Cote n° 94, pages 1–20

Cote n° 94 · batch 1 · pages 1–20 · Transcription · Dualité des modules / Construction de faisceaux de modules : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : [à partir de 1965]
Édition de démonstration

Construction des Modules cohérents par leurs foncteurs représentatifs

titre repris de la couverture (page 1), de sa main, à l'encre, dans l'angle supérieur droit d'un feuillet brun par ailleurs vierge : « Construction des Modules cohérents et de schémas finis sur d'autres par descente par leurs foncteurs représentatifs », puis, sous un trait : « Application à la représentabilité d'un foncteur $G/S$ […] […] d'une section, à la définition des invariants $\Omega^{1}(y)$ … ». Le $G$ est suivi d'une lettre biffée ; « $\Omega^{1}(y)$ » est une lecture incertaine.

2la page porte en tête, soulignée, « Construction de faisceaux de modules » — la seconde moitié du titre du dossier.

Construction de faisceaux de modules

$A$ anneau noeth.

$F \colon \mathrm{Mod}(A) \to (\mathrm{Ens})$ foncteur.

Pour toute algèbre $B$ sur $A$, on en conclut un foncteur \[ F_B \colon \mathrm{Mod}(B) \to (\mathrm{Ens}) \] (composé de la restriction $\mathrm{Mod}(B) \to \mathrm{Mod}(A)$ et de $F$). Si $F$ repr. par $P$, $F_B$ l'est par $P_B$. le composé est dessiné : une flèche oblique « restr. » de $\mathrm{Mod}(B)$ vers $\mathrm{Mod}(A)$, puis une flèche montante vers $(\mathrm{Ens})$.

Si $f \in A$, on pose $F_f = $ le nom de $F_{A_f}$.

Lemme 1. Supposons $F$ exact à gauche, et soit Soit $B$ une $A$-algèbre fid. plate. Alors \[ F \text{ représentable (resp.\ par un $A$-module de type fini, de prés.\ finie)} \] \[ \Updownarrow \] \[ F \text{ exact à gauche, et } F_B \text{ représentable (resp.\ par un $B$-module de type fini, de prés.\ finie).} \] « Soit $B$ une $A$-algèbre fid. plate » est écrit au-dessus de la ligne biffée ; « $A$- » et « $B$- » devant « module » sont ajoutés en interligne.

Lemme 2. Soit $f \in A$, supposons $A$ noeth. Alors $F$ repr. […] par un $A$-module de t.f. ssi il satisfait :

(i)$F$ exact à gauche ;
(ii)$F(\widehat{M}) \xrightarrow{\ \sim\ } \varprojlim F(M/f^{n}M)$ si $M$ un $A$-module de t.f. ($\widehat{M} = \varprojlim M/f^{n}M$) ($\widehat{A} = \varprojlim A/f^{n}A$) ;
(iii)$F$ commute aux $\varinjlim$ filtrantes ;
(iv)$F_f$ repr. par $A$ ;
(v)$\forall n$, $F_{A/f^{n}A}$ représentable.

« Lemme 2 » est écrit au-dessus d'un « Corollaire 2 » biffé. Dans (ii), le chapeau est sur le $M$ de $F(\widehat{M})$ ; la parenthèse biffée et la précision « de t.f. » sont en interligne, la définition de $\widehat{A}$ ajoutée à droite et reliée par un trait.

Nécessité claire, (iii) exprimant le fait que le module $P$ qui représente $F$ est de t.f. (donc de prés. finie).

3Suffisance. Grâce à (ii) et Lemme 1 on est ramené à voir que $F_{\widehat{A}}$ est représentable, car posant $B = \widehat{A} \times A_f$, $F_B$ sera alors représentable en vertu de (iv), donc $F$ l'est ; le $P$ le représentant sera alors de t.f. grâce à (iii). les numéros de conditions de cette page sont entourés ; le premier est lu (ii) sans certitude.

Pour tout $n$, $F_{A/f^{n+1}A}$ est représentable, par (v), par un module $P_n$ sur $A_n$ […] de type fini grâce à (iii). Soit $\widehat{P} = \varprojlim P_n$, qui est de t.f. sur $\widehat{A}$ (N.B. les $P_n$ « se recollent »). […] Utilisant (ii), on trouve que $\widehat{P}$ représente $F_{\widehat{A}}$ sur la catégorie des $A$-modules de t.f., et utilisant (iii), on trouve que $\widehat{P}$ représente $F_{\widehat{A}}$ partout. « (v) », entouré, est ajouté au bout de la ligne ; $A_n$, en interligne sous l'indice $A/f^{n+1}A$ qu'il souligne, abrège cet anneau.

Proposition 3. $A$ noeth. Pour que $F$ soit repr. par un module de t.f., il faut et il suffit que $F$ satisfasse aux conditions suivantes :

(i)$F$ exact à g. ;
(ii)$F$ commute aux $\varinjlim$ monomorphes filtrantes ;
(iv)Pour tout quotient $B$ de $A$, et tout $f \in B$, il existe un $f \in B$, non nilpotent, tel que $F_{B_f}$ soit représentable ;
(iii)Pour tout $f \in A$, et tout module de type fini $M$ sur $\widehat{A}$ ($\widehat{A} = \varprojlim A/f^{n+1}A$), \[ F(M) \xrightarrow{\ \sim\ } \varprojlim F(M/f^{n+1}M) \] où $\widehat{M} = \varprojlim M/f^{n+1}M$.

la condition numérotée (iv), d'abord écrite (iii), précède sur la page la condition (iii) ; une flèche en marge ramène (iii) au-dessus d'elle. Dans (iii), le $F(M)$ est écrit en surcharge d'un $F(\widehat{M})$. Le mot sous « $\varinjlim$ » en (ii) est ajouté en interligne.

