Fonds Grothendieck, cote n° 93, pages 161–180

Filtration du complexe de De Rham d'un schéma relatif lisse, et connexion de Gauss-Manin (d'après Katz-Oda)

titre de l'auteur en tête de la p. 161, numéroté « 1) » et souligné ; le mot « lisse » est ajouté au-dessus de la ligne, et un mot est biffé avant « (d'après Katz-Oda) ».

1) Filtration du complexe de De Rham d'un schéma relatif, lisse et connexion de Gauss-Manin (d'après Katz-Oda).

\begin{tikzcd} X \arrow[d, "f"] \\ S \arrow[d, "g"] \\ T \end{tikzcd}

f lisse [ou seulement diff. lisse, pour rendre exacte la suite (1)]. On a donc une suite exacte (1) \qquad \text{\struck{$0 \to$}}\; 0 \to f^{*}(\Omega^{1}_{S/T}) \to \Omega^{1}_{X/T} \to \Omega^{1}_{X/S} \to 0 d'où une filtration \mathrm{Fil}_{X/S} de l'objet gradué \Omega^{\bullet}_{X/T} = \bigwedge^{\bullet} \Omega^{1}_{X/T}, avec gradué associé (2) \qquad \mathrm{Gr}^{p}_{X/S}(\Omega^{\bullet}_{X/T}) \simeq f^{*}(\Omega^{p}_{S/T}) \otimes \Omega^{\bullet}_{X/S}[-p] . On constate que la filtration respecte les opérateurs différentiels de \Omega^{\bullet}_{X/T}, et qu'il en est de même compte tenu que, grâce à la structure différentielle de \Omega^{\bullet}_{X/T} et à f^{*}(\Omega^{p}_{S/T}) rel. à X/S, f^{*}(\Omega^{p}_{S/T}) \otimes \Omega^{\bullet}_{X/S} est bien muni d'une différentielle de l'isomorphisme (2), d'ailleurs, comme f est plat, f^{*}(\Omega^{p}_{S/T}) \simeq \mathbf{L}f^{*}(\Omega^{p}_{S/T}), et comme \Omega^{\bullet}_{X/S}[-p] est plat, le \otimes dans (2) est aussi le \overset{\mathbf{L}}{\otimes}, donc on a (2') \qquad \mathrm{Gr}^{p}_{X/S}(\Omega^{\bullet}_{X/T}) \simeq \mathbf{L}f^{*}(\Omega^{p}_{S/T}) \overset{\mathbf{L}}{\otimes} \Omega^{\bullet}_{X/S}[-p] , dans le même sens où dans .

La filtration sur \Omega^{\bullet}_{X/T} définit \mathbf{R}f_{*}(\Omega^{\bullet}_{X/T}) donc \Omega^{\bullet}_{X/T} comme objet d'une catégorie dérivée filtrée, (filtration notée \mathrm{Fil}^{\bullet}_{X/S}, d'où \mathrm{Gr}^{\bullet}_{X/S}). On

aura alors \mathrm{Gr}^{p}_{X/S}\, \mathbf{R}f_{*}(\Omega^{\bullet}_{X/T}) \simeq \mathbf{R}f_{*}(\mathrm{Gr}^{p}_{X/S}(\Omega^{\bullet}_{X/T})) . Tenant compte de (2'), et supposant f quasi-compact et quasi-séparé, il résulte alors de la formule de projection [dans un cadre pas très catholique, — il faudra faire une petite vérification] (3) \qquad \mathrm{Gr}^{p}_{X/S}\, \mathbf{R}f_{*}(\Omega^{\bullet}_{X/T}) \simeq \Omega^{p}_{S/T} \overset{\mathbf{L}}{\otimes} \mathbf{R}f_{*}(\Omega^{\bullet}_{X/S})[-p] . On a ~~en particulier les opérateurs~~ une suite spectrale, d'où (4) \qquad d^{(p)}_{1} : \mathrm{Gr}^{p}_{X/S}\, \mathbf{R}f_{*}(\Omega^{\bullet}_{X/T}) \to \mathrm{Gr}^{p+1}_{X/S}\, \mathbf{R}f_{*}(\Omega^{\bullet}_{X/T})[1] , i.e. donc, compte tenu de l'expression explicite (3) : (5) \qquad d^{(p)}_{1} : \Omega^{p}_{S/T} \overset{\mathbf{L}}{\otimes} \mathbf{R}f_{*}(\Omega^{\bullet}_{X/S})[-p] \to \Omega^{p+1}_{S/T} \overset{\mathbf{L}}{\otimes} \mathbf{R}f_{*}(\Omega^{\bullet}_{X/S})[-p] , d'où, en translatant par p : (6) \qquad \text{\struck{$\ill{}$}}\; d^{(p)}_{1}[p] : \Omega^{p}_{S/T} \overset{\mathbf{L}}{\otimes} \mathbf{R}f_{*}(\Omega^{\bullet}_{X/S}) \to \Omega^{p+1}_{S/T} \overset{\mathbf{L}}{\otimes} \mathbf{R}f_{*}(\Omega^{\bullet}_{X/S}) . On a bien sûr (7) \qquad d^{(p+1)}_{1}\, d^{(p)}_{1} = 0 . Faisant p = 0 dans (6), on trouve (6_{0}) \qquad d^{(0)}_{1} : \mathbf{R}f_{*}(\Omega^{\bullet}_{X/S}) \to \Omega^{1}_{S/T} \otimes \mathbf{R}f_{*}(\Omega^{\bullet}_{X/S}) , i.e. une connexion sur \mathbf{R}f_{*}(\Omega^{\bullet}_{X/S}). On l'appelle la connexion de Gauss-Manin. ~~[La formule (7), prouve que c'est une]~~ (Il semble bien que c'est la même que celle que j'ai définie dans []!). Attention, il faut prouver une compatibilité de d_{1} avec la diff. de \Omega^{\bullet}_{S/T}, pour expliciter comme dit (7)! La formule (7) montre qu'elle est intégrable.

~~Lorsque les~~ Bien sûr, les différentielles (6) définissent (8) \qquad d^{p,q}_{1}[p] : \mathcal{H}^{q}(\Omega^{p}_{S/T} \otimes \mathbf{R}f_{*}(\Omega^{\bullet}_{X/S})) \to \mathcal{H}^{q}(\Omega^{p+1}_{S/T} \otimes \mathbf{R}f_{*}(\Omega^{\bullet}_{X/S})) , qui, pour \Omega^{\bullet}_{S/T} plat sur S, p. ex. S formellement lisse sur TT, s'écrit ainsi (8') \qquad d^{p,q}_{1}[p] : \Omega^{p}_{S/T} \otimes \mathbf{R}^{q}f_{*}(\Omega^{\bullet}_{X/S}) \to \Omega^{p+1}_{S/T} \otimes \mathbf{R}^{q}f_{*}(\Omega^{\bullet}_{X/S}) , qui pour p = 0 définit une connexion intégrable sur les \mathbf{R}^{q}f_{*}(\Omega^{\bullet}_{X/S}), dite connexion de Gauss-Manin.

