Cote n° 97 · pages 1–18 · Lecture modernisée · Classes de Chern des représentations : lettre (1966), notes manuscrites (s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : [vers 1966]
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

Le fil du dossier, et les conventions

Le dossier n'a pas une argumentation, mais trois brins de même sujet, posés sur des feuillets de remploi.

1. 1.La lettre de Serre (page 1), datée du 4 novembre 1966.
2. 2.Classes de Chern de la représentation régulière (page 4) : groupes finis.
3. 3.Le fibré plat d'une surface hyperbolique (pages 6, 8, 10 et 12, quatre feuillets numérotés par lui 1, –, 2, 3) : groupes discrets dans \(\mathrm{PSL}(2,\mathbb{R})\).
4. 4.Les espaces classifiants des groupes de Lie (pages 15 et 17) : coefficients réels, puis la \(p\)-torsion.

Les versos des feuillets manuscrits portent d'autres textes, qui n'ont pas de rapport avec les classes de Chern et qu'on lit à leur place dans l'ordre des pages : un tapuscrit sur le groupe de Brauer d'une fibration (pages 7, 9, 11 et 13, qu'on lit dans l'ordre de leur pagination dactylographiée, 17, 19, 20, 23), une page de lettre dactylographiée sur les catégories \(C(X,A)\) (page 16), une page du tapuscrit d'EGA IV (page 18). Les pages 2 (une liste de noms), 3 (le début abandonné d'une lettre à Atiyah sur papier de l'IHÉS), 5 (blanche) et 14 (verso blanc) ne sont pas transcrites et ne sont pas lues ici.

Conventions. Pour un groupe topologique \(H\), \(B_{H}\) est son espace classifiant, comme sur les pages. Aux pages 6 à 12, \(G = \mathrm{PSL}(2, \mathbb{R}) = \mathrm{SL}(2,\mathbb{R})/\{\pm 1\}\) opère sur le disque \(D\) (ou le demi-plan de Poincaré) avec stabilisateur \(S = \mathrm{PSO}(2)\) ; \(\widetilde{G} = \mathrm{SL}(2,\mathbb{R})\) et \(\widetilde{S} = \mathrm{SO}(2)\) sont leurs revêtements doubles — et non universels — et \(\Gamma \subset G\) est un sous-groupe discret sans torsion, cocompact, de quotient \(X = D/\Gamma\) de genre \(g \geq 2\). La caractéristique d'Euler qu'il note \(EP(X)\) est notée \(\chi(X) = 2 - 2g\), et \(e(\,\cdot\,)\) est la classe d'Euler d'un fibré réel orienté de rang 2, identifiée à \(c_{1}\) du fibré en droites complexes associé. On identifie \(H^{2}(X,\mathbb{Z})\) à \(\mathbb{Z}\) par la classe fondamentale de l'orientation complexe. À la page 17, \(B\) est un sous-groupe de Borel et \(T \subset B\) un tore maximal.

1–1

La lettre de Serre (page 1)

La page 1 est une lettre de J.-P. Serre à Grothendieck, sur papier à en-tête du Collège de France, datée du 4 novembre 1966. Serre n'a pas regardé le problème que Grothendieck lui avait posé, mais lui envoie une « Notice » qui démontre la même chose, et qui renvoie à un papier de Milnor sur les fibrés plats de groupe \(\mathrm{SL}_{2}\) au-dessus d'une surface.¹ Le seul énoncé mathématique de la lettre nomme le sujet des feuillets 6 à 12 ; c'est par eux que le dossier se rattache à 1966.

4–4

Classes de Chern de la représentation régulière (page 4)

Le titre est de sa main : « Classe de Chern de la représentation régulière et ses multiples ».

Le groupe cyclique. Soit \(G\) cyclique d'ordre \(n\) et \(\check{G} = \mathrm{Hom}(G, \mathbb{Q}/\mathbb{Z})\) son dual. Le cobord de la suite \(0 \to \mathbb{Z} \to \mathbb{Q} \to \mathbb{Q}/\mathbb{Z} \to 0\) donne \(H^{2}(G,\mathbb{Z}) \simeq H^{1}(G,\mathbb{Q}/\mathbb{Z}) = \check{G}\),² et l'on a, en degrés strictement positifs, \[ H^{*}(G,\mathbb{Z})^{+} \simeq \mathrm{Sym}_{\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}}(\check{G})^{+} \simeq (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})[\xi]^{+}, \] où \(\xi\) est un générateur de \(H^{2}(G,\mathbb{Z})\), de degré 2 ; les degrés impairs sont nuls. La représentation régulière complexe \(r_{G}\) est la somme des caractères \(\chi \in \check{G}\), et la classe de Chern d'un caractère est son image dans \(H^{2}\) ; la formule de Whitney donne donc, pour un générateur \(\xi_{0}\) de \(\check{G}\), \[ c(r_{G}) = \prod_{\chi \in \check{G}} (1 + \chi) = \prod_{\lambda \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}} (1 + \lambda \xi_{0}) . \]

