Cote n° 93, pages 161–180

Cote n° 93 · batch 9 · pages 161–180 · Transcription · Connexions de Gauss-Manin et équations de Picard-Fuchs. Opération de Cartier : copies de tapuscrit annoté (s.d.), tiré à part (1981), notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [1972]-1981
Édition de démonstration

Filtration du complexe de De Rham d'un schéma relatif lisse, et connexion de Gauss-Manin (d'après Katz-Oda)

titre de l'auteur en tête de la p. 161, numéroté « 1) » et souligné ; le mot « lisse » est ajouté au-dessus de la ligne, et un mot est biffé avant « (d'après Katz-Oda) ».

1611) Filtration du complexe de De Rham d'un schéma relatif⌜, lisse⌝ et connexion de Gauss-Manin […] (d'après Katz-Oda).

LaTeX source

\begin{tikzcd}
X \arrow[d, "f"] \\
S \arrow[d, "g"] \\
T
\end{tikzcd}

$f$ lisse [ou seulement diff. lisse, pour rendre exacte la suite (1)]. On a donc une suite exacte \[ (1) \qquad \text{\struck{$0 \to$}}\; 0 \to f^{*}(\Omega^{1}_{S/T}) \to \Omega^{1}_{X/T} \to \Omega^{1}_{X/S} \to 0 \] d'où une filtration $\mathrm{Fil}_{X/S}$ de l'objet gradué $\Omega^{\bullet}_{X/T} = \bigwedge^{\bullet} \Omega^{1}_{X/T}$, avec gradué associé \[ (2) \qquad \mathrm{Gr}^{p}_{X/S}(\Omega^{\bullet}_{X/T}) \simeq f^{*}(\Omega^{p}_{S/T}) \otimes \Omega^{\bullet}_{X/S}[-p] . \] On constate que la filtration respecte les opérateurs différentiels de $\Omega^{\bullet}_{X/T}$, et qu'il en est de même […] compte tenu que, grâce à la structure différentielle de $\Omega^{\bullet}_{X/T}$ et à $f^{*}(\Omega^{p}_{S/T})$ rel. à $X/S$, $f^{*}(\Omega^{p}_{S/T}) \otimes \Omega^{\bullet}_{X/S}$ est […] bien muni d'une […] différentielle de l'isomorphisme (2), […] d'ailleurs, comme $f$ est plat, $f^{*}(\Omega^{p}_{S/T}) \simeq \mathbf{L}f^{*}(\Omega^{p}_{S/T})$, et comme $\Omega^{\bullet}_{X/S}[-p]$ est plat, le $\otimes$ dans (2) est aussi le $\overset{\mathbf{L}}{\otimes}$, donc on a \[ (2') \qquad \mathrm{Gr}^{p}_{X/S}(\Omega^{\bullet}_{X/T}) \simeq \mathbf{L}f^{*}(\Omega^{p}_{S/T}) \overset{\mathbf{L}}{\otimes} \Omega^{\bullet}_{X/S}[-p] , \] dans le même sens où […] dans […].

La filtration sur $\Omega^{\bullet}_{X/T}$ définit $\mathbf{R}f_{*}(\Omega^{\bullet}_{X/T})$ donc […] […] […] $\Omega^{\bullet}_{X/T}$ comme objet d'une catégorie dérivée filtrée, (filtration […] notée $\mathrm{Fil}^{\bullet}_{X/S}$, d'où $\mathrm{Gr}^{\bullet}_{X/S}$). On

162aura alors \[ \mathrm{Gr}^{p}_{X/S}\, \mathbf{R}f_{*}(\Omega^{\bullet}_{X/T}) \simeq \mathbf{R}f_{*}(\mathrm{Gr}^{p}_{X/S}(\Omega^{\bullet}_{X/T})) . \] Tenant compte de (2'), et supposant $f$ quasi-compact et quasi-séparé, il résulte ⌜alors⌝ de la formule de projection [dans un cadre pas très catholique, — il faudra faire une petite vérification] \[ (3) \qquad \mathrm{Gr}^{p}_{X/S}\, \mathbf{R}f_{*}(\Omega^{\bullet}_{X/T}) \simeq \Omega^{p}_{S/T} \overset{\mathbf{L}}{\otimes} \mathbf{R}f_{*}(\Omega^{\bullet}_{X/S})[-p] . \] On a en particulier les opérateurs une suite spectrale, d'où […] \[ (4) \qquad d^{(p)}_{1} : \mathrm{Gr}^{p}_{X/S}\, \mathbf{R}f_{*}(\Omega^{\bullet}_{X/T}) \to \mathrm{Gr}^{p+1}_{X/S}\, \mathbf{R}f_{*}(\Omega^{\bullet}_{X/T})[1] , \] i.e. donc, compte tenu de l'expression explicite (3) : \[ (5) \qquad d^{(p)}_{1} : \Omega^{p}_{S/T} \overset{\mathbf{L}}{\otimes} \mathbf{R}f_{*}(\Omega^{\bullet}_{X/S})[-p] \to \Omega^{p+1}_{S/T} \overset{\mathbf{L}}{\otimes} \mathbf{R}f_{*}(\Omega^{\bullet}_{X/S})[-p] , \] d'où, en translatant par $p$ : \[ (6) \qquad \text{\struck{$\ill{}$}}\; d^{(p)}_{1}[p] : \Omega^{p}_{S/T} \overset{\mathbf{L}}{\otimes} \mathbf{R}f_{*}(\Omega^{\bullet}_{X/S}) \to \Omega^{p+1}_{S/T} \overset{\mathbf{L}}{\otimes} \mathbf{R}f_{*}(\Omega^{\bullet}_{X/S}) . \] On a bien sûr \[ (7) \qquad d^{(p+1)}_{1}\, d^{(p)}_{1} = 0 . \] Faisant $p = 0$ dans (6), on trouve \[ (6_{0}) \qquad d^{(0)}_{1} : \mathbf{R}f_{*}(\Omega^{\bullet}_{X/S}) \to \Omega^{1}_{S/T} \otimes \mathbf{R}f_{*}(\Omega^{\bullet}_{X/S}) , \] i.e. une connexion sur $\mathbf{R}f_{*}(\Omega^{\bullet}_{X/S})$. On l'appelle la connexion de Gauss-Manin. [La formule (7), prouve que c'est une] (Il semble bien que c'est la même que celle que j'ai définie dans […] [[…]]!). Attention, il faut prouver une compatibilité de $d_{1}$ avec la diff. de $\Omega^{\bullet}_{S/T}$, pour expliciter comme dit (7)! La formule (7) montre qu'elle est intégrable.

163Lorsque les Bien sûr, les différentielles (6) définissent \[ (8) \qquad d^{p,q}_{1}[p] : \mathcal{H}^{q}(\Omega^{p}_{S/T} \otimes \mathbf{R}f_{*}(\Omega^{\bullet}_{X/S})) \to \mathcal{H}^{q}(\Omega^{p+1}_{S/T} \otimes \mathbf{R}f_{*}(\Omega^{\bullet}_{X/S})) , \] qui, pour $\Omega^{\bullet}_{S/T}$ plat sur $S$, p. ex. $S$ formellement lisse sur $T$⌜$T$⌝, […] s'écrit ainsi \[ (8') \qquad d^{p,q}_{1}[p] : \Omega^{p}_{S/T} \otimes \mathbf{R}^{q}f_{*}(\Omega^{\bullet}_{X/S}) \to \Omega^{p+1}_{S/T} \otimes \mathbf{R}^{q}f_{*}(\Omega^{\bullet}_{X/S}) , \] qui pour $p = 0$ définit une connexion intégrable sur les $\mathbf{R}^{q}f_{*}(\Omega^{\bullet}_{X/S})$, dite connexion de Gauss-Manin.