Posons pour un moment, pour simplifier, (9) \qquad K^{\bullet} = \mathbf{R}f_{*}(\Omega^{\bullet}_{X/T}) , qu'on considère toujours comme complexe filtré comme il a été dit. On a donc (10) \qquad \mathbf{R}\Gamma_{S}(K^{\bullet}) \simeq \mathbf{R}\Gamma_{X}(\Omega^{\bullet}_{X/T}) \simeq \mathbf{R}H_{DR}(X/T) . La filtration de K^{\bullet} permet, d'après un sorite général, d'écrire une suite spectrale (11) \qquad \mathbf{R}\Gamma_{S}(K^{\bullet}) \Longleftarrow E^{p,q}_{2} = \mathbb{H}^{p}(S, \alpha \mapsto \mathcal{H}^{\alpha+q}(\mathrm{Gr}^{\alpha}(K^{\bullet}))) , le second membre est lu tel qu'écrit : « \mathbb{H}^{p}(S, \alpha \mapsto \mathcal{H}^{\alpha+q}(\mathrm{Gr}^{\alpha}(K^{\bullet}))) », le complexe en \alpha ayant pour différentielle le d_{1}. les différentielles définissant le complexe \alpha \mapsto \ldots étant les différentielles évidentes d_{1} provenant de la filtration. Tenant compte de (3) et (10), on trouve donc la suite spectrale

(12) \qquad H^{*}_{DR}(X/T) \Longleftarrow E^{p,q}_{2} = \mathbb{H}^{p}(S, \alpha \mapsto \mathcal{H}^{q}(\Omega^{\alpha}_{S/T} \overset{\mathbf{L}}{\otimes} \mathbf{R}f_{*}(\Omega^{\bullet}_{X/S}))) , où l'opérateur diff. pour le complexe \alpha \mapsto \ldots s'exprime donc directement à l'aide de la connexion de Gauss-Manin de \mathbf{R}f_{*}(\Omega^{\bullet}_{X/S}). Dans le cas favorable \Omega^{1}_{S/T} plat, (il suffit \Omega^{1}_{S/T} plat, i.e. Dolbeault grand) cette suite spectrale devient (12') \qquad H^{*}_{DR}(X/T) \Longleftarrow E^{p,q}_{2} = \mathbb{H}^{p}(S, \alpha \mapsto \Omega^{\alpha}_{S/T} \otimes \mathbf{R}^{q}f_{*}(\Omega^{\bullet}_{X/S})) = H^{p}_{DR}(S/T, \mathbf{R}^{q}f_{*}(\Omega^{\bullet}_{X/S})) , l'expression H^{p}_{DR} à droite ayant un sens, grâce à la connexion de Gauss-Manin de \mathbf{R}^{q}f_{*}(\Omega^{\bullet}_{X/S}). Comme de juste, les suites spectrales (12) ~~et (12')~~ (dans (12')) s'appellent, suite spectrale de Leray filtrée, en cohomologie de De Rham. « suite spectrale de Leray filtrée » : lecture incertaine du dernier mot.

Application. Soit une classe (13) \qquad \xi \in H^{n}_{DR}(X/T) telle que son image dans E^{0,n}_{2} = \mathbb{H}^{0}(H^{0}(S, \mathbf{R}f_{*}(\Omega^{\bullet}_{X/S})) \to H^{0}(S, \mathcal{H}^{n}(\Omega^{1}_{X/S} \overset{\mathbf{L}}{\otimes} \mathbf{R}f_{*}(\Omega^{\bullet}_{X/S})))) par (14) \qquad H^{n}_{DR}(X/T) \to H^{0}(S, \mathbf{R}^{n}f_{*}(\Omega^{\bullet}_{X/S})) est nulle [NB cette image est en tout cas toujours horizontale, i.e. son image dans \Gamma(S, \mathcal{H}^{n}(\Omega^{1}_{X/S} \overset{\mathbf{L}}{\otimes} \mathbf{R}f_{*}(\Omega^{\bullet}_{X/S}))) est nulle], i.e. son image dans la formule de E^{0,n}_{2} en marge droite est surchargée et en partie biffée ; on la donne telle qu'elle se laisse lire, sans garantie. Sous H^{0}(S, \mathbf{R}^{n}f_{*}(\Omega^{\bullet}_{X/S})) l'auteur écrit \mathcal{H}^{n}_{DR}(X/S). Les indices « \Omega^{1}_{X/S} » du NB sont lus tels qu'écrits ; l'argument attend \Omega^{1}_{S/T}.

Alors grâce à la suite spectrale de Leray, \xi définit un élément dans E^{1,n-1}_{\infty} \subset E^{1,n-1}_{2}, donc un (15) \qquad \eta \in \mathbb{H}^{1}(S, \alpha \mapsto \mathcal{H}^{n-1}(\Omega^{\alpha}_{S/T} \overset{\mathbf{L}}{\otimes} \mathbf{R}f_{*}(\Omega^{\bullet}_{X/S}))) . Supposons en particulier les \Omega^{1}_{S/T} plats, ~~de sorte~~ donc on obtient (16) \qquad \eta \in H^{1}_{DR}(S, \mathbf{R}^{n-1}f_{*}(\Omega^{\bullet}_{X/S})) \qquad (\Omega^{1}_{S/T} \text{ plat}) . Nous avons vu [] qu'un tel objet s'identifie à une classe d'isomorphie de torseurs P sous \mathbf{R}^{n-1}f_{*}(\Omega^{\bullet}_{X/S}) munis d'une homomorphisme (17) \qquad P \xrightarrow{d_{p}} \Omega^{1}_{S/T} \otimes \mathbf{R}^{n-1}f_{*}(\Omega^{\bullet}_{X/S}) satisfaisant (18) \qquad \begin{cases} d_{p}(x+\xi) = d_{p}(x) + d^{0}(\xi) \\ \operatorname{Im} d_{p} \subset Z^{1}(\Omega^{\bullet}_{S/T} \otimes \mathbf{R}^{n-1}f_{*}(\Omega^{\bullet}_{X/S})) . \end{cases} x \in P(\cdot), \xi \in \mathbf{R}^{n-1}f_{*}(\Omega^{\bullet}_{X/S})(\cdot) ; d^{0} dérivée de conn. de G.M.

