Fonds Grothendieck, cote n° 98, pages 1–20

Formalisation des normes

titre et renvoi écrits au crayon de sa main sur la couverture cartonnée (page 1), seuls mots de la feuille : « Formalisation des Normes », et au-dessous « Cf aussi SGA 4 XVIII ».

Normes

A un anneau

M A-module libre de rang n

1_M \in L_A(M) d'où 1_A \otimes \cdots

~~M \otimes = 0~~

L_A\bigl(\overset{n}{\otimes}_A M\bigr) = \overset{n}{\otimes}_A L_A(M) \supset

L_A\bigl(T^n_A(M)\bigr) \simeq T^n_A\bigl(L_A(M)\bigr) \supset TS^n_A\bigl(L_A(M)\bigr)

Endomorphismes de \overset{n}{\otimes}_A M qui commutent aux opérations de symétrie / Ils opèrent en particulier sur la partie ~~\otimes~~ \overset{n}{\Lambda}_A M de \overset{n}{\otimes}_A M stable par symétrie, d'où —

X \;\; \overset{n}{\boxtimes}_S X \struck{\ill{}} \longrightarrow Y, \mathrm{Cart}^n_S(X), X \to Y flèche verticale, X au-dessus de Y.

S, \overset{n}{\otimes} F, B, A lettres isolées, écrites l'une sous l'autre, sans flèche.

X \longrightarrow \overset{n}{\boxtimes} X \overset{n}{\Lambda}_S F

\begin{tikzcd} X & X^n_S \arrow[r] & Z \\ Y \arrow[u] & Y^n_S \arrow[u] \arrow[r] & \mathrm{Symm}^n_S(Y) \arrow[u] \\ S & & \end{tikzcd}

S est écrit sous Y, séparé de lui par un point, sans flèche.

page de diagrammes épars, sans prose ; ils sont donnés de haut en bas et de gauche à droite.

\begin{tikzcd} G & \\ S \arrow[u, no head] & T \arrow[l] \end{tikzcd}

une flèche monte de T, sans but écrit ; à droite de T, une flèche double vers S, biffée.

N^F_{T/S} : \Gamma(G_T/T) \longrightarrow \Gamma(G/S)

\begin{tikzcd} \struck{G} & G' \arrow[l] & G \arrow[l, "r"'] \\ & S \arrow[u, no head] & T \arrow[l, no head] \arrow[u, no head] \end{tikzcd}

à droite de T, isolée, la lettre U.

\begin{tikzcd} G & G^r_S \arrow[l] & G^r_T \arrow[l] \\ S \arrow[u, no head] & & T \end{tikzcd}

G^r ~~N^{r,}_{T/S}(~~

\begin{tikzcd} F & G \arrow[l, "\alpha(r)"'] \\ S \arrow[u] & T \arrow[l] \arrow[u] \end{tikzcd}

N^{\alpha}_{F/T/S}(\varphi) N^{\alpha}_{F/T/S} : \Gamma(G/T) \to \Gamma(F\ill{} la ligne s'arrête au bord droit de la feuille.

\begin{tikzcd} X \arrow[d, no head] & Y \arrow[l, "\alpha\ (r)"'] \arrow[d] & Z \arrow[l, "\beta\ (s)"'] \arrow[d] \arrow[ll, bend right=30, "(rs)"'] \\ S & T \arrow[l] & U \arrow[l] \\ & F & G \\ & & G \otimes_T F \end{tikzcd}

sur les flèches horizontales du haut, (r) et (s) sont écrits au-dessus, \alpha et \beta au-dessous ; l'arc de Z vers X porte (rs). Les lettres F, G et G \otimes_T F sont écrites sous T et U, sans flèche.