4Nécessité claire. Pour la suffisance, on note que les conditions sont stables par passage à une algèbre quotient $B$. Par récurrence noeth., on peut donc supposer que pour tout tel quotient $B = A/J$, avec $J \neq 0$, $F_B$ est représentable (par un module de t.f.). On peut supposer aussi $A \neq 0$. Il existe par (iv) un $f \in A$ non nilpotent, tel que $F_f$ soit repr. D'autre part, l'hyp. de récurrence noeth., prenant pour tout $n$, où $f^{n+1} \neq 0$, montre que $F_{A/f^{n+1}A}$ est repr. On peut donc appliquer le Lemme 2, qui donne la conclusion. le « (iv) » est entouré ; l'indice de $F_f$ est repassé.

En pratique, la condition (iv) est parfois difficile à vérifier. On va donner d'autres conditions. un double trait horizontal sépare ce paragraphe de ce qui précède.

Proposition 4. $A$ local noeth. Pour que $F$ soit repr. par module de t.f., il faut et il suffit que $F$ satisfasse les conditions

(i)$F$ exact à gauche ;
(ii)$F$ commute aux $\varinjlim$ ;
(iii)Pour tout $\widehat{A}$-module de t.f. $M$, \[ F(\widehat{M}) \xrightarrow{\ \sim\ } \varprojlim F(M/\mathfrak{m}^{n+1}M), \] et
(iv)$F(\widehat{M})$ est de t.f. sur $\widehat{A}$ (il suffit […] si $M$ est fini sur $A$).

Nécessité claire. Pour suffisance, grâce au Lemme 1 et condition (ii), on peut supposer $A$ complet. dans (iii) et (iv), le chapeau de $\widehat{M}$ est ajouté après coup ; un premier mot de (iv) est biffé.

5En vertu de (ii), sa restriction aux modules finis sur $A_n = A/\mathfrak{m}^{n+1}$ […] est pro-représentable, par $(P_n)$, $P_n$ module sur $A_n$, et en vertu de la condition (iv), testée avec l'injectif indécomposable $I_n$ de $A_n$, on trouve qu'il est représentable, […] par $P_n$, par un module $P_n$ de t.f. sur $A_n$. Les $P_n$ se recollent, soit $P = \varprojlim P_n$, qui est un $A$-module de t.f. On conclut de (iii) que $P$ représente $F$ sur les modules de t.f., et en vertu de (ii) sur tous les modules, cqfd. « finis sur $A_n = A/\mathfrak{m}^{n+1}$ » est ajouté au-dessus de la ligne, en remplacement d'un mot biffé ; l'indice de $\mathfrak{m}$ est lu sans certitude. Le « (ii) » de la dernière phrase est repassé et pourrait être un autre numéro.

Lemme 5. $A$ noeth. Conditions équivalentes. Supposons qu'il satisfait les conditions

(i)$F$ exact à g. ;
(ii)$F$ commute aux $\varinjlim$ filtrantes ;
(iii)$\forall\, \mathfrak{p} \in \operatorname{Spec} A$, et tout $M$ de t.f. sur $\widehat{A}_{\mathfrak{p}}$, on a \[ F(M) \xrightarrow{\ \sim\ } \varprojlim F(M/\mathfrak{m}_{\mathfrak{p}}^{n+1}M) ; \]
(iv)$\forall$ module de type fini longueur finie $M$ sur $A_{\mathfrak{p}}$, $F(M)$ est un $A_{\mathfrak{p}}$-module de t.f. ;
(v)$\forall$ idéal premier $\mathfrak{p}$, $\exists\, f \in A/\mathfrak{p}$ non nul tel que $F_{(A/\mathfrak{p})_f}$ soit représentable.

Alors $F$ pro-représentable par un syst. projectif strict $(P_i)$ de modules de t.f., tel que pour tout $\mathfrak{p} \in \operatorname{Spec} A$, le syst. des $(P_i)_{\mathfrak{p}}$ soit stationnaire (i.e. $F_{\mathfrak{p}}$ est représentable par un module de t.f. sur $A_{\mathfrak{p}}$). sur la page, la conclusion (« $F$ pro-représentable … ») est écrite d'abord, sous « Lemme 5 » (qui surcharge « Proposition », biffé), et un long trait courbe la renvoie après « Alors », qui suit (v) ; la phrase introduisant les conditions (« Supposons qu'il … les conditions ») est écrite au-dessus d'un « 2) […] » biffé. Le « $(P_i)$ » est ajouté au-dessus de la ligne ; la parenthèse « (i.e. …) » est dans la marge de droite. En (i), le mot « exact » est repassé. En (v), les « $A/\mathfrak{p}$ » sont lus sur des « $A_{\mathfrak{p}}$ » surchargés.

Dém. Pour tout $\mathfrak{p} \in S = \operatorname{Spec} A$, la prop. 4 indique que $F_{\mathfrak{p}}$ est représentable par $P_{\mathfrak{p}}$ de t.f. sur $A_{\mathfrak{p}}$ (grâce à (iii) à (iv)). Les $P_{\mathfrak{p}}$ sont […] par

