Fonds Grothendieck, cote n° 93, pages 201–220

l'argument vient d'avant le lot ; les trois lignes de la page sont encadrées et biffées de traits obliques ~~Supposons que l'on ait S = \mathrm{Spec}\,\mathbb{F}_{p^{\nu}}. Alors on peut définir F_{X}^{(\nu)}, qui est un S-endomorphisme, et qui agit donc sur \underline{\omega}.~~

Et on trouve donc que l'endomorphisme F_{*}^{(\nu)} de \underline{\omega} F^{(\nu)}_{X/S*} n'est autre que l'homom. transposé, associé à l'endomorphisme F^{(\nu)}_{X/S} = (F_{X})^{\nu} de X/S, [~~qui~~ qui est transposé de l'endomorphisme F^{(\nu)\,*}_{X/S} sur \mathbb{R}^{n-1}f_{*}(\underline{\Omega}^{n-1}_{X/S}), grâce à X est propre et lisse sur S …].

~~Plaçons-nous dans le~~ Notons que nous avons la suite exacte 0 \to \underline{\omega} \to \mathcal{H}^{1}_{\mathrm{DR}}(X/S) \to R^{1}f_{*}(\underline{\mathcal{O}}_{X/S}) sous \underline{\omega} : « = \mathcal{H}^{1,0}_{\mathrm{DR}}(X/S) » ; devant R^{1}f_{*}, un symbole biffé [avec un 0 à droite dans les cas favorables), et que l'homom. de Cartier associé à F^{(\nu)}_{X/S} ~~est~~ compatible aux homom. de \equiv nous est \mathcal{H}^{1}_{\mathrm{DR}}(X/S) \to \mathcal{H}^{1}_{\mathrm{DR}}(X^{(p^{\nu}/S)}) \simeq \mathcal{H}^{1}_{\mathrm{DR}}(X/S)^{(p^{\nu})}, au-dessus du dernier \simeq, de sa main : « ss réserve » (qui est un endomorphisme si S = \mathrm{Spec}\,\mathbb{F}_{p^{\nu}}). ~~Donc~~

D'ailleurs, dans ce cas et si X/S est propre, , est bien de Cartier induit zéro sur \mathcal{H}^{1}_{\mathrm{DR}}(X/S)/\underline{\omega} \simeq R^{1}f_{*}(\underline{\mathcal{O}}_{X/S}), ~~il en résulte \equiv une sur les~~ (conjecture de transposition), donc si S = \mathrm{Spec}\,\mathbb{F}_{p^{\nu}}, les ~~valeurs qui sont \neq 0~~ celles valeurs propres des ~~valeurs~~ () celles qui sont \neq 0 dans \mathcal{H}^{1}_{\mathrm{DR}}(X/S) sont aussi mod p les valeurs propres dans \underline{\omega} et aussi les valeurs propres de Frobenius \ell-adique (\ell \neq p) ~~ou cristallin~~ ou cristalline qui sont des unités p-adiques (Katz).

On veut donc des conditions sur les \omega telles que \tilde{C}\omega = \tilde{\omega} la phrase se poursuit en haut de la page 203

suite de la page 202 ; le développement se clôt ici (« Fin de parenthèse ») qui sont loc. des diviseurs logarithmiques, permettant de construire des ~~valeurs~~ valeurs propres de F^{\nu}_{X/S} ~~qui sont~~ ( \ell-adiques, ou cristallins) qui sont \equiv 1 \ (p).

Plus précisément, il existe \omega avec \tilde{C}\omega = \tilde{\omega}, \omega \neq 0, ssi il existe une valeur propre de Frobenius congrue à 1 mod p. La dim de l'espace ~~des~~ engendré par (sur k !) les \omega tels que \tilde{C}\omega = \tilde{\omega} est égale au nb des valeurs propres de Frobenius congrues à 1 mod p. C'est aussi égal à la dim sur \mathbb{F}_p du groupe ~~des points de~~ ~~fonction~~ {}_{p}\mathbf{A}(k), \mathbf{A} la jacobienne.

Fin de parenthèse ..

Variantes concernant des foncteurs de Picard relatifs

titre pris sur la page 204, une chemise portant de sa main, en haut à droite, « Variantes concernant des foncteurs de Picard relatifs », puis, souligné, « Att. : »

Soit f : X \to S un morphisme de schémas, f^{\mathrm{fl}} le morphisme correspondant des sites fppf.

