Cote n° 94 · pages 1–23 · Lecture modernisée · Dualité des modules / Construction de faisceaux de modules : notes manuscrites (s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : [à partir de 1965]
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

Le fil du dossier, et les conventions

Les stations

1. I.Descente et complétion (pages 2 à 4) : on ramène la représentabilité à celle sur un ouvert \(\operatorname{Spec} A_g\) et sur le complété \(g\)-adique (lemmes 1 et 2), puis, par récurrence noethérienne, à une condition générique (proposition 3).
2. II.Le cas local, la pro-représentabilité (pages 4 à 7) : sur un anneau local, une condition de finitude testée sur l'enveloppe injective suffit (proposition 4) ; globalement, \(F\) est pro-représentable par un système qui se stabilise en chaque point (lemme 5), et la condition générique peut se remplacer par la constructibilité d'une fonction rang (remarque 5 bis).
3. III.Un module témoin (pages 8 à 15) : annulation générique des \(\mathrm{Tor}\) contre les suites régulières (lemme 6, corollaire 7), le faisceau fondamental et ses réductions (lemme 8, corollaires 9 et 10), et la stabilisation d'un pro-système testée sur lui (corollaire 11).
4. IV.Le critère (pages 15 et 16) : théorème 12, et la remarque 13, interrompue.
5. V.Le module \(P\) d'un morphisme propre (pages 17 à 20) : théorème 14, et les lemmes 15 à 17 de changement de base générique.
6. VI.Foncteurs constructibles, restriction de Weil (pages 21 à 23) : remarque 18, théorème 19, corollaire 20, remarque 21.

Les énoncés sont numérotés de 1 à 21 d'un bout à l'autre ; le dossier est d'une seule coulée. Le titre de la couverture — « Construction des Modules cohérents par leurs foncteurs représentatifs. Application à la représentabilité d'un foncteur […] d'une section, à la définition des invariants \(\Omega^{1}(y)\) … » — en est le programme : la première phrase est le théorème 12, la seconde le théorème 19¹ .

Conventions, valables pour tout le dossier

\(A\) est un anneau commutatif, noethérien sauf au lemme 1. Un foncteur est un foncteur covariant \(F \colon \mathrm{Mod}(A) \to (\mathrm{Ens})\). Il est représentable s'il est isomorphe à \(\mathrm{Hom}_A(P, -)\) pour un \(A\)-module \(P\) — on dit aussi, pour un foncteur covariant, coreprésentable ; c'est l'usage de ces pages qu'on garde — et \(P\) est alors unique à isomorphisme unique près. Il est pro-représentable s'il est isomorphe à \(M \mapsto \varinjlim_i \mathrm{Hom}(P_i, M)\) pour un système projectif filtrant \((P_i)\), strict si les morphismes de transition sont surjectifs. Exact à gauche veut dire : commute aux limites projectives finies (noyaux, produits finis).

Pour une \(A\)-algèbre \(B\), \(F_B\) est le composé de la restriction des scalaires \(\mathrm{Mod}(B) \to \mathrm{Mod}(A)\) et de \(F\) ; si \(F = \mathrm{Hom}_A(P, -)\), alors \(F_B = \mathrm{Hom}_B(P \otimes_A B, -)\). On écrit \(F_g\) et \(F_{\mathfrak{p}}\) pour \(B = A_g\) et \(B = A_{\mathfrak{p}}\).

Deux complétions interviennent, que la page écrit toutes deux \(\widehat{A}\) : \(\widehat{A}^{(g)} = \varprojlim A/g^{n+1}A\), complété \(g\)-adique, et \(\widehat{A}_{\mathfrak{p}}\), complété de l'anneau local \(A_{\mathfrak{p}}\), d'idéal maximal \(\mathfrak{m}_{\mathfrak{p}}\). Les éléments de \(A\) sont notés \(g\), les suites régulières et systèmes de paramètres \(\underline{t} = (t_1, \ldots, t_n)\), et \(f\) est réservé aux morphismes de schémas² . Aux sections V et VI, les faisceaux sur \(X\) sont notés \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{G}\), la lettre \(F\) restant au foncteur.

Une observation, que les pages utilisent sans la dire, sert partout : si \(F\) est exact à gauche, chaque \(F(M)\) est un \(A\)-module (l'addition vient de \(F(M \times M) = F(M) \times F(M)\), les scalaires de \(F\) appliqué aux homothéties), et si \(F\) commute de plus aux limites inductives filtrantes, \(F(M_g) = F(M)_g\) et \(F(M_{\mathfrak{p}}) = F(M)_{\mathfrak{p}}\), puisque \(M_g\) est la limite de \(M \xrightarrow{g} M \xrightarrow{g} \cdots\). En particulier un élément de \(F(M)\) est nul s'il l'est en chaque point.

Ce que le dossier annonce sans l'établir

La démonstration du corollaire 10 (existence d'un module canonique sur un ouvert dense), le détail de la réciproque de la remarque 5 bis, la fin de la remarque 13, la note marginale de la page 17, le programme de la remarque 18. Le théorème de « l'exposé Murre » (page 23) est invoqué, non démontré.

2–4

I. Descente et complétion (pages 2 à 4)

Lemme 1. Soient \(A\) un anneau quelconque et \(B\) une \(A\)-algèbre fidèlement plate. Pour que \(F\) soit représentable (resp. par un module de type fini, de présentation finie), il faut et il suffit que \(F\) soit exact à gauche et que \(F_B\) soit représentable (resp. par un \(B\)-module de type fini, de présentation finie).

La page ne donne pas la démonstration ; c'est la descente fidèlement plate. Si \(F_B\) est représenté par \(Q\), les deux restrictions de \(F_{B \otimes_A B}\) sont représentées par \(Q \otimes_A B\) et \(B \otimes_A Q\), d'où par Yoneda une donnée de descente sur \(Q\), qui descend en un \(A\)-module \(P\) ; l'exactitude à gauche de \(F\) appliquée à la suite exacte \(M \to M \otimes_A B \rightrightarrows M \otimes_A B \otimes_A B\) montre que \(P\) représente \(F\), et les propriétés de finitude descendent³ .