6généralisation. Pour prouver la pro-repr., il suffit de prouver (compte tenu de (i) et (ii)) que pour tout $\alpha \in F(M)$, $M$ de t.f. sur $A$, il existe un « module de définition $N$ », i.e. un plus petit sous-module $N$ de $M$ tel que $\alpha \in \operatorname{Im}(F(N) \to F(M))$. Or on a pour tout $\mathfrak{p} \in S$ un $N_{\mathfrak{p}} \subset M_{\mathfrak{p}}$ ($= \operatorname{Im}(\alpha_{\mathfrak{p}} \colon P_{\mathfrak{p}} \to M_{\mathfrak{p}})$). Soit $U$ Il suffit de vérifier que le système des $N_{\mathfrak{p}}$ provient d'un sous-module $N$ de $M$ (on sait alors aisément qu'il convient). Soit $U \subset S$ le plus grand […] sur lequel se recolle, soit $\underline{N}_U \subset \widetilde{M}|U$ ; […] si on avait $U \neq S$, soit $x \in S - U$ un pt maximal de $S - U$. Soit $S' = \operatorname{Spec} \mathcal{O}_{S,x}$, Il existe un voisinage […] $U' = U \cap S'$, alors $N_{S'} = \widetilde{N}_x$ (N.B. $x = \mathfrak{p}$ !), alors $\widetilde{N}_x | U' = \underline{N}_U | U'$, donc $\exists$ voisinage ouvert $V$ de $x$, […] et un $\underline{N}' \subset \widetilde{M}|V$, tel que $\underline{N}'_x = N_x \subset M_x$ et $\underline{N}' | V \cap U = \underline{N}_U | V$, i.e. \[ \begin{cases} \underline{N}'_x = N_x \subset M_x \\ \underline{N}'_s = N_s \subset M_s & \text{si } s \in U \cap V. \end{cases} \] « et (ii) », au-dessus de la première ligne, est ajouté en interligne ; les deux numéros sont entourés. « $\underline{N}_U \subset \widetilde{M}|U$ » est ajouté au-dessus de la ligne ; le mot biffé sous « on avait » est lu complètement. « (N.B. $x = \mathfrak{p}$ !) » : le « $x = \mathfrak{p}$ » est entouré. La première ligne du système, « $\underline{N}'_x = N_x \subset M_x$ », est aussi écrite, un peu plus haut, avec un point sur le $M$.

Prenant $V$ ($= \operatorname{Spec} A_f$) assez petit, on peut supposer que la condition (v) $F_{(A/\mathfrak{p})_f}$ est représentable (grâce à la condition (v)), […] Il s'ensuit que et on veut tout de suite […] (quitte à […] encore $V$) que, $\alpha_V \in F(\underline{N}')$ donc […] $N_s \subset \underline{N}'_s$ pour tout $s \in V$ ; or […] $\underline{N}'_s$ […] l'image de $N_s$ dans $M_s$ est égal est tout entier $\ldots\ \mathfrak{p}$, donc est tout pour $s \in V(\mathfrak{p})$ par Nakayama. Cela suffit. $\longrightarrow$ Donc on est ramené au cas $\underline{N}' = M$ […] la fin de la page est très remaniée : « $= \operatorname{Spec} A_f$ » est au-dessus du $V$, « (v) […] » en interligne relié à « la condition » ; à droite, un cadre porte « $\alpha_V \in F(\underline{N}')$ donc $N_s \subset \underline{N}'_s$ […] pour tout $s \in V$ ». L'ordre de lecture des fragments est incertain ; la note marginale, à gauche, est reliée au passage par une flèche.

7Remarque 5 bis. Avec les notations du lemme 5, et en présence des conditions (i) à (iv), la condition (v) équivaut à la condition suivante, qui se prête mieux à une vérification directe :

(v bis)La fonction $\mathfrak{p} \mapsto \operatorname{rang}_{k(\mathfrak{p})} F(k(\mathfrak{p}))$ sur $\operatorname{Spec} A$ est constructible.

Il faut cependant supposer que $A$ satisfait à la condition : pour tout quotient intègre $B$ de $A$, $\mathrm{Nor}(B)$ contient un ouvert non vide. cette dernière phrase est ajoutée en interligne, serrée, et reliée par un trait courbe ; « $\mathrm{Nor}(B)$ » est une lecture incertaine (lieu normal ?).

Le fait que (v) $\Rightarrow$ (v bis) est trivial.

En sens inverse, on utilise le fait que $F$ définit un « syst. local » de modules $P_{\mathfrak{p}}$. Dans le cas $A$ intègre, […] si le rang des $P_{\mathfrak{p}} \otimes k(\mathfrak{p})$ est constant et égal à $n$ (dans un ouvert non vide), […] on peut pour $\mathfrak{p} \in U$ […] […] les $P_{\mathfrak{p}}$ ($\mathfrak{p} \in U$) sont libres de rang $n$. D'ailleurs, […] comme $F$ commute aux $\varinjlim$, on voit qu'on peut […] un […] $\subset N$, avec […] que ces $P_{\mathfrak{p}}$ soient tous $\subset N$, avec $N$ […] […] $M$. Utilisant le fait que […] $F(N)$ est de type fini, on trouve aisément que pour tous les $\mathfrak{p} \in U$ de codimension 1, sauf un nombre fini, on a $P_{\mathfrak{p}} = N_{\mathfrak{p}}$. Quitte à restreindre $U$, on peut supposer que ceci est vrai pour tous les $\mathfrak{p}$ de codim. 1 de $U$. Mais alors, si on prend $U$ normal, on conclut que $P_{\mathfrak{p}} = N_{\mathfrak{p}}$ pour tout $\mathfrak{p} \in U$, donc d'où facilement que $N$ représente $F|U$. la page est d'une lecture difficile au milieu : l'ordre des phrases autour de « D'ailleurs » est incertain. « sauf un nombre fini » est souligné d'un trait qui le relie à la ligne suivante.

8Lemme 6. Soient $S$ schéma loc. noeth., $F$ […] coh. sur $S$.

a) Soit $J$ le nilradical de $\mathcal{O}_S$ ($S_0 = S_{\mathrm{red}}$). Il existe un ouvert dense $U$ de $S$ tel que […] $\mathrm{gr}_J(\mathcal{O}_S)$ et $\mathrm{gr}_J(F)$ loc. libres sur $U_0$.

b) Soit $U$ comme dessus. Alors pour tout $s \in U$, et toute suite $\mathcal{O}_{S,s}$-régulière $f_1 \ldots f_n$ de $\mathfrak{m}_s$, posant $M = \mathcal{O}_{S,s}/(f_1, \ldots, f_n)$, on a \[ \mathrm{Tor}_i^{\mathcal{O}_{S,s}}\bigl(F_s,\ \mathcal{O}_{S,s}/(f_1, \ldots, f_n)\bigr) = 0 \quad \text{pour } i > 0 . \] « loc. » (devant « noeth. ») surcharge un mot biffé ; « $S_0 = S_{\mathrm{red}}$ » et « et $\mathrm{gr}_J(F)$ » sont ajoutés en interligne, ce dernier en remplacement d'une rature illisible. Dans le Tor, l'indice de $F_s$ surcharge un autre symbole.