① P^{c} = P^{c}_{X/S} : (\mathrm{Sch})^{\circ}_{/S} \to (\mathrm{Ab}), ~~défini par~~ faisceau associé au préfaisceau S' \mapsto classes de modules inversibles sur X_{S'}, munis d'une connexion rel. /S'. ~~P^{c}(S') =~~ (1.1) \qquad 0 \to f^{\mathrm{fl}}_{*}(\underline{\Omega}^{1}_{X/S})/\mathrm{Im}\, f^{\mathrm{fl}}_{*}(\underline{\mathcal{O}}^{*}_{X/S}) \to P^{c}_{X/S} \to \underline{\mathrm{Pic}}_{X/S} \to R^{1}f^{\mathrm{fl}}_{*}(\underline{\Omega}^{1}_{X/S}) f^{\mathrm{fl}}_{*}(\underline{\mathcal{O}}^{*}_{X/S}) \to f^{\mathrm{fl}}_{*}(\underline{\Omega}^{1}_{X/S}) donnée par \varphi \mapsto d\varphi/\varphi. C'est , une si propre et à fibres géom. connexes, p. ex. propre

NB Si f ~~propre et plat~~ cohérent, et \underline{\Omega}^{1}_{X/S} cohom. plat/S en dim 0, ou R^{1}f_{*}(\underline{\Omega}^{1}_{X/S}) commute au chgt de base, alors pour tout schéma abélien \mathbf{A} sur S, tout homom. B \to R^{1}f^{\mathrm{fl}}_{*}(\underline{\Omega}^{1}_{X/S}) est nul. Donc si u : B \to \underline{\mathrm{Pic}}_{X/S}, on a u(B) \subset \mathrm{Im}(P^{c} \to \underline{\mathrm{Pic}}_{X/S}), d'où suite exacte (1.2) \qquad 0 \to f^{\mathrm{fl}}_{*}(\underline{\Omega}^{1}_{X/S}) \to u^{*}(P^{c}) \to B \to 1 Ceci s'applique en particulier si f propre sur S, et , et si B = \underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{X/S} est un schéma abélien. Alors, u étant l'inclusion, on aura u^{*}(P^{c}) = (P^{c})^{0}, et on trouve suite exacte (1.3) \qquad 0 \to f^{\mathrm{fl}}_{*}(\underline{\Omega}^{1}_{X/S}) \to (P^{c}_{X/S})^{0} \to B \to 0, \qquad B = \underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{X/S} Re NB , et s'il lisse, cas, fonctoriel en X/S, et commute au chgt de base.

② P^{ci} = P^{ci}_{X/S}, sous-groupe de P^{c}_{X/S}, faisceau associé au préfaisceau C' \mapsto classes des modules inversibles sur X_{S'}, munis d'une connexion rel. à S' qui est à courbure nulle.

On a donc (2.1) \qquad 0 \to P^{ci}_{X/S} \to P^{c}_{X/S} \to f^{\mathrm{fl}}_{*}(Z^{2}_{X/S}) \subset f^{\mathrm{fl}}_{*}(\Omega^{2}_{X/S}) « courbure », avec un trait vers le terme f^{\mathrm{fl}}_{*}(Z^{2}_{X/S}) ou, si on préfère, dans le cas où X est lisse sur S, \begin{aligned} (2.2) \qquad 0 &\to f^{\mathrm{fl}}_{*}(\underline{Z}^{1}_{X/S})/\mathrm{Im}\, f^{\mathrm{fl}}_{*}(\underline{\mathcal{O}}^{*}_{X/S}) \to P^{ci}_{X/S} \to \underline{\mathrm{Pic}}_{X/S} \\ &\to \mathbb{R}^{2}f^{\mathrm{fl}}_{*}(\mathcal{O} \to \underline{\Omega}^{1}_{X/S} \to \underline{\Omega}^{2}_{X/S} \to \cdots) \end{aligned} [Dans le cas non lisse, on remplace le dernier terme par le faisceau associé : S' \mapsto \mathbb{R}^{2}f_{S',\mathrm{cris}}(\mathcal{J}_{X_{S'}/S'}) ← idéal d'augmentation de (X_{S'}/S')_{\mathrm{cris}} ] au-dessus du passage biffé, « cris » de sa main

remis dans 1°) Cas particulier. Plaçons-nous dans le cas où \underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{X/S} est un schéma abélien B, dont le dual est noté A^{0} = \underline{\mathrm{Alb}}^{0}_{X/S}. On a alors X \to \underline{\mathrm{Alb}}^{1}_{X/S} = A^{1} (torseur sous A^{0}), et supposons que X \to A^{1} induise un isom.

f^{\mathrm{fl}}_{*}(\Omega^{1}_{X/S}) \leftarrow g^{1\,\mathrm{fl}}_{*}(\Omega^{1}_{A^{1}/S}).

Il suffit pour ceci que \Omega^{1}_{X/S} ~~soit~~ plat et coh. plat en dim 0, et que les H^{0}(A^{1}_{s}, \Omega^{1}_{A^{1}_{s}/s}) \to H^{0}(X_{s}, \Omega^{1}_{X_{s}/s}) soient bijectifs. C'est le cas en particulier si X est un torseur sous schéma abélien, si X est une courbe relative f propre et plat propre et lisse. Alors P^{c0}_{X/S} de (A, B) est une extension du schéma abélien B par un fibré vectoriel, et constitue l'extension universelle [compte tenu que B^{*} \simeq A, \quad \underline{\mathrm{Lie}}(B^{*})^{\vee} = \underline{\mathrm{Lie}}(A)^{\vee} \simeq g^{0}_{*}(\Omega^{1}_{A/S}) \simeq g^{1}_{*}(\Omega^{1}_{A^{1}/S}) \simeq f_{*}(\Omega^{1}_{A^{1}/S}) \ldots après B^{*} \simeq A, une expression biffée d'indice B^{*} ; le dernier terme, lu f_{*}(\Omega^{1}_{A^{1}/S}), est peut-être f_{*}(\Omega^{1}_{X/S}) ; le crochet ne se ferme pas sur la page