[On sait aussi, sans l'hypothèse des platitudes sur \Omega^{1}_{S/T}, que si S est de car. nulle, la donnée de d_{p} équivaut à la donnée de (19) \qquad P \xrightarrow{\delta^{\infty}_{p}} P^{\infty}_{S/T}(\mathbf{R}^{n-1}f_{*}(\Omega^{\bullet}_{X/S}))^{+} satisfaisant la condition (20) \qquad \delta^{\infty}_{p}(x+\xi) = \delta^{\infty}_{p}(x) + d^{+}_{S/T}(\xi) x \in P(\cdot), \xi \in \mathbf{R}^{n-1}f_{*}(\Omega^{\bullet}_{X/S})(\cdot) : d^{+}_{S/T} = d^{\infty}_{S/T} - \delta^{\infty}_{S/T}, \delta^{\infty}_{S/T} défini par la stratification de \mathbf{R}^{n-1}f_{*}(\Omega^{\bullet}_{X/S}) déduite de sa connexion de G.M. le crochet ouvert devant « On sait aussi » n'est pas refermé sur la page ; l'exposant écrit « + » à la fin de (19) est suivi d'un signe barré qu'on n'a pas su lire.

Variantes. a) On peut prendre sur X un module de coeff. qu. coh. E, avec connexion intégrable rel. à T, d'où \Omega^{\bullet}_{X/T} \otimes E avec structure de complexe. Tout ce qui précède s'applique, (ce qui ne fait que la suite exacte (1) splitte localement, donne ~~suite exacte en tensorisant les filtrations~~ de \otimes par une filtration compatible sur \Omega^{\bullet}_{S/T} \otimes E, d'où \mathrm{Gr}^{p}_{X/S}(\Omega^{\bullet}_{X/T} \otimes E) \simeq \mathrm{Gr}^{p}_{X/S}(\Omega^{\bullet}_{X/T}) \otimes E au point de vue additif. Pour pouvoir appliquer la formule de projection, et obtenir, en analogie avec (3) (21) \qquad \mathrm{Gr}^{p}_{X/S}(\mathbf{R}f_{*}(\Omega^{\bullet}_{X/T} \otimes E)) \simeq \Omega^{p}_{S/T} \overset{\mathbf{L}}{\otimes} \mathbf{R}f_{*}(\Omega^{\bullet}_{X/S} \otimes E)[-p] , il semble qu'il ~~faille~~ suffise E plat sur X ou \Omega^{1}_{S/T} plat sur S. Sous cette réserve, on obtient des connexions intégrables sur les \mathbf{R}f_{*}(\Omega^{\bullet}_{X/S} \otimes E) rel. à T, et une suite spectrale qui, dans le 2e cas (\Omega^{1}_{S/T} plat) prend la forme simple (22) \qquad H^{*}_{DR}(X/T, E) \Longleftarrow E^{p,q}_{2} = H^{p}_{DR}(S/T, \mathcal{H}^{q}_{DR}(X/S, E)) .

b) On peut localiser la suite spectrale obtenue sur T, (plus généralement, relativiser : un morphisme quelconque S \to R). On peut donner des compatibilités de la suite spectrale obtenue sur T, formules avec des connexions intégrables relativement à une base au-dessus de T.

Opération de Cartier

titre de l'auteur, seul en haut d'un feuillet par ailleurs blanc (p. 167), qui sert de chemise à ce qui suit.

L'opération de Cartier (NB Tous les anneaux sont des \mathbf{F}_{p}-alg.)

① Cohomologie de De Rham d'une algèbre admettant une p-base.

a) Soit B/A, donc, posant \Lambda = A[B^{p}] \subset B, on a \begin{cases} \Omega^{1}_{B/A} \xrightarrow{\sim} \Omega^{1}_{B/\Lambda} & \text{d'où } \Omega^{*}_{B/A} \xrightarrow{\sim} \Omega^{*}_{B/\Lambda} \\ \text{donc } H^{*}_{DR}(B/A) \simeq H^{*}_{DR}(B/\Lambda) & \text{(comme $\Lambda$-algèbres)} \end{cases}

b) Supposons que B admette une p-base sur A formée d'un élément x, i.e., posant x^{p} = a \in \Lambda, on a un isom. de \Lambda-algèbres B \simeq \Lambda[X]/(X^{p} - a) . Alors on a :

base de \Omega^{0}_{B/\Lambda} sur \Lambda : 1, x, x^{2}, \ldots, x^{p-2}, x^{p-1}

base de \Omega^{1}_{B/\Lambda} sur \Lambda : dx, x\,dx, x^{2}dx, \ldots, x^{p-1}dx

d'où base de H^{*}_{DR}(B/\Lambda) \simeq H^{*}_{DR}(B/A) : \dot{1}, \overline{x^{p-1}dx}.

entre les deux lignes de bases, des flèches obliques relient x^{k} à x^{k-1}dx (la différentielle, avec un coefficient noté sous la troisième flèche) ; x^{p-1}dx est seul à ne pas être atteint, et la flèche partant de 1 aboutit à un point (zéro).

c) Supposons qu'on ait une p-base (x_{i})_{i \in I} de B sur A. Alors \Omega^{1}_{B/A} \simeq \Omega^{1}_{B/\Lambda} \quad \text{admet base } (dx_{i})_{i \in I} d'où \Omega^{*}_{B/\Lambda} \simeq \bigotimes_{I,\Lambda} \Omega^{*}_{B_{i}/\Lambda} \qquad \text{(tous de $\Lambda$-alg.\ différentielles)} où B_{i} \simeq \Lambda[x_{i}] \simeq \Lambda[X_{i}]/(X_{i}^{p} - a_{i}) \qquad (a_{i} = x_{i}^{p} \in \Lambda) . Par suite, Künneth nous donne H^{*}_{DR}(B/A) \simeq H^{*}_{DR}(B/\Lambda) \simeq \bigotimes_{I,\Lambda} H^{*}_{DR}(B_{i}/\Lambda)

② L'homomorphisme \psi : \Omega^{*}_{B/A} \to Z^{*}_{B/A} \qquad (\text{cycles de } \Omega^{*}_{B/A}) Il y a un homom. unique \psi, satisfaisant les conditions

a) \psi est un hom. d'anneaux

b) \psi_{0}(x) = \underbrace{x^{p}}_{\psi_{0}(x)} si x \in B \simeq \Omega^{0}_{B/A}

c) \psi(d_{B/A}x) = \underbrace{x^{p-1}d_{B/A}x}_{\partial x} si x \in B.

Pour vérifier ceci, il suffit de vérifier que l'on a \partial(xy) = \psi_{0}(x)\,\partial y + \psi_{0}(y)\,\partial x i.e. (xy)^{p-1}d(xy) = x^{p}y^{p-1}dy + y^{p}x^{p-1}dx ce qui est trivial.

