Cote n° 97 · batch 1 · pages 1–18 · Transcription · Classes de Chern des représentations : lettre (1966), notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : [vers 1966]
Édition de démonstration

J.-P. Serre à A. Grothendieck (page 1)

1Lettre de Serre, à l'encre rouge, sur papier à en-tête du Collège de France, chaire d'algèbre et géométrie. Elle n'est pas de Grothendieck ; elle est donnée entière, comme la note de Deligne du dossier 134-1 et les lettres de Murre du dossier 29, parce qu'elle nomme la question des feuillets 6 à 12

Paris, le 4 Nov. 66

Cher Grothendieck,

Je n'ai pas regardé ton pb. Mais je suis tombé sur une « Notice » que je t'envoie ci-joint, démontrant la même chose que toi.

La notice renvoie à un papier de Milnor, que j'ai, où celui-ci regarde justement les fibrés à groupe \(\mathrm{Sl}_2\) qui sont plats, et de base une surface. C'est très joli.

Bien à toi

J-P. Serre

Classe de Chern de la représentation régulière et ses multiples (page 4)

titre de sa main, en tête du feuillet

4\(G\) groupe cyclique d'ordre \(n\), \[ H^{*}(G, \mathbb{Z})^{+} \simeq \mathrm{Sym}_{\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}}(\check{G})^{+} \simeq \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}[\xi]^{+} \] le \(\mathbb{Z}\) de \(H^{*}(G,\mathbb{Z})\) est surchargé au-dessus de \(\check{G}\) : dual sur \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) où \(\xi\) est un générateur de \(H^{2}(G,\mathbb{Z}) \simeq \mathrm{Hom}(G,\mathbb{Q}/\mathbb{Z}) \simeq \check{G}\). « \(\mathrm{Hom}\) » est une lecture incertaine : le signe ressemble à un \(H\) surmonté d'une étoile

La représentation régulière [sur \(\mathbb{C}\)] est correspond à la somme des représentations de degré 1 associées aux \(\xi \in \check{G}\). On a donc \[ c(r_{G}) = \prod_{\xi \in \check{G}} (1 + \xi) = \prod_{\lambda \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}} (1 + \lambda \xi_{0}) . \]

Supposons \(n = p\) premier. On trouve \[ \begin{cases} c_{p}(r_{G}) = 0 \\ c_{p-1}(r_{G}) = \prod_{\xi \in \check{G} - \{0\}} \xi = \Bigl(\prod_{\lambda \in \mathbb{F}_{p}^{*}} \lambda\Bigr) \xi_{0}^{p-1} = \xi_{0}^{p-1} \end{cases} \] (indépendant du choix de \(\xi_{0} \in \check{G}\) !) par le théorème de Wilson le produit des \(\lambda \in \mathbb{F}_{p}^{*}\) vaut \(-1\), et non \(1\) ; la page écrit \(\xi_{0}^{p-1}\) et la suite en dépend, au signe près seulement

D'où \[ \begin{cases} c_{i}(N r_{G}) = 0 & \text{si } i > N(p-1) \\ c_{N(p-1)}(N r_{G}) = \xi^{N(p-1)} & (\xi \in \check{G}) \end{cases} \]

Soit maintenant \(G\) un groupe fini, d'ordre \(n\), divisible par \(p\), Alors […] tous et soit \(H\) un sous-groupe d'ordre \(p\). Considérons \(n' = n/p\), alors \(r_{G}|H = n' r_{H}\) donc \((N r_{G})|H = (N n') r_{H}\), d'où \((N r_{G})|H\) \[ (c_{i}(\uncertain{n}\, r_{G}))|H = c_{i}(N n' r_{H}) , \] et par suite \(c_{N n'(p-1)}(r_{G})|H \neq 0\), a fortiori \(c_{N n'(p-1)}(r_{G}) \neq 0\). dans ces deux dernières lignes la page écrit \(r_{G}\), sans le facteur \(N\) des lignes précédentes, et un \(n\) minuscule qui est vraisemblablement le \(N\)

Donc \[ \boxed{H^{Nk}(G)(p) \neq 0 \text{ pour tout entier } N, \text{ où } k = 2n'(p-1)} \]

Surfaces de genre \(g\) et la classe \(\gamma_{1}\) (pages 6, 8, 10, 12)

quatre feuillets à l'encre noire, numérotés par lui 1, (sans numéro), 2, 3, écrits au dos des feuillets du tapuscrit qui les suivent dans le dossier

6

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
\widetilde{S} \arrow[rr] & & S \\
\widetilde{G} = \mathrm{Sl}(2,\mathbb{R}) \arrow[rr] \arrow[d, no head] & &
G = \mathrm{GP}(2,\mathbb{R}) = \widetilde{G}/(+1,-1)
\arrow[d, no head] \\
\widetilde{\Gamma} \arrow[rr, "\sim"] & & \Gamma
\end{tikzcd}

\begin{tikzcd}
V \\
D \arrow[d] \\
X
\end{tikzcd}

« \(\mathrm{GP}(2,\mathbb{R})\) » est lu tel qu'écrit, lecture incertaine. Les traits verticaux sous \(\widetilde{G}\) et \(G\) n'ont pas de pointe lisible ; ils portent vraisemblablement les inclusions \(\widetilde{\Gamma} \subset \widetilde{G}\), \(\Gamma \subset G\). Sous \(\widetilde{G}/(\ldots)\) un mot biffé, illisible, avant \((+1,-1)\)

\(T_{X}\), \(T_{D}\) avec op. de \(\Gamma\) […] induit par \(T_{D}\) avec op. de \(G\), déduit par op. de \(S = G_{x}\) sur \(T_{D}(x)\).