Lemme 2. Soient \(A\) noethérien et \(g \in A\). Pour que \(F\) soit représentable par un module de type fini, il faut et il suffit que :

1. (i)\(F\) soit exact à gauche ;
2. (ii)pour tout \(\widehat{A}^{(g)}\)-module de type fini \(M\), \(F(M) \xrightarrow{\ \sim\ } \varprojlim_n F(M/g^{n+1}M)\) ;
3. (iii)\(F\) commute aux limites inductives filtrantes ;
4. (iv)\(F_g\) soit représentable ;
5. (v)pour tout \(n\), \(F_{A/g^{n}A}\) soit représentable.

La nécessité est claire ; (iii) traduit le fait qu'un module \(P\) tel que \(\mathrm{Hom}(P, -)\) commute aux limites inductives filtrantes est de présentation finie, donc de type fini⁴ .

Suffisance. L'algèbre \(B = \widehat{A}^{(g)} \times A_g\) est fidèlement plate sur \(A\) : elle est plate, et son spectre recouvre \(V(g) \cup D(g)\). Comme \(F\) est exact à gauche, \(F_B(N_1 \times N_2) = F(N_1) \times F(N_2)\), et il suffit par le lemme 1 que \(F_g\) — c'est (iv) — et \(F_{\widehat{A}^{(g)}}\) soient représentables ; le \(P\) obtenu sera de type fini par (iii). Posons \(A_n = A/g^{n+1}A\). Par (v), \(F_{A_n}\) est représenté par un \(A_n\)-module \(P_n\), de type fini par (iii) ; par unicité, \(P_{n} \otimes A_{n-1} = P_{n-1}\), les \(P_n\) « se recollent », et \(\widehat{P} = \varprojlim P_n\) est un \(\widehat{A}^{(g)}\)-module de type fini. Pour \(M\) de type fini sur \(\widehat{A}^{(g)}\), (ii) donne \[ F(M) = \varprojlim F(M/g^{n+1}M) = \varprojlim \mathrm{Hom}(P_n, M/g^{n+1}M) = \mathrm{Hom}(\widehat{P}, M), \] et, tout \(\widehat{A}^{(g)}\)-module étant réunion filtrante de sous-modules de type fini, (iii) étend l'isomorphisme à tous les modules.

Proposition 3. Soit \(A\) noethérien. Pour que \(F\) soit représentable par un module de type fini, il faut et il suffit que :

1. (i)\(F\) soit exact à gauche ;
2. (ii)\(F\) commute aux limites inductives filtrantes⁵ ;
3. (iii)pour tout \(g \in A\) et tout \(\widehat{A}^{(g)}\)-module de type fini \(M\), \(F(M) \xrightarrow{\ \sim\ } \varprojlim F(M/g^{n+1}M)\) ;
4. (iv)pour tout quotient \(B \neq 0\) de \(A\), il existe \(g \in B\) non nilpotent tel que \(F_{B_g}\) soit représentable.

Démonstration. Les conditions passent de \(F\) à \(F_B\) pour tout quotient \(B\) de \(A\). Par récurrence noethérienne, on peut supposer \(F_{A/J}\) représentable pour tout idéal \(J \neq 0\), et \(A \neq 0\). Soit \(g\) comme en (iv) pour \(B = A\) ; \(g\) n'étant pas nilpotent, \(g^{n} \neq 0\) et \(F_{A/g^{n}A}\) est représentable pour tout \(n\). Le lemme 2 conclut⁶ .

« En pratique, la condition (iv) est parfois difficile à vérifier » : tout ce qui suit, jusqu'au théorème 12, sert à la remplacer.

4–7

II. Le cas local et la pro-représentabilité (pages 4 à 7)

4–5

L'anneau local (pages 4 et 5)

Proposition 4. Soit \(A\) local noethérien, d'idéal maximal \(\mathfrak{m}\), de complété \(\widehat{A}\). Pour que \(F\) soit représentable par un module de type fini, il faut et il suffit que :

1. (i)\(F\) soit exact à gauche ;
2. (ii)\(F\) commute aux limites inductives filtrantes ;
3. (iii)pour tout \(\widehat{A}\)-module de type fini \(M\), \(F(M) \xrightarrow{\ \sim\ } \varprojlim F(M/\mathfrak{m}^{n+1}M)\) ;
4. (iv)pour tout \(\widehat{A}\)-module de type fini \(M\), \(F(M)\) soit de type fini sur \(\widehat{A}\) ; il suffit de le savoir pour \(M\) de longueur finie⁷ .

Démonstration. Comme \(\widehat{A}\) est fidèlement plat sur \(A\), le lemme 1 permet de supposer \(A\) complet. Posons \(A_n = A/\mathfrak{m}^{n+1}\). Sur les \(A_n\)-modules de longueur finie, catégorie artinienne, le foncteur exact à gauche \(F\) est pro-représentable, par un système strict \((Q_i)\)⁸ . Soit \(I_n\) l'enveloppe injective du corps résiduel sur \(A_n\) — « l'injectif indécomposable de \(A_n\) » —, de longueur finie. Alors \(F(I_n) = \varinjlim \mathrm{Hom}(Q_i, I_n)\) est une réunion croissante des duaux de Matlis des \(Q_i\) ; elle est de longueur finie par (iv), donc la suite se stabilise, et, la dualité de Matlis étant fidèle, le système \((Q_i)\) aussi : \(F_{A_n}\) est représenté par un \(A_n\)-module \(P_n\) de type fini⁹ . Les \(P_n\) se recollent en \(P = \varprojlim P_n\), de type fini ; (iii) montre que \(P\) représente \(F\) sur les modules de type fini, et (ii) sur tous.