Considérons Z^{*}_{B/A} comme une algèbre sur \Lambda = A[B^{p}], et formons \widetilde{B} = B \otimes_{A} \widetilde{A} (\widetilde{A} = (A, F_{A}), F_{A} : A \to A défini par x \mapsto x^{p}),

\begin{tikzcd}[column sep=small] B \arrow[r] \arrow[rr, bend left=30, "F_{A}"] & \widetilde{B} = B \otimes_{A} \widetilde{A} \arrow[r] \arrow[d] & B \\ A \arrow[u] \arrow[r] & \widetilde{A} = (A, F_{A}) \arrow[ur, no head] & \end{tikzcd}

diagramme redessiné d'après le croquis : la flèche verticale de gauche monte de A vers B, celle du milieu descend de \widetilde{B} vers \widetilde{A}, comme sur la page ; le trait de \widetilde{A} vers B est sans pointe. L'étiquette de l'arc courbe se lit « F_{A} » ; on attendrait F_{B}.

de sorte que l'image dans B est précisément \Lambda = A[B^{p}]. Alors, utilisant l'homom. canonique B \to \widetilde{B}, x \mapsto x \otimes_{A} 1_{\widetilde{A}}, dont le composé avec \widetilde{B} \to B est F_{B} : x \mapsto x^{p}, et considérant \Omega^{*}_{B} comme une B-algèbre, l'homom. \psi se le coin inférieur droit du feuillet manque ; la fin des lignes suivantes est perdue. l'hom. B \to \widetilde{B} sur les scalaires,

~~un hom. de~~ avec un homom. de \Lambda-algèbres \widetilde{\psi} : \Omega^{*}_{B/A} \otimes_{B} \widetilde{B} \simeq \Omega^{*}_{\widetilde{B}/\widetilde{A}} \to Z^{*} \ldots ~~qui est donc~~ Nous serons intéressés surtout par l'homomorphisme composé Z^{*}_{B/A} \to H^{*}_{DR}(B/A) \ldots savoir \boxed{\varphi : \Omega^{*}_{\widetilde{B}/\widetilde{A}} \to H^{*}_{DR}(B/A)}

③ L'opération de Cartier.

Théorème 1. Supposons que B/A admette une p-base. Alors l'homom. précédent \varphi induit ~~est~~ un isomorphisme \Omega^{*}_{\widetilde{B}/\widetilde{A}} \otimes_{\widetilde{B}} \Lambda \to H^{*}_{DR}(B/\Lambda) [NB \Lambda \simeq \widetilde{B}/\text{idéal}] donc est un isom. si \widetilde{B} \xrightarrow{\sim} \Lambda i.e. \widetilde{B} \to B est injectif.

En effet, si (x_{i})_{i \in I} est une p-base, utilisant les notations du no 1, on trouve un isom. de B-algèbres \Omega^{*}_{B/A} \simeq \bigotimes_{i \in I} \Omega^{*}_{B_{i}/\Lambda} \otimes_{B_{i}} B d'où isom. de B-alg. \Omega^{*}_{\widetilde{B}/\widetilde{A}} \simeq \bigotimes_{i \in I} (\Omega^{*}_{\widetilde{B}_{i}/\widetilde{\Lambda}} \otimes_{\widetilde{B}_{i}} \widetilde{B}) et on connaît de même la structure de H^{*}_{DR}(B/A) : H^{*}_{DR}(B/A) \simeq \bigotimes_{i \in I} H^{*}_{DR}(B_{i}/\Lambda) . L'homom. \varphi envisagé s'identifie alors au produit tensoriel des homomorphismes analogues ~~correspondants~~ \varphi_{i} : \Omega^{*}_{\widetilde{B}_{i}/\widetilde{\Lambda}} \otimes_{\widetilde{B}_{i}} \widetilde{B}_{i} \to H^{*}_{DR}(B_{i}/\Lambda) \text{base } \widetilde{1},\ d\widetilde{x}_{i} \qquad\qquad \text{base } \dot{1},\ \overline{x_{i}^{p-1}dx_{i}} qui envoient base sur base, donc sont des isom. cqfd pour le théorème.

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] B \arrow[r] & \widetilde{B} \arrow[r] & B \\ B_{i} \arrow[u] \arrow[r, no head] & \widetilde{B}_{i} \arrow[u, no head] \arrow[r, no head] & B_{i} \arrow[u] \\ \Lambda \arrow[u] \arrow[r, no head] & \widetilde{\Lambda} \arrow[u, no head] \arrow[r, no head] & \Lambda \arrow[u] \\ A \arrow[u, no head] \arrow[r, no head] & \widetilde{A} \arrow[u, no head] & \end{tikzcd}

diagramme en marge gauche, recopié tel que dessiné : seules les flèches de la première ligne et les petites flèches verticales ont des pointes nettes ; les autres traits sont rendus sans pointe.

Corollaire 1. On a Z^{*}(B/A) \simeq B^{*}(B/A) \oplus [\Omega^{*}_{\widetilde{B}/\widetilde{A}} \otimes_{\widetilde{B}} \Lambda]

Définition. L'isom. inverse de \varphi est noté \boxed{\widetilde{C} : H^{*}_{DR}(B/A) \xrightarrow{\sim} \Omega^{*}_{\widetilde{B}/\widetilde{A}} \otimes_{\widetilde{B}} \Lambda \ (= \Omega^{*}_{B/A} \otimes_{B} \Lambda)} On dira aussi souvent C l'homom. \widetilde{C} : Z^{*}(B/A) \to \Omega^{*}_{\widetilde{B}/\widetilde{A}} donnant les précédents par passage aux quotients, [dans ce cas il est surjectif, et son noyau est formé des différentielles exactes].

Corollaire 2. Il y a une application unique \widetilde{C} : Z^{*}(B/A) \to \Omega^{*}_{\widetilde{B}/\widetilde{A}} satisfaisant aux conditions suivantes

a) \widetilde{C}(d\omega) = 0 pour tout \omega \in Z^{*}(B/A)

b) \widetilde{C} est un hom. de \Lambda-algèbres ~~anneaux~~ \begin{cases} \widetilde{C}(\omega + \omega') = C(\omega) + C(\omega') \\ \widetilde{C}(\omega\omega') = C(\omega)\,C(\omega') \\ \widetilde{C}(\lambda\omega) = \lambda\,C(\omega) \quad \text{si } \lambda \in \Lambda \\ \widetilde{C}(1) = 1 \end{cases}

c) \widetilde{C}(x^{p-1}d_{B/A}x) = d_{\widetilde{B}/\widetilde{A}}x \otimes_{\widetilde{B}} 1_{\Lambda} d) \widetilde{C}\left(\dfrac{dx}{x}\right) = \dfrac{dx}{x} \otimes_{B} 1_{\Lambda} = \dfrac{d\widetilde{x}}{\widetilde{x}} \otimes_{\widetilde{B}} 1_{\Lambda}

dans c), un symbole est noyé d'encre devant x^{p-1}. La dernière condition (le cas \widetilde{C}(1) = 1) est entourée, avec la précédente, d'un trait reliant les deux.

