Cote n° 93, pages 201–220

Cote n° 93 · batch 11 · pages 201–220 · Transcription · Connexions de Gauss-Manin et équations de Picard-Fuchs. Opération de Cartier : copies de tapuscrit annoté (s.d.), tiré à part (1981), notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [1972]-1981
Édition de démonstration

201l'argument vient d'avant le lot ; les trois lignes de la page sont encadrées et biffées de traits obliques Supposons que l'on ait $S = \mathrm{Spec}\,\mathbb{F}_{p^{\nu}}$. Alors on peut définir $F_{X}^{(\nu)}$, qui est un $S$-endomorphisme, et qui agit donc sur $\underline{\omega}$.

202Et on trouve donc que l'endomorphisme $F_{*}^{(\nu)}$ […] de $\underline{\omega}$ ⌜$F^{(\nu)}_{X/S*}$⌝ n'est autre que l'homom. transposé, associé à l'endomorphisme $F^{(\nu)}_{X/S} = (F_{X})^{\nu}$ de $X/S$, [qui qui est transposé de l'endomorphisme $F^{(\nu)\,*}_{X/S}$ sur $\mathbb{R}^{n-1}f_{*}(\underline{\Omega}^{n-1}_{X/S})$, grâce à $X$ est propre et lisse sur $S$ …].

Plaçons-nous dans le […] Notons que nous avons la suite exacte \[ 0 \to \underline{\omega} \to \mathcal{H}^{1}_{\mathrm{DR}}(X/S) \to R^{1}f_{*}(\underline{\mathcal{O}}_{X/S}) \] sous $\underline{\omega}$ : « $= \mathcal{H}^{1,0}_{\mathrm{DR}}(X/S)$ » ; devant $R^{1}f_{*}$, un symbole biffé […] [avec un $0$ à droite dans les cas favorables), et que l'homom. de Cartier associé à $F^{(\nu)}_{X/S}$ est compatible aux homom. de $\equiv$ nous est […] \[ \mathcal{H}^{1}_{\mathrm{DR}}(X/S) \to \mathcal{H}^{1}_{\mathrm{DR}}(X^{(p^{\nu}/S)}) \simeq \mathcal{H}^{1}_{\mathrm{DR}}(X/S)^{(p^{\nu})}, \] au-dessus du dernier $\simeq$, de sa main : « ss réserve » (qui est un endomorphisme si $S = \mathrm{Spec}\,\mathbb{F}_{p^{\nu}}$). Donc

D'ailleurs, dans ce cas ⌜et si $X/S$ est propre⌝, […], est bien de Cartier induit zéro sur $\mathcal{H}^{1}_{\mathrm{DR}}(X/S)/\underline{\omega} \simeq R^{1}f_{*}(\underline{\mathcal{O}}_{X/S})$, il en résulte $\equiv$ une sur les (conjecture de transposition), donc si $S = \mathrm{Spec}\,\mathbb{F}_{p^{\nu}}$, les valeurs qui sont $\neq 0$ ⌜celles⌝ valeurs propres des valeurs ([…]) ⌜celles qui sont $\neq 0$⌝ dans $\mathcal{H}^{1}_{\mathrm{DR}}(X/S)$ sont aussi ⌜mod $p$⌝ les valeurs propres dans $\underline{\omega}$ et aussi les valeurs propres de Frobenius $\ell$-adique ($\ell \neq p$) ou cristallin ou cristalline qui sont des unités $p$-adiques (Katz).

On veut donc des conditions sur les $\omega$ telles que $\tilde{C}\omega = \tilde{\omega}$ la phrase se poursuit en haut de la page 203

203suite de la page 202 ; le développement se clôt ici (« Fin de parenthèse ») […] qui sont loc. des diviseurs logarithmiques, permettant de construire des valeurs ⌜valeurs⌝ propres de $F^{\nu}_{X/S}$ qui sont ([…] $\ell$-adiques, ou cristallins) qui sont $\equiv 1 \ (p)$.

Plus précisément, il existe $\omega$ avec $\tilde{C}\omega = \tilde{\omega}$, $\omega \neq 0$, ssi il existe une valeur propre de Frobenius congrue à 1 mod $p$. La dim de l'espace des engendré par (sur $k$ !) les $\omega$ tels que $\tilde{C}\omega = \tilde{\omega}$ est égale au nb des valeurs propres de Frobenius congrues à 1 mod $p$. C'est aussi égal à la dim sur $\mathbb{F}_p$ du groupe des points de fonction ${}_{p}\mathbf{A}(k)$, $\mathbf{A}$ la jacobienne.

Fin de parenthèse ..

Variantes concernant des foncteurs de Picard relatifs

titre pris sur la page 204, une chemise portant de sa main, en haut à droite, « Variantes concernant des foncteurs de Picard relatifs », puis, souligné, « Att. : »

205Soit $f : X \to S$ un morphisme de schémas, $f^{\mathrm{fl}}$ le morphisme correspondant des sites fppf.

