Cote n° 1 · batch 1 · pages 1–20 · Transcription · Analyse fonctionnelle : notes manuscrites (s.d.), lettre (1953)
Datation de l’inventaire : 1953
Édition de démonstration

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Plan des notes

Titre de l'éditeur. La page 2 est le plan, de sa main, des sept numéros dont les pages 6 à 20 donnent les quatre premiers.

2Le feuillet, plié en deux, porte dans sa moitié supérieure le plan des notes, de sa main : sept numéros, deux fois renumérotés — le « N° 5 » primitif est biffé, le « 6 » suivant corrigé en 5, le « 7 » final surchargé.

Endomorphismes d'une \(C^{*}\)-algèbre permutables aux translations

Titre de l'éditeur : le feuillet n'en porte aucun. Les pages 3 à 5, à l'encre bleue sur feuillets pliés, forment un fragment distinct des notes sur les réarrangements : \(C\) est une \(C^{*}\)-algèbre, \(C''\) son bidual, \(R\) une algèbre de von Neumann où \(C\) est plongée, et le fragment identifie l'algèbre \(\Gamma\) des \(u \in C''\) tels que \(uC \subset C\), \(Cu \subset C\) à l'algèbre \(\Gamma_1\) des \(x \in R\) de même propriété. La main est rapide ; les formules passent, la prose entre elles souvent non.

3Les feuillets portent, au crayon de l'archiviste, une numérotation qui court de deux en avance sur la position dans la cote à partir d'ici : ce feuillet porte 5, le suivant 6, et ainsi de suite jusqu'à 22 pour le dernier du lot. Les numéros employés pour page sont ceux de la position, que compte l'inventaire (149 pages) et que suit le fac-similé.

Soit \(C\) une \(C^{*}\)-algèbre, […] déterminer les endomorphismes linéaires continus \(T\) […] aux translations à gauche. Soit \(T\) une telle, son bitransposé \(T''\) est un endomorphisme [de \(C''\)] […] permutable […] aux translations \(x \to xy\) (\(y \in C\)) […] pour \(y \in C\), donc pour tout \(y \in C''\) (\(T''(xy) = T''(x)\,y\)) […] […] une ligne interpolée au-dessus et à droite, non lue. Donc de la forme \(x \to ux\) (\(u \in C''\)), […]. […] : l'ens. \(\Gamma_g\) des \(u\) de \(C''\) tels que \(uC \subset C\). On voit donc que l'ensemble d'endomorphismes considéré est isomorphe, avec sa structure d'algèbre normée, à \(\Gamma_g\). […] « hermitien » signifie \(x^{*}T(x)\) hermitien pour tout \(x \in C\) ; « positif » signifie \(x^{*}T(x) \geq 0\) pour tout \(x \in C\). Soit […] \(\Gamma\) l'ens. des \(u \in C''\) tels que \(u\underline{C} \subset \underline{C}\), \(\underline{C}u \subset \underline{C}\) le \(C\) est ici souligné, à quatre reprises. C'est une sous-\(C^{*}\)-algèbre involutive. […] hermitien à \(\Gamma_g\) […] dans \(\Gamma\).

Supposons maintenant \(C\) plongé dans la \(C^{*}\)-algèbre \(R\), et soit \(\Gamma_1\) l'ens. des \(x \in R\) tels que \(xC \subset C\), \(Cx \subset C\), c'est une sous-\(C^{*}\)-algèbre de \(R\). Pour tout \(u \in \Gamma_1\), soit \(\varphi(u)\) l'élément de \(C''\) correspondant : l'endomorphisme \(T_u x = ux\) dans \(C\). Si \(u\) hermitien, \(\varphi(u)\) est hermitien, donc dans \(\Gamma\), donc pour tout \(u \in \Gamma_1\), \(\varphi(u) \in \Gamma\). De plus, \(\varphi\) est évidemment une représentation d'algèbres, compatible avec l'involution (car […]

4transforme hermitiens en hermitiens). Cela donne […] vérification un isomorphisme entre \(\Gamma\) et \(C'\), partiel […]. Car on a \[\varphi(a) = \lim_{x \to 1} ax = \lim_{x \to 1} xa,\] sous chaque \(\lim\), en trois lignes : « \(x \to 1\) », « filt », « \(C\) » — le filtre des unités approchées de \(C\), nommé ainsi plus bas ; sous le premier, une première version est raturée d'où l'on tire […] donc (") d'où \[\varphi\langle a, f\rangle = \lim_{x \to 1} \langle ax, f\rangle\] (\(a \in \Gamma_1\), \(f \in C'\)), et […] compte tenu […] compte tenu de […], involution […], et prolonge […] donné […] sur \(\mathbf{C} \times C'\).

Supposons maintenant […] de Neumann, ajouté au-dessus : « et \(C\) dense dans \(R\) » d'où une application canonique \(\psi : C'' \to R\) (en identifiant \(C''\) […] l'adhérence faible de \(C\) dans \(R\)). Évidemment \(\psi(\Gamma) \subset \Gamma_1\). D'autre part, prouvons \(\varphi\psi\struck{(u)} = 1\) sur \(\Gamma\), car soit \(u \in \Gamma\), […] et \(v = \psi(u) \in \Gamma_1\), […] pour tout \(f \in R_{*}\) \[\langle v, f\rangle = \langle u, f_1\rangle\] (\(f_1\) image de \(f\) dans \(C'\) ; […] on identifie \(R_{*} \subset C'\)). J'affirme que \(\langle v, f\rangle = \langle \varphi(v), f_1\rangle\) [[…] ceci prouve \(\varphi\psi\) \(\varphi(v)\) […] \(u\) orthogonal […] : \(R_{*}\)] cela se voit facilement sur \(\langle \varphi(v), f_1\rangle = \lim_{x \to 1} \langle vx, f\rangle\) on prend ici le filtre des unités approchées […] le cas de \(\mathbf{C}\). On est ramené à prouver : un élément de \(\underline{\Gamma}\) orthogonal à \(R_{*}\) est nul (i.e. dans l'image dans \(R\) est \(0\)) est nul. C'est immédiat

