Cote n° 98 · batch 2 · pages 21–40 · Transcription · Schémas de Hilbert. Normes : notes manuscrites (s.d.).
Édition de démonstration

[Suites spectrales]

titre de l'éditeur, entre crochets : les pages 21 et 23 sont deux feuillets isolés, sans titre, sans lien apparent avec ce qui les entoure.

21\(H^{*}(-/S, \mathbf{G}_m) \Leftarrow\) \(\cdot\ H^2(-/S, \mathbf{G}_m)\)

\[ \cdot \to H^2(T/S, \mathbf{G}_m) \to H^2(-/S, \mathbf{G}_m) \to H^0(T/S, \mathcal{H}^2(\mathbf{G}_m)) \xrightarrow{\ d_3\ } H^3(T/S, \mathbf{G}_m) \to H^3(-/S, \mathbf{G}_m)' \] \[ \to H^1(T/S, \mathcal{H}^2(\mathbf{G}_m)) \xrightarrow{\ d_3\ } H^4(T/S, \mathbf{G}_m) \to E_4^{4,0} \to 0 \] la première ligne est encadrée ; la seconde est écrite sous le cadre et la prolonge. Devant \(E_4^{4,0}\), une flèche double biffée. Le signe \(\mathbf{G}_m\) de \(H^4\) est récrit sur une tache. À gauche, un schéma \(T \leftarrow T \times_S T\) au-dessus de \(S\), sans autre texte.

Au pied de la page, un carré de corps :

\begin{tikzcd}
  k \arrow[r, no head, "\mathrm{rad}"] \arrow[d, no head] & k' \arrow[d, no head] \\
  k'' \arrow[r, no head, "\mathrm{rad}"'] & k'k''
\end{tikzcd}

les quatre côtés sont des traits sans flèche ; les deux côtés horizontaux portent « rad », les verticaux une marque qu'on lit sép. À côté, isolé, \(H^2(\ /k, \mathbf{G}_m)\).

23Leray

\begin{tikzcd}
  F \arrow[d, hook] \\
  X \arrow[d] \\
  Y
\end{tikzcd}

application fibrée (au sens de Serre) générale \[ H^{*}(X) \Leftarrow H^p(Y, H^q(F)) \]

Leray-Cartan

\begin{tikzcd}
  X \arrow[d] \\
  Y \arrow[d] \\
  B_F
\end{tikzcd}

\(F\) un groupe, fibré principal \(\leftarrow\) d'une fibration générale \[ H^{*}(Y) \Leftarrow H^p(B_F, \{H^q(X)\}) \] N.B. \(\{H^q(X)\}\) est un système local défini par les opérations de \(\pi_0(F)\) sur \(H^q(X)\). « défini » est écrit au-dessus d'un mot souligné et surchargé qu'on ne lit pas.

\begin{tikzcd}
  Y \arrow[d] \\
  B_F \arrow[d] \\
  B_{\struck{X}}
\end{tikzcd}

\(X\) \(Y\) un groupe, \(F\) un s.-groupe, d'une fibration générale \[ H^{*}(B_F) \Leftarrow H^p(B_{\struck{X}}, \{H^q(Y)\}) \] N.B. \(\{H^q(Y)\}\) est un système local défini par les op. de \(\pi_0(X)\) sur \(H^q(X/F)\) […] de celles de \(\pi_0(X)\) sur \(\pi_0(X/F)\). ici, et dans le schéma au-dessus, il écrit \(X\) là où il vient de nommer le groupe \(Y\) ; le \(X\) de \(B_X\) est biffé, celui du N.B. ne l'est pas. Laissé tel quel.

[…] Sch. […] Si \(Y\) est discret, […] d'isomorphismes bien […] […] le […] de \(B_F\), et telle de \(B_G\) […] […] […] […] […]. induits [à conditions […] […] […] […] \(F\), \(G\) […] discrets] trois lignes serrées, d'écriture rapide, sous une ligne biffée ; seuls les signes mathématiques se lisent. \(G\) apparaît ici pour la première fois.

Hochschild-Serre Leray-Čech

\begin{tikzcd}
  B_F \arrow[d] \\
  B_{\struck{X}} \arrow[d] \\
  B_Y
\end{tikzcd}

\(X\) un groupe, \(F\) un s.-groupe distingué, donc \(Y\) un groupe, d'une fibration générale \[ H^{*}(B_G) \Leftarrow H^p(B_Y, H^q(B_F)) \] les quatre intitulés sont écrits en oblique dans la marge gauche, soulignés, chacun en face de son schéma ; le troisième schéma n'en a pas. Le \(B_G\) de la dernière suite est tel quel sur la page.