Dém. L'assertion a) est triviale. Pour b), on est ramené au cas où $S = U$, et où $S = \operatorname{Spec} \mathcal{O}_{S,s}$, et $F$ provient d'un faisceau loc. libre sur $S_0$. Pour calculer les $\mathrm{Tor}_i$ on utilise le complexe de chaînes de Koszul $K_{\cdot}(\underline{f})$, qui est une résolution de $A/(f_1, \ldots, f_n)$ ($A = \mathcal{O}_{S,s}$). On est ramené à prouver que les images $f_1 \ldots f_n$ des $f_i$ dans $A_0$ forment aussi une suite $M$-régulière. En fait, on prouve un peu plus que, posant $N = M/(f_1, \ldots, f_n)M$, on a $\mathrm{gr}_J(N)$ loc. libre libre. C'est bien standard si $n = 1$, et on continue par récurrence. « et où $S = \operatorname{Spec} \mathcal{O}_{S,s}$ » est ajouté en interligne. Le $M$ de « $M$-régulière » n'est pas défini ailleurs que dans la ligne biffée de l'énoncé ; il faut sans doute y lire le module $F_s$ ou son image.

Cor. Main 7. $S$ schéma noethérien, $P$ et $\Omega$ faisceaux cohérents. Alors $\exists$ ouvert dense $U$ de $S$ tel que pour tout $s \in U$ et toute suite $\mathcal{O}_{S,s}$-régulière $f_1 \ldots f_n$, le titre, souligné, est lu comme au dossier 90 (« CorMain ») ; ce peut être une abréviation de « Corollaire ».

9l'hom. naturel \[ \underline{\mathrm{Hom}}(P, \Omega)_s \otimes \mathcal{O}_{S,s}/(f_1, \ldots, f_n) \longrightarrow \underline{\mathrm{Hom}}_{\mathcal{O}_{S,s}}\bigl(P_s,\ \Omega_s/(f_1, \ldots, f_n)\Omega_s\bigr) \] soit un isom.

Dém. On peut supposer $S$ affine, d'anneau $A$, donc […] résolution présentation \[ L_1 \to L_0 \to P \] avec $L_1$, $L_0$ libres de t.f., donc $\underline{\mathrm{Hom}}(P, Q)$ est le $H^0$ du complexe \[ K^{\cdot} \colon\quad 0 \to \check{L}_0 \otimes Q \to \check{L}_1 \otimes Q \to 0 \] (de degrés 0 et 1), tandis que $\mathrm{Hom}(P, Q \otimes M)$ est le $H^0$ du complexe $K^{\cdot} \otimes M$. Une condition pour que l'hom. naturel \[ H^0(K^{\cdot}) \otimes M \to H^0(K^{\cdot} \otimes M) \] soit bijectif est que l'on ait \[ \mathrm{Tor}_1(M, H^1(K^{\cdot})) = \mathrm{Tor}_1(M, Z^1(K^{\cdot})) = 0 . \] Or $H^1(K) = R$ et $Z^1(K) = S$ sont des modules de t.f. sur $A$, auxquels on peut appliquer le corollaire lemme 6, b), en faisant $M = \mathcal{O}_{S,s}/(f_1, \ldots, f_n)$, on gagne. la lettre notée ici $Q$ (dans $\underline{\mathrm{Hom}}(P, Q)$, dans $K^{\cdot}$ et dans $Q \otimes M$) est un rond ouvert ; c'est sans doute le $\Omega$ de l'énoncé, écrit vite. Dans $K^{\cdot}$ elle est lue sur ce qui ressemble à un $P$. Les indications « degré 0 », « degré 1 » sont écrites au-dessus des deux termes. Les lettres $R$ et $S$ (ce dernier sans rapport avec le schéma $S$) sont lues telles qu'elles sont écrites.

10Lemme. Soit $X$ un préschéma régulier $\Longleftrightarrow$ les $\Omega/(f_1, \ldots, f_n)\Omega$ sont […] […] les injectifs indécomposables […] ligne d'en-tête biffée et surchargée ; au-dessus, en interligne : « $\Omega$ […] […] définissables par un C.M. ». Le passage n'est lu qu'en partie.

Lemme 8. Soit $X$ un préschéma de Cohen–Macaulay, $\Omega$ un faisceau fondamental sur $X$, alors pour toute suite $(f_1, \ldots, f_n)$ de sections de $\mathcal{O}_X$ qui est $\mathcal{O}_X$-régulière, $\Omega/(f_1, \ldots, f_n)\Omega$ est un faisceau fondamental sur le préschéma noeth. CM […] $V(f_1, \ldots, f_n)$.

Cor. Main 9. Soit $x \in X$ et $f_1, \ldots, f_n \in \mathcal{O}_{X,x}$ un syst. de paramètres de $\mathcal{O}_{X,x}$, alors $\Omega/(f_1, \ldots, f_n)\Omega$ est […] l'injectif indécomposable dans la catégorie des modules sur $\mathcal{O}_{X,x}/(f_1, \ldots, f_n)$.

