Cote n° 98 · pages 1–43 · Lecture modernisée · Schémas de Hilbert. Normes : notes manuscrites (s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : [à partir de 1966-1967]
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

Le fil du dossier, et les conventions

Les stations

1. I.Normes (pages 1 à 8) : le déterminant comme loi polynôme multiplicative (page 2) ; la section canonique d'un morphisme fini localement libre dans sa puissance symétrique, et la norme qu'elle induit (pages 4 à 6) ; la liste des propriétés voulues, et la transitivité, énoncée sans preuve (pages 6 à 8).
2. II.Théorie axiomatique (pages 10 à 13) : une catégorie, une classe de morphismes munis d'un degré et de sections canoniques, quatre axiomes pour celles-ci ; trois exemples — \(G\)-ensembles, schémas, revêtements.
3. III.Cohomologie des \(G\)-ensembles et suites spectrales de recouvrement (pages 15 à 23) : les \(G\)-ensembles comme faisceaux sur un site, les suites spectrales (A) et (B), une suite exacte de bas degré pour \(\mathbf{G}_m\), un tableau de quatre fibrations.
4. IV.Familles limitées (pages 25 à 43) : bornitude des quotients d'un faisceau fixe (pages 25 à 27) ; classes de faisceaux sur les extensions du corps de base (pages 28 à 33) ; stabilité des familles limitées (pages 34 à 37) ; changement de base pour les \(\mathcal{T}or\) et les \(\mathcal{E}xt\) (pages 38 à 42) ; plan d'un chapitre (page 43).

Les deux moitiés répondent aux deux mots du titre de l'inventaire, « Normes » et « Schémas de Hilbert ». Le dossier ne dit pas ce qui les relie. Une liaison naturelle, qui est de cette lecture et non des pages, est le morphisme de Hilbert–Chow : sur le schéma de Hilbert des sous-schémas finis de degré \(r\) de \(X/S\), la famille universelle est finie localement libre de rang \(r\), et sa section canonique (station I) donne un morphisme vers la puissance symétrique \(\mathrm{Sym}^r_S(X)\).

Les feuillets de la station III sont reliés aux premières par l'exemple I de la page 11 : la catégorie des \(G\)-ensembles y sert de modèle à l'axiomatique, et c'est sur elle (pages 15 à 19) que s'écrit la cohomologie.

Conventions

Tous les anneaux sont commutatifs et unitaires. Un morphisme \(p : T \to S\) est fini localement libre de rang \(r\) si \(p_{*}\mathcal{O}_T\) est un \(\mathcal{O}_S\)-module localement libre de rang \(r\). On note \(T^{r}_{S} = T \times_S \cdots \times_S T\) (\(r\) facteurs), et \[ \mathrm{Sym}^{r}_{S}(T) = T^{r}_{S}/\mathfrak{S}_r \] sa puissance symétrique, qui existe dès que \(T\) est affine sur \(S\) : si \(S = \operatorname{Spec} A\) et \(T = \operatorname{Spec} B\), c'est \(\operatorname{Spec} \mathrm{TS}^{r}_{A}(B)\), où \(\mathrm{TS}^{r}_{A}(B) = (B^{\otimes r})^{\mathfrak{S}_r}\) est l'algèbre des tenseurs symétriques. La page écrit tour à tour \(\Sigma^{r}(T/S)\) et \(\mathrm{Symm}^{r}_{S}(T)\) ; on écrit \(\mathrm{Sym}^{r}_{S}(T)\) partout. La section canonique est \(\mathrm{Can}_{T/S} : S \to \mathrm{Sym}^{r}_{S}(T)\), et la norme d'une section \(\alpha\) le long d'un morphisme symétrique \(\varphi\) est \(N^{\varphi}_{T/S}(\alpha)\).¹

Pour la seconde moitié, \(S\) est un schéma noethérien, \(X\) un \(S\)-schéma de type fini ; les faisceaux sont cohérents. Les foncteurs faisceautiques sont notés \(\mathcal{H}om\), \(\mathcal{T}or\), \(\mathcal{E}xt\) (il les souligne). \(\mathfrak{F}(X/k)\) est l'ensemble des classes de faisceaux cohérents de la page 29, et \(\widetilde{K}\) une extension algébriquement close de \(k\) de degré de transcendance infini. Les « préschémas » des pages sont nos schémas.

Le mot « limité » est le sien, et celui de SGA 6 ; on dit aujourd'hui « borné » (bounded). On garde « limité », en le rappelant.

1–2

I. Normes (pages 1 à 8)

La couverture porte, de sa main, « Formalisation des Normes » et « Cf aussi SGA 4 XVIII ».²

Le déterminant comme loi multiplicative (page 2)

Soient \(A\) un anneau et \(M\) un \(A\)-module libre de rang \(n\). On a \[ L_A\bigl(T^{n}_{A}(M)\bigr) \simeq T^{n}_{A}\bigl(L_A(M)\bigr) \supset \mathrm{TS}^{n}_{A}\bigl(L_A(M)\bigr), \] où \(L_A\) désigne les endomorphismes et \(T^{n}\) la puissance tensorielle : les tenseurs symétriques de \(L_A(M)\) sont exactement les endomorphismes de \(\otimes^{n} M\) qui commutent à l'action de \(\mathfrak{S}_n\). Pour \(u \in L_A(M)\), \(u^{\otimes n}\) en est un, et il opère sur la puissance extérieure maximale \(\Lambda^{n} M\), libre de rang 1, par la multiplication par \(\det u\).

L'énoncé juste, sur un anneau quelconque, est le suivant : l'application \(u \mapsto \det u\) est une loi polynôme homogène de degré \(n\) et multiplicative de \(L_A(M)\) dans \(A\) ; elle correspond donc à un homomorphisme d'algèbres \[ \mathrm{TS}^{n}_{A}\bigl(L_A(M)\bigr) \simeq \Gamma^{n}_{A}\bigl(L_A(M)\bigr) \longrightarrow A, \] où \(\Gamma^{n}\) est la puissance divisée, isomorphe aux tenseurs symétriques pour un module libre.³

Si \(B\) est une \(A\)-algèbre finie localement libre de rang \(n\), en composant avec \(B \to L_A(B)\), \(b \mapsto (x \mapsto bx)\), on obtient la norme \(N_{B/A}\) comme loi multiplicative de degré \(n\), c'est-à-dire un homomorphisme d'algèbres \(\mathrm{TS}^{n}_{A}(B) \to A\) : géométriquement, une section \[ \mathrm{Can}_{T/S} : S \longrightarrow \mathrm{Sym}^{n}_{S}(T), \qquad T = \operatorname{Spec} B,\ S = \operatorname{Spec} A . \] Elle se recolle, et définit \(\mathrm{Can}_{T/S}\) pour tout \(T \to S\) fini localement libre de rang \(n\). C'est le passage, au bas de la page, de \(\otimes^{n} F\) à \(X^{n}_{S} \to \mathrm{Symm}^{n}_{S}(Y)\). La propriété universelle du quotient y est esquissée : un morphisme \(Y^{n}_{S} \to Z\) invariant par \(\mathfrak{S}_n\) se factorise de façon unique par \(\mathrm{Sym}^{n}_{S}(Y)\).⁴

