotimes^{(2)} E\) Posons encore […] Posons […] \[\text{(3)}\qquad a_n = \frac{1}{n!} \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} \varepsilon_\sigma\, \sigma\] le \(\varepsilon_\sigma\) est marqué au crayon rouge ; le groupe symétrique est un S gothique où le second membre est considéré comme opérateur dans \(\bigotimes^{n\,(2)} E\) « \(\otimes\) » avec « \(n\) » et « (2) » en exposant (\(\varepsilon_\sigma\) signe de la permutation \(\sigma\)). […] au calcul, on trouve […] : la phrase se poursuit page 60

60[…], l'opérateur \(a_n\) « \(a_n\) » en interligne est […] dans \(\bigotimes^{(2)}_{1 \leq i \leq n} E_i\) […] […] que \(a_n\) est évidemment un projecteur hermitien (car il est hermitien, et on sait que […] \(a_n^{2} = a_n\) on a la […] propriété connue algébrique […] formule, par définition, qui est dense), d'ailleurs hermitien (noter que l'adjoint de l'opérateur de \(\sigma\) est \(\sigma^{-1}\), à cause de la formule \[(a_{\sigma 1} \otimes \cdots \otimes a_{\sigma n},\; b_1 \otimes \cdots \otimes b_n) = (a_1 \otimes \cdots \otimes a_n,\; b_{\sigma^{-1} 1} \otimes \cdots \otimes b_{\sigma^{-1} n})\] conséquence immédiate de (1)). […]

Définition. Soit \(E\) un espace de Hilbert, \(n\) un entier \(\geq 0\), on appelle puissance extérieure hilbertienne \(n\)-ième de \(E\) en interligne : « l'espace de Hilbert », et on note \(\Lambda^{n\,(2)} E\) \(\Lambda\) avec « \(n\) » et « (2) » en exposant ; accolade en marge gauche sur la définition, […] le sous-espace de \(\bigotimes^{n\,(2)} E\) formé des […] l'opérateur \(a_n\) défini par (3), muni du produit scalaire et multiplié […] par \(n!\) […] Comme on a aussi la […] sous-espace (ce facteur \(n!\) près) de \(\bigotimes^{(2)} E\) image du projecteur \(a_n\). Pour définition […] si on veut qu'il y a une relation biunivoque pour […] naturelle la puissance extérieure algébrique \(\Lambda E\) dans \(\Lambda^{(2)} E\), dont l'image est identique à l'image de \(\bigotimes E\) dans \(\bigotimes^{(2)} E\). On identifie donc \(\Lambda E\) à une partie de \(\Lambda^{(2)} E\), dense dans ce dernier […] de plus dense dans \(\Lambda^{(2)} E\). […] […] préhilbertien […] est le complété de \(\Lambda E\) […] \(\Lambda E\) s'explicite aisément sur les multivecteurs décomposables trait ondulé au crayon rouge sous cette ligne : Posons \(A = a_1 \otimes \cdots \otimes a_n\), \(B = b_1 \otimes \cdots \otimes b_n\), on a \[\struck{(a_1 \wedge \cdots \wedge a_n,\; b_1 \wedge \cdots \wedge b_n) = \Bigl(\frac{1}{n!}\Bigr)^{2} \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} \varepsilon_\sigma\, \sigma\, a_1 \ldots}\] ligne biffée d'un trait, le facteur \((1/n!)^{2}\) cerné \[(a_1 \wedge \cdots \wedge a_n,\; b_1 \wedge \cdots \wedge b_n) = n!\,(a_n A,\; a_n B) = n!\,(A,\; a_n^{2} B) = n!\,(A,\; a_n B)\] \[= \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} \varepsilon_\sigma\, (a_1, b_{\sigma 1}) \cdots (a_n, b_{\sigma n}) = \det\bigl((a_i, b_j)\bigr), \qquad \text{donc}\] […] […] […] ( la page, et le lot, s'arrêtent sur cette parenthèse ouverte