5car si \(x\) est un tel élément, alors pour \(y \in C\) […] \(\varphi(xy) = \varphi(x)y = 0\), d'où (comme \(xy \in C\), d'où \(\varphi(xy) = xy\)) \(xy = 0\), et ceci pour tout \(y \in C\), d'où \(x = 0\). — Donc \(\varphi\) est un isomorphisme de \(\Gamma\) dans \(\Gamma_1\), […] et \(\psi\) l'inverse « et \(\psi\) l'inverse » est écrit sur le passage biffé. […] Plus précisément, prouvons que \(\psi\varphi = 1\), soit donc \(u \in \Gamma_1\), \(\varphi u = v \in C''\) est donné par \(\langle v, f\rangle = \langle u, f\rangle\) (\(f \in C'\)) tandis que \(\psi v\) est donné par \(\langle \psi v, f\rangle = \langle v, f_1\rangle\) (\(f \in R_{*}\)) i.e. \(\langle \psi v, f\rangle = \langle u, f_1\rangle\) (\(f \in R_{*}\)), d'autre part […] […] \(\langle u, f_1\rangle = \langle u, f\rangle\), d'où \(\langle \psi v, f\rangle = \langle u, f\rangle\), i.e. \(\psi v = u\). CQFD.

Mesures spectrales et réarrangements de fonctions

Titre de sa main en tête de la page 6 ; c'est le « N° 1 » du plan de la page 2. Une main postérieure a entouré au stylo bille bleu le numéro de la proposition 1.

6\(|M|\), \(L^{1}(M)\), \(L^{\infty}(M)\) ; \(K(M)\), \(K^{\infty}(M)\), \(C_0(M)\) ; […]

Soit \(f\) une fonction mesurable complexe sur l'espace mesuré \(M\) (muni de la mesure \(m\)). On dit que \(f\) admet une mesure spectrale si l'image de \(m\) par \(f\) sur […] existe. Cela signifie donc aussi que pour \(0 < a < b < +\infty\), \(|f|^{-1}([a,b])\) est intégrable (donc cette condition ne dépend que de \(|f|\)). Cette mesure sur \(\underline{\mathbf{C}^{*}}\) est appelée mesure spectrale de \(f\), et notée \(\mu_f\) : \[\begin{align*} \text{(1)}\qquad & \mu_f = f(m) \quad\text{i.e.} \\ \text{(2)}\qquad & \langle \alpha, \mu_f\rangle = \langle \alpha\circ f, m\rangle = \int \alpha\circ f\, dm \end{align*}\] (\(\alpha\) fonction […] fonction continue à support compact sur \(\underline{\mathbf{C}^{*}}\)). \(\mu_f\) est positive. Elle est portée par \(\underline{\mathbf{R}_{*}}\) (resp. par \(\mathbf{R}^{+}_{*}\)) si et seulement si \(f\) est réelle (resp. positive). […] une fonction sur […] espace mesuré \(M\) et une fonction \(g\) sur l'espace mesuré \(N\) sont dites spectralement équivalentes si elles ont même mesure spectrale.

Exemples. Si l'ensemble \(f^{-1}(\ldots)\) […] est intégrable, alors \(\mu_f\) existe et est bornée. C'est en particulier le cas si \(f\) est à support intégrable […] \(m\) est bornée […] \(f \in C_0(M)\), […] deux lignes interpolées ici, à demi effacées : « … pour tout \(\varepsilon\), \(|f|^{-1}(]\varepsilon, +\infty[)\) est intégrable ».

Proposition 1 Une fonction positive décroissante \(\varphi\) sur \(\mathbf{R}^{+}_{*}\) a une mesure spectrale si et seulement si elle est nulle à l'infini ; c'est-à-dire \(\mu_\varphi\) est une mesure positive sur \(\mathbf{R}^{+}_{*}\) telle que \(\int_1^\infty d\mu_\varphi < +\infty\). Réciproquement pour toute mesure positive \(\mu\) sur \(\mathbf{R}^{+}_{*}\) telle que \(\int_1^\infty d\mu < +\infty\), existe une fonction décroissante [positive] \(\varphi\) « positive » ajouté au-dessus de la ligne et une seule (à une fonction […] négligeable près) qui admet \(\mu\) pour mesure spectrale.

On a donc pour presque tout \(t\) \[\text{(3)}\qquad t = \int_s^\infty d\mu(s) \qquad (s = \varphi(t))\,.\]

7les \(t\) exceptionnels étant ceux pour lesquels la […] de […] de (1) est ambiguë, i.e. qui sont […] par la […] telle […], ceux […] tel \(t\). Ainsi \(\varphi\) apparaît comme une fonction inverse de \[s \to \int_s^\infty d\mu(s)\,.\]