Familles limitées

« Familles limitées », et au-dessous « cf. SGA 6 XIII », sont ses mots, seuls sur la page 25, qui sert de couverture à ce qui suit.

26Il y a deux variantes : prouver[…]

Assez naturel : Si des \(F_i\) sont quotients d'un […] \(L\), et si les cycles associés, de dimension \(d\), […] de degrés bornés, alors les \(F_i\) sont limités ;

Les variantes \(L = \mathcal{O}(-n)^k\) et […]

\(L = \ill{}\), En effet, lorsque […] […] de \(F_i\) varie : […] bornée, on […] […] […] le sup. de […] ⌜[…]⌝ longueur, soit \(l\). Si \(l \le 0\) rien à prouver, […] […] \(l\) ⌜\(l\)⌝.

Il faut […] […] Si \(l = 1\), dans les […] […], […] \(F_i\) […] […] l'[…] […] extension de faisceaux […] […] limités.

(e) limités, reste limités.

Si \(l = 1\), \(F_i \subset \struck{\ill{}}\ \mathcal{O}_{Z_i}\), \(Z_i\) un cycle […] irréductible de degré […] ⌜borné⌝. […] Le résidu […] […] […] que les \(\mathcal{O}_{Z_i}\)

(d) sont limités, […] […] fini ; ([…] […] d'[…] […] les faisceaux \(L\) dans \(\mathcal{O}_{Z_i}\)).

On […] […] dernier point, on utilise

(f) Chow général, page d'écriture très rapide, au crayon pâle, sur sa largeur ; les lettres (d), (e), (f) cerclées sont dans la marge gauche, en face des lignes où elles sont données. Seuls les signes mathématiques et quelques mots se lisent.

27faisceaux \(F_i\) quotients d'un faisceau donné \(E\), et […] ⌜les⌝ \(P_{F_i}\) en […] ⌜nb⌝ finis. On veut prouver que les \((F_i)\) sont limités. Réciproquement

[…] 4°) Résultat de Chow : les cycles de \(\mathbf{P}^n_{\mathbf{Z}}\) de dimension et degré […] borné sont inclus dans les fibres d'une […] fini […] fini […] […] \(\Gamma \subset \mathbf{P}^n_T \to T\), où \(T\) de type fini sur \(\mathbf{Z}\). « cycles » est doublement souligné. L'indice de \(\mathbf{P}^n\) dans \(\Gamma \subset \mathbf{P}^n_T\) est sous une tache d'encre ; \(T\) est la lecture attendue.

c) La preuve par récurrence naturelle […] sur \(\sup \dim \operatorname{Supp} F_i = d\), le résultat est trivial si \(d < 0\). Si \(d \ge 0\), on regarde les […] suites exactes \[ 0 \to F''_i \to F_i \to F'_i \to 0 \] […] où avec \(\dim F''_i < d\) et \(F'_i\) […] […] […] ⌜[…] les⌝ […] cycles associés de dim \(d\). Les \(F'_i\) sont quotients de \(\mathcal{L}\), […] de […] […] […] ; si on prouve qu'ils sont limités, on en conclut que les […] \(P_{F'_i}\) sont en nb fini, donc aussi les \(P_{F''_i} = P_{F_i} - P_{F'_i}\) en nb fini ; d'autre part les […] des […]

(d) Les \(F'_i\) sont limités, donc quotients d'un […] \(= L''\), donc les \(F''_i\) sont quotients d'un […] \(= L''\) et leurs pol. de Hilb. en nb fini, donc […] […] […] grâce à l'hyp. de récurrence, ils sont limités. Dans les conditions \(F_i\) et \(F'_i\) limités,

(e) les \(F''_i\) sont limités. (d) et (e) cerclés en marge ; le « c) » qui ouvre le paragraphe est écrit dans la marge et biffé. La lettre (d) répond à celle de la page 26 : les deux pages reprennent le même plan.

[Classes de faisceaux sur les extensions du corps de base]

titre de l'éditeur, entre crochets.