\(T_{D}\) induit par \(T_{D}\) avec op. de \(\widetilde{G}\), déduit par op. de \(\widetilde{S} = \widetilde{G}_{x} \to S\) sur \(T_{D}(x)\).

\(E\), défini par rep. de \(\widetilde{\Gamma}\) induite par \(\widetilde{G}\) op. sur \(V\), déduite par fibré vect. \(D \times V\) avec op. diagonale de \(\widetilde{\Gamma}\) : \(\gamma \cdot (x,v) = (\gamma x, \gamma v)\), induite par op. diagonale de \(\widetilde{G}\) sur \(D \times V\), déduite par \(V\) vue comme […] rep. de \(\widetilde{S}\) sur \(V\).

On a \[ \boxed{X = X_{0}^{(2)}} \qquad \text{caractère de } X_{0} : e_{1} + e_{-1} , \qquad \text{caractère de } X : \struck{\ill{}}\ e_{2} + e_{-2} , \qquad X = X_{0}^{2} - 2 . \]

N.B. Pour toute […] représentation linéaire réelle rep. complexe de […] de \(\widetilde{S}\), i.e. \(\widetilde{\Gamma} \simeq \Gamma \subset \widetilde{G}\), conduisant à un fibré vectoriel réel triv. sur \(X\) [(rep. complexe — mais pas nécessairement […])]. Cette correspondance […] dans la marge, à l'encre brune, un mot biffé, Lusin

8suite du feuillet 6, d'une écriture très rapide ; une grande partie de la prose est perdue

respecte les opérations tensorielles, l'opération de conjugaison […] ; où \(X_{0}\) correspond à un fibré vectoriel complexe de rang 1, et \(X\) correspond au carré […].

Par suite Si \(\Sigma = T_{X}\), \(\Sigma_{0}\) sont les fibrés vectoriels [complexes] réels inversibles, leurs classes de Chern [[…]] \(\widetilde{c}_{1}\), \(c_{1}\) sont reliées par \[ \widetilde{c}_{1} = 2 c_{1} . \]

D'autre part on connaît aussi les classes de Chern [caractéristiques] des deux fibrés envisagés. Comme [[…]] \(\Sigma \simeq T_{X}\), […] \[ \gamma_{1} = EP(X) = 2(1-g) , \quad \ill{} \] \[ c_{1} = c_{1}^{\mathbb{R}}(\Sigma_{0}) = (1-g) \] le \(\widetilde{c}_{1}\) de la ligne précédente est ici écrit comme un \(\gamma_{1}\) ; c'est la notation du feuillet 10

N.B. Le fibré vectoriel [réel sur \(X\)] \(\Sigma_{0}\) […] est […], d'une […], par passage au quotient d'un […] vectoriel sur \(D\), à l'aide d'une représentation réelle (pas complexe !) de \(\Gamma\), […] la fin du feuillet, sept lignes, ne se lit que par mots isolés : « sur \(D\) », « de \(\Gamma\) », « de \(\widetilde{S}\) », « structure », « les fibrés \(\Sigma_{0}\) », « \(T_{X}\) », « d'une connexion intégrable »

Re. NB. […] \(\Sigma_{0} \otimes_{\mathbb{R}} \Sigma_{0} \simeq T_{X} + 2 \cdot 1_{\mathbb{R}}\) ; comme \(T_{X} + 2 \cdot 1_{\mathbb{R}}\) admet une connexion intégrable […] note écrite verticalement dans la marge de gauche ; lecture très incertaine au-delà des formules

10\[ \Gamma \subset G \quad \text{d'où :} \]

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
& H^{*}(B_{G},\mathbb{Z}) \arrow[rr] \arrow[dl] \arrow[d, "\wr"] & &
H^{*}(B_{\Gamma},\mathbb{Z}) \simeq H^{*}(X,\mathbb{Z}) \\
H^{*}(B_{\widetilde{G}},\mathbb{Z}) \arrow[d, "\wr"] &
H^{*}(B_{S},\mathbb{Z}) \simeq \mathbb{Z}[\gamma_{1}] \arrow[dl] & & \gamma_{1}^{X} \\
H^{*}(B_{\widetilde{S}},\mathbb{Z}) \simeq \mathbb{Z}[c_{1}] & & &
\end{tikzcd}

une flèche ondulée mène de \(\mathbb{Z}[\gamma_{1}]\) à \(\gamma_{1}^{X}\), écrit sous \(H^{*}(X,\mathbb{Z})\)

Car \(\gamma_{1} = 2c_{1}\)

d'où \[ \boxed{\gamma_{1}^{X} \in H^{2}(X,\mathbb{Z}) \simeq \mathbb{Z}} \]

À calculer \(\gamma_{1}^{X}\) ??