5–6

Pro-représentabilité (pages 5 et 6)

Lemme 5. Soit \(A\) noethérien, \(S = \operatorname{Spec} A\), et supposons :

1. (i)\(F\) exact à gauche ;
2. (ii)\(F\) commute aux limites inductives filtrantes ;
3. (iii)pour tout \(\mathfrak{p} \in S\) et tout \(\widehat{A}_{\mathfrak{p}}\)-module de type fini \(M\), \(F(M) \xrightarrow{\ \sim\ } \varprojlim F(M/\mathfrak{m}_{\mathfrak{p}}^{n+1}M)\) ;
4. (iv)pour tout \(\mathfrak{p}\) et tout \(A_{\mathfrak{p}}\)-module de longueur finie \(M\), \(F(M)\) est un \(A_{\mathfrak{p}}\)-module de type fini ;
5. (v)pour tout idéal premier \(\mathfrak{p}\), il existe \(g \in A/\mathfrak{p}\) non nul tel que \(F_{(A/\mathfrak{p})_g}\) soit représentable.

Alors \(F\) est pro-représentable par un système projectif strict \((P_i)\) de modules de type fini, et pour tout \(\mathfrak{p}\) le système des \((P_i)_{\mathfrak{p}}\) est stationnaire : \(F_{\mathfrak{p}}\) est représentable par un \(A_{\mathfrak{p}}\)-module de type fini¹⁰ .

Démonstration. Pour chaque \(\mathfrak{p}\), la proposition 4 appliquée à \(A_{\mathfrak{p}}\) montre, par (i) à (iv), que \(F_{\mathfrak{p}}\) est représenté par un \(A_{\mathfrak{p}}\)-module de type fini \(P_{\mathfrak{p}}\) ; par unicité, \((P_{\mathfrak{p}})_{\mathfrak{q}} = P_{\mathfrak{q}}\) pour \(\mathfrak{q} \subset \mathfrak{p}\) — les \(P_{\mathfrak{p}}\) sont « compatibles par générisation ».

Compte tenu de (i) et (ii), il suffit, pour la pro-représentabilité, que tout \(\alpha \in F(M)\), \(M\) de type fini, ait un module de définition : un plus petit sous-module \(N \subset M\) tel que \(\alpha \in F(N)\). En chaque point on en a un : \(N_{\mathfrak{p}} = \operatorname{Im}(\alpha_{\mathfrak{p}} \colon P_{\mathfrak{p}} \to M_{\mathfrak{p}})\). Il suffit que la famille des \(N_{\mathfrak{p}}\) provienne d'un sous-module \(N\) de \(M\) ; celui-ci convient alors, l'appartenance à \(F(N) = \ker\bigl(F(M) \to F(M/N)\bigr)\) se vérifiant point par point.

Soit \(U \subset S\) le plus grand ouvert sur lequel les \(N_{\mathfrak{p}}\) se recollent en un sous-faisceau cohérent \(\underline{N}_U \subset \widetilde{M}|_U\), et supposons \(U \neq S\). Soit \(x = \mathfrak{p}\) un point maximal de \(S - U\). Les générisations strictes de \(x\) sont dans \(U\), et \(\widetilde{N_{\mathfrak{p}}}\) coïncide avec \(\underline{N}_U\) sur \(U \cap \operatorname{Spec} A_{\mathfrak{p}}\) ; on peut donc les recoller sur un voisinage ouvert \(V\) de \(x\) : il existe \(\underline{N}' \subset \widetilde{M}|_V\) cohérent avec \(\underline{N}'_x = N_x\) et \(\underline{N}'_s = N_s\) pour \(s \in U \cap V\). Reste à voir que, \(V\) étant assez petit, \(\underline{N}'_s = N_s\) aussi pour \(s \in V - U\), qu'on peut supposer égal à \(V \cap V(\mathfrak{p})\).

D'abord, \(\alpha_x\) appartenant à \(F(N_x) = \varinjlim F(\underline{N}'(D(h)))\), on peut, quitte à restreindre \(V\), supposer \(\alpha|_V \in F(\underline{N}')\) ; alors \(N_s \subset \underline{N}'_s\) pour tout \(s \in V\), et l'on est ramené au cas \(\underline{N}' = \widetilde{M}|_V\). Ensuite, par (v), on peut prendre \(V = \operatorname{Spec} A_h\) avec \(F_{(A/\mathfrak{p})_h}\) représenté par un module de type fini \(Q\). L'image de \(\bar{\alpha} \colon Q \to (M/\mathfrak{p}M)_h\) est tout au point générique \(x\) — car \(N_x = M_x\) —, donc, \(V\) restreint encore, partout. Pour \(s \in V \cap V(\mathfrak{p})\), \(Q_s = P_s \otimes A_s/\mathfrak{p}A_s\) (les deux représentent le même foncteur), donc \(N_s + \mathfrak{p}M_s = M_s\), et comme \(\mathfrak{p} \subset \mathfrak{m}_s\), Nakayama donne \(N_s = M_s\). Ainsi les \(N_{\mathfrak{p}}\) se recollent sur \(U \cup V \supsetneq U\), contradiction¹¹ .

7–7

Une condition de constructibilité (page 7)

Remarque 5 bis. Supposons que, pour tout quotient intègre \(B\) de \(A\), le lieu normal de \(\operatorname{Spec} B\) contienne un ouvert non vide¹² . Alors, en présence de (i) à (iv), la condition (v) du lemme 5 équivaut à :

1. (v bis)la fonction \(\mathfrak{p} \mapsto \dim_{k(\mathfrak{p})} F(k(\mathfrak{p}))\) est constructible sur \(\operatorname{Spec} A\).

Que (v) entraîne (v bis) est « trivial » : sur \(\operatorname{Spec} (A/\mathfrak{p})_g\), \(F(k(\mathfrak{q})) = \mathrm{Hom}(Q, k(\mathfrak{q}))\) a pour dimension le rang de la fibre de \(Q\), constant sur un ouvert non vide de \(V(\mathfrak{p})\) ; et une fonction sur un espace noethérien qui est constante sur un ouvert non vide de chaque fermé irréductible est constructible.

La réciproque n'est qu'esquissée, et le milieu de la page se lit mal. Sa structure est la suivante. Pour \(A\) intègre, la fonction rang est constante, égale à \(n\), sur un ouvert non vide \(U\) ; sur un anneau réduit, un module de type fini dont les fibres ont toutes même rang est libre, de sorte que les \(P_{\mathfrak{p}}\), \(\mathfrak{p} \in U\), sont libres de rang \(n\), et forment des réseaux d'un même espace vectoriel sur le corps des fractions. On les place, grâce à la commutation aux limites inductives, dans un module de type fini \(N\), et la finitude de \(F(N)\) donne \(P_{\mathfrak{p}} = N_{\mathfrak{p}}\) en tous les points de codimension 1 de \(U\), sauf un nombre fini, qu'on retire. Si enfin \(U\) est normal, deux réseaux libres qui coïncident en codimension 1 coïncident partout, et \(N\) représente \(F\) sur \(U\)¹³ .