Considérons la suite exacte (1.2), où u^{*}(P^{c}_{X/S}) \to P^{c}_{X/S}, je dis qu'elle se factorise (2.3) \qquad u^{*}(P^{c}_{X/S}) \to P^{ci}_{X/S}, ~~En effet~~ dès que l'on a (2.4) \qquad f^{\mathrm{fl}}_{*}(\Omega^{1}_{X/S}) = f^{\mathrm{fl}}_{*}(\underline{Z}^{1}_{X/S}) (identité, ~~des différentielles~~ condition dès f^{\mathrm{fl}}_{*}(\underline{Z}^{1}_{X/S}) ~~est faisceau~~ noyau des les f^{\mathrm{fl}}_{*}(\underline{\Omega}^{1}_{X/S}) \to f^{\mathrm{fl}}_{*}(\underline{\Omega}^{2}_{X/S}))], et que ~~u^{*}(P^{c}) \to~~ ~~En effet,~~ (2.5) \qquad f^{*}V = f_{*}(\underline{\Omega}^{2}_{X/S}) est représentable par un module quasi-cohérent, représentable par un fibré vectoriel. devant (2.5), un symbole biffé au-dessus de f^{*} En effet, \mathrm{Hom}(B, V \struck{\ill{}}) = 0, donc \mathrm{Hom}(u^{*}(P^{c}), V) \to \mathrm{Hom}(f^{\mathrm{fl}}_{*}(\Omega^{1}_{X/S})/-, V) est injectif, donc est la différentielle f^{\mathrm{fl}}_{*}(\Omega^{1}_{X/S}) \to f^{\mathrm{fl}}_{*}(\Omega^{2}_{X/S}), qui est supposée nulle …

En particulier, sous les conditions favorables (1.2), (2.4) et (2.5), on a (2.6) \qquad (P^{c0}) \subset P^{ci} \quad \text{i.e.} \quad P^{c0} = P^{ci0}. un grand « 2 » dans la marge gauche, à la hauteur de (2.4)

③. Supposons que p.1_{S} = 0 (p un nb premier). On définit alors P^{cip}_{X/S} \subset P^{ci}_{X/S} le sous-faisceau correspondant aux modules à connexion ~~compatibles aux puiss. p-ièmes~~ ~~faisceaux~~ . Supposons que X/S ait loc. une p-base, donc :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] (3.1) \quad 0 \arrow[r] & P^{cip}_{X/S} \arrow[r] & P^{ci}_{X/S} \arrow[r, "K"] & f^{\mathrm{fl}}_{*}(\Omega^{1\otimes p}_{X/S}) \end{tikzcd}

au-dessus de la flèche K : « p-courbure » ; sous elle : « tenseur de p-courbure = défaut de comp. aux puissances p-ièmes »

Question. Soit E module à connexion à courbure nulle ~~intégrable~~ sur X/S en car. p > 0. Peut-on définir un tenseur de p-courbure sur X, qui soit K \in \Gamma(X, \underline{\mathrm{End}}(E) \otimes (\Omega^{1}_{X/S})^{\otimes p}) \ ?

On a aussi une ~~homomorphie~~ suite exacte, où \underline{\mathrm{Pic}}^{ci}_{X/S} désigne l'image de P^{ci}_{X/S} \to \underline{\mathrm{Pic}}_{X/S} (cf. (2.2) dans le cas lisse) \begin{aligned} (3.2) \qquad 0 &\to \underbrace{[f^{\mathrm{fl}}_{*}(\underline{\mathcal{O}}^{*}_{X/S}) \to f^{\mathrm{fl}}_{*}(\underline{Z}^{1}_{X/S}) \to f^{\mathrm{fl}}_{*}(\underline{\Omega}^{1\otimes p}_{X/S})]}_{\underline{\mathrm{Cart}}_{X/S} \text{ « faisceau de Cartier »}} \to P^{cip}_{X/S} \\ &\to \underline{\mathrm{Pic}}^{ci}_{X/S} \to f^{\mathrm{fl}}_{*}(\Omega^{1\otimes p}_{X/S})/\mathrm{Im}\, f^{\mathrm{fl}}_{*}(\underline{Z}^{1}_{X/S}), \end{aligned} au-dessus du crochet : « (défaut d'exactitude dans le milieu) » où la flèche K_{0} : f^{\mathrm{fl}}_{*}(\underline{Z}^{1}_{X/S}) \to f^{\mathrm{fl}}_{*}(\underline{\Omega}^{1\otimes p}_{X/S}) est donnée par (3.3) \qquad K_{0}(\omega) = \omega^{\otimes p} - F^{*}_{X/S}(\tilde{C}\omega) \quad \text{pour } d\omega = 0, sous \tilde{C} : « opération de Cartier »

NB K_{0} est additif mais n'est pas linéaire, c'est la somme d'une opération p-linéaire et d'une opération linéaire.

