Fonds Grothendieck, cote n° 98, pages 41–43 — transcription Alexandre Grothendieck transcription automatique — première passe, non vérifiée contre les pages par une personne (2026-09-24) Opus 5.5 (claude-opus-5-5) procédure, outillage, export TEI grothendieck.commutator.io (Commutator, Paris) Édition de démonstration Commutator Paris 2026-09-25

Le fonds Alexandre Grothendieck est sous droits. Cette transcription est une édition de démonstration, non autorisée, produite par une machine et non vérifiée ; aucune image du fonds n'est reproduite. La source LaTeX dont ce fichier dérive est publiée sous https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-project.

 https://grothendieck.commutator.io France Montpellier Université de Montpellier Fonds Alexandre Grothendieck (archives mathématiques, 1949–1991) 98 Schémas de Hilbert. Normes : notes manuscrites (s.d.). Pages 41 à 43 de la cote, dans la numérotation des archivistes (crayon, en bas à gauche de chaque page) ; lot 3 de vingt pages. Les pages absentes de la transcription ne portent pas de mathématiques et sont omises ; le saut dans la numérotation en est le seul enregistrement. https://grothendieck.umontpellier.fr/98.pdf Fac-similé numérique de l'Université de Montpellier. Sa première page est une feuille de garde générée par l'université : la page n des archivistes est la page n+1 du PDF, et l'attribut facs de chaque pb tient compte de ce décalage.

Transcription mathématique du fonds, une passe de vingt pages par conversation avec un grand modèle multimodal, sous la procédure transcribe-grothendieck du dépôt. Le fichier LaTeX est la source de référence ; ce TEI en est dérivé mécaniquement par scripts/tei.mjs et n'a pas été relu.

L'édition n'est pas diplomatique : elle encode les mathématiques et l'apparat, rien du support. Correspondance avec l'apparat de la source : \ill devient gap[@reason='illegible'] (jamais deviné) ; \uncertain devient unclear ; \add devient supplied ; \struck devient del (biffé par l'auteur) ; \note devient note[@type='editorial'] (du transcripteur) ; \marginal devient note[@type='authorial'][@place='margin'] (de l'auteur) ; \page devient pb.

Les mathématiques sont transportées en TeX dans formula[@notation='TeX'], les diagrammes commutatifs en formula[@notation='tikz-cd'], sans conversion. Une marque d'apparat située à l'intérieur d'une formule (un exposant illisible, un symbole biffé) reste dans le TeX de la formule, sous les mêmes macros.

Orthographe, ponctuation et lapsus de l'auteur sont conservés ; une faute évidente est signalée par une note, jamais corrigée.

 https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-project français, avec la notation mathématique de l'auteur Première passe de transcription. Export TEI depuis la source LaTeX.
[Changement de base pour les \mathcal{E}xt de faisceaux plats]

titre de l'éditeur, entre crochets. La page 41 porte en tête, de sa main, les mots donnés ci-dessous.

Résultats des

Avec Avec les notations précédentes, mais sans conditions de finitude « sans » est écrit au-dessus de la ligne, « conditions de finitude » en deux lignes sous la fin de la phrase.

Lemme. Supposons que X soit plat sur S, F et G plats sur S, par enfin \mathcal{E}xt^i(F, G) plats sur S F pour i \le N. Alors pour tout T sur S, on a des isom. canoniques deux lignes biffées sous « \mathcal{E}xt^i(F,G) plats sur S » ; on y devine p \simeq x au-dessus d'un F initial, rien d'autre. « Alors pour tout T sur S » est encadré, et un trait vertical borde à gauche tout l'énoncé des hypothèses. \mathcal{E}xt^i_{\mathcal{O}_X}(F, G) \times_S T \longrightarrow \mathcal{E}xt^i_{\mathcal{O}_{X_T}}(F_{(T)}, G_{(T)}) le signe entre \mathcal{E}xt^i_{\mathcal{O}_X}(F,G) et T est un simple \times indicé S.

On suppose que pour tout x de X, il existe un voisinage U de x tel que, sur U, il y a une F- résolution L_* \to F|U de longueur \le N+1, avec L_i loc. libres \le N, de type fini acycliques \le N+1 \mathcal{H}^i = \mathcal{H}om(L_*, M) \mathcal{H}om(L_N, N) sont \mathcal{H}om(L_{N+2}, N) soit et S-plats, \operatorname{Coker}\bigl(\mathcal{H}om(L_N, G) \to \mathcal{H}om(L_{N+1}, G)\bigr) S-plat. longue addition écrite en travers de la marge gauche, en oblique, au crayon et à l'encre bleue ; aucun signe de renvoi, sinon le trait vertical qui borde les hypothèses du lemme. Le bloc central, encadré et barré de plusieurs traits, est donné comme biffé ; ses M et N sont soulignés. Dans « longueur \le N+1 », N récrit sur un mot noirci. Les indices L_N, L_{N+1} de la dernière ligne sont soulignés et peu nets.