Cor. Main 10. Soit $X$ un préschéma loc. noeth. qui est localement immergeable dans un régulier. Alors il existe un ouvert dense $U$ de $X$, et un Module coh. $\Omega$ sur $X$, ayant les propriétés suivantes

a)Les anneaux locaux de $U$ sont C.M.
b)Pour tout $x \in U$, et tout syst. de paramètres $f_1$, …, $f_n$ de $\mathcal{O}_{X,x}$, le module $\Omega/(f_1, \ldots, f_n)\Omega$ sur $\mathcal{O}_{X,x}/(f_1, \ldots, f_n)$ est

il suffit que […] soit excellent, ou seulement qu'il satisfasse la condition de EGA IV 6.11.8. la page est d'un papier plus foncé, mais la numérotation des énoncés continue celle des pages précédentes. « localement immergeable dans un régulier » est souligné d'un trait ondulé ; la note marginale, oblique dans la marge de gauche, s'y rattache. Le « 10 » surcharge un autre numéro.

12l'injectif indécomposable.

Ces conditions impliquent la suivante

c)Pour tout homom. $u \colon R \to R'$ surjectif de modules de type fini sur un $\mathcal{O}_x$ ($x \in U$), tel que \[ \mathrm{Hom}\bigl(R',\ \Omega_x/(f_1, \ldots, f_n)\Omega_x\bigr) \to \mathrm{Hom}\bigl(R,\ \Omega_x/(f_1, \ldots, f_n)\Omega_x\bigr) \] soit un isomorphisme pour tout syst. de paramètres $f_1, \ldots, f_n$ de $\mathcal{O}_{X,x}$, alors $u$ est un isomorphisme.

« pour tout syst. de paramètres … de $\mathcal{O}_{X,x}$ » est ajouté en interligne et renvoyé par un trait ; $R$ et $R'$ sont repassés.

Cor. Main 11. Supposons Supposons que $U$, $\Omega$ soient comme dans Cor. 10. Soit $x \in U$, et soit $u \colon R \to R'$ un homom. surjectif de modules de type fini sur $\mathcal{O}_{X,x}$, […] C.M. tels que $R$ et $R'$ satisfassent la condition suivante pour les foncteurs $\mathfrak{L}_R(M) = \mathrm{Hom}(R, M)$ et $\mathfrak{L}_{R'}(M) = \mathrm{Hom}(R', M)$ :

a)$\mathfrak{L}(\Omega) \otimes A/(f_1, \ldots, f_n) \to \mathfrak{L}(\Omega \otimes A/(f_1, \ldots, f_n))$ est un isomorphisme pour les suites $A$-régulières $(f_1, \ldots, f_n)$ sur $\mathcal{O}_{X,x}$ (où $\mathfrak{L} = \mathfrak{L}_R$ ou $\mathfrak{L}_{R'}$) ;
b)$\mathfrak{L}_{R'}(\Omega) \xrightarrow{\ \sim\ } \mathfrak{L}_R(\Omega)$.

Sous ces conditions, $u$ est un isom. à expliciter d'une autre façon tout le Corollaire 11 est barré de longs traits obliques croisés. Dans les définitions de $\mathfrak{L}_R$, $\mathfrak{L}_{R'}$, une première écriture ($\mathrm{Hom}(R, \Omega \otimes M)$ ?) est biffée ; « suites $A$-régulières » remplace « syst. de paramètres », biffé. La note marginale est reliée par un trait vertical à la condition a).

14Cor. 11. Supposons maintenant qu'on ait un syst. projectif filtrant strict $(R_i)_{i \in I}$ de Modules coh. sur $U$, puis affine $U = \operatorname{Spec} A$, et supposons soit $F$ le foncteur sur les $\mathcal{O}_U$-Modules $F = \ldots$ ce premier état est encadré et barré de longs traits obliques ; un dernier « $F =$ » est laissé inachevé.

Cor. Main 11. Soient $U$, $\Omega$ comme dessus, […] supposons supposons $S = U = \operatorname{Spec} A$, soit $(P_i)$ un famille syst. projectif de $A$-modules, et $F$ le foncteur qu'il pro-représente. Supposons que l'on ait les deux conditions suivantes

(i)$F(\Omega)$ est un $A$-Module de t.f.
(ii)Pour tout $\mathfrak{p} \in S$ et tout syst. de paramètres $(f_1, \ldots, f_n)$ de $A_{\mathfrak{p}}$, l'application canonique \[ F(\Omega) \otimes A_{\mathfrak{p}}/(f_1, \ldots, f_n) \to F\bigl(\Omega \otimes A_{\mathfrak{p}}/(f_1, \ldots, f_n)\bigr) \] est bijective.

Alors le syst. projectif $(P_i)$ est stationnaire.

De façon précise, (i) […] équivaut à dire que le système inductif des $\mathrm{Hom}(P_i, \Omega)$ est stationnaire. Soit $i_0$ tel que $\mathrm{Hom}(P_{i_0}, \Omega) \xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{Hom}(P_i, \Omega)$ pour $i \geq i_0$. Alors $P_i \simeq P_{i_0}$ pour $i \geq i_0$.

Dém. Le diagramme « le diagramme » est suivi d'un mot souligné en interligne et d'un « $\varinjlim_i$ » renvoyé devant le premier terme ; dans la seconde colonne, $\Omega/f\Omega_{\mathfrak{p}}$ est écrit $\Omega_{\mathfrak{p}}/\underline{f}\,\Omega_{\mathfrak{p}}$ en bas.