28Définition 1. Soient \(X\) un préschéma Ag sur un corps \(k\), \(F_i\) et \(G_i\) (\(i = 1, 2\)) un faisceau algébrique sur \(X_i = X \otimes_k K_i\), où \(K_i\) est une extension de \(k\). On dit que \(F_1\) et \(F_2\) sont \(k\)-équivalents s'il existe une extension \(K'\) de \(k\), des \(k\)-homom. \(u_i : K_i \to K'\), tels que […] les faisceaux algébriques \(F_i \otimes_{K_i} K'\) sur \(X \otimes_k K' \simeq X_i \otimes_{K_i} K'\) soient isomorphes. La classe d'équivalence Classes géométriques de faisceaux. « \(F_i \otimes_{K_i} K'\) » est interligné. Dans la marge gauche, un petit croquis : une nappe marquée \(X\), des verticales, \(K'\), \(S\) ; un trait vertical borde la définition.

On vérifie facilement que c'est là une relation d'équivalence entre faisceaux ⌜couples \((K, F)\)⌝ d'une ext. \(K\) de \(k\) et d'un faisceau algébrique \(F\) sur \(X \otimes_k K\), en vertu du fait de la transitivité de l'extension des scalaires et du fait que deux extensions de \(k\) peuvent toujours être « dominées » par une troisième.

⌜Si \(X\) est de type fini sur \(k\),⌝

Proposition 1. Tout faisceau défini sur un \(X \otimes_k K\) est équivalent à un faisceau algébrique sur un \(X \otimes_k K'\), où \(K'\) est une s.-extension de \(K\) de type fini sur \(k\). Si \(F_1\) sur \(X \otimes_k K_1\) et \(F_2\) sur \(X \otimes_k K_2\) sont des faisceaux cohérents équivalents, […] ⌜les⌝ \(K_i\) de […] […] fini sur \(k\), alors dans « Si \(X\) est de type fini sur \(k\), » est écrit au-dessus de l'énoncé et souligné.

29définition 1 on peut prendre pour \(K'\) une extension de type fini de \(K\).

Cor. résulte de Chap. V, § 1. Question : peut-on prendre pour \(K'\) n'importe quelle extension universelle ?

Cor. montre que pour l'étude des […] classes de faisceaux ⌜sur \(X\)⌝, […] à équivalence près, on peut se borner aux faisceaux « définis » sur des extensions de type fini de \(k\). Cela prouve aussi ⌜qu'il est raisonnable de prendre l'ens.⌝ […] des classes de faisceaux ainsi pris [qui est un ens. […] […] […] \(L\) = univers […] […] contenant \(k\), \(X\)]. On pose, \(\mathfrak{F}(X/k)\) est écrit au-dessus de la fin de ce passage, dans un cadre relié à la ligne.

[…] […] de […] […] […] par extension du corps de base \(k\) en un \(k'\). En effet, \(\mathfrak{F}(X/k)\) est un […] […] en \(X/k\), […] pour \(k\) fixé. bloc barré de trois diagonales et fermé d'un trait ; la lecture en est donnée telle qu'elle se fait sous les traits. Dans la marge du bloc, « Définition », doublement souligné et biffé. plus bas complété

On notera que l'ens. \(\mathfrak{F}(X/k)\) est, pour \(k\) fixé, un foncteur contravariant en \(X\). Cependant, si \(k'\) est une extension de \(k\), il n'y a pas un

30Corollaire 5. Soit \(\widetilde{K}\) une extension algébriquement close de \(k\) de degré de transcendance infini, et soit \(\widetilde{X} = X \otimes_k \widetilde{K}\). Alors l'ens. \(\mathfrak{F}(X/k)\) iden est en correspondance biunivoque avec l'ens. des classes de faisceaux ⌜coh.⌝ \(F\) sur \(\widetilde{X}\) pour la ⌜\(k\)-⌝équivalence suivante […] : \(F\) et \(G\) sont \(k\)-équivalents ssi il existe un automorphisme \(\sigma\) de \(\widetilde{K}/k\) tel que (\(\sigma_{\widetilde{X}}\) désignant l'automorphisme \(\mathrm{id}_X \times \sigma\) qu'il définit dans \(\widetilde{X}\)) \(F \simeq \sigma_{\widetilde{X}}(G)\).

En d'autres termes \(\mathfrak{F}(X/k)\) est l'ens. quotient de l'ens. des classes, à isom. près, de faisceaux coh. sur \(\widetilde{X}\), par le groupe \(\operatorname{Aut}(\widetilde{K}/k)\) y opérant de façon évidente. « coh. » et « \(k\)- » sont interlignés.