\boxed{\;N^{\gamma}_{(G \otimes_T F)/U/S}(\varphi) = N^{\alpha}_{F/T/S}\bigl(N^{\beta}_{G/U/T}(\varphi)\bigr)\;} dans l'indice du membre de gauche, une lettre surchargée après (G \otimes_T F)/.

\begin{tikzcd} & X_2 & \\ X & \times \arrow[l] & \\ & X_1 \arrow[d] & Y \arrow[l, "r_1"] \arrow[uul, "r_2"'] \arrow[d] \\ & S & T \arrow[l] \end{tikzcd}

sous T : « r_1, r_2 ». Le signe \times est écrit entre X_2 et X_1, une flèche allant de lui vers X : on lit X \leftarrow X_2 \times X_1.

\overset{n}{\Lambda} M

(i)X^r_S \to Y ; X \to X', Y \to Y' ; (ii)F au-dessus de X \to S, X^r_S \xrightarrow{\varphi} Y ; F' au-dessus de X' \to S', X'^r_{S'} \xrightarrow{\varphi'} Y'.

(i) et (ii) sont réunis par une accolade, dont un trait descend vers la ligne b) ; les flèches X \to S et X' \to S' sont dessinées verticalement, F et F' écrits au-dessus de X et X'.

a) Cas où r = 0, r = 1

b) Fonctorialité en X, Y, S

\begin{tikzcd} X^n_S \arrow[r, "\varphi"] \arrow[d] & Y \arrow[d] & S \arrow[l, "\mathrm{Can}^{\varphi}_F"'] \\ X'^n_{S'} \arrow[r, "\varphi'"'] & Y' & S' \arrow[l, "\mathrm{Can}^{\varphi'}_{F'}"] \end{tikzcd}

dans le carré de gauche : « comm. par hyp. » ; entre les deux flèches de droite, un signe d'égalité surchargé et « \mathrm{Can}^{\varphi', n} ». Le symbole transcrit \mathrm{Can} revient tout au long de la page (une section S \to Y attachée à \varphi et à F) ; il est écrit ici serré, presque « Cm », et se lit sur la page 10, plus nette (\mathrm{Can}_u = \mathrm{Can}_{X/Y}). Au bas du diagramme, le S est surchargé en S'.

\begin{tikzcd} Y & Y' \arrow[l] \\ S \arrow[u, "\mathrm{Can}^{\varphi}_F"] & S' \arrow[l] \arrow[u, "\mathrm{Can}^{\varphi'}_{F'}"'] \end{tikzcd}

dans le carré : « comm. », avec un signe \equiv.

c) Additivité en M

\begin{tikzcd} X^{r_1+r_2}_S \arrow[r, "\varphi"] & Y & S \arrow[l, "\mathrm{Can}^{\varphi}_{F_1 \times F_2}"'] \\ X^{r_1}_S \times_S X^{r_2}_S \arrow[u, "\wr\ \mathrm{canon.}"] \arrow[r, "\varphi_1 \times_S \varphi_2"'] & Y_1 \times_S Y_2 \arrow[u, "u"'] & S \arrow[l, "\mathrm{Can}^{\varphi_1}_{F_1} \times \mathrm{Can}^{\varphi_2}_{F_2}"] \arrow[u, no head] \end{tikzcd}

dans le carré de gauche, « comm. » suivi de mots surchargés et biffés, ; les deux S de droite sont reliés par un double trait vertical, l'égalité.

d) Transitivité.

\begin{tikzcd} G & X \arrow[d, "r"] & G \otimes_Y F \\ F & Y \arrow[d, "s"] & \\ & Z & \end{tikzcd}

G est écrit contre la flèche r, F contre la flèche s ; un trait oblique porte rs de X à Z, sous G \otimes_Y F. À droite, derrière un trait vertical : « Cas où ».