Sat

Cependant […] \(\widetilde{\Gamma}\) […]

\begin{tikzcd}
B_{\Gamma} = X \arrow[r] \arrow[dr, dashed] & B_{G} \\
& B_{\widetilde{G}} \arrow[u]
\end{tikzcd}

[…] \(=\) \[ \boxed{\tfrac{1}{2}\gamma_{1}^{X} = c_{1}^{X} \in H^{2}(X,\mathbb{Z}) = \mathbb{Z}} \] dont on […] [[…] classe de Chern \(c_{1}^{\mathbb{R}}\) d'un] […] fibré vectoriel réel \(\Sigma\) sur \(B_{\widetilde{G}}\), de rang 2.

Le calcul donne \(c_{1} = 1 - g\), donc \[ \boxed{\gamma_{1}^{X} = 2(1-g) = 2 - 2g} \qquad \{= EP(X) \neq 0 \]

Dans le cas […] qu'il existe […] \(\Gamma'\) de \(\Gamma\) […], d'indice \(d\) :

\begin{tikzcd}
B_{\Gamma'} = X' \arrow[r, "p"] & B_{\Gamma} = X \arrow[r] & B_{G}
\end{tikzcd}

(\(p\) : rev. étale de degré \(d\)). On a aussi \(\gamma_{1}^{X'} = p^{*}(\gamma_{1}^{X})\), donc […] \(\gamma_{1}^{X'} = d\,\gamma_{1}^{X}\). Mais aussi, comme bien connu, \(EP(X') = d\,EP(X)\) ; et comme \(\gamma_{1}^{X'} = EP(X')\), on conclut \(\gamma_{1}^{X} = EP(X)\). OK. la lecture de ce dernier paragraphe suit les formules, qui se lisent ; les mots qui les relient sont en partie devinés, en particulier « comme \(\gamma_{1}^{X'} = EP(X')\) »

12écriture la plus rapide du dossier ; seuls les formules et quelques mots se lisent

N.B. Le rev. universel de \(G\) est de […] [noyau] \(\mathbb{Z}\). Je […] donne une extension [[…]] de \(\Gamma\) par \(\mathbb{Z}\), […] \[ H^{2}(\Gamma,\mathbb{Z}) \simeq H^{2}(X,\mathbb{Z}) . \] […] que c'est \(\gamma_{1}\). Plus généralement, […] \(G\) […] \(H\)), […] \(G\), \(H\) […]), […] \[ H^{2}(B_{G}, H) \quad \ill{} \] Dans […] \(S =\) […], […] \(\widetilde{S} =\) rev. univer[sel] […] \(\widetilde{S}\), de […] \(\mathbb{Z}\), […] \[ B_{H} \to B_{E} \to B_{G} \qquad \ill{}\ H^{2}(B_{S},\mathbb{Z})\ \ill{}\ \text{Chern}. \] […] l'inter[…] […] \[ \gamma_{1}^{X} = \struck{\ill{}}\ \ill{}\ H^{2}(X,\mathbb{Z}) \simeq H^{2}(\Gamma,\mathbb{Z}) . \] \[ H^{2}(\Gamma, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \quad \struck{\ill{}} \] […] \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\) […] \(\widetilde{G} \to G\) […] ! Comme \(EP(X) = 2(1-g)\) […] \(\widetilde{F}\) ! […] !

(4) Remarque, […], à la situation (1), […] \(g \geq 2\), fibré tangent \(T_{X}\), le fibré vectoriel complexe [réel de […]] \((T_{X} \struck{\ill{}}) + 2 \cdot 1_{\mathbb{R}}\) sur \(X\) est muni d'une connexion intégrable, […]

Tapuscrit sur le groupe de Brauer d'une fibration (pages 7, 9, 11, 13)

feuillets d'un tapuscrit, paginés 23, 17, 19 et 20 à la machine ou à la main en haut à droite, donnés ici dans l'ordre des archivistes. Ils portent des corrections de sa main : les insertions sont données par [], les mots tapés ou biffés par , les soulignements du tapuscrit par l'italique. Le Ш de Tate–Chafarévitch est tapé comme un III barré et rendu \(\mathrm{III}\) ; les lettres grecques et les tildes sont presque tous ajoutés à la main

7p. 23 du tapuscrit

\[ 0 \to \underline{\mathbb{Z}}/\delta''\underline{\mathbb{Z}} \to \mathrm{III}'(Y,\underline{A}) \to \mathrm{III}'(Y,\underline{B}) \to 0 . \tag{4.38} \]

Explicitons deux cas particuliers importants :

Cas particulier 1 [(4.6) :] \(Y\) est une courbe algébrique sur un corps algébriquement clos. Alors la relation (4.13) est automatique la plus grande partie de la discussion précédente devient triviale. La relation (4.13) est automatiquement satisfaite, et on a (4.12 bis) : \[ \mathrm{Br}(X) \xrightarrow{\ \sim\ } H^{1}(Y,\underline{B}) ; \tag{4.39} \] lorsque de plus les \(\delta_{y}\) sont égaux à 1, i.e. [si] \(X\) n'a pas de fibre multiple sur \(Y\), alors le deuxième membre s'explicite comme étant égal à par \[ 0 \to \underline{\mathbb{Z}}/\delta\underline{\mathbb{Z}} \to H^{1}(Y,\underline{A}) \to H^{1}(Y,\underline{B}) \to 0 , \tag{4.40} \] compte tenu que dans l'on a ici nécessairement \(\delta = \delta' = \delta''\).