4–6

La norme le long d'un morphisme symétrique (pages 4 à 6)

Soit \(p : T \to S\) fini localement libre de rang \(r\). Soient \(G\) et \(G'\) deux \(S\)-schémas et \(\varphi : G^{r}_{S} \to G'\) un \(S\)-morphisme symétrique, c'est-à-dire invariant par \(\mathfrak{S}_r\). Une section de \(G_T = G \times_S T\) au-dessus de \(T\) est la même chose qu'un \(S\)-morphisme \(\alpha : T \to G\). Le morphisme \(\varphi \circ \alpha^{r} : T^{r}_{S} \to G'\) est symétrique, donc se factorise par \(\mathrm{Sym}^{r}_{S}(T)\) ; on pose \[ N^{\varphi}_{T/S}(\alpha) : S \xrightarrow{\ \mathrm{Can}_{T/S}\ } \mathrm{Sym}^{r}_{S}(T) \xrightarrow{\ \overline{\varphi \circ \alpha^{r}}\ } G' . \] On a ainsi une application \[ N^{\varphi}_{T/S} : \Gamma(G_T/T) \longrightarrow \Gamma(G'/S). \] Pour \(G = G' = \mathbf{A}^{1}_{S}\) et \(\varphi\) le produit des \(r\) coordonnées, c'est la norme usuelle \(\Gamma(T, \mathcal{O}_T) \to \Gamma(S, \mathcal{O}_S)\).⁵

La page 6 dresse la liste des propriétés à établir pour \(\mathrm{Can}\) :

1. a)les cas \(r = 0\) et \(r = 1\) : \(\mathrm{Sym}^{0}_{S}(T) = S\), et pour \(r = 1\), \(T = S\) et \(\mathrm{Can}_{S/S} = \mathrm{id}_S\) ;
2. b)la fonctorialité : pour \(S' \to S\) et \(T' = T \times_S S'\), la section \(\mathrm{Can}_{T'/S'}\) est l'image inverse de \(\mathrm{Can}_{T/S}\), et la norme commute aux morphismes \(G \to G_1\), \(G' \to G'_1\) qui rendent commutatifs les carrés évidents ;
3. c)l'additivité : si \(T = T_1 \amalg T_2\), de rangs \(r_1\), \(r_2\), alors \(\mathrm{Can}_{T/S}\) est le composé de \((\mathrm{Can}_{T_1/S}, \mathrm{Can}_{T_2/S})\) et du morphisme canonique \(\mathrm{Sym}^{r_1}_{S}(T_1) \times_S \mathrm{Sym}^{r_2}_{S}(T_2) \to \mathrm{Sym}^{r_1+r_2}_{S}(T)\) ;
4. d)la transitivité, objet de la page 8.

Pour les normes de fonctions, c) dit que la norme d'une fonction sur \(T_1 \amalg T_2\) est le produit des normes de ses restrictions.⁶

6–8

La transitivité (pages 6 à 8)

Soient \(X \xrightarrow{u} Y \xrightarrow{v} Z\) finis localement libres de rangs \(r\) et \(s\) ; le composé est de rang \(rs\). Il y a un morphisme canonique \[ \mathrm{can} : (X^{r}_{Y})^{s}_{Z} \longrightarrow X^{rs}_{Z}, \] qui envoie \(s\) paquets de \(r\) points, chacun au-dessus d'un point de \(Y\), sur leur juxtaposition ; il passe aux quotients par \(\mathfrak{S}_r \wr \mathfrak{S}_s \subset \mathfrak{S}_{rs}\).

Soient \(G\) un \(Z\)-schéma, et donnons-nous :

1. –un \(Z\)-morphisme symétrique \(\varphi : G^{rs}_{Z} \to G'\) ;
2. –un \(Y\)-schéma \(G''\) et un \(Y\)-morphisme symétrique \(\psi : (G_Y)^{r}_{Y} \to G''\) ;
3. –un \(Z\)-morphisme symétrique \(\chi : G''^{\,s}_{Z} \to G'\), où \(G''\) est vu comme \(Z\)-schéma,

tels que le carré \[ \chi \circ \psi^{s} = \varphi \circ \mathrm{can} : \bigl((G_Y)^{r}_{Y}\bigr)^{s}_{Z} \longrightarrow G' \] commute. Soit \(\alpha : X \to G\) un \(Z\)-morphisme, et \(\alpha' : X \to G_Y\) le \(Y\)-morphisme qui lui correspond (\(\alpha = c \circ \alpha'\), \(c : G_Y \to G\) la projection). La page affirme, encadré : \[ \boxed{\;N^{\varphi}_{X/Z}(\alpha) = N^{\chi}_{Y/Z}\bigl(N^{\psi}_{X/Y}(\alpha')\bigr)\;} \] où \(N^{\psi}_{X/Y}(\alpha') : Y \to G''\) est vu comme une section de \(G''\) au-dessus de \(Y\), c'est-à-dire un \(Z\)-morphisme \(Y \to G''\).

C'est la transitivité des normes : pour \(G = G' = G'' = \mathbf{A}^{1}\) et les produits, elle redonne \(N_{C/A} = N_{B/A} \circ N_{C/B}\) pour \(A \to B \to C\) finis localement libres. Elle découle de la transitivité de la section canonique, qui est l'axiome (ii ter) de la page 11 ci-dessous ; la page la donne par « Je dis que », sans preuve.⁷

10–11

II. Une théorie axiomatique des normes (pages 10 à 13)

Les axiomes (pages 10 et 11)

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie à sommes finies, et \(\mathcal{N}\) une classe de morphismes de \(\mathcal{C}\) telle que :

1. (i)les identités sont dans \(\mathcal{N}\) ;
2. (ii)\(\mathcal{N}\) est stable par composition ;
3. (iii)si \(u : X \to Y\) est dans \(\mathcal{N}\) et \(Y' \to Y\) quelconque, \(X' = X \times_Y Y'\) existe et \(u' : X' \to Y'\) est dans \(\mathcal{N}\) ;
4. (iv)si \(u_1\), \(u_2\) sont dans \(\mathcal{N}\), de même but \(Y\), \((u_1, u_2) : X_1 \amalg X_2 \to Y\) y est aussi ;
5. (v)si \(u : X \to Y\) est dans \(\mathcal{N}\), pour tout entier \(n\) et tout sous-groupe \(H \subset \mathfrak{S}_n\), le quotient \((X^{n}_{Y})/H\) existe (et sa projection sur \(Y\) est dans \(\mathcal{N}\)).

On se donne un degré \(\deg : \mathcal{N} \to \mathbf{N}\) avec

1. (i bis)\(\deg(\mathrm{id}_X) = 1\) ;
2. (ii bis)\(\deg(vu) = \deg v \cdot \deg u\) ;
3. (iii bis)le degré est invariant par changement de base ;
4. (iv bis)\(\deg(u_1, u_2) = \deg u_1 + \deg u_2\) ;
5. (v bis)si \(\deg u = r\) et \(E = \{1, \ldots, r\}\), le degré de \((X^{n}_{Y})/H \to Y\) est \(\mathrm{card}(E^{n}/H)\).