Posons pour un moment, pour simplifier, \[ (9) \qquad K^{\bullet} = \mathbf{R}f_{*}(\Omega^{\bullet}_{X/T}) , \] qu'on considère toujours comme complexe filtré comme il a été dit. On a donc \[ (10) \qquad \mathbf{R}\Gamma_{S}(K^{\bullet}) \simeq \mathbf{R}\Gamma_{X}(\Omega^{\bullet}_{X/T}) \simeq \mathbf{R}H_{DR}(X/T) . \] La filtration de $K^{\bullet}$ permet, d'après un sorite général, d'écrire une suite spectrale \[ (11) \qquad \mathbf{R}\Gamma_{S}(K^{\bullet}) \Longleftarrow E^{p,q}_{2} = \mathbb{H}^{p}(S, \alpha \mapsto \mathcal{H}^{\alpha+q}(\mathrm{Gr}^{\alpha}(K^{\bullet}))) , \] le second membre est lu tel qu'écrit : « $\mathbb{H}^{p}(S, \alpha \mapsto \mathcal{H}^{\alpha+q}(\mathrm{Gr}^{\alpha}(K^{\bullet})))$ », le complexe en $\alpha$ ayant pour différentielle le $d_{1}$. les différentielles définissant le complexe $\alpha \mapsto \ldots$ étant les différentielles évidentes $d_{1}$ provenant de la filtration. Tenant compte de (3) ⌜et (10)⌝, on trouve donc la suite spectrale

164\[ (12) \qquad H^{*}_{DR}(X/T) \Longleftarrow E^{p,q}_{2} = \mathbb{H}^{p}(S, \alpha \mapsto \mathcal{H}^{q}(\Omega^{\alpha}_{S/T} \overset{\mathbf{L}}{\otimes} \mathbf{R}f_{*}(\Omega^{\bullet}_{X/S}))) , \] où l'opérateur diff. pour le complexe $\alpha \mapsto \ldots$ s'exprime donc directement à l'aide de la connexion de Gauss-Manin de $\mathbf{R}f_{*}(\Omega^{\bullet}_{X/S})$. Dans le cas favorable $\Omega^{1}_{S/T}$ plat, (il suffit $\Omega^{1}_{S/T}$ plat, i.e. Dolbeault grand) […] cette suite spectrale devient \[ (12') \qquad H^{*}_{DR}(X/T) \Longleftarrow E^{p,q}_{2} = \mathbb{H}^{p}(S, \alpha \mapsto \Omega^{\alpha}_{S/T} \otimes \mathbf{R}^{q}f_{*}(\Omega^{\bullet}_{X/S})) \] \[ = H^{p}_{DR}(S/T, \mathbf{R}^{q}f_{*}(\Omega^{\bullet}_{X/S})) , \] l'expression $H^{p}_{DR}$ à droite ayant un sens, grâce à la connexion de Gauss-Manin de $\mathbf{R}^{q}f_{*}(\Omega^{\bullet}_{X/S})$. Comme de juste, les suites spectrales (12) et (12') (dans (12')) s'appelle[nt], […] suite spectrale de Leray filtrée, en cohomologie de De Rham. « suite spectrale de Leray filtrée » : lecture incertaine du dernier mot.

[…] Application. Soit une classe \[ (13) \qquad \xi \in H^{n}_{DR}(X/T) \] telle que son image dans $E^{0,n}_{2} = \mathbb{H}^{0}(H^{0}(S, \mathbf{R}f_{*}(\Omega^{\bullet}_{X/S})) \to H^{0}(S, \mathcal{H}^{n}(\Omega^{1}_{X/S} \overset{\mathbf{L}}{\otimes} \mathbf{R}f_{*}(\Omega^{\bullet}_{X/S}))))$ […] par \[ (14) \qquad H^{n}_{DR}(X/T) \to H^{0}(S, \mathbf{R}^{n}f_{*}(\Omega^{\bullet}_{X/S})) \] est nulle [NB cette image est en tout cas toujours horizontale, i.e. son image dans $\Gamma(S, \mathcal{H}^{n}(\Omega^{1}_{X/S} \overset{\mathbf{L}}{\otimes} \mathbf{R}f_{*}(\Omega^{\bullet}_{X/S})))$ est nulle], i.e. son image dans la formule de $E^{0,n}_{2}$ en marge droite est surchargée et en partie biffée ; on la donne telle qu'elle se laisse lire, sans garantie. Sous $H^{0}(S, \mathbf{R}^{n}f_{*}(\Omega^{\bullet}_{X/S}))$ l'auteur écrit $\mathcal{H}^{n}_{DR}(X/S)$. Les indices « $\Omega^{1}_{X/S}$ » du NB sont lus tels qu'écrits ; l'argument attend $\Omega^{1}_{S/T}$.

165Alors grâce à la suite spectrale de Leray, $\xi$ définit un élément dans $E^{1,n-1}_{\infty} \subset E^{1,n-1}_{2}$, donc un \[ (15) \qquad \eta \in \mathbb{H}^{1}(S, \alpha \mapsto \mathcal{H}^{n-1}(\Omega^{\alpha}_{S/T} \overset{\mathbf{L}}{\otimes} \mathbf{R}f_{*}(\Omega^{\bullet}_{X/S}))) . \] Supposons en particulier les $\Omega^{1}_{S/T}$ plats, de sorte donc on obtient \[ (16) \qquad \eta \in H^{1}_{DR}(S, \mathbf{R}^{n-1}f_{*}(\Omega^{\bullet}_{X/S})) \qquad (\Omega^{1}_{S/T} \text{ plat}) . \] Nous avons vu [[…]] qu'un tel objet s'identifie à une classe d'isomorphie de torseurs $P$ sous $\mathbf{R}^{n-1}f_{*}(\Omega^{\bullet}_{X/S})$ munis d'une homomorphisme \[ (17) \qquad P \xrightarrow{d_{p}} \Omega^{1}_{S/T} \otimes \mathbf{R}^{n-1}f_{*}(\Omega^{\bullet}_{X/S}) \] satisfaisant \[ (18) \qquad \begin{cases} d_{p}(x+\xi) = d_{p}(x) + d^{0}(\xi) \\ \operatorname{Im} d_{p} \subset Z^{1}(\Omega^{\bullet}_{S/T} \otimes \mathbf{R}^{n-1}f_{*}(\Omega^{\bullet}_{X/S})) . \end{cases} \] $x \in P(\cdot)$, $\xi \in \mathbf{R}^{n-1}f_{*}(\Omega^{\bullet}_{X/S})(\cdot)$ ; $d^{0}$ dérivée de conn. de G.M.

