Cote n° 98 · batch 1 · pages 1–20 · Transcription · Schémas de Hilbert. Normes : notes manuscrites (s.d.).
Édition de démonstration

Formalisation des normes

titre et renvoi écrits au crayon de sa main sur la couverture cartonnée (page 1), seuls mots de la feuille : « Formalisation des Normes », et au-dessous « Cf aussi SGA 4 XVIII ».

2Normes

\(A\) un anneau […]

\(M\) \(A\)-module libre de rang \(n\)

\(1_M \in L_A(M)\) d'où \(1_A \otimes \cdots\)

\(M \otimes = 0\)

\(L_A\bigl(\overset{n}{\otimes}_A M\bigr) = \overset{n}{\otimes}_A L_A(M) \supset\) […]

\[ L_A\bigl(T^n_A(M)\bigr) \simeq T^n_A\bigl(L_A(M)\bigr) \supset TS^n_A\bigl(L_A(M)\bigr) \]

Endomorphismes de \(\overset{n}{\otimes}_A M\) qui commutent aux opérations de symétrie / Ils opèrent en particulier sur la partie \(\otimes\) \(\overset{n}{\Lambda}_A M\) de \(\overset{n}{\otimes}_A M\) stable par symétrie, d'où —

\(X \;\; \overset{n}{\boxtimes}_S X \struck{\ill{}} \longrightarrow Y\), \(\mathrm{Cart}^n_S(X)\), \(X \to Y\) flèche verticale, \(X\) au-dessus de \(Y\).

\(S\), \(\overset{n}{\otimes} F\), \(B\), \(A\) lettres isolées, écrites l'une sous l'autre, sans flèche.

\(X \longrightarrow \overset{n}{\boxtimes} X\) \(\overset{n}{\Lambda}_S F\)

\begin{tikzcd}
X & X^n_S \arrow[r] & Z \\
Y \arrow[u] & Y^n_S \arrow[u] \arrow[r] & \mathrm{Symm}^n_S(Y) \arrow[u] \\
S & &
\end{tikzcd}

\(S\) est écrit sous \(Y\), séparé de lui par un point, sans flèche.

4page de diagrammes épars, sans prose ; ils sont donnés de haut en bas et de gauche à droite.

\begin{tikzcd}
G & \\
S \arrow[u, no head] & T \arrow[l]
\end{tikzcd}

une flèche monte de \(T\), sans but écrit ; à droite de \(T\), une flèche double vers \(S\), biffée.

\[ N^F_{T/S} : \Gamma(G_T/T) \longrightarrow \Gamma(G/S) \]

\begin{tikzcd}
\struck{G} & G' \arrow[l] & G \arrow[l, "r"'] \\
& S \arrow[u, no head] & T \arrow[l, no head] \arrow[u, no head]
\end{tikzcd}

à droite de \(T\), isolée, la lettre \(U\).

\begin{tikzcd}
G & G^r_S \arrow[l] & G^r_T \arrow[l] \\
S \arrow[u, no head] & & T
\end{tikzcd}

\(G^r\) \(N^{r,}_{T/S}(\)

\begin{tikzcd}
F & G \arrow[l, "\alpha(r)"'] \\
S \arrow[u] & T \arrow[l] \arrow[u]
\end{tikzcd}

\[ N^{\alpha}_{F/T/S}(\varphi) \] \[ N^{\alpha}_{F/T/S} : \Gamma(G/T) \to \Gamma(F\ill{} \] la ligne s'arrête au bord droit de la feuille.

\begin{tikzcd}
X \arrow[d, no head] & Y \arrow[l, "\alpha\ (r)"'] \arrow[d] & Z \arrow[l, "\beta\ (s)"'] \arrow[d] \arrow[ll, bend right=30, "(rs)"'] \\
S & T \arrow[l] & U \arrow[l] \\
& F & G \\
& & G \otimes_T F
\end{tikzcd}

sur les flèches horizontales du haut, \((r)\) et \((s)\) sont écrits au-dessus, \(\alpha\) et \(\beta\) au-dessous ; l'arc de \(Z\) vers \(X\) porte \((rs)\). Les lettres \(F\), \(G\) et \(G \otimes_T F\) sont écrites sous \(T\) et \(U\), sans flèche.