Cas particulier (4.7) : \(Y\) est une courbe algébrique propre sur un corps fini \(k\). Ici encore, (4.13) est [[…]] automatiquement satisfaite, \(k\) étant parfait, [ainsi que (4.16), puisque \(k(y)\) est de dimension \(\leq 1\), d'où \(H^{3}(k(y),\mathbb{G}_{m}) = 0\) ; de plus] et on aura \(\delta = \delta'\) […], et de même pour les invariants hensélisés et strictement hensélisés. Comme on a encore \(\mathrm{Br}(Y) = 0\), on trouve ici (4.4) : \[ 0 \to \mathrm{Br}(X) \to \mathrm{III}(Y,\underline{B}) \to \underline{\mathbb{Z}}/\Delta\underline{\mathbb{Z}} \to 0 , \qquad \text{où } \Delta \mid \delta . \tag{4.41} \] […] D'autre part, si les \(\delta_{y}\) sont égaux à 1, i.e. si le morphisme déduit de \(f : X \to Y\) en passant à la clôture algébrique de \(k\) n'a pas de fibre multiple, alors on trouve la suite exacte \[ 0 \to \underline{\mathbb{Z}}/\delta''\underline{\mathbb{Z}} \to \mathrm{III}(Y,\underline{A}) \to \mathrm{III}(Y,\underline{B}) \to 0 , \tag{4.42} \] ce qui est un cas particulier de (4.37), compte tenu des [la] relations suivantes \[ \bar{\delta}_{y} = \delta_{y} \tag{4.43} \] pour tout point fermé \(y\) de \(Y\), qui implique ici \(\bar{\delta}_{y} = 1\) d'où \(\mathrm{III}'(Y,\underline{A}) = \mathrm{III}(Y,\underline{A})\). La démonstration des [l'] égalités (4.43), qui est une conséquence facile du théorème de LANG [([24] \(H^{1}(k,G) = 0\))] pour le corps fini \(k(y)\) et le schéma de Picard Conconnexe [\(G =\)] \(\underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{X_{y}/y}\), est laissée au lecteur comme un exercice plaisant et délectable.

9p. 17 du tapuscrit

\(H^{3}(Y,\underline{\mathbb{G}}_{m}) \simeq \underline{\mathbb{Q}}/ \underline{\mathbb{Z}}\), d'où le corollaire.

Soit […] \[ i : \eta \longrightarrow Y \] l'inclusion du point générique, et posons \[ \underline{B} = i_{*}(i^{*}(P)) , \tag{4.8} \] de sorte qu'on a un homomorphisme canonique \[ P \longrightarrow \underline{B} , \tag{4.9} \] et on posera \[ \underline{E} = \mathrm{Ker}(P \to \underline{B}) , \qquad \underline{F} = \mathrm{Coker}(P \to \underline{B}) . \tag{4.10} \] Les faisceaux \(\underline{E}\) et \(\underline{F}\) sont des « faisceaux gratte-ciel », qui sont donc connus lorsqu'on connait leurs restrictions aux points fermés de \(Y\). Leurs fibres géométriques au dessus d'un tel point \(y\) s'obtiennent comme les noyaux et conoyau de l'homomorphisme \[ \add{\mathrm{Pic}(\widetilde{X}) =}\ \struck{\mathrm{Pic}}\ \mathrm{Pic}(\widetilde{X}/\widetilde{Y}) \longrightarrow \mathrm{Pic}(\widetilde{X}_{\tilde{\eta}}/\tilde{\eta}) , \] où les \(\sim\) dénotent l'effet de la localisation stricte relativement à un point géométrique \(\bar{y}\) au dessus de \(y\). […] Compte tenu que le morphisme précédent se factorise par le sous-groupe \(\mathrm{Pic}(\widetilde{X}_{\eta})\), et que \(\mathrm{Pic}(\widetilde{X}) \to \mathrm{Pic}(\widetilde{X}_{\tilde{\eta}})\) est surjectif puisque \(\widetilde{X}\) est régulier, on trouve \[\begin{align} \struck{\ill{}}\quad \underline{F}_{\bar{y}} &= \mathrm{Pic}(\widetilde{X}_{\eta}/\tilde{\eta}) / \mathrm{Pic}(\widetilde{X}_{\tilde{\eta}}) \tag{4.11} \\ \underline{E}_{\bar{y}} &= \mathrm{Ker}\bigl(\mathrm{Pic}(\widetilde{X}) \longrightarrow \mathrm{Pic}(\widetilde{X}_{\tilde{\eta}})\bigr) . \tag{4.12} \end{align}\] Compte tenu que \(\mathrm{Br}(\tilde{\eta}) = 0\) si \(k(y)\) est parfait, et que c'est un groupe de \(p(y)\)-torsion en tous cas, où \(p(y)\) est l'exposant caractéristique de \(k(y)\), on trouve que \(\underline{F}_{\bar{y}}\) est un groupe de \(p(y)\)-torsion, nul si \(k(y)\) est parfait. Désignant par \(\delta_{y}\), \(\delta'_{y}\), \(\delta''_{y}\) les entiers analogues à \(\delta\), \(\delta'\), \(\delta''\) pour la situation localisée \(\widetilde{X} \to \widetilde{Y}\), un argument déjà […] fait plus haut nous montre que \(\underline{F}_{\bar{y}}\) est nul également est nul également si \(\delta_{y} = 1\), par exemple si \(\widetilde{X}\) admet une section sur \(\widetilde{Y}\). Nous allons supposer pour simplifier, par la suite, que

