Fonds Grothendieck, cote n° 1, pages 1–20

Plan des notes

Titre de l'éditeur. La page 2 est le plan, de sa main, des sept numéros dont les pages 6 à 20 donnent les quatre premiers.

Le feuillet, plié en deux, porte dans sa moitié supérieure le plan des notes, de sa main : sept numéros, deux fois renumérotés — le « N° 5 » primitif est biffé, le « 6 » suivant corrigé en 5, le « 7 » final surchargé.

N° 1 — Notions sur les réarrangements de fonctions N° 2 — Fonctions de Weyl. N° 3 — Inégalités ~~de convexité liées aux réarrangements~~ au-dessus du mot biffé « convexité » est écrit « élémentaires », au-dessous « diverses » ; et, sous la ligne, « (A \in \bar{a}) », repris à droite « (A \in \tilde{\bar{a}}) » et relié d'un trait à la ligne du N° 4 N° 4 — Mesures spectrales, réarrangement ~~spectral~~ d'un opérateur. ~~N° 5~~ — ~~Premières propriétés des réarrangements d'un~~ N° 5 écrit sur un « 6 » — Compléments sur le déterminant N° 6 — Les inégalités ~~de convexité dans les anneaux d'opérateurs~~ au-dessus du passage biffé : « fondamentales ~~pour~~ AB » N° 7 — Autres inégalités.

Endomorphismes d'une C^{*}-algèbre permutables aux translations

Titre de l'éditeur : le feuillet n'en porte aucun. Les pages 3 à 5, à l'encre bleue sur feuillets pliés, forment un fragment distinct des notes sur les réarrangements : C est une C^{*}-algèbre, C'' son bidual, R une algèbre de von Neumann où C est plongée, et le fragment identifie l'algèbre \Gamma des u \in C'' tels que uC \subset C, Cu \subset C à l'algèbre \Gamma_1 des x \in R de même propriété. La main est rapide ; les formules passent, la prose entre elles souvent non.

Les feuillets portent, au crayon de l'archiviste, une numérotation qui court de deux en avance sur la position dans la cote à partir d'ici : ce feuillet porte 5, le suivant 6, et ainsi de suite jusqu'à 22 pour le dernier du lot. Les numéros employés pour page sont ceux de la position, que compte l'inventaire (149 pages) et que suit le fac-similé.

Soit C une C^{*}-algèbre, déterminer les endomorphismes linéaires continus T aux translations à gauche. Soit T une telle, son bitransposé T'' est un endomorphisme de C'' permutable aux translations x \to xy ~~(y \in C)~~ pour y \in C, donc pour ~~tout~~ y \in C'' (T''(xy) = T''(x)\,y) une ligne interpolée au-dessus et à droite, non lue. Donc de la forme x \to ux (u \in C''), . : l'ens. \Gamma_g des u de C'' tels que uC \subset C. On voit donc que l'ensemble d'endomorphismes considéré est isomorphe, avec sa structure d'algèbre normée, à \Gamma_g. « hermitien » signifie x^{*}T(x) hermitien pour tout x \in C ; « positif » signifie x^{*}T(x) \geq 0 pour ~~tout~~ x \in C. Soit \Gamma l'ens. des u \in C'' tels que u\underline{C} \subset \underline{C}, \underline{C}u \subset \underline{C} le C est ici souligné, à quatre reprises. C'est une sous-C^{*}-algèbre involutive. hermitien à \Gamma_g dans \Gamma.

Supposons maintenant C plongé dans la C^{*}-algèbre R, et soit \Gamma_1 l'ens. des x \in R tels que xC \subset C, Cx \subset C, c'est une sous-C^{*}-algèbre de R. Pour tout u \in \Gamma_1, soit \varphi(u) l'élément de C'' correspondant : l'endomorphisme T_u x = ux dans C. Si u hermitien, \varphi(u) est hermitien, donc dans \Gamma, donc pour ~~tout~~ u \in \Gamma_1, \varphi(u) \in \Gamma. De plus, \varphi est évidemment une représentation d'algèbres, compatible avec l'involution (car

transforme hermitiens en hermitiens). Cela donne vérification un isomorphisme entre \Gamma et C', partiel . Car on a \varphi(a) = \lim_{x \to 1} ax = \lim_{x \to 1} xa, sous chaque \lim, en trois lignes : « x \to 1 », « filt », « C » — le filtre des unités approchées de C, nommé ainsi plus bas ; sous le premier, une première version est raturée d'où l'on tire donc (") d'où \varphi\langle a, f\rangle = \lim_{x \to 1} \langle ax, f\rangle (a \in \Gamma_1, f \in C'), et compte tenu compte tenu de , involution , et prolonge donné sur \mathbf{C} \times C'.