\[ \boxed{\;N^{\gamma}_{(G \otimes_T F)/U/S}(\varphi) = N^{\alpha}_{F/T/S}\bigl(N^{\beta}_{G/U/T}(\varphi)\bigr)\;} \] dans l'indice du membre de gauche, une lettre surchargée après \((G \otimes_T F)/\).

\begin{tikzcd}
& X_2 & \\
X & \times \arrow[l] & \\
& X_1 \arrow[d] & Y \arrow[l, "r_1"] \arrow[uul, "r_2"'] \arrow[d] \\
& S & T \arrow[l]
\end{tikzcd}

sous \(T\) : « \(r_1, r_2\) ». Le signe \(\times\) est écrit entre \(X_2\) et \(X_1\), une flèche allant de lui vers \(X\) : on lit \(X \leftarrow X_2 \times X_1\).

6\(\overset{n}{\Lambda} M\)

1. (i)\(X^r_S \to Y\) ; \(X \to X'\), \(Y \to Y'\) ;
2. (ii)\(F\) au-dessus de \(X \to S\), \(X^r_S \xrightarrow{\varphi} Y\) ; \(F'\) au-dessus de \(X' \to S'\), \(X'^r_{S'} \xrightarrow{\varphi'} Y'\).

(i) et (ii) sont réunis par une accolade, dont un trait descend vers la ligne b) ; les flèches \(X \to S\) et \(X' \to S'\) sont dessinées verticalement, \(F\) et \(F'\) écrits au-dessus de \(X\) et \(X'\).

a) Cas où \(r = 0\), \(r = 1\)

b) Fonctorialité en \(X, Y, S\)

\begin{tikzcd}
X^n_S \arrow[r, "\varphi"] \arrow[d] & Y \arrow[d] & S \arrow[l, "\mathrm{Can}^{\varphi}_F"'] \\
X'^n_{S'} \arrow[r, "\varphi'"'] & Y' & S' \arrow[l, "\mathrm{Can}^{\varphi'}_{F'}"]
\end{tikzcd}

dans le carré de gauche : « comm. par hyp. » ; entre les deux flèches de droite, un signe d'égalité surchargé et « \(\mathrm{Can}^{\varphi', n}\) ». Le symbole transcrit \(\mathrm{Can}\) revient tout au long de la page (une section \(S \to Y\) attachée à \(\varphi\) et à \(F\)) ; il est écrit ici serré, presque « Cm », et se lit sur la page 10, plus nette (\(\mathrm{Can}_u = \mathrm{Can}_{X/Y}\)). Au bas du diagramme, le \(S\) est surchargé en \(S'\).

\begin{tikzcd}
Y & Y' \arrow[l] \\
S \arrow[u, "\mathrm{Can}^{\varphi}_F"] & S' \arrow[l] \arrow[u, "\mathrm{Can}^{\varphi'}_{F'}"']
\end{tikzcd}

dans le carré : « comm. », avec un signe \(\equiv\).

c) Additivité en \(M\)

\begin{tikzcd}
X^{r_1+r_2}_S \arrow[r, "\varphi"] & Y & S \arrow[l, "\mathrm{Can}^{\varphi}_{F_1 \times F_2}"'] \\
X^{r_1}_S \times_S X^{r_2}_S \arrow[u, "\wr\ \mathrm{canon.}"] \arrow[r, "\varphi_1 \times_S \varphi_2"'] & Y_1 \times_S Y_2 \arrow[u, "u"'] & S \arrow[l, "\mathrm{Can}^{\varphi_1}_{F_1} \times \mathrm{Can}^{\varphi_2}_{F_2}"] \arrow[u, no head]
\end{tikzcd}

dans le carré de gauche, « comm. » suivi de mots surchargés et biffés, […] ; les deux \(S\) de droite sont reliés par un double trait vertical, l'égalité.