Enfin, pour \(u : X \to Y\) dans \(\mathcal{N}\) de degré \(r\), on se donne \(\mathrm{Can}_{X/Y} : Y \to \mathrm{Sym}^{r}_{Y}(X)\), où \(\mathrm{Sym}^{r}_{Y}(X) = (X^{r}_{Y})/\mathfrak{S}_r\), avec :

1. (i ter)\(\mathrm{Can}_{X/X} = \mathrm{id}_X\) ;
2. (ii ter)pour \(X \xrightarrow{u} Y \xrightarrow{v} Z\) de degrés \(r\), \(s\), le diagramme ci-dessous commute ;
3. (iii ter)\(\mathrm{Can}\) commute au changement de base \(Y' \to Y\) ;
4. (iv ter)pour \(X = X_1 \amalg X_2\), on a \(\mathrm{Sym}^{r}_{Y}(X) = \coprod_{i+j=r} \mathrm{Sym}^{i}_{Y}(X_1) \times_Y \mathrm{Sym}^{j}_{Y}(X_2)\), et \(\mathrm{Can}_{X/Y}\) est le composé de \((\mathrm{Can}_{X_1/Y}, \mathrm{Can}_{X_2/Y})\) et de l'inclusion du facteur d'indice \((r_1, r_2)\).

Le diagramme de (ii ter) est \[ Z \xrightarrow{\ \mathrm{Can}_{Y/Z}\ } \mathrm{Sym}^{s}_{Z}(Y) \xrightarrow{\ \mathrm{Sym}^{s}(\mathrm{Can}_{X/Y})\ } \mathrm{Sym}^{s}_{Z}\bigl(\mathrm{Sym}^{r}_{Y}(X)\bigr) \] \[ \xrightarrow{\ \mathrm{can}\ } \mathrm{Sym}^{s}_{Z}\bigl(\mathrm{Sym}^{r}_{Z}(X)\bigr) \xrightarrow{\ \mathrm{can}\ } \mathrm{Sym}^{rs}_{Z}(X), \] dont le composé doit être \(\mathrm{Can}_{X/Z}\).⁸

11–13

Trois exemples (pages 11 à 13)

Exemple I : les \(G\)-ensembles. \(G\) est un groupe, \(\mathcal{C}\) la catégorie des ensembles où \(G\) opère ; \(u : X \to Y\) est de degré \(r\) si toutes ses fibres ont \(r\) éléments, et \(\mathcal{N}\) est formé des morphismes qui ont un degré. Produits fibrés et quotients par un groupe d'automorphismes existent dans \(\mathcal{C}\), et les axiomes (i) à (v), (i bis) à (v bis) sont immédiats. L'ensemble \(\mathrm{Sym}^{r}_{Y}(X)\) est la réunion disjointe des \(\mathrm{Sym}^{r}(u^{-1}(y))\), \(y \in Y\) ; comme \(u^{-1}(y)\) a exactement \(r\) éléments, \(\mathrm{Sym}^{r}(u^{-1}(y))\) a un élément privilégié, la classe de la suite de ses éléments rangés dans un ordre quelconque. D'où \(\mathrm{Can}_{X/Y}\), évidemment compatible à l'action de \(G\), et (i ter) à (iv ter) se vérifient aussitôt.⁹

Exemple II : les schémas. \(\mathcal{C}\) est la catégorie des schémas, \(\mathcal{N}\) la classe des morphismes finis localement libres de rang constant, le degré étant le rang. Les axiomes se vérifient « très facilement », dit la page, et c'est vrai pour la raison suivante : si \(Y = \operatorname{Spec} A\) et \(X = \operatorname{Spec} B\) avec \(B\) libre de base \((e_1, \ldots, e_r)\), alors \(B^{\otimes n}\) est un module de permutation, de base \(E^{n}\), sur lequel \(H\) opère en permutant la base ; ses invariants sont libres, de base les sommes d'orbites, de rang \(\mathrm{card}(E^{n}/H)\), et ils commutent à tout changement de base. On définit \(\mathrm{Can}_{X/Y}\) par la norme de la page 2.¹⁰

Exemples III : variantes. En géométrie analytique, variante évidente. En topologie, les revêtements finis (non ramifiés) donnent une variante « très voisine de l'exemple I », que la page 13 précise ainsi. Soit \(X \in \mathcal{C}\) muni d'un groupe discret \(\Gamma\) d'automorphismes qui opère librement et proprement, de sorte que les quotients \(X/H\) existent pour tout sous-groupe \(H\), et que pour \(H' \subset H\) distingué d'indice fini, \(X/H' \to X/H = (X/H')/(H/H')\) soit un revêtement galoisien de groupe \(H/H'\), donc dans \(\mathcal{N}\). Soit \(\mathcal{C}'\) la catégorie des \(\Gamma\)-ensembles \(E\) tels que \(E/\Gamma\) soit fini, et \[ \Phi(E) = X \times^{\Gamma} E \] le produit contracté. Alors \(\Phi : \mathcal{C}' \to \mathcal{C}\) commute aux sommes finies et transforme les morphismes de degré \(r\) en morphismes de degré \(r\) ; la page ajoute qu'il transforme les morphismes canoniques en morphismes canoniques, et s'interrompt.¹¹

15–15

III. Cohomologie des \(G\)-ensembles et suites spectrales de recouvrement (pages 15 à 23)

Les \(G\)-ensembles comme faisceaux (page 15)

Soit \(G\) un groupe, et \(\mathcal{C}_G\) la catégorie des ensembles où \(G\) opère à gauche et qui n'ont qu'un nombre fini d'orbites. Munissons \(\mathcal{C}_G\) de la topologie induite par la topologie canonique du topos \(B_G\) des \(G\)-ensembles : les familles couvrantes sont les familles conjointement surjectives. Comme \(\mathcal{C}_G\) est une sous-catégorie pleine génératrice de \(B_G\), le lemme de comparaison donne une équivalence entre la catégorie des faisceaux sur \(\mathcal{C}_G\) — ses « hyper-foncteurs » — et celle de tous les \(G\)-ensembles. Au \(G\)-ensemble \(A\) correspond le faisceau \[ \Phi_A(X) = \operatorname{Hom}_G(X, A), \] et au faisceau \(\Phi\) le \(G\)-ensemble \(A = \Phi(G_s)\), où \(G_s\) est \(G\) opérant sur lui-même par translations à gauche ; l'action de \(G\) sur \(\Phi(G_s)\) vient des translations à droite, qui sont les automorphismes de \(G_s\), et elle est à gauche parce que \(\Phi\) est contravariant.¹²

17–18

La suite spectrale (A) (page 17)