Définition

Corollaire Soit \(f\) une fonction mesurable positive sur l'espace mesuré \(M\). Pour que \(f\) soit spectralement équivalente à une fonction décroissante \(\varphi\) sur \(\mathbf{R}^{+}_{*}\), il faut et il suffit que pour tout \(a > 0\), \(f^{-1}([a, +\infty[)\) soit intégrable. Alors \(\varphi_f\) le \(\varphi\) porte un indice raturé est unique et déterminée […] Définition On l'appelle le réarrangement décroissant de \(f\), noté \(\varphi_f\). Si […] \(g\) est une autre fonction mesurable positive, sur un autre espace mesuré \(N\), satisfaisant aux conditions ci-dessus, alors \(f\) et \(g\) sont spectralement […] équivalentes si et seulement si elles ont même réarrangement décroissant. […] une ligne biffée puis cernée d'un trait ; au-dessous, « \(\varphi_f(t)\) est déterminé […] » également biffé \[\text{(4)}\qquad \varphi_f^{-}(t) = \inf_{\substack{E \subset M\\ m(E) \leq t}} \|(1-E)f\|_\infty \qquad \varphi_f^{+}(t) = \inf_{\substack{E \subset M\\ m(E) < t}} \|(1-E)f\|_\infty\] le « \(\leq\) » du premier infimum est surchargé ; sous le second, il est écrit « \(-(E) < t\) » — sans doute un \(m\) mal formé (\(\varphi_f^{-}(t)\) […] \(\varphi^{-}(t) = \lim_{s \to t,\ s < t} \varphi(s)\), \(\varphi_f^{+}(t) = \lim_{s \to t,\ s > t} \varphi(s)\) la seconde formule est écrite au-dessus d'une première version biffée) où on identifie \(E\) avec sa fonction caractéristique. […] à […] : (4). De (4) on tire les […] propriétés suivantes (pour des fonctions mesurables positives […] […] deux lignes biffées, la seconde cernée d'un long trait ; en tête d'une troisième, « mesuré \(M\) », puis l'accolade qui suit) : \[\text{(5)}\qquad \left\{ \begin{array}{ll} \varphi_f \leq \varphi_g & \text{si } f \leq g \\ \varphi_{\lambda f} = \lambda\varphi_f & \text{si } \lambda \geq 0 \\ \varphi_{f^\alpha} = (\varphi_f)^\alpha & \text{si } \alpha \geq 0 \\ \varphi_{f+g} \leq \varphi_f + \varphi_g & \\ \varphi_{fg} \leq \varphi_f\varphi_g & \end{array}\right.\] […] la première […], (si \(\varphi_g\) existe et \(f \leq g\), \(\varphi_f\) existe […] ; \(\varphi_{f^\alpha}\), \(\varphi_{f+g}\) et \(\varphi_{fg}\) existent). « et \(f \leq g\), \(\varphi_f\) » est ajouté au-dessus de la ligne, et \(\varphi_{f^\alpha}\), \(\varphi_{f+g}\) en surcharge

dans une bulle en marge gauche, à hauteur de (4) : \(\int f\,dm = \int s\,d\mu(s)\), d'où \(\int f\,dm = \int \varphi_f\,dt\) ; \(N_p(f) = N_p(\varphi_f)\), etc.

dans une seconde bulle, reliée d'une flèche à la ligne \(\varphi_{f^\alpha} = (\varphi_f)^\alpha\) : […] plus généralement, pour \(\alpha\) croissante […] \(\mathbf{R}_{*}^{+}\) […] \(\varphi_{\alpha(f)} = \alpha(\varphi_f)\) ([…]) […] ; puis, biffées au stylo bleu, deux lignes dont on lit « \(\varphi_{|f|} = \ldots \varphi_f \ldots\) »

Soit \(\varphi\) une fonction décroissante sur \(\mathbf{R}^{+}_{*}\), admettant la mesure spectrale \(\mu_\varphi\). Pour que

8\(\varphi\) soit sommable au voisinage de \(0\), il faut et il suffit qu'il […] et sommable […] \(\int_1^\infty d\mu\) […] \(\int_0^\infty d\mu(s) < +\infty\), i.e. \[\int_1^\infty (s-1)\, d\mu(s) < +\infty, \qquad\text{ou encore}\qquad \text{(6)}\quad \int^\infty s\, d\mu(s) < \struck{\ill{}} +\infty\] la formule (6) est encadrée condition vérifiée quand […] […] Si \(\mu = \mu_f\) […] \(f\) […] sommable, i.e. […] l'espace mesuré \(M\) quand \(\mu = \mu_f\), \(f\) étant une fonction […] sommable […] sur […] Si alors \(\varphi_f\) satisfait […] Si \(\varphi_f\) est sommable au voisinage de \(0\), on pose \[\text{(7)}\qquad \Phi_f(t) = \int_0^t \varphi_f(s)\, ds\] \(\Phi_f(t)\) est une fonction continue concave croissante de \(t\). Considérons \(\log\varphi_f(s)\), c'est une fonction décroissante [continue] « continue » écrit au-dessus du mot biffé, à valeurs dans \([-\infty, +\infty[\). Supposons […] \(\log\varphi_f(t)\) sommable au voisinage de […], i.e. \(\log f\) sommable dans \(f^{-1}([1, +\infty[)\), \(\log\varphi_f(t)\) […] trois lignes biffées, la dernière cernée d'un trait, où l'on lit « \(\int \varphi_f(s)\) … » et « \(\log\varphi_f(t)\) » (à fortiori \(\varphi_f\) […]) […] \[\text{(8)}\qquad \Psi_f(t) = \int_0^t \log\varphi_f(s)\, ds\] le signe \(=\) est surchargé ; au-dessus, un mot raturé Si \(\varphi_f\) ne s'annule pas (i.e. si \(f^{-1}(\{0\})\) n'est pas […] le passage biffé d'un trait épais porte « \(f^{-1}(]0, +\infty[)\) ») fonction positive finie […] intégrable), \(\Psi_f(t)\) est une fonction […] concave. Sinon, si \(t_0 = |f^{-1}(\complement\{0\})|\) le complémentaire est noté d'un \(C\) barré du moins \(\varphi_f\) […], c'est le point à partir duquel \(\Psi_f(t)\) est égal à \(-\infty\). Enfin, on pose \[\text{(9)}\qquad \Delta_f(t) = \exp\Psi_f(t)\] à droite de (9), au stylo bleu et d'une autre main : « \(\exp\Psi_{|f|}(t)\) » ; le même stylo retouche une lettre deux lignes plus bas Sous les conditions envisagées sur \(f\), \(\Delta_f(t)\) est une fonction continue (positive) croissante « croissante » écrit au-dessus positive de \(t\) ; elle ne peut s'annuler que si \(t_0 = |f^{-1}(\complement\{0\})|\) est fini, alors \(\Delta_f(t)\) s'annule à partir de \(t_0\).