8–15

III. Un module témoin (pages 8 à 15)

Il s'agit maintenant de vérifier la condition (v) du lemme 5 sans la supposer : trouver, génériquement, un module contre lequel tester la stabilisation du système \((P_i)\). Les outils sont l'annulation générique des \(\mathrm{Tor}\) contre les suites régulières, puis le module canonique.

8–9

Annulation générique des \(\mathrm{Tor}\) (pages 8 et 9)

Lemme 6. Soient \(S\) un schéma localement noethérien, \(\mathcal{J}\) son nilradical, \(S_0 = S_{\mathrm{red}}\), et \(R\) un \(\mathcal{O}_S\)-Module cohérent.

1. a)Il existe un ouvert dense \(U\) de \(S\) sur lequel \(\mathrm{gr}_{\mathcal{J}}(\mathcal{O}_S)\) et \(\mathrm{gr}_{\mathcal{J}}(R)\) sont des \(\mathcal{O}_{S_0}\)-Modules localement libres.
2. b)Pour un tel \(U\), tout \(s \in U\) et toute suite \(\mathcal{O}_{S,s}\)-régulière \(\underline{t}\) d'éléments de \(\mathfrak{m}_s\), \[ \mathrm{Tor}_i^{\mathcal{O}_{S,s}}\bigl(R_s,\ \mathcal{O}_{S,s}/(\underline{t})\bigr) = 0 \qquad (i > 0) . \]

Démonstration. a) est la liberté générique d'un Module cohérent sur un schéma réduit. Pour b), posons \(A = \mathcal{O}_{S,s}\), \(J\) son nilradical, \(A_0 = A/J\). Le complexe de Koszul \(K_{\cdot}(\underline{t})\) résout \(A/(\underline{t})\), et il suffit que \(\underline{t}\) soit \(R_s\)-régulière. On montre, par récurrence sur \(n\), que les images \(\bar{t}_i\) forment une suite régulière de \(A_0\) et que \(\mathrm{gr}_J(R_s/(\underline{t})R_s) = \mathrm{gr}_J(R_s)/(\bar{\underline{t}})\) est libre sur \(A_0/(\bar{\underline{t}})\) ; un élément régulier sur chaque gradué d'une filtration finie est régulier sur le module. Pour l'étape, si \(\bar{t}_{k+1}\) était diviseur de zéro dans \(A_0/(\bar{t}_1, \ldots, \bar{t}_k)\), il le serait dans le dernier gradué non nul de \(A/(t_1, \ldots, t_k)\), qui en est un sous-module libre non nul, contre la régularité de \(t_{k+1}\)¹⁴ .

Corollaire 7. Soient \(S\) noethérien, \(P\) et \(\Omega\) des \(\mathcal{O}_S\)-Modules cohérents. Il existe un ouvert dense \(U\) de \(S\) tel que, pour tout \(s \in U\) et toute suite \(\mathcal{O}_{S,s}\)-régulière \(\underline{t}\) de \(\mathfrak{m}_s\), l'homomorphisme naturel \[ \underline{\mathrm{Hom}}(P, \Omega)_s \otimes \mathcal{O}_{S,s}/(\underline{t}) \longrightarrow \mathrm{Hom}_{\mathcal{O}_{S,s}}\bigl(P_s,\ \Omega_s/(\underline{t})\Omega_s\bigr) \] soit un isomorphisme¹⁵ .

Démonstration. On peut supposer \(S = \operatorname{Spec} A\) affine. Une présentation \(L_1 \to L_0 \to P \to 0\) par des libres de type fini fait de \(\mathrm{Hom}(P, \Omega \otimes M)\) le \(H^0\) du complexe \(K^{\cdot} \otimes M\), où \(K^{\cdot} \colon \check{L}_0 \otimes \Omega \to \check{L}_1 \otimes \Omega\) est placé en degrés 0 et 1. Si \(B^1\) désigne l'image de \(K^0 \to K^1\), la flèche \(H^0(K^{\cdot}) \otimes M \to H^0(K^{\cdot} \otimes M)\) est bijective dès que \(\mathrm{Tor}_1(M, H^1(K^{\cdot})) = \mathrm{Tor}_1(M, B^1) = 0\). Le lemme 6, appliqué aux Modules cohérents \(K^1\) et \(H^1(K^{\cdot})\) avec \(M = \mathcal{O}_{S,s}/(\underline{t})\), annule tous leurs \(\mathrm{Tor}_i\), \(i > 0\), et la suite \(0 \to B^1 \to K^1 \to H^1 \to 0\) annule alors \(\mathrm{Tor}_1(M, B^1)\)¹⁶ .

10–12

Le faisceau fondamental (pages 10 et 12)

Ce qu'il appelle faisceau fondamental sur un schéma de Cohen–Macaulay \(X\) est un Module cohérent \(\Omega\) dont chaque fibre \(\Omega_x\) est un module canonique de \(\mathcal{O}_{X,x}\) ; le dossier ne le définit pas¹⁷ .

Lemme 8. Soient \(X\) un schéma de Cohen–Macaulay et \(\Omega\) un faisceau fondamental sur \(X\). Pour toute suite \(\mathcal{O}_X\)-régulière \(\underline{t}\) de sections de \(\mathcal{O}_X\), \(\Omega/(\underline{t})\Omega\) est un faisceau fondamental sur le schéma de Cohen–Macaulay \(V(\underline{t})\).

C'est le fait classique que la réduction d'un module canonique modulo une suite régulière est un module canonique du quotient.

Corollaire 9. Pour \(x \in X\) et un système de paramètres \(\underline{t}\) de \(\mathcal{O}_{X,x}\), \(\Omega_x/(\underline{t})\Omega_x\) est l'enveloppe injective du corps résiduel sur l'anneau artinien \(\mathcal{O}_{X,x}/(\underline{t})\).