X^r_Y \xrightarrow{\ \varphi\ } \mathfrak{X}_r (Y-morphisme) Y^s_Z \xrightarrow{\ \psi\ } \mathfrak{Y}_s (Z-morphisme) X^r_Z \xrightarrow{\ \chi\ } \mathfrak{Z}_r (Z-morphisme) \mathfrak{X}^s_Z \xrightarrow{\ u\ } \mathfrak{Z} (Z-morphisme)

les quatre lignes sont encadrées ; deux traits obliques barrent les parenthèses, et le cadre se ferme sur « comm. ». Les lettres \mathfrak{X}, \mathfrak{Y}, \mathfrak{Z} transcrivent des capitales cursives ; l'exposant de la troisième ligne est lu r, peut-être rs.

\begin{tikzcd} X^{rs}_Z \arrow[r, "\chi"] & \mathfrak{Z} \\ (X^r_Y)^s_Z \arrow[u, "\mathrm{can}"] \arrow[r, "\varphi^s_Z"'] & \mathfrak{X}^s_Z \arrow[u, "u"'] \end{tikzcd}

ce carré est entouré d'un trait qui le relie à « Fixés », en haut à gauche, et à « Commutativité », en bas.

G^{rs}_Z \xrightarrow[\text{symm}]{\ \varphi\ } G' d'où diagramme comm.

\begin{tikzcd} (G_Y)^{rs}_Y \arrow[r, "\varphi_Y"] \arrow[d, no head] & G'_Y \arrow[d] \\ G^{rs}_Z \arrow[r, "\varphi"'] & G' \end{tikzcd}

contre la flèche verticale de droite, un signe .

On suppose qu'il ainsi

(G_Y)^s \xrightarrow[\text{symm}]{\ \psi\ } G'' d'où

~~(G_Y~~

G''^{s}_Z \xrightarrow[\text{symm}]{\ \chi\ } G' Z-morphisme rendant commutatif

\begin{tikzcd} (G_Y)^{rs} \arrow[r, "\psi^s_Y"] \arrow[dr, "\mathrm{can}\,\varphi_Y"'] & G''^{s}_Z \arrow[d, "\chi"] \\ & G' \end{tikzcd}

sous (G_Y)^{rs}, une flèche verticale biffée.

Conclusion. \alpha : X \to G un Z-morphisme, d'où N^{\varphi}_{G/X/Z}(\alpha) : Z \longrightarrow G' \alpha = c\alpha' Mais aussi un Y-morphisme \alpha' : X \to G_Y, d'où N^{\psi}_{G/X/Y}(\alpha') : Y \longrightarrow G'' et , en appliquant \chi, on trouve N^{\chi}_{F/Y/Z}\bigl(N^{\psi}_{G/X/Y}(\alpha')\bigr) : Z \longrightarrow G' Je dis que \boxed{\;N^{\varphi}_{G/X/Z}(c\alpha') = N^{\chi}_{F/Y/Z}\bigl(N^{\psi}_{G/X/Y}(\alpha')\bigr)\;} dans le cadre, l'indice F/Y/Z est écrit par-dessus un premier F/X/Z.

Théorie axiomatique des morphismes

Soit \mathcal{C} une catégorie, où les sommes finies existent, et soit \mathcal{N} un ensemble de morphismes de \mathcal{C}, ayant les propriétés suivantes « où les sommes finies existent » et « ayant les propriétés suivantes » sont ajoutés au-dessus de la ligne.

(i)Si X \in \mathcal{C}, alors \mathrm{id}_X \in \mathcal{N} (ii)Si u, v \in \mathcal{N} sont composables, alors vu \in \mathcal{N} (iii)Si u : X \to Y est dans \mathcal{N}, et si Y' \to Y est quelconque, alors X' = X \times_Y Y' existe et u' : \struck{X \times_Y} X' \to Y' est \in \mathcal{N} (iv)Si u_i : X_i \to Y (i = 1, 2) sont \in \mathcal{N}, alors (u_1, u_2) : X_1 \amalg X_2 \to Y est dans \in \mathcal{N} ; de plus, l'extension de fin de (iv) très corrigée : mots biffés, ajouts interlinéaires, . (v)Si u : X \to Y est \in \mathcal{N}, alors tout sous-groupe G de \mathfrak{S}_r, le quotient \bigl(\overbrace{X \times_Y \cdots \times_Y X}^{r}\bigr)/G existe, et il est ces derniers mots sont entourés au crayon rouge, avec un « ? ».

