Cote n° 98 · batch 3 · pages 41–43 · Transcription · Schémas de Hilbert. Normes : notes manuscrites (s.d.).
Édition de démonstration

[Changement de base pour les \(\mathcal{E}xt\) de faisceaux plats]

titre de l'éditeur, entre crochets. La page 41 porte en tête, de sa main, les mots donnés ci-dessous.

41Résultats […] […] des

Avec Avec les notations précédentes, mais [sans] conditions de finitude « sans » est écrit au-dessus de la ligne, « conditions de finitude » en deux lignes sous la fin de la phrase.

Lemme. Supposons que \(X\) soit plat sur \(S\), \(F\) et \(G\) plats sur \(S\), […] par […] enfin \(\mathcal{E}xt^i(F, G)\) plats sur \(S\) \(F\) […] […] […] […] […] pour \(i \le N\). Alors pour tout \(T\) sur \(S\), on a des isom. canoniques deux lignes biffées sous « \(\mathcal{E}xt^i(F,G)\) plats sur \(S\) » ; on y devine \(p \simeq x\) au-dessus d'un \(F\) initial, rien d'autre. « Alors pour tout \(T\) sur \(S\) » est encadré, et un trait vertical borde à gauche tout l'énoncé des hypothèses. \[ \mathcal{E}xt^i_{\mathcal{O}_X}(F, G) \times_S T \longrightarrow \mathcal{E}xt^i_{\mathcal{O}_{X_T}}(F_{(T)}, G_{(T)}) \] le signe entre \(\mathcal{E}xt^i_{\mathcal{O}_X}(F,G)\) et \(T\) est un simple \(\times\) indicé \(S\).

On suppose que pour tout \(x\) de \(X\), il existe un voisinage \(U\) de \(x\) tel que, sur \(U\), il y a une \(F\)-[…] résolution \(L_* \to F|U\) de longueur \(\le N+1\), avec \(L_i\) loc. libres […] […] \(\le N\), de type fini […] […] acycliques […] \(\le N+1\) […] […] […] \(\mathcal{H}^i = \mathcal{H}om(L_*, M)\) […] \(\mathcal{H}om(L_N, N)\) sont […] \(\mathcal{H}om(L_{N+2}, N)\) soit et \(S\)-plats, \(\operatorname{Coker}\bigl(\mathcal{H}om(L_N, G) \to \mathcal{H}om(L_{N+1}, G)\bigr)\) \(S\)-plat. longue addition écrite en travers de la marge gauche, en oblique, au crayon et à l'encre bleue ; aucun signe de renvoi, sinon le trait vertical qui borde les hypothèses du lemme. Le bloc central, encadré et barré de plusieurs traits, est donné comme biffé ; ses \(M\) et \(N\) sont soulignés. Dans « longueur \(\le N+1\) », \(N\) récrit sur un mot noirci. Les indices \(L_N\), \(L_{N+1}\) de la dernière ligne sont soulignés et peu nets.

Preuve. Définition des isom., on suppose. \(S\), \(X\), \(T\) sont affines, et on laisse au lecteur le soin de vérifier que les isom. ainsi obtenus « se recollent ».

Soient \(A\), \(B\), \(A'\) les anneaux de \(S\), \(X\), \(T\), \(M\), \(N\) les \(B\)-modules qui définissent \(F\), \(G\), donc \(B\) et \(M\) sont \(A\)-plats. [Soit \(B' = B \otimes_A A'\).] Soit \(L_*\) […] \(M\)- résolution complexe libre de type fini […] de \(B\)-modules, \(B\) […] de degrés \(\le N+1\), […] […] de type fini en […] […] […] […] les \(L_i\), \(M\) […] \(A'\) et acyclique en dim. \(\le N\) […] […] \(A\) […] […] les \(A\)-[…] [[…]]. ces lignes sont une suite de reprises superposées, au crayon et à l'encre bleue ; seuls les mots et formules marqués ici se lisent, et leur ordre n'est pas toujours sûr.

Mais, \(A\) ([…]) \(L_* \otimes_A A'\) (\(= L_* \otimes_B B'\)) est en dim. \(\le N\) […], une résolution de \[ M \otimes_A A' = M \otimes_B B' = M', \] d'ailleurs formée de libres […] de type fini en [tt] dim. […] le dernier mot de la page, noirci, ne se lit pas.