d) Transitivité.

\begin{tikzcd}
G & X \arrow[d, "r"] & G \otimes_Y F \\
F & Y \arrow[d, "s"] & \\
& Z &
\end{tikzcd}

\(G\) est écrit contre la flèche \(r\), \(F\) contre la flèche \(s\) ; un trait oblique porte \(rs\) de \(X\) à \(Z\), sous \(G \otimes_Y F\). À droite, derrière un trait vertical : « Cas où […] ».

• \(X^r_Y \xrightarrow{\ \varphi\ } \mathfrak{X}_r\) (\(Y\)-morphisme)
• \(Y^s_Z \xrightarrow{\ \psi\ } \mathfrak{Y}_s\) (\(Z\)-morphisme)
• \(X^r_Z \xrightarrow{\ \chi\ } \mathfrak{Z}_r\) (\(Z\)-morphisme)
• \(\mathfrak{X}^s_Z \xrightarrow{\ u\ } \mathfrak{Z}\) (\(Z\)-morphisme)

les quatre lignes sont encadrées ; deux traits obliques barrent les parenthèses, et le cadre se ferme sur « […] comm. ». Les lettres \(\mathfrak{X}\), \(\mathfrak{Y}\), \(\mathfrak{Z}\) transcrivent des capitales cursives ; l'exposant de la troisième ligne est lu \(r\), peut-être \(rs\).

\begin{tikzcd}
X^{rs}_Z \arrow[r, "\chi"] & \mathfrak{Z} \\
(X^r_Y)^s_Z \arrow[u, "\mathrm{can}"] \arrow[r, "\varphi^s_Z"'] & \mathfrak{X}^s_Z \arrow[u, "u"']
\end{tikzcd}

ce carré est entouré d'un trait qui le relie à « Fixés […] », en haut à gauche, et à « Commutativité », en bas.

8\(G^{rs}_Z \xrightarrow[\text{symm}]{\ \varphi\ } G'\) d'où diagramme comm.

\begin{tikzcd}
(G_Y)^{rs}_Y \arrow[r, "\varphi_Y"] \arrow[d, no head] & G'_Y \arrow[d] \\
G^{rs}_Z \arrow[r, "\varphi"'] & G'
\end{tikzcd}

contre la flèche verticale de droite, un signe […].

On suppose qu'il […] ainsi

\((G_Y)^s \xrightarrow[\text{symm}]{\ \psi\ } G''\) d'où

\((G_Y\)[…]

\(G''^{s}_Z \xrightarrow[\text{symm}]{\ \chi\ } G'\) \(Z\)-morphisme rendant commutatif

\begin{tikzcd}
(G_Y)^{rs} \arrow[r, "\psi^s_Y"] \arrow[dr, "\mathrm{can}\,\varphi_Y"'] & G''^{s}_Z \arrow[d, "\chi"] \\
& G'
\end{tikzcd}

sous \((G_Y)^{rs}\), une flèche verticale biffée.

Conclusion. \(\alpha : X \to G\) un \(Z\)-morphisme, d'où \[ N^{\varphi}_{G/X/Z}(\alpha) : Z \longrightarrow G' \] […] \(\alpha = c\alpha'\) Mais aussi un \(Y\)-morphisme \(\alpha' : X \to G_Y\), d'où \[ N^{\psi}_{G/X/Y}(\alpha') : Y \longrightarrow G'' \] et […], en appliquant \(\chi\), on trouve \[ N^{\chi}_{F/Y/Z}\bigl(N^{\psi}_{G/X/Y}(\alpha')\bigr) : Z \longrightarrow G' \] Je dis que \[ \boxed{\;N^{\varphi}_{G/X/Z}(c\alpha') = N^{\chi}_{F/Y/Z}\bigl(N^{\psi}_{G/X/Y}(\alpha')\bigr)\;} \] dans le cadre, l'indice \(F/Y/Z\) est écrit par-dessus un premier \(F/X/Z\).

