Cote n° 93, pages 141–160

Cote n° 93 · batch 8 · pages 141–160 · Transcription · Connexions de Gauss-Manin et équations de Picard-Fuchs. Opération de Cartier : copies de tapuscrit annoté (s.d.), tiré à part (1981), notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [1972]-1981
Édition de démonstration

TEI P5 source — open the XML · download batch-08.fr.xml

1) Connexions sur torseurs affines

141le titre, souligné, est de sa main ; « 1) » ouvre une suite numérotée qui commence sur cette page.

$S/T$ schéma relatif ⌜($q : S \to T$)⌝, $E$ module quasi-cohérent sur $S$, d'où : \[(1)\qquad 0 \longrightarrow E \otimes \Omega^1_{S/T} \longrightarrow P^1_{S/T}(E) \longrightarrow E \longrightarrow 0\] extension de $\mathcal{O}_S$-modules. On a un splitting $q^{-1}(\mathcal{O}_T)$-linéaire (mais pas $\mathcal{O}_S$-linéaire) \[(2)\qquad d^1_E : E \longrightarrow P^1_{S/T}(E)\] qui permet d'identifier $P^1_{S/T}(E)$ additivement à $E \oplus E \otimes \Omega^1_{S/T}$, en écrivant donc […] ⌜les sections⌝ de $P^1_{S/T}(E)$ ⌜(sur […])⌝ de façon unique comme \[(3)\qquad \xi = d^1_E x + \omega \qquad \begin{cases} \omega \in \Gamma(\ ,E \otimes \Omega^1_{S/T}) \\ x \in \Gamma(\ ,E) \end{cases}\] sous le premier membre, une formule biffée et illisible, terminée par un indice ${}_{S/T}$.

Comme, si $f$ est une section de $\mathcal{O}_S$, \[f\xi = f\omega + f\,d^{(1)}_E x = f\omega + d^{(1)}_E(fx) + [f - d^{(1)}(f)]\,d^1_E(x)\] sous $d^{(1)}_E(fx)$, il écrit (avec un signe d'égalité vertical) $d^1(f)\,d^1_E(x)$ ; sous le crochet, « $-df$ ». i.e.

(4) $f(\omega + d^{(1)}_E x) = f\omega$ \[(4)\qquad f(d^1_E x + \omega) = d^1_E fx + (f\omega - x \otimes df) .\] le signe entre $f\omega$ et $x \otimes df$ est surchargé : un « $-$ » repassé, que la p. 142 confirme.

Une connexion $\delta_E$ de $E$ rel. à $T$ est un splitting ⌜$\mathcal{O}_S$-linéaire⌝ de (1) ; donc tout splitting additif, comme dans (2), il est donné par un homomorphisme additif \[(5)\qquad d^0_E : E \longrightarrow E \otimes \Omega^1_{S/T}\] […] \[(6)\qquad \delta_E x = d^1_E(x) - d^0_E(x) ,\] il faut expliciter la condition sur $d^0_E$ de (5) pour que $\delta_E$ soit $\mathcal{O}_S$-linéaire,

142i.e. qu'on ait $\delta f x = f \delta x$, i.e. compte tenu de (4), \[d^1_E(fx) + (-f d^0_E x - x \otimes df) = d^1_E(fx) - d^0_E(fx) ,\] ce qui s'écrit \[(7)\qquad d^0_E(fx) = f d^0_E(x) + x \otimes df .\] On a aussi, utilisant la structure de $\Omega^\bullet_{S/T}$-module à droite de $E \otimes \Omega^\bullet_{S/T}$ : \[(7')\qquad d^0_E(xf) = d^0_E(x) f + x\,df .\] dans (7'), $xf$ est écrit sur un $fx$ biffé.

NB On dit souvent que $d^0_E$ (5) satisfaisant (7) est une connexion sur $E$ rel. à $T$. On sait alors […]

On sait alors qu'il $\exists$ prolongement unique de $d^0_E$ en une dérivation […] en un endomorphisme additif \[(8)\qquad d^\bullet_E : E \otimes \Omega^\bullet_{S/T} \longrightarrow E \otimes \Omega^\bullet_{S/T}\] qui […] satisfasse la relation suivante rel. à la structure de $\Omega^\bullet_{S/T}$-module à droite : \[(9)\qquad d^\bullet_E(\varphi\omega) = d_E(\varphi)\,\omega + (-1)^{\deg\varphi}\,\varphi\, d(\omega) ,\] et où $d^\bullet_E$ est un opérateur de degré 1. Pour que l'on ait \[(10)\qquad d^\bullet_E \circ d^\bullet_E = 0 ,\] il faut et il suffit que l'on ait

(10') le composé $d^1_E d^0_E : E \to E \otimes \Omega^1_{S/T} \to E \otimes \Omega^2_{S/T}$ est nul.