Soit \(A\) un \(G\)-module, et pour \(S \in \mathcal{C}_G\) posons \[ \mathcal{H}^{q}(A)(S) = R^{q}\operatorname{Hom}_G(S, -)\,(A) = \operatorname{Ext}^{q}_{\mathbf{Z}[G]}\bigl(\mathbf{Z}[S], A\bigr), \] de sorte que, par le lemme de Shapiro, \[ \mathcal{H}^{q}(A)(F \backslash G) = H^{q}(F, A) \] pour tout sous-groupe \(F\).¹³ C'est un préfaisceau sur \(\mathcal{C}_G\) qui transforme sommes finies en produits. Pour \(T \in \mathcal{C}_G\) non vide, notons \(H^{p}(T/e, P)\) la cohomologie de Čech d'un tel préfaisceau \(P\) relativement au recouvrement \(T \to e\) de l'objet final \(e = G/G\), c'est-à-dire la cohomologie du complexe \(P(T) \to P(T \times T) \to P(T \times T \times T) \to \cdots\). On a la suite spectrale \[ \text{(A)}\qquad E_2^{p,q} = H^{p}\bigl(T/e, \mathcal{H}^{q}(A)\bigr) \Longrightarrow H^{p+q}(G, A) \qquad (T \neq \emptyset). \] C'est la suite spectrale de Čech d'un recouvrement — la page dit en marge « la suite spectrale de Leray d'un recouvrement d'un objet » —, et elle résulte des deux faits que la page énonce :

1. (i)\(T \to e\) est un épimorphisme, donc un morphisme de descente : pour un faisceau \(\Phi\), \(\Phi(e) = H^{0}(T/e, \Phi)\) ;
2. (ii)si \(\Phi\) est injectif, \(H^{p}(T/e, \Phi) = 0\) pour \(p > 0\).

Pour (ii) il suffit de traiter un module coïnduit \(A = \operatorname{Hom}_{\mathbf{Z}}(\mathbf{Z}[G], M)\), puisque tout injectif en est facteur direct : alors \(\Phi_A(S)\) est l'ensemble des applications de \(S\) dans \(M\), et le complexe de Čech est celui des applications \(T^{p+1} \to M\), acyclique en degrés \(> 0\) dès que \(T\) n'est pas vide.¹⁴

Le verso de cette feuille, la page 18, est un feuillet d'un tapuscrit qui n'est pas de lui, sur les variétés abéliennes ; il porte quelques marques au crayon, dont « Prouver ! », que rien sur la feuille n'attribue à une autre main, mais qu'un relecteur devra confirmer. Elles ne touchent pas à ces notes.

19–19

La suite spectrale (B) de Leray–Čech (page 19)

Plus généralement, pour un faisceau abélien \(\Phi\) sur \(\mathcal{C}_G\) et \(S \in \mathcal{C}_G\), posons \[ \mathcal{H}^{q}(\Phi)(S) = H^{q}(-/S, \Phi), \] valeur en \(\Phi\) du \(q\)-ième dérivé du foncteur \(\Phi \mapsto \Phi(S)\), c'est-à-dire la cohomologie de la restriction de \(\Phi\) au site localisé en \(S\). On montre :

1. (i)\(\mathcal{H}^{q}(\Phi)\) est un préfaisceau qui transforme sommes finies en produits ;
2. (ii)\(\mathcal{H}^{q}(\Phi_A)(G/F) = H^{q}(F, A)\).

Si \(T \to S\) est surjectif dans \(\mathcal{C}_G\), on a la suite spectrale \[ \text{(B)}\qquad E_2^{p,q} = H^{p}\bigl(T/S, \mathcal{H}^{q}(\Phi)\bigr) \Longrightarrow H^{p+q}(-/S, \Phi), \] que la page appelle suite spectrale de Leray–Čech ; (A) en est le cas \(S = e\). Pour \(F' \subset F \subset G\), \(T = G/F'\) et \(S = G/F\), elle donne, pour tout \(G\)-module \(A\), \[ E_2^{p,q} = H^{p}\bigl(F/F', \mathcal{H}^{q}(A)\bigr) \Longrightarrow H^{p+q}(F, A), \] la cohomologie de Čech du recouvrement \(F/F' \to \mathrm{pt}\) des \(F\)-ensembles ; elle n'utilise de \(A\) que sa structure de \(F\)-module.¹⁵ Lorsque \(F'\) est distingué dans \(F\), le complexe de Čech de ce recouvrement galoisien est le complexe standard du groupe \(F/F'\) à coefficients dans \(\mathcal{H}^{q}(A)(G/F') = H^{q}(F', A)\), et l'on retrouve la suite de Hochschild–Serre \(H^{p}(F/F', H^{q}(F', A)) \Rightarrow H^{p+q}(F, A)\).¹⁶

La page conclut : « Tout ceci est à généraliser aux hyperfaisceaux quelconques ». C'est ce qu'est devenue la suite spectrale de Čech pour un recouvrement d'un objet d'un topos quelconque, et sa généralisation par les hyperrecouvrements de Verdier (SGA 4, V).¹⁷

21–21

Une suite exacte pour \(\mathbf{G}_m\) (page 21)

Appliquée au faisceau \(\mathbf{G}_m\) et à un recouvrement \(T \to S\), la suite spectrale de Čech \(H^{p}(T/S, \mathcal{H}^{q}(\mathbf{G}_m)) \Rightarrow H^{p+q}(-/S, \mathbf{G}_m)\) donne, lorsque sa ligne \(q = 1\) est nulle — par exemple si \(\mathcal{H}^{1}(\mathbf{G}_m) = \mathrm{Pic}\) s'annule sur les puissances fibrées de \(T\) —, la suite exacte \[ 0 \to H^{2}(T/S, \mathbf{G}_m) \to H^{2}(-/S, \mathbf{G}_m) \to H^{0}\bigl(T/S, \mathcal{H}^{2}(\mathbf{G}_m)\bigr) \xrightarrow{\ d_3\ } H^{3}(T/S, \mathbf{G}_m) \to H^{3}(-/S, \mathbf{G}_m)' \] \[ \to H^{1}\bigl(T/S, \mathcal{H}^{2}(\mathbf{G}_m)\bigr) \xrightarrow{\ d_3\ } H^{4}(T/S, \mathbf{G}_m) \to E_4^{4,0} \to 0, \] où \(H^{3}(-/S, \mathbf{G}_m)'\) est le noyau de \(H^{3}(-/S, \mathbf{G}_m) \to E_2^{0,3}\), et où \(H^{p}(T/S, \mathbf{G}_m)\) est la cohomologie de Čech à valeurs dans \(\mathbf{G}_m\). C'est l'outil qui décrit le groupe de Brauer par des cocycles de Čech.¹⁸

23–23

Quatre fibrations (page 23)

Le modèle topologique de ces suites spectrales est dressé en tableau.