11p. 19 du tapuscrit. Le premier tiers du feuillet, de (4.16) à « des relations (4.15) », est encadré et barré de longs traits obliques ; il porte lui-même des corrections de sa main, données ici

(4.16) \(H^{1}(y,\mathrm{Pic}_{X/k}) = 0\), \(\mathrm{Br}(X_{y}) = 0\), \(H^{3}(y,\underline{\mathbb{G}}_{m}) = 0\) [\(\mathrm{Ker}\bigl(H^{3}(y, \mathbb{G}_{m}) \to H^{3}(X_{y},\mathbb{G}_{m})\bigr)\)] le premier membre biffé est en partie une correction manuscrite, lecture incertaine

(Pour le voir, utiliser [l'homomorphisme] l'homomorphisme de suites exactes du type (4.5) relatives à \(\bar{f} : \bar{X} \to \bar{Y}\) [et à \(f_{y} : X_{y} \to y\), qui s'écrit,] […], qui donne, compte tenu de (3.1) b) et de ( ) :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
\mathrm{Br}(\bar{Y}) \arrow[r] \arrow[d, "\alpha"] &
\mathrm{Br}(\bar{X}) \arrow[r] \arrow[d, "\beta"] &
H^{1}(\bar{Y},\bar{P}) \arrow[r] \arrow[d, "\gamma"] &
H^{3}(\bar{Y},\underline{\mathbb{G}}_{m}) \arrow[r] \arrow[d, "\alpha'"] &
H^{3}(\bar{X},\underline{\mathbb{G}}_{m}) \arrow[d, "\beta'"] \\
\mathrm{Br}(y) \arrow[r] & \mathrm{Br}(X_{y}) \arrow[r] &
H^{1}(y,P_{0}) \arrow[r] & H^{3}(y,\underline{\mathbb{G}}_{m}) \arrow[r] &
H^{3}(X_{y},\underline{\mathbb{G}}_{m})
\end{tikzcd}

diagramme biffé avec le reste du bloc ; le carré de gauche est en outre encadré à la main et barré

Les flèches \(\alpha\), \(\beta\), \(\alpha'\) du diagramme sont bijectives, en vertu de (BR I ), (3.1), ( ), d'où résulte que \(\gamma : H^{1}(Y,P) \to H^{1}(y,P_{0})\) est injective, où \(P_{0} = \underline{\mathrm{Pic}}_{X_{y}/y}\). Donc (4.15) est une conséquence de \(H^{1}(y,P_{0}) = 0\), elle-même conséquence, d'après la deuxième suite exacte ci-dessus, des relations (4.16).) Alors l'image de \(H^{1}(Y,P)\) dans \(H^{1}(Y,\underline{B})\) est le sous-groupe de \(H^{1}(Y,\underline{B})\) formé des éléments dont l'image dans chaque \(H^{1}(\bar{Y},\underline{B})\) est nulle. Ce sous-groupe s'appelle le groupe de Tate–Chafarévitch de \(Y\) à coéfficients dans \(\underline{B}\), et se note \(\mathrm{III}(Y,\underline{B})\) (cf plus bas [pour] la relation avec la définition originelle de Tate et Chafarévitch). On trouve alors la suite exacte déduite de (4.14) : \[ \cdots\ \mathrm{Pic}(X_{\eta}/\eta) \to \coprod_{y} H^{1}(y,\underline{E}_{y}) \longrightarrow H^{1}(Y,P) \longrightarrow \mathrm{III}(Y,\underline{B}) \longrightarrow 0 , \tag{4.17} \] explicitant \(H^{1}(Y,P)\) comme une extension du groupe de Tate–Chafarévitch par un quotient de la somme \(\coprod_{y} H^{1}(y,\underline{E}_{y})\). (P)

Il faut enfin expliciter cette dernière somme. Notons que \(\underline{E}_{y}\) […] est nul si \(X_{y}\) est géométriquement [géométriquement] intègre, à fortiori si \(X_{y}\) est lisse sur \(y\), de sorte que si \(X_{\eta}\) est séparable sur \(k(\eta)\) (par exemple, lisse sur \(k(\eta)\)), alors le support de \(E\) est un […] [contenu dans (en fait, égal à) l'ensemble] fini des \(y_{i} \in Y\) tels que \(X_{y_{i}}\) ne soit pas géométriquement intègre. Un calcul facile donne pour \(\underline{E}_{y}\) la structure suivante (en procédant par descente à partir de \(\underline{E}_{\bar{y}}\)). On écrit [l'égalité de […] diviseurs sur \(X\)] : \[ X_{y} = \sum_{i} a_{y}^{i} C_{y}^{i} , \tag{4.18} \] les \(C_{y}^{i}\) étant les composantes irréductibles de \(X_{y}\), et [les] \(a_{y}^{i}\) leur multiplicité dans la fibre. On désigne par