Le cas \(n = p\) premier. Le facteur \(\lambda = 0\) vaut 1, d'où \(c_{p}(r_{G}) = 0\), et \[ c_{p-1}(r_{G}) = \Bigl(\prod_{\lambda \in \mathbb{F}_{p}^{*}} \lambda\Bigr) \xi_{0}^{p-1} = -\,\xi_{0}^{p-1}, \] indépendamment du choix de \(\xi_{0}\), puisque \(\lambda^{p-1} = 1\) pour \(\lambda \in \mathbb{F}_{p}^{*}\).³ Comme \(c(N r_{G}) = c(r_{G})^{N}\), \[ c_{i}(N r_{G}) = 0 \quad \text{pour } i > N(p-1), \qquad c_{N(p-1)}(N r_{G}) = (-1)^{N} \xi_{0}^{N(p-1)} \neq 0 , \] cette dernière classe engendrant \(H^{2N(p-1)}(G,\mathbb{Z}) = \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\).

Le cas général. Soit \(G\) un groupe fini d'ordre \(n\) divisible par \(p\), \(H \subset G\) un sous-groupe d'ordre \(p\) et \(n' = n/p\). La restriction de \(r_{G}\) à \(H\) est \(n' r_{H}\), donc \((N r_{G})|_{H} = N n' r_{H}\) et \[ c_{N n'(p-1)}(N r_{G})|_{H} = c_{N n'(p-1)}(N n' r_{H}) \neq 0 . \] A fortiori \(c_{N n'(p-1)}(N r_{G}) \neq 0\).⁴ Comme \(H^{*}(H,\mathbb{Z})\) est de \(p\)-torsion en degrés positifs, la restriction tue la partie première à \(p\) ; la composante \(p\)-primaire de cette classe est donc non nulle : \[ \boxed{H^{Nk}(G,\mathbb{Z})(p) \neq 0 \quad \text{pour tout entier } N \geq 1, \qquad k = 2n'(p-1).} \] En particulier la cohomologie entière d'un groupe fini a de la \(p\)-torsion en une infinité de degrés pour tout premier \(p\) divisant son ordre, et ces classes sont des classes de Chern de représentations.⁵

6–12

Le fibré plat d'une surface hyperbolique (pages 6, 8, 10 et 12)

Quatre feuillets à l'encre noire, numérotés par lui 1, –, 2, 3, écrits au dos des feuillets du tapuscrit qui les suivent dans le dossier. Les pages 8 et 12 sont de l'écriture la plus rapide du dossier, et une grande partie de leur prose ne se lit pas ; les formules se lisent. Ce qui suit est la mise au net d'un argument dont les formules sont sur la page ; les phrases qui les relient sont, en partie, les nôtres, et les notes disent où.

6–6

La situation, et le dictionnaire (page 6)

Le disque \(D\) est l'espace homogène \(G/S = \widetilde{G}/\widetilde{S}\), \(S = G_{x}\) et \(\widetilde{S} = \widetilde{G}_{x}\) étant les stabilisateurs d'un point \(x\). Le groupe \(\Gamma\) se relève isomorphiquement en \(\widetilde{\Gamma} \subset \widetilde{G}\) (on le verra page 12), et l'on a le diagramme

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
\widetilde{S} = \mathrm{SO}(2) \arrow[rr] \arrow[d, hook] & & S = \mathrm{PSO}(2) \arrow[d, hook] \\
\widetilde{G} = \mathrm{SL}(2,\mathbb{R}) \arrow[rr] & &
G = \mathrm{PSL}(2,\mathbb{R}) \\
\widetilde{\Gamma} \arrow[rr, "\sim"] \arrow[u, hook] & & \Gamma \arrow[u, hook]
\end{tikzcd}

Le dictionnaire. Toute représentation linéaire réelle \(W\) de \(\widetilde{S}\) définit un fibré vectoriel \(\widetilde{G}\)-équivariant \(\widetilde{G} \times^{\widetilde{S}} W\) sur \(D\), donc, par restriction de l'action à \(\widetilde{\Gamma}\) et passage au quotient, un fibré vectoriel réel \(\mathcal{F}(W)\) sur \(X\). La correspondance \(W \mapsto \mathcal{F}(W)\) respecte sommes, produits tensoriels, puissances extérieures et dualité : c'est un homomorphisme d'anneaux \(\lambda\) de \(RO(\widetilde{S})\) dans \(KO(X)\).⁷ Deux exemples :

• –la représentation de \(\widetilde{S}\) sur \(T_{x}D\), qui se factorise par \(S\), donne le fibré tangent \(T_{X}\) ;
• –si \(W\) est la restriction d'une représentation \(V\) de \(\widetilde{G}\) tout entier, \(\widetilde{G} \times^{\widetilde{S}} V \simeq D \times V\) avec l'action diagonale \(\gamma \cdot (z, v) = (\gamma z, \gamma v)\), et \(\mathcal{F}(V)\) est le fibré plat associé à la représentation \(\widetilde{\Gamma} \to \widetilde{G} \to \mathrm{GL}(V)\) du groupe fondamental.