[On sait aussi, sans l'hypothèse des platitudes sur $\Omega^{1}_{S/T}$, que si $S$ est de car. nulle, la donnée de $d_{p}$ équivaut à la donnée de \[ (19) \qquad P \xrightarrow{\delta^{\infty}_{p}} P^{\infty}_{S/T}(\mathbf{R}^{n-1}f_{*}(\Omega^{\bullet}_{X/S}))^{+} \] satisfaisant la condition \[ (20) \qquad \delta^{\infty}_{p}(x+\xi) = \delta^{\infty}_{p}(x) + d^{+}_{S/T}(\xi) \] $x \in P(\cdot)$, $\xi \in \mathbf{R}^{n-1}f_{*}(\Omega^{\bullet}_{X/S})(\cdot)$ : $d^{+}_{S/T} = d^{\infty}_{S/T} - \delta^{\infty}_{S/T}$, $\delta^{\infty}_{S/T}$ défini par la stratification de $\mathbf{R}^{n-1}f_{*}(\Omega^{\bullet}_{X/S})$ déduite de sa connexion de G.M. […] le crochet ouvert devant « On sait aussi » n'est pas refermé sur la page ; l'exposant écrit « $+$ » à la fin de (19) est suivi d'un signe barré qu'on n'a pas su lire.

166Variantes. a) On peut prendre sur $X$ un module de coeff. qu. coh. $E$, avec connexion intégrable rel. à $T$, d'où $\Omega^{\bullet}_{X/T} \otimes E$ avec structure de complexe. Tout ce qui précède s'applique, (ce qui ne fait que la suite exacte (1) splitte localement, donne suite exacte en tensorisant les filtrations de $\otimes$ par une filtration compatible sur $\Omega^{\bullet}_{S/T} \otimes E$, d'où \[ \mathrm{Gr}^{p}_{X/S}(\Omega^{\bullet}_{X/T} \otimes E) \simeq \mathrm{Gr}^{p}_{X/S}(\Omega^{\bullet}_{X/T}) \otimes E \] au point de vue additif. Pour pouvoir appliquer la formule de projection, et obtenir, en analogie avec (3) \[ (21) \qquad \mathrm{Gr}^{p}_{X/S}(\mathbf{R}f_{*}(\Omega^{\bullet}_{X/T} \otimes E)) \simeq \Omega^{p}_{S/T} \overset{\mathbf{L}}{\otimes} \mathbf{R}f_{*}(\Omega^{\bullet}_{X/S} \otimes E)[-p] , \] il semble qu'il faille suffise $E$ plat sur $X$ ou $\Omega^{1}_{S/T}$ plat sur $S$. Sous cette réserve, on obtient des connexions intégrables sur les […] $\mathbf{R}f_{*}(\Omega^{\bullet}_{X/S} \otimes E)$ rel. à $T$, et une suite spectrale qui, dans le 2^e cas ($\Omega^{1}_{S/T}$ plat) prend la forme simple \[ (22) \qquad H^{*}_{DR}(X/T, E) \Longleftarrow E^{p,q}_{2} = H^{p}_{DR}(S/T, \mathcal{H}^{q}_{DR}(X/S, E)) . \]

b) On peut localiser la suite spectrale obtenue sur $T$, (plus généralement, relativiser : un morphisme quelconque $S \to R$). On peut donner des compatibilités de la suite spectrale obtenue sur $T$, […] ⌜formules⌝ avec des connexions intégrables relativement à une base au-dessus de $T$.

Opération de Cartier

titre de l'auteur, seul en haut d'un feuillet par ailleurs blanc (p. 167), qui sert de chemise à ce qui suit.

168L'opération de Cartier (NB Tous les anneaux sont des $\mathbf{F}_{p}$-alg.)

① Cohomologie de De Rham d'une algèbre admettant une $p$-base.

a) Soit $B/A$, donc, posant $\Lambda = A[B^{p}] \subset B$, on a \[ \begin{cases} \Omega^{1}_{B/A} \xrightarrow{\sim} \Omega^{1}_{B/\Lambda} & \text{d'où } \Omega^{*}_{B/A} \xrightarrow{\sim} \Omega^{*}_{B/\Lambda} \\ \text{donc } H^{*}_{DR}(B/A) \simeq H^{*}_{DR}(B/\Lambda) & \text{(comme $\Lambda$-algèbres)} \end{cases} \]

b) Supposons que $B$ admette une $p$-base sur $A$ formée d'un élément $x$, i.e., […] […] posant $x^{p} = a \in \Lambda$, on a un isom. de $\Lambda$-algèbres \[ B \simeq \Lambda[X]/(X^{p} - a) . \] Alors on a :

base de $\Omega^{0}_{B/\Lambda}$ sur $\Lambda$ : $1, x, x^{2}, \ldots, x^{p-2}, x^{p-1}$

base de $\Omega^{1}_{B/\Lambda}$ sur $\Lambda$ : $dx, x\,dx, x^{2}dx, \ldots, x^{p-1}dx$

d'où base de $H^{*}_{DR}(B/\Lambda) \simeq H^{*}_{DR}(B/A)$ : $\dot{1}$, $\overline{x^{p-1}dx}$.

entre les deux lignes de bases, des flèches obliques relient $x^{k}$ à $x^{k-1}dx$ (la différentielle, avec un coefficient noté sous la troisième flèche) ; $x^{p-1}dx$ est seul à ne pas être atteint, et la flèche partant de $1$ aboutit à un point (zéro).

c) Supposons qu'on ait une $p$-base $(x_{i})_{i \in I}$ de $B$ sur $A$. Alors […] \[ \Omega^{1}_{B/A} \simeq \Omega^{1}_{B/\Lambda} \quad \text{admet base } (dx_{i})_{i \in I} \] d'où \[ \Omega^{*}_{B/\Lambda} \simeq \bigotimes_{I,\Lambda} \Omega^{*}_{B_{i}/\Lambda} \qquad \text{(tous de $\Lambda$-alg.\ différentielles)} \] où \[ B_{i} \simeq \Lambda[x_{i}] \simeq \Lambda[X_{i}]/(X_{i}^{p} - a_{i}) \qquad (a_{i} = x_{i}^{p} \in \Lambda) . \] Par suite, Künneth nous donne \[ H^{*}_{DR}(B/A) \simeq H^{*}_{DR}(B/\Lambda) \simeq \bigotimes_{I,\Lambda} H^{*}_{DR}(B_{i}/\Lambda) \]

169② L'homomorphisme \[ \psi : \Omega^{*}_{B/A} \to Z^{*}_{B/A} \qquad (\text{cycles de } \Omega^{*}_{B/A}) \] Il y a un homom. unique $\psi$, satisfaisant les conditions

a) $\psi$ est un hom. d'anneaux

b) $\psi_{0}(x) = \underbrace{x^{p}}_{\psi_{0}(x)}$ si $x \in B \simeq \Omega^{0}_{B/A}$

c) $\psi(d_{B/A}x) = \underbrace{x^{p-1}d_{B/A}x}_{\partial x}$ si $x \in B$.

Pour vérifier ceci, il suffit de vérifier que l'on a \[ \partial(xy) = \psi_{0}(x)\,\partial y + \psi_{0}(y)\,\partial x \] i.e. \[ (xy)^{p-1}d(xy) = x^{p}y^{p-1}dy + y^{p}x^{p-1}dx \] ce qui est trivial.