En effet \(\underline{t}\) est régulière (\(\mathcal{O}_{X,x}\) est de Cohen–Macaulay), et le module canonique d'un anneau local artinien est l'enveloppe injective de son corps résiduel.

Corollaire 10. Soit \(X\) un schéma localement noethérien, localement immergeable dans un schéma régulier. Il existe un ouvert dense \(U\) de \(X\) et un \(\mathcal{O}_U\)-Module cohérent \(\Omega\) tels que :

1. a)les anneaux locaux de \(U\) sont de Cohen–Macaulay ;
2. b)pour tout \(x \in U\) et tout système de paramètres \(\underline{t}\) de \(\mathcal{O}_{X,x}\), \(\Omega_x/(\underline{t})\Omega_x\) est l'enveloppe injective du corps résiduel de \(\mathcal{O}_{X,x}/(\underline{t})\).

La page ne le démontre pas. Le lieu de Cohen–Macaulay contient les points maximaux ; si \(X\) est fermé de codimension \(c\) dans un régulier \(Y\), au voisinage d'un tel point, \(\underline{\mathrm{Ext}}^c_{\mathcal{O}_Y} (\mathcal{O}_X, \mathcal{O}_Y)\) y est un faisceau fondamental, et le corollaire 9 donne b)¹⁸ .

Ces conditions entraînent :

1. c)soient \(x \in U\) et \(u \colon R \to R'\) un homomorphisme surjectif de \(\mathcal{O}_{X,x}\)-modules de type fini ; si, pour tout système de paramètres \(\underline{t}\), \[ \mathrm{Hom}\bigl(R',\ \Omega_x/(\underline{t})\Omega_x\bigr) \to \mathrm{Hom}\bigl(R,\ \Omega_x/(\underline{t})\Omega_x\bigr) \] est bijectif, alors \(u\) est un isomorphisme.

En effet, la dualité de Matlis sur l'anneau artinien \(\mathcal{O}_{X,x}/(\underline{t})\) étant fidèle et exacte, \(u\) induit un isomorphisme \(R/(\underline{t})R \simeq R'/(\underline{t})R'\), de sorte que \(\ker u \subset (\underline{t})R\) ; prenant les systèmes \((t_1^k, \ldots, t_n^k)\), \(\ker u \subset \bigcap_k \mathfrak{m}_x^k R = 0\) par le théorème de Krull¹⁹ .

14–15

La stabilisation d'un pro-système (pages 14 et 15)

Corollaire 11. Soient \(U = \operatorname{Spec} A\) et \(\Omega\) comme au corollaire 10, \((P_i)\) un système projectif filtrant strict de \(A\)-modules de type fini, et \(F = \varinjlim_i \mathrm{Hom}(P_i, -)\) le foncteur qu'il pro-représente. Supposons :

1. (i)\(F(\Omega)\) est un \(A\)-module de type fini ;
2. (ii)pour tout \(\mathfrak{p}\) et tout système de paramètres \(\underline{t}\) de \(A_{\mathfrak{p}}\), l'application canonique \(F(\Omega) \otimes A_{\mathfrak{p}}/(\underline{t}) \to F\bigl(\Omega \otimes A_{\mathfrak{p}}/(\underline{t})\bigr)\) est bijective.

Alors le système \((P_i)\) est stationnaire. Précisément, (i) équivaut à ce que le système inductif des \(\mathrm{Hom}(P_i, \Omega)\) soit stationnaire — ses transitions sont injectives, le système étant strict, et \(A\) est noethérien —, et si \(i_0\) est tel que \(\mathrm{Hom}(P_{i_0}, \Omega) \simeq \mathrm{Hom}(P_i, \Omega)\) pour \(i \geq i_0\), alors \(P_i \simeq P_{i_0}\) pour \(i \geq i_0\)²⁰ .

Démonstration. Écrivons \(E = \Omega_{\mathfrak{p}}/(\underline{t}) \Omega_{\mathfrak{p}}\) et considérons le carré

\begin{tikzcd}[column sep=small, nodes={font=\small}]
\varinjlim_i \mathrm{Hom}(P_i, \Omega) \otimes A_{\mathfrak{p}}/(\underline{t}) \arrow[r, "\sim"] & \varinjlim_i \mathrm{Hom}(P_i, E) \\
\mathrm{Hom}(P_{i_0}, \Omega) \otimes A_{\mathfrak{p}}/(\underline{t}) \arrow[r] \arrow[u, "\sim"] & \mathrm{Hom}(P_{i_0}, E) \arrow[u, "\alpha"']
\end{tikzcd}

où la flèche du haut est (ii) et celle de gauche un isomorphisme par le choix de \(i_0\). Il montre que \(\alpha\) est surjectif ; il est injectif, les transitions du système de droite l'étant. Donc \(\mathrm{Hom}(P_{i_0}, E) \to \mathrm{Hom}(P_i, E)\) est bijectif pour \(i \geq i_0\), et c), appliqué à \((P_i)_{\mathfrak{p}} \to (P_{i_0})_{\mathfrak{p}}\), montre que c'est un isomorphisme. Ceci valant en tout \(\mathfrak{p}\), \(P_i \to P_{i_0}\) est bijectif²¹ .