Ceci dit, soit \(n\) un entier, et \(\Phi\) une opération ⌜fonction⌝ qui associe, à tout \(n\)-uple de faisceaux cohérents sur un préschéma algébrique \(X\) sur un corps […] alg. clos,

Supposons \(X\) et \(Y\) sur \(k\) donnés, et^* pour tt \(K/k\) donné (\(K\) alg. clos), une partie \(\Psi(X \otimes_k K)\) de \(\mathfrak{F}(X \otimes_k K)\), […] […] compatible […] extension de la base. note écrite en oblique dans l'angle inférieur gauche.

31un ensemble \(T(F_1, \ldots, F_n)\) de classes faisceaux (⌜choisis⌝ sur \(X\)), de façon que :

(i) si les \(F_i\) sont remplacés par des faisceaux \(F'_i\) isomorphes, ⌜les faisceaux \(\in\)⌝ \(T(F'_1, \ldots, F'_n)\) sont isomorphes […] \(T\) à un faisceau \(\in T(F_1, \ldots, F_n)\) ;

(ii) compatibilité avec l'extension de la base : \(T(F_1 \otimes k', \ldots, F_n \otimes k')\) est (à isomorphie près) l'ens. des faisceaux \(G \otimes k'\), où \(G \in T(F_1, \ldots, F_n)\). (i) Généralisation un trait vertical, dans la marge, borde (i) et (ii).

Déf. Si alors les \(A_i\) sont des parties (\(i = 1, \ldots, n\)) de \(\mathfrak{F}(X/k)\), on désigne par \(\mathfrak{F}(A_1, \ldots, A_n)'\) l'ens. ⌜dans \(\mathfrak{F}(X/k)\)⌝ des classes des cl. des \(\mathfrak{F}(F_1, \ldots, F_n)\), où \(F\) sont choisis sur \(\widetilde{X}\) et \(\mathrm{cl}_K(F_i) \in A_i\) pour tt \(i\). « Déf. » est encadré et biffé ; un trait vertical borde la définition. […] […] […] […]

On voit […] ⌜facilement⌝ que la définition ne change pas si on remplace \(\widetilde{K}\) par une […] extension \(\widetilde{K}'\) de \(\widetilde{K}\) ayant les mêmes propriétés, et il en […] d'ailleurs, facile de donner une définition directe de \(\mathfrak{F}(A_1, \ldots, A_n)'\) […], utilisant \(\widetilde{K}\), […] […] […] […] propriété \(T\) la page prolonge la page 30 : le \(T\) est l'opération « de \(n\) faisceaux » annoncée au bas de celle-ci. Deux notes obliques dans la marge gauche ; la seconde se lit « propriété \(T\) ».

32\(\mathfrak{F}(F_1, \ldots, F_n)\), où les \(F_i\) sont des faisceaux définis sur un […] \(= X \otimes_k K\), ⌜\(K\) alg. clos,⌝ \(\mathrm{cl}_k F_i \in A_i\). « \(K\) alg. clos » est interligné.

D'ailleurs, si on prend […] des faisceaux \(K_i\) \(F_i\) sur des extensions distinctes \(K_i/k\), \(F_i\) de classe \(\xi_i \in \mathfrak{F}(X/k)\), on obtient \(\mathfrak{F}(\xi_1, \ldots, \xi_n)\) en prenant de toutes les façons possibles une extension composée des \(K_i\) sur \(k\), […] […] […] \(K_\alpha\) \(L_\alpha\), et l'[…] […] […] des […] des cl. dans \(\mathfrak{F}(X/k)\) ⌜[…] […]⌝ \(\mathfrak{F}(F_1^{(\alpha)}, \ldots, F_n^{(\alpha)})\) \(\mathfrak{F}(F_1 \otimes_k L_\alpha, \ldots, F_n \otimes_k L_\alpha)\).

Si \(\mathfrak{F}\) est défini aussi pour des faisceaux sur un \(X_K\), sans supposer \(K\) alg. clos, en satisfaisant les conditions correspondantes de (i) et (ii), alors […] […] pas besoin des complications précédentes de […] […] ⌜supposer les \(K_i\) alg. clos⌝, et ⌜l'⌝on prend : […] clôtures algébriques […] extensions composées.

pour 2 faisceaux \(F_i\) […] […] […] […] ! […] \(X_i\) […] […] note oblique dans la marge gauche, presque entièrement illisible.