13p. 20 du tapuscrit

\[ \mu_{y}^{i} , \ \nu_{y}^{i} \tag{4.19} \] la multiplicité radicielle et la multiplicité séparable de \(C_{y}^{i}\) sur \(k(y)\) respectivement (EGA IV 4[.7.4.]), – donc \(\mu_{y}^{i} = 1\) si \(k(y)\) est parfait. On pose aussi considère aussi la plus petite extension galoisienne \(k(y)^{i}\) (4.18) \(Z_{y}^{i} = \mathrm{Spec}(H^{0}(X_{y}^{i}, \mathcal{O}_{X_{y}^{i}}))\), \(Z = \coprod Z_{y}^{i}\) de sorte que l'on a simplement \(Z_{y}^{i}\) est le spectre d'une extension finie \(k(y)_{i}\) de \(k(y)\), de degré séparable de \(k(y)\) tel que les composantes irréductibles de \((X_{y}^{i}) \otimes_{k(y)} k(y)^{i}\) soient géométriquement irréductibles : c'est une extension finie [de \(k(y)\),] de degré \(\nu_{y}^{i}\). On pose \[ Z_{y}^{i} = \mathrm{Spec}(k(y)^{i}) , \qquad Z_{y} = \coprod Z_{y}^{i} . \tag{4.20} \] Ceci posé, le faisceau \(\underline{E}_{y}\) sur \(y\) s'insère dans une suite exacte de faisceaux \[ 0 \to \underline{\mathbb{Z}}_{y} \longrightarrow p_{y*}(\underline{\mathbb{Z}}_{Z_{y}}) \longrightarrow \underline{E}_{y} \longrightarrow 0 , \tag{4.21} \] où \(p_{y} : Z_{y} \to y\) est la projection structurale, et où l'homomorphisme \(\underline{\mathbb{Z}}_{y} \to p_{y*}(\underline{\mathbb{Z}}_{Z_{y}})\) est adjoint de l'homomorphisme \[ p_{y}^{*}(\underline{\mathbb{Z}}_{y}) = \underline{\mathbb{Z}}_{Z} \longrightarrow \underline{\mathbb{Z}}_{Z} \tag{4.22} \] qui, sur la composante \(Z_{y}^{i}\), se réduit à la multiplication par \(a_{y}^{i}\). La suite exacte de cohomologie associée à (4.21) nous fournit alors \[\begin{align} H^{1}(y,\underline{E}_{y}) &= \mathrm{Ker}\bigl(H^{2}(y,\underline{\mathbb{Z}}_{y}) \longrightarrow \textstyle\prod H^{2}(Z_{y}^{i},\underline{\mathbb{Z}})\bigr) \tag{4.23} \\ &= \mathrm{Ker}\bigl(H^{1}(y,\underline{\mathbb{Q}}/\underline{\mathbb{Z}}) \longrightarrow \textstyle\prod H^{1}(Z_{y}^{i},\underline{\mathbb{Q}}/ \underline{\mathbb{Z}})\bigr) , \notag \end{align}\] où la flèche \(H^{1}(y,\underline{\mathbb{Q}}/\underline{\mathbb{Z}}) \to H^{1}(Z_{y}^{i},\underline{\mathbb{Q}}/\underline{\mathbb{Z}})\) est l'homomorphisme de transition évident, multiplié par \(a_{y}^{i}\). Comme \(H^{1}(y,\underline{E}_{y})\) est l'intersection des noyaux de ces homomorphismes, […] [et qu'un tel noyau] est manifestement annulé par \(a_{y}^{i}\nu_{y}^{i}\), on voit que \(H^{1}(y,\underline{E}_{y})\) est annulé par \[ d_{y} = \mathrm{pgcd}(a_{y}^{i}\nu_{y}^{i}) . \tag{4.24} \] Lorsque \(k(y)\) est fini, ou plus généralement pseudo-fini au sens de Serre, i.e. son groupe fondamental \(\mathrm{Gal}(\overline{k(y)}/k(y))\) isomorphe à \(\hat{\underline{\mathbb{Z}}}\), alors on trouve les numéros (4.19) à (4.24) sont corrigés à la main sur des numéros tapés (4.18) à (4.23), et le numéro (4.18) du bloc biffé est l'ancien

Cohomologie réelle de \(B_{G}\) (page 15)

15\(G\) groupe de Lie compact connexe \[ \begin{aligned} C_{(0)}^{p,q} &= \Omega^{q}(G^{p+1}/G) \\ &\ \ \cup \\ C_{(1)}^{pq} &= \omega^{(q)}(G^{p+1}/G) \\ &\ \ \downarrow \\ C_{(2)}^{pq} &= \omega_{\mathrm{inv}}^{(q)}(G^{p+1}/G) \end{aligned} \] […] formes […] les dernières \(E_{1}\) (cohomologie pour \(V\) fixe) à droite de la flèche verticale, « \(i\delta\) », lecture incertaine

Dans ce dernier bicomplexe, l'opérateur différentiel pour variable \(q\) est nul. (D[…]) \[ H^{*}(B_{G},\mathbb{R}) = H^{*}(C_{\bullet}^{pq}) \simeq H^{*}(C_{(1)}^{pq}) \simeq \sum_{p+q} \bigl\{ H^{p}(\nu \mapsto \omega_{\mathrm{inv}}^{(q)} (G^{\nu+1}/G)) \bigr\} \] \[ \qquad = E_{2}^{pq} \qquad \text{(isomorphismes canoniques)} \]

La suite spectrale dégénère : différentielles \(d_{r}\) nulles pour \(r \geq 2\).