Supposons maintenant de Neumann, ajouté au-dessus : « et C dense dans R » d'où une application canonique \psi : C'' \to R (en identifiant C'' l'adhérence faible de C dans R). Évidemment \psi(\Gamma) \subset \Gamma_1. D'autre part, prouvons \varphi\psi\struck{(u)} = 1 sur \Gamma, car soit u \in \Gamma, et v = \psi(u) \in \Gamma_1, pour ~~tout~~ f \in R_{*} \langle v, f\rangle = \langle u, f_1\rangle (f_1 image de f dans C' ; on identifie R_{*} \subset C'). J'affirme que \langle v, f\rangle = \langle \varphi(v), f_1\rangle [ ceci prouve ~~\varphi\psi~~ \varphi(v) u orthogonal : R_{*}] cela se voit facilement sur \langle \varphi(v), f_1\rangle = \lim_{x \to 1} \langle vx, f\rangle on prend ici le filtre des unités approchées le cas de \mathbf{C}. On est ramené à prouver : un élément de \underline{\Gamma} orthogonal à R_{*} ~~est nul~~ (i.e. dans l'image dans R est 0) est nul. C'est immédiat

car si x est un tel élément, alors pour y \in C \varphi(xy) = \varphi(x)y = 0, d'où (comme xy \in C, d'où \varphi(xy) = xy) xy = 0, et ceci pour tout y \in C, d'où x = 0. — Donc \varphi est un isomorphisme de \Gamma dans \Gamma_1, et \psi l'inverse « et \psi l'inverse » est écrit sur le passage biffé. Plus précisément, prouvons que \psi\varphi = 1, soit donc u \in \Gamma_1, \varphi u = v \in C'' est donné par \langle v, f\rangle = \langle u, f\rangle (f \in C') tandis que \psi v est donné par \langle \psi v, f\rangle = \langle v, f_1\rangle (f \in R_{*}) i.e. \langle \psi v, f\rangle = \langle u, f_1\rangle (f \in R_{*}), d'autre part \langle u, f_1\rangle = \langle u, f\rangle, d'où \langle \psi v, f\rangle = \langle u, f\rangle, i.e. \psi v = u. CQFD.

Mesures spectrales et réarrangements de fonctions

Titre de sa main en tête de la page 6 ; c'est le « N° 1 » du plan de la page 2. Une main postérieure a entouré au stylo bille bleu le numéro de la proposition 1.

|M|, L^{1}(M), L^{\infty}(M) ; K(M), K^{\infty}(M), C_0(M) ;

Soit f une fonction mesurable complexe sur l'espace mesuré M (muni de la mesure m). On dit que f admet une mesure spectrale si l'image de m par f sur existe. Cela signifie donc aussi que pour 0 < a < b < +\infty, |f|^{-1}([a,b]) est intégrable (donc cette condition ne dépend que de |f|). Cette mesure sur \underline{\mathbf{C}^{*}} est appelée mesure spectrale de f, et notée \mu_f : \begin{align*} \text{(1)}\qquad & \mu_f = f(m) \quad\text{i.e.} \\ \text{(2)}\qquad & \langle \alpha, \mu_f\rangle = \langle \alpha\circ f, m\rangle = \int \alpha\circ f\, dm \end{align*} (~~\alpha fonction~~ fonction continue à support compact sur \underline{\mathbf{C}^{*}}). \mu_f est positive. Elle est portée par \underline{\mathbf{R}_{*}} (resp. par \mathbf{R}^{+}_{*}) si et seulement si f est réelle (resp. positive). une fonction sur espace mesuré M et une fonction g sur l'espace mesuré N sont dites spectralement équivalentes si elles ont même mesure spectrale.

Exemples. Si l'ensemble f^{-1}(\ldots) est intégrable, alors \mu_f existe et est bornée. C'est en particulier le cas si f est à support intégrable m est bornée f \in C_0(M), deux lignes interpolées ici, à demi effacées : « … pour tout \varepsilon, |f|^{-1}(]\varepsilon, +\infty[) est intégrable ».

Proposition 1 Une fonction positive décroissante \varphi sur \mathbf{R}^{+}_{*} a une mesure spectrale si et seulement si elle est nulle à l'infini ; c'est-à-dire \mu_\varphi est une mesure positive sur \mathbf{R}^{+}_{*} telle que \int_1^\infty d\mu_\varphi < +\infty. Réciproquement pour toute mesure positive \mu sur \mathbf{R}^{+}_{*} telle que \int_1^\infty d\mu < +\infty, existe une fonction décroissante positive \varphi « positive » ajouté au-dessus de la ligne et une seule (à une fonction négligeable près) qui admet \mu pour mesure spectrale.

On a donc pour presque tout t \text{(3)}\qquad t = \int_s^\infty d\mu(s) \qquad (s = \varphi(t))\,.

les t exceptionnels étant ceux pour lesquels la de de (1) est ambiguë, i.e. qui sont par la telle , ceux tel t. Ainsi \varphi apparaît comme une fonction inverse de s \to \int_s^\infty d\mu(s)\,.