Le composé en question, considéré comme section de $\mathcal{H}om(E, E \otimes \Omega^2_{S/T})$, est appelé la courbure de la connexion. La connexion est dite intégrable si la courbure est nulle, i.e. si $d^\bullet_E$ (8) fait

143de $E \otimes \Omega^\bullet_{S/T}$ un complexe. Supposons qu'il en soit ainsi. […] \[(11)\qquad H^*_{DR}(S,E) = \mathbb{H}^*(S, E \otimes \Omega^\bullet_{S/T}) .\] sous $E$, une flèche renvoie à : « sous-entendu : $E$ muni de $\delta_E$, i.e. de $d^0_E$ ».

On a une suite spectrale \[(12)\qquad H^*_{DR}(S,E) \Longleftarrow E_1^{pq} = H^q(S, E \otimes \Omega^p_{S/T})\] devant $H^q$, une première écriture biffée et illisible. associée à la filtration triviale du complexe $E \otimes \Omega^\bullet_{S/T}$.

On a aussi des homomorphismes […] \[(13)\qquad H^*(\Gamma(S, E \otimes \Omega^\bullet_{S/T})) \Longrightarrow H^*_{DR}(S,E)\] qui sont des isom. si p.ex. $S$ affine, et \[(14)\qquad H^i_{DR}(S,E) \longrightarrow H^i(S,E) ,\] qui […] provient des homomorphismes de complexes évidents (troncation) : \[(15)\qquad E \otimes \Omega^\bullet_{S/T} \longrightarrow E .\]

NB Pour $E$ […] : conn. intégrable variable, $H^*_{DR}(S,E)$ est un $\partial$-foncteur en $E$ (cat. […] aussi : cat. abélienne). Les suites spectrales […] et les hom. écrits plus haut sont fonctoriels en $E$.

Re NB I Images inverses ⌜(pour un diagramme commutatif⌝

LaTeX source

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
S \arrow[d] & S' \arrow[l] \arrow[d] \\
T & T' \arrow[l]
\end{tikzcd}

⌜[…])⌝ tout suit […] !

En particulier : […] a) Image inverse par $T' \to T$ (on prend $S' = S \times_T T'$). b) Si $S \to T' \to T$, une connexion rel. à $T$ en définit une rel. à $T'$, et

144la phrase de la p. 143 reste en suspens ; la page reprend sur un nouvel alinéa.

Nous allons étudier (14) pour $i = 0, 1$.

1) $H^0_{DR}(S,E)$ est formé des sections de $E$ qui sont […] « horizontales pour la connexion $\delta$ », ce qui signifie $d^0_E \ldots = 0$ \[(16)\qquad d^0_E(x) = 0 \qquad\text{i.e.}\qquad \delta_E x = d^1_E x\] Alors (14) est l'injection canonique. […]

[…] cf. additions 1.8. 2) Soit $K^\bullet : 0 \to K^0 \xrightarrow{d^0} K^1 \xrightarrow{d^1} K^2 \to \cdots$ un complexe […] de faisceaux abéliens sur un topos $S$. On constate que $\mathbb{H}^1 S$ On constate que $\mathbb{H}^1(S,K^\bullet)$ s'interprète comme le groupe des classes d'isomorphie d'objets de la catégorie suivante $C(K^\bullet)$ :

$\mathrm{Ob}\,C(K^\bullet) =$ couples $(P^\bullet, \xi)$, avec $P$ un torseur sous $K^0$, $\xi$ une section de $P^1 = P \times^{K^0} K^1$, telle que la section […] $d^1_*(\xi)$ de $P^2 = P \times^{K^0} K^2 \simeq P^1 \times^{K^1} K^2$ soit la section canonique, déduite du fait que $d^1 d^0 = 0$.

$\mathrm{Fl}\,C(K^\bullet)$ : on devine.

Cette description de $\mathbb{H}^1(S,K) \to \mathbb{H}^1(S\ldots$ L'homom. canonique Cette description de $\mathbb{H}^1(S,K^\bullet)$ […] en tous les complexes $K^\bullet$. Par suite, l'hom. ⌜can.⌝ $\mathbb{H}(S,K^\bullet$ \[\mathbb{H}^1(S,K^\bullet) \longrightarrow H^1(S,K^0)\] déduit de l'[…] troncation $K^\bullet \to K^0$ correspond au foncteur $(P^0,\xi) \longmapsto P^0$ « oubli de $\xi$ ».