10

Théorie axiomatique des morphismes […]

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie, où les sommes finies existent, et soit \(\mathcal{N}\) un ensemble de […] morphismes de \(\mathcal{C}\), ayant les propriétés suivantes « où les sommes finies existent » et « ayant les propriétés suivantes » sont ajoutés au-dessus de la ligne.

1. (i)Si \(X \in \mathcal{C}\), alors \(\mathrm{id}_X \in \mathcal{N}\)
2. (ii)Si \(u, v \in \mathcal{N}\) sont composables, alors \(vu \in \mathcal{N}\)
3. (iii)Si \(u : X \to Y\) est dans \(\mathcal{N}\), et si \(Y' \to Y\) est quelconque, alors \(X' = X \times_Y Y'\) existe et \(u' : \struck{X \times_Y} X' \to Y'\) est \(\in \mathcal{N}\)
4. (iv)Si \(u_i : X_i \to Y\) (\(i = 1, 2\)) sont \(\in \mathcal{N}\), alors \((u_1, u_2) : X_1 \amalg X_2 \to Y\) est dans \(\in \mathcal{N}\) ; de plus, l'extension de […] fin de (iv) très corrigée : mots biffés, ajouts interlinéaires, […].
5. (v)Si \(u : X \to Y\) est \(\in \mathcal{N}\), alors […] tout sous-groupe \(G\) de \(\mathfrak{S}_r\), le quotient \(\bigl(\overbrace{X \times_Y \cdots \times_Y X}^{r}\bigr)/G\) existe, et il est […] ces derniers mots sont entourés au crayon rouge, avec un « ? ».

Soit \(\deg\) une fonction sur \(\mathcal{N}\), […] : \(\deg(X/Y)\) ayant les propriétés suivantes

1. (i bis)\(\deg(\mathrm{id}_X) = 1\)
2. (ii bis)\(\deg(vu) = \deg v \deg u\)
3. (iii bis)\(\deg(u) = \deg(u^{Y'})\)
4. (iv bis)\(\deg(u, v) = \deg u + \deg v\)
5. (v bis)Le quotient envisagé par (v) a […] degré qui se calcule ainsi : Soit \(\deg(X/Y)\), […] \(r = \deg(X/Y)\), […] \(E = [1, r]\), \(E = \Lambda^r\), \(F = (\overset{r}{\otimes} E)/G\) Soit \(F = E^n/G\), alors \(\deg((X/Y)^n/G)\) le degré de \(\bigl(\underbrace{X \times_Y \cdots \times_Y X}_{n}\bigr)/G\) est égal à \(\mathrm{card}(E^n/G)\).

à la place de « Soit », un premier essai encadré et biffé, […].

Enfin, pour […] morphisme \(u \in \mathcal{N} : X \to Y\) de degré \(r\), on se donne un morphisme \[ \mathrm{Can}_u = \mathrm{Can}_{X/Y} : Y \to \Sigma^r X \] ([…] canonique de \(u\), ou de \(X/Y\)), avec les propriétés suivantes « de degré \(r\) » est ajouté au-dessus de la ligne, relié par une accolade ; un trait de crayon rouge part de là vers la marge.

1. (i ter)\(\mathrm{Can}_{X/X} = \mathrm{id}_X\)
2. (ii ter)[…] commutativité dans le diagramme suivant :

11deux feuillets photographiés côte à côte ; celui de gauche continue directement la page 10, celui de droite ouvre l'Exemple I, que la page 12 poursuit.