Ceci dans le cas de l'existence locale d'une p-base, on sait qu'il y a équivalence entre les modules ~~connexions~~ p. ex. E sur X, munis d'une connexion à courbure et p-courbure nulles, i.e. sur E équivalente à la donnée d'une descente de E : \Lambda = ~~\mathcal{O}^{p}_{X}~~ \underline{\mathcal{O}}_{S}[\underline{\mathcal{O}}_{X}^{p}] \simeq \underline{\mathcal{O}}_{X^{(p/S)}}/\mathcal{J}, où \mathcal{J} est le noyau de \underline{\mathcal{O}}_{X^{(p/S)}} \to F_{X/S*}(\underline{\mathcal{O}}_{X}), ~~et qui~~ ou aux données E équivalent à celles des modules quasi-cohérents sur (X^{(p/S)}, \Lambda) \simeq (X, \underline{\mathcal{O}}_{X}^{p}). Sauf (X^{p/S\,!}) est un schéma, on trouve donc que P^{cip}_{X/S} est le faisceau associé au préfaisceau S' \mapsto \mathrm{Pic}(X_{S'}^{p/S'\,!}).

Si en particulier pour tout S', X_{S'}^{p/S'} \xleftarrow{\sim} X_{S'}^{p/S'\,!}, ce qui est le cas en particulier si X/S est lisse, on trouve donc (3.4) \qquad P^{cip}_{X/S} \simeq \underline{\mathrm{Pic}}_{X^{(p/S)}/S} \simeq \underline{\mathrm{Pic}}_{X/S}^{(p/S)} dans le deuxième terme, l'exposant (p/S) de X a été surchargé ; un mot au-dessus L'homomorphisme canonique P^{cip}_{X/S} \to \underline{\mathrm{Pic}}_{X/S} n'est autre que la Verschiebung (3.5) \qquad V : \underline{\mathrm{Pic}}^{p/S}_{X/S} \to \underline{\mathrm{Pic}}_{X/S} [ainsi qu'il faudrait définir V avec une généralité suffisante pour que ce qui précède ait un sens …]. On trouve donc, grâce à (3.2), un isom. (3.6) \qquad \mathrm{Ker}(V_{\underline{\mathrm{Pic}}_{X/S}}) \simeq \left\{ \begin{array}{l} \text{faisceau des sections de } f^{\mathrm{fl}}_{*}(\underline{\Omega}^{1}_{X/S}) \text{ telles} \\ \text{que } d\omega = 0,\ C\omega = \tilde{\omega}, \text{ modulo les sous-} \\ \text{faisceau des } df/f,\ f \text{ dans } f^{\mathrm{fl}}_{*}(\underline{\mathcal{O}}^{*}_{X/S}) \end{array} \right. au-dessus de « sous-faisceau », un mot biffé (formes) remplacé par « sections »

Quand on inverse sur (\mathrm{Sch})/S les morphismes radiciels [en fait, il suffit certains très particuliers] , de sorte que \underline{\mathrm{Pic}}_{X/S} \xrightarrow{F} \underline{\mathrm{Pic}}^{p/S}_{X/S} devient inversible, les premiers termes devenant p^{\underline{\mathrm{Pic}}_{X/S}} ….

Comparaison ~~des~~ P^{cip\,0}_{X/S} et P^{cip\,0}_{\mathrm{Alb}^{0}_{X/S}}. Plaçons-nous pour simplifier dans le cas X/S lisse, de sorte que (3.4) est valable, et supposons que \underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{X/S} soit un schéma abélien B. Comme aussi (\underline{\mathrm{Pic}}_{X/S})^{(p/S)\,0} = (\underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{X/S})^{p/S} = B^{(p/S)}, et qu'on a ainsi B \simeq \underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{A^{1}/S} = \underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{A/S},

on trouve que (3.7) \qquad P^{cip\,0}_{X/S} \xleftarrow{\sim} P^{cip\,0}_{A^{1}/S} \simeq P^{cip\,0}_{A^{0}/S} \simeq B^{(p/S)} i.e. on trouve la même chose que dans le cas d'un schéma abélien. Remarque D'ailleurs, faisant maintenant X = A, on sait que B^{cp0}, regardé comme extension de B par un groupe ~~\mathrm{Ker}\, V~~ \alpha_{B} = \mathrm{Ker}(V_{B} : B^{p/S} \to B), qui est un groupe affine sur S annulé par V, est l'extension universelle de cette nature [dès que S est le spectre d'un corps parfait]. Comme D(\alpha_{B}) = \mathrm{Ker}\, F_{B^{*}} F_{A} est un groupe infinitésimal de hauteur 1, dont l'algèbre de Lie est \underline{\mathrm{Lie}}(B^{*}), et l'on sait que \underline{\mathrm{Lie}}(B^{*})^{\vee} est l'analogue vectoriel des groupes finis ; donc voit que extensions vectorielles universelles est déduite, par \alpha_{B} \to enveloppe vectorielle \simeq \underline{\mathrm{Lie}}(B^{*})^{\vee}, de l'extension universelle par les groupes annulés par V. la phrase est très incertaine : la lecture ne garantit que les formules