~~Définition~~

Corollaire Soit f une fonction mesurable positive sur l'espace mesuré M. Pour que f soit spectralement équivalente à une fonction décroissante \varphi sur \mathbf{R}^{+}_{*}, il faut et il suffit que pour tout a > 0, f^{-1}([a, +\infty[) soit intégrable. Alors \varphi_f le \varphi porte un indice raturé est unique et déterminée ~~Définition~~ On l'appelle le réarrangement décroissant de f, noté \varphi_f. Si g est une autre fonction mesurable positive, sur un autre espace mesuré N, satisfaisant aux conditions ci-dessus, alors f et g sont spectralement équivalentes si et seulement si elles ont même réarrangement décroissant. une ligne biffée puis cernée d'un trait ; au-dessous, « \varphi_f(t) est déterminé » également biffé \text{(4)}\qquad \varphi_f^{-}(t) = \inf_{\substack{E \subset M\\ m(E) \leq t}} \|(1-E)f\|_\infty \qquad \varphi_f^{+}(t) = \inf_{\substack{E \subset M\\ m(E) < t}} \|(1-E)f\|_\infty le « \leq » du premier infimum est surchargé ; sous le second, il est écrit « -(E) < t » — sans doute un m mal formé (~~\varphi_f^{-}(t)~~ \varphi^{-}(t) = \lim_{s \to t,\ s < t} \varphi(s), \varphi_f^{+}(t) = \lim_{s \to t,\ s > t} \varphi(s) la seconde formule est écrite au-dessus d'une première version biffée) où on identifie E avec sa fonction caractéristique. à : (4). De (4) on tire les propriétés suivantes (pour des fonctions mesurables positives deux lignes biffées, la seconde cernée d'un long trait ; en tête d'une troisième, « mesuré M », puis l'accolade qui suit) : \text{(5)}\qquad \left\{ \begin{array}{ll} \varphi_f \leq \varphi_g & \text{si } f \leq g \\ \varphi_{\lambda f} = \lambda\varphi_f & \text{si } \lambda \geq 0 \\ \varphi_{f^\alpha} = (\varphi_f)^\alpha & \text{si } \alpha \geq 0 \\ \varphi_{f+g} \leq \varphi_f + \varphi_g & \\ \varphi_{fg} \leq \varphi_f\varphi_g & \end{array}\right. la première , (si \varphi_g existe et f \leq g, \varphi_f existe ; \varphi_{f^\alpha}, \varphi_{f+g} et \varphi_{fg} existent). « et f \leq g, \varphi_f » est ajouté au-dessus de la ligne, et \varphi_{f^\alpha}, \varphi_{f+g} en surcharge

dans une bulle en marge gauche, à hauteur de (4) : \int f\,dm = \int s\,d\mu(s), d'où \int f\,dm = \int \varphi_f\,dt ; N_p(f) = N_p(\varphi_f), etc.

dans une seconde bulle, reliée d'une flèche à la ligne \varphi_{f^\alpha} = (\varphi_f)^\alpha : plus généralement, pour \alpha croissante \mathbf{R}_{*}^{+} \varphi_{\alpha(f)} = \alpha(\varphi_f) () ; puis, biffées au stylo bleu, deux lignes dont on lit « \varphi_{|f|} = \ldots \varphi_f \ldots »

Soit \varphi une fonction décroissante sur \mathbf{R}^{+}_{*}, admettant la mesure spectrale \mu_\varphi. Pour que

\varphi soit sommable au voisinage de 0, il faut et il suffit qu'il et sommable \int_1^\infty d\mu \int_0^\infty d\mu(s) < +\infty, i.e. \int_1^\infty (s-1)\, d\mu(s) < +\infty, \qquad\text{ou encore}\qquad \text{(6)}\quad \int^\infty s\, d\mu(s) < \struck{\ill{}} +\infty la formule (6) est encadrée condition vérifiée quand ~~Si \mu = \mu_f f sommable, i.e. l'espace mesuré M~~ quand \mu = \mu_f, f étant une fonction sommable sur ~~Si alors \varphi_f satisfait~~ Si \varphi_f est sommable au voisinage de 0, on pose \text{(7)}\qquad \Phi_f(t) = \int_0^t \varphi_f(s)\, ds \Phi_f(t) est une fonction continue concave croissante de t. Considérons \log\varphi_f(s), c'est une fonction ~~décroissante~~ continue « continue » écrit au-dessus du mot biffé, à valeurs dans [-\infty, +\infty[. Supposons \log\varphi_f(t) sommable au voisinage de , i.e. \log f sommable dans f^{-1}([1, +\infty[), ~~\log\varphi_f(t)~~ trois lignes biffées, la dernière cernée d'un trait, où l'on lit « \int \varphi_f(s) … » et « \log\varphi_f(t) » (à fortiori \varphi_f ) \text{(8)}\qquad \Psi_f(t) = \int_0^t \log\varphi_f(s)\, ds le signe = est surchargé ; au-dessus, un mot raturé Si \varphi_f ne s'annule pas (i.e. si f^{-1}(\{0\}) n'est pas le passage biffé d'un trait épais porte « f^{-1}(]0, +\infty[) ») fonction positive finie intégrable), \Psi_f(t) est une fonction concave. Sinon, si t_0 = |f^{-1}(\complement\{0\})| le complémentaire est noté d'un C barré du moins \varphi_f , c'est le point à partir duquel \Psi_f(t) est égal à -\infty. Enfin, on pose \text{(9)}\qquad \Delta_f(t) = \exp\Psi_f(t) à droite de (9), au stylo bleu et d'une autre main : « \exp\Psi_{|f|}(t) » ; le même stylo retouche une lettre deux lignes plus bas Sous les conditions envisagées sur f, \Delta_f(t) est une fonction continue (~~positive~~) croissante « croissante » écrit au-dessus positive de t ; elle ne peut s'annuler que si t_0 = |f^{-1}(\complement\{0\})| est fini, alors \Delta_f(t) s'annule à partir de t_0.