① $P^{c} = P^{c}_{X/S} : (\mathrm{Sch})^{\circ}_{/S} \to (\mathrm{Ab})$, défini par ⌜faisceau associé au préfaisceau⌝ $S' \mapsto$ classes de modules inversibles sur $X_{S'}$, munis d'une connexion rel. $/S'$. $P^{c}(S') =$ \[ (1.1) \qquad 0 \to f^{\mathrm{fl}}_{*}(\underline{\Omega}^{1}_{X/S})/\mathrm{Im}\, f^{\mathrm{fl}}_{*}(\underline{\mathcal{O}}^{*}_{X/S}) \to P^{c}_{X/S} \to \underline{\mathrm{Pic}}_{X/S} \to R^{1}f^{\mathrm{fl}}_{*}(\underline{\Omega}^{1}_{X/S}) \] $f^{\mathrm{fl}}_{*}(\underline{\mathcal{O}}^{*}_{X/S}) \to f^{\mathrm{fl}}_{*}(\underline{\Omega}^{1}_{X/S})$ donnée par $\varphi \mapsto d\varphi/\varphi$. C'est […], une si […] propre et […] à fibres géom. connexes, […] p. ex. propre […]

NB Si $f$ propre et plat ⌜cohérent⌝, et $\underline{\Omega}^{1}_{X/S}$ cohom. plat$/S$ en dim 0, ou $R^{1}f_{*}(\underline{\Omega}^{1}_{X/S})$ commute au chgt de base, alors pour tout schéma abélien $\mathbf{A}$ sur $S$, tout homom. $B \to R^{1}f^{\mathrm{fl}}_{*}(\underline{\Omega}^{1}_{X/S})$ est nul. Donc si […] […] $u : B \to \underline{\mathrm{Pic}}_{X/S}$, on a $u(B) \subset \mathrm{Im}(P^{c} \to \underline{\mathrm{Pic}}_{X/S})$, d'où suite exacte \[ (1.2) \qquad 0 \to f^{\mathrm{fl}}_{*}(\underline{\Omega}^{1}_{X/S}) \to u^{*}(P^{c}) \to B \to 1 \] Ceci s'applique en particulier si $f$ propre sur $S$, et […] […], et si $B = \underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{X/S}$ est un schéma abélien. Alors, $u$ étant l'inclusion, on aura $u^{*}(P^{c}) = (P^{c})^{0}$, et on trouve suite exacte \[ (1.3) \qquad 0 \to f^{\mathrm{fl}}_{*}(\underline{\Omega}^{1}_{X/S}) \to (P^{c}_{X/S})^{0} \to B \to 0, \qquad B = \underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{X/S} \] Re NB […], et s'il […] lisse, cas, […] fonctoriel en $X/S$, et commute au chgt de base.

② $P^{ci} = P^{ci}_{X/S}$, sous-groupe de $P^{c}_{X/S}$, faisceau associé au préfaisceau $C' \mapsto$ classes des modules inversibles sur $X_{S'}$, munis d'une connexion rel. à $S'$ qui est à courbure nulle.

206On a donc \[ (2.1) \qquad 0 \to P^{ci}_{X/S} \to P^{c}_{X/S} \to f^{\mathrm{fl}}_{*}(Z^{2}_{X/S}) \subset f^{\mathrm{fl}}_{*}(\Omega^{2}_{X/S}) \] « courbure », avec un trait vers le terme $f^{\mathrm{fl}}_{*}(Z^{2}_{X/S})$ ou, si on préfère, dans le cas où $X$ est lisse sur $S$, \[ \begin{aligned} (2.2) \qquad 0 &\to f^{\mathrm{fl}}_{*}(\underline{Z}^{1}_{X/S})/\mathrm{Im}\, f^{\mathrm{fl}}_{*}(\underline{\mathcal{O}}^{*}_{X/S}) \to P^{ci}_{X/S} \to \underline{\mathrm{Pic}}_{X/S} \\ &\to \mathbb{R}^{2}f^{\mathrm{fl}}_{*}(\mathcal{O} \to \underline{\Omega}^{1}_{X/S} \to \underline{\Omega}^{2}_{X/S} \to \cdots) \end{aligned} \] [Dans le cas non lisse, on remplace le dernier terme par […] le faisceau associé : $S' \mapsto \mathbb{R}^{2}f_{S',\mathrm{cris}}(\mathcal{J}_{X_{S'}/S'})$ ← idéal d'augmentation de $(X_{S'}/S')_{\mathrm{cris}}$ ] au-dessus du passage biffé, « cris » de sa main

remis dans 1°) Cas particulier. Plaçons-nous dans le cas où $\underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{X/S}$ est un schéma abélien $B$, dont le dual est noté $A^{0} = \underline{\mathrm{Alb}}^{0}_{X/S}$. On a alors $X \to \underline{\mathrm{Alb}}^{1}_{X/S} = A^{1}$ (torseur sous $A^{0}$), et supposons que $X \to A^{1}$ induise un isom.

$f^{\mathrm{fl}}_{*}(\Omega^{1}_{X/S}) \leftarrow g^{1\,\mathrm{fl}}_{*}(\Omega^{1}_{A^{1}/S})$.

Il suffit pour ceci que $\Omega^{1}_{X/S}$ soit ⌜plat et⌝ coh. plat en dim 0, et que les […] $H^{0}(A^{1}_{s}, \Omega^{1}_{A^{1}_{s}/s}) \to H^{0}(X_{s}, \Omega^{1}_{X_{s}/s})$ soient bijectifs. C'est le cas en particulier si $X$ est un torseur sous schéma abélien, […] si $X$ est une courbe relative ⌜[…] $f$ propre et plat […]⌝ propre et lisse. Alors $P^{c0}_{X/S}$ ⌜de $(A, B)$⌝ est une extension du schéma abélien $B$ par un fibré vectoriel, et […] constitue l'extension universelle [compte tenu que \[ B^{*} \simeq A, \quad \underline{\mathrm{Lie}}(B^{*})^{\vee} = \underline{\mathrm{Lie}}(A)^{\vee} \simeq g^{0}_{*}(\Omega^{1}_{A/S}) \simeq g^{1}_{*}(\Omega^{1}_{A^{1}/S}) \simeq f_{*}(\Omega^{1}_{A^{1}/S}) \ldots \] après $B^{*} \simeq A$, une expression biffée […] d'indice $B^{*}$ ; le dernier terme, lu $f_{*}(\Omega^{1}_{A^{1}/S})$, est peut-être $f_{*}(\Omega^{1}_{X/S})$ ; le crochet ne se ferme pas sur la page