33Exemples.

a) foncteurs \(\mathcal{H}om\), \(\otimes\), et leurs dérivés. [2 arguments, \(X = Y\)] et les analogues en un argument.

(d) Si \(F\) et \(G\) sont des faisceaux, […] […] l'ens. ⌜\(N(F, G)\)⌝ des morphismes ⌜et \(P(F, G)\)⌝ des monomorphismes de \(F\) en \(G\) [[…] \(=\) […] […] […] […], c'est kif kif, […] […] […] […] […] identifié […] précédemment […]]. [2 arg., \(X = Y\)]

(b) Foncteurs image inverse (1 arg., \(f : X \to Y\) donné) et leurs dérivés.

(c) Foncteurs image directe et foncteurs dérivés (1 arg., \(f : X \to Y\) […] donné).

(e) Ens. des extensions de \(F\) par \(G\) (2 arg., \(X = Y\)).

(f) Ens. des quotients successifs d'une filtration primaire croissante, resp. décroissante, de \(F\) (1 arg., \(X = Y\)).

(f) Ens. des […] ⌜Foncteurs⌝ \(\mathcal{O}_{(\mathrm{Supp}\, F)_{\mathrm{red}}}\) (\(K\) alg. clos, 1 arg., \(X = Y\)).

Ens. des composantes

(h) Ens. des […] faisceaux composantes primaires de \(F\) associées aux composantes de son support (\(K\) alg. clos, 1 arg., \(X = Y\)).

(i) […] les lettres sont les siennes, cerclées, dans cet ordre : a, (d), (b), (c), (e), (f), (f), (h) ; (d), (e) et le second (f) sont précédés d'un astérisque, et des flèches dans la marge gauche portent (d) vers (e) et le second (f) vers le premier. La dernière ligne, (i), est entièrement biffée de traits épais.

[Stabilité des familles limitées ; Tor et changement de base]

titre de l'éditeur, entre crochets.

34(a) Soient \(A, B \subset \mathfrak{F}(X/S)\), \(A\) et \(B\) limités, alors \(A \otimes B\) et \(\mathcal{H}om(A, B)\) sont limités, ainsi que les \(\mathcal{T}or_i(A, B)\) et \(\mathcal{E}xt^i(A, B)\). un trait vertical borde l'énoncé.

Dém. En effet, supposons \[ \begin{cases} A = \struck{\mathfrak{F}}\ \mathcal{E}(F), & F \text{ défini sur } X \times_S S' \\ B = \mathcal{E}(G), & G \text{ --- } X \times_S S'' \end{cases} \]

[…] […] Avec ces notations, \(H = F \otimes_X G\) sur \(X \times_S S'''\), \(S''' = S' \times_S S''\). Alors tout type d'extension composée d'un \(k(s')\) et \(k(s'')\), sur \(k(s)\), [\(s' \mapsto s\), \(s'' \mapsto s\) ; \(s' \in S'\), \(s'' \in S''\)] provient d'un (unique) \(s''' \in S'''\), \(s''' \mapsto s'\), \(s''' \mapsto s''\) ; et on aura \[ (F_{s'} \otimes_{k(s')} K) \otimes_{\struck{X}\, X_{s'} \otimes_{k(s)} K} (G_{s''} \otimes_{k(s'')} K) \simeq H_{s'''} . \] dans la marge gauche, les huit sommets d'un cube, \(X\), \(X'\), \(X''\), \(X'''\) au-dessus de \(S\), \(S'\), \(S''\), \(S''' = S' \times_S S''\), reliés par des traits sans flèche.

Comme \(S'''\) est de type fini sur \(S\), la conclusion pour \(\otimes\) s'ensuit, on a bien prouvé \[ \struck{\ill{}\ \mathcal{E}(F) \otimes}\ \mathcal{E}_{X/S}(F) \otimes \mathcal{E}_{X/S}(G) \subset \mathcal{E}_{X/S}(H) . \]

Pour \(\mathcal{H}om\), on peut supposer […] \(X'\) et \(F\) \(S'\)-plats […] ; \(\bar{F} = F \otimes_{S'} S'''\), \(\bar{G} = G \otimes_{S'} S'''\) et on sait [lemme] qu'on peut trouver une partition finie de \(S'''\) en […] \(\longrightarrow T_i\) telle que, posant \(F_i = \bar{F} \otimes_{S'''} T_i = F \otimes_{S'} T_i\), \(G_i = \bar{G} \otimes_{S'''} T_i = G \otimes_{S'} T_i\), \(X_i^{*} = X''' \times_{S'''} T_i = X \times_S T_i\), dans \(\bar{G} = G \otimes_{S'} S'''\) et \(G \otimes_{S'} T_i\), l'indice \(S'\) est tel quel sur la page, là où l'on attend \(S''\).