Preuve. Définition des isom., on suppose. S, X, T sont affines, et on laisse au lecteur le soin de vérifier que les isom. ainsi obtenus « se recollent ».

Soient A, B, A' les anneaux de S, X, T, M, N les B-modules qui définissent F, G, donc B et M sont A-plats. Soit B' = B \otimes_A A'. Soit L_* M- résolution complexe libre de type fini de B-modules, B de degrés \le N+1, de type fini en les L_i, M A' et acyclique en dim. \le N A les A- []. ces lignes sont une suite de reprises superposées, au crayon et à l'encre bleue ; seuls les mots et formules marqués ici se lisent, et leur ordre n'est pas toujours sûr.

Mais, A () L_* \otimes_A A' (= L_* \otimes_B B') est en dim. \le N , une résolution de M \otimes_A A' = M \otimes_B B' = M', d'ailleurs formée de libres de type fini en tt dim. le dernier mot de la page, noirci, ne se lit pas.

Donc on a pour p \le N \operatorname{Ext}^p_{B'}(M', N') = H^p\bigl(\operatorname{Hom}(L'_*, N')\bigr) = H^p\bigl(\operatorname{Hom}_{\uncertain{A}}(L_*, N) \otimes_A A'\bigr) le N du dernier membre est récrit, peut-être sur N' ; l'indice de \operatorname{Hom}, ici et à la ligne suivante, se lit A là où l'on attendrait B ; on le laisse tel quel.

Soit donc K^* = \operatorname{Hom}_{\uncertain{A}}(L_*, N), qui longueur et A-plat [il suffira p < N N , et pour p = N ]. Donc \operatorname{Ext}^p_{B'}(M', N') = H^p(K^* \otimes_A A'), \qquad \operatorname{Ext}^p_{B}(M, N) = H^p(K^*) \qquad (p \le N). « p \le N » est écrit à droite des deux formules, séparé d'elles par un trait vertical.

D'ailleurs les K^i sont A-libres, les H^p(K^*) aussi pour p \le N, et le conoyau de K^{N} \to K^{N+1} est A-plat. Il s'ensuit que l'homom. canonique H^p(K^*) \otimes_A A' \longrightarrow H^p(K^* \otimes_A A') est un isom. en tt dimension, en particulier pour p \le N on trouve \operatorname{Ext}^p_{B'}(M', N') \simeq \operatorname{Ext}^p_B(M, N) \otimes_A A' cqfd. l'exposant de K^{N} est précédé d'une marque qui ne se lit pas ; l'indice A du dernier \otimes est récrit sur une autre lettre.

[Familles limitées : plan]

titre de l'éditeur, entre crochets ; la page 43 n'en porte pas. Elle donne une suite d'énoncés par leur seul intitulé.

Famille limitée de faisceaux cohérents [ : depuis bornés ]

Famille limitée de complexes de faisceaux cohérents ( ) les deux premières lignes sont réunies par une accolade à gauche ; le crochet « [ : … bornés ] » est relié par un trait à la parenthèse de la seconde.

Prop. 1 Réunion finie de familles limitées est limitée.

Prop. 2 Possibilité dans la définition de supposer S les familles « familles universelles » plates sur T.

Prop. 3 Changement de base S' \to S transforme famille limitée en famille limitée. Réciproque si \operatorname{Im}(S' \to S) contient tous les points de S intervenant dans F.

Prop. 4 \mathcal{H}^p(K)

Prop. 5 H^{s}_{f_1, \ldots, f_n}{}^{p}(K_1, \ldots, K_n), où f_i : X_i \to Z_i est propre, K_i sur X_i.

Cor. 1 Tors locaux

Cor. 2 Images inverses par X' \to X

Cor. 3 Images directes et R^p f_*

Prop. 6 \mathcal{E}xt^p_{\mathcal{O}_X}(K, L) [ l'indice \mathcal{O}_X est écrit entre cette ligne et la suivante ; il peut aussi appartenir au \mathcal{H}om du corollaire. Le crochet ouvert reste sans suite.

Cor. \mathcal{H}om(F, G)

Prop. 7 \mathcal{E}xt^p_{\uncertain{X, f}}(K, L) quand ça marche

Cor. \mathcal{E}xt^1_{\uncertain{X, f}}(F, G) en tout cas. l'indice de ces deux \mathcal{E}xt se lit « ex, f » ; la première lettre peut être un \mathcal{O} ou un X cursif. Un trait oblique, dans la marge gauche, part de « Prop. 6 » vers le haut.