Soit \deg une fonction sur \mathcal{N}, : \deg(X/Y) ayant les propriétés suivantes

(i bis)\deg(\mathrm{id}_X) = 1 (ii bis)\deg(vu) = \deg v \deg u (iii bis)\deg(u) = \deg(u^{Y'}) (iv bis)\deg(u, v) = \deg u + \deg v (v bis)Le quotient envisagé par (v) a degré qui se calcule ainsi : Soit ~~\deg(X/Y),~~ r = \deg(X/Y), E = [1, r], ~~E = \Lambda^r, F = (\overset{r}{\otimes} E)/G~~ Soit F = E^n/G, alors ~~\deg((X/Y)^n/G)~~ le degré de \bigl(\underbrace{X \times_Y \cdots \times_Y X}_{n}\bigr)/G est égal à \mathrm{card}(E^n/G).

à la place de « Soit », un premier essai encadré et biffé, .

Enfin, pour morphisme u \in \mathcal{N} : X \to Y de degré r, on se donne un morphisme \mathrm{Can}_u = \mathrm{Can}_{X/Y} : Y \to \Sigma^r X ( canonique de u, ou de X/Y), avec les propriétés suivantes « de degré r » est ajouté au-dessus de la ligne, relié par une accolade ; un trait de crayon rouge part de là vers la marge.

(i ter)\mathrm{Can}_{X/X} = \mathrm{id}_X (ii ter) commutativité dans le diagramme suivant :

deux feuillets photographiés côte à côte ; celui de gauche continue directement la page 10, celui de droite ouvre l'Exemple I, que la page 12 poursuit.

(où X \xrightarrow[r]{u} Y \xrightarrow[s]{v} Z sont des morphismes \in \mathcal{N}, de degrés r, s) : à droite de cette ligne, isolé : Y \longrightarrow \Sigma^r(X/Y).

\begin{tikzcd}[column sep=small, nodes={font=\scriptsize}] Z \arrow[r, "\mathrm{Can}_{Y/Z}"] \arrow[drr] \arrow[ddrr, "\mathrm{Can}_{X/Z}"'] & \Sigma^s(Y/Z) \arrow[r, "\Sigma^s(\mathrm{Can}_{X/Y}/Z)"] & \Sigma^s(\Sigma^r(X/Y)/Z) \arrow[d, "\mathrm{can}"] \\ & & \Sigma^s(\Sigma^r(X/Z)/Z) \arrow[d, "\mathrm{can}"] \\ & & \Sigma^{sr}(X/Z) \end{tikzcd}

sous l'étiquette \mathrm{Can}_{Y/Z}, un premier \mathrm{Can}_{X/Z} biffé ; le terme du milieu de la colonne de droite est écrit par-dessus un premier terme, peut-être \Sigma^{s+r}. Les deux flèches obliques issues de Z sont chacune doublées d'un trait ondulé.

(iii ter) Soit u : X \to Y dans \mathcal{N}, et Y' \to Y quelconque, alors Y' \xrightarrow{\mathrm{Can}_{X'/Y'}} est « l'image inverse » de \mathrm{Can}_{X/Y} par Y' \to Y, i.e. le diagramme

\begin{tikzcd} \Sigma^r(X/Y) & Y \arrow[l, "\mathrm{Can}_{X/Y}"'] \\ \Sigma^r(X'/Y') \arrow[u, "\mathrm{can}"] & Y' \arrow[l, "\mathrm{Can}_{X'/Y'}"] \arrow[u] \end{tikzcd}