Les formules (5) donnent des inégalités correspondantes pour pour \(\Phi_f\), \(\Psi_f\), \(\Delta_f\). Les plus importantes sont \[\begin{align*} \text{(10)}\qquad & \Psi_{fg} \leq \Psi_f + \Psi_g \qquad\text{i.e.} \\ \text{(11)}\qquad & \Delta_{fg} \leq \Delta_f\,\Delta_g \end{align*}\]

9Supposons de nouveau […] \(\varphi_f\) existe. On pose, pour une fonction mesurable positive \[\text{(12)}\qquad \Delta(f) = \Delta_{|f|}(|M|) = \struck{\exp} \int_M \log|f|\, dm\] l'indice \(|f|\) de \(\Delta\) est repassé au stylo bleu par la main postérieure \(\Delta\) existe pour donc \(\Delta(f)\) existe si \(\Delta_f\) existe ssi \(\log|f|\) est sommable sur l'ens. des points où il est positif. \(0 \leq \Delta(f) < +\infty\). \(\Delta\) jouit des propriétés d'un ([module de] « module d… » ajouté au-dessus) déterminant, en particulier \[\text{(13)}\qquad \Delta(fg) = \Delta(f)\,\Delta(g) \qquad \Delta(1) = 1\] un trait ondulé sépare ici le texte

Supposons que \(|M| < +\infty\). On voit aussitôt que si \(f\) est une fonction mesurable positive sur \(M\), admettant un réarrangement décroissant \(\varphi_f\), alors il en est de même \(\varphi_{1+f}(t)\) \[\text{(14)}\qquad \varphi_{1+f}(t) = 1 + \varphi_f^{-}(t) \qquad \text{si } 0 < t \leq |M|\] le « \(1\) » de \(1+f\) et de \(1+\varphi_f^{-}\) est penché et se lit aussi \(\lambda\) ; on garde \(1\), que (16) écrit sans ambiguïté (si \(\varphi_f\) existe ; si non \(|M| = \infty\), \(\varphi_{1+f}\) n'existe pas […] \(f \geq 0\) […] \(1 + \varphi_f(t)\) existe, donc […] donc (14)). Alors \(\log(\varphi_{1+f}) = \log(1 + \varphi_f)\), donc \(\log(1+\varphi_f)\) […] cerné d'un trait fonction positive. Si on suppose que \(\Phi_f\) existe, alors \(\log(1+\varphi_f)\) est sommable au voisinage de \(0\) (et donc […] partout). Ce qui permet de définir \[\text{(15)}\qquad \Delta_{1+f}(t) = \exp\int_0^t \log(1 + \varphi_f(s))\, ds \qquad 0 \leq t \leq |M|\] cette notation est cohérente avec la définition […] Car […] d'ailleurs \[\text{(16)}\qquad \Delta_{1+f}(|M|) = \Delta(1+f)\] un second trait ondulé, et une accolade en marge droite qui embrasse le passage de (14) à (16)

Soit \(\mu\) une mesure positive sur \(\mathbf{R}_{*}\), telle que \(\int_a^\infty d\mu < +\infty\) ([…] ne dépendant […]) en interligne, au stylo bleu : « \(|M| \geq \|\mu\|\) Supposons \(\|\mu\| = \ldots\) ou \(0 \leq \|\mu\| \leq |M| < +\infty\) » ; en marge gauche, dans un ovale biffé, de la même main bleue : « Le mieux : … \(\|\mu\| < +\infty\) ! » (Alors il existe une fonction décroissante […] \(\mathbf{R}_{*}^{+}\) (resp. \(]0, |M|[\) sur \(]0, |M|[\)) parenthèse ajoutée au stylo bleu) […] fonction décroissante \(\varphi\) et une seule sur \(\mathbf{R}^{+}_{*}\) telle que \(\mu_\varphi = \mu\). Cette \(\varphi\) est une fonction positive si et seulement si \(\mu\) est portée par \(\mathbf{R}^{+}_{*}\). Soit maintenant \(f\) telle

10fonction réelle mesurable sur \(M\) telle […] (si \(|M| < +\infty\)) telle que \(\varphi_f\) soit […] partie positive […], il suffit que […] pour \(\varphi_g\) […] bornée, donc que […] \(f\) […] que \(|f^{-1}(\complement\{0\})| < \infty\) trois lignes biffées, la dernière au stylo bleu. Alors il existe une fonction décroissante \(\varphi_f\) et une seule [sur \(]0, |M|[\)] ajouté au stylo bleu, dans l'interligne spectralement équivalente à \(f\). On l'appelle encore le réarrangement décroissant de la fonction réelle \(f\). Le résultat suivant est classique :

Proposition 2 Soient \(f, g\) deux fonctions réelles mesurables sur \(M\), telles (\(|M| < +\infty\)) ajouté au stylo bleu telles que \(fg\) soit sommable, il faut que \(\varphi_f\varphi_g\) le soit, et […]. alors \[\text{(17)}\qquad \int fg\, dm \leq \int_0^{|M|} \varphi_f\varphi_g\, ds\] sous (17), un mot au stylo bleu, non lu ; le reste de la page est blanc

Fonctions de Weyl

Titre de sa main : « 2. Fonctions de Weyl », page 11. De la page 11 à la page 17, l'encre est bleue ; le crayon des marges est d'une autre campagne.