(où \(X \xrightarrow[r]{u} Y \xrightarrow[s]{v} Z\) sont des morphismes \(\in \mathcal{N}\), de degrés \(r, s\)) : à droite de cette ligne, isolé : \(Y \longrightarrow \Sigma^r(X/Y)\).

\begin{tikzcd}[column sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
Z \arrow[r, "\mathrm{Can}_{Y/Z}"] \arrow[drr] \arrow[ddrr, "\mathrm{Can}_{X/Z}"'] & \Sigma^s(Y/Z) \arrow[r, "\Sigma^s(\mathrm{Can}_{X/Y}/Z)"] & \Sigma^s(\Sigma^r(X/Y)/Z) \arrow[d, "\mathrm{can}"] \\
& & \Sigma^s(\Sigma^r(X/Z)/Z) \arrow[d, "\mathrm{can}"] \\
& & \Sigma^{sr}(X/Z)
\end{tikzcd}

sous l'étiquette \(\mathrm{Can}_{Y/Z}\), un premier \(\mathrm{Can}_{X/Z}\) biffé ; le terme du milieu de la colonne de droite est écrit par-dessus un premier terme, peut-être \(\Sigma^{s+r}\). Les deux flèches obliques issues de \(Z\) sont chacune doublées d'un trait ondulé.

(iii ter) Soit \(u : X \to Y\) dans \(\mathcal{N}\), et \(Y' \to Y\) quelconque, alors \(Y' \xrightarrow{\mathrm{Can}_{X'/Y'}}\) est « l'image inverse » de \(\mathrm{Can}_{X/Y}\) par \(Y' \to Y\), i.e. le diagramme

\begin{tikzcd}
\Sigma^r(X/Y) & Y \arrow[l, "\mathrm{Can}_{X/Y}"'] \\
\Sigma^r(X'/Y') \arrow[u, "\mathrm{can}"] & Y' \arrow[l, "\mathrm{Can}_{X'/Y'}"] \arrow[u]
\end{tikzcd}

est commutatif

(iv ter) Soient \(u_i : X_i \to Y\) (\(i = 1, 2\)) dans \(\mathcal{N}\). Soit \(X = X_1 \amalg X_2\), \(u = (u_1, u_2)\) ; donc pour tout entier \(r\), on a \[ \Sigma^r(X/Y) = \struck{\ill{}} \coprod_{\substack{i+j=r\\ i,j \geqslant 0}} \Sigma^i(X_1/Y) \times \Sigma^j(X_2/Y) \] en particulier, si \(r_i = \deg u_i\) et \(r = r_1 + r_2 = \deg u\), on a un morphisme d'[…] canonique \(\Sigma^{r_1}(X_1/Y) \times \Sigma^{r_2}(X_2/Y) \to \Sigma^r(X/Y)\). Ceci dit, on a commutativité dans

\begin{tikzcd}
Y \arrow[r, "{(\mathrm{Can}_{X_1/Y}, \mathrm{Can}_{X_2/Y})}"] \arrow[dr, "\mathrm{Can}_{X/Y}"'] & \Sigma^{r_1}(X_1/Y) \times \Sigma^{r_2}(X_2/Y) \arrow[d] \\
& \Sigma^r(X/Y)
\end{tikzcd}

« d'[…] » est ajouté au-dessus de la ligne.

Exemple I. Soit \(G\) un groupe, et \(\mathcal{C}\) la catégorie des ensembles où \(G\) opère. Un morphisme \(u : X \to Y\) en \(\mathcal{C}\) sera […] dans \(\mathcal{N}\) s'il existe […] dit de degré \(r\) si pour tout \(y \in Y\), […] on a \(\mathrm{card}(u^{-1}(y)) = r\). Un morphisme est dans \(\mathcal{N}\) s'il existe \(r\) tel qu'il soit de degré \(r\). Les conditions (i) à (v) et (i bis) à (v bis) sont trivialement vérifiées. [N.B. […] de produits fibrés et […] : un […] quelconques existent dans \(\mathcal{C}\), […] de même le quotient d'un objet de \(\mathcal{C}\) par un groupe d'automorphismes \(G\)]. Soit \(u : X \to Y\) de degré \(r\). Montrons que \(\Sigma^r(X/Y)\) est […] l'ensemble […] réunion des \(\Sigma^r(u^{-1}(y))\) (\(y \in Y\)) ; comme \(u^{-1}(y)\) a exactement \(r\) éléments, […] il y a dans \(\Sigma^r(u^{-1}(y))\) un élément privilégié, classe de la […] de ses éléments rangés dans un ordre quelconque). D'où une application canonique \[ Y \to \Sigma^r(X/Y), \] qui évidemment […] aux morphismes de 2 situations, donc […] […] sur un […] […] de \(\mathcal{C}\). Si […] les deux dernières lignes du feuillet droit, au bord de la feuille, sont en partie hors de l'image.