Notons que […] ⌜[…]⌝ $P^0$ donné (torseur sous $K^0$), la donnée d'une trivialisation $\xi$ de $P^1$ équivaut à un isom. […] ⌜[…]⌝ $P^1 \simeq K^1$, donc les $\xi$ correspondent

145aux homom. \[\bar d^0 : P^0 \longrightarrow K^1\] satisfaisant \[\bar d^0(xf) = \bar d^0(x)\, d^0(f) \qquad x \in P^0(\cdot),\ f \in K^0(\cdot) .\] ainsi sur la page, sans signe entre $\bar d^0(x)$ et $d^0(f)$ : la loi de groupe de $K^1$ est notée multiplicativement. La condition mise ci-dessus sur $\xi$ signifie simplement que $\bar d^0$ prend ses valeurs dans $Z^1K = \mathrm{Ker}(d^1)$.

Ceci s'applique tel quel à la description de $H^1_{DR}(S,E)$, comme classifiant les objets suivants : Un torseur $P$ sous $E$, un hom. de faisceaux d'ensembles \[(17)\qquad d_P : P \longrightarrow (E \otimes \Omega^1_{S/T}) ,\] devant $(E \otimes \Omega^1_{S/T})$, un $Z$ biffé par hachures. satisfaisant aux conditions \[(18)\qquad \begin{cases} d_P(xf) = d_P(x)\, d^0_E(f) & x \in P(\cdot),\ f \in \mathcal{O}_S(\cdot) . \\ d_P(P) \subset Z^1(E \otimes \Omega_{S/T}) & \text{i.e. } d^1_E d_P = 0 . \end{cases}\] « $f \in \mathcal{O}_S(\cdot)$ » est lu tel quel ; on attendrait $f \in E(\cdot)$. Un tel $d_P$ s'appellera une connexion ⌜intégrable⌝ sur le torseur $P$, compatible avec la connexion ⌜intégrable⌝ $d^0_E$ sur $E$.

NB Si $d^0_E$ est une connexion sur $E$ (pas nécess. intégrable), […] on peut se proposer de trouver, pour un torseur $P$ sous $E$, quelles sont les connexions compatibles avec $d^0_E$, et plus généralement […] de […] voisinages infinitésimaux d'indice 1. Je dis que si $S$ est affine, il existe de telles connexions, donc il en existe toujours localement, et que les connexions forment un torseur sous $E \otimes \Omega$, qui en fait est isomorphe à $P \times^E (E \otimes \Omega)$ (grâce à $d^0_E : E \to E \otimes \Omega$). Donc les connexions

146On trouve en particulier une interprétation de $H^1_{DR}(S,E)$, comme classifiant les torseurs $P$ sous $E$, munis d'une la page s'arrête là ; le reste du feuillet est blanc. La phrase de la p. 145 (« Donc les connexions ») se poursuit en tête de la p. 147.

147s'interprètent comme les hom (17) satisfaisant la première relation (18). C'est […] C'est la deuxième relation qui précise que l'on se restreint aux connexions intégrables sur $P$.

Les faisceaux des automorphismes de $P$ compatibles avec $d_P$ […] et […] sont donnés par $x \in \Gamma(S,E$ […] du gpe $\Gamma(S,E)$ des automorphismes fournis par les sections horizontales de $E$, i.e. $H^0_{DR}(S,E)$.

Les descriptions qui précèdent ⌜fonctorielles en $E$, et⌝ ⌜compatibles⌝ aux images inverses envisagées (cf.) plus haut.

2) Stratifications sur torseurs affines

Supposons donné sur $E$ une stratification rel. à $T$. ⌜d'où un faisceau $E_{\mathrm{strat}}$⌝ sur $(S/T)_{\mathrm{strat}}$, donc […] par […] \[(19)\qquad H^*_{\mathrm{strat}}(S,E) \overset{\mathrm{déf}}{=} H^*((S/T)_{\mathrm{strat}}, E_{\mathrm{strat}}) .\] La stratification de $E$ On a défini des $[\ ]$ […] naturel

Une donnée de voisinages différentiels d'ordre $\infty$ sur $E$ revient à la donnée d'un homomorphisme \[(20)\qquad \delta^\infty_E : E \longrightarrow P^\infty_{S/T}(E)\] On dit parfois que « $\delta^\infty_E$ » connexion. satisfaisant la condition que $P^\infty_{S/T}(E) \xrightarrow{\varepsilon_E} E$ donne l'identité : $\varepsilon_E \delta^\infty_E : E \to P^\infty_{S/T}(E) \to E$.

(21) On peut […] […] $d^+_E : E \to P^\infty_{S/T}(E)^+$, $d^+_E(x) = d^\infty(x) - \delta^\infty_E(x)$, […]

(21) La condition […] stratification […] une condition sur $\delta_E$ qui $P^\infty_{S/T}(E)^+$, idéal d'augmentation. (plus bas dans no 3.)

