Fonds Grothendieck, cote n° 93, pages 121–140

la page commence au milieu d'une phrase : l'argument vient de la page qui précède le lot

des \mathrm{Conn}_{X/S} et des H^{1}\mathcal{P}_{X/S} \longrightarrow \mathrm{Conn}_{X/S} s'étendant à G_0(\ill{}) et de H^{1}\mathcal{P}_{X/S} \longleftrightarrow \mathrm{Conn}^{0}_{X/S} les premiers se déduisant du second de façon évidente, compte tenu de l'isom. can. \mathrm{Conn}^{0}_{X/S} \longrightarrow \mathrm{Conn}_{X/S} compatible avec l'iso \underline{\omega}_{X/S}^{\otimes 2} \xrightarrow{\ 12\,\mathrm{id}\ } \underline{\omega}_{X/S}^{\otimes 2} sur les champs d'opérateurs. (On écrira parfois, c_{0}^{X}(\ill{}) = \tfrac{1}{12}\, c^{X}(\ill{}) \quad \ldots\,)

On peut espérer que si X est de car. p > 0, et si \mathcal{O}'_X est le sous-faisceau d'anneaux des fonctions de \mathcal{O}_X ~~défini par~~ des f tels que D^{(i)}f = 0 (i \leqslant 3), les conditions H_{\mathcal{X}}(\mathcal{P}/S) \backslash \mathcal{P}_{X/S} \longleftrightarrow \mathrm{Conn}^{0}_{X/S} l'indice de H surcharge un premier symbole ; lecture douteuse

sont injectifs, i.e. que

\mathcal{O}'_{X/S} est \mathcal{O}^{(p)}_{X/S} si p \neq 2, 3, sinon \mathcal{O}^{(p^{2})}_{X/S} OK

Proposition A anneau (local, plus généralement avec \operatorname{Pic}(A) = 0) de car. p > 0, \alpha \in A, B = A[T]/(T^{p} - \alpha), t \in B la classe de de T dans B (donc t^{p} = \alpha), s \in B, donc s = a_0 + a_1 t + \cdots + a_{p-1} t^{p-1}, \qquad a_i \in A \ (0 \leqslant i \leqslant p-1), D_t s = (ds)/(dt), \qquad D^{(i)}_t s = \tfrac{1}{i!}(D_t)^{i}s \quad\text{si } 1 \leqslant i \leqslant 3, ~~D^{(j)}_t s = \sum_{j \leqslant i \leqslant p-1} a_i \binom{i}{j} t^{i-j}, et~~

cas p \neq 2, 3 ()

Posons ~~Alors~~ c_0(s) = -\frac{D^{(3)}_t s}{D^{(1)}_t s} + \Bigl(\frac{D^{(2)}_t s}{D^{(1)}_t s}\Bigr)^{2} \quad \text{si } D^{(1)}_t s \in B^{*}. Supposons c_0(s) = 0 i.e. (D^{(2)}s)^{2} = (D^{(1)}s)(D^{(3)}s). Alors \exists\, a, b, c, d \in A (uniques scalaire) avec ad - bc = 1, tels que s = \frac{at + b}{ct + d} \quad\text{i.e.}\quad s(ct + d) = at + b les exposants (2) et (3) se distinguent mal dans ces deux formules ; on les lit d'après les calculs de la page 122, où D^{(3)}s\,D^{(1)}s et (D^{(2)}s)^{2} sont comparés

OPS pour les éléments \in A^{p}, puis \alpha \neq 0

~~donc~~ t \in B, donc D^{(1)}s = a_1 + a_2 t + \cdots \equiv a_1 \ (tB)lecture de « (tB) » douteuse

donc D^{(1)}s \in B^{*} \Longleftrightarrow a_1 \in A^{*}. OPS, quitte à remplacer s par a_1^{-1}(s - a_0), que s = t + a_2 t^{2} + \cdots + a_{p-1}t^{p-1}, puis, quitte à faire encore un chgt de variable s' = \frac{s}{1 + a_2 s} = \sum_{n \geqslant 0} (-1)^{n} a_2^{n} s^{n+1} = s - a_2 s^{2} + \cdots \equiv t \bmod t^{3} entre la fraction et la somme, une seconde fraction \frac{1}{1+a_2 s} est biffée ; devant le \sum un s semble biffé

donc s de la forme s = t + \text{termes d'ordre} \geqslant 3 .

À prouver que, sous une condition, la condition c_0(s) = 0 \Longrightarrow s = t . Si par si : s = t + a t^{d} + \cdots \quad (\text{termes d'ordre} \geqslant d+1), 3 \leqslant d \leqslant p-1 ~~d \geqslant 3~~, alors a = 0. \begin{align*} D^{(3)}s &\equiv a\binom{d}{3} t^{d-3} \bmod (t^{d-2})\\ D^{(2)}s &\equiv a\binom{d}{2} t^{d-2} \bmod (t^{d-1}) \text{ et a fortiori mod } t^{d-2}\\ D^{(1)}s &\equiv 1 \bmod (t^{d-1}) \text{ et a fortiori mod } t^{d-2}\\ D^{(3)}s\, D^{(1)}s &\equiv a\binom{d}{3} t^{d-3} \bmod t^{d-2}\\ (D^{(2)}s)^{2} &\equiv 0 \bmod t^{d-2} \end{align*} à la ligne de D^{(1)}s, un terme +\,a d\, t^{d-1} est biffé ; à celle de D^{(3)}s\,D^{(1)}s, un terme +\,a^{2} d \binom{d}{3} t^{2d-4} est biffé ; à celle de (D^{(2)}s)^{2}, le 0 surcharge un a^{2}

donc a\binom{d}{3} t^{d-3} \equiv 0 \bmod t^{d-2} donc a\binom{d}{3} = 0 dans A, i.e. \frac{d(d-1)(d-2)}{6}\, a = 0 \text{ dans } A . Si 6 inv. dans A, et aussi d(d-1)(d-2), car 3 \leqslant d \leqslant p-1 et A de car. p > 3, donc a = 0 OK.