4. Supposons que p soit nilpotent sur S, sans plus. Soit P^{cin} \subset P^{ci}, défini par les connexions à courbure nulle nilpotentes. Si X/S est lisse, et les valeurs des foncteurs P^{cin} sur les S' réduits sont ~~S réduit, alors il s'agit de connexions~~ les mêmes que ceux de P^{cip} ; ~~plus généralement~~ plus généralement

Pour simplifier, supposons S loc. noeth., donc les S' aussi, tous (OB ) sont (i.e. de type fini sur S) dans l'énoncé nilpotents ~~(sur S)~~. On trouve que, une connexion à courbure nulle sur un Mod. inversible sur X_{S'} est à connexion nilpotente ssi, en restreignant sur S'_{\mathrm{red}}, on trouve une connexion compatible aux puissances p-ièmes. On trouve que P^{cin}_{X/S} est l'image inverse dans P^{ci}_{X/S} des sous-faisceaux \overline{f^{\mathrm{fl}}_{*}(\Omega^{1\otimes p}_{X/S})} \subset f^{\mathrm{fl}}_{*}(\Omega^{1\otimes p}_{X/S}), ce qui est le « plus grand sous-groupe \pmformel connexe » …. On trouve ainsi (4.1) \qquad 0 \to P^{cip} \to P^{ci}_{X/S} \to f^{\mathrm{fl}}_{*}(\Omega^{1\otimes p}_{X/S})/\overline{f^{\mathrm{fl}}_{*}(\Omega^{1\otimes p}_{X/S})} l'exposant du premier terme se lit « cip » ; on attendrait P^{cin} et (3.1) devient (4.2) \qquad 0 \to P^{cip}_{X/S} \to P^{cin}_{X/S} \to \overline{f^{\mathrm{fl}}_{*}(\Omega^{1\otimes p}_{X/S})}, sous P^{cip}_{X/S} : « \simeq \underline{\mathrm{Pic}}^{p/S}_{X/S} » qui explicite P^{cin} comme extension d'un ss-groupe d'un groupe \pmformel par le groupe P^{cip}, qui est bien compris … ~~On peut aussi se proposer d'étudier~~

On conclut (4.3) \qquad 0 \to P^{cip\,0}_{X/S} \to P^{cin\,0}_{X/S} \to \overline{f^{\mathrm{fl}}_{*}(\Omega^{1\otimes p}_{X/S})} sous P^{cip\,0}_{X/S} : « \simeq \underline{\mathrm{Pic}}^{0\,p/S}_{X/S} » ~~On peut aussi étudier le noyau , et~~

Étudions le noyau \mathcal{V} de P^{cin}_{X/S} \to \underline{\mathrm{Pic}}_{X/S}, (4.4) \qquad 0 \to \mathcal{V} \to P^{cin}_{X/S} \to \underline{\mathrm{Pic}}_{X/S} c'est le noyau de f^{\mathrm{fl}}_{*}(\underline{Z}^{1}_{X/S})/\mathrm{Im}\, f^{\mathrm{fl}}_{*}(\mathcal{O}^{*}_{X}) \to f^{\mathrm{fl}}_{*}(\Omega^{1\otimes p}_{X/S})/\overline{f^{\mathrm{fl}}_{*}(\Omega^{1\otimes p}_{X/S})}, donc il admet une dévissage en (4.5) \qquad 0 \to \underline{\mathrm{Cart}}_{X/S} \to \mathcal{V} \to \overline{f^{\mathrm{fl}}_{*}(\Omega^{1\otimes p}_{X/S})}

où \underline{\mathrm{Cart}}_{X/S} est le faisceau de Cartier déjà envisagé dans (3.2). Regardons le sous-foncteur de P^{cin}_{X/S} image inverse de \underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{X/S} et supposons que \underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{X/S} est V-surjectif (p. ex. un schéma abélien), de sorte que (\underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{X/S})^{p/S} \to \underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{X/S} est un épimorphisme. On trouve donc une suite exacte (4.6) \qquad 0 \to \mathcal{V} \to [P^{cin}_{X/S}]^{0} \to \underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{X/S} \to 0 à l'exposant 0 du crochet : « (image inverse de \underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{X/S}) » ; dans (\underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{X/S})^{p/S}, un exposant biffé

NB Une façon commode de dire que P^{cin}_{X/S} est connexe, c'est de dire que P^{cin}_{X/S} est le complété formel de P^{cip}_{X/S} \simeq \underline{\mathrm{Pic}}^{(p/S)}_{X/S} \subset P^{ci} dans P^{ci}. ~~Dans le~~ En cas favorable où P^{ci\,0} est l'extension vectorielle universelle E d'un schéma abélien B par un groupe vectoriel V, on trouve que ~~P^{cin\,0}~~ par P^{cin\,0}_{X/S} \supset B^{p/S}, donc B^{p/S} \subset E, et on ~~trouve~~ trouve le complété formel ~~induit~~ le long de B^{p/S}. Sa connaissance est donc nettement plus précise que celle de \overline{E}, complété formel de E le long de sa section unité, i.e. le groupe formel associé à E.