Soit \(V = \mathbb{R}^{2}\) la représentation standard de \(\mathrm{SL}(2, \mathbb{R})\), et \(\Sigma_{0} = \mathcal{F}(V)\) le fibré plat de rang 2 qu'elle définit. Restreinte à \(\widetilde{S} = \mathrm{SO}(2) = \{e^{i\theta}\}\), \(V\) est la rotation d'angle \(\theta\), de caractère complexifié \(e_{1} + e_{-1}\) ; \(T_{x}D\) est la rotation d'angle \(2\theta\), de caractère \(e_{2} + e_{-2}\). D'où, dans l'anneau des représentations, \[ [T_{x}D] = \psi^{2}[V] = [V]^{2} - 2, \] où \(\psi^{2}\) est la deuxième opération d'Adams ; et, par le dictionnaire, \[ \Sigma_{0} \otimes_{\mathbb{R}} \Sigma_{0} \simeq T_{X} \oplus 2 \cdot \mathbf{1}_{\mathbb{R}} . \] ⁸ En termes de représentations de \(\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})\), \(V \otimes V = \mathrm{Sym}^{2} V \oplus \Lambda^{2} V\), où \(\Lambda^{2}V\) est triviale et \(\mathrm{Sym}^{2}V\) est la représentation adjointe, de restriction \(e_{2} + e_{-2} + 1\) à \(\widetilde{S}\).

Réel, non complexe. Les fibrés réels orientés de rang 2 sont aussi des fibrés en droites complexes, \(\mathrm{SO}(2) = \mathrm{U}(1)\) ; à ce titre \(T_{X}\) est le fibré tangent holomorphe et \(\Sigma_{0}\) un fibré en droites complexes \(L_{0}\), avec \[ T_{X} \simeq L_{0}^{\otimes 2} \quad \text{(fibrés en droites complexes)}, \] puisque le caractère \(e_{2}\) est le carré de \(e_{1}\). Mais la structure plate de \(\Sigma_{0}\) est réelle et non complexe : \(\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})\) ne préserve aucune structure complexe de \(\mathbb{R}^{2}\), et c'est ce qui va permettre à \(\Sigma_{0}\) d'avoir une classe caractéristique non nulle.⁹

8–8

Le calcul : \(e(\Sigma_{0}) = 1 - g\) (page 8)

Écrivons \(\gamma_{1}\) pour la classe de \(T_{X}\) et \(c_{1}\) pour celle de \(\Sigma_{0}\). De \(T_{X} \simeq L_{0}^{\otimes 2}\) on tire \[ \gamma_{1} = 2 c_{1}. \] Or la classe d'Euler du fibré tangent est la caractéristique d'Euler, \(\gamma_{1} = e(T_{X}) = \chi(X) = 2(1-g)\), d'où \[ \boxed{c_{1} = e(\Sigma_{0}) = 1 - g \neq 0.} \] ¹⁰

Ainsi \(\Sigma_{0}\) est un fibré plat de rang 2 dont la classe d'Euler n'est pas nulle : c'est le cas d'égalité \(|e| = g - 1\) de l'inégalité de Milnor, et c'est ce qui rend la lettre de Serre pertinente.¹¹

En marge. Comme \(\Sigma_{0} \otimes \Sigma_{0}\) est plat, \(T_{X} \oplus 2 \cdot \mathbf{1}_{\mathbb{R}}\) admet une connexion intégrable ; on retrouve l'énoncé à la page 12.

10–10

La même chose dans les espaces classifiants (page 10)

L'inclusion \(\Gamma \subset G\) donne, puisque \(D\) est contractile, une application \(X = B_{\Gamma} \to B_{G}\), et les inclusions des compacts maximaux sont des équivalences d'homotopie \(B_{S} \to B_{G}\), \(B_{\widetilde{S}} \to B_{\widetilde{G}}\). En cohomologie :

\begin{tikzcd}
H^{*}(B_{G},\mathbb{Z}) \arrow[r, "\sim"] \arrow[d] \arrow[rd] &
H^{*}(B_{S},\mathbb{Z}) = \mathbb{Z}[\gamma_{1}] \arrow[d, "\gamma_{1} \mapsto 2c_{1}"] \\
H^{*}(B_{\Gamma},\mathbb{Z}) = H^{*}(X,\mathbb{Z}) &
H^{*}(B_{\widetilde{S}},\mathbb{Z}) = \mathbb{Z}[c_{1}] \simeq H^{*}(B_{\widetilde{G}},\mathbb{Z})
\end{tikzcd}

Le relèvement \(\widetilde{\Gamma}\) donne un relèvement \(X \to B_{\widetilde{G}}\) de \(X \to B_{G}\) :

\begin{tikzcd}
& B_{\widetilde{G}} \arrow[d] \\
X = B_{\Gamma} \arrow[r] \arrow[ru, dashed] & B_{G}
\end{tikzcd}