1. –Leray. Pour une fibration \(F \to X \to Y\), \(E_2^{p,q} = H^{p}(Y, \mathcal{H}^{q}(F)) \Rightarrow H^{p+q}(X)\), où \(\mathcal{H}^{q}(F)\) est le système local des \(H^{q}\) des fibres.
2. –Cartan–Leray. Pour un fibré principal \(X \to Y\) de groupe \(F\), classifié par \(Y \to B_F\), de fibre homotopique \(X\) : \(H^{p}(B_F, \{H^{q}(X)\}) \Rightarrow H^{p+q}(Y)\), le système local étant défini par l'action de \(\pi_0(F) = \pi_1(B_F)\) sur \(H^{q}(X)\).
3. –Pour un groupe \(Y\) et un sous-groupe \(F\), la fibration \(Y/F \to B_F \to B_Y\) : \(H^{p}(B_Y, \{H^{q}(Y/F)\}) \Rightarrow H^{p+q}(B_F)\), le système local étant défini par l'action de \(\pi_0(Y)\) sur \(H^{q}(Y/F)\).
4. –Hochschild–Serre. Pour un groupe \(X\), un sous-groupe distingué \(F\) et \(Y = X/F\), la fibration \(B_F \to B_X \to B_Y\) : \(H^{p}(B_Y, H^{q}(B_F)) \Rightarrow H^{p+q}(B_X)\), avec coefficients locaux ; pour des groupes discrets, c'est \(H^{p}(Y, H^{q}(F)) \Rightarrow H^{p+q}(X)\).

La page met en marge, en face de la dernière, « Leray-Čech » à côté de « Hochschild-Serre » : la suite (B) de la page 19, appliquée à \(G/F' \to G/F\) avec \(F'\) distingué, est son analogue discret.¹⁹

25–27

IV. Familles limitées (pages 25 à 43)

La page 25 est une couverture : « Familles limitées », et « cf. SGA 6 XIII ».²⁰

Définition. Soit \(X\) de type fini sur \(S\) noethérien. Une famille \((F_i)\) de faisceaux cohérents, \(F_i\) vivant sur la fibre géométrique \(X_{s_i} \otimes_{k(s_i)} K_i\), est limitée (aujourd'hui : bornée) s'il existe un \(S\)-schéma \(S'\) de type fini et un faisceau cohérent \(F\) sur \(X \times_S S'\) tels que chaque \(F_i\) soit, à extension du corps près, isomorphe à une fibre \(F_{s'}\) de \(F\).²¹

Les quotients d'un faisceau fixe (pages 26 et 27)

L'énoncé visé est le suivant : sur \(\mathbf{P}^{n}_{S}\), les faisceaux \(F_i\) quotients d'un faisceau cohérent fixé \(E\), et dont les polynômes de Hilbert \(P_{F_i}\) sont en nombre fini, forment une famille limitée. L'énoncé est vrai ; c'est la bornitude qui sous-tend l'existence du schéma \(\mathrm{Quot}\).²²

La preuve esquissée procède par récurrence sur \(d = \sup \dim \operatorname{Supp} F_i\), le cas \(d < 0\) étant trivial. Pour \(d \geq 0\), on écrit \[ 0 \to F''_i \to F_i \to F'_i \to 0, \] où \(\dim \operatorname{Supp} F''_i < d\) et où \(F'_i\) est contrôlé par les cycles de dimension \(d\) associés aux \(F_i\), de degré borné. Ces cycles forment une famille limitée par un « résultat de Chow » : les cycles de degré borné de \(\mathbf{P}^{n}_{\mathbf{Z}}\) forment une famille limitée, c'est-à-dire sont les fibres d'un \(\Gamma \subset \mathbf{P}^{n}_{T}\) au-dessus d'un \(T\) de type fini sur \(\mathbf{Z}\). Les \(F'_i\) sont alors limités, leurs polynômes de Hilbert sont en nombre fini, donc aussi ceux des \(F''_i\), puisque \(P_{F''_i} = P_{F_i} - P_{F'_i}\) ; et l'on conclut par récurrence que les \(F''_i\), puis les \(F_i\), sont limités.²³

28–29

Faisceaux sur des extensions du corps de base (pages 28 et 29)

Définition 1. Soient \(X\) un schéma sur un corps \(k\), \(K_1\), \(K_2\) deux extensions de \(k\), et \(F_i\) un faisceau cohérent sur \(X \otimes_k K_i\). On dit que \(F_1\) et \(F_2\) sont \(k\)-équivalents s'il existe une extension \(K'\) de \(k\) et des \(k\)-plongements \(u_i : K_i \to K'\) tels que les faisceaux \(F_i \otimes_{K_i} K'\) sur \(X \otimes_k K'\) soient isomorphes.

C'est une relation d'équivalence sur les couples \((K, F)\) : pour la transitivité, deux extensions d'un même corps se plongent toujours dans une extension commune.²⁴

Proposition 1 (\(X\) de type fini sur \(k\)). Tout faisceau cohérent sur \(X \otimes_k K'\) est équivalent à un faisceau défini sur \(X \otimes_k K\), \(K \subset K'\) de type fini sur \(k\). Si \(F_1\) et \(F_2\) sont équivalents et définis sur des extensions de type fini, on peut, dans la définition 1, prendre \(K'\) de type fini.

Par suite, les classes d'équivalence forment un ensemble, en bijection avec les classes de faisceaux définis sur des extensions de type fini de \(k\) ; on le note \(\mathfrak{F}(X/k)\). Il dépend de \(k\) de façon contravariante.²⁵

30–30

Une extension universelle (page 30)

Corollaire 5. Soient \(\widetilde{K}\) une extension algébriquement close de \(k\) de degré de transcendance infini, et \(\widetilde{X} = X \otimes_k \widetilde{K}\). Alors deux faisceaux cohérents \(F\), \(G\) sur \(\widetilde{X}\) sont \(k\)-équivalents si et seulement s'il existe \(\sigma \in \operatorname{Aut}(\widetilde{K}/k)\) tel que \(F \simeq \sigma_{\widetilde{X}}(G)\), où \(\sigma_{\widetilde{X}}\) est l'automorphisme \(\mathrm{id}_X \times \sigma\) de \(\widetilde{X}\) ; et \(\mathfrak{F}(X/k)\) s'identifie au quotient de l'ensemble des classes d'isomorphisme de faisceaux cohérents sur \(\widetilde{X}\) par \(\operatorname{Aut}(\widetilde{K}/k)\).

Les deux hypothèses sur \(\widetilde{K}\) servent ainsi : toute extension de type fini de \(k\) s'y plonge, ce qui donne la surjectivité ; et deux plongements d'un même sous-corps de type fini diffèrent d'un automorphisme de \(\widetilde{K}\) (on prolonge l'isomorphisme à des bases de transcendance, de même cardinal infini, puis aux clôtures algébriques), ce qui donne l'injectivité.²⁶

31–33

Opérations sur les classes (pages 30 à 33)

Supposons donnés \(X\), \(Y\) de type fini sur \(k\) et, pour toute extension algébriquement close \(K\) de \(k\) et tous faisceaux cohérents \(F_1, \ldots, F_n\) sur \(X_K\), un ensemble \(T(F_1, \ldots, F_n)\) de classes de faisceaux cohérents sur \(Y_K\), de sorte que :

1. (i)\(T(F_1, \ldots, F_n)\) ne change pas si l'on remplace les \(F_i\) par des faisceaux isomorphes ;
2. (ii)\(T\) est compatible à l'extension du corps de base : pour \(K \subset K'\), \(T(F_1 \otimes_K K', \ldots, F_n \otimes_K K')\) est, à isomorphisme près, l'ensemble des \(G \otimes_K K'\), \(G \in T(F_1, \ldots, F_n)\).