11au crayon, en marge gauche du titre : \(K^\infty\), \(L^\infty(K)\) ; \(\|M\|\) […] ; \(K^\infty_k\) ; […]

Définition 1 Soit \(M\) un espace mesuré \(I = ]0, \omega[\) (\(0 < \omega \leq +\infty\)) écrit au-dessus du passage biffé On appelle fonction de Pólya sur \(M\) [\(I\)] une fonction \(P\) réelle une fonction \(P\) réelle définie sur l'espace \(K^\infty(\bar{I})\) des fonctions mesurables à support compact, ayant les propriétés suivantes :

une accolade à gauche embrasse \(P_1\) à \(P_3\)

En fait, \(P_3\) est équivalente à la condition plus forte […] à savoir :

Il faut montrer que pour tout \(a\), \(P^{-1}([a, +\infty[)\) l'ensemble \(A\) des ajouté au-dessus \(f \in L^\infty(K)\) telles que \(P(f) \leq a\) est […] fermé pour la topologie […] […] Bourbaki […] Dieudonné […] quatre lignes biffées et cernées d'un trait, dont une reprend « \(L^\infty(K)\) » […] ce qui résulte de \(P_3\) il est […] fermé pour la convergence en mesure sur les boules de \(L^\infty(K)\) pour […] mesure. Or on sait que un ensemble convexe […] \(A\) est dit fermé […], […] un ... fermé dans tout […] \(B\) […] Banach, si \(A\) est borné […] fermé dans \(L^\infty(K)\). Il est donc […] fermé dans \(L^1(K)\), donc de plus il est fermé dans \(L^1(K)\) (pour la topologie faible, donc pour […]

12sur \(]0, +\infty[\), si on note […] une fonction \(P\) sur \(K^\infty(]0, +\infty[)\) est une fonction de Pólya si et seulement si pour tout \(0 < \omega < +\infty\), sa restriction à \(L^\infty(]0, \omega[)\) est une fonction de Pólya. — […] Soit […] \(M\) […] \(|M| < \infty\) […] fonction de Pólya […] \(L^\infty(]0, \omega[)\) […] restriction d'une fonction […] \((0 < \omega < +\infty)\) […] \(K^\infty(]0, +\infty[)\) […] Pólya sur […] Soit \(M\) […] sept lignes biffées, cernées de traits qui les relient entre elles ; on y lit encore « \(f \in K^\infty(M)\) »

en marge gauche, de haut en bas : Pólya : \(P(f) = \int \alpha(f)\,dt\) où \(\alpha\) fonction convexe […] ; exemples […] \(x \to e^x\) […] ; […] \(= 0\) si \(x \leq 0\), […] si \(x \geq 0\) ; […] exemples […] \(\to +\infty\) […]

Remarque Fonction de Pólya […] voir définition.

Définition 2 Fonction de Weyl Une fonction réelle définie sur […] est dite […]

Une fonction sur \((K^{\infty})^{+}(]0, +\infty[)\) est dite fonction de Weyl, si ses restrictions à tout \((K^\infty)^{+}(]0, \omega[)\) (\(0 < \omega < +\infty\)) le sont. une accolade à gauche embrasse la définition

Définition […] Weyl sur \(L^{\infty +}(]0, \omega[)\) […] satisfaisant à \(P_1\), \(P_3\), […] [continue pour […]] et […] une fonction croissante sur […]. Une fonction sur \((K^\infty)^{+}(]0, +\infty[)\) est une fonction de Weyl si ses restrictions à tout \((K^\infty)^{+}(]0, \omega[)\) le sont.

[…] les fonctions de Weyl sur \(L^{\infty}(]0, \omega[)\) et les […] fonctions de Pólya sur \(L^\infty(]0, \omega[)\) se correspondent par \(W(\exp f)\) […] \(P\) une fonction de Weyl sur \(L^\infty(]0, \omega[)\) […] \(P(\exp f)\) […], soit \(P(f) =\) […] si \(f\) est une fonction […] \(P(f)\) : […] […] \(\varphi_f\) […] \(0 \leq s \leq \omega\) […] de \(W(\exp f)\), i.e. de […] \(\varphi_f\), si […], de \(f\) […] […] fonction : […] croissante. Alors […] \[W(\exp f) = \sup_i \Bigl( a_i + \int_0^{\omega} \varphi_i\,\varphi_f \Bigr) \qquad \uncertain{P}(f) = \sup_i \Bigl( a_i + \int_0^{\infty} \varphi_i \log\varphi_f \Bigr)\] le premier membre de la première formule est écrit « \(P(\exp f)\) » avec un \(P\) que la ligne suivante fait lire \(W\) ; le \(\varphi_f\) de la première porte un exposant surchargé […] fonction positive telle que […] \(\varphi_i(s) > 0\). Le […] définition des \(W\) […] continues […] semi-continuité pour […], représentation ... ... fonction de Pólya sur les

13parties positives de \(L^\infty(]0, \omega[)\) […] fonction de Weyl. en interligne, cerné : « (ou des […] ci-dessous) »

Exemples de fonctions de Weyl. Soit \(\alpha\) une fonction sur \(\mathbf{R}^{+}\), convexe, nulle à l'origine […] Alors \(\int \alpha(\varphi)\) telle que \(\alpha(\exp s)\) soit fonction convexe de \(s\) (i.e. \(\alpha(s^\lambda t^{(1-\lambda)}) \leq \alpha(s)^\lambda\alpha(t)^{1-\lambda}\)). Alors \[W_\alpha(f) = \int_0^\omega \alpha(\varphi_f) \struck{\ill{}}\] est une fonction de Weyl, croissante si et seulement si \(\alpha\) est croissante. En particulier prenant \(\alpha_p(s) = s^p\) (\(0 < p < +\infty\)) on trouve \[\text{(1)}\qquad W_{\alpha_p}(f) = N_p(f)^p = \int |f|^p \struck{\ill{}}\]