Le contrôle par un revêtement. Soit \(\Gamma' \subset \Gamma\) un sous-groupe d'indice fini \(d\) — il en existe, \(\Gamma\) étant résiduellement fini —, et \(p : X' = B_{\Gamma'} \to X\) le revêtement étale de degré \(d\) correspondant. La classe \(\gamma_{1}^{X'}\) est \(p^{*}\gamma_{1}^{X}\), et \(p^{*}\) est la multiplication par \(d\) sur \(H^{2}(\,\cdot\,,\mathbb{Z}) \simeq \mathbb{Z}\) ; d'autre part \(\chi(X') = d\,\chi(X)\). Les deux membres de \(\gamma_{1}^{X} = \chi(X)\) se multiplient donc par \(d\) quand on passe à \(X'\) : la formule est compatible aux revêtements, et, \(H^{2}(X,\mathbb{Z})\) étant sans torsion, il suffit de l'établir pour un seul revêtement fini de \(X\) pour l'avoir sur \(X\).¹⁴

12–12

La classe comme classe d'extension ; le relèvement (page 12)

La classe d'extension. Le revêtement universel \(\widehat{G}\) de \(G = \mathrm{PSL}(2,\mathbb{R})\) est une extension centrale de \(G\) par \(\pi_{1}(G) = \mathbb{Z}\) ; son image réciproque sur \(\Gamma\) est une extension centrale \[ 0 \to \mathbb{Z} \to \widehat{\Gamma} \to \Gamma \to 1, \] dont la classe vit dans \(H^{2}(\Gamma,\mathbb{Z}) \simeq H^{2}(X,\mathbb{Z})\) : c'est, au signe près, \(\gamma_{1}^{X}\). Plus généralement, pour un groupe de Lie connexe \(G\) de groupe fondamental \(H\), la fibration \(B_{H} \to B_{\widehat{G}} \to B_{G}\) et l'isomorphisme \(H^{2}(B_{G}, H) \simeq \mathrm{Hom}(\pi_{2}B_{G}, H) = \mathrm{Hom}(H,H)\) définissent une classe canonique, image de l'identité, qui classifie le revêtement universel ; pour \(G = S\) un cercle, \(H = \mathbb{Z}\), c'est la classe de Chern \(\gamma_{1}\) de \(H^{2}(B_{S},\mathbb{Z})\), et l'image réciproque à \(\Gamma\) de la classe canonique est la classe de l'extension.

Le relèvement. De même le revêtement double \(\widetilde{G} = \mathrm{SL}(2,\mathbb{R}) \to G\) définit une classe dans \(H^{2}(\Gamma, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\), qui est l'obstruction à relever \(\Gamma\) dans \(\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})\), et qui est la réduction modulo 2 de \(\gamma_{1}^{X}\). Comme \(\gamma_{1}^{X} = \chi(X) = 2(1-g)\) est pair, l'obstruction est nulle : \(\Gamma\) se relève, ce qu'on a utilisé page 6.¹⁵

Remarque (4). Dans la situation (1) — \(X\) de genre \(g \geq 2\), de fibré tangent \(T_{X}\) —, le fibré vectoriel réel \(T_{X} \oplus 2 \cdot \mathbf{1}_{\mathbb{R}}\) sur \(X\) est muni d'une connexion intégrable, celle de \(\Sigma_{0} \otimes \Sigma_{0}\), de groupe d'holonomie l'image de \(\Gamma\) par \(\mathrm{SL}(2,\mathbb{R}) \to \mathrm{GL}(V \otimes V)\).¹⁶

7–13

Tapuscrit : le groupe de Brauer d'une fibration sur une courbe (pages 9, 11, 13, 7)

Quatre feuillets d'un tapuscrit français, paginés 23, 17, 19 et 20 et rangés aux pages 7, 9, 11 et 13 ; on les lit dans l'ordre de leur pagination, qui est celui de l'argument. Ils portent des corrections de sa main — lettres grecques, tildes, schémas de Picard ajoutés, insertions interlinéaires, un bloc biffé —, et sont sans rapport avec les classes de Chern : c'est le papier sur lequel il a écrit les feuillets 6 à 12.¹⁷

Cadre, tel qu'il ressort des pages. \(f : X \to Y\) est un morphisme propre, \(X\) régulier, \(Y\) une courbe régulière de point générique \(\eta\) ; \(P\) est le faisceau de Picard relatif \(R^{1}f_{*}\mathbb{G}_{m}\) (étale) ; un tilde désigne la localisation stricte en un point géométrique \(\bar{y}\) au dessus d'un point fermé \(y\), une barre la localisation hensélienne.