L'existence résulte de la définition. L'unicité résulte du corollaire 1.

Corollaire 3. Si x \in B^{*}, on a d).

En effet, on a \dfrac{dx}{x} = x^{-p}(x^{p-1}dx), et comme x^{-p} \in \Lambda, on trouve \widetilde{C}\left(\frac{dx}{x}\right) = x^{-p}\,\widetilde{C}(x^{p-1}dx) = \text{\struck{$\ill{}$}}\; F_{A}(x^{-1})\,C(x^{p-1}dx) = (\widetilde{x}^{-1}d\widetilde{x}) \otimes_{\widetilde{B}} \Lambda

Cas particuliers

a) Supposons que \operatorname{Im}(A \to B) \subset B^{p}, ~~i.e. A \to \operatorname{Im}(A \to B). Alors~~ par exemple A parfait. Alors \Omega^{*}_{B/A} \simeq \Omega^{*}_{B/\mathbf{F}_{p}} \overset{\text{déf}}{=} \Omega^{*}_{B}, et de même pour H^{*}_{DR}(B/A), de sorte que on peut supposer que A = \mathbf{F}_{p}. Mais dans ce dernier cas, on a A \xrightarrow{\sim} \widetilde{A}, donc B \simeq \widetilde{B}, et si B \xrightarrow{F_{B}} B est injectif i.e. \widetilde{B} \xrightarrow{\sim} \Lambda i.e. B réduit, alors le th. 1 devient \Omega^{*}_{B} \xrightarrow[\sim]{\varphi} H^{*}_{DR}(B) . D'où l'opération de Cartier peut être considérée alors comme \widetilde{C} : Z^{*}(B) \to \Omega^{*}_{B} On fait attention que la dernière formule s'écrit ici

b') \widetilde{C}(f^{p}\omega) = f\,\widetilde{C}(\omega)

et c) et d) deviennent

\begin{cases} C(x^{p-1}dx) = dx \\ C(dx/x) = dx/x \end{cases} C'est le cas envisagé dans le texte initial de Cartier.

④ Fonctorialités, Globalisation. « Fonctorialités » est relié par un trait à « le cas envisagé » de la ligne au-dessus ; les deux mots semblent avoir été intervertis ou rapprochés après coup.

Soit X \to S en car. p, d'où

\begin{tikzcd} X \arrow[d] & X^{(p/S)} \arrow[l] \arrow[d, "{f = f_{X/S}}"] & X \arrow[l] \arrow[ll, bend right=30, "F_{X}"'] \arrow[dl, no head] \\ S & S \arrow[l, "F_{S}"] & \end{tikzcd}

dans le carré de gauche, l'auteur écrit « cart. » (souligné) : carré cartésien. Le trait de X (à droite) vers le S du milieu est sans pointe sur la page.

avec f = f_{X/S} radiciel entier surjectif]. ~~[Supposons que f_{*}(\underline{O}_{X}) soit localement p-base ; i.e. \operatorname{Im}(\underline{O}_{X^{(p/S)}} \to f_{*}(\underline{O}_{X})), alors on trouve un isom. .]~~ On définit donc un hom. canonique de faisceaux d'algèbres \psi : \Omega^{*}_{X^{(p/S)}/S} \to f_{*}(Z^{*}(\Omega^{*}_{X/S})) d'où un hom. canonique \psi : \Omega^{*}_{X^{(p/S)}/S} \to f_{*}(\mathcal{H}^{*}(\Omega^{*}_{X/S})) \simeq \mathcal{H}^{*}(f_{*}(\Omega^{*}_{X/S})) , dans le dernier membre, un symbole biffé devant (\Omega^{*}_{X/S}). Si \underline{\Lambda} = \operatorname{Im}(\underline{O}_{X^{(p/S)}} \to f_{*}(\underline{O}_{X})) [qui est donc de la forme \underline{O}_{X^{(p/S)}}/\mathcal{J}, \mathcal{J} un nilidéal, donc \mathcal{J} = 0 si X^{(p/S)} est réduit, p. ex. S réduit et X loc. de présentation finie sur S], on trouve donc \widetilde{\psi} : \Omega^{*}_{X^{(p/S)}/S} \otimes_{\underline{O}_{X^{(p/S)}}} \underline{\Lambda} \to \text{\struck{$f_{*}$}}\; \mathcal{H}^{*}(f_{*}(\Omega^{*}_{X/S})) Si f_{*}(\underline{O}_{X}) admet loc. une p-base sur \underline{O}_{X^{(p/S)}} (ou, ce qui revient au même, sur \underline{\Lambda}), alors l'hom. précédent est un isom., et on peut définir, l'isom. inverse \widetilde{C} : \mathcal{H}^{*}(f_{*}(\Omega^{*}_{X/S})) \to \Omega^{*}_{X^{(p/S)}/S} \otimes_{\underline{O}_{X^{(p/S)}}} \underline{\Lambda} d'où un hom. \widetilde{C} : Z^{*}(f_{*}(\Omega^{*}_{X/S})) \to \Omega^{*}_{X^{(p/S)}/S} \otimes_{\underline{O}_{X^{(p/S)}}} \underline{\Lambda} définir \widetilde{C} chaque fois que \psi est un isom. (sans qu'il y ait nécessairement des p-bases …)

La formation de \psi, chaque fois \widetilde{C} sous ses conditions d'existence, satisfait à une propriété de fonctorialité évidente pour un carré commutatif

\begin{tikzcd} X \arrow[d] & X' \arrow[l] \arrow[d] \\ S & S' \arrow[l] \end{tikzcd}

donnant naissance à un diagramme commutatif.

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & X \arrow[dl] \arrow[ddl] & & X' \arrow[ll] \arrow[dl] \arrow[ddl] \\ X^{(p/S)} \arrow[d] & & X'^{(p/S')} \arrow[ll] \arrow[d] & \\ S & & S' \arrow[ll] & \end{tikzcd}

le cube est redessiné d'après le croquis ; on a rendu les flèches telles qu'elles paraissent, de X vers X^{(p/S)} et vers S, et de même pour X'.

⑤ ~~Relation avec les~~ Connexions sur les Modules inversibles, et différentielles logarithmiques.