148implique que le composé de (21) avec $P^\infty_{S/T}$ \[P^\infty_{S/T}(E)^+ \longrightarrow P^1_{S/T}(E)^+ \simeq E \otimes \Omega^1_{S/T} ,\] […] noté $d^0_E$ \[(23)\qquad d^0_E : E \longrightarrow E \otimes \Omega^1_{S/T} , \qquad d^0_E = d^+_E \bmod \ldots\] le numéro lu « (23) » pourrait être « (22) » ; sous le $d^0_E$ de droite, un signe surchargé. est l'hom. (5) associé à la connexion de $E$ définie par la donnée de voisinages infinitésimaux. Si On vérifie que si infinitésimale […] $\delta_E$ est une stratification, alors la donnée de voisinages infinitésimaux dans la connexion associée est intégrable, i.e. (23) définit un complexe de De Rham. On sait bien [ ] le […] […] des hom. canoniques \[(24)\qquad H^*_{\mathrm{strat}}(S,E) \longrightarrow H^*_{DR}(S,E) ,\] compatibles aux changements de base. les deux lignes « compatibles … base » sont reliées par un crochet à (24).

Intervenant en $F$, Nous voulons une interprétation de $H^1_{\mathrm{strat}}(S,E)$ analogue : celle donnée plus haut pour $H^1_{DR}(S,E)$.

la suite de la page est biffée par des hachures obliques et une grande croix ; on la transcrit comme biffée. Pour ceci, […] Soit, […] $C^\bullet(E)$ […] […] de $E$ […] […] le faisceau sur $S$ […] […] […] le $X$ […] de la […] de $(S/T)^{\ill{}}$ de l'[…] formel […] $E$ […] […] ([…]) […]. La stratification de (24) $C^0(E) = E$, $C^1(E) = P^\infty_{S/T}(E)$. La stratification de $E$ met sur $C^\bullet(E)$ une structure de faisceau cosimplicial […] [en faisceaux en comodules sur $C^\bullet(\mathcal{O}_S)$] : la suite biffée porte encore : (25) $C^0(E) \rightrightarrows C^1(E) \Rrightarrow C^2(E) \ldots$, avec dessous $C^0(E) = E \rightrightarrows P^\infty_{S/T}(E)$ par les deux flèches $\delta^\infty_E$ et $d^\infty_E$ ; à gauche, un essai de flèche $E \to P^\infty_{S/T}(E)$, raturé.

149$U \subset U'$ au-dessus de $S \to T$, petit diagramme. Or un torseur sous $S_{\mathrm{strat}}$ ⌜sur⌝ $E_{\mathrm{strat}}$ peut être interprété comme la donnée, pour tout objet ⌜$(U,U')$ de⌝ $S_{\mathrm{strat}}$, d'un torseur sous $(E_{\mathrm{strat}})_{(U,U')} = E_{U'}$, […] plus […] de façon contravariante en $(U,U')$. On voit que ceci équivaut à la donnée d'un torseur ordinaire $P$ sous $E$, et d'une stratification sur $P$, compatible avec celle de $E$.

Nous regardons Nous regardons $P^\infty_{S/T}(E)$ comme un pro-faisceau ⌜A.R.⌝ sur $S$, et comme tel il est muni d'une stratification canonique (indépendante de celle de $E$, cf. [ ]). Nous avons là […], suite exacte \[(25)\qquad 0 \longrightarrow E \xrightarrow{\ \delta = \delta^\infty_E\ } P^\infty_{S/T}(E) \xrightarrow{\ p\ } P^\infty_{S/T}(E)/\delta(E) \longrightarrow 0 ,\] où le dernier terme est défini comme le support rigide des […] ⌜conoyaux⌝ des composés $E \xrightarrow{\delta_E} P^\infty_{S/T}(E) \to P^n_{S/T}(E)$. Notons […] que l'hom. $\delta$ est compatible avec les stratifications. La donnée d'un torseur stratifié $P_{\mathrm{strat}}$ sous $E$ s'identifie donc : à la donnée d'un torseur stratifié sous le pro-faisceau $P^\infty_{S/T}(E)$, et d'une trivialisation […] du […] torseur stratifié associé du groupe $P^\infty_{S/T}(E)$. On constate qu'un torseur stratifié sous $P^\infty_{S/T}(E)$, c'est « la même chose » qu'un torseur ordinaire sous $E$ (cf. [ ] 6.4), à un tel $P$ étant associé le pro-faisceau ⌜$P^\infty_{S/T}(P)$⌝ des […] jets de $P$ sur $S/T$ d'ordre $\infty$ ([…]). Alors la trivialisation $P^\infty_{S/T}(P) \to P^\infty_{S/T}(E)/\delta E$ revient à la