Pour des parties \(A_1, \ldots, A_n\) de \(\mathfrak{F}(X/k)\), on note \(\mathfrak{F}(A_1, \ldots, A_n) \subset \mathfrak{F}(Y/k)\) l'ensemble des classes des éléments des \(T(F_1, \ldots, F_n)\), où les \(F_i\) sont des faisceaux sur \(\widetilde{X}\) de classes dans les \(A_i\) ; la définition ne dépend pas du choix de \(\widetilde{K}\).

Si l'on part de faisceaux \(F_i\) définis sur des extensions distinctes \(K_i\), de classes \(\xi_i\), on obtient \(\mathfrak{F}(\xi_1, \ldots, \xi_n)\) en parcourant toutes les extensions composées \(L_\alpha\) des \(K_i\) sur \(k\) et en réunissant les classes des \(T(F_1 \otimes L_\alpha, \ldots, F_n \otimes L_\alpha)\). Les classes \(\xi_i\) ne fixent pas la position relative des corps \(K_i\), et chaque manière de les composer donne en général d'autres faisceaux.²⁷

Exemples (page 33) : a) les foncteurs \(\mathcal{H}om\), \(\otimes\) et leurs dérivés \(\mathcal{T}or\), \(\mathcal{E}xt\) (deux arguments, \(X = Y\)) ; (d) un ensemble \(N(F, G)\) attaché à deux faisceaux ; (b) et (c) deux opérations à un argument attachées à un morphisme \(f : X \to Y\) donné, la seconde « et ses foncteurs dérivés » ; (e) l'ensemble des extensions de \(F\) par \(G\), c'est-à-dire des faisceaux \(E\) qui figurent au milieu d'une suite exacte \(0 \to G \to E \to F \to 0\) ; (f) une opération attachée à une filtration décroissante de \(F\) ; (g) le faisceau \(\mathcal{O}_{(\operatorname{Supp} F)_{\mathrm{red}}}\) ; (h) les composantes primaires de \(F\) associées aux composantes irréductibles de son support. Pour les deux dernières il faut \(K\) algébriquement clos : être réduit, être irréductible ne sont pas stables par extension inséparable ou non algébrique du corps, et (ii) serait faux.²⁸

34–35

Stabilité des familles limitées (pages 34 à 37)

On note maintenant \(\mathfrak{F}(X/S)\) la réunion des \(\mathfrak{F}(X_s/k(s))\), \(s \in S\), et, pour un faisceau cohérent \(F\) sur \(X \times_S S'\), \(S'\) de type fini sur \(S\), \(\mathcal{E}_{X/S}(F) \subset \mathfrak{F}(X/S)\) l'ensemble des classes de ses fibres \(F_{s'}\). Une partie de \(\mathfrak{F}(X/S)\) est limitée si elle est contenue dans un \(\mathcal{E}_{X/S}(F)\).

(a) Si \(A, B \subset \mathfrak{F}(X/S)\) sont limités, \(A \otimes B\), \(\mathcal{H}om(A, B)\), \(\mathcal{T}or_i(A, B)\) et \(\mathcal{E}xt^{i}(A, B)\) le sont.

Le produit tensoriel. Soient \(A \subset \mathcal{E}(F)\), \(F\) sur \(X \times_S S'\), et \(B \subset \mathcal{E}(G)\), \(G\) sur \(X \times_S S''\). Posons \(S''' = S' \times_S S''\) et \(H = F \otimes G\) (images inverses) sur \(X \times_S S'''\). Tout type d'extension composée de \(k(s')\) et \(k(s'')\) sur \(k(s)\) provient d'un point \(s''' \in S'''\) au-dessus de \(s'\) et \(s''\) — ce sont les points du produit fibré (EGA I, § 3.4) —, et \[ (F_{s'} \otimes_{k(s')} K) \otimes_{X_{s} \otimes_{k(s)} K} (G_{s''} \otimes_{k(s'')} K) \simeq H_{s'''} \otimes_{k(s''')} K . \] Comme \(S'''\) est de type fini sur \(S\), on a \(\mathcal{E}_{X/S}(F) \otimes \mathcal{E}_{X/S}(G) \subset \mathcal{E}_{X/S}(H)\). Le produit tensoriel commute à tout changement de base, et rien d'autre n'est nécessaire.²⁹

Les \(\mathcal{H}om\). Ceux-ci ne commutent pas au changement de base, et il faut stratifier. Soient \(\bar{F}\), \(\bar{G}\) les images inverses de \(F\) et \(G\) sur \(X \times_S S'''\). Il existe une partition finie de \(S'''\) en parties localement fermées \(T_i\), munies de leur structure réduite, telle que, en posant \(F_i = \bar{F} \otimes T_i\), \(G_i = \bar{G} \otimes T_i\), la formation de \(\mathcal{H}om_{X_{T_i}}(F_i, G_i)\) commute à tout changement de base \(T' \to T_i\). En effet, localement \(\bar{F}\) a une présentation \(L_1 \to L_0 \to \bar{F} \to 0\) par des modules libres de type fini, et \[ \mathcal{H}om(\bar{F}, \bar{G}) = \operatorname{Ker}\bigl(\mathcal{H}om(L_0, \bar{G}) \to \mathcal{H}om(L_1, \bar{G})\bigr) ; \] par platitude générique, sur un ouvert dense de \((S''')_{\mathrm{red}}\), \(\bar{G}\) et le conoyau de cette flèche sont plats, et le noyau d'une flèche entre modules plats, de conoyau plat, commute à tout changement de base. La récurrence noethérienne fournit la partition. Les \(\mathcal{T}or_i\) et les \(\mathcal{E}xt^{i}\) se traitent de même.³⁰

35–36Lemme (pages 35 et 36). Soient \(T\) noethérien, \(Y\) de type fini sur \(T\), \(K^{\bullet}\) un complexe de faisceaux cohérents sur \(Y\), de différentielle de degré \(+1\), et \(N\) un entier. Il existe une partition finie de \(T\) en parties localement fermées \(T_i\), munies de leur structure réduite, telle qu'en posant \(K^{(i)} = K \times_T T_i\), les homomorphismes canoniques \[ H^{q}\bigl(K^{(i)}\bigr) \otimes_{T_i} T' \longrightarrow H^{q}\bigl(K^{(i)} \otimes_{T_i} T'\bigr) \] soient des isomorphismes pour \(|q| \leq N\) et tout \(T' \to T_i\).