Soit \underline{L} module inversible sur X, muni d'une connexion \Delta_{0} rel. à S. Alors les connexions \Delta sur \underline{L}, ~~qui~~ qui correspondent (rel. à S), ~~s'identifient aux~~ homom. linéaires u : \underline{L} \to \underline{L} \otimes \Omega^{1}_{X/S} par u \mapsto \Delta = \Delta_{0} + u, s'identifient aux 1-formes différentielles \omega sur X/S. Si \Delta_{0} est à courbure nulle, la connexion sur \underline{L} définie par \omega est à courbure nulle, ssi d\omega = 0.

Proposition. Pour que la connexion sur \underline{L} définie par \omega soit à courbure nulle, il faut et il suffit que l'on ait d\omega = 0. ~~Pour qu'elle soit~~ Supposons que X/X^{(p/S)} soit loc. à \Delta, \Delta_{0} à courbure nulle, avec \Delta_{0} comp. aux puiss. p-ièmes [Pour que la connexion admette des p-bases, et que compatible avec les puissances p-ièmes envisagée comme [i.e. \Theta^{p}_{\xi}(x) = \Theta_{\xi^{p}}(x) pour tout champ de vecteurs \xi sur , et section de \underline{L} sur celui-ci) la fin de la page (à partir de « Supposons que X/X^{(p/S)} ») est très surchargée : insertions interlinéaires croisées et crochets non refermés ; on donne ce qui se lit, l'ordre des insertions restant incertain. L'énoncé se poursuit p. 174.

il faut et il suffit que l'on ait \widetilde{C}\omega = \widetilde{\omega} \otimes_{\underline{O}_{X^{(p/S)}}} 1_{\underline{\Lambda}}.

La première assertion est standard, et ne dépend pas de l'hyp. de car. p. [Si \underline{L} était pas de rang 1, mais seulement localement libre, alors \omega est une forme diff. à valeurs dans \underline{\mathrm{End}}(E), et la relation à écrire est d\omega + [\omega, \omega] = 0.]

Pour la deuxième, la condition étant locale, on peut supposer que X est affine. On a donc que admet une p-base (x_{i}), d'où des D_{i} = \dfrac{\partial}{\partial x_{i}}. ~~\ill{}\ \rho(D_{i}) = \rho_{0}(D_{i}) + \ill{}~~ D'où Écrivons la condition que \Delta, qui donne \xi \mapsto \Theta_{\xi}, ~~\rho(D_{i})^{p}~~ est compatible aux puissances p-ièmes. On trouve ~~\Theta_{\ill{}}~~ des conditions nécessaires \Theta_{D_{i}}^{p} = 0 \qquad (i \in I) car D_{i}^{p} = 0. Je dis qu'elles sont suffisantes. Cela se voit aisément, en remarquant que l'algèbre des opérateurs ~~\sum a_{i}D_{i},~~ effet, différentiels engendrés par les D_{i} = \dfrac{\partial}{\partial x_{i}} et les mult. ~~les a_{i} \in B.~~ scalaires est engendrée par les quantités D_{i}, x_{i}, avec les relat. \begin{cases} [D_{i}, D_{j}] = 0 \\ [x_{i}, x_{j}] = 0 \\ [D_{i}, x_{j}] = \delta_{ij} \\ x_{i}^{p} = a_{i} \\ D_{i}^{p} = 0 \end{cases} Il faut donc, compte tenu de \Delta_{i} = \Theta_{D_{i}} = \Theta^{0}_{D_{i}} + \omega(D_{i}).\mathrm{id} (où \Delta^{0}_{i} correspond à \Theta^{0}_{D_{i}}), écrivant \omega = \sum c_{i}\,dx_{i}, d'où c_{i} = \omega(D_{i}), exprimer la condition (\Delta^{0}_{i} + c_{i})^{p} = 0 . Mais la formule de Jacobson donne

Notes en diagonale dans la marge gauche, en partie illisibles : « maladroit des choix des bases » (souligné) ; « Dire : la relation de courbure \Theta^{p} définissant la compatibilité aux puissances p-ièmes comme une \Theta^{p}-courbure \Omega^{1}_{X/S} \otimes \underline{\mathrm{End}}(E) des anneaux envisagés […] nulle sur les \Theta-courbure donnée » ; « [alors ] égale, plus, \widetilde{C}\omega = F^{*}_{X/S}(\widetilde{\omega} - C\omega) … \omega \oplus p - F_{X/S} nulle donc \widetilde{\omega} = \widetilde{C}\omega » ; « Indépendante de l'hyp. que L de rang 1 ».

(cf. p. ex. Sém. Chevalley 58/59, exp. 6 p. 06) (\Delta^{0}_{i} + c_{i})^{p} = \underbrace{\Delta^{0\,p}_{i}}_{=\,0 \text{ par hyp.}} + c_{i}^{p} + D_{i}^{p-1}c_{i} donc la condition envisagée s'écrit (*) \qquad c_{i}^{p} + D_{i}^{p-1}c_{i} = 0 \qquad i \in I Or écrivons que d\omega = 0, ~~\widetilde{C}\omega = \widetilde{\omega}, en trouvant~~ (\omega = \sum c_{i}\,dx_{i}) on trouve pour d\omega = 0 la condition (**) \qquad D_{i}c_{j} - D_{j}c_{i} = 0 \qquad i, j \in I et on peut alors écrire (***) \qquad \widetilde{C}\omega = \text{\struck{$\ill{}$}}\; \sum_{i} -D_{i}^{p-1}c_{i}\,(d\widetilde{x}_{i} \otimes 1_{\Lambda}) sous D_{i}^{p-1}c_{i} : « est dans \Lambda car égal à \langle \widetilde{D}_{i}, C\omega \rangle 1_{\Lambda} ». ~~ce qui signifie aussi que \sum (c_{i}^{p} + D_{i}^{p-1}c_{i})\,x_{i}^{p-1}\,dx_{i} \sim cohomologue à \sum c_{i}^{p}\,dx_{i}, i.e. que \sum c_{i}^{p}~~ [ceci : la formule de transposition incluse dans la formulation des §3–§4 du loc. cit. p. 05 (prop. 3)] les trois mots en diagonale de la marge (« incluse dans … formulation … des §3–§4 ») sont rattachés par des traits au crochet ; leur place exacte est incertaine. alors que \widetilde{\omega} = \sum c_{i}^{p}\,(d\widetilde{x}_{i} \otimes 1_{\Lambda}) et on trouve donc, -\widetilde{C}\omega + \widetilde{\omega} = \sum (c_{i}^{p} + D_{i}^{p-1}c_{i})(d\widetilde{x}_{i} \otimes 1_{\Lambda}) donc c'est nul ssi (*) l'est, cqfd.