207Considérons la suite exacte (1.2), où $u^{*}(P^{c}_{X/S}) \to P^{c}_{X/S}$, je dis qu'elle se factorise \[ (2.3) \qquad u^{*}(P^{c}_{X/S}) \to P^{ci}_{X/S}, \] En effet dès que l'on a \[ (2.4) \qquad f^{\mathrm{fl}}_{*}(\Omega^{1}_{X/S}) = f^{\mathrm{fl}}_{*}(\underline{Z}^{1}_{X/S}) \] (identité, des différentielles ⌜condition⌝ dès $f^{\mathrm{fl}}_{*}(\underline{Z}^{1}_{X/S})$ est faisceau ⌜noyau des⌝ […] les $f^{\mathrm{fl}}_{*}(\underline{\Omega}^{1}_{X/S}) \to f^{\mathrm{fl}}_{*}(\underline{\Omega}^{2}_{X/S})$)], et que $u^{*}(P^{c}) \to$ En effet, […] \[ (2.5) \qquad f^{*}V = f_{*}(\underline{\Omega}^{2}_{X/S}) \] est représentable par un module quasi-cohérent, représentable par un fibré vectoriel. devant (2.5), un symbole biffé […] au-dessus de $f^{*}$ En effet, […] […] $\mathrm{Hom}(B, V \struck{\ill{}}) = 0$, donc \[ \mathrm{Hom}(u^{*}(P^{c}), V) \to \mathrm{Hom}(f^{\mathrm{fl}}_{*}(\Omega^{1}_{X/S})/-, V) \] est injectif, donc […] […] est […] la différentielle $f^{\mathrm{fl}}_{*}(\Omega^{1}_{X/S}) \to f^{\mathrm{fl}}_{*}(\Omega^{2}_{X/S})$, qui est supposée nulle …

En particulier, sous les conditions favorables (1.2), (2.4) et (2.5), on a \[ (2.6) \qquad (P^{c0}) \subset P^{ci} \quad \text{i.e.} \quad P^{c0} = P^{ci0}. \] un grand « 2 » dans la marge gauche, à la hauteur de (2.4)

③. Supposons que $p.1_{S} = 0$ ($p$ un nb premier). On définit alors \[ P^{cip}_{X/S} \subset P^{ci}_{X/S} \] le sous-faisceau correspondant aux modules à connexion compatibles aux puiss. $p$-ièmes […] faisceaux ⌜[…]⌝. Supposons que $X/S$ ait loc. une $p$-base, donc […] :

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
(3.1) \quad 0 \arrow[r] & P^{cip}_{X/S} \arrow[r] & P^{ci}_{X/S} \arrow[r, "K"] & f^{\mathrm{fl}}_{*}(\Omega^{1\otimes p}_{X/S})
\end{tikzcd}

au-dessus de la flèche $K$ : « $p$-courbure » ; sous elle : « […] tenseur de $p$-courbure […] = défaut de comp. aux puissances $p$-ièmes »

208Question. Soit $E$ module à connexion ⌜à courbure nulle⌝ intégrable sur $X/S$ en car. $p > 0$. Peut-on définir un tenseur […] de $p$-courbure sur $X$, qui soit \[ K \in \Gamma(X, \underline{\mathrm{End}}(E) \otimes (\Omega^{1}_{X/S})^{\otimes p}) \ ? \]

On a aussi une homomorphie suite exacte, où $\underline{\mathrm{Pic}}^{ci}_{X/S}$ désigne l'image de $P^{ci}_{X/S} \to \underline{\mathrm{Pic}}_{X/S}$ (cf. (2.2) dans le cas lisse) \[ \begin{aligned} (3.2) \qquad 0 &\to \underbrace{[f^{\mathrm{fl}}_{*}(\underline{\mathcal{O}}^{*}_{X/S}) \to f^{\mathrm{fl}}_{*}(\underline{Z}^{1}_{X/S}) \to f^{\mathrm{fl}}_{*}(\underline{\Omega}^{1\otimes p}_{X/S})]}_{\underline{\mathrm{Cart}}_{X/S} \text{ « faisceau de Cartier »}} \to P^{cip}_{X/S} \\ &\to \underline{\mathrm{Pic}}^{ci}_{X/S} \to f^{\mathrm{fl}}_{*}(\Omega^{1\otimes p}_{X/S})/\mathrm{Im}\, f^{\mathrm{fl}}_{*}(\underline{Z}^{1}_{X/S}), \end{aligned} \] au-dessus du crochet : « (défaut d'exactitude dans le milieu) » où la flèche \[ K_{0} : f^{\mathrm{fl}}_{*}(\underline{Z}^{1}_{X/S}) \to f^{\mathrm{fl}}_{*}(\underline{\Omega}^{1\otimes p}_{X/S}) \] est donnée par \[ (3.3) \qquad K_{0}(\omega) = \omega^{\otimes p} - F^{*}_{X/S}(\tilde{C}\omega) \quad \text{pour } d\omega = 0, \] sous $\tilde{C}$ : « opération de Cartier »

NB $K_{0}$ ⌜est additif mais⌝ n'est pas linéaire, c'est la somme d'une opération $p$-linéaire et d'une opération linéaire.