15–16

IV. Le critère (pages 15 et 16)

« Mettant ensemble prop. 3, lemme 5, Remarque 5 bis, et le corollaire 10, on trouve » :

Théorème 12. Soient \(A\) un anneau noethérien quotient d'un anneau régulier, et \(F \colon \mathrm{Mod}(A) \to (\mathrm{Ens})\) un foncteur. Pour que \(F\) soit représentable par un module de type fini, il faut et il suffit qu'il satisfasse aux conditions suivantes :

1. (i)\(F\) commute aux limites inductives filtrantes ;
2. (ii)\(F\) est exact à gauche ;
3. (iii)a) pour tout \(\mathfrak{p}\) et tout \(\widehat{A}_{\mathfrak{p}}\)-module de type fini \(M\), \(F(M) \xrightarrow{\ \sim\ } \varprojlim F(M/\mathfrak{m}_{\mathfrak{p}}^{n+1}M)\) ; b) pour tout \(g \in A\) et tout \(\widehat{A}^{(g)}\)-module de type fini \(M\), \(F(M) \xrightarrow{\ \sim\ } \varprojlim F(M/g^{n+1}M)\) ;
4. (iv)pour tout \(A\)-module de type fini \(M\), \(F(M)\) est de type fini ;
5. (v)la fonction \(\mathfrak{p} \mapsto \dim_{k(\mathfrak{p})} F(k(\mathfrak{p}))\) est constructible sur \(\operatorname{Spec} A\) ;
6. (vi)pour tout quotient \(B\) de \(A\) et tout \(B\)-module de type fini \(\Omega\), il existe \(h \in B\) non nilpotent tel que, pour tout \(\mathfrak{p} \in \operatorname{Spec} B_h\) et tout système de paramètres \(\underline{t}\) de \(B_{\mathfrak{p}}\), l'application canonique \[ F(\Omega) \otimes B_{\mathfrak{p}}/(\underline{t}) \longrightarrow F\bigl(\Omega \otimes B_{\mathfrak{p}}/(\underline{t})\bigr) \] soit bijective.

C'est l'exactitude à gauche qui porte le numéro (ii), et la remarque 18 s'y réfère sous ce numéro²² .

Nécessité. Elle est claire pour (i) à (v). Pour (vi), si \(F = \mathrm{Hom}_A(P, -)\), le corollaire 7, appliqué sur \(\operatorname{Spec} B\) à \(P \otimes_A B\) et \(\Omega\), donne un ouvert dense ; on y choisit \(D(h)\), \(h\) non nilpotent, sur lequel \(B\) est de Cohen–Macaulay — \(B\), quotient d'un régulier, a un lieu de Cohen–Macaulay ouvert, qui contient les points maximaux. Un système de paramètres y est alors une suite régulière.

Suffisance. Les conditions passent de \(F\) à \(F_B\), \(B\) quotient de \(A\) ; par la proposition 3 — qui utilise (i), (ii), (iii b) —, il suffit de trouver \(h \in A\) non nilpotent tel que \(F_h\) soit représentable. Par le lemme 5 et la remarque 5 bis — qui utilisent (i), (ii), (iii a), (iv), (v) —, \(F\) est pro-représentable par un système strict \((P_i)\) de modules de type fini²³ . Le corollaire 10 fournit un ouvert dense de \(\operatorname{Spec} A\), qu'on peut prendre de la forme \(D(g)\) et dense, et un faisceau fondamental sur lui, qu'on prolonge en un \(A\)-module de type fini \(\Omega\). La condition (vi), appliquée à \(B = A\) et à \(\Omega\), donne \(h'\) ; \(D(gh') = D(g) \cap D(h')\) est non vide, \(D(g)\) étant dense. Sur \(\operatorname{Spec} A_{gh'}\), le corollaire 11 s'applique au système \((P_{i, gh'})\) — sa condition (i) par (iv), sa condition (ii) par (vi) —, qui est donc stationnaire : \(F_{gh'}\) est représentable, cqfd²⁴ .

Remarque 13. Supposons que tout quotient intègre \(B\) de \(A\) ait un ouvert non vide \(D(h)\) avec \(B_h\) régulier. Selon la page, cette condition rend inutile l'hypothèse que \(A\) soit quotient d'un régulier, et entraîne que, dans le théorème 12, (vi) implique (v) ; la page s'interrompt là²⁵ .

La seconde affirmation se justifie ainsi. Soit \(\mathfrak{p}\) premier, \(B = A/\mathfrak{p}\). La condition (vi) pour \(B\) et \(\Omega = B\), et l'hypothèse, donnent un ouvert non vide de \(\operatorname{Spec} B\) où \(B\) est régulier et où \(F(B) \otimes B_{\mathfrak{q}}/(\underline{t}) \simeq F(B_{\mathfrak{q}}/(\underline{t}))\) ; en prenant pour \(\underline{t}\) un système régulier de paramètres, \(B_{\mathfrak{q}}/(\underline{t}) = k(\mathfrak{q})\), et \(\dim F(k(\mathfrak{q}))\) est le rang de la fibre du module de type fini \(F(B)\), constant sur un ouvert non vide. C'est le critère de constructibilité rappelé à la page 7. La première affirmation est claire quand \(A\) est intègre — sur l'ouvert régulier, \(\Omega = \mathcal{O}\) est un faisceau fondamental et remplace le corollaire 10 —, mais la page ne dit pas comment traiter un quotient non réduit, et nous la laissons ouverte²⁶ .

17–20

V. Le module \(P\) d'un morphisme propre (pages 17 à 20)

17–18

L'énoncé (pages 17 et 18)

Théorème 14. Soient \(f \colon X \to S\) un morphisme propre et de présentation finie, \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) des \(\mathcal{O}_X\)-Modules de présentation finie, \(\mathcal{G}\) plat sur \(S\). Il existe un \(\mathcal{O}_S\)-Module de présentation finie \(P\) et un isomorphisme, fonctoriel en le \(\mathcal{O}_S\)-Module quasi-cohérent \(M\), \[ \underline{\mathrm{Hom}}_{\mathcal{O}_S}(P, M) \simeq f_{*}\,\underline{\mathrm{Hom}}_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F},\ \mathcal{G} \otimes_{\mathcal{O}_S} M) . \] En prenant les sections globales, \(\mathrm{Hom}(P, M) \simeq \mathrm{Hom}(\mathcal{F}, \mathcal{G} \otimes_{\mathcal{O}_S} M)\), ce qui détermine \(P\) à isomorphisme unique près. La formation de \(P\) commute à tout changement de base \(S' \to S\)²⁷ .