12le diagramme pour \(\mathrm{Can}_{X/Y}\), on vérifie aussitôt les conditions (i ter) à (iv ter).

Expliquer […] relation […] \(\mathcal{C}\) […] en général, […] […] géométriques spéciaux […] […] Exemple II. Soit \(\mathcal{C}\) la catégorie des schémas, ([…] […] […].) Un morphisme \(u : X \to Y\) fini et plat est dit de degré \(r\) s'il correspond à un […] faisceau […] […] d'algèbres sur \(Y\), loc. libre de degré rang \(r\) en tout point. Soit \(\mathcal{N}\) l'ensemble des morphismes qui sont finis et plats et […] […] de degré […]. Les conditions (i) à (v) et (i bis) à (v bis) se vérifient, comme […] […] très facilement. De plus, on peut définir de façon naturelle des applications un morphisme \(\mathrm{Can}_{X/Y}\), vérifiant les conditions (i) à (iv). la parenthèse après « schémas » est ajoutée au-dessus de la ligne ; « \(u : X \to Y\) » l'est aussi. La note marginale, à gauche, est reliée à l'intitulé de l'exemple.

Exemples III […] (Variantes). En géométrie analytique, on a une variante évidente. En topologie, prenant les revêtements non ramifiés […] […], on trouve une variante analogue ; elle est très voisine de l'exemple I, […] […] précisément, soit \(X\) un espace topologique fixé, […] […] […]

13Soit \(X \in \mathcal{C}\), avec un groupe \(\Gamma\) d'automorphismes discret ; […] […] […] pour tout sous-groupe \(H\) de \(G\), […] \(H\) […] \(X/H\) existe, et que pour \(H' \subset H\) invariant d'indice fini dans \(H\), \(X/H' \to X/H\) soit de […] […] degré \(r\) ([…] […] […] […] […] […], […] […]) […] […] \(X/H'\) sur […] […] fini \(H/H'\) soit non ramifié, et \(X/H' \to X/H = (X/H')/(H/H')\) est \(\in \mathcal{N}\). Soit \(\mathcal{C}'\) la catégorie des ensembles \(E\) où \(\Gamma\) opère, tels que \(E/\Gamma\) soit fini. Alors pour […] \(E \in \mathcal{C}'\), \(X \times_{(\Gamma)} E\) existe, soit \(\Phi(E) = X \times_{(\Gamma)} E\). la lettre du groupe est d'abord \(\Gamma\), puis \(G\) et \(H\) ; on transcrit comme écrit. Le passage biffé entre parenthèses est entouré d'un cadre relié par un trait à la ligne précédente.

\(\Phi\) est donc un foncteur \(\mathcal{C}' \to \mathcal{C}\), […] aux sommes finies, et on suppose que \(\Phi\) transforme morphismes de degré \(r\) en morphismes de degré \(r\) (i.e. fonctions sur \(\mathcal{N}\)). De plus, il transforme morphismes canoniques en […] […] ; dualement […] ce dernier alinéa est marqué d'un trait vertical dans la marge gauche, auquel la note marginale est reliée. La page s'arrête au bas de la feuille.