150donnée d'un hom. de faisceaux \[(26)\qquad P \xrightarrow{\ \lambda\ } P^\infty_{S/T}(E)/\delta E\] l'indice de $\lambda$ en (26) est raturé. satisfaisant la condition \[\text{\struck{$\lambda(x + \xi) = \lambda(x) + d^\infty_{S/T}(\xi)$}}\] \[(27)\qquad \lambda(x + \xi) = \lambda(x) + p(d^\infty_{S/T}(\xi)) \qquad x \in P(\cdot),\ \xi \in E(\cdot) .\] Il faut encore exprimer que la trivialisation du $P^\infty_{S/T}(E)/E$-torseur obtenu est compatible avec les stratifications. Comme $P$ est les torseur des sections horizontales de $P^\infty_{S/T}(P)$, on voit que cette condition cette condition signifie que \[(28)\qquad \lambda(P) \subset \bigl(P^\infty_{S/T}(E)/E\bigr)^{\natural} ,\] où le […] signe $\natural$ désigne le sous-faisceau des sections horizontales. petite remarque : […] donc $P^\infty_{S/T}(P)$ dans un torseur stratifié quelc. le signe noté $\natural$ est un petit éclair ou zigzag en exposant ; on ne lui connaît pas d'équivalent sûr.

En En résumé, […] si $P$ est un $E$-torseur,

une stratification sur $E$ rel. à $T$, compatible avec la stratification $\delta = \delta^\infty_E$ donnée sur $E$, équivaut à un hom. de faisceaux (26), satisfaisant (27) et (28) ; cette dernière condition permet d'ailleurs d'exprimer en précisant la donnée (26) par \[(26')\qquad P \xrightarrow{\ \lambda\ } \bigl(P^\infty_{S/T}(E)/\delta E\bigr)^{\natural} .\]

le « une stratification sur $E$ » de l'énoncé encadré : on attendrait « sur $P$ ».

Cette description est fonctorielle en $E$, et compatible aux changements de base.

3) Relations entre stratifications et connexions intégrables sur torseurs affines

151Si $P$ est un torseur sous $E$, $E$ muni d'une stratification $\delta^\infty_E = \delta$ rel. à $T$, […] toute stratification de $P$ ⌜compatible à $\delta$⌝ définit évidemment une connexion (compatible à $d^0_E$). Je dis évidemment que l'hom. canonique (24), […] compatible avec cette association Il convient encore de préciser quelle est l'hom. $d^0_P : P \to E \otimes \Omega^1_{S/T}$ correspondant à la description (17). Pour l'expliciter, notons que l'inclusion \[P^\infty_{S/T}(E)^+ \hookrightarrow P^\infty_{S/T}(E)\] fournit, par composition, un isomorphisme additif \[(29)\qquad P^\infty_{S/T}(E)^+ \simeq P^\infty_{S/T}(E)/\delta E ,\] l'hom. correspondant \[(29')\qquad P^\infty_{S/T}(E) \xrightarrow{\ p\ } P^\infty_{S/T}(E)/\delta E \xrightarrow{\ \sim\ } P^\infty_{S/T}(E)^+\] une accolade sous la composée de (29'). étant donné par \[\text{\struck{$d^+_E$}}\qquad \varphi \longmapsto \varphi - \delta_E(\varphi) .\] ainsi sur la page ; on attendrait $\varphi - \delta_E(\varepsilon_E\varphi)$. Donc l'hom. $\lambda$ de (26) s'interprète comme un \[(30)\qquad \lambda^+ : P \longrightarrow P^\infty_{S/T}(E)^+ ,\] la condition $\lambda^+$ la condition (27) s'écrivant alors \[(31)\qquad \lambda^+(x + \xi) = \lambda^+(x) + \underbrace{\bigl[d^\infty_{S/T}(\xi) - \delta^\infty_E(\xi)\bigr]}_{d^+_{S/T}(\xi)} .\] Définir les sections intégrables de $P^\infty_{S/T}(E)^+$ comme celles correspondant aux sections […] de $(P^\infty_{S/T}(E)/\delta E)^{\natural}$, et introduire le sous-faisceau […] de $P^\infty_{S/T}(E)^+$. [Mais attention, $P^\infty_{S/T}(E)^+ \hookrightarrow P^\infty_{S/T}(E)$ […] n'est pas compatible avec stratifications.]

152Réduisant à valeurs dans $P^1_{S/T}(E)^+ = E \otimes \Omega^1_{S/T}$, on trouve un hom. \[(32)\qquad d^0_P : P \longrightarrow E \otimes \Omega^1_{S/T} , \qquad d^0_P(x) = \lambda^+(x) \bmod \ldots\] satisfaisant \[d^0_P(x + \xi) = d^0_P(x) + d^0_E(\xi) ,\] compte tenu de (23). le renvoi « (23) » est écrit sur un autre chiffre ; dans (32), l'indice du $d^0$ de droite est lu $E$ sur la page, on attendrait $P$.