On se ramène à \(S = \operatorname{Spec} A\) affine, puis, comme d'habitude — tout étant de présentation finie, et \(\mathcal{G}\) plat —, à \(A\) de type fini sur \(\mathbb{Z}\), donc quotient d'un anneau régulier, et l'on applique le théorème 12 au foncteur \(M \mapsto \mathrm{Hom}(\mathcal{F}, \mathcal{G} \otimes_A M)\). Les conditions (i) à (iv) sont « standard » : (i) parce que \(X\) est quasi-compact et \(\mathcal{F}\) de présentation finie, (ii) par la platitude de \(\mathcal{G}\), (iii) par le théorème de comparaison (fonctions formelles) d'EGA III, (iv) par le théorème de finitude pour un morphisme propre. \(A\) étant excellent, la remarque 13, en sa partie justifiée ci-dessus, réduit (v) à (vi)²⁸ . Il reste (vi).

Sauf l'exactitude à gauche, les conditions du théorème 12 se vérifient en fait pour tous les foncteurs \[ M \longmapsto H^{q}\bigl(X,\ \underline{\mathrm{Ext}}^{i}(\mathcal{F},\ \mathcal{G} \otimes_A M)\bigr) \qquad\text{ou}\qquad M \longmapsto \mathrm{Ext}^{q}(X;\ \mathcal{F},\ \mathcal{G} \otimes_A M), \] sans supposer \(\mathcal{G}\) plat — sur une base quelconque, \(M \mapsto R^q f_{*}\,\underline{\mathrm{Ext}}^{i}(\mathcal{F}, \mathcal{G} \otimes M)\) et \(M \mapsto R^q f_{*}\,R\underline{\mathrm{Hom}}(\mathcal{F}, \mathcal{G} \otimes M)\). La vérification se fait « en deux coups » : changement de base générique pour les \(\underline{\mathrm{Ext}}\) (lemme 15), puis pour les \(R^j f_{*}\) (lemme 17). C'est d'ici que part la remarque 18.

18–20

Changement de base générique (pages 18 à 20)

Lemme 15. Soient \(A\) noethérien, \(f \colon X \to S = \operatorname{Spec} A\) de type fini, \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{G}\) cohérents sur \(X\), \(\Omega\) cohérent sur \(S\), \(N\) un entier. Il existe un ouvert dense \(U\) de \(S\) tel que, pour \(\mathfrak{p} \in U\) et toute suite \(A_{\mathfrak{p}}\)-régulière \(\underline{t}\), \[ \underline{\mathrm{Ext}}^{i}(\mathcal{F},\ \mathcal{G} \otimes_A \Omega) \otimes A_{\mathfrak{p}}/(\underline{t}) \xrightarrow{\ \sim\ } \underline{\mathrm{Ext}}^{i}\bigl(\mathcal{F},\ \mathcal{G} \otimes_A \Omega \otimes A_{\mathfrak{p}}/(\underline{t})\bigr) \qquad (i \leq N) . \]

Démonstration. On peut supposer \(X = \operatorname{Spec} B\) affine (\(X\) est quasi-compact). Une résolution \(L_{\cdot}\) de \(\mathcal{F}\) par des \(B\)-modules libres de type fini donne, avec \(\mathcal{G}' = \mathcal{G} \otimes_A \Omega\) et \(K^{\cdot} = \check{L}_{\cdot} \otimes_B \mathcal{G}'\), \[ \underline{\mathrm{Ext}}^{i}(\mathcal{F}, \mathcal{G}' \otimes_A M) = H^{i}(K^{\cdot} \otimes_A M) \] pour tout \(A\)-module \(M\), et il s'agit que \(H^{i}(K^{\cdot}) \otimes_A M \to H^{i}(K^{\cdot} \otimes_A M)\) soit bijectif pour \(i \leq N\). Quitte à tronquer \(K^{\cdot}\) au-delà du degré \(N+1\), il est borné, et il suffit que \(\mathrm{Tor}_i^A(K^{j}, M) = \mathrm{Tor}_i^A(H^{j}(K^{\cdot}), M) = 0\) pour \(i > 0\) et tout \(j\). Les \(K^j\) et \(H^j(K^{\cdot})\) sont des \(B\)-modules de type fini — des Modules cohérents sur \(X\), non sur \(S\) —, et l'on est ramené au

Lemme 16. Soit \(R\) un Module cohérent sur \(X\). Il existe un ouvert dense \(U\) de \(S\) tel que, pour \(\mathfrak{p} \in U\) et toute suite \(A_{\mathfrak{p}}\)-régulière \(\underline{t}\), \(\mathrm{Tor}_i^{A}(R,\ A_{\mathfrak{p}}/(\underline{t})) = 0\) pour \(i > 0\).

Démonstration. D'après celle du lemme 6, il suffit que, \(J\) étant le nilradical de \(A\), \(\mathrm{gr}_J(A)\) et \(\mathrm{gr}_J(R)\) soient plats sur \(A/J\) aux points de \(U\) ; le théorème de platitude générique permet de choisir \(U\) ainsi²⁹ .

La fin de la page 19 est raturée et inachevée : le lemme 15 ramène le cas de \(R^q f_{*}\,\underline{\mathrm{Ext}}^{i}(\mathcal{F}, \mathcal{G} \otimes \Omega)\) au

Lemme 17. Soient \(S\) noethérien, \(f \colon X \to S\) propre et \(E\) cohérent sur \(X\). Il existe un ouvert dense \(U\) de \(S\) tel que, pour tout \(s \in U\) et toute suite \(\mathcal{O}_{S,s}\)-régulière \(\underline{t}\), l'homomorphisme naturel \[ R^{j} f_{*}(E)_s \otimes \mathcal{O}_{S,s}/(\underline{t}) \longrightarrow R^{j} f^{(s)}_{*}\bigl(E^{(s)} \otimes \mathcal{O}_{S,s}/(\underline{t})\bigr) \] soit un isomorphisme pour tout \(j\), où \(f^{(s)} \colon X^{(s)} = X \times_S \operatorname{Spec} \mathcal{O}_{S,s} \to \operatorname{Spec} \mathcal{O}_{S,s}\) et \(E^{(s)}\) est induit par \(E\).