Nous utiliserons maintenant le fait bien connu qu'une connexion à courbure nulle ~~dont~~ et compatible à la puissance p-ième, sur un Module quasi-cohérent, équivaut à une donnée de descente de X à (X^{(p/S)}, \underline{\Lambda}). ~~On trouve donc~~

~~loc. sur X^{(p/S)}, \underline{O}_{X}~~ Prenons \underline{L} = \underline{O}_{X}, avec \Delta_{0} la connexion triviale. Alors \omega satisfaisant d\omega = 0, \widetilde{C}\omega = \widetilde{\omega} définit donc une donnée de descente sur \underline{L}, qui provient de \underline{L}_{0} sur X^{(p/S)}_{0} = (X^{(p/S)}, \underline{\Lambda}). Localement, on peut alors trouver une base de \underline{L}_{0}, ce qui signifie que loc. on a une section inversible engendrant \underline{L} par une section horizontale f, ce qui signifie que loc. on a ainsi les \omega = \dfrac{df}{f}. On trouve ainsi le

Théorème. Pour que (la 1-forme) \omega soit loc. une dérivée logarithmique, i.e. que \omega = df/f (f \in \Gamma(\underline{O}_{X}^{*})) il faut et il suffit que l'on ait d\omega = 0, C\omega = \widetilde{\omega}. En d'autres termes, on a une suite exacte \underline{O}_{X}^{*} \xrightarrow{f \mapsto df/f} \underline{\Omega}^{1}_{X/S} dont l'image est le sous-faisceau de \underline{\Omega}^{1}_{X/S} formé des \omega telles que d\omega = 0, \widetilde{C}\omega = \widetilde{\omega}. [NB le noyau est \underline{\Lambda}^{*}, donc si S est parfait, c'est \underline{O}_{X}^{*\,p}]

⑥ Cas des schémas relat. lisses. Relations avec la théorie des formes diff. de degré maximum.

Supposons X lisse sur S, donc X^{(p/S)} lisse sur S. Alors X \xrightarrow{F_{X/S}} X^{(p/S)} est un morphisme fini localement libre (en plus d'être radiciel et surjectif), à

fortiori \underline{O}_{X^{(p/S)}} \xrightarrow{\sim} \underline{\Lambda} ~~Donc On sait bien~~ [Il suffit en effet que X_{s} \to X_{s} est fini, X_{s} (étant) régulier, à dimension plus source de vérifier fibre par fibre … ] On sait bien que X/S a localement une p-base i.e. qu'il en est ainsi de X sur X^{(p/S)} : en effet, il suffit de savoir que X est loc. de tf. sur S, cette condition équivalant à celle que \Omega^{1}_{X/S} soit localement libre, ce qui est bien le cas !

On est donc dans un cas où l'opération de Cartier est \widetilde{C} : F_{X/S\,*}(Z\Omega^{*}_{X/S}) \to \Omega^{*}_{X^{(p/S)}} Si la dim. relative est n, on trouve en particulier \widetilde{C} : F_{X/S\,*}(\underbrace{\underline{\Omega}^{n}_{X/S}}_{\substack{\omega_{X/S} \\ \text{module dualisant relatif}}}) \to \underbrace{\underline{\Omega}^{n}_{X^{(p/S)}}}_{\omega_{X^{(p/S)}}}

Théorème 3. L'homomorphisme précédent est l'homomorphisme trace (ou de Gysin) F_{X/S\,*} associé au morphisme F_{X/S} : X \to X^{(p/S)} de schémas lisses sur S.

Soient donc f_{1}, \ldots, f_{n} une suite de sections de \underline{O}_{X} qui définissent un sous-schéma Z (donc loc. lib. sur S) de X fini sur S. Les \widetilde{f}_{1}, \ldots, \widetilde{f}_{n} définissent donc \widetilde{Z} item, et pour toute forme, ~~Pour~~ une section \overline{\omega} de \Omega^{n}_{X^{(p/S)}}, ~~\mathrm{Tr}~~ \operatorname{res}\left(\dfrac{\overline{\omega}}{\widetilde{f}_{1} \ldots \widetilde{f}_{n}}\right). On peut aussi prendre les images f_{1}^{p}, \ldots, f_{n}^{p} dans X, qui définissent un sous-schéma Z' de X fini sur S, et pour les n-formes \omega sur X/S, on a les formes \operatorname{res}\left(\dfrac{\omega}{f_{1}^{p} \ldots f_{n}^{p}}\right). On trouve alors, comme formule essentielle

revient équivalemment d'exprimer le th. 3, la relation \boxed{\operatorname{res}\left(\frac{\widetilde{C}\omega}{\widetilde{f}_{1} \ldots \widetilde{f}_{n}}\right) = \operatorname{res}\left(\frac{\omega}{f_{1}^{p} \ldots f_{n}^{p}}\right)} Lorsque la dim. relative est 1, cette formule s'écrit \operatorname{res}\frac{\widetilde{C}\omega}{\widetilde{f}} = \operatorname{res}\frac{\omega}{f^{p}} \quad \text{i.e.} \quad \boxed{\operatorname{res}\widetilde{C}\overline{\omega} = \operatorname{res}\overline{\omega}} si on pose \overline{\omega} = \omega/f^{p} ; le premier membre est aussi \operatorname{res}\widetilde{C}(\omega/f^{p}). Et lorsque de plus S est parfait i.e. F_{S} : S \to S un isom., de sorte que C est défini, on peut l'écrire \text{\struck{$\left(\operatorname{res}\dfrac{C\omega}{f}\right)^{p} = \operatorname{res}\dfrac{\omega}{f^{p}}$}} \qquad \boxed{(\operatorname{res} C\overline{\omega})^{p} = \operatorname{res}\overline{\omega}} sous le premier membre biffé, l'auteur relie \operatorname{res}\dfrac{C\omega}{f} à \operatorname{res} C\!\left(\dfrac{\omega}{f^{p}}\right) par un signe =.

Remarques. ① Il y a aussi un hom. de Cartier F_{i} : F_{*}(\Omega^{i}_{X/S}) \to \Omega^{i}_{X^{(p/S)}/S} , défini grâce à l'h. trace de Cartier pour i = n et la formule de projection. Mais comme F^{*} : \Omega^{i}_{X^{(p/S)}/S} \to F_{*}\Omega^{i}_{X/S} est nul pour i \neq 0, on conclut que F_{i} = 0 si i \neq n. En particulier, si i \neq 0, l'hom. F_{i} ne coïncide pas en général avec l'opération de Cartier sur les formes fermées.