Les formules (5) donnent des inégalités correspondantes pour ~~pour~~ \Phi_f, \Psi_f, \Delta_f. Les plus importantes sont \begin{align*} \text{(10)}\qquad & \Psi_{fg} \leq \Psi_f + \Psi_g \qquad\text{i.e.} \\ \text{(11)}\qquad & \Delta_{fg} \leq \Delta_f\,\Delta_g \end{align*}

~~Supposons de nouveau \varphi_f existe~~. On pose, pour une fonction mesurable ~~positive~~ \text{(12)}\qquad \Delta(f) = \Delta_{|f|}(|M|) = \struck{\exp} \int_M \log|f|\, dm l'indice |f| de \Delta est repassé au stylo bleu par la main postérieure ~~\Delta existe pour~~ ~~donc~~ \Delta(f) existe ~~si \Delta_f existe~~ ssi \log|f| est sommable sur l'ens. des points où il est positif. 0 \leq \Delta(f) < +\infty. \Delta jouit des propriétés d'un (module de « module d… » ajouté au-dessus) déterminant, en particulier \text{(13)}\qquad \Delta(fg) = \Delta(f)\,\Delta(g) \qquad \Delta(1) = 1 un trait ondulé sépare ici le texte

Supposons que |M| < +\infty. On voit aussitôt que si f est une fonction mesurable positive sur M, ~~admettant un réarrangement décroissant \varphi_f, alors~~ ~~il en est de même~~ ~~\varphi_{1+f}(t)~~ \text{(14)}\qquad \varphi_{1+f}(t) = 1 + \varphi_f^{-}(t) \qquad \text{si } 0 < t \leq |M| le « 1 » de 1+f et de 1+\varphi_f^{-} est penché et se lit aussi \lambda ; on garde 1, que (16) écrit sans ambiguïté (si \varphi_f existe ; si non |M| = \infty, \varphi_{1+f} n'existe pas f \geq 0 ~~1 + \varphi_f(t) existe, donc~~ donc (14)). Alors \log(\varphi_{1+f}) = \log(1 + \varphi_f), ~~donc \log(1+\varphi_f)~~ cerné d'un trait fonction positive. Si on suppose que \Phi_f existe, alors \log(1+\varphi_f) est sommable au voisinage de 0 (et donc partout). Ce qui permet de définir \text{(15)}\qquad \Delta_{1+f}(t) = \exp\int_0^t \log(1 + \varphi_f(s))\, ds \qquad 0 \leq t \leq |M| cette notation est cohérente avec la définition Car d'ailleurs \text{(16)}\qquad \Delta_{1+f}(|M|) = \Delta(1+f) un second trait ondulé, et une accolade en marge droite qui embrasse le passage de (14) à (16)

Soit \mu une mesure positive sur \mathbf{R}_{*}, telle que \int_a^\infty d\mu < +\infty ( ne dépendant ) en interligne, au stylo bleu : « ~~|M| \geq \|\mu\|~~ Supposons \|\mu\| = \ldots ou 0 \leq \|\mu\| \leq |M| < +\infty » ; en marge gauche, dans un ovale biffé, de la même main bleue : « Le mieux : … \|\mu\| < +\infty ! » (Alors il existe une fonction décroissante \mathbf{R}_{*}^{+} (~~resp. ]0, |M|[~~ sur ]0, |M|[) parenthèse ajoutée au stylo bleu) fonction décroissante \varphi et une seule sur \mathbf{R}^{+}_{*} telle que \mu_\varphi = \mu. Cette \varphi est une fonction positive si et seulement si \mu est portée par \mathbf{R}^{+}_{*}. Soit maintenant f telle

fonction réelle mesurable sur M telle (si |M| < +\infty) telle ~~que \varphi_f soit partie positive , il suffit que pour \varphi_g bornée, donc que f que~~ ~~|f^{-1}(\complement\{0\})| < \infty~~ trois lignes biffées, la dernière au stylo bleu. Alors il existe une fonction décroissante \varphi_f et une seule sur ]0, |M|[ ajouté au stylo bleu, dans l'interligne spectralement équivalente à f. On l'appelle encore le réarrangement décroissant de la fonction réelle f. Le résultat suivant est classique :

Proposition 2 Soient f, g deux fonctions réelles mesurables sur M, ~~telles~~ (|M| < +\infty) ajouté au stylo bleu telles que fg soit sommable, il faut que \varphi_f\varphi_g le soit, et . alors \text{(17)}\qquad \int fg\, dm \leq \int_0^{|M|} \varphi_f\varphi_g\, ds sous (17), un mot au stylo bleu, non lu ; le reste de la page est blanc