Extension d'une fonction de Weyl croissante Une fonction de Weyl croissante sur \((L^\infty)^{+}(]0, \omega[)\) est considérée comme restriction d'une fonction de Weyl croissante sur \((K^\infty)^{+}(]0, +\infty[)\). Soit \(W\) une fonction de Weyl croissante sur […] Soit \(W\) une telle fonction de Weyl. Soit \(f\) une fonction mesurable […] positive sur un espace mesuré \(M\), on pose pose alors \[W(f) = \sup W(\varphi_g)\] sous le \(W\) du second membre, un indice raturé ; le \(\varphi_g\) est surchargé […] la borne supérieure étant prise sur les fonctions \(g\) […] telles que \(0 \leq g \leq f\). On a […] \(W(f) = W(\varphi_f)\) cerné d'un trait […] si \(|f|\) […] et si \(|f|\) […] définition \(W(f) = W(\varphi_{|f|})\) cerné d'un trait L'ensemble des fonctions \(f\) telles que \(W(f) < +\infty\), […] dérivé, et \(W\) y est […]

14topologie (faible) dans les parties compactes de \(L^1(K)\), […] […] parties compactes de \(L^\infty(K)\). i.e. \(\sigma(L^\infty(K), L^\infty(K))\) sic, le second \(L^\infty\) est surchargé, donc (dans les parties bornées de \(L^\infty(K)\)), pour \(\sigma(L^\infty(K), L^1(K))\). une accolade en marge gauche embrasse ces deux lignes

en diagonale dans la marge gauche, sur six lignes : […] voisinages […] voisinage […]

Considérons maintenant, dans \(\underline{\mathbf{R}} \times L^\infty(K)\), l'ensemble \(A_P(K)\) l'indice de \(A\) est surchargé des couples \((\lambda, f)\) tels que \(\lambda \geq P(f)\). \(P_2\) signifie que \(A_P\) est convexe, \(P'_3\) que \(A_P\) est fermé, donc (Hahn-Banach) \(A_P\) est intersection de demi-espaces fermés, i.e. de demi-espaces […] \(\lambda \geq L_i(f) + a_i\) le \(\lambda\) est surchargé (\(L_i\) forme linéaire continue sur \(L^\infty(K)\), i.e. \(L_i \in L^1(K)\), […] \(a_i \in \underline{\mathbf{R}}\)) d'où \(P(f) = \ill{}\) \[P(f) = \sup_i \bigl( L_i(f) + a_i \bigr).\] En vertu de \(P_1\) on a […] aussi, pour tout \(i\) et tout \(g \in L^\infty(K)\) ajouté au-dessus spectralement équivalent à \(f\), \[P(f) \geq L_i(g) + a_i\] d'où en vertu de prop. 2, prise sur les \(g\) deux lignes cernées d'un trait : \[P(f) \geq \int \varphi_{L_i}\varphi_f + a_i, \qquad \text{Posons } \varphi_{L_i} = \varphi_i :\] \[\text{(1)}\qquad \boxed{\ P(f) = \sup_{i \in I}\ a_i + \int_0^{\omega} \varphi_i\,\varphi_f\ }\] la borne supérieure \(\omega\) de l'intégrale est surchargée ; à droite, un mot raturé

15Feuillet plus petit ; une longue diagonale barre sa moitié inférieure, de (2) jusqu'au bas, sans que l'on puisse dire si elle annule le passage

les \(\varphi_i\) sont des fonctions décroissantes ajouté en interligne, cerné : « […] sur \(]0, |K|]\) » (par […] bornée […] de \(K\)). Réciproquement, si \(P\) est définie sur \(L^\infty(K)\) par une formule (1), \(P\) est une fonction de Pólya. […] \(P\) satisfaisant […] \(P\) est croissante.

en marge gauche, sur deux colonnes sideways, de la même encre. Première colonne : Soit […] de Pólya. Alors \(P\) […] (\(0 < \omega < +\infty\)) […] \(P\) […] \(|K|\) […] fonctions […] Proposition 3 Pour que \(P\) sur \(]0, \omega[\) […] fonction de Pólya, […] (1), […] (fonctions décroissantes \(\in L^1(]0, \omega[)\), […]) […] croissante […] \(\varphi_i\) […]. Seconde colonne : Définition Une fonction de Pólya […] est dite […] : […] […] […]

Alors on voit aussitôt […] fonctions (et réciproquement) […] on peut prendre les \(\varphi_i\) dans (1), […] cerné d'un trait, avec une ligne biffée nulles sur \([|K|, +\infty[\), et […] […] ([…] de \(K\)) […] définie […] \[\text{(2)}\qquad \boxed{\ P(f) = \sup_i\ a_i + \int_0^{\infty} \varphi_i\,\varphi_f\ }\] où les \(\varphi_i\) sont des fonctions décroissantes sur \(\mathbf{R}^{+}\), […] une ligne biffée, cernée avec les mots « sommables » au-dessus […] et […], […] (2) peut s'écrire \[\text{(3)}\qquad P(f) = P^{*}(\varphi_f)\] où \(P^{*}\) est la fonction de Pólya sur \(\mathbf{R}^{+}_{*}\) donnée par \[\text{(4)}\qquad P^{*}(\varphi) = \sup_i \Bigl( a_i + \int_0^{\infty} \varphi_i\,\varphi \Bigr)\]

16Si par exemple […] pour une […] \(\omega\) […] (*), \(W(f) < +\infty\) […] \(f \in L^p(M)\), […] on a \(W(f) = \int_M |f|^p\), donc \(W(f) < +\infty\) équivaut à \(N_p(f) < +\infty\).