Considérons $Z^{*}_{B/A}$ comme une algèbre sur $\Lambda = A[B^{p}]$, et formons $\widetilde{B} = B \otimes_{A} \widetilde{A}$ ($\widetilde{A} = (A, F_{A})$, $F_{A} : A \to A$ défini par $x \mapsto x^{p}$),

LaTeX source

\begin{tikzcd}[column sep=small]
B \arrow[r] \arrow[rr, bend left=30, "F_{A}"] & \widetilde{B} = B \otimes_{A} \widetilde{A} \arrow[r] \arrow[d] & B \\
A \arrow[u] \arrow[r] & \widetilde{A} = (A, F_{A}) \arrow[ur, no head] &
\end{tikzcd}

diagramme redessiné d'après le croquis : la flèche verticale de gauche monte de $A$ vers $B$, celle du milieu descend de $\widetilde{B}$ vers $\widetilde{A}$, comme sur la page ; le trait de $\widetilde{A}$ vers $B$ est sans pointe. L'étiquette de l'arc courbe se lit « $F_{A}$ » ; on attendrait $F_{B}$.

de sorte que l'image dans $B$ est précisément $\Lambda = A[B^{p}]$. Alors, utilisant l'homom. canonique $B \to \widetilde{B}$, $x \mapsto x \otimes_{A} 1_{\widetilde{A}}$, dont le composé avec $\widetilde{B} \to B$ est $F_{B} : x \mapsto x^{p}$, et considérant $\Omega^{*}_{B}$ […] comme une $B$-algèbre, l'homom. $\psi$ se […] […] le coin inférieur droit du feuillet manque ; la fin des lignes suivantes est perdue. […] l'hom. $B \to \widetilde{B}$ sur les scalaires, […]

un hom. de avec un homom. de $\Lambda$-algèbres \[ \widetilde{\psi} : \Omega^{*}_{B/A} \otimes_{B} \widetilde{B} \simeq \Omega^{*}_{\widetilde{B}/\widetilde{A}} \to Z^{*} \ldots \] qui est donc […] Nous serons intéressés surtout par l'homomorphisme composé \[ Z^{*}_{B/A} \to H^{*}_{DR}(B/A) \ldots \] savoir \[ \boxed{\varphi : \Omega^{*}_{\widetilde{B}/\widetilde{A}} \to H^{*}_{DR}(B/A)} \]

170③ L'opération de Cartier.

Théorème 1. Supposons que $B/A$ admette une $p$-base. Alors l'homom. précédent $\varphi$ ⌜induit⌝ est un isomorphisme $\Omega^{*}_{\widetilde{B}/\widetilde{A}} \otimes_{\widetilde{B}} \Lambda \to H^{*}_{DR}(B/\Lambda)$ [NB $\Lambda \simeq \widetilde{B}/\text{idéal}$] donc est un isom. si $\widetilde{B} \xrightarrow{\sim} \Lambda$ i.e. $\widetilde{B} \to B$ est injectif.

En effet, si $(x_{i})_{i \in I}$ est une $p$-base, utilisant les notations du n^o 1, on trouve un isom. de $B$-algèbres \[ \Omega^{*}_{B/A} \simeq \bigotimes_{i \in I} \Omega^{*}_{B_{i}/\Lambda} \otimes_{B_{i}} B \] d'où isom. de $B$-alg. \[ \Omega^{*}_{\widetilde{B}/\widetilde{A}} \simeq \bigotimes_{i \in I} (\Omega^{*}_{\widetilde{B}_{i}/\widetilde{\Lambda}} \otimes_{\widetilde{B}_{i}} \widetilde{B}) \] et on connaît de même la structure de $H^{*}_{DR}(B/A)$ : \[ H^{*}_{DR}(B/A) \simeq \bigotimes_{i \in I} H^{*}_{DR}(B_{i}/\Lambda) . \] L'homom. $\varphi$ envisagé s'identifie alors au produit tensoriel des homomorphismes analogues correspondants \[ \varphi_{i} : \Omega^{*}_{\widetilde{B}_{i}/\widetilde{\Lambda}} \otimes_{\widetilde{B}_{i}} \widetilde{B}_{i} \to H^{*}_{DR}(B_{i}/\Lambda) \] \[ \text{base } \widetilde{1},\ d\widetilde{x}_{i} \qquad\qquad \text{base } \dot{1},\ \overline{x_{i}^{p-1}dx_{i}} \] qui envoient base sur base, donc sont des isom. cqfd pour le théorème.

LaTeX source

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
B \arrow[r] & \widetilde{B} \arrow[r] & B \\
B_{i} \arrow[u] \arrow[r, no head] & \widetilde{B}_{i} \arrow[u, no head] \arrow[r, no head] & B_{i} \arrow[u] \\
\Lambda \arrow[u] \arrow[r, no head] & \widetilde{\Lambda} \arrow[u, no head] \arrow[r, no head] & \Lambda \arrow[u] \\
A \arrow[u, no head] \arrow[r, no head] & \widetilde{A} \arrow[u, no head] &
\end{tikzcd}

diagramme en marge gauche, recopié tel que dessiné : seules les flèches de la première ligne et les petites flèches verticales ont des pointes nettes ; les autres traits sont rendus sans pointe.

Corollaire 1. On a […] \[ Z^{*}(B/A) \simeq B^{*}(B/A) \oplus [\Omega^{*}_{\widetilde{B}/\widetilde{A}} \otimes_{\widetilde{B}} \Lambda] \]

Définition. L'isom. inverse de $\varphi$ est noté \[ \boxed{\widetilde{C} : H^{*}_{DR}(B/A) \xrightarrow{\sim} \Omega^{*}_{\widetilde{B}/\widetilde{A}} \otimes_{\widetilde{B}} \Lambda \ (= \Omega^{*}_{B/A} \otimes_{B} \Lambda)} \] On dira aussi souvent $C$ l'homom. \[ \widetilde{C} : Z^{*}(B/A) \to \Omega^{*}_{\widetilde{B}/\widetilde{A}} \] donnant les précédents par passage aux quotients, [dans ce cas il est surjectif, et son noyau est formé des différentielles exactes].

171Corollaire 2. Il y a une application unique \[ \widetilde{C} : Z^{*}(B/A) \to \Omega^{*}_{\widetilde{B}/\widetilde{A}} \] satisfaisant aux conditions suivantes

a) $\widetilde{C}(d\omega) = 0$ pour tout $\omega \in Z^{*}(B/A)$

b) $\widetilde{C}$ est un hom. de ⌜$\Lambda$-algèbres⌝ anneaux \[ \begin{cases} \widetilde{C}(\omega + \omega') = C(\omega) + C(\omega') \\ \widetilde{C}(\omega\omega') = C(\omega)\,C(\omega') \\ \widetilde{C}(\lambda\omega) = \lambda\,C(\omega) \quad \text{si } \lambda \in \Lambda \\ \widetilde{C}(1) = 1 \end{cases} \]

c) $\widetilde{C}(x^{p-1}d_{B/A}x) = d_{\widetilde{B}/\widetilde{A}}x \otimes_{\widetilde{B}} 1_{\Lambda}$ d) $\widetilde{C}\left(\dfrac{dx}{x}\right) = \dfrac{dx}{x} \otimes_{B} 1_{\Lambda} = \dfrac{d\widetilde{x}}{\widetilde{x}} \otimes_{\widetilde{B}} 1_{\Lambda}$

dans c), un symbole est noyé d'encre devant $x^{p-1}$. La dernière condition (le cas $\widetilde{C}(1) = 1$) est entourée, avec la précédente, d'un trait reliant les deux.