9–9

Les faisceaux \(\underline{E}\) et \(\underline{F}\) (page 9, tapuscrit p. 17)

La page s'ouvre sur la fin d'un corollaire (\(H^{3}(Y,\mathbb{G}_{m}) \simeq \mathbb{Q}/\mathbb{Z}\)). Soit \(i : \eta \to Y\) l'inclusion du point générique et \[ \underline{B} = i_{*}i^{*}P, \qquad P \to \underline{B}, \qquad \underline{E} = \mathrm{Ker}(P \to \underline{B}), \quad \underline{F} = \mathrm{Coker}(P \to \underline{B}). \tag{4.8--4.10} \] Les faisceaux \(\underline{E}\) et \(\underline{F}\) sont concentrés aux points fermés (faisceaux gratte-ciel), et leurs fibres géométriques en \(\bar{y}\) sont le noyau et le conoyau de \(\mathrm{Pic}(\widetilde{X}) \to \mathrm{Pic}_{\widetilde{X}_{\tilde{\eta}}/\tilde{\eta}}(\tilde{\eta})\). Cette flèche se factorise par \(\mathrm{Pic}(\widetilde{X}_{\tilde{\eta}})\), et \(\mathrm{Pic}(\widetilde{X}) \to \mathrm{Pic}(\widetilde{X}_{\tilde{\eta}})\) est surjectif parce que \(\widetilde{X}\) est régulier (tout diviseur de la fibre générique s'étend par adhérence). D'où \[ \underline{F}_{\bar{y}} = \mathrm{Pic}_{\widetilde{X}_{\tilde{\eta}}/\tilde{\eta}}(\tilde{\eta}) / \mathrm{Pic}(\widetilde{X}_{\tilde{\eta}}), \qquad \underline{E}_{\bar{y}} = \mathrm{Ker}\bigl(\mathrm{Pic}(\widetilde{X}) \to \mathrm{Pic}(\widetilde{X}_{\tilde{\eta}})\bigr). \tag{4.11--4.12} \] ¹⁸ Le quotient \(\underline{F}_{\bar{y}}\) s'injecte dans \(\mathrm{Br}(\tilde{\eta})\), qui est nul si \(k(y)\) est parfait (le corps des fractions d'un anneau de valuation discrète strictement hensélien à corps résiduel parfait est \(C_{1}\)) et de \(p(y)\)-torsion en général, \(p(y)\) étant l'exposant caractéristique de \(k(y)\). Donc \(\underline{F}_{\bar{y}}\) est de \(p(y)\)-torsion, nul si \(k(y)\) est parfait, et nul aussi si \(\delta_{y} = 1\), par exemple si \(\widetilde{X} \to \widetilde{Y}\) a une section.

11–11

Le groupe de Tate–Chafarévitch (page 11, tapuscrit p. 19)

Sous l'hypothèse (4.15), l'image de \(H^{1}(Y,P)\) dans \(H^{1}(Y,\underline{B})\) est le sous-groupe des éléments dont l'image dans chacun des \(H^{1}(\overline{Y}_{y},\underline{B})\), \(\overline{Y}_{y}\) hensélisé de \(Y\) en \(y\), est nulle — le groupe de Tate–Chafarévitch \(\mathrm{III}(Y,\underline{B})\) : les éléments localement triviaux partout. On en tire la suite exacte \[ \cdots \to \mathrm{Pic}_{X_{\eta}/\eta}(\eta) \to \bigoplus_{y} H^{1}(y,\underline{E}_{y}) \to H^{1}(Y,P) \to \mathrm{III}(Y,\underline{B}) \to 0, \tag{4.17} \] qui présente \(H^{1}(Y,P)\) comme extension de \(\mathrm{III}(Y,\underline{B})\) par un quotient de \(\bigoplus_{y} H^{1}(y,\underline{E}_{y}) = H^{1}(Y,\underline{E})\).¹⁹

La structure de \(\underline{E}_{y}\). \(\underline{E}_{y}\) est nul si la fibre \(X_{y}\) est géométriquement intègre ; si \(X_{\eta}\) est lisse sur \(\eta\), le support de \(\underline{E}\) est donc contenu dans l'ensemble fini des \(y\) dont la fibre n'est pas géométriquement intègre (le tapuscrit ajoute « en fait, égal à »). On écrit l'égalité de diviseurs sur \(X\) \[ X_{y} = \textstyle\sum_{i} a_{y}^{i} C_{y}^{i}, \tag{4.18} \] les \(C_{y}^{i}\) étant les composantes irréductibles de \(X_{y}\) et les \(a_{y}^{i}\) leurs multiplicités.

13–13

L'annulation de \(H^{1}(y,\underline{E}_{y})\) (page 13, tapuscrit p. 20)

