Produits tensoriels hilbertiens
Titre de sa main, en tête de la page 43, sous une ligne de plan « 1. Rappels et notations. Opérateurs de Fredholm » ; ce N° 2 court des pages 43 à 57. Il écrit le produit tensoriel hilbertien \otimes avec un petit « (2) » au-dessus du signe ; ce « (2) » est rendu ici en exposant, \otimes^{(2)}. Les classes d'opérateurs de Hilbert-Schmidt et de Fredholm sont écrites tour à tour L^{(2)}, L^{2}, L^{(1)}, L^{1} ; uniformisées en L^{(2)}(E,F) et L^{(1)}(E,F).
1. Rappels Opérateurs de Fredholm les mots « Opérateurs de Fredholm » sont soulignés au crayon orange
2. Produits tensoriels hilbertiens. Des Fredholm et des Hilbert-Schmidt titre souligné deux fois ; en interligne au-dessous : « Tout le contenu de ce N° est classique », avec « vraiment » ajouté au-dessus
Soit E un espace de Banach (sur le corps des nombres complexes), désignons par \bar{E} l'espace \bar{E} \lambda \bar{x} = \overline{\bar{\lambda} x} lecture incertaine des barres de conjugaison sur cette formule On a bien là une structure d'espace vectoriel, et les fonctions \|x\|
F application E dans F E dans F, G E, F, G trois (x,y) \to u(x,y) bloc de quatre lignes biffé d'un trait ondulé et de traits obliques bilinéaire de E \times \bar{E} sesquilinéaire si elle est linéaire en x, antilinéaire en y ; il revient au même de dire que c'est une application bilinéaire de E \times \bar{F} dans G. Une application sesquilinéaire correspond donc à une application linéaire de E \otimes \bar{F} dans G. en fin de ligne, à droite : « N.b. aussi L(E,\bar{F}) = \overline{L(E,F)} », lecture incertaine
B \|x\| deux lignes biffées de zigzags au bas de la page
en marge gauche, le long d'un trait oblique, sur plusieurs lignes : \bar{E} E' (x,y)
Notons que pour deux espaces vectoriels E, F, on a un isomorphisme canonique
\text{(2)}\qquad \overline{E \otimes F} = \bar{E} \otimes \bar{F}
En effet, l'application (\bar{x}, \bar{y}) \to \overline{x \otimes y} de \bar{E} \times \bar{F} le signe entre \bar{E} et \bar{F} est surchargé dans \overline{E \otimes F} est manifestement bilinéaire, donc se prolonge en une application linéaire \bar{E} \otimes \bar{F} \to \overline{E \otimes F}. On vérifie alors aussitôt, au moyen de bases dans E et F par exemple, que c'est un isomorphisme du premier espace sur le second.
Supposons Rappelons, préhilbertien un espace vectoriel E, muni d'une forme sesquilinéaire sur E \times E, x, y notée (x,y), satisfaisant à la condition (x,x) \geq 0 pour tout x. Alors E \otimes \|x\| = \sqrt{(x,x)} est une semi-norme sur E, et E est dit un espace de Hilbert si E est séparé et complet pour cette norme. Soit préhilbertiens . On peut définir sur E \otimes F une structure préhilbertienne d'une : on doit définir une forme linéaire sur (E \otimes F) \otimes \overline{E \otimes F} ; d'après (2), isomorphe canoniquement à (E \otimes \bar{E}) \otimes (F \otimes \bar{F}), il faut donc définir une forme linéaire sur , on prend
la phrase se poursuit page 47, après la reprise de la page 45
dans un cercle, en bas à gauche : « Introduire E \otimes F \subset L(\bar{E}, F) puis \operatorname{Tr}(v^{*}u) directement »
en marge gauche, sideways, le long de traits obliques, un brouillon de ce que la page 45 écrit au net : y \in E (x,y) E E' ; (3) E' = \bar{E} (E ) ; \|\bar{x}\| =
les cinq premières lignes du feuillet, plus étroit, reprennent mot pour mot le début de la page 44, de « Notons que » à « \bar{E} \otimes \bar{F} \to \overline{E \otimes F} » ; elles ne sont pas répétées