L'existence résulte de la définition. L'unicité résulte du corollaire 1.

Corollaire 3. Si $x \in B^{*}$, on a d).

En effet, on a $\dfrac{dx}{x} = x^{-p}(x^{p-1}dx)$, et comme $x^{-p} \in \Lambda$, on trouve \[ \widetilde{C}\left(\frac{dx}{x}\right) = x^{-p}\,\widetilde{C}(x^{p-1}dx) = \text{\struck{$\ill{}$}}\; F_{A}(x^{-1})\,C(x^{p-1}dx) \] \[ = (\widetilde{x}^{-1}d\widetilde{x}) \otimes_{\widetilde{B}} \Lambda \]

Cas particuliers

a) Supposons que $\operatorname{Im}(A \to B) \subset B^{p}$, i.e. $A \to \operatorname{Im}(A \to B)$. Alors par exemple $A$ parfait. Alors $\Omega^{*}_{B/A} \simeq \Omega^{*}_{B/\mathbf{F}_{p}} \overset{\text{déf}}{=} \Omega^{*}_{B}$, et de même pour $H^{*}_{DR}(B/A)$, de sorte que on peut supposer que $A = \mathbf{F}_{p}$. Mais dans ce dernier cas, on a $A \xrightarrow{\sim} \widetilde{A}$, donc $B \simeq \widetilde{B}$, et si $B \xrightarrow{F_{B}} B$ est injectif i.e. $\widetilde{B} \xrightarrow{\sim} \Lambda$ i.e. $B$ réduit, alors le th. 1 devient \[ \Omega^{*}_{B} \xrightarrow[\sim]{\varphi} H^{*}_{DR}(B) . \] D'où l'opération de Cartier peut être considérée alors comme \[ \widetilde{C} : Z^{*}(B) \to \Omega^{*}_{B} \] On fait attention que la ⌜dernière⌝ formule s'écrit ici

b') $\widetilde{C}(f^{p}\omega) = f\,\widetilde{C}(\omega)$

et c) et d) deviennent

172\[ \begin{cases} C(x^{p-1}dx) = dx \\ C(dx/x) = dx/x \end{cases} \] C'est le cas envisagé dans le texte initial de Cartier.

④ Fonctorialités, Globalisation. « Fonctorialités » est relié par un trait à « le cas envisagé » de la ligne au-dessus ; les deux mots semblent avoir été intervertis ou rapprochés après coup.

Soit $X \to S$ en car. $p$, d'où

LaTeX source

\begin{tikzcd}
X \arrow[d] & X^{(p/S)} \arrow[l] \arrow[d, "{f = f_{X/S}}"] & X \arrow[l] \arrow[ll, bend right=30, "F_{X}"'] \arrow[dl, no head] \\
S & S \arrow[l, "F_{S}"] &
\end{tikzcd}

dans le carré de gauche, l'auteur écrit « cart. » (souligné) : carré cartésien. Le trait de $X$ (à droite) vers le $S$ du milieu est sans pointe sur la page.

avec $f = f_{X/S}$ radiciel ⌜entier⌝ surjectif]. [Supposons que $f_{*}(\underline{O}_{X})$ soit localement […] […] $p$-base ; i.e. $\operatorname{Im}(\underline{O}_{X^{(p/S)}} \to f_{*}(\underline{O}_{X}))$, alors on trouve un isom. […].] On définit donc un hom. canonique de faisceaux d'algèbres \[ \psi : \Omega^{*}_{X^{(p/S)}/S} \to f_{*}(Z^{*}(\Omega^{*}_{X/S})) \] d'où un hom. canonique \[ \psi : \Omega^{*}_{X^{(p/S)}/S} \to f_{*}(\mathcal{H}^{*}(\Omega^{*}_{X/S})) \simeq \mathcal{H}^{*}(f_{*}(\Omega^{*}_{X/S})) , \] dans le dernier membre, un symbole biffé devant $(\Omega^{*}_{X/S})$. Si $\underline{\Lambda} = \operatorname{Im}(\underline{O}_{X^{(p/S)}} \to f_{*}(\underline{O}_{X}))$ [qui est donc de la forme $\underline{O}_{X^{(p/S)}}/\mathcal{J}$, $\mathcal{J}$ un nilidéal, donc $\mathcal{J} = 0$ si $X^{(p/S)}$ est réduit, p. ex. $S$ réduit et $X$ […] ⌜loc.⌝ de présentation finie sur $S$], on trouve donc \[ \widetilde{\psi} : \Omega^{*}_{X^{(p/S)}/S} \otimes_{\underline{O}_{X^{(p/S)}}} \underline{\Lambda} \to \text{\struck{$f_{*}$}}\; \mathcal{H}^{*}(f_{*}(\Omega^{*}_{X/S})) \] Si $f_{*}(\underline{O}_{X})$ admet loc. une $p$-base sur $\underline{O}_{X^{(p/S)}}$ (ou, ce qui revient au même, sur $\underline{\Lambda}$), alors l'hom. précédent est un isom., et on peut définir, […] l'isom. inverse \[ \widetilde{C} : \mathcal{H}^{*}(f_{*}(\Omega^{*}_{X/S})) \to \Omega^{*}_{X^{(p/S)}/S} \otimes_{\underline{O}_{X^{(p/S)}}} \underline{\Lambda} \] d'où un hom. \[ \widetilde{C} : Z^{*}(f_{*}(\Omega^{*}_{X/S})) \to \Omega^{*}_{X^{(p/S)}/S} \otimes_{\underline{O}_{X^{(p/S)}}} \underline{\Lambda} \] définir $\widetilde{C}$ chaque fois que $\psi$ est un isom. (sans qu'il y ait nécessairement des $p$-bases …)

173La formation de $\psi$, chaque fois $\widetilde{C}$ sous ses conditions d'existence, satisfait à une propriété de fonctorialité évidente pour un carré commutatif

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\begin{tikzcd}
X \arrow[d] & X' \arrow[l] \arrow[d] \\
S & S' \arrow[l]
\end{tikzcd}

donnant naissance à un diagramme commutatif.

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
 & X \arrow[dl] \arrow[ddl] & & X' \arrow[ll] \arrow[dl] \arrow[ddl] \\
X^{(p/S)} \arrow[d] & & X'^{(p/S')} \arrow[ll] \arrow[d] & \\
S & & S' \arrow[ll] &
\end{tikzcd}

le cube est redessiné d'après le croquis ; on a rendu les flèches telles qu'elles paraissent, de $X$ vers $X^{(p/S)}$ et vers $S$, et de même pour $X'$.

⑤ Relation avec les Connexions sur les Modules inversibles, et différentielles logarithmiques.

Soit $\underline{L}$ module inversible sur $X$, […] ⌜muni d'une connexion $\Delta_{0}$ rel. à $S$.⌝ Alors les connexions $\Delta$ sur $\underline{L}$, qui ⌜qui correspondent⌝ (rel. à $S$), s'identifient aux homom. linéaires $u : \underline{L} \to \underline{L} \otimes \Omega^{1}_{X/S}$ ⌜par $u \mapsto \Delta = \Delta_{0} + u$⌝, s'identifient aux 1-formes différentielles […] $\omega$ sur $X/S$. Si $\Delta_{0}$ est à courbure nulle, la connexion sur $\underline{L}$ définie par $\omega$ est à courbure nulle, ssi $d\omega = 0$.