15Soit \(G\) un groupe, \(\mathcal{C}_G\) la catégorie des ensembles \(E\) où \(G\) opère à droite à gauche, et tels que \(E/G\) soit fini. […] […] par la catégorie des hyper-foncteurs […] ensembles sur \(\mathcal{C}_G\) ([…] les épimorphismes dans \(\mathcal{C}_G\) […] […] morphismes de descente) est équivalente ; dualement à la catégorie des ensembles […] où \(G\) opère à droite à gauche ; si \(A\) est un tel, \(\Phi_A\) l'hyperfoncteur associé, on a \[ \Phi_A(X) = \struck{\ill{}} \operatorname{Hom}_G(X, E) \] les deux dernières lignes (« la catégorie des ensembles … ») sont tenues par une accolade dans la marge, où s'écrit la note marginale. Dans la formule, un premier membre de droite, où se lisent \(A\), \(X\), \((G)\), est biffé ; le \(X\) du membre de gauche est surchargé. Le membre de droite porte \(E\) et non \(A\).

Ainsi […], […] : Et si \(\Phi\) est un hyperfoncteur, alors l'ensemble à opérateurs associé est \[ A = \Phi(G_s) \] où \(G_s\) désigne \(G\) considéré comme ens. à groupe d'opérateurs : […] \(G\) sur lui-même […] […] l'indice de \(G_s\) est surchargé, peut-être \(s\) sur \(d\).

Soit \(F\) un sous-groupe de \(G\), et […] \(\mathcal{C}_{G;F}\) la sous-catégorie de \(\mathcal{C}_G\) formée des \(X \in \mathcal{C}_G\) tels que \(F\) opère trivialement ; c'est une sous-catégorie stable par les opérations habituelles [sommes, […], produits fibrés, quotients et […] […]]. ce dernier alinéa est barré de trois grands traits obliques.

17\[ \text{(A)}\qquad \boxed{\;H^*(G, A) \Longleftarrow H^p\bigl(T/e, \underline{\mathcal{H}}^q(A)\bigr)\;} \qquad (T \neq \emptyset) \] s'obtient […] la suite spectrale de Leray d'un recouvrement d'un objet la note marginale est écrite en oblique dans la marge gauche, contre le cadre ; le « A » est cerclé.

où \(\underline{\mathcal{H}}^q(A)\) est l'hyperfoncteur sur \(\mathcal{C}_G\) défini par \(\underline{\mathcal{H}}^q(A)(G/F) = H^q(F, A)\) dont la valeur sur \(S \in \mathcal{C}_G\) est donnée par \[ \underline{\mathcal{H}}^q(A)(S) = R^q_A\bigl(\struck{A}\, \struck{\operatorname{Hom}_{(G)}}(S, A)\bigr) \] [et […] donc défini […] par les conditions de […] […] […] finies […] précédente, et […] […] pour \(S = F\backslash G\), on a \[ \underline{\mathcal{H}}^q(A)(F\backslash G) = H^q(F, A)\;] \] dans la formule, \(\operatorname{Hom}\) et son indice \((G)\) sont barrés en même temps qu'un premier \(A\) ; ce qui reste lisible est \(R^q_A(\ldots(S, A))\).

[…] : utilisé […] les faits suivants

1. (i)\(T \to e\) est un morphisme de descente, […] pour un hyperfoncteur, […] […] […] […] \(\Phi\), on a \(\Phi(e) = H^0(T/e, \Phi)\)
2. (ii)Si \(\Phi\) est un hyperfoncteur injectif, alors \(H^p(T/e, \Phi) = 0\) pour \(p > 0\) (il suffit de prouver \(\Phi = \Phi_A\), où \(A = \operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}(G), M) = M^G\), alors \(\Phi(S) = \) […] applications de \(S\) […] \(M\) ; donc \(H^p(T/e, \Phi) = H^p(\)complexe de […] […] défini par \(T\) ; \(M) = 0\) pour […] […] \(p > 0\).