Fonctions de Weyl

Titre de sa main : « 2. Fonctions de Weyl », page 11. De la page 11 à la page 17, l'encre est bleue ; le crayon des marges est d'une autre campagne.

au crayon, en marge gauche du titre : K^\infty, L^\infty(K) ; \|M\| ; K^\infty_k ;

Définition 1 Soit ~~M un espace mesuré~~ I = ]0, \omega[ (0 < \omega \leq +\infty) écrit au-dessus du passage biffé On appelle fonction de Pólya sur M I ~~une fonction P réelle~~ une fonction P réelle définie sur l'espace K^\infty(\bar{I}) des fonctions mesurables à support compact, ayant les propriétés suivantes :

P_1)P est symétrique, i.e. P(f) = P(g) si f et g sont spectralement équivalentes P_2)P est convexe, i.e. P(\lambda f + (1-\lambda) g) \leq \lambda P(f) + (1-\lambda) P(g) si 0 \leq \lambda \leq 1 P_3)Pour tout compact K, ~~P est~~ et toute suite (f_i) dans K^{\infty}_{k}(K) l'indice se lit k ; la marge au crayon porte le même K^\infty_k tendant vers une limite f en mesure, on a P(f) \leq \varliminf P(f_i)

une accolade à gauche embrasse P_1 à P_3

En fait, P_3 est équivalente à la condition plus forte à savoir :

P'_3)(P est semi-continue inférieurement sur ~~tout compact K~~ pour la topologie faible pour tout compact K ajouté au-dessus, sur les parties bornées de L^\infty(K)

Il faut montrer que pour tout a, ~~P^{-1}([a, +\infty[)~~ l'ensemble A des ajouté au-dessus f \in L^\infty(K) telles que P(f) \leq a est fermé pour la topologie ~~Bourbaki Dieudonné~~ quatre lignes biffées et cernées d'un trait, dont une reprend « L^\infty(K) » ce qui résulte de P_3 il est fermé pour la convergence en mesure sur les boules de L^\infty(K) pour mesure. Or on sait que un ensemble convexe A est dit fermé , un ... fermé dans tout B Banach, si A est borné fermé dans L^\infty(K). Il est donc fermé dans L^1(K), ~~donc~~ de plus il est fermé dans L^1(K) (pour la topologie faible, donc pour

sur ]0, +\infty[, si on note une fonction P sur K^\infty(]0, +\infty[) est une fonction de Pólya si et seulement si pour tout 0 < \omega < +\infty, sa restriction à L^\infty(]0, \omega[) est une fonction de Pólya. — ~~Soit M |M| < \infty fonction de Pólya L^\infty(]0, \omega[) restriction d'une fonction (0 < \omega < +\infty) K^\infty(]0, +\infty[) Pólya sur Soit M~~ sept lignes biffées, cernées de traits qui les relient entre elles ; on y lit encore « f \in K^\infty(M) »

en marge gauche, de haut en bas : Pólya : P(f) = \int \alpha(f)\,dt où \alpha fonction convexe ; exemples x \to e^x ; = 0 si x \leq 0, si x \geq 0 ; exemples \to +\infty

Remarque Fonction de Pólya voir définition.

Définition 2 Fonction de Weyl Une fonction réelle définie sur est dite

(W_1)P(\exp f) est une fonction de Pólya sur L^\infty(]0, \omega[).

Une fonction sur (K^{\infty})^{+}(]0, +\infty[) est dite fonction de Weyl, si ses restrictions à tout (K^\infty)^{+}(]0, \omega[) (0 < \omega < +\infty) le sont. une accolade à gauche embrasse la définition

Définition Weyl sur L^{\infty +}(]0, \omega[) satisfaisant à P_1, P_3, continue pour et une fonction croissante sur . Une fonction sur (K^\infty)^{+}(]0, +\infty[) est une fonction de Weyl si ses restrictions à tout (K^\infty)^{+}(]0, \omega[) le sont.

les fonctions de Weyl sur L^{\infty}(]0, \omega[) et les fonctions de Pólya sur L^\infty(]0, \omega[) se correspondent par W(\exp f) P une fonction de Weyl sur L^\infty(]0, \omega[) P(\exp f) , soit P(f) = si f est une fonction P(f) : \varphi_f 0 \leq s \leq \omega de W(\exp f), i.e. de \varphi_f, si , de f fonction : croissante. Alors W(\exp f) = \sup_i \Bigl( a_i + \int_0^{\omega} \varphi_i\,\varphi_f \Bigr) \qquad \uncertain{P}(f) = \sup_i \Bigl( a_i + \int_0^{\infty} \varphi_i \log\varphi_f \Bigr) le premier membre de la première formule est écrit « P(\exp f) » avec un P que la ligne suivante fait lire W ; le \varphi_f de la première porte un exposant surchargé fonction ~~positive~~ telle que \varphi_i(s) > 0. Le définition des W continues semi-continuité pour , représentation ... ... fonction de Pólya sur les

parties positives de L^\infty(]0, \omega[) fonction de Weyl. en interligne, cerné : « (ou des ci-dessous) »