35la formation de \(\mathcal{H}om_{X_i}(F_i, G_i)\) commute à tout changement de base \(T' \to T_i\), et en particulier à l'extension de base [pour ceci, écrivons une résolution une présentation libre de type fini \(L_1 \to L_0 \to \bar{F} \to 0\), […] […] \(0 \to Z_1 \to L_1 \to Z_0 \to 0\) \[ 0 \to Z_0 \to L_0 \to \bar{F} \to 0 \] et […] […], \(Z_i\) […] […] […], […] […] […] […] \(\operatorname{Ker}\bigl(\mathcal{H}om(L_0, F) \to \mathcal{H}om(L_1, F)\bigr)\). la suite \(0 \to Z_0 \to L_0 \to \bar{F} \to 0\) est encadrée.

[…] […] […] régulière […] […] […] une décomposition ⌜de \(X'''\)⌝ […] en […] \(T_i\), telle que […] […] […] \(T_i\), la formation […], je veux dire […] des Ker commute […] […] changement de base […] composé. […] […] […] […] plus haut.]

Le cas des \(\mathcal{T}or_i\) et \(\mathcal{E}xt^i\) […] […] de même, […] […] dans les […] […] […].

Lemme. Soit \(Y\) de type fini sur \(T\) noethérien, \(K^{\bullet}\) un complexe de faisceaux cohérents, à différentielle de degré \(+1\) pour fixer les idées, \(N\) un entier. Mais il y a une décomposition ⌜finie⌝ de \(T\) en \(T_i\) loc. fermés tels que […] \(L_i\) […] […] […] […] limités […] IV, § 3 note oblique dans la marge gauche ; seul « IV, § 3 » se lit sûrement.

36posant posant \(K^{(i)} = K \times_T T_i\), pour tt \(T' \to T_i\), les homomorphismes canoniques \[ H^q(K^{(i)} \otimes_{T_i} T') \longleftarrow H^q(K^{(i)}) \otimes_{T_i} T' \] soient des isomorphismes pour \(|q| \le N\).

Démonstration, laissée […] […]. Par récurrence noethérienne sur \(T\), on est ramené au cas […] : prouver qu'il existe un \(U\) ouvert non vide de \(T\) ⌜\(T\) étant supposé intègre⌝ qui […] de \(T_i\), (Pour ceci, on choisit \(U\) tel que les \(B_i \otimes_T U\) […] […] […] […] […] et \(K_i\) \[ K^{i} \xrightarrow{\ d^{i}\ } K^{i+1} \xrightarrow{\ d^{i+1}\ } K^{i+2} \] \((\operatorname{Coker} d^i) \times_T U\) […] soient […] \(U\)-plats pour \(|i| \le N+1\) [\(U\) […] […] […] […] la structure […]] […] \(U\)-plats, pour \(|i| \le N+1\) […] le petit diagramme est dans la marge gauche ; ses indices sont serrés et récrits.

(b) Soit \(f : X \to Y\) un \(S\)-morphisme de préschémas de type finis. Soit \(A \subset \mathfrak{F}(Y/S)\) une partie limitée, alors \(f^{*}(A)\) et les \(\mathcal{T}or_{*}^{\mathcal{O}_Y}(A, \mathcal{O}_X)\) sont limités. un trait vertical borde l'énoncé.

Il y a un énoncé analogue : […] […] la proposition […], pour le produit […] \(X\) et \(Z\) sur \(Y\), […] \(A \in \mathfrak{F}(X/S)\), \(B \in \mathfrak{F}(Z/S)\), et les \(\mathcal{T}or_i^{\mathcal{O}_Z}(A, B)\). l'indice de ce dernier \(\mathcal{T}or\) se lit \(\mathcal{O}_Z\) ; on attendrait \(\mathcal{O}_Y\). Laissé tel quel.