On vérifie que (32) n'est autre que l'hom. qui définit la connexion de $P$ associée à sa stratification, […] que cette connexion est intégrable, enfin que si $\xi$ classe dans $H^1_{DR}(S,E)$ n'est autre que l'image de celle de […] $(P,\lambda)$ dans $H^1_{\mathrm{strat}}(S,E_{\mathrm{strat}})$ par l'homomorphisme canonique (24).

faire la vérification l'alinéa est marqué d'un double trait vertical dans la marge.

Corollaire Supposons que $T$ soit de car. nulle et

$\Omega^1_{S/T}$ plat [p.ex. $S$ formellement lisse sur $T$] ; on sait que (24) est un isomorphisme [ ]. […] Soit $E$ quasi-coh. sur $S$ avec stratification $\delta = \delta^\infty_E$, $P$ un torseur sous $E$. Alors il y a correspondance biunivoque entre les stratifications de $P$ compatibles avec celle de $E$, et les connexions intégrables sur $P$ compatibles avec celle de $E$. Donc aussi, entre les applications (26) $P \xrightarrow{\lambda} P^\infty_{S/T}(E)/\delta E$ […] [i.e. encore $\lambda^+ : P \to (P^\infty_{S/T}(E)^+)^{\natural}$] satisfaisant les conditions (27), (28) [[…] ⌜équivalent⌝, (31)] […] ⌜et à valeurs⌝ ⌜dans $P^\infty_{S/T}(E)^{+\natural}$⌝

NB Sous les hyp. faites, les stratifications sur $E$ correspondant bijectivement aux conn. intégrables sur $E$ … après « coh. sur $S$ », un « $P$ un torseur » biffé. La phrase du corollaire se poursuit p. 153.

153

fait $\lambda = p\lambda^+$], et les hom. (17) $P \xrightarrow{d_P} E \otimes \Omega^1_{S/T}$ satisfaisant les conditions (18), en associant à $\lambda^+$ sa réduction dans $P^1_{S/T}(E)^+ \simeq E \otimes \Omega^1_{S/T}$.

NB Prenant $P$ triviale sur $E$, ceci prouve que l'hom. de réduction de réduction $P^\infty_{S/T}(E)^+ \to P^1_{S/T}(E)^+$ induit un bijection isomorphisme de faisceaux \[P^\infty_{S/T}(E)^{+\natural} \xrightarrow{\ \sim\ } Z^1(E \otimes \Omega^\bullet_{S/T}) ,\] où prenant […] la deuxième avec comme stratification sur $P^\infty_{S/T}(E)^+$ celle déduite de la strat. can. de $P^\infty_{S/T}(E)/\delta E$ par transport de structure : l'aide de (29). Ainsi, une 1-forme fermée sur $S/T$ ⌜(coeff. dans $E$)⌝ définit un jet d'ordre $\infty$ ⌜$\lambda^+$⌝ de $E$ sur $S/T$, satisfaisant la condition (28). À la forme exacte $d^0_E(\xi)$ est associé ainsi […] […] $\lambda(\xi) = d^\infty_E(\xi)$ i.e. $\lambda^+(\xi) = d^\infty_E(\xi) - \delta^\infty_E(\xi) = d^+_E(\xi)$. dans la dernière formule, $\lambda$ est écrit sur un autre signe, et « $= d^\infty_E(\xi)$ » est lu sur un signe surchargé.

4) Équations de Picard-Fuchs

Supposons encore qu'on ait $E$ sur $S$, avec stratification $\delta^\infty_E = \delta$. Supposons donnée de plus une suite exacte de modules quasi-coh. \[(33)\qquad 0 \longrightarrow E' \xrightarrow{\ u\ } E \xrightarrow{\ v\ } E'' \longrightarrow 0 .\] On ne suppose pas que $E'$ soit un sous-module stratifié. […] Supposons donné un la phrase se poursuit en tête de la p. 155.

155torseur $P'$ sous $E'$, posons \[(34)\qquad P = P' \times^{E'} E .\] La donnée d'une stratification sur $P$ compatible avec celle de $E$, grâce au n° 2, équivaut à la donnée d'un hom. \[(35)\qquad \lambda' : P' \longrightarrow \bigl(P^\infty_{S/T}(E)/\delta E\bigr)^{\natural}\] satisfaisant \[(36)\qquad \lambda'(x' + \xi') = \lambda'(x') + p\,d^\infty_E(u\xi') \qquad x' \in P'(\cdot),\ \xi' \in E'(\cdot) .\] dans (36), « $p\,d^\infty_E$ » est récrit sur un premier essai surchargé. On peut aussi interpréter $\lambda'$ comme un \[(35')\qquad \lambda'^{+} : P' \longrightarrow \bigl(P^\infty_{S/T}(E)^+\bigr)^{\natural} , \qquad \text{(cf. transport de structure)}\] satisfaisant \[(36')\qquad \lambda'^{+}(x' + \xi') = \lambda'^{+}(x') + \underbrace{d^+_E(u\xi')}_{= d^\infty_E(u\xi') - \delta^\infty_E(u\xi')} .\]