« un hyperfoncteur » est ajouté au-dessus de « injectif », relié par une accolade. La parenthèse ouverte en (ii) ne se ferme pas.

18feuillet d'un tapuscrit qui n'est pas de lui, retourné à l'envers au dos de la page 17 : page « - 90 - » d'un texte numéroté « n° 268 » sur les variétés abéliennes. Il achève la preuve d'un théorème (une base \(f_0, \ldots, f_n\) de \(L(D)\), développements en série de puissances au point \(P\), rang de la matrice des coefficients, d'où un diviseur \(X\) rationnel sur \(K\), « Ceci démontre notre théorème »), puis énonce un théorème : soit \(D\) un diviseur positif sur un produit \(A \times V\) d'une variété de groupe commutatif et d'une variété \(V\) complète sans singularités de codimension 1, rationnel sur un corps de définition \(k\) tel que \(V\) possède un point simple \(P\) rationnel sur \(k\) ; alors il existe une variété de groupe commutatif \(B\) et un … — l'énoncé continue au feuillet suivant, absent du lot. Seules les marques au crayon sont transcrites ; elles sont d'une autre encre que la page 17, et rien sur la feuille ne les attribue à une autre main.

[…] écrit à la place du mot « théorème », biffé au crayon dans « Ceci démontre notre théorème ».

utile au cas non singulier) en regard des lignes « tés de codimension 1 » et « lequel \(D\) soit rationnel », dont les mots « complète sans singularités de codimension 1 » et « point simple \(P\) rationnel » sont soulignés au crayon.

Prouver ! sous l'énoncé, relié par un trait à « nel sur \(k\) ».

19Plus généralement […] posons \[ \underline{\mathcal{H}}^q(\Phi)(S) = H^q(-/S, \Phi) = \left\{\begin{array}{l} \text{valeurs en } \Phi \text{ des foncteurs dérivés } q\text{-ièmes}\\ \text{de } \Phi \to \Phi(S) \end{array}\right. \] identités ; dualement la note marginale est reliée par une flèche à la formule. Sous le signe \(=\), une flèche renvoie à un ajout interlinéaire : « définition valeurs en \(\Phi|S\) des foncteurs dérivés de \(\Gamma S\) sur la catégorie des […] […] […] sur \(S\) ; il n'intervient Čech […] ».

On montre que

1. (i)\(\underline{\mathcal{H}}^q(\Phi)\) est un hyper-préfaisceau qui […] […] finies […] produits
2. (ii)\(\underline{\mathcal{H}}^q(\Phi_A)(G/F) = H^q(F, A)\)

(i) et (ii) sont tenus par une accolade à gauche.

Sous ces conditions on a la suite spectrale suivante, si \(T \to S\) est surjectif (dans \(\mathcal{C}_G\)) \[ \text{(B)}\qquad \boxed{\;H^*(-/S, \Phi) \Longleftarrow H^p\bigl(T/S, \underline{\mathcal{H}}^q(\Phi)\bigr)\;} \] suite spectrale de Leray-Čech le « B » est cerclé ; la note, à droite, est encadrée.

Si \(F' \subset F \subset G\), on peut prendre \(T = G/F'\), \(S = G/F\) et on obtient, si \(A\) est un \(G\)-module, \[ H^*(F, A) \Longleftarrow H^p\bigl(F \bmod F' ; \underline{\mathcal{H}}^q(A)\bigr) \] les deux \(A\) de cette formule sont surchargés ; un exposant illisible suit le premier \(F\) du second membre.

La suite spectrale est la […] […] […], utilisée sur \(A\) la structure de \(G\)-module, et ne retient que celle de \(F\)-module […]. La suite spectrale (B) […] […] […] plus générale que (A).

Tout ceci est à généraliser aux hyperfaisceaux quelconques - - - - la phrase est marquée de trois traits verticaux dans la marge gauche ; elle finit sur une ligne de tirets, et la page s'arrête là.