Proposition. Pour que la connexion sur $\underline{L}$ définie par $\omega$ soit […] ⌜à courbure nulle⌝, il faut et il suffit que l'on ait $d\omega = 0$. Pour qu'elle soit Supposons que $X/X^{(p/S)}$ soit ⌜loc.⌝ ⌜à $\Delta$, $\Delta_{0}$ à courbure nulle, avec $\Delta_{0}$ comp. aux puiss. $p$-ièmes⌝ […] [Pour que la connexion […] admette des $p$-bases, et que […] […] compatible avec les puissances $p$-ièmes envisagée comme [i.e. $\Theta^{p}_{\xi}(x) = \Theta_{\xi^{p}}(x)$ pour tout champ de vecteurs $\xi$ sur […], et […] section de $\underline{L}$ sur celui-ci) la fin de la page (à partir de « Supposons que $X/X^{(p/S)}$ ») est très surchargée : insertions interlinéaires croisées et crochets non refermés ; on donne ce qui se lit, l'ordre des insertions restant incertain. L'énoncé se poursuit p. 174.

174il faut et il suffit que l'on ait $\widetilde{C}\omega = \widetilde{\omega} \otimes_{\underline{O}_{X^{(p/S)}}} 1_{\underline{\Lambda}}$.

La première assertion est standard, et ne dépend pas de l'hyp. de car. $p$. [Si $\underline{L}$ était pas de rang 1, mais seulement localement libre, alors $\omega$ est une forme diff. à valeurs dans $\underline{\mathrm{End}}(E)$, et la relation à écrire est $d\omega + [\omega, \omega] = 0$.]

Pour la deuxième, la condition étant locale, on peut supposer que $X$ est affine. On a donc que […] […] admet une $p$-base $(x_{i})$, d'où des $D_{i} = \dfrac{\partial}{\partial x_{i}}$. $\ill{}\ \rho(D_{i}) = \rho_{0}(D_{i}) + \ill{}$ D'où Écrivons la condition que $\Delta$, […] ⌜qui donne⌝ $\xi \mapsto \Theta_{\xi}$, $\rho(D_{i})^{p}$ est compatible aux puissances $p$-ièmes. On trouve $\Theta_{\ill{}}$ […] des conditions nécessaires \[ \Theta_{D_{i}}^{p} = 0 \qquad (i \in I) \] car $D_{i}^{p} = 0$. Je dis qu'elles sont suffisantes. Cela […] se voit aisément, en remarquant que l'algèbre des […] […] […] […] opérateurs $\sum a_{i}D_{i}$, effet, […] […] […] différentiels engendrés par les $D_{i} = \dfrac{\partial}{\partial x_{i}}$ et les mult. les $a_{i} \in B$. scalaires est engendrée par ⌜les quantités⌝ $D_{i}$, $x_{i}$, avec ⌜les relat.⌝ \[ \begin{cases} [D_{i}, D_{j}] = 0 \\ [x_{i}, x_{j}] = 0 \\ [D_{i}, x_{j}] = \delta_{ij} \\ x_{i}^{p} = a_{i} \\ D_{i}^{p} = 0 \end{cases} \] Il faut donc, compte tenu de \[ \Delta_{i} = \Theta_{D_{i}} = \Theta^{0}_{D_{i}} + \omega(D_{i}).\mathrm{id} \] (où $\Delta^{0}_{i}$ correspond à $\Theta^{0}_{D_{i}}$), écrivant $\omega = \sum c_{i}\,dx_{i}$, d'où $c_{i} = \omega(D_{i})$, exprimer la condition \[ (\Delta^{0}_{i} + c_{i})^{p} = 0 . \] Mais la formule de Jacobson donne

Notes en diagonale dans la marge gauche, en partie illisibles : « maladroit des choix des bases » (souligné) ; « Dire : la relation de courbure $\Theta^{p}$ définissant la compatibilité aux puissances $p$-ièmes comme une $\Theta^{p}$-courbure […] $\Omega^{1}_{X/S} \otimes \underline{\mathrm{End}}(E)$ des anneaux envisagés […] […] nulle sur les $\Theta$-courbure donnée » ; « […] [alors […]] égale, plus, $\widetilde{C}\omega = F^{*}_{X/S}(\widetilde{\omega} - C\omega)$ … $\omega \oplus p - F_{X/S}$ nulle […] […] donc $\widetilde{\omega} = \widetilde{C}\omega$ » ; « Indépendante de l'hyp. que $L$ de rang 1 ».

175(cf. p. ex. Sém. Chevalley 58/59, exp. 6 p. 06) \[ (\Delta^{0}_{i} + c_{i})^{p} = \underbrace{\Delta^{0\,p}_{i}}_{=\,0 \text{ par hyp.}} + c_{i}^{p} + D_{i}^{p-1}c_{i} \] donc la condition envisagée s'écrit \[ (*) \qquad c_{i}^{p} + D_{i}^{p-1}c_{i} = 0 \qquad i \in I \] Or écrivons que ⌜$d\omega = 0$,⌝ $\widetilde{C}\omega = \widetilde{\omega}$, en trouvant ($\omega = \sum c_{i}\,dx_{i}$) on trouve pour $d\omega = 0$ la condition \[ (**) \qquad D_{i}c_{j} - D_{j}c_{i} = 0 \qquad i, j \in I \] et on peut alors écrire \[ (***) \qquad \widetilde{C}\omega = \text{\struck{$\ill{}$}}\; \sum_{i} -D_{i}^{p-1}c_{i}\,(d\widetilde{x}_{i} \otimes 1_{\Lambda}) \] sous $D_{i}^{p-1}c_{i}$ : « est dans $\Lambda$ car égal à $\langle \widetilde{D}_{i}, C\omega \rangle 1_{\Lambda}$ ». ce qui signifie aussi que $\sum (c_{i}^{p} + D_{i}^{p-1}c_{i})\,x_{i}^{p-1}\,dx_{i} \sim$ cohomologue à $\sum c_{i}^{p}\,dx_{i}$, i.e. que $\sum c_{i}^{p}$ […] [ceci : la formule de transposition incluse dans la formulation des §3–§4 du loc. cit. p. 05 (prop. 3)] les trois mots en diagonale de la marge (« incluse dans … formulation … des §3–§4 ») sont rattachés par des traits au crochet ; leur place exacte est incertaine. alors que \[ \widetilde{\omega} = \sum c_{i}^{p}\,(d\widetilde{x}_{i} \otimes 1_{\Lambda}) \] et on trouve donc, \[ -\widetilde{C}\omega + \widetilde{\omega} = \sum (c_{i}^{p} + D_{i}^{p-1}c_{i})(d\widetilde{x}_{i} \otimes 1_{\Lambda}) \] donc c'est nul ssi (*) l'est, cqfd.