Soit \(T \subset \omega_{\mathrm{inv}}^{*}(G)\), éléments transgressifs. (OK […] des degrés impairs)

[…]. \[ T \xrightarrow{\ \varphi\ } E_{2}^{1*} = \omega_{\mathrm{inv}}^{*}(G \times G/G) \subset \omega_{\mathrm{inv}}^{*}(G \times G) = \omega_{\mathrm{inv}}^{*}(G) \otimes \omega_{\mathrm{inv}}^{*}(G) \] où \[ \varphi(T) = T \otimes 1 - 1 \otimes T \]

Th. \(\mathrm{Sym}^{*}(T) \to H^{*}(B_{G},\mathbb{R})\) déduit de \(\varphi\) est un isomorphisme.

Tapuscrit d'une lettre sur les catégories \(C(X,A)\) (page 16)

16feuillet dactylographié d'une lettre, sans en-tête ni signature sur ce feuillet, barré de trois longs traits obliques ; une insertion de sa main. Les soulignements tapés sous les lettres \(\mathbb{Z}\) sont rendus par \(\underline{\mathbb{Z}}\)

triangulée \(C(X,A)\) associée ainsi à \(X\) détermine l'ensemble des composantes connexes de \(X\), et le groupe fondamental de chacune des composantes connexes, et bien entendu la cohomologie de chacune, à coéfficients des \(A\)-modules tordus de type fini … Lorsque \(A = \underline{\mathbb{Z}}\), il semble bien que Hurewicz (ou une variante de H. mise au point par Artin–Mazur) montre qu'un morphisme \(f : X \to Y\) est un isomorphisme dans la catégorie homotopique, si et seulement si le foncteur \(C(Y,\underline{\mathbb{Z}}) \to C(X,\underline{\mathbb{Z}})\) est une équivalence. On se demande alors si on ne peut pas réconstituer entièrement \(X\) en termes de \(C(X,\underline{\mathbb{Z}})\), du moins (si on a fait dans la définition de \(C(X,\underline{\mathbb{Z}})\) les hypothèses de finitude que j'ai dites) si on se restreint à des \(X\) satisfaisant certaines conditions de finitude (comme des polyèdres qui sont finis en chaque dimension). Plus précisément, serait-il vrai que tout foncteur exact \(C(Y,\underline{\mathbb{Z}}) \to C(X,\underline{\mathbb{Z}})\) proviendrait à isomorphisme près d'un unique morphisme \(X \to Y\) ? Même si ceci était trop optimiste, les catégories \(C(X,A)\) me semblent des invariants rupinants, qui doivent être des approximations très bonnes de l'objet \(X\) à homotopie près, et on aimerait expliciter ce point de vue en expliciter interprétant en temmes termes de ces catégories les constructions les plus importantes familières aux homotopistes : construction des groupes d'homotopie supérieurs, plus généralement précisément des espaces de lacets, et en sens inverse des espaces classifiants, ou des suspensions, produits cartésiens d'espaces, [squelettes, images des groupes d'homotopie supérieurs,] etc. Notes aussi que C'est là un complexe de questions manifestement très lié à celui que j'ai abordé dans ma lettre du 26.3. dont tu viens de m'envoyer une photocopie, et je crois que quelqu'un devrait bien un jour regarder ces choses systématiquement. Notes que si tu fais sur \(X\) une hypothèse de finitude comme plus haut, alors \(C(X,\underline{\mathbb{Z}})\) sera « rupinants » et « Notes que » sont tapés ainsi. Le mot biffé avant « C'est là » est tapé puis barré à la machine ; la lecture « Notes aussi que » est incertaine

Groupes de Lie sans \(p\)-torsion (page 17)

17\(G\) groupe de Lie compact [complexe réductif] connexe. Considérons les conditions (\(p \in \mathbb{P}\) donné)

• (i)\(G\) sans \(p\)-torsion
• (ii)\(B_{G}\) sans \(p\)-torsion
• (iii)\(\mathrm{Sym}_{\mathbb{Z}}^{*}(\hat{B}) \to H^{*}(G/B, \struck{\mathbb{Z}}\,\mathbb{Z})\) a une image d'indice premier à \(p\), i.e. \(\mathrm{Sym}_{\mathbb{F}_{p}}(\hat{B} \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{F}_{p}) \to H^{*}(G/B,\mathbb{F}_{p})\) est surjectif.
• (i bis)\(H^{*}(G,\mathbb{F}_{p}) \simeq \bigwedge^{*} V\), \(V\) contient générateurs [de rang \(r\)] sur \(\mathbb{F}_{p}\), formé[s] d'éléments primitifs.
• (ii bis)\(H^{*}(B_{G},\mathbb{F}_{p})\) est une algèbre de polynômes sur \(\mathbb{F}_{p}\) à \(r\) générateurs.