Ceci dans le cas de l'existence locale d'une $p$-base, on sait qu'il y a équivalence ⌜entre⌝ les modules connexions p. ex. $E$ sur $X$, munis d'une connexion à courbure et $p$-courbure nulles, i.e. […] sur $E$ équivalente à la donnée d'une descente de $E$ : $\Lambda =$ $\mathcal{O}^{p}_{X}$ $\underline{\mathcal{O}}_{S}[\underline{\mathcal{O}}_{X}^{p}] \simeq \underline{\mathcal{O}}_{X^{(p/S)}}/\mathcal{J}$, où $\mathcal{J}$ est le noyau de $\underline{\mathcal{O}}_{X^{(p/S)}} \to F_{X/S*}(\underline{\mathcal{O}}_{X})$, et qui […] ⌜[…]⌝ ou […] aux données $E$ équivalent à celles des modules quasi-cohérents sur $(X^{(p/S)}, \Lambda) \simeq (X, \underline{\mathcal{O}}_{X}^{p})$. Sauf $(X^{p/S\,!})$ est un schéma, […] on trouve donc que $P^{cip}_{X/S}$ est le faisceau associé au préfaisceau \[ S' \mapsto \mathrm{Pic}(X_{S'}^{p/S'\,!}). \]

209Si en particulier pour tout $S'$, $X_{S'}^{p/S'} \xleftarrow{\sim} X_{S'}^{p/S'\,!}$, ce qui est le cas en particulier si $X/S$ est lisse, on trouve donc \[ (3.4) \qquad P^{cip}_{X/S} \simeq \underline{\mathrm{Pic}}_{X^{(p/S)}/S} \simeq \underline{\mathrm{Pic}}_{X/S}^{(p/S)} \] dans le deuxième terme, l'exposant $(p/S)$ de $X$ a été surchargé ; un mot au-dessus […] L'homomorphisme canonique $P^{cip}_{X/S} \to \underline{\mathrm{Pic}}_{X/S}$ n'est autre que la Verschiebung \[ (3.5) \qquad V : \underline{\mathrm{Pic}}^{p/S}_{X/S} \to \underline{\mathrm{Pic}}_{X/S} \] [ainsi qu'il faudrait définir $V$ avec une généralité suffisante pour que ce qui précède ait un sens …]. On trouve donc, grâce à (3.2), un isom. \[ (3.6) \qquad \mathrm{Ker}(V_{\underline{\mathrm{Pic}}_{X/S}}) \simeq \left\{ \begin{array}{l} \text{faisceau des sections de } f^{\mathrm{fl}}_{*}(\underline{\Omega}^{1}_{X/S}) \text{ telles} \\ \text{que } d\omega = 0,\ C\omega = \tilde{\omega}, \text{ modulo les sous-} \\ \text{faisceau des } df/f,\ f \text{ dans } f^{\mathrm{fl}}_{*}(\underline{\mathcal{O}}^{*}_{X/S}) \end{array} \right. \] au-dessus de « sous-faisceau », un mot biffé (formes) remplacé par « sections »

Quand on inverse sur $(\mathrm{Sch})/S$ les […] morphismes radiciels ⌜[en fait, il suffit […] certains très particuliers]⌝ […], […] de sorte que $\underline{\mathrm{Pic}}_{X/S} \xrightarrow{F} \underline{\mathrm{Pic}}^{p/S}_{X/S}$ devient inversible, […] les […] premiers termes devenant $p^{\underline{\mathrm{Pic}}_{X/S}}$ ….

Comparaison des $P^{cip\,0}_{X/S}$ et $P^{cip\,0}_{\mathrm{Alb}^{0}_{X/S}}$. Plaçons-nous pour simplifier dans le cas $X/S$ lisse, de sorte que (3.4) est valable, et supposons que $\underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{X/S}$ soit un schéma abélien $B$. Comme […] aussi \[ (\underline{\mathrm{Pic}}_{X/S})^{(p/S)\,0} = (\underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{X/S})^{p/S} = B^{(p/S)}, \] […] et qu'on a ainsi $B \simeq \underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{A^{1}/S} = \underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{A/S}$,

210on trouve que \[ (3.7) \qquad P^{cip\,0}_{X/S} \xleftarrow{\sim} P^{cip\,0}_{A^{1}/S} \simeq P^{cip\,0}_{A^{0}/S} \simeq B^{(p/S)} \] i.e. on trouve la même chose que dans le cas d'un schéma abélien. ⌜Remarque⌝ D'ailleurs, faisant maintenant $X = A$, on sait que $B^{cp0}$, regardé comme extension de $B$ par un groupe $\mathrm{Ker}\, V$ $\alpha_{B} = \mathrm{Ker}(V_{B} : B^{p/S} \to B)$, qui est un groupe affine sur $S$ annulé par $V$, est l'extension universelle de cette nature [dès que $S$ est le spectre d'un corps parfait]. Comme $D(\alpha_{B}) = \mathrm{Ker}\, F_{B^{*}}$ ⌜[…] $F_{A}$⌝ est un groupe infinitésimal de hauteur 1, dont l'algèbre de Lie est $\underline{\mathrm{Lie}}(B^{*})$, et l'on sait que $\underline{\mathrm{Lie}}(B^{*})^{\vee}$ est […] l'analogue vectoriel des groupes finis ; donc […] voit que […] extensions vectorielles universelles est déduite, par $\alpha_{B} \to$ enveloppe vectorielle $\simeq \underline{\mathrm{Lie}}(B^{*})^{\vee}$, de l'extension universelle par les groupes annulés par $V$. la phrase est très incertaine : la lecture ne garantit que les formules