Soit \(\mu_{y}^{i}\) et \(\nu_{y}^{i}\) les multiplicités radicielle et séparable de \(C_{y}^{i}\) sur \(k(y)\) ; \(\mu_{y}^{i} = 1\) si \(k(y)\) est parfait. Soit \(k(y)^{i}\) la fermeture séparable de \(k(y)\) dans le corps des fonctions de \(C_{y}^{i}\), extension de degré \(\nu_{y}^{i}\), et \[ Z_{y}^{i} = \mathrm{Spec}\,k(y)^{i}, \qquad Z_{y} = \textstyle\coprod_{i} Z_{y}^{i}, \qquad p_{y} : Z_{y} \to y. \tag{4.20} \] Les composantes géométriques de \(C_{y}^{i}\) sont alors indexées, de façon compatible à Galois, par les \(k(y)\)-plongements de \(k(y)^{i}\) dans une clôture séparable.²⁰ Le faisceau \(\underline{E}_{y}\) sur \(y\) s'insère dans la suite exacte \[ 0 \to \mathbb{Z}_{y} \to p_{y*}\mathbb{Z}_{Z_{y}} \to \underline{E}_{y} \to 0, \tag{4.21} \] où la première flèche est l'adjointe de \(p_{y}^{*}\mathbb{Z}_{y} = \mathbb{Z}_{Z_{y}} \to \mathbb{Z}_{Z_{y}}\), multiplication par \(a_{y}^{i}\) sur \(Z_{y}^{i}\) : géométriquement, \(\underline{E}_{\bar{y}}\) est le groupe libre sur les composantes de la fibre modulo la fibre elle-même. Comme \(H^{1}\) d'un corps à coefficients dans \(\mathbb{Z}\) est nul, la suite de cohomologie donne \[ H^{1}(y,\underline{E}_{y}) = \mathrm{Ker}\Bigl(H^{2}(y,\mathbb{Z}) \to \textstyle\prod_{i} H^{2}(Z_{y}^{i},\mathbb{Z})\Bigr) = \mathrm{Ker}\Bigl(H^{1}(y,\mathbb{Q}/\mathbb{Z}) \to \textstyle\prod_{i} H^{1}(Z_{y}^{i},\mathbb{Q}/\mathbb{Z})\Bigr), \tag{4.23} \] la flèche d'indice \(i\) étant la restriction multipliée par \(a_{y}^{i}\). La corestriction composée avec la restriction étant la multiplication par \(\nu_{y}^{i}\), chacun de ces noyaux est annulé par \(a_{y}^{i}\nu_{y}^{i}\), et \(H^{1}(y,\underline{E}_{y})\) est annulé par \[ d_{y} = \mathrm{pgcd}_{i}\,(a_{y}^{i}\nu_{y}^{i}). \tag{4.24} \] Le feuillet s'arrête sur le cas où \(k(y)\) est fini, ou plus généralement de groupe de Galois absolu \(\widehat{\mathbb{Z}}\) : « alors on trouve … ».²¹

7–7

Deux cas particuliers (page 7, tapuscrit p. 23)

La page s'ouvre sur la fin d'une suite exacte \[ 0 \to \mathbb{Z}/\delta''\mathbb{Z} \to \mathrm{III}'(Y,\underline{A}) \to \mathrm{III}'(Y,\underline{B}) \to 0 . \tag{4.38} \]

(4.6) : \(Y\) est une courbe algébrique sur un corps algébriquement clos. La condition (4.13) est automatique et l'on a \[ \mathrm{Br}(X) \xrightarrow{\ \sim\ } H^{1}(Y,\underline{B}) ; \tag{4.39} \] si de plus \(X\) n'a pas de fibre multiple (\(\delta_{y} = 1\) pour tout \(y\)), on a \(\delta = \delta' = \delta''\) et \[ 0 \to \mathbb{Z}/\delta\mathbb{Z} \to H^{1}(Y,\underline{A}) \to H^{1}(Y,\underline{B}) \to 0 . \tag{4.40} \]

(4.7) : \(Y\) est une courbe propre sur un corps fini \(k\). Les conditions (4.13) et (4.16) sont automatiques, la première parce que \(k\) est parfait, la seconde parce que \(k(y)\), fini, est de dimension cohomologique \(\leq 1\), d'où \(H^{3}(k(y),\mathbb{G}_{m}) = 0\) ; on a \(\delta = \delta'\), et de même pour les invariants hensélisés et strictement hensélisés. Comme \(\mathrm{Br}(Y) = 0\) (théorie du corps de classes), \[ 0 \to \mathrm{Br}(X) \to \mathrm{III}(Y,\underline{B}) \to \mathbb{Z}/\Delta\mathbb{Z} \to 0, \qquad \Delta \mid \delta . \tag{4.41} \] Si le morphisme déduit de \(f\) par extension à la clôture algébrique de \(k\) n'a pas de fibre multiple, on a \[ 0 \to \mathbb{Z}/\delta''\mathbb{Z} \to \mathrm{III}(Y,\underline{A}) \to \mathrm{III}(Y,\underline{B}) \to 0, \tag{4.42} \] cas particulier de (4.37), compte tenu de l'égalité \(\bar{\delta}_{y} = \delta_{y}\) (4.43) pour tout point fermé \(y\), qui donne ici \(\bar{\delta}_{y} = 1\), donc \(\mathrm{III}' = \mathrm{III}\). L'égalité (4.43) est une conséquence du théorème de Lang, \(H^{1}(k(y), G) = 0\) pour un groupe algébrique connexe \(G\) sur un corps fini, appliqué à \(G = \underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{X_{y}/y}\) ; le tapuscrit la laisse « au lecteur comme un exercice plaisant et délectable ».²²

15–15

La cohomologie réelle de \(B_{G}\) (page 15)