LaTeX source

\begin{tikzcd}[column sep=small, nodes={font=\small}]
\varinjlim_i \mathrm{Hom}(P_i, \Omega) \otimes A_{\mathfrak{p}}/\underline{f} A_{\mathfrak{p}} \arrow[r, "\sim"] & \varinjlim_i \mathrm{Hom}(P_i, \Omega/\underline{f}\Omega_{\mathfrak{p}}) \\
\mathrm{Hom}(P_{i_0}, \Omega) \otimes A_{\mathfrak{p}}/\underline{f} A_{\mathfrak{p}} \arrow[r] \arrow[u] & \mathrm{Hom}(P_{i_0}, \Omega_{\mathfrak{p}}/\underline{f}\Omega_{\mathfrak{p}}) \arrow[u, "\alpha"]
\end{tikzcd}

15montre que $\alpha$ est un isom., et comme les morphismes de transition de la dernière $\varinjlim$ sont injectifs, il s'ensuit que \[ \mathrm{Hom}(P_{i_0}, \Omega/\underline{f}\Omega) \to \mathrm{Hom}(P_i, \Omega_{\mathfrak{p}}/\underline{f}\Omega_{\mathfrak{p}}) \] est bijectif pour $i \geq i_0$, donc $P_i \to P_{i_0}$ localisé en $\mathfrak{p}$ est un isom. (Cor. 10), donc $P_i \to P_{i_0}$ est bijectif.

Mettant ensemble prop. 3, lemme 5, lemme 6 Remarque 5 bis, et le corollaire 10, on trouve « Remarque 5 bis » est écrit au-dessus de « lemme 6 », biffé.

Théorème 12. $A$ anneau noeth. quotient d'un régulier, $F$ un foncteur $\mathrm{Mod}\,A \to (\mathrm{Ens})$. Pour que $F$ soit représentable par un module de t.f., il faut et il suffit qu'il satisfasse aux conditions suivantes :

(ii)$F$ exact à gauche ;
(i)$F$ commute aux $\varinjlim$ filtrantes ;
(iii)a) $\forall\, \mathfrak{p} \in \operatorname{Spec} A$, et tout $M$ de t.f. sur $\widehat{A}_{\mathfrak{p}}$, \[ F(M) \xrightarrow{\ \sim\ } \varprojlim F(M/\mathfrak{m}_{\mathfrak{p}}^{n+1}M) ; \] b) $\forall\, f \in A$, et tout module de t.f. sur $\widehat{A} = \varprojlim A/f^{n+1}A$, \[ F(M) \xrightarrow{\ \sim\ } \varprojlim F(M/f^{n+1}M) ; \]
(iv)$\forall\, M$ de t.f. sur $A$, $F(M)$ est de t.f. sur $A$ ;
(v)La fonction $\mathfrak{p} \mapsto \operatorname{rang}_{k(\mathfrak{p})} F(k(\mathfrak{p}))$ sur $\operatorname{Spec} A$ est constructible ;
(vi)Pour tout quotient […] $B$ de $A$, et tout $B$-Module de t.f. $\Omega$, $\exists\, f \in B$, non nilpotent, tel que pour tout $\mathfrak{p} \in \operatorname{Spec} B_f$, et tout système de paramètres $f_1, \ldots, f_n$ de $B_{\mathfrak{p}}$, l'application canonique

« par un module de t.f. » est ajouté sous la ligne et renvoyé par un trait. Les deux premières conditions sont écrites dans l'ordre (ii), (i), le numéro (i) de la seconde surchargeant un autre chiffre ; un trait courbe en marge les relie, sans doute pour les intervertir. C'est l'exactitude à gauche qui porte le numéro (ii), comme dans la Remarque 18 (page 21). En (vi), un mot ajouté au-dessus de « quotient » n'est pas lu, et « nilpotent » est surchargé ; la condition se poursuit page suivante.

16\[ F(\Omega) \otimes B_{\mathfrak{p}}/\underline{f} B_{\mathfrak{p}} \longrightarrow F(\Omega \otimes B_{\mathfrak{p}}/\underline{f} B_{\mathfrak{p}}) \] est bijective.

Dém. La nécessité claire, celle de (vi) résultant du lemme 6, cor. Main 7, et du fait qu'on peut choisir $f$ tel que $B_f$ soit CM (alors $\underline{f} = (f_1, \ldots, f_n)$ est nécessairement une suite […] $B_{\mathfrak{p}}$-régulière).

Suffisance. On voit que les conditions envisagées sont stables par passage à un $F_B$ ($B$ quotient de $A$). Cela nous permet de supposer, par récurrence noeth., que $F_B$ est représentable par un $B$-module de t.f., si $B \neq A$. […] Grâce à prop. 3, on est ramené à trouver un $f \in A$ non nilpotent, tel que $F_f$ soit repr. (i) (ii) (iii b) (iv)

Notons que le lemme 5 et Remarque 5 bis impliquent déjà que $F$ est pro-représentable par un système projectif strict $(P_i)$, les $P_i$ de t.f. On peut maintenant […] $f$, non nilpotent, tel que le syst. $P_{i,f}$ soit stationnaire. (i) (ii) (iii a) (iv) (v)

On conclut aussitôt par la condition condition (vi), compte tenu du cor. 11. (vi)

cqfd. les trois groupes de numéros de conditions sont écrits dans la marge de gauche, en face des phrases qui les utilisent. « et Remarque 5 bis » et « strict » sont ajoutés en interligne. Le passage biffé (deux lignes) est encadré.

Remarque 13. Supposons que pour tout quotient intègre $B$ de $A$, $\exists\, f \in B - 0$ tel que $B_f$ soit régulier. Cette condition rend évidemment inutile celle que $A$ soit quotient d'un régulier, et entraîne que dans th. 12, (vi) $\Rightarrow$ (v), et dans (vi)

17Théorème 14. Soient $f \colon X \to S$ propre de prés. finie, $F$, $G$ Modules de prés. finie sur $X$, avec $G$ $S$-plat. Alors, […] il existe un Module $P$ sur $S$, de présentation finie, et un isom. de foncteurs en le $\mathcal{O}_S$-Module quasi-cohérent $M$ \[ \underline{\mathrm{Hom}}(P, M) \simeq f_{*}\,\underline{\mathrm{Hom}}(F,\ G \otimes_{\mathcal{O}_S} M) \] [En prenant les $\Gamma$, l'isom. fonctoriel en $M$ \[ \mathrm{Hom}(P, M) \simeq \mathrm{Hom}(F,\ G \otimes_{\mathcal{O}_S} M), \] montre que $P$ est déterminé à isom. unique près comme représentant un foncteur en $M$ des Modules […].] La formation de $P$ commute au changement de base quelconque $S' \to S$. NB. Il y a le même énoncé de représentabilité, par un $W(\ldots)$ (d'où […] […]), pour $F$ de prés. finie, $G$ quasi-cohérent ; […] […] […] […] représentable par un $P$ […] […] […] de prés. finie […]. la note marginale, oblique et serrée dans la marge de gauche, n'est lue qu'en partie ; un « $F$ » y est repassé en surcharge. Le crochet ouvert devant « En prenant les $\Gamma$ » est fermé après « près ».