4. Supposons que $p$ soit nilpotent sur $S$, sans plus. Soit \[ P^{cin} \subset P^{ci}, \] défini par les connexions à courbure nulle nilpotentes. Si $X/S$ est lisse, et ⌜les valeurs des foncteurs $P^{cin}$ sur les $S'$ réduits sont⌝ $S$ réduit, alors il s'agit de connexions les mêmes que […] ceux de $P^{cip}$ ; plus généralement ⌜plus généralement⌝

211Pour simplifier, supposons $S$ ⌜loc.⌝ noeth., donc les $S'$ aussi, ⌜tous⌝ (OB […]) sont ⌜[…]⌝ (i.e. de type fini sur $S$) dans l'énoncé nilpotents (sur $S$). On trouve que, une connexion à courbure nulle sur un Mod. inversible sur $X_{S'}$ est à connexion nilpotente ssi, en restreignant sur $S'_{\mathrm{red}}$, on trouve une connexion compatible aux puissances $p$-ièmes. On trouve que $P^{cin}_{X/S}$ est l'image inverse dans $P^{ci}_{X/S}$ des sous-faisceaux \[ \overline{f^{\mathrm{fl}}_{*}(\Omega^{1\otimes p}_{X/S})} \subset f^{\mathrm{fl}}_{*}(\Omega^{1\otimes p}_{X/S}), \] ce qui est le « plus grand sous-groupe $\pm$formel connexe » …. On trouve ainsi \[ (4.1) \qquad 0 \to P^{cip} \to P^{ci}_{X/S} \to f^{\mathrm{fl}}_{*}(\Omega^{1\otimes p}_{X/S})/\overline{f^{\mathrm{fl}}_{*}(\Omega^{1\otimes p}_{X/S})} \] l'exposant du premier terme se lit « cip » ; on attendrait $P^{cin}$ et (3.1) devient \[ (4.2) \qquad 0 \to P^{cip}_{X/S} \to P^{cin}_{X/S} \to \overline{f^{\mathrm{fl}}_{*}(\Omega^{1\otimes p}_{X/S})}, \] sous $P^{cip}_{X/S}$ : « $\simeq \underline{\mathrm{Pic}}^{p/S}_{X/S}$ » qui explicite $P^{cin}$ comme extension d'un ss-groupe d'un groupe $\pm$formel par le groupe $P^{cip}$, qui est bien compris … On peut aussi se proposer d'étudier

On conclut \[ (4.3) \qquad 0 \to P^{cip\,0}_{X/S} \to P^{cin\,0}_{X/S} \to \overline{f^{\mathrm{fl}}_{*}(\Omega^{1\otimes p}_{X/S})} \] sous $P^{cip\,0}_{X/S}$ : « $\simeq \underline{\mathrm{Pic}}^{0\,p/S}_{X/S}$ » On peut aussi étudier le noyau […], et

Étudions ⌜le noyau⌝ $\mathcal{V}$ de $P^{cin}_{X/S} \to \underline{\mathrm{Pic}}_{X/S}$, \[ (4.4) \qquad 0 \to \mathcal{V} \to P^{cin}_{X/S} \to \underline{\mathrm{Pic}}_{X/S} \] c'est le noyau de \[ f^{\mathrm{fl}}_{*}(\underline{Z}^{1}_{X/S})/\mathrm{Im}\, f^{\mathrm{fl}}_{*}(\mathcal{O}^{*}_{X}) \to f^{\mathrm{fl}}_{*}(\Omega^{1\otimes p}_{X/S})/\overline{f^{\mathrm{fl}}_{*}(\Omega^{1\otimes p}_{X/S})}, \] donc il admet une dévissage […] en \[ (4.5) \qquad 0 \to \underline{\mathrm{Cart}}_{X/S} \to \mathcal{V} \to \overline{f^{\mathrm{fl}}_{*}(\Omega^{1\otimes p}_{X/S})} \]

212où $\underline{\mathrm{Cart}}_{X/S}$ est le faisceau de Cartier déjà envisagé dans (3.2). Regardons le sous-foncteur de […] $P^{cin}_{X/S}$ image inverse de $\underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{X/S}$ et supposons que $\underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{X/S}$ est $V$-surjectif (p. ex. un schéma abélien), de sorte que $(\underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{X/S})^{p/S} \to \underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{X/S}$ est un épimorphisme. On trouve donc une suite exacte \[ (4.6) \qquad 0 \to \mathcal{V} \to [P^{cin}_{X/S}]^{0} \to \underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{X/S} \to 0 \] à l'exposant 0 du crochet : « (image inverse de $\underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{X/S}$) » ; dans $(\underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{X/S})^{p/S}$, un exposant biffé […]

NB Une façon commode de dire que $P^{cin}_{X/S}$ est connexe, c'est de dire que $P^{cin}_{X/S}$ est le complété formel de $P^{cip}_{X/S} \simeq \underline{\mathrm{Pic}}^{(p/S)}_{X/S} \subset P^{ci}$ dans $P^{ci}$. Dans le En cas favorable où $P^{ci\,0}$ est l'extension vectorielle universelle ⌜$E$⌝ d'un schéma abélien $B$ par un groupe vectoriel $V$, on trouve que $P^{cin\,0}$ ⌜par $P^{cin\,0}_{X/S}$⌝ $\supset B^{p/S}$, donc $B^{p/S} \subset E$, et on trouve ⌜trouve⌝ le complété formel induit ⌜le long⌝ de $B^{p/S}$. Sa connaissance est donc nettement plus précise que celle de $\overline{E}$, complété formel de $E$ le long de sa section unité, i.e. le groupe formel associé à $E$.