[…] la condition d'intégrabilité, signifiant ⌜de $p$-faisceaux⌝

Notons donc Notons alors la suite exacte \[(37)\qquad \cdots \longrightarrow P^\infty_{S/T}(E') \xrightarrow{\ u\ } P^\infty_{S/T}(E) \xrightarrow{\ v\ } P^\infty_{S/T}(E'') \longrightarrow 0 ,\] compatible aux stratifications, ⌜de $p$-faisceaux⌝. Ceci posé, grâce à (35) ⌜et (36)⌝, une section canonique \[(38)\qquad \varphi = \varphi(\lambda') \in \Gamma\bigl(S, P^\infty_{S/T}(E'')/v\delta(E)\bigr)\] \[\simeq \Gamma\bigl(S, P^\infty_{S/T}(E'')^+/v\delta u(E')\bigr) .\] la place de « de $p$-faisceaux », écrit en marge droite avec un trait de renvoi, est incertaine ; dans (38) le dénominateur est surchargé et la lecture $v\delta u(E')$ n'est pas sûre. En outre, $\varphi$ est […] même \[(38')\qquad \varphi \in \Gamma\Bigl(S, \bigl(P^\infty_{S/T}(E'')/v\delta(E)\bigr)^{\natural}\Bigr) \simeq \Gamma\bigl(S, P^\infty_{S/T}(E'')^{+\natural}/\delta u(E')\bigr) .\]

156On l'appelle la section jet de Picard-Fuchs défini par $P'$ […] et la stratification ⌜$\sigma$⌝ donnée. […] $P = P' \times^{E'} E$. Ce n'est pas H : faux un jet ⌜intégrable⌝ de $E''$, mais seulement […] à […] ⌜l'image $v\delta^\infty_E u$⌝ c'est-à-dire un tel jet, défini modulo […] ⌜l'image⌝ ⌜d'une⌝ section de […] $E'$.

Soit $F$ un module ⌜quasi-coh.⌝ sur $E$ $S$, et \[(39)\qquad D : E'' \longrightarrow F\] un opérateur différentiel ⌜linéaire⌝ rel. $/T$, définissant donc un hom. ⌜linéaire⌝ […] : […] \[(40)\qquad u_D : P^\infty_{S/T}(E'') \longrightarrow F .\] On dit que $u_D$ $D$ est un opérateur de Picard-Fuchs, relativement à la suite exacte (33), à l'application linéaire correspondante (40) s'annule sur $v\delta(E)$, i.e. si $u_D$ se factorise en un homomorphisme \[(41)\qquad \bar u_D : P^\infty_{S/T}(E'')/v\delta(E) \longrightarrow F .\] Soit alors Si alors $(P',\sigma)$ est comme ci-dessus, d'où un $\varphi$ (38), on peut former $\bar u_D(\varphi) \in \Gamma(S,F)$ ; on pose \[(42)\qquad \text{\struck{$\ldots$}}\ \mu_D(P,\sigma) = \bar u_D\bigl(\varphi(P,\sigma)\bigr) \in \Gamma(S,F) ,\] « On dit que $u_D$ » : $u_D$ est écrit sur un $D$, et le second « est » est lu tel quel. Dans (42), le premier membre biffé est illisible ; il écrit $(P,\sigma)$ là où l'on attendrait $(P',\sigma)$. La phrase se poursuit p. 157.

157on l'appellera la section de Manin de $F$ associée à l'op. de Picard-Fuchs $D$ et aux données $(P',\sigma)$. Équations de Pic.-Fuchs universelles : à valeurs dans le pro-faisceau $P^\infty_{S/T}(E'')/v\delta u(E')$ ; elle redonne la section $\varphi$ dont il s'agit. deux traits horizontaux séparent ce qui précède de ce qui suit.

Lorsque $E$ est seulement muni d'une connexion intégrable ⌜rel. à $T$⌝, […] (au lieu d'une stratification), on voit que les connexions intégrables sur $P = P' \times^{E'} E$ correspondent aux hom. \[(43)\qquad P' \xrightarrow{\ d_{P'}\ } E \otimes \Omega^1_{S/T}\] le but de $d_{P'}$ est écrit sur un premier symbole raturé. satisfaisant \[(44)\qquad \begin{cases} d_{P'}(x' + \xi') = d_{P'}(x') + d^0_E\bigl(u(\xi')\bigr) \\ d_{P'}(P') \subset Z^1(E \otimes \Omega^\bullet_{S/T}) , \ \text{i.e. } d^1_E \circ d_{P'} = 0 . \end{cases}\]