Cas car. 2 ou 3. Ici il faut supposer B = A[T]/(T^{p^{2}} - \alpha), dans l'unicité (modulo vérification de la définition des D^{(i)}_{t} …) du résultat sur formes d' connues, et la réduction au cas \alpha = 0, s \equiv t \ (t^{3}B), est comme dessus. Il faut prouver que s = t, donc si s = t + a t^{d} (3 \leqslant d \leqslant p^{2}-1) alors a = 0. On trouve comme a\binom{d}{3} = 0 \quad\text{i.e.}\quad a\, c_{3,d-3} = 0, sous c_{3,d-3}, une flèche renvoie à « coeff. binômial »

d'autre part c_{3,d-3} \in \mathbb{F}_p^{*} ssi. ~~d \geqslant d-3~~ \text{pour}\quad \begin{aligned} d-3 &= d_0 + d_1 p\\ 3 &= d'_0 + d'_1 p \end{aligned} \qquad \Bigl|\ 0 \leqslant d_0, d_1, d'_0, d'_1 \leqslant p-1 on a d_0 + d'_0 \leqslant p-1, d_1 + d'_1 \leqslant p-1.

1) Cas car. p = 2, ~~donc d - 3 = \ill{}\,(d_0 - 1) + (d_1 - 1)p~~ ~~On d_0, d_1 \geqslant 1~~ Cas : signifie pour d = 3 c_{3,3} = 1 \Longrightarrow a = 0 \qquad \text{OK}

2) Cas p = 3. Si d_1 \neq 0 i.e. d_1 \geqslant 1, d - 3 = d - p = d_0 + (d_1 - 1)p, \quad\text{et} c_{d,d-3} \equiv c_{d_0,d_0}\, c_{d_1,d_1-1} \quad \text{dans } \mathbb{F}_p, \in \mathbb{F}_p^{*} \text{ ssi } \begin{aligned} 2d_0 &\leqslant p-1 = 2\\ 2d_1 - 1 &\leqslant p-1 = 2 \end{aligned} i.e. d_1 = 1, d_0 = 0 ou 1, dans ce qui ici dépend … (a) d_1 = 0 ; ~~(a)~~ d_1 = 2. b) d_1 = 1, d_0 = 2. Le cas d_1 = 0 on fait facilement, alors 3 \leqslant d \leqslant p-1 dans c_{d,d-3} tout ce cas 2) est barré de trois longues diagonales ; « (a) d_1 = 0 » est cerclé

d - 3 = d_0 + d_1 p, 0 \leqslant d_0, d_1 \leqslant 2 ; 0 \leqslant d_1 \leqslant 1 ; donc d_1 \leqslant 1 (de même 0 \leqslant d-3 \leqslant 5 car 3 \leqslant d \leqslant p^{2}-1 = 8). 3 = 0 + 1\cdot p. La condition c_{3,d-3} \in \mathbb{F}_p^{*} signifie ici d_1 + 1 \leqslant p-1 i.e. d_1 + 1 \leqslant 2 i.e. d_1 \leqslant 1, qui est vérifié. On gagne encore ! cette colonne de droite, écrite après coup en haut à droite de la feuille, porte sur le cas p = 3 ; elle est suivie d'un grand paraphe

Soit P une droite projective sur \mathbb{C}. Un ouvert non vide D \subset P^{\mathrm{an}} est dit « homogène » si le sous-groupe G de \operatorname{Aut}(P) \xrightarrow{\sim} \operatorname{Aut}(P^{\mathrm{an}}) (\simeq GP(1)_{\mathbb{C}}) agit homogènement sur D. Si D est homogène et g \in \operatorname{Aut}(P), g(D) est homogène et a comme groupe de stabilité \operatorname{int}(g).G.

Le « théorème d'uniformisation » nous donne

Th. (classiques) 1

a) Il y a exactement trois classes (à conj. près par \operatorname{Aut}(P)) de domaines homogènes dans P, savoir

1°)D = P 2°)D = P - \{x\}, x \in P 3°)D un disque ouvert [pour une métrique (riemannienne) invariante sur X — les métriques invariantes sont toutes multiples l'une d'elles, et les disques ouverts dans pour une telle métrique sont indépendants du choix de celle-ci]

b) Pour D domaine homogène dans X, G \subset \operatorname{Aut}(P) son stabilisateur, l'application G \to \operatorname{Aut}(D) est un iso. De plus, D est connexe et simplement connexe.

c) Le foncteur (P, D) \longmapsto D, de la catégorie (pour iso) des couples (P, D), P droite projective et D domaine homogène de P, dans la catégorie (pour iso) des espaces \mathbb{C}-analytiques réguliers de dim 1 connexes et simplement connexes, est une équivalence de catégories.