c^{1}(L) style connexions et opération de Cartier

titre pris sur la page 213, une chemise portant ces seuls mots de sa main, soulignés ; le mot lu « connexions » est douteux

X/S lisse, on considère H^{*}_{\mathrm{DR}}(X/S) = \mathbb{H}^{*}(X, \Omega^{\bullet}_{X/S}) et \mathbb{H}^{*}(X, {}^{1}\Omega_{X/S}), où {}^{1}\Omega_{X/S} = [\Omega^{1}_{X/S} \to \Omega^{2}_{X/S} \to \cdots] (\Omega^{1} en degré 1). On a suites spectrales aboutissant : l'une et l'autre la suite spectrale, donnant une de suites exactes en bas degrés ; dans la marge gauche, le quadrant (p, q) de la suite spectrale, les points 1, 2, \ldots marqués sur l'axe des p, avec la légende « suite spectrale pour \mathbb{H}^{*}(X, {}^{1}\Omega_{X/S}) »

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] 0 \arrow[r] & {}'E^{20}_{2} \arrow[r] \arrow[d, "\simeq"] & \mathbb{H}^{2}(X, {}^{1}\Omega^{*}_{X/S}) \arrow[r] \arrow[d] & {}'E^{11}_{2} \arrow[r] \arrow[d] & {}'E^{30}_{2} \arrow[d, "\simeq"] \\ {} & H^{2}(H^{0}(X, \Omega^{*})) \arrow[r] & H^{2}_{\mathrm{DR}}(X) \arrow[r] & H^{1}(H^{1}(X, \Omega^{*})) \arrow[r] & E^{30}_{2} \end{tikzcd}

au-dessus de \mathbb{H}^{2}(X, {}^{1}\Omega^{*}_{X/S}), « c(\underline{L}) \in » ; au-dessus de {}'E^{11}_{2}, « \simeq \mathrm{Ker}(H^{1}(X, \Omega^{1}_{X/S}) \to H^{1}(X, \Omega^{2}_{X/S})) » ; la flèche verticale sous {}'E^{11}_{2} porte un mot écrit à l'envers, « surj ». Au-dessus du schéma, {}'E^{10}_{2} = Z^{1}(X, \Omega^{*}_{X/S}) \simeq \mathbb{H}^{1}(X, {}^{1}\Omega^{*}_{X/S}), avec une flèche vers la suite exacte de la ligne du bas, qui commence plus à gauche : \begin{aligned} 0 &\to H^{1}(H^{0}(X, \Omega^{*}_{X/S})) \to H^{1}_{\mathrm{DR}}(X/S) \to \mathrm{Ker}[H^{1}(X, \mathcal{O}_{X}) \xrightarrow{d} H^{1}(X, \Omega^{1}_{X})] \\ &\to H^{2}(H^{0}(X, \Omega^{*})) \to H^{2}_{\mathrm{DR}}(X) \to H^{1}(H^{1}(X, \Omega^{*})) \to E^{30}_{2} \end{aligned} avec E^{10}_{2} = \frac{Z^{1}(X, \Omega^{*}_{X/S})}{\mathrm{Im}\, C^{0}(X, \Omega^{*}_{X/S})}, \quad E^{20}_{2} = \frac{Z^{2}(X, \Omega^{*}_{X/S})}{\mathrm{Im}\, C^{1}(X, \Omega^{*}_{X/S})}, E^{11}_{2} = \frac{\mathrm{Ker}[H^{1}(X, \Omega^{1}) \to H^{1}(X, \Omega^{2})]}{\mathrm{Im}[H^{1}(X, \Omega^{0}) \to H^{1}(X, \Omega^{1})]}, et E^{01}_{2} le noyau \mathrm{Ker}[H^{1}(X, \mathcal{O}_{X}) \to H^{1}(X, \Omega^{1}_{X})].

Pour que \exists connexion intégrable sur \underline{L}, module inversible donné sur X, il faut et il suffit que l'obstruction dans \mathbb{H}^{2}(X, {}^{1}\Omega^{*}_{X/S}) soit nulle, i.e.

ⓐ c^{1}_{\mathrm{Hdg}}(L) \in H^{1}(X, \Omega^{1}_{X/S}) nulle

ⓑ deuxième obstruction dans H^{2}(H^{0}(X, \Omega^{*})) = \dfrac{Z^{2}(X, \Omega^{*}_{X/S})}{\mathrm{Im}\, C^{1}(X, \Omega^{*}_{X/S})} soit nulle.