(i) N.B. Dans (ibis), on doit avoir cf notes de Borel…)

(i) \(\Longrightarrow\) (i bis) par th. de Hopf.

(i bis) \(\Longrightarrow\) (ii bis) par suite spectrale […] descendante, ou th. de transgression de Borel.

(ii bis) \(\Longleftrightarrow\) (iii) [Suite spectrale de Leray dans fibration \(G/B \to \mathbb{B}_{B} \to \mathbb{B}_{G}\) est triviale] […]

(ii bis) \(\Longrightarrow\) (ii) par égalité des nombres de Betti, coeff \(\mathbb{Q}\) ou \(\mathbb{F}_{p}\)

\begin{tikzcd}
(\mathrm{i}) \arrow[r, Rightarrow] \arrow[d, Rightarrow] &
(\mathrm{i\ bis}) \arrow[dl, Rightarrow] \\
(\mathrm{ii\ bis}) \arrow[r, leftrightarrow] \arrow[d, Rightarrow] &
(\mathrm{iii}) \\
(\mathrm{ii}) &
\end{tikzcd}

la double flèche horizontale du bas est dessinée avec deux pointes ; le trait vertical de (ii bis) à (ii) est double

EGA IV, feuillet IV-1102 annoté (page 18)

18feuillet du tapuscrit d'EGA IV, numéroté « IV-1102 » à la main. Insertions tapées ou manuscrites données par [], suppressions par , soulignements tapés par l'italique

[(X étant supposé noethérien)]

(21.6.5) Considérons donc un diviseur positif \(D\) sur \(X\), de sorte que l'Idéal [fractionnaire] \(I_{X}(D)\) est un Idéal de \(\mathcal{O}_{X}\), qui est un \(\mathcal{O}_{X}\)-Module inversible ; soit \(Y(D)\) le sous-préschéma fermé de \(X\) qu'il définit. […] [Pour] tout \(x \in Y(D)\), […] il y a par hypothèse un voisinage [ouvert] \(U\) de \(x\) dans \(X\) et une section régulière \(t \in \Gamma(U,\mathcal{O}_{X})\) telle que \(I_{X}(D)|U = \mathcal{O}_{U}.t\) (21.2.7) ; en d'autres termes, l'immersion canonique \(Y(D) \to X\) est régulière [(19.1.4)] en tout point de \(Y(D)\) et de codimension 1. On notera d'ailleurs qu'inversement, si \(Y\) est un sous-préschéma fermé de \(X\), régulièrement immergé dans \(X\) et […] de codimension 1 en tout point de \(Y\), il existe un diviseur positif et un seul […] \(D\) sur \(X\) tel que \(Y(D) = Y\), car [pour] […] tout \(x \in Y\), il y a un voisinage \(U\) de \(x\) dans \(X\) tel que \(Y \cap U\) soit défini par un Idéal de \(\mathcal{O}_{U}\) de la forme \(\mathcal{O}_{U}.t\), où \(t\) est régulier dans \(\Gamma(U,\mathcal{O}_{X})\). devrait figurer dans 21.2. […] (sans noeth.) la note marginale est reliée par un trait au passage « On notera d'ailleurs … \(\Gamma(U,\mathcal{O}_{X})\) »

Puisque \(X\) est supposé noethérien, \(Y(D)\) n'a qu'un nombre fini de points maximaux, et en chacun de ces points \(x\), on a \(\mathrm{codim}(\overline{\{x\}},X) = \dim(\mathcal{O}_{X,x}) = 1\), autrement dit \(x \in X^{(1)}\) ; […] en outre, \(\mathcal{O}_{Y(D),x}\) est un anneau artinien en chacun de ces points. En tout point \(x \in X^{(1)}\) qui n'est pas point maximal de \(Y(D)\), on a nécessairement \(x \notin Y(D)\), donc \(\mathcal{O}_{Y(D),x} = 0\). Posons réf ! \[ \mathrm{cyc}(D) = \sum_{x \in X^{(1)}} \mathrm{long}(\mathcal{O}_{Y(D),x}) \cdot \overline{\{x\}} \tag{21.6.5.1} \] qui est donc un élément de \(Z^{1}(X)\).

Proposition (21.6.6). – Si \(X\) est noethérien, l'application \(D \mapsto \mathrm{cyc}(D)\) est un homomorphisme du monoïde \(\mathrm{Div}^{+}(X)\) dans \(Z^{1}(X)\).

Tout revient à voir que pour deux diviseurs positifs \(D\), \(D'\), on a \(\mathrm{cyc}(D+D') = \mathrm{cyc}(D) + \mathrm{cyc}(D')\). Or, on a (21.2.5) \(I_{X}(D+D') = I_{X}(D) I_{X}(D')\) ; tout revient à voir que si \(x \in X^{(1)}\), [si l'on pose] \(A = \mathcal{O}_{X,x}\), et si \(t\) et \(t'\) sont deux éléments réguliers de \(A\), on a \(\mathrm{long}(A/tt'A) = \mathrm{long}(A/tA) + \mathrm{long}(A/t'A)\) ; mais puisque […] \(t\) est régulier, \(tA/tt'A\) est isomorphe à \(A/t'A\), d'où […] aussitôt la proposition.

Il résulte aussitôt des définitions que pour tout ouvert \(U \subset X\), on