Cor. Naïve Les groupes G de stabilité d'un domaine homogène D de P sont respectivement

1)\operatorname{Aut}(P) (\simeq GP(1)_{\mathbb{C}}) 2)\operatorname{Aut}(\mathbb{E}^{1}) (\simeq \operatorname{Aff}(1, \mathbb{C})) 3)\simeq GP(1, \mathbb{R}) \simeq Gl(2, \mathbb{R})/\mathbb{R}^{*} \simeq Sl(2, \mathbb{R})/\mu_2(\mathbb{R})

(On notera les affirmations 1°) et 2°) d'une , où on trouve ( groupes analytiques complexes) une agissant sur \mathbb{C}, et le cas 3°)

où on trouve un le groupe des pts réels GP(1)(\mathbb{R}) ~~groupe algébrique réel GP(1)_{\mathbb{R}}~~ — qui en fait est une forme réelle de GP(1)_{\mathbb{C}}, dans 3°) on trouve que la correspondance ~~forme~~ biunivoque entre

\alpha)choix d'une ~~forme réelle~~ descente du corps de base de \mathbb{C} à \mathbb{R} dans le groupe alg. \operatorname{Aut}_{\mathbb{C}} P \beta)choix d'une descente du corps de base de \mathbb{C} à \mathbb{R} dans l'algèbre de Lie complexe \operatorname{Lie}\operatorname{Aut}_{\mathbb{C}} P = H^{0}(P, \mathcal{V}_{P/\mathbb{C}}) \simeq H^{0}(P, \Omega^{-1}_{P/\mathbb{C}}) \gamma)choix d'un domaine homogène du type 3°) (i.e. non algébrique) dans P, à polarité près (la polaire de D est P - \overline{D})

\delta) choix d'une géodésique (= \ill{}) dans P

La relation entre \alpha) et \beta) claire, celle entre \alpha) et \gamma) est la suivante : À une forme réelle P_{\mathbb{R}}, on associe l'ensemble de ses pts réels, qui est un « cercle » dans P_{\mathbb{R}}(\mathbb{C}) = P(\mathbb{C}) (P = P_{\mathbb{R}} \otimes_{\mathbb{R}} \mathbb{C}) et on prend les deux composantes connexes de P_{\mathbb{R}}(\mathbb{C}) - P_{\mathbb{R}}(\mathbb{R}) …. Notons que l'inversion p.r. au cercle P_{\mathbb{R}}(\mathbb{R}) …

Scholie On a un foncteur \mathbb{P} de la catégorie des courbes analytiques non sing. connexes et simplement connexes, vers la catégorie des droites projectives complexes, et un homomorphisme fonctoriel X \xhookrightarrow{\ i_X\ } \mathbb{P}(X)(\mathbb{C}) faisant de X un domaine homogène de \mathbb{P}(X). Un tel foncteur est unique (à isom. unique près respectant i : \mathrm{id} \to \mathbb{P}(-)(\mathbb{C})).

Soit maintenant X une courbe analytique non singulière. Pour tout pt x \in X, soit \widetilde{X}(x) le rev. universel de X en x. C'est un espace analytique simplement connexe, et pour x variable, on trouve un système local (foncteur sur le groupoïde fondamental \Pi(X) de X) à valeurs les \widetilde{X}(x) (considérés comme objets de la cat. des courbes ~~esp.~~ analytiques connexes et simplement connexes — mais pas pointées). Le système des projections \widetilde{X}(x) \longrightarrow X = X(x) est un tel système local d'espaces analytiques. On lui associe donc trivialement un homomorphisme d'espaces analytiques sur X

\begin{tikzcd} \widetilde{X} \arrow[r] \arrow[dr] & X \times X \arrow[d, "\mathrm{pr}_2"] \\ & X \end{tikzcd}

munis de connexions intégrables (en un sens strict : il y a transport parallèle …). L'hom. est compatible avec les connexions, et transforme la section unique \sigma : x \mapsto \tilde{x} de \widetilde{X} en la section diagonale de X (d'où on conclut que \sigma est analytique).

Cette construction marche pour des analytiques. Mais utilisant le fait que X est une courbe non sing., donc les \widetilde{X}(x) sont des courbes non sing. connexes et simplement connexes, on trouve que le système local des \widetilde{X}(x) donne naissance au système local des \mathbb{P}(\widetilde{X}(x))(\mathbb{C}), d'où un fibré projectif canonique sur X, noté

\mathbb{P}_X, avec une connexion intégrable, et une immersion de X-esp. an. (respectant les conn.)

\begin{tikzcd} \widetilde{X} \subset \mathbb{P}_X \arrow[d] \\ X \end{tikzcd}

Comme \widetilde{X} est muni d'une section unique, \mathbb{P}_X a une section unique analytique. Donc

Théorème 2 Pour X courbe analytique non sing. connexe, on trouve, de façon unique à iso unique près :

a)Un fibré analytique \mathbb{P}_X sur X en droites projectives b)Une connexion (intégrable) dans \mathbb{P}_X (rel : X/\mathbb{C}) c)Une section \sigma de \mathbb{P}_X sur X d)Un ouvert \widetilde{X} de \mathbb{P}_X contenant \sigma(X) e)Un hom. de X-espaces analytiques \widetilde{X} \xrightarrow{\ p\ } X_X (= X \times X)

tels que

1°)p \circ \sigma = \Delta_X (section diagonale) 2°)\forall x \in X, p_x : \widetilde{X}_x \longrightarrow (X_X)_x = X fait de \widetilde{X}_x un rev. universel de X (i.e. c'est un rev. de X, la comp. connexe de x dans connexe et simplement connexe) 3°)p est compatible avec les connexions 4°)\forall x \in X, \widetilde{X}_x \subset (\mathbb{P}_X)_x est un domaine homogène de (\mathbb{P}_X)_x.

que une \widetilde{F} d'hom. le long de \sigma st. le long de \sigma) et analytiques plus b) et c) ( que pour sous … ) cf. d) et e) les faisant des Inversement, 1°), 2°), 3°) d) et e) quatre notes marginales, écrites verticalement le long du bord gauche et reliées par des accolades aux données a) à e) et aux conditions 1°) à 3°) ; elles semblent dire en quoi les données se déterminent l'une l'autre, mais ne se lisent pas

Supposons X connexe et distinguons ces 3 cas, suivant le type d'isomorphie de son revêt. universel de X

1°) Cas ~~S^{2} =~~ \mathbb{P}^{1}(\mathbb{C}). Alors X ~~\simeq~~ \mathbb{P}^{1}_{\mathbb{C}} est une droite projective (car simpl. connexe), tout autour analytique — et en deux — connexion triviale, …), \widetilde{X} \simeq X \times X = \mathbb{P}^{1}_{X} , p est l'identité.