Démonstration. Posons \(M = \mathcal{O}_{S,s}/(\underline{t})\). Par le lemme 16, on peut supposer \(E \otimes M = E \otimes^{\mathbb{L}} M\). On représente \(Rf_{*}E\), localement sur \(S\), par un complexe borné \(K^{\cdot}\) à composantes cohérentes, et le lemme 16, appliqué avec \(X = S\), permet de supposer \(K^{\cdot} \otimes M = K^{\cdot} \otimes^{\mathbb{L}} M\). La formule de projection \[ Rf_{*}(E \otimes^{\mathbb{L}} M) \xrightarrow{\ \sim\ } Rf_{*}(E) \otimes^{\mathbb{L}} M \] s'identifie alors à \(H^{j}(K^{\cdot}) \otimes M \to H^{j}(K^{\cdot} \otimes M)\) en chaque degré. Restreignant encore \(U\) par le lemme 16, on peut supposer \(\mathrm{Tor}_i(H^{j}(K^{\cdot}), M) = 0\) pour \(i > 0\) et tout \(j\), et cette flèche est alors un isomorphisme, cqfd³⁰ .

Mises ensemble, la platitude de \(\mathcal{G}\) et les lemmes 15 et 17 (appliqués à \(E = \underline{\mathrm{Hom}}(\mathcal{F}, \mathcal{G}_B \otimes \Omega)\) sur \(X_B\), avec \(N = 0\)) donnent (vi) pour le foncteur du théorème 14 ; le théorème 12 conclut. La page ne rédige pas ce dernier assemblage.

21–23

VI. Foncteurs constructibles, restriction de Weil (pages 21 à 23)

21–21

Foncteurs constructibles (page 21)

Remarque 18. Il y a lieu d'appeler foncteur constructible un foncteur qui satisfait aux conditions du théorème 12, sauf l'exactitude à gauche (ii). Il faudrait définir de même la notion de foncteur constructible \(\mathrm{Qcoh}(Y) \to \mathrm{Qcoh}(X)\) (pour \(X\) au-dessus de \(Y\)), et il y aurait une suite : un composé de foncteurs constructibles l'est encore, et les foncteurs \(\underline{\mathrm{Ext}}^{i}\), \(\underline{\mathrm{Tor}}_{j}\), \(R^{q}f_{*}\) sont constructibles³¹ .

21–23

La restriction de Weil (pages 21 à 23)

Théorème 19. Soit \(f \colon X \to S\) un morphisme propre, plat et de présentation finie. Pour tout schéma \(Z\) affine sur \(X\), le foncteur \[ f_{*}(Z) = \prod_{X/S} Z/X, \qquad T \longmapsto \mathrm{Hom}_X(X \times_S T,\ Z), \] est représentable par un schéma affine sur \(S\) ; si \(Z\) est de présentation finie (resp. de type fini) sur \(X\), \(f_{*}(Z)\) l'est sur \(S\)³² .

Démonstration. On peut supposer \(S\) affine, donc \(X\) quasi-compact. Alors \(Z = \varprojlim Z_i\), limite filtrante de \(X\)-schémas affines de présentation finie, et \(f_{*}(Z) = \varprojlim f_{*}(Z_i)\) : pour la première assertion, il suffit de traiter les \(Z_i\), une limite de \(S\)-schémas affines étant affine. Pour \(Z\) de type fini, on peut prendre les transitions \(Z_j \to Z_i\) et les \(Z \to Z_i\) des immersions fermées ; s'il est prouvé que les \(f_{*}(Z_j) \to f_{*}(Z_i)\) le sont aussi, \(f_{*}(Z) \to f_{*}(Z_i)\) est une immersion fermée et \(f_{*}(Z)\) est de type fini. On est ramené à prouver en même temps le

Corollaire 20. Si \(Z \to Z'\) est une immersion fermée de \(X\)-schémas affines, \(f_{*}(Z) \to f_{*}(Z')\) est une immersion fermée.

Par les arguments de limite standard, on se ramène à \(Z\), \(Z'\) de présentation finie, puis à \(S\) de type fini sur \(\mathbb{Z}\), donc noethérien.

Premier cas : \(Z = \mathbb{V}(\mathcal{F})\), fibré vectoriel \(\operatorname{Spec} \mathrm{Sym}(\mathcal{F})\) d'un \(\mathcal{F}\) cohérent sur \(X\). Le théorème 14, avec \(\mathcal{G} = \mathcal{O}_X\) — plat sur \(S\) puisque \(X\) l'est —, fournit \(P\) cohérent sur \(S\) avec \(\mathrm{Hom}(\mathcal{F}, f^{*}M) \simeq \mathrm{Hom}(P, M)\), et l'on voit aussitôt que \(f_{*}(\mathbb{V}(\mathcal{F})) \simeq \mathbb{V}(P)\) : une section de \(\mathbb{V}(\mathcal{F})\) sur \(X_T\) est un homomorphisme \(\mathcal{F}_T \to \mathcal{O}_{X_T}\)³³ .

Second cas : le cas général. On a une immersion fermée \(Z \hookrightarrow Z' = \mathbb{V}(\mathcal{F})\), et il suffit de prouver que \(f_{*}(Z) \to f_{*}(Z')\) est représentable par des immersions fermées — ce qui prouve du même coup le corollaire 20. Un \(T\)-point de \(f_{*}(Z')\) est une section \(s\) de \(Z'_T\) sur \(X_T\) ; le sous-foncteur de \(T\) qui « fait passer \(s\) par \(Z\) » est \(f_{*}(Y) = \prod_{X_T/T} Y/X_T\), où \(Y = s^{-1}(Z_T)\) est un sous-schéma fermé de \(X_T\). Il est représentable par un sous-schéma fermé de \(T\), par « l'exposé Murre, th. 3 », cqfd³⁴ .

Remarque 21. Soit \(f \colon X \to S\) propre, plat, de présentation finie. Pour tout \(\mathcal{O}_X\)-Module quasi-cohérent \(\mathcal{F}\), il existe un \(\mathcal{O}_S\)-Module quasi-cohérent \(P\) tel que \(f_{*}(\mathbb{V}(\mathcal{F})) \simeq \mathbb{V}(P)\) : on écrit \(\mathcal{F}\) comme limite inductive filtrante de Modules de présentation finie \(\mathcal{F}_i\), les \(P_i\) correspondants forment un système inductif, et \(P = \varinjlim P_i\) convient, puisque \(\mathbb{V}(\varinjlim P_i) = \varprojlim \mathbb{V}(P_i)\)³⁵ .