NB En car. p > 0, l'obstruction est dans un \mathbb{F}_{p}-vectoriel, comme tué par p. Donc pour de p\,\mathrm{Pic}(X) l'obstruction est nulle. On trouve, si X est propre sur S local, que l'obstruction est nulle ~~dans~~ si \xi est dans \mathrm{Pic}^{\tau}(X/S) (à vérifier …). un double trait vertical dans la marge gauche, le long de ce NB

Supposons l'obstruction en question nulle, S en car. p > 0, alors l'indétermination pour trouver la connexion intégrable est un Z^{1}(X, \Omega^{*}_{X/S}), i.e. c'est une 1-forme fermée fermée (d\omega = 0). ~~À quelle~~ ~~Donc~~ D'autre part, le défaut de compatibilité aux puiss. p-ièmes est ~~un homomorphisme~~ un homom. additif et p-homogène \underline{V}_{X/S} \to \underline{\mathrm{End}}(\underline{L}), i.e. un homom. v : \underline{V}^{(p)}_{X/S} \to \underline{\mathrm{End}}(L), i.e. ici une section de \underline{\Omega}^{1\,(p)}_{X/S}. Cette section, si on remplace la connexion \theta par \theta' = \theta + \omega, est remplacée par \begin{aligned} \text{\struck{$\xi \mapsto$}}\ v'(\xi) &= v(\xi) + \underline{\omega(\xi)^{p} + \theta_{\xi}^{p-1}\omega(\xi) - \omega(\xi^{p})} \\ &= v(\xi) + \underbrace{\omega(\xi)^{p} - \langle C\omega, \tilde{\xi} \rangle 1_{\underline{L}}} \end{aligned} sous l'accolade : « opération de Cartier » ; dans la marge gauche : « rappelle »

page écrite dans la largeur de la feuille et biffée tout entière de deux longs traits obliques ; on la transcrit sans marquer la biffure ligne par ligne ; la lecture est très incertaine La catégorie des couples S \xleftarrow{\varphi_{0}} U_{0} \xrightarrow{f} U \qquad (S \text{ lisse}) avec disons f un monomorphisme, admet des produits (: le produit de deux couples (U_{0}, U) et (V_{0}, V) est (U_{0} \times_{S} V_{0}, U \times V)). D'autre part le foncteur (U, U_{0}) \mapsto le faisceau associé sur D_{S} ( sur des sites C_{S} de C …) commute aux produits (plus généralement aux limites finies). Dans le cas (habituel !) où les foncteurs (U, U_{0}) \mapsto sont « ind-représentables » C à l'aide de indexés par la famille des U_{0} en U …), on trouve donc des foncteurs produits ind-représentables, en particulier S \times S ind-représentable par les Abstraction, et pour cette des produits, « »

suite de la page 214

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] X \arrow[r, "F_{X/S}"] \arrow[d] & X^{p/S} \arrow[r] \arrow[dl] & X \arrow[dl] \\ S \arrow[r] & S & \end{tikzcd}

Considérons F^{*}_{X/S}(C\omega) \in \Gamma F^{*}_{X/S}\underline{\Omega}^{1}_{X^{p/S}/S} \simeq \Gamma \underline{\Omega}^{1\,(p)}_{X/S}, on a alors v'(\xi) = v(\xi) + \langle \omega^{\otimes p} - F^{*}_{X/S}(C\omega), \xi^{\otimes p} \rangle, \quad \text{i.e.\ \uncertain{intrinsèquement}} v' = v + \underbrace{(\omega^{\otimes p} - F^{*}_{X/S}C\omega)}_{F^{*}_{X/S}(\tilde{\omega} - C\omega)} Donc la nouvelle obstruction se trouve dans \Gamma(X, \Omega^{1\,\otimes p}_{X/S})/\mathrm{Im}[Z^{1}(X, \Omega^{*}_{X/S}) \to \Gamma(X, \Omega^{1\,\otimes p}_{X/S})] l'homom. étant Z^{1}(X, \Omega^{*}_{X/S}) \to \Gamma(X, \Omega^{1\,\otimes p}_{X/S}), \qquad \omega \mapsto F^{*}_{X/S}(\tilde{\omega} - C\omega) = \omega^{\otimes p} - F^{*}_{X/S}(C\omega) « 2 », en grand, dans la marge droite

Supposons X propre sur S, et , on localisant sur S, un foncteur \underline{\mathrm{Pic}}^{\mathrm{conn\,int}}_{X/S} \to \underline{\mathrm{Pic}}_{X/S} au-dessous, une suite exacte en partie biffée (le premier terme, biffé, ), dont reste lisible (f_{*}\underline{Z}^{1}_{X/S}) \xrightarrow{\gamma} f_{*}(\Omega^{1\,\otimes p}_{X/S}), \qquad f_{*}\underline{Z}^{1}_{X/S} = \mathrm{Ker}[f_{*}(\Omega^{1}_{X/S}) \xrightarrow{d} f_{*}(\Omega^{2}_{X/S})] entouré, relié à \gamma : « pas linéaire ! » plusieurs mots biffés sous le \underline{\mathrm{Pic}} (« connexions intégrables »)

Supposons que a) \underline{\Omega}^{1}_{X/S}, \underline{\Omega}^{2}_{X/S}, \Omega^{1\,\otimes p}_{X/S} sont coh. plats sur S en dim 0, b) Coker d^{1} et \mathrm{Im}\, d^{1} sont plats sur S, où d^{1} : f_{*}(\underline{\Omega}^{1}_{X/S}) \to f_{*}(\underline{\Omega}^{2}_{X/S}) [OK si X de dim relative 1 sur S] c) le \mathrm{Ker}\, \gamma ~~est~~ plat sur S.