2°) Cas \mathbb{E}^{1}(\mathbb{C}) = \mathbb{C}. Alors X est soit ~~isomorphe~~ algébrique (car X comp. ), soit isomorphe à \mathbb{C}^{*} (cela provient de ce que les autres sous-gpes fixes de \mathbb{R}^{2}, ~~groupes~~ ~~discrets~~ de \mathbb{E}^{1}_{\mathbb{C}}, c'est kif-kif) ~~\operatorname{Aff}(1, \mathbb{C}) \simeq \mathbb{C}^{*} . \mathbb{C} ( )~~ ~~des translations, et les groupes discrets~~ sous-groupes discrets du groupe des translations \mathbb{C} sont de rang 0, 1 (quotient \mathbb{C}^{*}) ou 2 (quotient courbe elliptique). On note que X est muni d'une structure algébrique (tout autant analytique d'une \mathbb{E}^{1}_{\mathbb{C}}, — de courbe elliptique, — étant algébriques). Ici \widetilde{X} = \mathbb{P}_X - \sigma',

où \sigma' est une sect. horizontale de \mathbb{P}_X ; donc, ~~\subset \mathbb{P}_X~~ muni des deux sections analytiques \sigma, \sigma' disjointes, en considérant \mathbb{P}_X comme clôture projective d'un fibré vectoriel analytique V, qui ~~n'est autre~~ munit \widetilde{X} comme esp. analytique sur X d'une structure vectorielle. On observe que la connexion de X n'induit pas la structure vectorielle. Mais on peut

La cat. (pour iso) des ( \ill{}) des note marginale écrite en oblique dans l'angle inférieur gauche, reliée par une accolade au cas 2°) ; elle ne se lit pas

écrire V = \mathbb{V}(\omega_\sigma), \omega_\sigma étant le fibré conormal le long de la section \sigma, qui est aussi isom. au fibré conormal de X_X le long de la section diagonale, donc V = \mathbb{V}(\underbrace{\Omega^{1}_{X/\mathbb{C}}}_{\omega_{X/\mathbb{C}}}) = \mathbb{W}(\underbrace{t_{X/\mathbb{C}}}_{\text{fibré tangent}}) Donc \widetilde{X} s'identifie au fibré tangent à X, \sigma à la section nulle, \mathbb{P}_X à la clôture projective de \widetilde{X} = \mathbb{W}(t_{X/\mathbb{C}}). La connexion ~~intégrable~~ plate canonique de \mathbb{P}_X est associée à une connexion de \widetilde{X} considéré comme fibré en droites affines, i.e. une connexion sur le fibré principal associé de groupe \operatorname{Aff}(1, \mathbb{C}) (contenant \mathbb{G}_m(\mathbb{C}) dans \widetilde{X} = \mathbb{W}(t_{X/\mathbb{C}}) provient, et contenu dans GP(1, \mathbb{C})).

Il ~~y aurait lieu~~ conviendrait de caractériser cette connexion, et prouver (en l'espérant !) qu'elle est en fait algébrique. Cette question ne se pose que si X est compacte, i.e. X = \mathbb{E}^{1}_{\mathbb{C}} ou X = \mathbb{G}_{m\,\mathbb{C}} (le cas compact réglé par GAGA !). Or dans le cas X \simeq \mathbb{E}^{1}_{\mathbb{C}}, on a encore \widetilde{X} = X \times X \subset \mathbb{P}_X = \mathbb{P}(X) \times X, puisque \widetilde{X} \simeq X, p : \widetilde{X} \to X_X est l'identité (donc \sigma = \Delta_X), tout est clair (et tout est algébrique — la connexion étant d'ailleurs singulière à l'infini !)

Dans le cas où X \simeq \mathbb{C}^{*} \simeq \mathbb{G}_{m}(\mathbb{C})

oui, elle est algébrique note marginale à gauche, reliée par une flèche à la phrase « qu'elle est en fait algébrique »

Dans les éléments de structure canoniques associés à la courbe \mathbb{C}-analytique X, nous allons retenir maintenant ceux qui « gardent un sens algébrique » lorsque X « est » algébrique — et a fortiori dans le cas propre, grâce à Gaga. Ce sont

a)Fibré en droites projectives \mathbb{P}_X sur X b)connexion (plate) c_X sur \mathbb{P}_X (rel. X/\mathbb{C}) c)section \sigma de \mathbb{P}_X

[d) Un isom. de « solutions formelles sur X » \widehat{\mathbb{P}}_X \xrightarrow[\ \sim\ ]{\ \hat{p}_X\ } \widehat{X}_X (complétions formelles le long des sections uniques \sigma et \Delta_X) respectant les connexions.

D'ailleurs, l'élément de structure d) est contenu dans b) et d), moyennant la condition (vérifiée si \exists ( d) compatibles) entre eux) :

1°) La section \sigma est nulle part stationnaire (pour la connexion donnée sur \mathbb{P}_X …] « contenu dans b) et d) » se lit ainsi ; on attendrait « b) et c) »

Même si X n'est pas propre, les travaux de Deligne montrent l'existence et l'unicité de structures algébriques a) b) (unicité, pas l'existence de c) !) déduites des constructions transcendantes du th. 2, lorsqu'on ~~fait~~ rajoute de plus la condition :

La connexion c_X de \mathbb{P}_X est régulière à l'infini.