Exemples de fonctions de Weyl. Soit \alpha une fonction sur \mathbf{R}^{+}, ~~convexe~~, nulle à l'origine ~~Alors \int \alpha(\varphi)~~ telle que \alpha(\exp s) soit fonction convexe de s (i.e. \alpha(s^\lambda t^{(1-\lambda)}) \leq \alpha(s)^\lambda\alpha(t)^{1-\lambda}). Alors W_\alpha(f) = \int_0^\omega \alpha(\varphi_f) \struck{\ill{}} est une fonction de Weyl, croissante si et seulement si \alpha est croissante. En particulier prenant \alpha_p(s) = s^p (0 < p < +\infty) on trouve \text{(1)}\qquad W_{\alpha_p}(f) = N_p(f)^p = \int |f|^p \struck{\ill{}}

Extension d'une fonction de Weyl croissante Une fonction de Weyl croissante sur (L^\infty)^{+}(]0, \omega[) est considérée comme restriction d'une fonction de Weyl croissante sur (K^\infty)^{+}(]0, +\infty[). ~~Soit W une fonction de Weyl croissante sur~~ Soit W une telle fonction de Weyl. Soit f une fonction mesurable positive sur un espace mesuré M, on ~~pose~~ pose alors W(f) = \sup W(\varphi_g) sous le W du second membre, un indice raturé ; le \varphi_g est surchargé la borne supérieure étant prise sur les fonctions g telles que 0 \leq g \leq f. On a W(f) = W(\varphi_f) cerné d'un trait si |f| et si |f| ~~définition~~ W(f) = W(\varphi_{|f|}) cerné d'un trait L'ensemble des fonctions f telles que W(f) < +\infty, dérivé, et W y est

topologie (faible) dans les parties compactes de L^1(K), ~~parties compactes de L^\infty(K)~~. i.e. \sigma(L^\infty(K), L^\infty(K)) sic, le second L^\infty est surchargé, donc (dans les parties bornées de L^\infty(K)), pour \sigma(L^\infty(K), L^1(K)). une accolade en marge gauche embrasse ces deux lignes

en diagonale dans la marge gauche, sur six lignes : voisinages voisinage

Considérons maintenant, dans \underline{\mathbf{R}} \times L^\infty(K), l'ensemble A_P(K) l'indice de A est surchargé des couples (\lambda, f) tels que \lambda \geq P(f). P_2 signifie que A_P est convexe, P'_3 que A_P est fermé, donc (Hahn-Banach) A_P est intersection de demi-espaces fermés, i.e. de demi-espaces \lambda \geq L_i(f) + a_i le \lambda est surchargé (L_i forme linéaire continue sur L^\infty(K), i.e. L_i \in L^1(K), a_i \in \underline{\mathbf{R}}) d'où ~~P(f) = \ill{}~~ P(f) = \sup_i \bigl( L_i(f) + a_i \bigr). En vertu de P_1 on a aussi, pour tout i et tout g \in L^\infty(K) ajouté au-dessus spectralement équivalent à f, P(f) \geq L_i(g) + a_i d'où en vertu de prop. 2, prise sur les g deux lignes cernées d'un trait : P(f) \geq \int \varphi_{L_i}\varphi_f + a_i, \qquad \text{Posons } \varphi_{L_i} = \varphi_i : \text{(1)}\qquad \boxed{\ P(f) = \sup_{i \in I}\ a_i + \int_0^{\omega} \varphi_i\,\varphi_f\ } la borne supérieure \omega de l'intégrale est surchargée ; à droite, un mot raturé

Feuillet plus petit ; une longue diagonale barre sa moitié inférieure, de (2) jusqu'au bas, sans que l'on puisse dire si elle annule le passage

les \varphi_i sont des fonctions décroissantes ajouté en interligne, cerné : « sur ]0, |K|] » (par bornée de K). Réciproquement, si P est définie sur L^\infty(K) par une formule (1), P est une fonction de Pólya. P satisfaisant P est croissante.

en marge gauche, sur deux colonnes sideways, de la même encre. Première colonne : Soit de Pólya. Alors P (0 < \omega < +\infty) P |K| fonctions Proposition 3 Pour que P sur ]0, \omega[ fonction de Pólya, (1), (fonctions décroissantes \in L^1(]0, \omega[), ) croissante \varphi_i . Seconde colonne : Définition Une fonction de Pólya est dite :

Alors on voit aussitôt fonctions (et réciproquement) on peut prendre les \varphi_i dans (1), cerné d'un trait, avec une ligne biffée nulles sur [|K|, +\infty[, et ( de K) définie \text{(2)}\qquad \boxed{\ P(f) = \sup_i\ a_i + \int_0^{\infty} \varphi_i\,\varphi_f\ } où les \varphi_i sont des fonctions décroissantes sur \mathbf{R}^{+}, une ligne biffée, cernée avec les mots « sommables » au-dessus et , (2) peut s'écrire \text{(3)}\qquad P(f) = P^{*}(\varphi_f) où P^{*} est la fonction de Pólya sur \mathbf{R}^{+}_{*} donnée par \text{(4)}\qquad P^{*}(\varphi) = \sup_i \Bigl( a_i + \int_0^{\infty} \varphi_i\,\varphi \Bigr)

Si par exemple pour une \omega (*), ~~W(f) < +\infty f \in L^p(M),~~ on a W(f) = \int_M |f|^p, donc W(f) < +\infty équivaut à N_p(f) < +\infty.