Preuve. On peut remplacer \(T\) par \(T_{\mathrm{red}}\). Par platitude générique, il existe un ouvert dense \(U\) de \(T\) sur lequel les \(K^{i}\), les cobords \(B^{i}\), les cocycles \(Z^{i}\) et les \(H^{i}\) sont plats pour \(|i| \leq N + 1\) ; alors les suites exactes \(0 \to Z^{i} \to K^{i} \to B^{i+1} \to 0\) et \(0 \to B^{i} \to Z^{i} \to H^{i} \to 0\) restent exactes après tout changement de base, et la cohomologie commute au changement de base en ces degrés. On conclut par récurrence noethérienne sur \(T \setminus U\).³¹

36–37(b) Images inverses. Soit \(f : X \to Y\) un \(S\)-morphisme entre \(S\)-schémas de type fini. Si \(A \subset \mathfrak{F}(Y/S)\) est limité, \(f^{*}(A)\) et les \(\mathcal{T}or^{\mathcal{O}_Y}_{*}(A, \mathcal{O}_X)\) le sont. De même, pour \(X\) et \(Z\) au-dessus de \(Y\), \(A \subset \mathfrak{F}(X/S)\) et \(B \subset \mathfrak{F}(Z/S)\) limités, les \(\mathcal{T}or^{\mathcal{O}_Y}_{i}(A, B)\), faisceaux sur \(X \times_Y Z\), le sont.³²

La page 37 pose alors la question qui commande le reste du dossier. Pour des \(X_i\) au-dessus de \(Y\) (\(1 \leq i \leq n\)), des \(F_i\) sur les \(X_i\), et un changement de base \(S' \to S\), il y a un homomorphisme canonique \[ \mathcal{T}or^{\mathcal{O}_Y}_{*}(F_1, \ldots, F_n) \otimes_S S' \longrightarrow \mathcal{T}or^{\mathcal{O}_{Y'}}_{*}(F'_1, \ldots, F'_n), \] où \(\mathcal{T}or^{\mathcal{O}_Y}_{*}(F_1, \ldots, F_n)\) est le \(\mathcal{T}or\) multiple, faisceau sur \(X_1 \times_Y \cdots \times_Y X_n\). « À quelle condition est-ce un isomorphisme ? » Il suffit que les \(\mathcal{T}or^{\mathcal{O}_Y}_{q}(F_1, \ldots, F_n)\) soient plats sur \(S\) — c'est l'objet des pages qui suivent.³³

38–40

Changement de base pour les \(\mathcal{T}or\) (pages 38 à 40)

Proposition. Soient \(S\) noethérien, \(Y\) de type fini sur \(S\), des \(X_i\) (\(1 \leq i \leq n\)) de type fini sur \(Y\), des \(F_i\) cohérents sur les \(X_i\), et \(N\) un entier. Il existe un ouvert dense \(U\) de \(S\) tel qu'en posant \(S' = U_{\mathrm{red}}\), \(X'_i = X_i \times_S S'\), \(Y' = Y \times_S S'\), \(F'_i = F_i \otimes_S S'\), les homomorphismes canoniques \[ \mathcal{T}or^{\mathcal{O}_{Y'}}_{p}(F'_1, \ldots, F'_n) \otimes_{S'} T \longrightarrow \mathcal{T}or^{\mathcal{O}_{Y_T}}_{p}(F'_{1T}, \ldots, F'_{nT}) \] soient des isomorphismes pour \(p \leq N\) et tout changement de base \(T \to S'\).

Elle résulte, par platitude générique (qui rend plats sur \(U\) le schéma \(Y\), les \(X_i\), les \(F_i\) et les \(\mathcal{T}or_q\) pour \(q \leq N\)), du

Lemme. Supposons \(Y\) et les \(X_i\) plats sur \(S\), les \(F_i\) plats sur \(S\), et les \(\mathcal{T}or^{\mathcal{O}_Y}_{q}(F_1, \ldots, F_n)\) plats sur \(S\) pour \(q \leq N\). Alors pour tout \(T \to S\) l'homomorphisme canonique \[ \mathcal{T}or^{\mathcal{O}_Y}_{q}(F_1, \ldots, F_n) \otimes_S T \longrightarrow \mathcal{T}or^{\mathcal{O}_{Y_T}}_{q}(F_{1(T)}, \ldots, F_{n(T)}) \] est un isomorphisme pour \(q \leq N\).³⁴

Preuve (pages 39 et 40). On se ramène à \(S\), \(Y\), les \(X_i\), \(T\) affines, d'anneaux \(A\), \(B\), \(B_i\), \(A'\), les \(F_i\) étant définis par des \(B_i\)-modules \(M_i\). Soit \(L^{(i)}\) une résolution libre de \(M_i\) par des \(B_i\)-modules, et \[ K = \bigotimes_{B,\, 1 \leq i \leq n} L^{(i)} \] (produit tensoriel sur \(B\) des complexes), de sorte que \(H_{q}(K) = \mathrm{Tor}^{B}_{q}(M_1, \ldots, M_n)\). Les \(L^{(i)}\) sont plats sur \(A\), puisque les \(B_i\) le sont ; comme \(M_i\) est plat sur \(A\), \(L^{(i)\prime} = L^{(i)} \otimes_A A'\) est une résolution de \(M'_i = M_i \otimes_A A'\) comme \(B'_i\)-module, \(B'_i = B_i \otimes_A A'\). D'où \[ K' = K \otimes_A A' = \bigotimes_{B',\, 1 \leq i \leq n} L^{(i)\prime}, \qquad H_{*}(K') = \mathrm{Tor}^{B'}_{*}(M'_1, \ldots, M'_n). \] Comme \(K\) est un complexe (borné inférieurement) de \(A\)-modules plats, on a la suite spectrale de Künneth \[ E^{2}_{p,q} = \mathrm{Tor}^{A}_{p}\bigl(H_{q}(K), A'\bigr) \Longrightarrow H_{p+q}(K \otimes_A A'), \] c'est-à-dire \[ \mathrm{Tor}^{A}_{p}\bigl(\mathrm{Tor}^{B}_{q}(M_1, \ldots, M_n), A'\bigr) \Longrightarrow \mathrm{Tor}^{B'}_{p+q}(M'_1, \ldots, M'_n). \] Si les \(\mathrm{Tor}^{B}_{q}(M_1, \ldots, M_n)\) sont plats sur \(A\) pour \(q \leq N\), les termes \(E^{2}_{p,q}\) avec \(p > 0\) et \(q \leq N\) sont nuls ; en degré total \(n \leq N\) il ne reste que \(E^{2}_{0,n}\), qu'aucune différentielle ne touche, et \[ \mathrm{Tor}^{B}_{p}(M_1, \ldots, M_n) \otimes_A A' \longrightarrow \mathrm{Tor}^{B'}_{p}(M'_1, \ldots, M'_n) \] est un isomorphisme pour \(p \leq N\).³⁵