42Donc on a pour \(p \le N\) […] \[ \operatorname{Ext}^p_{B'}(M', N') = H^p\bigl(\operatorname{Hom}(L'_*, N')\bigr) = H^p\bigl(\operatorname{Hom}_{\uncertain{A}}(L_*, N) \otimes_A A'\bigr) \] le \(N\) du dernier membre est récrit, peut-être sur \(N'\) ; l'indice de \(\operatorname{Hom}\), ici et à la ligne suivante, se lit \(A\) là où l'on attendrait \(B\) ; on le laisse tel quel.

Soit donc \(K^* = \operatorname{Hom}_{\uncertain{A}}(L_*, N)\), qui […] longueur […] […] et […] \(A\)-plat [il suffira […] […] \(p < N\) […] \(N\) […], et pour \(p = N\) […] […] […]]. Donc \[ \operatorname{Ext}^p_{B'}(M', N') = H^p(K^* \otimes_A A'), \qquad \operatorname{Ext}^p_{B}(M, N) = H^p(K^*) \qquad (p \le N). \] « \(p \le N\) » est écrit à droite des deux formules, séparé d'elles par un trait vertical.

D'ailleurs les \(K^i\) sont \(A\)-libres, les \(H^p(K^*)\) aussi pour \(p \le N\), et […] le conoyau de \(K^{N} \to K^{N+1}\) est \(A\)-plat. Il s'ensuit que l'homom. canonique \[ H^p(K^*) \otimes_A A' \longrightarrow H^p(K^* \otimes_A A') \] est un isom. en [tt] dimension, […] en particulier pour \(p \le N\) on trouve \[ \operatorname{Ext}^p_{B'}(M', N') \simeq \operatorname{Ext}^p_B(M, N) \otimes_A A' \] cqfd. l'exposant de \(K^{N}\) est précédé d'une marque qui ne se lit pas ; l'indice \(A\) du dernier \(\otimes\) est récrit sur une autre lettre.

[Familles limitées : plan]

titre de l'éditeur, entre crochets ; la page 43 n'en porte pas. Elle donne une suite d'énoncés par leur seul intitulé.

43Famille limitée de faisceaux cohérents [ : depuis […] bornés ]

Famille limitée de complexes de faisceaux cohérents ([…] […]) les deux premières lignes sont réunies par une accolade à gauche ; le crochet « [ : … bornés ] » est relié par un trait à la parenthèse de la seconde.

Prop. 1 Réunion finie de familles limitées est limitée.

Prop. 2 Possibilité dans la définition de supposer \(S\) […] les familles « familles universelles » plates sur \(T\).

Prop. 3 Changement de base [\(S' \to S\)] […] transforme famille limitée en famille limitée. Réciproque si \(\operatorname{Im}(S' \to S)\) contient tous les points de \(S\) intervenant dans \(F\).

Prop. 4 \(\mathcal{H}^p(K)\)

Prop. 5 \(H^{s}_{f_1, \ldots, f_n}{}^{p}(K_1, \ldots, K_n)\), où \(f_i : X_i \to Z_i\) est propre, \(K_i\) sur \(X_i\).

Cor. 1 […] Tors locaux […]

Cor. 2 Images inverses par \(X' \to X\)

Cor. 3 Images directes et \(R^p f_*\)

Prop. 6 \(\mathcal{E}xt^p_{\mathcal{O}_X}(K, L)\) [ l'indice \(\mathcal{O}_X\) est écrit entre cette ligne et la suivante ; il peut aussi appartenir au \(\mathcal{H}om\) du corollaire. Le crochet ouvert reste sans suite.

Cor. \(\mathcal{H}om(F, G)\)

Prop. 7 \(\mathcal{E}xt^p_{\uncertain{X, f}}(K, L)\) quand ça marche

Cor. \(\mathcal{E}xt^1_{\uncertain{X, f}}(F, G)\) en tout cas. l'indice de ces deux \(\mathcal{E}xt\) se lit « e\(x\), \(f\) » ; la première lettre peut être un \(\mathcal{O}\) ou un \(X\) cursif. Un trait oblique, dans la marge gauche, part de « Prop. 6 » vers le haut.