Soit \(G\) un groupe de Lie compact connexe. L'espace classifiant est la réalisation de la variété simpliciale \([p] \mapsto G^{p+1}/G\) (quotient par l'action diagonale, \(G^{p+1}/G \simeq G^{p}\)), et sa cohomologie réelle est celle du bicomplexe des formes différentielles \[ C_{(0)}^{p,q} = \Omega^{q}(G^{p+1}/G), \] de différentielles la différentielle de de Rham (en \(q\)) et la somme alternée des faces (en \(p\)). On le remplace successivement par deux sous-bicomplexes de formes invariantes, \(C_{(1)} \subset C_{(0)}\) puis \(C_{(2)}\), chacun ayant, à \(p\) fixé, la même cohomologie que le précédent — c'est le terme \(E_{1}\) de la suite spectrale de la filtration par \(p\), calculé par moyenne sur le groupe compact. Dans le dernier, \(C_{(2)}^{p,q} = \omega_{\mathrm{inv}}^{q} (G^{p+1}/G)\), les formes sont fermées : la différentielle de de Rham y est nulle. D'où des isomorphismes canoniques \[ H^{*}(B_{G},\mathbb{R}) \simeq H^{*}(C_{(1)}) \simeq \bigoplus_{p+q = *} H^{p}\bigl(\nu \mapsto \omega_{\mathrm{inv}}^{q}(G^{\nu+1}/G)\bigr) = \bigoplus_{p+q = *} E_{2}^{p,q}, \] et la suite spectrale dégénère : \(d_{r} = 0\) pour \(r \geq 2\).²³

Soit \(T \subset \omega_{\mathrm{inv}}^{*}(G)\) l'espace des éléments transgressifs — de degrés impairs, ce sont les éléments primitifs de l'algèbre de Hopf \(H^{*}(G,\mathbb{R}) = \Lambda^{*}(T)\) — et \[ \varphi : T \to E_{2}^{1,*} = \omega_{\mathrm{inv}}^{*}(G \times G/G) \subset \omega_{\mathrm{inv}}^{*}(G \times G) = \omega_{\mathrm{inv}}^{*}(G) \otimes \omega_{\mathrm{inv}}^{*}(G), \qquad \varphi(t) = t \otimes 1 - 1 \otimes t , \] qui place un élément de degré \(2k - 1\) en degré total \(2k\).

Théorème. L'homomorphisme \(\mathrm{Sym}^{*}(T) \to H^{*}(B_{G},\mathbb{R})\) déduit de \(\varphi\) est un isomorphisme.

C'est le théorème de Borel–Cartan : \(H^{*}(B_{G},\mathbb{R})\) est une algèbre de polynômes, sur des générateurs de degrés \(2k_{j}\) si \(H^{*}(G,\mathbb{R})\) est extérieure sur des générateurs de degrés \(2k_{j} - 1\). Le calcul de la page en donne une démonstration par la dualité de Koszul : la cohomologie de la construction cobar d'une algèbre extérieure \(\Lambda(T)\) est l'algèbre symétrique sur \(T\) décalé d'un cran.²⁴

16–16

Une lettre dactylographiée : les catégories \(C(X,A)\) (page 16)

Un feuillet de lettre dactylographiée, sans en-tête ni signature, barré de trois traits obliques ; le destinataire est tutoyé, une lettre antérieure « du 26.3 », que le destinataire vient de renvoyer en photocopie, est citée, et une insertion est de la main de Grothendieck.²⁵

À un espace \(X\) et un anneau \(A\) est associée une catégorie triangulée \(C(X,A)\) — vraisemblablement une catégorie dérivée de faisceaux localement constants de \(A\)-modules, sous des conditions de finitude posées plus haut dans la lettre.²⁶ Elle détermine l'ensemble des composantes connexes de \(X\), le groupe fondamental de chacune et leur cohomologie à coefficients dans les \(A\)-modules tordus de type fini. Pour \(A = \mathbb{Z}\), un morphisme \(f : X \to Y\) est une équivalence d'homotopie si et seulement si \(f^{*} : C(Y,\mathbb{Z}) \to C(X,\mathbb{Z})\) est une équivalence.²⁷

La lettre demande alors si l'on peut reconstituer \(X\) à partir de \(C(X,\mathbb{Z})\), du moins pour des \(X\) de type fini en chaque dimension, et si tout foncteur exact \(C(Y,\mathbb{Z}) \to C(X,\mathbb{Z})\) provient, à isomorphisme près, d'un unique morphisme \(X \to Y\).²⁸ Même si c'est trop optimiste, ces catégories lui paraissent des invariants « rupinants », très bonnes approximations du type d'homotopie de \(X\), et il faudrait traduire en leurs termes les constructions familières aux homotopistes : groupes d'homotopie supérieurs, espaces de lacets, et en sens inverse espaces classifiants, suspensions, produits, squelettes, images des groupes d'homotopie supérieurs. La question, écrit-il, est « manifestement très liée » à celle de la lettre du 26.3, et « quelqu'un devrait bien un jour regarder ces choses systématiquement ».