$c^{1}(L)$ style connexions et opération de Cartier

titre pris sur la page 213, une chemise portant ces seuls mots de sa main, soulignés ; le mot lu « connexions » est douteux

214$X/S$ lisse, on considère $H^{*}_{\mathrm{DR}}(X/S) = \mathbb{H}^{*}(X, \Omega^{\bullet}_{X/S})$ et $\mathbb{H}^{*}(X, {}^{1}\Omega_{X/S})$, où ${}^{1}\Omega_{X/S} = [\Omega^{1}_{X/S} \to \Omega^{2}_{X/S} \to \cdots]$ ($\Omega^{1}$ en degré 1). On a suites spectrales aboutissant : l'une et l'autre […] […] la suite spectrale, donnant une […] de suites exactes en bas degrés ; dans la marge gauche, le quadrant $(p, q)$ de la suite spectrale, les points $1, 2, \ldots$ marqués sur l'axe des $p$, avec la légende « suite spectrale pour $\mathbb{H}^{*}(X, {}^{1}\Omega_{X/S})$ »

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
0 \arrow[r] & {}'E^{20}_{2} \arrow[r] \arrow[d, "\simeq"] & \mathbb{H}^{2}(X, {}^{1}\Omega^{*}_{X/S}) \arrow[r] \arrow[d] & {}'E^{11}_{2} \arrow[r] \arrow[d] & {}'E^{30}_{2} \arrow[d, "\simeq"] \\
{} & H^{2}(H^{0}(X, \Omega^{*})) \arrow[r] & H^{2}_{\mathrm{DR}}(X) \arrow[r] & H^{1}(H^{1}(X, \Omega^{*})) \arrow[r] & E^{30}_{2}
\end{tikzcd}

au-dessus de $\mathbb{H}^{2}(X, {}^{1}\Omega^{*}_{X/S})$, « $c(\underline{L}) \in$ » ; au-dessus de ${}'E^{11}_{2}$, « $\simeq \mathrm{Ker}(H^{1}(X, \Omega^{1}_{X/S}) \to H^{1}(X, \Omega^{2}_{X/S}))$ » ; la flèche verticale sous ${}'E^{11}_{2}$ porte un mot écrit à l'envers, « surj ». Au-dessus du schéma, ${}'E^{10}_{2} = Z^{1}(X, \Omega^{*}_{X/S}) \simeq \mathbb{H}^{1}(X, {}^{1}\Omega^{*}_{X/S})$, avec une flèche vers la suite exacte de la ligne du bas, qui commence plus à gauche : \[ \begin{aligned} 0 &\to H^{1}(H^{0}(X, \Omega^{*}_{X/S})) \to H^{1}_{\mathrm{DR}}(X/S) \to \mathrm{Ker}[H^{1}(X, \mathcal{O}_{X}) \xrightarrow{d} H^{1}(X, \Omega^{1}_{X})] \\ &\to H^{2}(H^{0}(X, \Omega^{*})) \to H^{2}_{\mathrm{DR}}(X) \to H^{1}(H^{1}(X, \Omega^{*})) \to E^{30}_{2} \end{aligned} \] avec \[ E^{10}_{2} = \frac{Z^{1}(X, \Omega^{*}_{X/S})}{\mathrm{Im}\, C^{0}(X, \Omega^{*}_{X/S})}, \quad E^{20}_{2} = \frac{Z^{2}(X, \Omega^{*}_{X/S})}{\mathrm{Im}\, C^{1}(X, \Omega^{*}_{X/S})}, \] \[ E^{11}_{2} = \frac{\mathrm{Ker}[H^{1}(X, \Omega^{1}) \to H^{1}(X, \Omega^{2})]}{\mathrm{Im}[H^{1}(X, \Omega^{0}) \to H^{1}(X, \Omega^{1})]}, \] et $E^{01}_{2}$ le noyau $\mathrm{Ker}[H^{1}(X, \mathcal{O}_{X}) \to H^{1}(X, \Omega^{1}_{X})]$.

Pour que $\exists$ connexion intégrable sur $\underline{L}$, module inversible donné sur $X$, il faut et il suffit que l'obstruction dans $\mathbb{H}^{2}(X, {}^{1}\Omega^{*}_{X/S})$ soit nulle, i.e.

ⓐ […] $c^{1}_{\mathrm{Hdg}}(L) \in H^{1}(X, \Omega^{1}_{X/S})$ nulle

ⓑ deuxième obstruction dans $H^{2}(H^{0}(X, \Omega^{*})) = \dfrac{Z^{2}(X, \Omega^{*}_{X/S})}{\mathrm{Im}\, C^{1}(X, \Omega^{*}_{X/S})}$ soit nulle.