Mais nous allons étudier l'existence (et l'unicité, et préciser ce pb d'existence — pour une autre voie

Quand a-t-on de telles données algébriques sur une courbe algébrique X sur \mathbb{C}, conduisant nécessairement par la relation analytique du th. aux termes de celles-ci ? Il faut donc construire l'ouvert \widetilde{X} \subset (\mathbb{P}_X)^{\mathrm{an}} et \widetilde{X} \longrightarrow (X_X)^{\mathrm{an}}.

Il nous a déjà une bonne forme d), et celui-ci pourrait se prolonger, suivant les cas : 1°) en \mathbb{P}_X \to X_X par un iso (cas X droite projective) 2°) un hom. \text{\struck{$(\mathbb{P}_X^{\mathrm{an}} \supset \sigma'(X))$}}\quad \widetilde{X} \overset{\mathrm{df}}{=} \mathbb{P}_X^{\mathrm{an}} - \sigma'^{\mathrm{an}}(X^{\mathrm{an}}) \xrightarrow{\ p\ } (X_X)^{\mathrm{an}}, où \sigma' est une section horizontale (univoquement déterminée) de \mathbb{P}_X sur X, faisant de \widetilde{X} un rev. de (X_X)^{\mathrm{an}}, et transformant \sigma en \Delta_X. ( Ici p est un iso X \simeq \mathbb{E}^{1}_{\mathbb{C}} i.e. X simplement connexe non propre). Le cas où X \simeq \mathbb{E}^{1}_{\mathbb{C}}, \mathbb{G}_{m\,\mathbb{C}}, ou X courbe elliptique. Question A-t-on une description ~~purement~~ algébrique de \sigma' (en supposant qu'on ait aux données de (\mathbb{P}_X, c_X, p_X)) ? Et de p_X dans le cas où c'est un iso analytique, i.e. X \simeq \mathbb{E}^{1}_{\mathbb{C}} — alors p_X est lui-même algébrique ! 3°) On a un ouvert \widetilde{X} (dont les fibres sont des disques) dans les fibres de \mathbb{P}_X^{\mathrm{an}}, lesquels disques sont les domaines d'existence maximaux des \hat{p}_x : (\mathbb{P}_x)^{\mathrm{an}} \longrightarrow X^{\mathrm{an}} …

N.B. P. Deligne note marginale à gauche, cerclée et barrée d'une croix On a toujours \mathbb{C}, clôture projective fibré seconde note marginale, écrite en oblique à gauche des cas 2°) et 3°) ; à peu près illisible

Or, pour une courbe lisse donnée X sur un schéma de base S de car. nulle (p. ex. S = \operatorname{Spec}\mathbb{C}) on a donné une description purement alg. des structures du type a) b) c) (avec connexion c_X sur P rel. à X/S), satisfaisant la condition 1° — pour le moment une condition par la condition 2°. La cat. de ces structures est rigide — de façon précise, les P (fibré de S.D. de rang 1 sur X) sont can. isom. à \mathbb{P}(E), où E est l'extension 0 \longrightarrow \underline{\omega}_{X/S} \longrightarrow E \longrightarrow \underline{\mathcal{O}}_X \longrightarrow 0 sous \underline{\omega}_{X/S}, un signe \Vert le renvoie à \underline{\omega}

donnée par E \simeq \mathcal{J}/\mathcal{J}^{3} \otimes \omega^{-1} (\mathcal{J} \subset \mathcal{P}^{\infty}_{X/S} l'idéal d'augmentation, donc \mathcal{J}/\mathcal{J}^{2} \simeq \omega_{X/S} = \omega), la section \sigma est alors définie par cette structure d'extension, enfin la connexion c sur P = \mathbb{P}(E) est déduite d'un isom. p : \mathcal{P}^{\infty}_{X/S} \xrightarrow{\ \sim\ } \underline{\mathcal{O}}_{\hat{P}} (\hat{P} complété formel de P le long de \sigma), prolongeant l'isom. \add{p(\sigma)} (et l'ind. 2 canonique) impliqué par la description de P = \mathbb{P}(E) par le choix particulier de E. On a un produit, par les isom. \hat{p} tels que la conn. de \hat{p} déduite par transport de structure de celle de \mathcal{P}^{\infty}_{X/S} (provenant de la conn. tautologique de ~~X \times X~~ X \times_S X sur X) provienne bien d'une connexion de P. On constate donc que ces iso (correspondant la phrase se poursuit à la page suivante

donc à toutes les structures possibles du type envisagé sur X) sont en correspondance biunivoque, i.e. vérifient, avec l'ens. des relèvements p_{(3)} de p_{(2)} à l'ordre 3 (sans autre condition sur ceux-ci). Ce sont donc les sections sur X d'un torseur canonique sur S, sous le faisceau abélien \underline{\mathrm{Hom}}(\underline{\omega}, \underline{\omega}^{\otimes 3}) \simeq \underline{\omega}^{\otimes 2} : \text{\struck{$\mathcal{P}$}} \quad \mathcal{C}_{X/S} \quad \text{torseur sous } \underline{\omega}^{\otimes 2} = \underline{\Omega}^{1\,\otimes 2}_{X/S} sous \mathcal{C}_{X/S} : « ensemble des “connexions projectives” »