On voit facilement qu'on peut supposer $S = \operatorname{Spec} A$ affine, et tout est une question de représentabilité d'un foncteur $\mathrm{Mod}(A) \to (\mathrm{Ens})$. On est ramené comme d'habitude au cas d'un $A$ de type fini sur $\mathbb{Z}$, donc quotient d'un régulier. On peut donc faire appel au th. 12.

Les conditions (i) à (iv) sont standard. […] […] En vertu de la remarque 13, il reste à vérifier la condition (vi). Condition (v) : […] […] […] que $A$ est intègre, $\exists$ ouvert non vide $U$ de $S = \operatorname{Spec} A$ tel que sur $U$, la fonction $s \mapsto \dim \mathrm{Hom}(F_s, G_s)$ soit constante. Or […] […] $\mathrm{Hom}(F_s, G_s) = \Gamma(X_s, \underline{\mathrm{Hom}}(F_s, G_s))$, d'autre part pour […] On peut supposer $B = A$. « En vertu de la remarque 13, il reste à vérifier la condition (vi) » est écrit en interligne au-dessus de deux lignes biffées ; tout le passage suivant est encadré et barré de trois longs traits obliques, sauf « On peut supposer $B = A$ », qui semble laissé.

18En fait, sauf pour la condition (ii) d'exactitude à gauche, nous pouvons vérifier les conditions du th. 12 pour pour un foncteur de la forme \[ M \longmapsto R^{q} f_{*}\bigl(\underline{\mathrm{Ext}}^{i}(F,\ G \otimes_{\mathcal{O}_S} M)\bigr) \] (sans supposer $G$ plat$/S$ ici) [ou aussi $M \mapsto R^{q} f_{*}(R\,\underline{\mathrm{Hom}}(F,\ G \otimes_{\mathcal{O}_S} M))$], i.e. dans le cas affine, pour des foncteurs \[ M \longmapsto H^{q}\bigl(X,\ \underline{\mathrm{Ext}}^{i}(F,\ G \otimes_{\mathcal{O}_S} M)\bigr) \] [ou $M \mapsto \mathrm{Ext}^{q}(X;\ F,\ G \otimes_{\mathcal{O}_S} M)$]. La vérification se fait en deux coups. « (sans supposer $G$ plat$/S$ ici) » est écrit en bout de ligne, à droite ; le crochet fermant de la dernière formule est suivi d'un astérisque sans renvoi visible.

Lemme 15. Soit $f \colon X \to S = \operatorname{Spec} A$, $f$ de t.f. et $A$ noeth., et $F$, $G$ […] des cohérents sur $X$, $\Omega$ cohérent sur $S$, $N$ entier. Alors il existe un ouvert dense $U$ de $S$ tel que pour $\mathfrak{p} \in U$ et $f_1, \ldots, f_n$ […] suite $A_{\mathfrak{p}}$-régulière, on ait \[ \underline{\mathrm{Ext}}^{i}(F,\ G \otimes_{\mathcal{O}_S} \Omega) \otimes A_{\mathfrak{p}}/\underline{f} A_{\mathfrak{p}} \xrightarrow{\ \sim\ } \underline{\mathrm{Ext}}^{i}(F,\ G \otimes_{\mathcal{O}_S} \Omega \otimes A_{\mathfrak{p}}/\underline{f} A_{\mathfrak{p}}) \] pour $i \leq N$. l'énoncé est marqué d'un trait vertical dans la marge ; « entier » est ajouté en interligne.

Dém. On peut supposer $X$ affine $= \operatorname{Spec} B$. Alors $F$ a une résolution $L_{\cdot}$ par des modules libres de t.f. sur $B$, et \[ \underline{\mathrm{Ext}}^{i}(F,\ \underbrace{G \otimes_A \Omega}_{G'}) = H^{i}\bigl(\underline{\mathrm{Hom}}^{\cdot}(L_{\cdot},\ G \otimes_{\mathcal{O}_S} \Omega)\bigr) = H^{i}\bigl(\underbrace{(\check{L}_{\cdot} \otimes_B G) \otimes_{\mathcal{O}_S} \Omega}_{K^{\cdot}}\bigr) \] tandis que \[ \underline{\mathrm{Ext}}^{i}(F,\ (G \otimes_{\mathcal{O}_S} \Omega) \otimes_A M) = H^{i}(K^{\cdot} \otimes M), \] et on veut des conditions pour que \[ \underline{\mathrm{Ext}}^{i}_{\mathcal{O}_X}(F, G') \otimes_{\mathcal{O}_S} M \xrightarrow{\ \sim\ } \underline{\mathrm{Ext}}^{i}_{\mathcal{O}_X}(F,\ G' \otimes_A M) \] cette réduction […] […] […] fait… dans la seconde formule, $\Omega$ est suivi d'un « $\otimes_A M$ » surchargé ; l'accolade « $K^{\cdot}$ » est sous $(\check{L}_{\cdot} \otimes G) \otimes \Omega$ ; les indices $A$ et $\mathcal{O}_S$ sont souvent surchargés l'un de l'autre.