Nous utiliserons maintenant le fait bien connu qu'une connexion à courbure nulle dont ⌜et⌝ compatible à la puissance $p$-ième, sur un Module quasi-cohérent, équivaut à une donnée de descente de $X$ à $(X^{(p/S)}, \underline{\Lambda})$. On trouve donc

176loc. sur $X^{(p/S)}$, $\underline{O}_{X}$ Prenons $\underline{L} = \underline{O}_{X}$, avec $\Delta_{0}$ la connexion triviale. Alors $\omega$ satisfaisant $d\omega = 0$, $\widetilde{C}\omega = \widetilde{\omega}$ définit donc une donnée de descente sur $\underline{L}$, qui […] provient de $\underline{L}_{0}$ sur $X^{(p/S)}_{0} = (X^{(p/S)}, \underline{\Lambda})$. Localement, on peut alors […] trouver une base de $\underline{L}_{0}$, […] ce qui signifie que loc. on a une section inversible engendrant $\underline{L}$ par une section horizontale $f$, ce qui signifie que loc. on a ainsi les $\omega = \dfrac{df}{f}$. On trouve ainsi le

Théorème. Pour que (⌜la 1-forme⌝) $\omega$ soit loc. une dérivée logarithmique, i.e. que $\omega = df/f$ ($f \in \Gamma(\underline{O}_{X}^{*})$) il faut et il suffit que l'on ait $d\omega = 0$, ⌜$C\omega = \widetilde{\omega}$.⌝ En d'autres termes, on a une suite exacte \[ \underline{O}_{X}^{*} \xrightarrow{f \mapsto df/f} \underline{\Omega}^{1}_{X/S} \] dont l'image est le sous-faisceau de $\underline{\Omega}^{1}_{X/S}$ formé des $\omega$ telles que $d\omega = 0$, $\widetilde{C}\omega = \widetilde{\omega}$. [NB le noyau est $\underline{\Lambda}^{*}$, donc si $S$ est parfait, c'est $\underline{O}_{X}^{*\,p}$]

⑥ Cas des schémas relat. lisses. Relations avec la théorie des formes diff. de degré maximum.

Supposons $X$ lisse sur $S$, donc $X^{(p/S)}$ lisse sur $S$. Alors $X \xrightarrow{F_{X/S}} X^{(p/S)}$ est un morphisme fini localement libre (en plus d'être radiciel et surjectif), à

177fortiori $\underline{O}_{X^{(p/S)}} \xrightarrow{\sim} \underline{\Lambda}$ Donc On sait bien [Il suffit ⌜en effet que $X_{s} \to X_{s}$ est fini, $X_{s}$ (étant) régulier, à dimension plus source⌝ de vérifier fibre par fibre … ] On sait bien que $X/S$ a localement une $p$-base i.e. qu'il en est ainsi de $X$ sur $X^{(p/S)}$ : en effet, il suffit de savoir que $X$ est loc. de tf. sur $S$, cette condition équivalant à celle que $\Omega^{1}_{X/S}$ soit localement libre, ce qui est bien le cas !

On est donc dans un cas où l'opération de Cartier est \[ \widetilde{C} : F_{X/S\,*}(Z\Omega^{*}_{X/S}) \to \Omega^{*}_{X^{(p/S)}} \] Si la dim. relative est $n$, on trouve en particulier \[ \widetilde{C} : F_{X/S\,*}(\underbrace{\underline{\Omega}^{n}_{X/S}}_{\substack{\omega_{X/S} \\ \text{module dualisant relatif}}}) \to \underbrace{\underline{\Omega}^{n}_{X^{(p/S)}}}_{\omega_{X^{(p/S)}}} \]

Théorème 3. L'homomorphisme précédent est l'homomorphisme trace (ou de Gysin) $F_{X/S\,*}$ associé au morphisme $F_{X/S} : X \to X^{(p/S)}$ de schémas lisses sur $S$.

Soient donc $f_{1}, \ldots, f_{n}$ une suite de sections de $\underline{O}_{X}$ qui définissent un sous-schéma $Z$ ⌜(donc loc. lib. sur $S$)⌝ de $X$ fini sur $S$. Les $\widetilde{f}_{1}, \ldots, \widetilde{f}_{n}$ définissent donc $\widetilde{Z}$ item, et pour toute forme, Pour une section $\overline{\omega}$ de $\Omega^{n}_{X^{(p/S)}}$, $\mathrm{Tr}$ $\operatorname{res}\left(\dfrac{\overline{\omega}}{\widetilde{f}_{1} \ldots \widetilde{f}_{n}}\right)$. On peut aussi prendre les images $f_{1}^{p}, \ldots, f_{n}^{p}$ dans $X$, qui définissent un sous-schéma $Z'$ de $X$ fini sur $S$, et pour les $n$-formes $\omega$ sur $X/S$, on a les formes $\operatorname{res}\left(\dfrac{\omega}{f_{1}^{p} \ldots f_{n}^{p}}\right)$. On trouve alors, comme formule essentielle

178revient équivalemment d'exprimer le th. 3, la relation \[ \boxed{\operatorname{res}\left(\frac{\widetilde{C}\omega}{\widetilde{f}_{1} \ldots \widetilde{f}_{n}}\right) = \operatorname{res}\left(\frac{\omega}{f_{1}^{p} \ldots f_{n}^{p}}\right)} \] Lorsque la dim. relative est 1, cette formule s'écrit \[ \operatorname{res}\frac{\widetilde{C}\omega}{\widetilde{f}} = \operatorname{res}\frac{\omega}{f^{p}} \quad \text{i.e.} \quad \boxed{\operatorname{res}\widetilde{C}\overline{\omega} = \operatorname{res}\overline{\omega}} \] si on pose $\overline{\omega} = \omega/f^{p}$ ; le premier membre est aussi $\operatorname{res}\widetilde{C}(\omega/f^{p})$. Et lorsque de plus $S$ est parfait i.e. $F_{S} : S \to S$ un isom., de sorte que $C$ est défini, on peut l'écrire \[ \text{\struck{$\left(\operatorname{res}\dfrac{C\omega}{f}\right)^{p} = \operatorname{res}\dfrac{\omega}{f^{p}}$}} \qquad \boxed{(\operatorname{res} C\overline{\omega})^{p} = \operatorname{res}\overline{\omega}} \] sous le premier membre biffé, l'auteur relie $\operatorname{res}\dfrac{C\omega}{f}$ à $\operatorname{res} C\!\left(\dfrac{\omega}{f^{p}}\right)$ par un signe $=$.

Remarques. ① Il y a aussi un hom. de Cartier \[ F_{i} : F_{*}(\Omega^{i}_{X/S}) \to \Omega^{i}_{X^{(p/S)}/S} , \] défini grâce à l'h. trace de Cartier pour $i = n$ et la formule de projection. Mais comme \[ F^{*} : \Omega^{i}_{X^{(p/S)}/S} \to F_{*}\Omega^{i}_{X/S} \] est nul pour $i \neq 0$, on conclut que $F_{i} = 0$ si $i \neq n$. En particulier, si $i \neq 0$, l'hom. $F_{i}$ ne coïncide ⌜pas en général⌝ avec l'opération de Cartier ⌜sur les formes fermées⌝.