17–17

Groupes de Lie sans \(p\)-torsion (page 17)

Soit \(G\) un groupe de Lie complexe réductif connexe — ou, ce qui revient au même pour la cohomologie, son sous-groupe compact maximal —, \(B\) un sous-groupe de Borel, \(\hat{B}\) son groupe des caractères, de rang \(r\), et \(p\) un nombre premier.²⁹ Considérons les conditions :

• (i)\(H^{*}(G,\mathbb{Z})\) est sans \(p\)-torsion ;
• (ii)\(H^{*}(B_{G},\mathbb{Z})\) est sans \(p\)-torsion ;
• (iii)l'image de \(\mathrm{Sym}_{\mathbb{Z}}^{*}(\hat{B}) \to H^{*}(G/B,\mathbb{Z})\) est d'indice premier à \(p\) ; de façon équivalente, \(\mathrm{Sym}_{\mathbb{F}_{p}}(\hat{B} \otimes \mathbb{F}_{p}) \to H^{*}(G/B,\mathbb{F}_{p})\) est surjectif ;
• (i bis)\(H^{*}(G,\mathbb{F}_{p}) \simeq \Lambda^{*}V\), où \(V\) est un \(\mathbb{F}_{p}\)-espace de dimension \(r\) formé d'éléments primitifs ;
• (ii bis)\(H^{*}(B_{G},\mathbb{F}_{p})\) est une algèbre de polynômes sur \(\mathbb{F}_{p}\) à \(r\) générateurs.

Les implications notées :

• –(i) \(\Rightarrow\) (i bis), par le théorème de Hopf (sous sa forme modulo \(p\), due à Borel) ;
• –(i bis) \(\Rightarrow\) (ii bis), par la suite spectrale de la fibration universelle, ou le théorème de transgression de Borel ;
• –(ii bis) \(\Leftrightarrow\) (iii) : la suite spectrale de Leray de la fibration \(G/B \to B_{B} \to B_{G}\) est triviale ;
• –(ii bis) \(\Rightarrow\) (ii), par égalité des nombres de Betti à coefficients dans \(\mathbb{Q}\) et dans \(\mathbb{F}_{p}\).

\begin{tikzcd}
(\mathrm{i}) \arrow[r, Rightarrow] \arrow[d, Rightarrow] &
(\mathrm{i\ bis}) \arrow[dl, Rightarrow] \\
(\mathrm{ii\ bis}) \arrow[r, leftrightarrow] \arrow[d, Rightarrow] &
(\mathrm{iii}) \\
(\mathrm{ii}) &
\end{tikzcd}

18–18

EGA IV, feuillet IV-1102 annoté (page 18)

Un feuillet du tapuscrit d'EGA IV, numéroté IV-1102, portant des corrections de sa main ; le passage est celui du cycle associé à un diviseur positif, (21.6.5)–(21.6.6).³¹ Les corrections déplacent l'hypothèse noethérienne en tête de l'alinéa (« \(X\) étant supposé noethérien », ajouté ; « Si \(X\) est noethérien », biffé dans l'énoncé de la proposition) et ajoutent les renvois.

Soit \(D\) un diviseur positif sur \(X\) : l'Idéal \(I_{X}(D)\) est un Idéal inversible de \(\mathcal{O}_{X}\), et définit un sous-schéma fermé \(Y(D)\). Localement \(I_{X}(D) = \mathcal{O}_{U}\,t\) avec \(t\) régulier (21.2.7) : l'immersion \(Y(D) \to X\) est régulière (19.1.4) de codimension 1 en tout point. Inversement, un sous-schéma fermé régulièrement immergé de codimension 1 en tout point est \(Y(D)\) pour un unique diviseur positif \(D\). ³² Pour \(X\) noethérien, \(Y(D)\) n'a qu'un nombre fini de points maximaux, qui sont de codimension 1 dans \(X\) (théorème de l'idéal principal) et où \(\mathcal{O}_{Y(D),x}\) est artinien ; en tout autre point \(x \in X^{(1)}\), \(\mathcal{O}_{Y(D),x} = 0\). On pose \[ \mathrm{cyc}(D) = \sum_{x \in X^{(1)}} \mathrm{long}(\mathcal{O}_{Y(D),x}) \cdot \overline{\{x\}} \in Z^{1}(X). \tag{21.6.5.1} \]

Proposition (21.6.6). \(D \mapsto \mathrm{cyc}(D)\) est un homomorphisme du monoïde \(\mathrm{Div}^{+}(X)\) dans \(Z^{1}(X)\).

Comme \(I_{X}(D + D') = I_{X}(D)I_{X}(D')\) (21.2.5), il suffit de voir que, pour \(A = \mathcal{O}_{X,x}\), \(x \in X^{(1)}\), et \(t\), \(t'\) réguliers dans \(A\), \(\mathrm{long}(A/tt'A) = \mathrm{long}(A/tA) + \mathrm{long}(A/t'A)\) ; or \(tA/tt'A \simeq A/t'A\) puisque \(t\) est régulier, et la suite \(0 \to tA/tt'A \to A/tt'A \to A/tA \to 0\) conclut. Le feuillet s'arrête sur la phrase suivante (« pour tout ouvert \(U \subset X\), on … »).³³