Inégalités liées aux fonctions de Weyl

Titre de sa main, page 16 : « 3. Inégalités liées aux fonctions de Weyl fonctions de Weyl » — les mots biffés sont réécrits au-dessus. C'est le « N° 3 » du plan de la page 2.

Soit \(0 < \omega < +\infty\).

Prop 4 Soient \(f, g\) deux fonctions décroissantes sur \(]0, \omega[\) (localement sommables […]), telles que \[\text{(1)}\qquad \boxed{\ \int_0^t f \leq \int_0^t g\ } \qquad\text{pour } 0 \leq t \leq \omega\] Alors pour toute fonction de Pólya [croissante] écrit au-dessus \(P\) sur \(L^\infty(]0, \omega[)\), on a \[\text{(1')}\qquad P(f) \leq P(g)\] en marge, un « ① » cerclé, avec une accolade sur les trois lignes qui suivent (On obtient une réciproque […] d'ailleurs trivialement, à savoir que pour tout \(t\), \(f \to \int_0^t \varphi_f\) est une fonction de Pólya croissante sur \(L^\infty(]0, \omega[)\)).

En vertu de N° 2, (1), il suffit de prouver que \[\int_0^\omega f\varphi \leq \int_0^\omega g\varphi\] pour toute fonction positive décroissante sommable sur \((0, \omega)\). Or cela résulte facilement de (1) par intégration par parties, en posant \(F(t) = \int_0^t f\), […] : \[\text{(3)}\qquad \int_0^\omega f\varphi = [\varphi F]_0^\omega + \int_0^\omega F(-d\varphi) = \varphi(\omega)F(\omega) + \int_0^\omega F(-d\varphi)\] le numéro (2) n'apparaît pas ; une longue accolade en marge gauche embrasse la page de (1') jusqu'ici

Remarque suivi d'un « ① » cerclé, relié d'une flèche à la ligne On voit sur (3) que si \(F(\omega) = G(\omega)\), i.e. \(\int_0^\omega f = \int_0^\omega g\), il n'est pas nécessaire de supposer \(\varphi\) positive dans la conclusion, de sorte que la Prop. 4 […] pour toute fonction de Pólya […] non nécessairement croissante […] des […]

17[…] inégalités […] dans les […] avec […] un […] ([…]).

Corollaire 1 Soient \(f, g\) […] \((K^\infty)^{+}(]0, \omega[)\) […] fonctions positives […] sur \(M\) « sur \(M\) » écrit au-dessus, avec un « \(N\) » raturé telles que \[\text{(4)}\qquad \Delta_f(t) \leq \Delta_g(t) < +\infty \qquad 0 \leq t \leq \omega\] Alors pour toute fonction de Weyl croissante sur […] croissante sur \((K^\infty)^{+}(]0, \omega[)\) on a \[\text{(5)}\qquad W(f) \leq W(g)\,.\] […] sur […] Quitte à remplacer […] on peut supposer \(M = ]0, \omega[\), \(f\) et \(g\) […] […] une ligne cernée d'un trait : « puis […] » \(f\) et \(g\) décroissantes […]. Quitte à […] […] \(0 < \omega < +\infty\), puis […] […] \(f\) […] \(\exp f\), et […] fonctions de Weyl croissantes […] une ligne biffée […] fonctions de Pólya croissantes […] N° 2 […] Prop. 4. […] CQFD le reste de la page est blanc ; « CQFD » est souligné

Mesures spectrales et réarrangements spectraux d'opérateurs

Titre de sa main, page 18 : « 4 Mesures spectrales et réarr[angements] spectraux d'opérateurs. » C'est le « N° 4 » du plan de la page 2. Dans ces trois pages, une main postérieure à l'encre noire corrige \(\Omega\) en \(M\) à chaque occurrence ; on transcrit \(M\) et on signale la première correction.

18Dans tout ce numéro, \(\mathcal{A}\) est une algèbre de von Neumann (algèbre involutive faiblement fermée d'opérateurs dans un espace hilbertien […]). Trace normale ( Une trace sur \(\mathcal{A}\) est une […] fonction \(T\) sur le cône positif \(\mathcal{A}^{+}\) de \(\mathcal{A}\), à valeurs \(0 \leq T(A) \leq +\infty\), additive, positivement homogène telle que \[T(A+B) = T(A) + T(B) \quad\text{et}\quad T(\lambda A) = \lambda T(A)\] (\(A, B \in \mathcal{A}^{+}\), \(\lambda \geq 0\) scalaire ; on pose \(0\cdot(+\infty) = 0\)), et invariante par les transformations unitaires. Alors l'ens. des \(A \in \mathcal{A}^{+}\) tels que \(T(A) < +\infty\) est le cône positif \(\underline{a}^{+}\) ajouté au-dessus d'un idéal bilatère involutif \(\underline{a}\), et \(T\) se prolonge en une forme linéaire sur \(\underline{a}\), notée encore \(T\). On a \[T(AB) = T(BA) \qquad A \in \underline{a},\ B \in \mathcal{A}\] \(T\) est dite semi-finie si […] pour tout \(A \in \mathcal{A}^{+}\), \(A \neq 0\), existe \(A \in \mathcal{A}\), \(A > 0\), existe \(B\) tel que \(0 < B < A\) et \(T(B) \struck{\neq} < +\infty\). \(T\) est dite normale si \[T(\textstyle\sup_i A_i) = \sup_i T(A_i)\] pour toute famille filtrante croissante majorée \((A_i)\) dans \(\mathcal{A}^{+}\). Si \(T\) est normale, la définition […] et seulement si […]. Enfin \(T\) est dite fidèle si \(T(A)\) \(A \in \mathcal{A}^{+}\) \(A \geq 0\), \(T(A) = 0 \Rightarrow A = 0\) […] \(\mathcal{A}\) […]. Dans la suite […] trace normale semi-finie fidèle \(T\) cerné d'un trait, dont l'idéal de définition est \(\underline{a}\) […] idéal bilatère […] définition de \(\underline{a}\). Soit \(\underline{b}\) l'adhérence normique […] de \(\underline{a}\), c'est un idéal bilatère involutif fermé

19Deux longues diagonales barrent la page entière, du haut à droite au bas à gauche, et plusieurs blocs y sont en outre cernés ou biffés ligne à ligne ; le passage est annulé et repris à la page 20. On transcrit ce qui se lit.