Notons maintenant que si E est un espace préhilbertien, alors la fonction (\bar{x}, \bar{y}) \to \overline{(y,x)} sur \bar{E} \times \bar{E} est une forme sesquilinéaire ; qui sera notée (\bar{x}, \bar{y}) ; qui \bar{E} est
forme quatre fois linéaire sur E \times \bar{E} \times F \times \bar{F}. Pour ceci Ceci revient par suite à définir dans E \otimes F une structure préhilbertienne une forme sesquilinéaire, Montrons que Montrons que cette forme définie positive est une forme définie positive,
i.e. que (u,u) \geq 0 (u,u) = 0 \Longleftrightarrow u = 0. Soit (e_i)_{i \in I} une base orthonormale dans E, (f_j)_{j \in J} dans F, alors (e_i \otimes f_j)_{(i,j) \in I \times J} bloc de trois lignes biffé d'un trait ondulé
En effet, si u, v \in E \otimes F, alors u u, v \in E_0 \otimes F_0, où E_0 et F_0 Prenons alors une soit (e_i) en interligne une base orthonormale dans E_0, une autre (f_j) dans F_0, u = \sum alors (e_i \otimes f_j) est une base de l'espace vectoriel , et on voit sur (5) que
\text{(6)}\qquad (e_i \otimes f_j,\; e_{i'} \otimes f_{j'}) = \delta_{(i,j),(i',j')} \qquad (\text{indice de Kronecker}),
ce qui prouve que (u,v) induit sur E_0 \otimes F_0 une forme définie positive. Comme E \otimes F est réunion des espaces E_0 \otimes F_0, il s'ensuit que (u,v) est définie positive.
Définition. Soient E, F deux espaces de Hilbert. On appelle produit tensoriel hilbertien de E et F, et on note E \otimes^{(2)} F, le complété de l'espace E \otimes F préhilbertien
la phrase se poursuit page 48
préhilbertien E \otimes F, si u \in E \otimes^{(2)} F on note \|u\|_2 ligne serrée entre les lignes, biffée E \otimes^{(2)} F devient un espace de Hilbert.
Prop 1. Soient E et F deux espaces de Hilbert. Si x \in E, y \in F, \|x \otimes y\|_2 = \|x\|\,\|y\|. 2) Soit Soit (e_i)_{i \in I} une base orthonormale dans E, (f_j)_{j \in J} une base orthonormale dans F, alors (e_i \otimes f_j)_{(i,j) \in I \times J} est une base orthonormale dans E \otimes^{(2)} F. l'énoncé est embrassé d'une accolade en marge gauche
En effet, d'après (6), le système (e_i \otimes f_j) est orthonormal, dense E \otimes^{(2)} F
les quatre premières lignes de la page sont enfermées dans une longue boucle partant du haut à gauche ; « Th 1 » et un premier « Exemple » y sont biffés
L'exemple le plus important de produit tensoriel hilbertien est donné par le Th 1 Soit E un espace de Hilbert, \mu une mesure positive sur un espace localement compact M, considérons L^{2}(\mu), et l'espace de Hilbert
ExempleSoit Soit M un espace localement compact, \mu une mesure positive sur M, considérons l'espace de Hilbert L^{2}(\mu) (où (\varphi, \psi) = \int \varphi\,\bar{\psi}\, d\mu). Plus généralement, si E est un espace de Hilbert, L^{2}_{E}(\mu) désigne l'espace des fonctions sur M à valeurs dans E, de carré intégrable, muni de la norme
\text{(9)}\qquad \|f\|_2 = \Bigl(\int \struck{\ill{}}\, \|f(t)\|^{2}\, d\mu(t)\Bigr)^{1/2}
qui en fait un espace de Banach () et même un espace de Hilbert ; le produit scalaire étant défini par la forme sesquilinéaire
\text{(10)}\qquad (f, g) = \int \langle f(t), g(t)\rangle\, d\mu(t)
dont L^{2}_{E}(\mu) est un espace de Hilbert. On a une application bilinéaire (\varphi, a) \to \varphi.a de L^{2}(\mu) \times E dans L^{2}_{E}, d'où une application linéaire L^{2} \otimes E \to L^{2}_{E} en interligne : « u \to \tilde{u} », dont l'image est dense dans L^{2}_{E}. c'est un isomorphisme préhilbertien , i.e. (\varphi.a, \psi.b) = (\varphi, \psi)(a, b), i.e. (\widetilde{\varphi \otimes a}, \widetilde{\psi \otimes b}) = (\varphi \otimes a, \psi \otimes b), d'où (\tilde{u}, \tilde{v}) = (u, v) pour tout u, v \in L^{2} \otimes E.