NB En car. $p > 0$, l'obstruction est dans un $\mathbb{F}_{p}$-vectoriel, comme tué par $p$. Donc ⌜pour⌝ […] […] de $p\,\mathrm{Pic}(X)$ l'obstruction est nulle. On trouve, si $X$ est propre sur $S$ ⌜local⌝, que l'obstruction est nulle dans si $\xi$ est dans $\mathrm{Pic}^{\tau}(X/S)$ (à vérifier …). un double trait vertical dans la marge gauche, le long de ce NB

Supposons l'obstruction en question nulle, ⌜$S$ en car. $p > 0$,⌝ alors l'indétermination pour trouver la connexion intégrable est un $Z^{1}(X, \Omega^{*}_{X/S})$, i.e. c'est une 1-forme fermée fermée ($d\omega = 0$). À quelle Donc D'autre part, le défaut de compatibilité aux puiss. $p$-ièmes est un homomorphisme un homom. additif et $p$-homogène $\underline{V}_{X/S} \to \underline{\mathrm{End}}(\underline{L})$, i.e. un homom. $v : \underline{V}^{(p)}_{X/S} \to \underline{\mathrm{End}}(L)$, i.e. ici une section de $\underline{\Omega}^{1\,(p)}_{X/S}$. Cette section, si on remplace la connexion $\theta$ par $\theta' = \theta + \omega$, est remplacée par \[ \begin{aligned} \text{\struck{$\xi \mapsto$}}\ v'(\xi) &= v(\xi) + \underline{\omega(\xi)^{p} + \theta_{\xi}^{p-1}\omega(\xi) - \omega(\xi^{p})} \\ &= v(\xi) + \underbrace{\omega(\xi)^{p} - \langle C\omega, \tilde{\xi} \rangle 1_{\underline{L}}} \end{aligned} \] sous l'accolade : « opération de Cartier » ; dans la marge gauche : « rappelle […] […] »

215page écrite dans la largeur de la feuille et biffée tout entière de deux longs traits obliques ; on la transcrit sans marquer la biffure ligne par ligne ; la lecture est très incertaine La catégorie des couples […] […] \[ S \xleftarrow{\varphi_{0}} U_{0} \xrightarrow{f} U \qquad (S \text{ lisse}) \] avec disons $f$ un monomorphisme, admet des produits (: […] le produit de deux couples $(U_{0}, U)$ et $(V_{0}, V)$ est $(U_{0} \times_{S} V_{0}, U \times V)$). D'autre part le foncteur $(U, U_{0}) \mapsto$ […] le faisceau associé sur $D_{S}$ ([…] sur […] des sites $C_{S}$ de […] $C$ …) commute aux produits (plus généralement aux limites finies). Dans le cas (habituel !) où les foncteurs […] $(U, U_{0}) \mapsto$ […] sont « ind-représentables » […] $C$ à l'aide de […] indexés par la famille des […] $U_{0}$ en $U$ …), on trouve donc des foncteurs produits ind-représentables, en particulier $S \times S$ ind-représentable par les […] Abstraction, et […] […] pour cette […] des produits, […] « […] » […]

216suite de la page 214

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
X \arrow[r, "F_{X/S}"] \arrow[d] & X^{p/S} \arrow[r] \arrow[dl] & X \arrow[dl] \\
S \arrow[r] & S &
\end{tikzcd}

Considérons $F^{*}_{X/S}(C\omega) \in \Gamma F^{*}_{X/S}\underline{\Omega}^{1}_{X^{p/S}/S} \simeq \Gamma \underline{\Omega}^{1\,(p)}_{X/S}$, on a alors \[ v'(\xi) = v(\xi) + \langle \omega^{\otimes p} - F^{*}_{X/S}(C\omega), \xi^{\otimes p} \rangle, \quad \text{i.e.\ \uncertain{intrinsèquement}} \] \[ v' = v + \underbrace{(\omega^{\otimes p} - F^{*}_{X/S}C\omega)}_{F^{*}_{X/S}(\tilde{\omega} - C\omega)} \] Donc la nouvelle obstruction se trouve dans \[ \Gamma(X, \Omega^{1\,\otimes p}_{X/S})/\mathrm{Im}[Z^{1}(X, \Omega^{*}_{X/S}) \to \Gamma(X, \Omega^{1\,\otimes p}_{X/S})] \] l'homom. étant \[ Z^{1}(X, \Omega^{*}_{X/S}) \to \Gamma(X, \Omega^{1\,\otimes p}_{X/S}), \qquad \omega \mapsto F^{*}_{X/S}(\tilde{\omega} - C\omega) = \omega^{\otimes p} - F^{*}_{X/S}(C\omega) \] « 2 », en grand, dans la marge droite

Supposons $X$ propre sur $S$, et […], on localisant sur $S$, un foncteur \[ \underline{\mathrm{Pic}}^{\mathrm{conn\,int}}_{X/S} \to \underline{\mathrm{Pic}}_{X/S} \] au-dessous, une suite exacte en partie biffée (le premier terme, biffé, […]), dont reste lisible \[ (f_{*}\underline{Z}^{1}_{X/S}) \xrightarrow{\gamma} f_{*}(\Omega^{1\,\otimes p}_{X/S}), \qquad f_{*}\underline{Z}^{1}_{X/S} = \mathrm{Ker}[f_{*}(\Omega^{1}_{X/S}) \xrightarrow{d} f_{*}(\Omega^{2}_{X/S})] \] entouré, relié à $\gamma$ : « pas linéaire ! » plusieurs mots biffés […] sous le $\underline{\mathrm{Pic}}$ (« connexions intégrables »)

Supposons que a) $\underline{\Omega}^{1}_{X/S}$, $\underline{\Omega}^{2}_{X/S}$, $\Omega^{1\,\otimes p}_{X/S}$ sont coh. plats sur $S$ en dim 0, b) Coker $d^{1}$ et $\mathrm{Im}\, d^{1}$ sont plats sur $S$, où $d^{1} : f_{*}(\underline{\Omega}^{1}_{X/S}) \to f_{*}(\underline{\Omega}^{2}_{X/S})$ [OK si $X$ de dim relative 1 sur $S$] c) le $\mathrm{Ker}\, \gamma$ est plat sur $S$.