Inégalités liées aux fonctions de Weyl

Titre de sa main, page 16 : « 3. Inégalités liées aux ~~fonctions de Weyl~~ fonctions de Weyl » — les mots biffés sont réécrits au-dessus. C'est le « N° 3 » du plan de la page 2.

Soit 0 < \omega < +\infty.

Prop 4 Soient f, g deux fonctions décroissantes sur ]0, \omega[ (localement sommables ), telles que \text{(1)}\qquad \boxed{\ \int_0^t f \leq \int_0^t g\ } \qquad\text{pour } 0 \leq t \leq \omega Alors pour toute fonction de Pólya croissante écrit au-dessus P sur L^\infty(]0, \omega[), on a \text{(1')}\qquad P(f) \leq P(g) en marge, un « ① » cerclé, avec une accolade sur les trois lignes qui suivent (On obtient une réciproque d'ailleurs trivialement, à savoir que pour tout t, f \to \int_0^t \varphi_f est une fonction de Pólya croissante sur L^\infty(]0, \omega[)).

En vertu de N° 2, (1), il suffit de prouver que \int_0^\omega f\varphi \leq \int_0^\omega g\varphi pour toute fonction positive décroissante sommable sur (0, \omega). Or cela résulte facilement de (1) par intégration par parties, en posant F(t) = \int_0^t f, : \text{(3)}\qquad \int_0^\omega f\varphi = [\varphi F]_0^\omega + \int_0^\omega F(-d\varphi) = \varphi(\omega)F(\omega) + \int_0^\omega F(-d\varphi) le numéro (2) n'apparaît pas ; une longue accolade en marge gauche embrasse la page de (1') jusqu'ici

Remarque suivi d'un « ① » cerclé, relié d'une flèche à la ligne On voit sur (3) que si F(\omega) = G(\omega), i.e. \int_0^\omega f = \int_0^\omega g, il n'est pas nécessaire de supposer \varphi positive dans la conclusion, de sorte que la Prop. 4 pour toute fonction de Pólya non nécessairement croissante des

inégalités dans les avec un ().

Corollaire 1 Soient f, g ~~(K^\infty)^{+}(]0, \omega[)~~ fonctions positives sur M « sur M » écrit au-dessus, avec un « N » raturé telles que \text{(4)}\qquad \Delta_f(t) \leq \Delta_g(t) < +\infty \qquad 0 \leq t \leq \omega Alors pour toute fonction de Weyl ~~croissante sur~~ croissante sur (K^\infty)^{+}(]0, \omega[) on a \text{(5)}\qquad W(f) \leq W(g)\,. ~~sur~~ Quitte à remplacer on peut supposer M = ]0, \omega[, ~~f et g~~ une ligne cernée d'un trait : « puis » ~~f et g décroissantes~~ . Quitte à 0 < \omega < +\infty, puis f \exp f, et fonctions de Weyl croissantes une ligne biffée fonctions de Pólya croissantes N° 2 Prop. 4. CQFD le reste de la page est blanc ; « CQFD » est souligné

Mesures spectrales et réarrangements spectraux d'opérateurs

Titre de sa main, page 18 : « 4 Mesures spectrales et réarrangements spectraux d'opérateurs. » C'est le « N° 4 » du plan de la page 2. Dans ces trois pages, une main postérieure à l'encre noire corrige \Omega en M à chaque occurrence ; on transcrit M et on signale la première correction.

Dans tout ce numéro, \mathcal{A} est une algèbre de von Neumann (algèbre involutive faiblement fermée d'opérateurs dans un espace hilbertien ). ~~Trace normale (~~ Une trace sur \mathcal{A} est une fonction T sur le cône positif \mathcal{A}^{+} de \mathcal{A}, à valeurs 0 \leq T(A) \leq +\infty, ~~additive, positivement homogène~~ telle que T(A+B) = T(A) + T(B) \quad\text{et}\quad T(\lambda A) = \lambda T(A) (A, B \in \mathcal{A}^{+}, \lambda \geq 0 scalaire ; on pose 0\cdot(+\infty) = 0), et invariante par les transformations unitaires. Alors l'ens. des A \in \mathcal{A}^{+} tels que T(A) < +\infty est le cône positif \underline{a}^{+} ajouté au-dessus d'un idéal bilatère involutif \underline{a}, et T se prolonge en une forme linéaire sur \underline{a}, notée encore T. On a T(AB) = T(BA) \qquad A \in \underline{a},\ B \in \mathcal{A} T est dite semi-finie si pour tout ~~A \in \mathcal{A}^{+}, A \neq 0, existe~~ A \in \mathcal{A}, A > 0, existe B tel que 0 < B < A et T(B) \struck{\neq} < +\infty. T est dite normale si T(\textstyle\sup_i A_i) = \sup_i T(A_i) pour toute famille filtrante croissante majorée (A_i) dans \mathcal{A}^{+}. Si T est normale, la définition et seulement si . Enfin T est dite fidèle si ~~T(A) A \in \mathcal{A}^{+}~~ A \geq 0, T(A) = 0 \Rightarrow A = 0 \mathcal{A} . Dans la suite trace normale semi-finie fidèle T cerné d'un trait, dont l'idéal de définition est \underline{a} idéal bilatère définition de \underline{a}. Soit \underline{b} l'adhérence normique de \underline{a}, c'est un idéal bilatère involutif fermé