37Soient \(X_i\) sur \(Y\) (\(1 \le i \le n\)), des \(F_i\) sur les \(X_i\), […] un changement de base \(Y' \to Y\), on compare \[ \mathcal{T}or_{*}^{\mathcal{O}_Y}(F_1, \ldots, F_n) \otimes_Y Y' \quad\text{et}\quad \mathcal{T}or_{*}^{\mathcal{O}_{Y'}}(F'_1, \ldots, F'_n) \] dans la marge gauche, en colonnes, les lettres \(X_1\ X_2\), \(X'_1\ X'_2\), \(Y\), \(Y'\), \(S\), \(S'\), sans traits.

On sait qu'il y a un homomorphisme canonique du premier dans le second. À quelle condition est-ce un isomorphisme ?

C[…] […] […] […] […] […] […] […], limités pour tous ([…] […] […] […]) que \[ \mathrm{Tor}_p^{\mathcal{O}_S}\bigl(\mathrm{Tor}_q^{\mathcal{O}_Y}(F_1, \ldots, F_n) \otimes_{\ill{}} \ldots, \mathcal{O}_{S'}\bigr) \] il suffit que les \(\mathrm{Tor}_q^{\mathcal{O}_Y}(F_1, \ldots, F_n)\) soient \(Y\)-plats. une ligne entière barrée ; au-dessus, interligné, « de = […] ». Le signe entre les deux \(\mathrm{Tor}\) est surchargé d'une tache.

38Proposition. \(X_i\) (\(1 \le i \le n\)) de type fini sur \(Y\) de type fini sur \(S\) noeth., \(F_i\) coh. sur \(X_i\), \(N\) un entier. Alors il existe un entier ouvert non vide \(U\) de \(S\), tel que, désignant par ⌜posant⌝ \(S' = U_{\mathrm{red}}\), \(X'_i = X_i \times_S S'\), \(Y' = Y \times_S S'\), \(F'_i = F_i \otimes_S S'\), on ait ceci : pour tout changement de base \(T \to S'\), les homomorphismes canoniques \[ \mathrm{Tor}_p^{\mathcal{O}_{S'}}(F'_1, \ldots, F'_n) \otimes_{S'} T \longrightarrow \mathrm{Tor}_p^{\mathcal{O}_T}(F'_{1T}, \ldots, F'_{nT}) \] (où \(F'_{\alpha T} = F'_\alpha \otimes_{S'} T\)) soient des isomorphismes pour \(p \le N\). un trait vertical borde l'énoncé. Dans \(S' = U_{\mathrm{red}}\), le \(S\) et les \(S\) des produits fibrés sont récrits sur d'autres lettres noircies. Les \(\mathrm{Tor}\) sont pris sur \(\mathcal{O}_{S'}\) et \(\mathcal{O}_T\) tels qu'écrits.

On utilise pour ceci le

Faut-il […] ? Lemme (⌜Avec les notations précédentes mais sans conditions de finitude,⌝ supposons que \(Y\) soit plat sur \(S\), que les \(X_i\) soient plats sur \(S\), et que les \(\mathrm{Tor}_i^{\mathcal{O}_Y}(F_1, \ldots, F_n)\) pour \(i \le N\) soient plats sur \(S\). Alors pour tout changement de base \(T \to S\), l'homomorphisme canonique \[ \mathrm{Tor}_i^{\mathcal{O}_S}(F_1, \ldots, F_n) \times_S T \longrightarrow \mathrm{Tor}_i^{\mathcal{O}_T}(F_{1(T)}, \ldots, F_{n(T)}) \] est un isomorphisme pour \(i \le N\). l'ajout est interligné au-dessus de « supposons » et relié à la parenthèse ouverte après « Lemme », qui n'est pas refermée ; la page 41 (lot 3) reprend « Avec les notations précédentes, mais sans conditions de finitude ». Le premier \(\mathrm{Tor}\) du lemme porte \(\mathcal{O}_Y\), celui de la flèche \(\mathcal{O}_S\) : tels qu'écrits.