Alors le […] […] […] (ci) est représentable par un fibré vectoriel la page s'arrête sur cette phrase

217page écrite dans la largeur de la feuille, barrée tout entière de deux longs traits courbes ; on la transcrit sans marquer la biffure ligne par ligne ; la lecture est très incertaine Associé à un faisceau $F$ sur $\mathcal{D}_{S}$ défini, pour $\tau = (S \xleftarrow{\varphi_{0}} T_{0} \xrightarrow{i} J)$,

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
S & U_{0} \arrow[l, "\psi_{0}"'] \arrow[d, "j"'] & T_{0} \arrow[l, dashed, "u_{0}"'] \arrow[d, "i"] \arrow[ll, bend right=30, "\varphi_{0}"'] \\
{} & U & T \arrow[l, dashed, "u"']
\end{tikzcd}

$F(\tau) =$ ensemble des homom. $u : T \to U$ tels que ceci se factorise par $u_{0}$, tels que $\psi_{0} u_{0} = \varphi_{0}$ (AB non nécessairement) […] infinitésimaux de […] [Si les voisinages […] $U_{0}^{(n)}$ de $U_{0}$ dans $U$ existent (p. ex. […]) et si $\psi_{0}$ est lisse, […] $U^{(n)} \to S$ sont […] $\Sigma$, alors le […] est ind-représentable […] \[ \left( S \xleftarrow{\psi_{0}} U_{0} \xrightarrow{j^{(n)}} U^{(n)} \right), \] ] […]

foncteur $F$ qui soit représentable par […] […] grâce à l'hypothèse […], […] […] d'un faisceau sur $\mathcal{D}_{S}$, […] définie en […] […] […] […] faisceaux $(\mathcal{D}_{S})$ […] ! [[…]

$(C$ […]$)$ $\equiv$ […]

Cas $U = U_{0} = S$, $\psi_{0} = j = \mathrm{id}$, […] produit […] […] $(\mathcal{C}$ […] $!!)$].

On trouve le foncteur $\tau \mapsto$ ensemble des $\varphi$ prolongeant $\varphi_{0}$. d'une autre encre, en haut à droite, « $\tau = (S \xleftarrow{\varphi_{0}} T_{0} \xrightarrow{i} J)$ » ; la lettre lue $J$ y est sans doute le $T$ du schéma

Connexion canonique de Gauss-Manin

titre pris sur la page 218, une chemise portant de sa main, en haut à droite, « Connexion canonique de Gauss-Manin », puis, souligné, « Att. 2. »

219\[ H^{\cdot}(\mathbb{R}^{\cdot} f_{*}(\Omega^{\cdot}_{X/S})) \to \text{\struck{$\mathbb{R}$}}\ \mathcal{H}^{0}(\Omega^{\cdot}_{X/S}) \ldots \] la formule s'interrompt ; lecture incertaine du premier terme

Compatibilités

3) ⌜1)⌝ Compatibilités pour $S, T, E$ variables […]

2) Cas des complexes de De Rham tronqués, filtration à 2 crans suites exactes de Hodge-De Rham et […] des transversalités de Griffiths et de Deligne.

3) Variantes stratifiées en car. 0 ($S/T$ […] […]) par une (cohomologie stratifiante au lieu de De Rham)

Variantes cristallines en car. quelconque. une accolade réunit les deux lignes du 3)

220En général, Considérons alors une extension \[ \underline{\Gamma}(G)/\underline{E} \longrightarrow Z^{1}C^{\cdot}_{S/R}(\underline{g}^{*})/d^{0}(\underline{E}) \] au-dessus de la flèche, un mot biffé […] ; sous $\underline{\Gamma}(G)$ : « faisceau ([…]) des sections de $G$ » ; sous $Z^{1}C^{\cdot}_{S/R}(\underline{g}^{*})$ : « complexe des diff. rel/$R$ à coeff. dans $\underline{g}$ »

D'autre part, d'après la théorie des Modules stratifiés, tout op. différentiel \[ D : \underline{g} \to \mathcal{M} \] définit un op. diff. […] factorise de façon canonique en entouré, dans la marge gauche : « spécial à car. 0 ? » « à coeff. cts » \[ \underline{g} \xrightarrow{c = d^{0}} Z^{1}C_{S/R}(\underline{g}) \xrightarrow{\tilde{D}} \mathcal{M}, \qquad \tilde{D} \circ d^{0} = D \] ($\tilde{D}$ est loc. induit par un op. diff. sur $\underline{g} \otimes \Omega^{1}_{S/R}$ ; […] $\Delta$, […] ⌜[…]⌝ $\Delta \circ d^{0} = D$, et $\Delta$ restreint à $Z^{1}C_{S/R}(\underline{g})$ …)

$D$ définit donc une composée

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
\underline{\Gamma}(G) \arrow[r, "g^{-1}dg"] \arrow[rr, bend right=30, "\tilde{\tilde{D}}"'] & Z^{1}C_{S/R}(\underline{g}) \arrow[r, "\tilde{D}"] & \mathcal{M}
\end{tikzcd}

le $\tilde{\tilde{D}}$ est entouré ; la page s'arrête là, l'argument se poursuit sans doute au-delà du lot

Variantes concernant des foncteurs de Picard relatifs

\(c^{1}(L)\) style connexions et opération de Cartier

Connexion canonique de Gauss-Manin