On en conclut le
Théorème 1. suivi d'un signe cerclé Soit E un espace de Hilbert, \mu une mesure positive sur un espace localement compact, on a un isomorphisme canonique d'espaces hilbertiens
\text{(11)}\qquad L^{2}(\mu) \otimes^{(2)} E = L^{2}_{E}(\mu)
l'énoncé est embrassé d'une accolade en marge gauche, comme les deux corollaires
Corollaire 1. I étant un ensemble quelconque d'indices, E un espace de Hilbert, on a un isomorphisme canonique
\text{(12)}\qquad l^{2}(I) \otimes^{(2)} E = l^{2}_{E}(I)
qui à fait correspondre
Corollaire 2. Soient M, N deux espaces localement compacts, \mu, \nu des mesures positives dessus, alors on a un isomorphisme canonique d'espaces hilbertiens
\text{(13)}\qquad L^{2}(\mu) \otimes^{(2)} L^{2}(\nu) = L^{2}(\mu \otimes \nu)
(où \mu \otimes \nu est le produit sur M \times N). En effet, par définition L^{2}(\mu \otimes \nu) = L^{2}_{L^{2}(\nu)}(\mu), et on applique deux fois le th. 1. En particulier, L^{2}(\mu) et L^{2}(\nu) l^{2}(I) et l^{2}(J), retrouve la prop. 1.
Soient maintenant E et F deux espaces de Hilbert, à E' = \bar{E},
Montrons que (15) Comme quatre lignes biffées en tête de page (d'après la seconde (15) la seconde) l'espace préhilbertien Nous ne distinguerons pas par la notation \bar{E} \otimes^{(2)} F et les opérateurs qu'ils définissent
Définition 2. Soient E et F deux espaces de Hilbert. On appelle opérateur de Hilbert-Schmidt de E dans F
hilbertienne définie par celle de \bar{E} \otimes^{(2)} F, sera noté L^{(2)}(E,F) en interligne : « L^{(2)}(E) si F = E » ; de Hilbert-Schmidt, on écrira si u \in L^{(2)}(E,F) sa norme \|u\|_2. On a donc
\text{(16)}\qquad \|u\|_{\infty} \leq \|u\|_2
Les opérateurs de Hilbert-Schmidt sont des applications compactes dans L(E,F) de , c'est même un opérateur compact dans les opérateurs (u_{ij}) . Si bases orthonormales (e_i), (f_j), alors la matrice et on a donc \|u\|_2 = \bigl(\sum |u_{ij}|^{2}\bigr)^{1/2} (matrices de Hilbert-Schmidt). Pour les on peut identifier \bar{E} \otimes^{(2)} F et L^{(2)}(E,F).
au crayon, en marge gauche, en oblique : « (mais aussi \|u\| \|\bar{u}\| ) »
Théorème 2. Soient E et F deux espaces de Hilbert, soit u une H.-S. application linéaire continue de E dans F. accolade en marge gauche
1) Si u est un opérateur de H.-S.,
2) Pour que u soit un opérateur de Hilbert-Schmidt, il faut et il suffit que u^{*} soit un opérateur de H.-S. et alors \|u\|_2 = \|u^{*}\|_2 encadré au crayon rouge. Plus précisément, si F et E). (On a, pour u, v \in L^{(2)}(E,F)
\text{(18)}\qquad \struck{(u, v) = (v^{*}, u^{*})}
ligne encadrée au crayon rouge puis biffée d'un trait ondulé ; suivie de « cor. dans E) »
Th. 3. Soit h = \sqrt{u^{*}u} « (u^{*}u) » en interligne Pour que u soit un opérateur de H.-S., il faut et il suffit que soit deux lignes biffées, avec « (") » en interligne que les valeurs propres (\rho_i) de u soient telles que \sum \rho_i^{2} < +\infty. Alors,
\text{(19)}\qquad \|u\|_2 = \|u^{*}\|_2 = \Bigl(\sum \rho_i^{2}\Bigr)^{1/2}
encadré au crayon rouge
Corollaire 1. u H.-S. \Longleftrightarrow u^{*}u Fredholm, et on a \|u\|_2 = \sqrt{\operatorname{Tr} \struck{\ill{}}\, u^{*}u} = \sqrt{\|u^{*}u\|_1}.