39Preuve Pour la preuve, on peut supposer ⌜\(T\),⌝ \(S\), \(Y\), les \(X_i\), affines d'anneaux \(A\), \(B\), \(B_i\), \(A'\), ⌜les⌝ \(F_i\) définis par \(M\) des \(B_i\)-modules \(M_i\). Soit \(L^{(i)}\) une résolution libre de \(M_i\) comme \(B_i\)-module, posons \[ K = \bigotimes_{\substack{B \\ 1 \le i \le n}} L^{(i)} . \]

Alors […], les \(L^{(i)}\) sont plats sur \(A\), et comme \(M_i\) est plat sur \(A\), il en résulte que \(L'^{(i)} = L^{(i)} \otimes_A A'\) est une résolution de \(M'_i = M_i \otimes_A A'\), considéré comme \(B'_i\)-module (où \(B'_i = B_i \otimes_A A'\)). D'où la conclusion que \[ K' = K \otimes_A A' = \bigotimes_{\substack{B' \\ 1 \le i \le n}} L^{(i)} \otimes_B B' = \bigotimes_{\substack{B' \\ 1 \le i \le n}} L^{(i)\prime} \] calcule aussi \(\mathrm{Tor}_{*}^{B'}(M'_1, \ldots, M'_n)\). Or \(K^{\bullet}\) est un complexe de \(A\)-modules plats, d'où une suite spectrale \[ H_{*}(K \otimes_A A') \Longleftarrow \mathrm{Tor}_p^A(H_q(K), A') \] i.e. \[ \mathrm{Tor}_{*}^{B'}(M'_1, \ldots, M'_n) \Longleftarrow \mathrm{Tor}_p^A\bigl(\mathrm{Tor}_q^B(M_1, \ldots, M_n), A'\bigr) . \] Il s'ensuit que si les \(\mathrm{Tor}_q(M_1, \ldots, M_n)\) sont \(A\)-plats pour \(q \le N\), alors l'homomorphisme naturel […] […] dans la chaîne \(K' = \ldots\), un terme intermédiaire est noirci. Dans la marge gauche, en colonnes, \(M_1\ M_2\), \(M'_1\ M'_2\) ; \(B_1\ B_2\), \(B'_1\ B'_2\) ; \(B\), \(B'\) ; \(A\), \(A'\), cernés d'un trait courbe ; plus bas, une note de sept lignes, bordée d'un trait : « […] suite spectrale, i.e. […] […] […] […] […] ».

40\[ \mathrm{Tor}_p^B(M_1, \ldots, M_n) \otimes_A A' \longrightarrow \mathrm{Tor}_p^{B'}(M'_1, \ldots, M'_n) \] est un isomorphisme pour \(p \le N\). On en conclut précisément l'homom. considéré dans la proposition.

Corollaire. ⌜Sous les conditions de la prop.⌝ Il existe une décomposition ensembliste de \(S\) en […] \(S_\alpha\) loc. fermés, (\(1 \le i \le n\)) tels que, posant \(X_i^{(\alpha)} = X_i \times_S S_\alpha\), ⌜\(Y^{(\alpha)} = Y \times_S S_\alpha\),⌝ \(F_i^{(\alpha)} = F_i \otimes_S S_\alpha\), on ait […] […] ⌜on ait ceci : pour tt changement de⌝ base \(T \to S_\alpha\), l'homomorphisme canonique \[ \mathrm{Tor}_p^{\mathcal{O}_{S_\alpha}}(F_1^{(\alpha)}, \ldots, F_n^{(\alpha)}) \otimes_{S_\alpha} T \longrightarrow \mathrm{Tor}_p^{\mathcal{O}_T}(F^{(\alpha)}_{1(T)}, \ldots, F^{(\alpha)}_{n(T)}) \] soit un isomorphisme pour \(|p| \le N\). « Sous les conditions de la prop. » est interligné au-dessus de « Il existe » ; la ligne barrée sous « posant … » est récrite au-dessus.

Proposition. \(X\) de type fini sur \(S\) noeth., \(F\) et \(G\) deux faisceaux ⌜coh.⌝ sur \(X\). ⌜\(N\) un entier.⌝ Il existe alors un ouvert non vide \(U\) de \(S\), tel que, posant \(S' = U_{\mathrm{red}}\), \(X' = X \times_S S'\), \(F' = F \times_S S'\), \(G' = G \times_S S'\), on ait ceci : pour tout changement de base \(T \to S'\), les homom. […] \[ \mathcal{E}xt^p_{\mathcal{O}_{S'}}(F', G') \otimes_{S'} T \longrightarrow \mathcal{E}xt^p_{\mathcal{O}_T}(F'_{(T)}, G'_{(T)}) \] sont des isomorphismes pour \(|p| \le N\). « coh. » et « \(N\) un entier » sont interlignés. Les deux énoncés sont bordés d'un trait vertical. La page 41 (lot 3) continue avec le lemme correspondant pour les \(\mathcal{E}xt\).