[…] tel que \(\underline{b}\) soit un […], i.e. pour […] […] (i.e. […] dans \(\mathcal{A}\)) pour que \(\underline{b} = \mathcal{A}\), il faut et il suffit que \(\underline{a} = \mathcal{A}\), et i.e. que \(T\) soit une trace finie (i.e. \(T(A) < \infty\) pour tout \(A \in \mathcal{A}^{+}\)).

Proposition 1 Soit \(A \in \mathcal{A}\) […] Alors les propriétés spectrales […] de \(\underline{b}\) […] En fait, les propriétés spectrales de \(\underline{b}\) […] déduisent Soit \(E\) un projecteur […] dans \(\underline{a}\) […] pour qu'un projecteur de \(\mathcal{A}\) soit dans \(\underline{a}\), il faut et il suffit que \(T(E) < +\infty\). Or […]

Proposition 1 Soit \(A\) un opérateur normal de \(\underline{b}\), […] hermitien […] \(\underline{C}\) […] de […] \(\underline{a}\). Alors \(f(A) \in \underline{a}\) pour toute fonction […] […] […] \(\underline{a} \subset \underline{b}\), \(\subset\) […] sur \(A\) : un […] \(C_0(\Omega)\). […] définit une […] fonction […] sur \(C_0(\Omega)\). Ceci ... partie positive […] séparations […] caractéristique […] important. Il […] ce bloc, cerné et barré, contient aussi : « Corollaire 1 \(A\) […] \(C_0(\Omega)\), \(A\) […] \(f(A)\) est l'opérateur […] \(f(\varphi)\) sur […] borné […] bornée […] ensemble […] \(E\) est l'application […] et soit donc […] pour […] »

Corollaire Soit \(K(\Omega) \subset \underline{a}\) le reste de la page est blanc

20Proposition 1 le numéro est surchargé Soit \(\underline{a}\) un idéal bilatère […] de l'algèbre de von Neumann \(\mathcal{A}\), \(\underline{b}\) son adhérence normique […] \(E \in \underline{b}\) fonction hermitienne […] \(\underline{C}\) […] sous-algèbre […] de \(\underline{b}\), identifiée à une fonction […] […] \(K(\struck{\Omega}\add{M}) \subset \underline{a}\) le \(\Omega\) biffé et corrigé en \(M\) à l'encre noire, ici et dans la suite. Si \(\underline{C}\) est […], alors […] fonction […] \(K\) de \(\Omega\) […] fonction hermitienne […] \(\underline{C}\) est une sous-algèbre […] Alors […] pour […] \(E \in \underline{b}\) […] \(\underline{a}\). […] soit \(\underline{c}\) […] \(\underline{C}\), borné […] opérateurs […] relation compact […] […] \(C_0(\struck{\Omega}\add{M})\), alors […] […] \(\underline{C}\) est unitairement […], alors […] contenu dans, un […] compact […] \(\Omega\) est […] […] d'après […] […] \(f \in C_0(\struck{\Omega}\add{M})\) […] […] trois lignes biffées, dont une à l'encre noire

en marge gauche, sideways, à hauteur de la démonstration : […] fermé […] idéal […] \(\underline{b}\) […] \(\underline{a}\)

il existe un projecteur […] […] qui […] Soit \(E = \lim A_i\) (\(A_i \in \underline{a}\)), d'où \(E = \lim A_i^{*}A_i\), donc \(E = \lim B_i\) (\(B_i \geq 0\), \(B_i \in \underline{a}\)) d'où \(E = \lim E B_i E\), i.e. \(E = \lim C_i\), où \(C_i \in \underline{a}\), \(E C_i E = C_i\). On a […] \(C_i \leq \|C_i\| E\), d'où en interligne : « \(\dfrac{C_i}{\|C_i\|} \leq E\) » […] […] \(E = \lim_i D_i\), avec \(D_i \in \underline{a}\), \(0 \leq D_i \leq E\). Mais si \(\|E - D_i\| \leq \frac{1}{2}\), alors \(E \leq 2 D_i\) le \(D\) est surchargé (d'après […]) d'où \(E \in \underline{a}\).

Pour 2 démontrer […] […] maximale […] de \(\mathcal{A}\)) si \(f \in K^{+}(\struck{\Omega}\add{M})\) […] caractéristique d'un […] et […] note que […] […] […] \(0 \leq f \leq \varphi_K \leq g\), fonction […] au-dessus : « \(\varphi_K\) » […] \(K \subset \struck{\Omega}\add{M}\), \(g \in K^{+}(\struck{\Omega}\add{M})\). Comme \(U_{\varphi_K} \leq U_g \in \underline{b}\), d'où \(U_{\varphi_K} \in \underline{b}\), d'où […] ce qui précède \(U_{\varphi_K} \in \underline{a}\), d'où \(U_f \in \underline{a}\). Comme […] […], (c'est d'ailleurs […] fonction […] de l'algèbre de \(\mathcal{A}\)), soit \(K\) […] compact […] \(U_{\varphi_K} \in \underline{a}\) […] le lot s'arrête ici ; la démonstration se poursuit au feuillet suivant