On dit aussi que les structures du type envisagé sur X sont des connexions projectives sur X, et le torseur envisagé est le torseur des connexions projectives sur X/S. [Elles sont aussi en correspondance biunivoque avec l'ens. des connexions correspondantes c sur P = \mathbb{P}(E) (E comme dessus), ou ce qui revient au même, des connexions (compatibles ) sur le fibré en M_3 lié associé (i.e. qui dirait P \to X de \mathcal{J}_{R/X}, on aura E \otimes \check{E}/\underline{\mathcal{O}}_X) — on trouve \mathcal{V} \simeq (\operatorname{Sym}^{2} E) \otimes \underline{\omega}^{-1} extension successive — commençant — de \underline{\omega}^{1}, \underline{\omega}^{0}, \underline{\omega}^{-1} — et il faut prendre les connexions \nabla c : \mathcal{V} \longrightarrow \mathcal{V} \otimes \underline{\omega} \simeq \operatorname{Sym}^{2} E qui, sur \underline{\omega} \subset \mathcal{V} (défini nécessairement dans \operatorname{Ker}(\operatorname{Sym}^{2} E \to \operatorname{Sym}^{2}\underline{\mathcal{O}}_X \simeq \underline{\mathcal{O}}_X), ext. de \underline{\omega} par \underline{\omega}^{2}, la phrase se poursuit à la page suivante

laquelle extension s'identifie à \mathcal{P}^{1}_{X/S}(\omega) par sa structure d'extension naturelle de \omega par \underline{\omega} \otimes \underline{\Omega}^{1}_{X/S} \simeq \underline{\omega} \otimes \underline{\omega} = \underline{\omega}^{2}) s'identifie à l'op. diff. de degré 1 (rel. à S) universel sur \underline{\omega} c|\underline{\omega} = d^{1}_{\underline{\omega}, X/S} : \underline{\omega} \longrightarrow \mathcal{P}^{1}_{X/S}(\underline{\omega}) . L'indétermination dans cette, sur cette condition, au lieu d'être dans \Gamma(\underline{\omega} \otimes \mathcal{V}) — (connexion sur \mathcal{V} par produit, i.e. dans une section des \mathcal{V} \otimes \underline{\omega}) est dans (\underline{\omega} \otimes \underline{\mathrm{Bil}}_0 \simeq \underline{\omega} \otimes \underline{\omega} \simeq \underline{\omega}^{\otimes 2} — on retombe sur ses pattes !

Ceci « rappelé », on voit donc que si S = \operatorname{Spec}\mathbb{C}, donc X courbe algébrique lisse/\mathbb{C}, dans la construction transcendante indiquée plus haut ~~des~~ s'interprète comme la construction d'une connexion projective (canonique) sur X/\mathbb{C}, i.e. d'une section canonique du torseur \mathcal{C}_{X/\mathbb{C}} (des connexions projectives sur X), sous \underline{\omega}^{\otimes 2}_{X/\mathbb{C}} = \underline{\omega}^{2} on se demande quand (cette connexion projective est de plus « régulière » à l'infini » i.e. la connexion correspondante sur \mathbb{P}_X \simeq \mathbb{P}(\mathcal{J}/\mathcal{J}^{3}) (\mathcal{J} idéal d'augmentation de \mathcal{P}^{\infty}_{X/\mathbb{C}}) ~~étant~~ est régulière à l'infini. Sauf erreur, cela doit signifier

projectives régulière donnée \mathbb{E}^{1}_{\mathbb{C}} \mathbb{G}_{m\,\mathbb{C}} \mathbb{P} deux notes marginales écrites verticalement le long du bord gauche, la seconde reliée par un trait courbe à la condition « régulière à l'infini » ; à peu près illisibles

que cette section du torseur \mathcal{C} (qui est en fait défini sur \hat{X}, compactifiée non singulière naturelle de X,) sont \mathcal{C}_{\hat{X}/\mathbb{C}}) est admet « à l'infini » \hat{X} - X que des pôles simples au plus, i.e. si D est le diviseur correspondant sur \hat{X} à multiplicités toutes 1, de support \hat{X} - X, on aura comme groupe d'indéterminations des conn. proj. rég. à l'infini sur \hat{X} H^{0}(\hat{X}, \underline{\omega}^{\otimes 2}_{\hat{X}}(D)) (qu'on peut relier aussi aux invariants classiques de la courbe complétée \hat{X} les écrivant d'abord \underline{\lambda} = ~~\underline{\omega}^{2}~~ … lieu de \underline{\omega}^{\otimes 2}_{\hat{X}/\mathbb{C}}) \text{\struck{$0 \to \underline{\lambda} \to \underline{\lambda}(D) \to$}} \quad \underline{\omega}(D)/\underline{\omega}^{2} \longrightarrow 0 0 \longrightarrow \underline{\lambda} \longrightarrow \underline{\lambda}(D) \longrightarrow \underline{\lambda}(D)/\underline{\lambda} \longrightarrow 0 déduite par \otimes\,\underline{\lambda} de 0 \longrightarrow \underline{\mathcal{O}}_{\hat{X}} \longrightarrow \underline{\mathcal{O}}_{\hat{X}}(D) \longrightarrow \underline{\mathcal{O}}_{\hat{X}}(D)/\underline{\mathcal{O}}_{\hat{X}} \longrightarrow 0 où \underline{\mathcal{O}}_{\hat{X}}(D) = \mathcal{J}_D^{-1} (idéal de D) et \underline{\mathcal{O}}_{\hat{X}}(D)/\underline{\mathcal{O}}_{\hat{X}} \simeq (\mathcal{J}_D/\mathcal{J}_D^{2})^{-1} \simeq (\underline{\omega}^{-1}|D), d'où \underline{\lambda}(D)/\underline{\lambda} \simeq (\underline{\lambda}\,\underline{\omega}^{-1})|D et la suite exacte 0 \to H^{0}(\hat{X}, \underline{\lambda}) \to H^{0}(\hat{X}, \underline{\lambda}(D)) \to H^{0}(D, \underline{\lambda}\,\underline{\omega}^{-1}|D) \to H^{1}(\hat{X}, \underline{\lambda}) (ici \underline{\lambda} = \underline{\omega}^{\otimes 2}_{\hat{X}/\mathbb{C}} \simeq \underline{\omega}^{2}).