② Il y a lieu de définir aussi l'opération de Cartier sur les modules dualisants relatifs \underline{\omega}_{X/S}, sans hyp. de lissité, lorsque la formation de celui-ci commute aux chgt. de base S \xrightarrow{F_{S}} S (p. ex. S parfait i.e. F_{S} un isom.), X étant loc. de type fini sur S loc. noethérien. On trouve C = F_{X/S\,*} : F_{X/S\,*}(\omega_{X/S}) \to \omega_{X^{(p/S)}/S} \simeq \widetilde{\omega}_{X/S} d'où, en appliquant F^{-1}_{X/S} et composant avec F^{-1}_{X/S}(\widetilde{\omega}_{X/S}) \to \widetilde{\omega}_{X/S}, un hom. (pas linéaire, mais \Lambda-linéaire) \omega_{X/S} \to \omega^{(p)}_{X/S} la flèche finale porte en exposant « (p) » ; on la lit \omega_{X/S} \to \omega^{(p)}_{X/S}, sans garantie.

Appliquons le th. 3 à la dualité globale, en supposant X propre et lisse sur S. Soit E module loc. libre sur X (et supposons S parfait …), \widetilde{E} son image inverse sur X^{(p/S)}, dont l'image inverse sur X par F_{X/S} est E^{(p)}. Alors on a des homomorphismes \text{\struck{$[H^{i}(X, E) \to]\ H^{i}(X^{(p/S)}, \widetilde{E}) \to H^{i}(X, E^{(p)})$}} dit « puissance p-ième », (\varphi) \qquad \mathbf{R}f_{*}(\widetilde{E}) \xrightarrow{\ \varphi\ } \mathbf{R}f_{*}(E^{(p)}) \phantom{(\varphi) \qquad} \simeq \mathbf{R}f_{*}(E)^{(p)} qui n'est autre essentiellement que l'hom. de changement de base associé au carré cartésien

\begin{tikzcd} X \arrow[d, "f"'] \arrow[r, "F_{X}"] & X \arrow[d] \\ S \arrow[r, "F_{S}"] & S \end{tikzcd}

les flèches horizontales du carré sont dessinées sans pointe, de gauche à droite ; on les rend dans le sens où elles sont écrites. À côté du X de droite : F_{X}^{*}(E) = E^{(p)}.

Considérons le transposé de (\varphi), nous savons que c'est l'hom. \mathbf{R}f_{*}(\check{E}^{(p)} \otimes \Omega^{n}_{X/S}[n]) \to \mathbf{R}f_{*}(\check{\widetilde{E}} \otimes \Omega^{n}_{\widetilde{X}/S}[n]) au-dessus du premier membre, l'auteur écrit « \simeq \mathbf{R}g_{*}(\mathbf{R}F_{X/S\,*}(E^{(p)} \otimes \Omega^{n}_{X/S})) ». associé à l'hom. trace (**) \qquad F_{X/S\,*}(\check{E}^{(p)} \otimes \Omega^{n}_{X/S}) = \check{\widetilde{E}} \otimes F_{X/S\,*}(\Omega^{n}_{X/S}) \phantom{(**) \qquad} \to \check{\widetilde{E}} \otimes \Omega^{n}_{X^{(p/S)}/S} dirons, par tensorisation avec \check{\widetilde{E}}[n] de l'hom. trace habituel. Celui-ci à son tour s'interprète comme l'hom. ~~trace~~ de Cartier.

En particulier, on voit que le transposé de R^{n}f_{*}(\widetilde{E}) \longrightarrow R^{n}f_{*}(E^{(p)}) \phantom{R^{n}f_{*}(\widetilde{E})} \simeq R^{n}f_{*}(E)^{(p)} ~~[ supposons R^{n}f_{*}(E) et R^{n}f_{*}(E^{(p)}) loc. libres, ]~~

est l'hom. f_{*}(\check{E}^{(p)} \otimes \Omega^{n}_{X/S}) \to g_{*}(\check{\widetilde{E}} \otimes \Omega^{n}_{X^{(p/S)}/S}) \phantom{f_{*}(\check{E}^{(p)} \otimes \Omega^{n}_{X/S}) \to{}} \simeq g_{*}(\check{E} \otimes \Omega^{n}_{X/S})^{(p)} sous l'isomorphisme vertical : « sous réserve de commutation à F_{S} de f_{*}(\check{E} \otimes \Omega^{n}_{X/S}) » ; un premier membre f_{*}(\check{E} \otimes \Omega) est biffé à gauche. donné par l'opération de Cartier (**), ci-dessus.

Le cas le plus important est celui où E = \underline{O}_{X}, on trouve que l'hom. de puissance p-ième R^{i}f_{*}(\underline{O}_{X})^{(p)} \to R^{i}f_{*}(\underline{O}_{X}) est transposé de l'opération de Cartier \widetilde{C} : f_{*}(\Omega^{n}_{X/S}) \to g_{*}(\Omega^{n}_{X^{(p/S)}/S}) \underset{\text{s.\ réserve}}{\simeq} f_{*}(\Omega^{n}_{X/S})^{\otimes p} l'exposant final se lit « \otimes p » ; on attendrait (p). \overline{M} énoncé pour les \underbrace{R^{i}f_{*}(\underline{O}_{X})^{(p)}}_{\text{sous réserve que c'est } R^{i}f_{*}(\underline{O}_{X^{(p/S)}})} \to R^{i}f_{*}(\underline{O}_{X}), à cela près qu'il faut prendre l'hom. sur R^{n-i}f_{*}(\Omega^{n}_{X/S}) \to R^{n-i}f_{*}(\Omega^{n}_{X/S})^{(p)} sous ce dernier exposant : « [sous réserve] ». déduit de \widetilde{C} par application de R^{n-i}f_{*}.

Un hom. intéressant est R^{1}f_{*}(\underline{O}_{X^{(p/S)}}) \longrightarrow R^{1}f_{*}(\underline{O}_{X}) dans le cas où f est propre, ~~car~~ il s'identifie à l'hom. des sections pour les plans tangents \underline{\mathrm{Lie}}\,\underline{\mathrm{Pic}}_{X^{(p/S)}/S} \longrightarrow \underline{\mathrm{Lie}}\,\underline{\mathrm{Pic}}_{X/S} \Vert (\underline{\mathrm{Lie}}\,\underline{\mathrm{Pic}}_{X/S})^{(p/S)} Nous admettrons ici que l'hom. \underline{\mathrm{Pic}}_{X^{(p/S)}/S} \simeq \underline{\mathrm{Pic}}^{(p/S)}_{X/S} \xrightarrow{\ V\ } \underline{\mathrm{Pic}}_{X/S} est le Verschiebung, d'où il résulte que l'hom. Il est immédiat en tout cas que F_{\mathrm{Pic}}V = p\,\mathrm{id}, VF_{\mathrm{Pic}} = p\,\mathrm{id} . À vérifier : cela doit donner tout aussi des conditions intéressantes des p-rang . l'argument se poursuit au-delà de la p. 180, hors de ce lot.