en marge gauche, en oblique, l'amorce du même énoncé : « Corollaire », « u H.-S. \Longrightarrow », « \|u\|_1 » ; au crayon, au-dessous : « (Condition ) »
Démonstration. Il suffit 1) Prouvons par exemple que Au est un opérateur de Hilbert-Schmidt si u l'est, et que \sum \|Aue_i\| \sum \|Aue_i\|^{2} \leq \struck{\ill{}} \sum \|A\|^{2} \struck{\ill{}} \|ue_i\|^{2} = \|A\|^{2} \sum \|ue_i\|^{2}, d'où \sum \|ue_i\|^{2} (?). = E \otimes^{(2)} \bar{F}, donc : \bar{F} \otimes^{(2)} E. \bar{E} \otimes F L^{(2)}(E,F) sur L^{(2)}(F,E), et on vérifie aussitôt que cette application est donnée par u \to u^{*} (u \in L^{(2)}(E,F)), d'où 2).
3) On sait qu'il existe u = Uh, où U est une isométrie partielle de E dans F, et h = Vu, où V est une application partiellement isométrique de F dans E. On en conclut, par 1), que
que la une base orthonormale de E, la dans avec la matrice diagonale ,
Les relations entre opérateurs de H.-S. et opérateurs de Fredholm sont exprimées dans le
Th 3. ce théorème porte le même numéro que le Th. 3 de la page 52 ; le « 3 » est surchargé Soient E et F deux espaces de Hilbert. L'application linéaire canonique de \bar{E} \otimes^{(2)} F dans L(E,F) est biunivoque. Pour qu'une application linéaire u de E dans F soit application de Fredholm, il faut et il suffit que h = \sqrt{u^{*}u} le soit Pour Pour ceci, il faut et il suffit que les valeurs propres (\rho_i) soit compact et que les valeurs propres de h soient sommables, et alors : \sum \rho_i < +\infty, et alors deux lignes biffées, la première tachée de rouge ; accolade en marge gauche sur l'énoncé
Que u et h soient simultanément de Fredholm, et que \|u\|_1 = \|h\|_1, résulte du fait qu'on a u = Uh, h = Vu, avec \|U\| \leq 1, \|V\| \leq 1. s'il en est donc h = \sum \lambda_i\, \bar{a}_i \otimes a_i de la forme \sum \rho_i\, \bar{a}_i \otimes a_i le \rho corrigé sur un \lambda, où les (a_i) forment un système orthonormal, les \rho_i sont les valeurs propres de h. Soit p_n le projecteur de E sur l'espace engendré par les a_1, \ldots, a_n, on aura donc
\sum_{1}^{n} \rho_i = \operatorname{Tr} p_n h \leq \|p_n h\|_1 \leq \|h\|_1,
d'où \sum \rho_i \leq \|h\|_1 \leq \|u\|_1. Réciproquement, supposons
la phrase se poursuit page 55
en marge gauche, sideways, reliée par une boucle aux deux lignes biffées de l'énoncé : « dans 2 premières ; des théorèmes ; d'où signalé de la fin des ; § 1, N° 1, (petites corrections) » ; au crayon rouge, un « ? »
le et la série de ses valeurs propres « (\rho_i) » en interligne h = \sum \rho_i\, \bar{a}_i \otimes a_i, où (a_i) orthonormal, d'où \|h\|_1 = \sum \rho_i\, \|a_i\|^{2} = \sum \rho_i, ce qui prouve que h est de Fredholm, et on a (20). Le cas où l'on remplace h par h' = \sqrt{uu^{*}}, on peut soit directement, soit par application du fait que
Corollaire 1. Les opérateurs de Fredholm de E dans F sont exactement les 2. Tr de
Corollaire 2. Si u est un opérateur de Fredholm de E dans F,
\text{(23)}\qquad \|u\|_1 = \sup_{\|A\| \leq 1} |\operatorname{Tr} Au| \qquad (A \in L(F,E))