Corollaire (page 40). Il existe une partition finie de \(S\) en parties localement fermées \(S_\alpha\) (structure réduite) telle qu'en posant \(X^{(\alpha)}_i = X_i \times_S S_\alpha\), \(Y^{(\alpha)} = Y \times_S S_\alpha\), \(F^{(\alpha)}_i = F_i \otimes_S S_\alpha\), l'homomorphisme canonique \[ \mathcal{T}or^{\mathcal{O}_{Y^{(\alpha)}}}_{p}\bigl(F^{(\alpha)}_1, \ldots, F^{(\alpha)}_n\bigr) \otimes_{S_\alpha} T \longrightarrow \mathcal{T}or^{\mathcal{O}_{Y_T}}_{p}\bigl(F^{(\alpha)}_{1(T)}, \ldots, F^{(\alpha)}_{n(T)}\bigr) \] soit un isomorphisme pour \(p \leq N\) et tout \(T \to S_\alpha\). C'est la Proposition et la récurrence noethérienne.³⁶

40–42

Changement de base pour les \(\mathcal{E}xt\) (pages 40 à 42)

Proposition (page 40). Soient \(X\) de type fini sur \(S\) noethérien, \(F\) et \(G\) cohérents sur \(X\), \(N\) un entier. Il existe un ouvert dense \(U\) de \(S\) tel qu'en posant \(S' = U_{\mathrm{red}}\), \(X' = X \times_S S'\), \(F' = F \otimes_S S'\), \(G' = G \otimes_S S'\), l'homomorphisme canonique \[ \mathcal{E}xt^{p}_{\mathcal{O}_{X'}}(F', G') \otimes_{S'} T \longrightarrow \mathcal{E}xt^{p}_{\mathcal{O}_{X_T}}\bigl(F'_{(T)}, G'_{(T)}\bigr) \] soit un isomorphisme pour \(p \leq N\) et tout \(T \to S'\).³⁷

Elle résulte par platitude générique du lemme suivant, écrit « avec les notations précédentes, mais sans conditions de finitude ».

Lemme (pages 41 et 42). Supposons \(X\) plat sur \(S\), \(F\) et \(G\) plats sur \(S\), et les \(\mathcal{E}xt^{i}(F, G)\) plats sur \(S\) pour \(i \leq N\). Supposons de plus que tout point de \(X\) ait un voisinage \(U\) sur lequel \(F|_U\) possède une résolution \(L_{*} \to F|_U\) de longueur \(\leq N + 1\) par des modules localement libres de type fini, telle que le conoyau de \(\mathcal{H}om(L_N, G) \to \mathcal{H}om(L_{N+1}, G)\) soit plat sur \(S\). Alors pour tout \(T \to S\) les homomorphismes canoniques \[ \mathcal{E}xt^{i}_{\mathcal{O}_X}(F, G) \otimes_S T \longrightarrow \mathcal{E}xt^{i}_{\mathcal{O}_{X_T}}\bigl(F_{(T)}, G_{(T)}\bigr) \] sont des isomorphismes pour \(i \leq N\).³⁸

Preuve. La définition des homomorphismes est locale, et l'on se ramène à \(S\), \(X\), \(T\) affines, d'anneaux \(A\), \(B\), \(A'\) ; on laisse au lecteur de vérifier que les isomorphismes obtenus se recollent. Soient \(M\), \(N\) les \(B\)-modules qui définissent \(F\), \(G\) ; \(B\), \(M\) et \(N\) sont plats sur \(A\). Posons \(B' = B \otimes_A A'\), \(M' = M \otimes_A A'\), \(N' = N \otimes_A A'\). Soit \(L_{*}\) un complexe de \(B\)-modules libres de type fini en degrés \(\leq N + 1\), acyclique en degrés \(\leq N\), augmenté vers \(M\). Comme \(M\) et les \(L_i\) sont plats sur \(A\), \(L_{*} \otimes_A A' = L_{*} \otimes_B B'\) est encore, en degrés \(\leq N\), une résolution de \(M'\), formée de libres de type fini. Donc, pour \(p \leq N\), \[ \operatorname{Ext}^{p}_{B'}(M', N') = H^{p}\bigl(\operatorname{Hom}_{B'}(L'_{*}, N')\bigr) = H^{p}\bigl(\operatorname{Hom}_{B}(L_{*}, N) \otimes_A A'\bigr). \] Soit \(K^{*} = \operatorname{Hom}_{B}(L_{*}, N)\). On a donc, pour \(p \leq N\), \[ \operatorname{Ext}^{p}_{B'}(M', N') = H^{p}(K^{*} \otimes_A A'), \qquad \operatorname{Ext}^{p}_{B}(M, N) = H^{p}(K^{*}). \] Les \(K^{i}\) sont plats sur \(A\) (car \(N\) l'est et les \(L_i\) sont libres de type fini), les \(H^{p}(K^{*})\) aussi pour \(p \leq N\) par hypothèse, et le conoyau \(C^{N+1}\) de \(K^{N} \to K^{N+1}\) est plat sur \(A\). Il s'ensuit, en descendant à partir de \(C^{N+1}\) le long des suites exactes \(0 \to H^{p} \to C^{p} \to K^{p+1} \to C^{p+1} \to 0\), que les cobords, les cocycles et les conoyaux \(C^{p}\) sont plats pour \(p \leq N\), donc que \[ H^{p}(K^{*}) \otimes_A A' \longrightarrow H^{p}(K^{*} \otimes_A A') \] est un isomorphisme pour \(p \leq N\) ; c'est-à-dire \[ \operatorname{Ext}^{p}_{B'}(M', N') \simeq \operatorname{Ext}^{p}_{B}(M, N) \otimes_A A' \qquad (p \leq N), \] ce qu'il fallait démontrer.³⁹

43–43

Le plan d'un chapitre (page 43)

La dernière page, d'une écriture posée, donne le plan d'un chapitre sur les familles limitées de faisceaux cohérents et de complexes de faisceaux cohérents, par les seuls intitulés de ses énoncés :

1. Prop. 1une réunion finie de familles limitées est limitée ;
2. Prop. 2dans la définition, on peut supposer les « familles universelles » plates sur la base — ce que donnent la platitude générique et une stratification, comme pages 34 à 40 ;
3. Prop. 3un changement de base \(S' \to S\) transforme famille limitée en famille limitée, avec une réciproque si l'image de \(S' \to S\) contient tous les points de \(S\) où vivent les membres de la famille ;
4. Prop. 4les faisceaux de cohomologie \(\mathcal{H}^{p}(K)\) d'une famille limitée de complexes ;
5. Prop. 5une cohomologie relative à plusieurs arguments, \(H^{p}_{f_1, \ldots, f_n}(K_1, \ldots, K_n)\), pour des \(f_i : X_i \to Z_i\) propres ;
6. Cor. 1–3les \(\mathcal{T}or\) locaux, les images inverses par \(X' \to X\), les images directes et les \(R^{p}f_{*}\) ;
7. Prop. 6les \(\mathcal{E}xt^{p}_{\mathcal{O}_X}(K, L)\), et en corollaire les \(\mathcal{H}om(F, G)\) ;
8. Prop. 7des \(\mathcal{E}xt^{p}\) relatifs à \(f\), « quand ça marche », et en corollaire leur \(\mathcal{E}xt^{1}\) « en tout cas ».

Aucun de ces énoncés n'est démontré dans le dossier ; les pages 34 à 42 en fournissent les outils pour les Propositions 2, 4 et 6.⁴⁰