19i.e. \[ H^{i}(K^{\cdot}) \otimes_A M \xrightarrow{\ \sim\ } H^{i}(K \otimes_A M) \quad \text{si } i \leq N . \] Pour ceci, quitte à tronquer $K^{\cdot}$ en laissant tomber les $K^{j}$ pour $j \geq N + 2$, on peut supposer $K^{\cdot}$ borné. Il suffit que l'on ait \[ \begin{cases} \mathrm{Tor}_i^{A}(K^{j}, M) = 0 & \text{pour } i > 0, \text{ tout } j \\ \mathrm{Tor}_i^{A}(H^{j}(K^{\cdot}), M) = 0 & \text{pour } i > 0, \text{ tout } j. \end{cases} \] Comme les modules $K^{j}$, $H^{j}(K^{\cdot})$ sont de t.f., on est ramené à prouver le prouver le

Lemme 16. [Soit $R$ cohérent sur $X$.] $\exists\, U$ dense dans $S = \operatorname{Spec} A$ tel que $\mathfrak{p} \in U$, $f_1 \ldots f_n$ […] suite $A_{\mathfrak{p}}$-régulière, implique que \[ \mathrm{Tor}_i^{A}(F,\ A_{\mathfrak{p}}/\underline{f} A_{\mathfrak{p}}) = 0 \quad \text{pour } i > 0 . \] « Soit $R$ cohérent sur $X$. » est ajouté en interligne au-dessus de l'énoncé, et relié par un trait ; la formule garde pourtant $F$.

Or, pour prouver ceci, il suffit, d'après la démonstration du lemme 6, de savoir que $\mathrm{gr}_J(\mathcal{O}_X)$ et $\mathrm{gr}_J(A)$ soient plats sur $A/J$ aux points de $U$ ($J$ = nilradical de $A$). Or on peut choisir $U$ ainsi, par le th. de platitude générique. « et $\mathrm{gr}_J(A)$ soient » est ajouté en interligne.

Le lemme 15 15 montre que quitte à […] […] […] […] […], pour traiter le cas de $R^{q} f_{*}(\underline{\mathrm{Ext}}^{i}(F, G \otimes \Omega))$, […] à prouver le la fin de la page est raturée et inachevée ; un « $\varinjlim$ » est écrit au-dessus du mot biffé « quitte ».

20Lemme 17. Soit $f \colon X \to S$ propre, $S$ noeth., et soit $E$ cohérent sur $X$. Alors il existe un ouvert dense $U$ de $S$ tel que $\forall\, s \in U$, et $\underline{f} = f_1, \ldots, f_n$ suite $\mathcal{O}_{S,s}$-régulière, l'hom. naturel \[ R^{j} f_{*}(E)_s \otimes \mathcal{O}_{S,s}/\underline{f}\,\mathcal{O}_{S,s} \longrightarrow R^{j} f^{(s)}_{*}\bigl(E^{(s)} \otimes \mathcal{O}_{S,s}/\underline{f}\,\mathcal{O}_{S,s}\bigr) \] soit un isom. pour tout $j$. ($f^{(s)} \colon X^{(s)} = X \times_S \operatorname{Spec} \mathcal{O}_{S,s} \to \operatorname{Spec} \mathcal{O}_{S,s}$, $E^{(s)}$ induit par $E$ sur $X^{(s)}$.) « $S$ noeth. » est ajouté en interligne ; l'énoncé est marqué d'un trait vertical dans la marge.

Dém. Utilisant le lemme 16, on voit qu'on peut supposer déjà que \[ E^{(s)} \otimes \mathcal{O}_{S,s}/\underline{f}\,\mathcal{O}_{S,s} \simeq E^{(s)} \overset{\mathbb{L}}{\otimes} \mathcal{O}_{S,s}/\underline{f}\,\mathcal{O}_{S,s} . \] D'autre part, on peut supposer […] (faisant $X = S$, et représentant $Rf_{*}(E)$ par un complexe borné à composantes cohérentes $K^{\cdot}$ sur $S$) que \[ K^{\cdot} \otimes \mathcal{O}_{S,s}/\underline{f}\,\mathcal{O}_{S,s} = K^{\cdot} \overset{\mathbb{L}}{\otimes} \mathcal{O}_{S,s}/\underline{f}\,\mathcal{O}_{S,s} . \] Cela montre que l'hom. $\alpha$, qui est l'isom. de régularité (où $M = A_{\mathfrak{p}}/\underline{f} A_{\mathfrak{p}}$) \[ Rf_{*}\bigl(\underbrace{E \overset{\mathbb{L}}{\otimes}_{\mathcal{O}_S} M}_{E \otimes_{\mathcal{O}_S} M}\bigr) \longrightarrow \underbrace{Rf_{*}(E) \overset{\mathbb{L}}{\otimes}_{\mathcal{O}_S} M}_{K^{\cdot} \overset{\mathbb{L}}{\otimes} M \,=\, K^{\cdot} \otimes M}, \] s'identifie à \[ H^{j}(K^{\cdot}) \otimes M \to H^{j}(K^{\cdot} \otimes M) . \] Si on restreint encore $U$, on peut supposer \[ \mathrm{Tor}_i^{\mathcal{O}_S}(H^{j}(K^{\cdot}), M) = 0 \quad \text{pour } i > 0,\ \text{tout } j, \] et on sait que cela implique que l'hom. précédent est un isom. pour tout $j$. cqfd. les produits tensoriels dérivés sont écrits $\otimes$ surmonté d'un $\mathbb{L}$ ; « (où $M = A_{\mathfrak{p}}/\underline{f}A_{\mathfrak{p}}$) » est ajouté en interligne. Dans les accolades, l'écriture est serrée et la lecture de la seconde (« $K^{\cdot} \overset{\mathbb{L}}{\otimes} M = K^{\cdot} \otimes M$ ») est incertaine.