Alors le (ci) est représentable par un fibré vectoriel la page s'arrête sur cette phrase

page écrite dans la largeur de la feuille, barrée tout entière de deux longs traits courbes ; on la transcrit sans marquer la biffure ligne par ligne ; la lecture est très incertaine Associé à un faisceau F sur \mathcal{D}_{S} défini, pour \tau = (S \xleftarrow{\varphi_{0}} T_{0} \xrightarrow{i} J),

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] S & U_{0} \arrow[l, "\psi_{0}"'] \arrow[d, "j"'] & T_{0} \arrow[l, dashed, "u_{0}"'] \arrow[d, "i"] \arrow[ll, bend right=30, "\varphi_{0}"'] \\ {} & U & T \arrow[l, dashed, "u"'] \end{tikzcd}

F(\tau) = ensemble des homom. u : T \to U tels que ceci se factorise par u_{0}, tels que \psi_{0} u_{0} = \varphi_{0} (AB non nécessairement) infinitésimaux de [Si les voisinages U_{0}^{(n)} de U_{0} dans U existent (p. ex. ) et si \psi_{0} est lisse, U^{(n)} \to S sont \Sigma, alors le est ind-représentable \left( S \xleftarrow{\psi_{0}} U_{0} \xrightarrow{j^{(n)}} U^{(n)} \right), ]

foncteur F qui soit représentable par grâce à l'hypothèse , d'un faisceau sur \mathcal{D}_{S}, définie en faisceaux (\mathcal{D}_{S}) ! [

~~(C )~~ \equiv

Cas U = U_{0} = S, \psi_{0} = j = \mathrm{id}, produit (\mathcal{C} !!)].

On trouve le foncteur \tau \mapsto ensemble des \varphi prolongeant \varphi_{0}. d'une autre encre, en haut à droite, « \tau = (S \xleftarrow{\varphi_{0}} T_{0} \xrightarrow{i} J) » ; la lettre lue J y est sans doute le T du schéma

Connexion canonique de Gauss-Manin

titre pris sur la page 218, une chemise portant de sa main, en haut à droite, « Connexion canonique de Gauss-Manin », puis, souligné, « Att. 2. »

H^{\cdot}(\mathbb{R}^{\cdot} f_{*}(\Omega^{\cdot}_{X/S})) \to \text{\struck{$\mathbb{R}$}}\ \mathcal{H}^{0}(\Omega^{\cdot}_{X/S}) \ldots la formule s'interrompt ; lecture incertaine du premier terme

~~Compatibilités~~

3) 1) Compatibilités pour S, T, E variables

2) Cas des complexes de De Rham tronqués, filtration à 2 crans suites exactes de Hodge-De Rham et des transversalités de Griffiths et de Deligne.

3) Variantes stratifiées en car. 0 ~~(S/T ) par une~~ (cohomologie stratifiante au lieu de De Rham)

Variantes cristallines en car. quelconque. une accolade réunit les deux lignes du 3)

~~En général~~, Considérons alors une extension \underline{\Gamma}(G)/\underline{E} \longrightarrow Z^{1}C^{\cdot}_{S/R}(\underline{g}^{*})/d^{0}(\underline{E}) au-dessus de la flèche, un mot biffé ; sous \underline{\Gamma}(G) : « faisceau () des sections de G » ; sous Z^{1}C^{\cdot}_{S/R}(\underline{g}^{*}) : « complexe des diff. rel/R à coeff. dans \underline{g} »

D'autre part, d'après la théorie des Modules stratifiés, tout op. différentiel D : \underline{g} \to \mathcal{M} ~~définit un op. diff.~~ ~~factorise de façon canonique en~~ entouré, dans la marge gauche : « spécial à car. 0 ? » « à coeff. cts » \underline{g} \xrightarrow{c = d^{0}} Z^{1}C_{S/R}(\underline{g}) \xrightarrow{\tilde{D}} \mathcal{M}, \qquad \tilde{D} \circ d^{0} = D (\tilde{D} est loc. induit par un op. diff. sur \underline{g} \otimes \Omega^{1}_{S/R} ; \Delta, \Delta \circ d^{0} = D, et \Delta restreint à Z^{1}C_{S/R}(\underline{g}) …)

D définit donc une composée

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] \underline{\Gamma}(G) \arrow[r, "g^{-1}dg"] \arrow[rr, bend right=30, "\tilde{\tilde{D}}"'] & Z^{1}C_{S/R}(\underline{g}) \arrow[r, "\tilde{D}"] & \mathcal{M} \end{tikzcd}

le \tilde{\tilde{D}} est entouré ; la page s'arrête là, l'argument se poursuit sans doute au-delà du lot