Dans ce cas, il y a une variante de la notion d'équation ⌜de⌝/Picard-Fuchs, ⌜pour (30)⌝ […] nous dirons les opérateurs différentiels \[(45)\qquad E \otimes \Omega^1_{S/T} \xrightarrow{\ \Delta\ } F\] l'indice de $\Delta$ est raturé. nuls sur l'image de $E' \otimes \Omega^1_{S/T}$, i.e. les opérateurs ⌜$d^0_E(u(E'))$⌝, ceux de la [qui se factorisent […] pour module $E'' \otimes \Omega^1_{S/T} \to$ forme $\Delta' \circ d^1_E$, où $E \otimes \Omega^2_{S/T} \xrightarrow{\Delta'} F$ un autre op. diff.]. Comme $d_{P'}$ (43) fournit ⌜localement⌝ une section de $E \otimes \Omega^1_{S/T}$ modulo une section la phrase se poursuit p. 158.

158de la forme $d^0_E(u(\xi'))$, $\xi' \in E'(\cdot)$, on voit que $\Delta$ définit une section \[(46)\qquad \nu_\Delta(P', d_{P'}) \in \Gamma(S,F) .\] Ici la situation universelle est obtenue en prenant pour $F$ le pro-faisceau \[F = P^\infty_{S/T}(E \otimes \Omega^1_{S/T})/I\bigl(P^\infty_{S/T}(E')\bigr) ,\] la lecture « $I$ » devant $P^\infty_{S/T}(E')$ est incertaine. où $P^\infty_{S/T}(E')$ s'envoie dans $P^\infty_{S/T}(E \otimes \Omega_{S/T})$ provient de l'op. diff. composé ⌜$d^0_E u$ :⌝ ⌜(de degré 1)⌝ $E' \xrightarrow{u} E \xrightarrow{d^0_E} E \otimes \Omega^1_{S/T}$.

Revenons au cas où $E$ admet une stratification, […] et $P$ muni d'une stratification compatible avec ⌜soit $(P',\sigma)$⌝ […] pour […] et prenons $d^0_E$ déduit d'icelle ; […] […] (comme on […] […] les sections de […] que […]. On compare la section $\nu_\Delta$ avec $\mu_D$ de la façon suivante. À tout $\Delta$ $\ldots$ est associé un opérateur de Picard-Fuchs, […] pour (30), en prenant le composé \[(47)\qquad D_0 : E \xrightarrow{\ d^0_E\ } E \otimes \Omega^1_{S/T} \xrightarrow{\ \Delta\ } F ,\] et on prouve aisément que ⌜en $D : E'' \to F$,⌝ […] ce qui est possible puisque par hyp. sur $\Delta$, $\Delta \circ d^0_E$ est nulle sur $E'$. Ceci posé, on trouve que \[(48)\qquad \nu_\Delta = \mu_D ,\] ce qui donne la réduction annoncée. faire la vérification dans le renvoi « pour (30) », on attendrait plutôt (33) ; le numéro est lu tel quel.

159Dans le cas favorable envisagé à la fin du n° 3, ($T$ de car. nulle, $\Omega^1_{S/T}$ plat), on peut donc exprimer les $\mu_D$ en termes des $\nu_\Delta$. Pour ceci, il suffit de voir que, pour $S$ affine, chaque $D$ provient bien d'un $\Delta$. Ceci résulte du fait suivant (lui-même cas particulier d'un fait bien plus général sur les op. diff.) : […].

Lemme. Sous les conditions précédentes ($S$ car.

nulle, $\Omega^1_{S/T}$ plat), les op. diff. $E$ $E \to F$ qui sont tels que $P^\infty_{S/T}(E) \to F$ s'annule sur $\delta(E)$, sont exactement ceux qui […] de la forme $\Delta \circ d^0_E$, avec $\Delta : E \otimes \Omega_{S/T} \to F$ un […] op. différentiel. L'indétermination est exactement par un $\Delta' \circ d^1_E : E \otimes \Omega_{S/T}$ ⌜$\Delta' \circ d^1_E$⌝, où $\Delta' : E \otimes \Omega^2_{S/T} \to F$ est un op. diff.

Ceci résulte du fait que […] $E \to \Omega$ « $S$ car. nulle » est sur la page ; plus haut il écrit « $T$ de car. nulle ». Le lemme est marqué d'un trait vertical dans la marge. Dans la dernière phrase, $\Delta'$ est écrit sur un $\Delta$, et la lecture du premier membre biffé ($\Delta' \circ d^1_E$, $E \otimes \Omega_{S/T}$) est incertaine.

La page 160 est la couverture brune du dossier ; elle porte de sa main : « Modules stratifiés et Connexions intégrables et équations de Picard-Fuchs ». Elle n'est pas transcrite comme page ; la suite des notes, si elle existe, est hors de ce lot.