est commutatif

(iv ter) Soient u_i : X_i \to Y (i = 1, 2) dans \mathcal{N}. Soit X = X_1 \amalg X_2, u = (u_1, u_2) ; donc pour tout ~~entier~~ r, on a \Sigma^r(X/Y) = \struck{\ill{}} \coprod_{\substack{i+j=r\\ i,j \geqslant 0}} \Sigma^i(X_1/Y) \times \Sigma^j(X_2/Y) en particulier, si r_i = \deg u_i et r = r_1 + r_2 = \deg u, on a un morphisme d' canonique \Sigma^{r_1}(X_1/Y) \times \Sigma^{r_2}(X_2/Y) \to \Sigma^r(X/Y). Ceci dit, on a commutativité dans

\begin{tikzcd} Y \arrow[r, "{(\mathrm{Can}_{X_1/Y}, \mathrm{Can}_{X_2/Y})}"] \arrow[dr, "\mathrm{Can}_{X/Y}"'] & \Sigma^{r_1}(X_1/Y) \times \Sigma^{r_2}(X_2/Y) \arrow[d] \\ & \Sigma^r(X/Y) \end{tikzcd}

« d' » est ajouté au-dessus de la ligne.

Exemple I. Soit G un groupe, et \mathcal{C} la catégorie des ensembles où G opère. Un morphisme u : X \to Y en \mathcal{C} sera ~~dans \mathcal{N} s'il existe~~ dit de degré r si pour tout y \in Y, on a \mathrm{card}(u^{-1}(y)) = r. Un morphisme est dans \mathcal{N} s'il existe r tel qu'il soit de degré r. Les conditions (i) à (v) et (i bis) à (v bis) sont trivialement vérifiées. [N.B. de produits fibrés et : un quelconques existent dans \mathcal{C}, de même le quotient d'un objet de \mathcal{C} par un groupe d'automorphismes G]. Soit u : X \to Y de degré r. Montrons que \Sigma^r(X/Y) est l'ensemble réunion des \Sigma^r(u^{-1}(y)) (y \in Y) ; comme u^{-1}(y) a exactement r éléments, il y a dans \Sigma^r(u^{-1}(y)) un élément privilégié, classe de la de ses éléments rangés dans un ordre quelconque). D'où une application canonique Y \to \Sigma^r(X/Y), qui évidemment aux morphismes de 2 situations, donc sur un de \mathcal{C}. Si les deux dernières lignes du feuillet droit, au bord de la feuille, sont en partie hors de l'image.

le diagramme pour \mathrm{Can}_{X/Y}, on vérifie aussitôt les conditions (i ter) à (iv ter).

Expliquer relation \mathcal{C} en général, géométriques spéciaux Exemple II. Soit \mathcal{C} la catégorie des schémas, ( .) Un morphisme u : X \to Y fini et plat est dit de degré r s'il correspond à un faisceau d'algèbres sur Y, loc. libre de ~~degré~~ rang r en tout point. Soit \mathcal{N} l'ensemble des morphismes qui sont finis et plats et de degré . Les conditions (i) à (v) et (i bis) à (v bis) se vérifient, comme très facilement. De plus, on peut définir de façon naturelle ~~des applications~~ un morphisme \mathrm{Can}_{X/Y}, vérifiant les conditions (i) à (iv). la parenthèse après « schémas » est ajoutée au-dessus de la ligne ; « u : X \to Y » l'est aussi. La note marginale, à gauche, est reliée à l'intitulé de l'exemple.