On suppose X connexe Si \hat{X} est de genre g \geqslant 2, H^{1}(\hat{X}, \underline{\lambda}) = 0 (i.e. le dual de H^{0}(\hat{X}, \underline{\omega}^{-1}) = 0) donc 0 \to H^{0}(\hat{X}, \underline{\omega}^{2}) \to H^{0}(X, \underline{\omega}^{2})^{\mathrm{reg}} \to H^{0}(D, \underline{\omega}|D) \to 0 sous les termes, de gauche à droite : H^{0}(\hat{X}, \underline{\omega}^{2}) \simeq \underline{\Omega}^{1}_{M_g/\mathbb{C}}(s), de rang 3g-3 (cerclé), M_g variété modulaire des courbes de genre g non compactes ; H^{0}(X, \underline{\omega}^{2})^{\mathrm{reg}} \simeq (can. ?) \underline{\Omega}^{1}_{M_{g,\nu}/\mathbb{C}}(s), M_{g,\nu} variété modulaire des courbes de genre g à \nu trous ; H^{0}(D, \underline{\omega}|D) de rang \nu = \operatorname{card} D

(b) g \leqslant 1, i.e. g = 0, 1. Est-ce que H^{1}(\hat{X}, \underline{\lambda}) \longrightarrow H^{1}(\hat{X}, \underline{\lambda}(D)) \quad \text{est inj.\ ?} On a encore H^{0}(\hat{X}, \underline{\omega}^{-1}) \longleftarrow H^{0}(\hat{X}, \underline{\omega}^{-1}(-D)) sous \underline{\omega}^{-1} : = \underline{t}_{\hat{X}/\mathbb{C}}, fibré tangent, et H^{0}(\hat{X}, \underline{\omega}^{-1}) = \operatorname{Lie}\underline{\mathrm{Aut}}(\hat{X}) (cerclé) ; sous \underline{\omega}^{-1}(-D) : = \underline{t}_{\hat{X}/\mathbb{C}}(-D), champs tangents s'annulant sur D, et H^{0} = \operatorname{Lie}\underline{\mathrm{Aut}}(X) (cerclé)

~~injectif~~, surjectif ? Si son conoyau sans pôles \check{Q}(X), on aura 0 \to H^{0}(\hat{X}, \underline{\omega}^{2}) \to H^{0}(X, \underline{\omega}^{2})^{\mathrm{rég}} \to H^{0}(D, \underline{\omega}|D) \to \check{Q}(X) \to 0 Cas g = 1, dans dimension H^{0}(\hat{X}, \underline{t}_{\hat{X}/\mathbb{C}}) = 1 et si D \neq 0 i.e. X \neq \hat{X} i.e. X non complète, on a Q(X) \simeq H^{0}(\hat{X}, \underline{\omega}^{-1}) \simeq t_{\hat{X}} (algèbre de Lie du groupe des translations) d'où \check{Q}(X) = \omega_{\hat{X}} = \check{t}_{\hat{X}} (formes diff. inv. sur ). Interprétation plausible sur rigidité du pb modulaire des courbes elliptiques (i.e. pt marqué) avec \nu pts distincts de somme nulle (cas où à ) — courbes elliptiques tenues à et \nu pts (non ordonnés) ~~marqués~~ distincts et un pt choisi à leur somme … \text{Alors } H^{0}(\hat{X}, \underline{t}_{\hat{X}/\mathbb{C}}) = 0 Cas g = 0. H^{0}(\hat{X}, \underline{t}_{\hat{X}/\mathbb{C}}) est de dim 3, et suivant les cas \begin{array}{ll} \nu = 1 & \dim H^{0}(\hat{X}, \underline{t}_{\hat{X}/\mathbb{C}}(-D)) = 2\\ \nu = 2 & \phantom{\dim H^{0}(\hat{X}, \underline{t}(-D))} = 1\\ \nu \geqslant 3 & \phantom{\dim H^{0}(\hat{X}, \underline{t}(-D))} = 0 \end{array} donc Q(X) est respectivement de dim 1, 2 ou 3.

Donc pour 0 \leqslant \nu \leqslant 3, on aura \dim \check{Q}(X) = \operatorname{card}\operatorname{supp} D = \dim H^{0}(D, \underline{\omega}|D) la ligne « Alors H^{0}(\hat{X}, \underline{t}_{\hat{X}/\mathbb{C}}) = 0 » est reliée par une accolade au cas g = 0 qui suit ; la conclusion, « 0 \leqslant \nu \leqslant 3 », se lit ainsi alors que le cas \nu \geqslant 3 vient de donner \dim Q(X) = 3 : on transcrit tel quel

donc H^{0}(X, \underline{\omega}^{2})^{\mathrm{rég}} = 0 : il n'y a qu'une seule connexion projective régulière à l'\infty ! sur X si X est de genre 0 et à \nu \leqslant 3 trous. Par contre pour \nu \geqslant 4, l'espace H^{0}(X, \underline{\omega}^{2})^{\mathrm{rég}} est de dim \nu - 3 — c'est encore la dim de l'espace modulaire pour la droite projective à \nu trous, et sans doute on trouve un isom. can. H^{0}(X, \underline{\omega}^{2})^{\mathrm{rég}} \simeq \underline{\Omega}^{1}_{M_{0,\nu}}(s) \quad \ldots Bien entendu, dans le cas \nu \leqslant 3, la seule et unique connexion projective sur X est celle induite par la connexion projective de \hat{X} (et toutes celles de transcendant !) Dans le cas de \nu \leqslant 3, possibilités dans sa description par tout transcendant ! la connexion projective unique ( ) de \mathbb{P}_X = \hat{X} \times X, munie de la section diagonale (et de la connexion triviale. Dans le cas de X quelconque (de genre 0) cette connexion est après définition, et fournit une section canonique note marginale écrite en oblique à gauche, à la hauteur de « transcendant ! » ; illisible. La phrase finale reste en suspens au bas de la page, dont le reste est blanc

On suppose inv. sur S.