Deux longues diagonales barrent la page entière, du haut à droite au bas à gauche, et plusieurs blocs y sont en outre cernés ou biffés ligne à ligne ; le passage est annulé et repris à la page 20. On transcrit ce qui se lit.

tel que \underline{b} soit un , i.e. pour ~~(i.e. dans \mathcal{A})~~ pour que \underline{b} = \mathcal{A}, il faut et il suffit que \underline{a} = \mathcal{A}, et i.e. que T soit une trace finie (i.e. T(A) < \infty pour tout A \in \mathcal{A}^{+}).

~~Proposition 1 Soit A \in \mathcal{A}~~ Alors les propriétés spectrales de \underline{b} ~~En fait, les propriétés spectrales de \underline{b} déduisent~~ Soit E un projecteur dans \underline{a} pour qu'un projecteur de \mathcal{A} soit dans \underline{a}, il faut et il suffit que T(E) < +\infty. Or

Proposition 1 Soit A un opérateur normal de \underline{b}, hermitien \underline{C} de \underline{a}. Alors f(A) \in \underline{a} pour toute fonction \underline{a} \subset \underline{b}, \subset sur A : un C_0(\Omega). définit une fonction sur C_0(\Omega). Ceci ... partie positive séparations caractéristique important. Il ce bloc, cerné et barré, contient aussi : « ~~Corollaire 1~~ A C_0(\Omega), A f(A) est l'opérateur f(\varphi) sur borné bornée ensemble E est l'application et soit donc pour »

Corollaire ~~Soit~~ K(\Omega) \subset \underline{a} le reste de la page est blanc

Proposition 1 le numéro est surchargé Soit \underline{a} un idéal bilatère de l'algèbre de von Neumann \mathcal{A}, \underline{b} son adhérence normique E \in \underline{b} ~~fonction hermitienne \underline{C}~~ sous-algèbre de \underline{b}, identifiée à une ~~fonction~~ K(\struck{\Omega}\add{M}) \subset \underline{a} le \Omega biffé et corrigé en M à l'encre noire, ici et dans la suite. Si \underline{C} est , alors fonction K de \Omega fonction hermitienne \underline{C} est une sous-algèbre Alors pour E \in \underline{b} \underline{a}. soit \underline{c} \underline{C}, borné opérateurs relation compact C_0(\struck{\Omega}\add{M}), alors \underline{C} est unitairement , alors contenu dans, un compact \Omega est d'après f \in C_0(\struck{\Omega}\add{M}) trois lignes biffées, dont une à l'encre noire

en marge gauche, sideways, à hauteur de la démonstration : fermé idéal \underline{b} \underline{a}

il existe un projecteur qui Soit E = \lim A_i (A_i \in \underline{a}), d'où E = \lim A_i^{*}A_i, donc E = \lim B_i (B_i \geq 0, B_i \in \underline{a}) d'où E = \lim E B_i E, i.e. E = \lim C_i, où C_i \in \underline{a}, E C_i E = C_i. On a C_i \leq \|C_i\| E, d'où en interligne : « \dfrac{C_i}{\|C_i\|} \leq E » E = \lim_i D_i, avec D_i \in \underline{a}, 0 \leq D_i \leq E. Mais si \|E - D_i\| \leq \frac{1}{2}, alors E \leq 2 D_i le D est surchargé (d'après ) d'où E \in \underline{a}.

Pour 2 démontrer ~~maximale de \mathcal{A})~~ si f \in K^{+}(\struck{\Omega}\add{M}) caractéristique d'un et note que 0 \leq f \leq \varphi_K \leq g, fonction au-dessus : « \varphi_K » K \subset \struck{\Omega}\add{M}, g \in K^{+}(\struck{\Omega}\add{M}). Comme U_{\varphi_K} \leq U_g \in \underline{b}, d'où U_{\varphi_K} \in \underline{b}, d'où ce qui précède U_{\varphi_K} \in \underline{a}, d'où U_f \in \underline{a}. Comme , (c'est d'ailleurs fonction de l'algèbre de \mathcal{A}), ~~soit K compact U_{\varphi_K} \in \underline{a}~~ le lot s'arrête ici ; la démonstration se poursuit au feuillet suivant