Exemples III (Variantes). En géométrie analytique, on a une variante évidente. En topologie, prenant les revêtements non ramifiés , on trouve une variante analogue ; elle est très voisine de l'exemple I, précisément, soit X un espace topologique fixé,

Soit X \in \mathcal{C}, avec un groupe \Gamma d'automorphismes discret ; pour tout sous-groupe H de G, H X/H existe, et que pour H' \subset H invariant d'indice fini dans H, ~~X/H' \to X/H soit de degré r~~ ( , ) X/H' sur fini H/H' soit non ramifié, et X/H' \to X/H = (X/H')/(H/H') est \in \mathcal{N}. Soit \mathcal{C}' la catégorie des ensembles E où \Gamma opère, tels que E/\Gamma soit fini. Alors pour E \in \mathcal{C}', X \times_{(\Gamma)} E existe, soit \Phi(E) = X \times_{(\Gamma)} E. la lettre du groupe est d'abord \Gamma, puis G et H ; on transcrit comme écrit. Le passage biffé entre parenthèses est entouré d'un cadre relié par un trait à la ligne précédente.

\Phi est donc un foncteur \mathcal{C}' \to \mathcal{C}, aux sommes finies, et on suppose que \Phi transforme morphismes de degré r en morphismes de degré r (i.e. fonctions sur \mathcal{N}). De plus, il transforme ~~morphismes~~ canoniques en ; dualement ce dernier alinéa est marqué d'un trait vertical dans la marge gauche, auquel la note marginale est reliée. La page s'arrête au bas de la feuille.

Soit G un groupe, \mathcal{C}_G la catégorie des ensembles E où G opère ~~à droite~~ à gauche, et tels que E/G soit fini. par la catégorie des hyper-foncteurs ensembles sur \mathcal{C}_G ( les épimorphismes dans \mathcal{C}_G morphismes de descente) est équivalente ; dualement à la catégorie des ensembles où G opère ~~à droite~~ à gauche ; si A est un tel, \Phi_A l'hyperfoncteur associé, on a \Phi_A(X) = \struck{\ill{}} \operatorname{Hom}_G(X, E) les deux dernières lignes (« la catégorie des ensembles … ») sont tenues par une accolade dans la marge, où s'écrit la note marginale. Dans la formule, un premier membre de droite, où se lisent A, X, (G), est biffé ; le X du membre de gauche est surchargé. Le membre de droite porte E et non A.

~~Ainsi , :~~ Et si \Phi est un hyperfoncteur, alors l'ensemble à opérateurs associé est A = \Phi(G_s) où G_s désigne G considéré comme ens. à groupe d'opérateurs : G sur lui-même l'indice de G_s est surchargé, peut-être s sur d.

Soit F un sous-groupe de G, et \mathcal{C}_{G;F} la sous-catégorie de \mathcal{C}_G formée des X \in \mathcal{C}_G tels que F opère trivialement ; c'est une sous-catégorie stable par les opérations habituelles [sommes, , produits fibrés, quotients et ]. ce dernier alinéa est barré de trois grands traits obliques.

\text{(A)}\qquad \boxed{\;H^*(G, A) \Longleftarrow H^p\bigl(T/e, \underline{\mathcal{H}}^q(A)\bigr)\;} \qquad (T \neq \emptyset) s'obtient la suite spectrale de Leray d'un recouvrement d'un objet la note marginale est écrite en oblique dans la marge gauche, contre le cadre ; le « A » est cerclé.

où \underline{\mathcal{H}}^q(A) est l'hyperfoncteur sur \mathcal{C}_G ~~défini par \underline{\mathcal{H}}^q(A)(G/F) = H^q(F, A)~~ dont la valeur sur S \in \mathcal{C}_G est donnée par \underline{\mathcal{H}}^q(A)(S) = R^q_A\bigl(\struck{A}\, \struck{\operatorname{Hom}_{(G)}}(S, A)\bigr) [et donc défini par les conditions de finies précédente, et pour S = F\backslash G, on a \underline{\mathcal{H}}^q(A)(F\backslash G) = H^q(F, A)\;] dans la formule, \operatorname{Hom} et son indice (G) sont barrés en même temps qu'un premier A ; ce qui reste lisible est R^q_A(\ldots(S, A)).