le numéro est cerclé ; « \|A\| \leq 1 » est ajouté en interligne (car , le dual de E' \otimes^{(2)} F = B(E', F) \approx L(F,E)) coche au crayon rouge
Th. 4. Soient E, F, G trois espaces de Hilbert, u \in L^{(2)}(E,F), v \in L^{(2)}(F,G). Alors vu \in L^{(1)}(E,G), et
en marge gauche, sideways, sur une dizaine de lignes, des corollaires en brouillon : « Utiliser aussi ; Corollaire 3 par le th. 2, puis (19), ; pour que u soit que u^{*}u soit un opérateur de Fredholm, et alors (23) \|u\|_2 = \sqrt{\operatorname{Tr}(u^{*}u)} ; = \sqrt{\|u^{*}u\|_1} ; Corollaire L^{(1)}(E,F) = \bar{E} \otimes F \subset E' \otimes^{(2)} F L^{(2)}(E,F) L^{(1)}(E) » ; le (23) de la marge n'est pas celui du corps de la page
De plus, si u, v \in L^{(2)}(E,F), on a
\text{(25)}\qquad (u, v) = \operatorname{Tr} uv^{*} = \operatorname{Tr} v^{*}u
le numéro est cerclé, la formule encadrée
Démonstration. Pour prouver (24), il suffit par raison de continuité on d'après (22), on a |\operatorname{Tr} Avu| \leq \|Av\|_2\, \|u\|_2 pour A \in L(G,E), \|A\| \leq 1. Comme \|Av\|_2 \leq \|A\|\,\|v\|_2 (formule (17)), on en conclut, prenant le sup en A en interligne : « posons w = v^{*} », (v \in \struck{\bar{E} \otimes F}) en interligne, cerné : « (v \in E' \otimes F) », \|v\| = \|v^{*}\|_2, d'où v^{*} |\operatorname{Tr} v^{*}u| \leq \|v^{*}\|_2\, \|u\|_2. Mais résulte de (25), puisque |(u,v)| \leq \|u\|_2\, \|v\|_2. Reste à prouver (25) ; par raison de continuité, il suffit de le faire lorsque u, v sont de rang fini, et même lorsque Ou Or le prouver lorsque fini est trivial : lorsque est
u = \bar{a} \otimes b, \quad v = \bar{a}' \otimes b', \quad \text{d'où}\quad v^{*} = \bar{b}' \otimes a',
v^{*}u = (b, b')\, \bar{a} \otimes a', \qquad \struck{uv^{*} = (a', a)\, \bar{b} \otimes \ill{}} \qquad \text{d'où}
(u, v) = (\bar{a}, \bar{a}')\,(b, b') = \struck{(a^{*}, a')}\,(b, b'), \qquad \operatorname{Tr} v^{*}u = (a', a)\,(b, b').
au-dessus du facteur biffé, en interligne : « (a', a) »
Comme \operatorname{Tr} v^{*}u = \operatorname{Tr} uv^{*} (
Corollaire 1. Pour que u \in L(E,F) soit Alors
\text{(26)}\qquad \|u\|_2 = \sup_{\|v\|_2 \leq 1} |\operatorname{Tr} vu| \qquad (v \in L^{(2)}(F,E))
En effet, de la prop. la condition est nécessaire, et d'autre part la formule (25) s'écrit
\|u\|_2 = \sup_{\|w\|_2 \leq 1} |\operatorname{Tr} w^{*}u| \qquad (w \in L^{(2)}(E,F))
ce qui résulte immédiatement de \operatorname{Tr} w^{*}u = (u, w). Réciproquement, supposons que vu \in L^{(1)}(E,E) pour
Corollaire 2. Pour que u \in L(E) soit opérateur de Fredholm, il faut et il suffit qu'il soit de la forme u = vw, où u, v \in L^{(2)}(E) sic : u, v sur la page, là où l'on attend v, w, et on peut choisir \|v\|_2 = \|w\|_2 = \sqrt{\|u\|_1} les lettres u, v, w se confondent dans cette ligne ; lecture d'après le sens ; accolade en marge gauche sur l'énoncé. Il suffit d'écrire, si u \in L(E) , résulte du th. 4 la \|u\|_1 u = vW. ; \|v\|_2\, \|W\|_2 \leq \|u\|_1.
la page s'arrête sur cette ligne