Prop. Soit H schéma en groupes lisse sur S, de dim rel. 1, et X un torseur sous H. Soit (\mathcal{V}, \mathcal{L}, \underline{\omega}) l'alg. de Lie de rang lin. 3 correspondante (\mathbb{P}, \sigma), le fibré proj. : section associée sur X. Il y a un fibré par translation et le descend par \underset{\omega_0}{\underline{\omega}_0} \subset \underset{\underline{\mathcal{O}}_S}{\mathcal{L}_0} \subset \underset{\omega_0^{-1}\ \text{sur } X}{\mathcal{V}_0}, \qquad (P_0, \sigma_0) \quad P_0 = \mathbb{P}(\mathcal{L}_0) \mathcal{L}_0 = (\underline{\mathcal{O}}_H/\mathcal{J}^{3})^{+}, \quad \mathcal{J} \text{ id.\ d'augm.\ de } H Alors les conn. projectives invariantes sous H sont en corresp. 1–1 avec les sections d'un certain sous-torseur de \mathcal{V}_0 \otimes \underline{\omega}_0 sous \underline{\omega}_0 \otimes \underline{\omega}_0 = \underline{\omega}_0^{2}, se projetant sur la section 1 de \underline{\omega}_0^{-1} \otimes \underline{\omega}_0 \simeq \underline{\mathcal{O}}_S, [formée des sections locales de \mathcal{V}_0 \otimes \underline{\omega}_0 qui sont compatibles à \mathcal{L}_0 \otimes \underline{\omega}_0, suivant celle de Hausdorff] on a l'ensemble canonique de \mathcal{V}_0 \simeq \underline{\omega}_0 \oplus \underline{\mathcal{O}}_S \oplus \underline{\omega}_0^{-1} suivant sous la forme \omega_2 + \omega_1 + 1 \in \Gamma(\underline{\omega}_0^{2} + \underline{\omega}_0 + \underline{\mathcal{O}}_S). Les sections de ce sous-torseur correspondent aux sections de \mathbb{P}(\omega_0 + \omega_0^{-1}) qui ne disparaissent de la section canonique déduite de \omega_0 \subset \omega_0 \oplus \omega_0^{-1}, — aux scindages de 0 \to \omega_0 \to \omega_0 \oplus \omega_0^{-1} \to \omega_0^{-1} \to 0. Il y a donc une canonique parmi elles -ci celle de Campbell-Hausdorff) correspondant à la section 0 + 0 + 1 de \mathcal{V}_0 \otimes \underline{\omega}_0. Elle est caractérisée parmi les conn. proj. inv. loc. sur S(\ell) par la condition que l'on puisse trouver un P une section invariante par translations (du groupe structural ) à G_m, i.e. qu'on puisse trouver une

[\underline{\mathcal{O}}_S] \subset \mathcal{L}_0 correspond aux parties d'ordre 2 des fonctions invariantes ; on a [\underline{\mathcal{O}}_S] \otimes \underline{\omega}, : \omega_0 \to \mathcal{L}_0 \otimes \omega_0 \mathbb{V}(\omega) deux notes marginales à gauche ; la seconde, écrite verticalement, à peu près illisible

G-extension sur X invariante par translation 0 \longrightarrow \underline{\omega}_X \longrightarrow F \longrightarrow \underline{\mathcal{O}}_X \longrightarrow 0 et un G-iso. P \simeq \mathbb{P}(F) (\simeq \overline{\mathbb{V}(\mathcal{T})}, où \mathcal{T} est le G-torseur associé sur \underline{\mathcal{O}}_X, avec la structure tautologique de \underline{\omega}_X définie par l'extension …) [La trace \sigma' section/de P qui y correspond est toute disjointe de \sigma, donc correspond à un scindage (inv. par H) \mathcal{V} \simeq \underline{\omega} \oplus \underline{\mathcal{O}}_X \oplus \underline{\omega}^{-1}, qu'on peut écrire par celui [que d'abord un scindage ] et d'autre un scindage de Campbell-Hausdorff, sur S déjà canonique …) avec \underline{\mathcal{O}}_X + \underline{\omega}^{-1} et \underline{\omega}^{-1} (invariant par la connexion), et elle induit triviale sur le [quotient \underline{\mathcal{O}}_X ]. Pour les conn. projectives invariantes, pour lesquelles on dispose de ce que l'on peut dire de la « distinction », il y a G-réduction () du groupe structural de à un sous-groupe du G_0 = GP(\mathbb{P}(\underline{\omega}_0 + \underline{\mathcal{O}}_S))/. Si on est sur un corps alg. clos (S spectre de k), alors la connexion proj. can. est caractérisée, parmi celles qui sont invariantes, par la condition que P admette une section ~~horizontale~~ (N.B. en car. 0, ) invariante), toutes les autres en ont exactement deux …

N.B. Si H est propre sur S, i.e. fibrés connexes (donc X/S est schéma en courbes elliptiques) alors les connexions projectives sur X sont toutes inv. par H. Ce qui caractérise donc la conn. proj. canonique parmi toutes les connexions …

le long du bord gauche, sur toute la hauteur de la page, plusieurs colonnes de notes marginales écrites verticalement et reliées par des accolades ; à peu près illisibles. En face de la phrase sur la condition, un « ? » en marge