: utilisé les faits suivants

(i)T \to e est un morphisme de descente, pour un hyperfoncteur, \Phi, on a \Phi(e) = H^0(T/e, \Phi) (ii)Si \Phi est un hyperfoncteur injectif, alors H^p(T/e, \Phi) = 0 pour p > 0 (il suffit de prouver \Phi = \Phi_A, où A = \operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}(G), M) = M^G, alors \Phi(S) = applications de S M ; donc H^p(T/e, \Phi) = H^p(complexe de défini par T ; M) = 0 pour p > 0.

« un hyperfoncteur » est ajouté au-dessus de « injectif », relié par une accolade. La parenthèse ouverte en (ii) ne se ferme pas.

feuillet d'un tapuscrit qui n'est pas de lui, retourné à l'envers au dos de la page 17 : page « - 90 - » d'un texte numéroté « n° 268 » sur les variétés abéliennes. Il achève la preuve d'un théorème (une base f_0, \ldots, f_n de L(D), développements en série de puissances au point P, rang de la matrice des coefficients, d'où un diviseur X rationnel sur K, « Ceci démontre notre théorème »), puis énonce un théorème : soit D un diviseur positif sur un produit A \times V d'une variété de groupe commutatif et d'une variété V complète sans singularités de codimension 1, rationnel sur un corps de définition k tel que V possède un point simple P rationnel sur k ; alors il existe une variété de groupe commutatif B et un … — l'énoncé continue au feuillet suivant, absent du lot. Seules les marques au crayon sont transcrites ; elles sont d'une autre encre que la page 17, et rien sur la feuille ne les attribue à une autre main.

écrit à la place du mot « théorème », biffé au crayon dans « Ceci démontre notre théorème ».

utile au cas non singulier) en regard des lignes « tés de codimension 1 » et « lequel D soit rationnel », dont les mots « complète sans singularités de codimension 1 » et « point simple P rationnel » sont soulignés au crayon.

Prouver ! sous l'énoncé, relié par un trait à « nel sur k ».

Plus généralement posons \underline{\mathcal{H}}^q(\Phi)(S) = H^q(-/S, \Phi) = \left\{\begin{array}{l} \text{valeurs en } \Phi \text{ des foncteurs dérivés } q\text{-ièmes}\\ \text{de } \Phi \to \Phi(S) \end{array}\right. identités ; dualement la note marginale est reliée par une flèche à la formule. Sous le signe =, une flèche renvoie à un ajout interlinéaire : « définition ~~valeurs en \Phi|S~~ des foncteurs dérivés de \Gamma S sur la catégorie des sur S ; il n'intervient Čech ».

On montre que

(i)\underline{\mathcal{H}}^q(\Phi) est un hyper-préfaisceau qui finies produits (ii)\underline{\mathcal{H}}^q(\Phi_A)(G/F) = H^q(F, A)

(i) et (ii) sont tenus par une accolade à gauche.

Sous ces conditions on a la suite spectrale suivante, si T \to S est surjectif (dans \mathcal{C}_G) \text{(B)}\qquad \boxed{\;H^*(-/S, \Phi) \Longleftarrow H^p\bigl(T/S, \underline{\mathcal{H}}^q(\Phi)\bigr)\;} suite spectrale de Leray-Čech le « B » est cerclé ; la note, à droite, est encadrée.

Si F' \subset F \subset G, on peut prendre T = G/F', S = G/F et on obtient, si A est un G-module, H^*(F, A) \Longleftarrow H^p\bigl(F \bmod F' ; \underline{\mathcal{H}}^q(A)\bigr) les deux A de cette formule sont surchargés ; un exposant illisible suit le premier F du second membre.

La suite spectrale est la , utilisée sur A la structure de G-module, et ne retient que celle de F-module . La suite spectrale (B) plus générale que (A).

Tout ceci est à généraliser aux hyperfaisceaux quelconques - - - - la phrase est marquée de trois traits verticaux dans la marge gauche ; elle finit sur une ligne de tirets, et la page s'arrête là.