② Il y a lieu de définir aussi l'opération de Cartier […] sur les modules dualisants relatifs $\underline{\omega}_{X/S}$, ⌜sans hyp. de lissité,⌝ lorsque la formation de celui-ci commute aux chgt. de base $S \xrightarrow{F_{S}} S$ (p. ex. $S$ parfait i.e. $F_{S}$ un isom.), […] $X$ étant loc. de type fini sur $S$ loc. noethérien. On trouve \[ C = F_{X/S\,*} : F_{X/S\,*}(\omega_{X/S}) \to \omega_{X^{(p/S)}/S} \simeq \widetilde{\omega}_{X/S} \] d'où, en appliquant $F^{-1}_{X/S}$ et composant avec $F^{-1}_{X/S}(\widetilde{\omega}_{X/S}) \to \widetilde{\omega}_{X/S}$, un hom. (pas linéaire, mais $\Lambda$-linéaire) \[ \omega_{X/S} \to \omega^{(p)}_{X/S} \] la flèche finale porte en exposant « $(p)$ » ; on la lit $\omega_{X/S} \to \omega^{(p)}_{X/S}$, sans garantie.

179Appliquons le th. 3 à la dualité globale, en supposant $X$ propre et lisse sur $S$. Soit $E$ module loc. libre sur $X$ (et supposons $S$ parfait …), $\widetilde{E}$ son image inverse sur $X^{(p/S)}$, ⌜dont l'image inverse sur $X$ par $F_{X/S}$ est $E^{(p)}$.⌝ Alors on a des homomorphismes \[ \text{\struck{$[H^{i}(X, E) \to]\ H^{i}(X^{(p/S)}, \widetilde{E}) \to H^{i}(X, E^{(p)})$}} \] dit « puissance $p$-ième », \[ (\varphi) \qquad \mathbf{R}f_{*}(\widetilde{E}) \xrightarrow{\ \varphi\ } \mathbf{R}f_{*}(E^{(p)}) \] \[ \phantom{(\varphi) \qquad} \simeq \mathbf{R}f_{*}(E)^{(p)} \] qui n'est autre essentiellement que l'hom. de changement de base associé au carré cartésien

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\begin{tikzcd}
X \arrow[d, "f"'] \arrow[r, "F_{X}"] & X \arrow[d] \\
S \arrow[r, "F_{S}"] & S
\end{tikzcd}

les flèches horizontales du carré sont dessinées sans pointe, de gauche à droite ; on les rend dans le sens où elles sont écrites. À côté du $X$ de droite : $F_{X}^{*}(E) = E^{(p)}$.

Considérons le transposé de ($\varphi$), nous savons que c'est l'hom. \[ \mathbf{R}f_{*}(\check{E}^{(p)} \otimes \Omega^{n}_{X/S}[n]) \to \mathbf{R}f_{*}(\check{\widetilde{E}} \otimes \Omega^{n}_{\widetilde{X}/S}[n]) \] au-dessus du premier membre, l'auteur écrit « $\simeq \mathbf{R}g_{*}(\mathbf{R}F_{X/S\,*}(E^{(p)} \otimes \Omega^{n}_{X/S}))$ ». associé à l'hom. trace \[ (**) \qquad F_{X/S\,*}(\check{E}^{(p)} \otimes \Omega^{n}_{X/S}) = \check{\widetilde{E}} \otimes F_{X/S\,*}(\Omega^{n}_{X/S}) \] \[ \phantom{(**) \qquad} \to \check{\widetilde{E}} \otimes \Omega^{n}_{X^{(p/S)}/S} \] dirons, par tensorisation avec $\check{\widetilde{E}}[n]$ […] de l'hom. trace habituel. Celui-ci à son tour s'interprète comme l'hom. trace de Cartier.

En particulier, on voit que le transposé de \[ R^{n}f_{*}(\widetilde{E}) \longrightarrow R^{n}f_{*}(E^{(p)}) \] \[ \phantom{R^{n}f_{*}(\widetilde{E})} \simeq R^{n}f_{*}(E)^{(p)} \] [[…] supposons $R^{n}f_{*}(E)$ et $R^{n}f_{*}(E^{(p)})$ loc. libres, […] […]]

180est l'hom. \[ f_{*}(\check{E}^{(p)} \otimes \Omega^{n}_{X/S}) \to g_{*}(\check{\widetilde{E}} \otimes \Omega^{n}_{X^{(p/S)}/S}) \] \[ \phantom{f_{*}(\check{E}^{(p)} \otimes \Omega^{n}_{X/S}) \to{}} \simeq g_{*}(\check{E} \otimes \Omega^{n}_{X/S})^{(p)} \] sous l'isomorphisme vertical : « sous réserve de commutation à $F_{S}$ de $f_{*}(\check{E} \otimes \Omega^{n}_{X/S})$ » ; un premier membre $f_{*}(\check{E} \otimes \Omega)$ est biffé à gauche. donné par l'opération de Cartier (**), ci-dessus.

Le cas le plus important est celui où $E = \underline{O}_{X}$, on trouve que l'hom. de puissance $p$-ième \[ R^{i}f_{*}(\underline{O}_{X})^{(p)} \to R^{i}f_{*}(\underline{O}_{X}) \] est transposé de l'opération de Cartier \[ \widetilde{C} : f_{*}(\Omega^{n}_{X/S}) \to g_{*}(\Omega^{n}_{X^{(p/S)}/S}) \underset{\text{s.\ réserve}}{\simeq} f_{*}(\Omega^{n}_{X/S})^{\otimes p} \] l'exposant final se lit « $\otimes p$ » ; on attendrait $(p)$. $\overline{M}$ énoncé pour les $\underbrace{R^{i}f_{*}(\underline{O}_{X})^{(p)}}_{\text{sous réserve que c'est } R^{i}f_{*}(\underline{O}_{X^{(p/S)}})} \to R^{i}f_{*}(\underline{O}_{X})$, à cela près qu'il faut prendre l'hom. sur \[ R^{n-i}f_{*}(\Omega^{n}_{X/S}) \to R^{n-i}f_{*}(\Omega^{n}_{X/S})^{(p)} \] sous ce dernier exposant : « [sous réserve] ». déduit de $\widetilde{C}$ par application de $R^{n-i}f_{*}$.

Un hom. intéressant est \[ R^{1}f_{*}(\underline{O}_{X^{(p/S)}}) \longrightarrow R^{1}f_{*}(\underline{O}_{X}) \] dans le cas où $f$ est propre, car […] il s'identifie à l'hom. des sections pour les plans tangents \[ \underline{\mathrm{Lie}}\,\underline{\mathrm{Pic}}_{X^{(p/S)}/S} \longrightarrow \underline{\mathrm{Lie}}\,\underline{\mathrm{Pic}}_{X/S} \] \[ \Vert \] \[ (\underline{\mathrm{Lie}}\,\underline{\mathrm{Pic}}_{X/S})^{(p/S)} \] Nous admettrons ici que l'hom. […] \[ \underline{\mathrm{Pic}}_{X^{(p/S)}/S} \simeq \underline{\mathrm{Pic}}^{(p/S)}_{X/S} \xrightarrow{\ V\ } \underline{\mathrm{Pic}}_{X/S} \] est le Verschiebung, d'où il résulte que l'hom. Il est immédiat en tout cas que $F_{\mathrm{Pic}}V = p\,\mathrm{id}$, $VF_{\mathrm{Pic}} = p\,\mathrm{id}$ […]. À vérifier : cela doit donner tout aussi des conditions intéressantes des $p$-rang […]. l'argument se poursuit au-delà de la p. 180, hors de ce lot.