Cote n° 93, pages 121–140

Cote n° 93 · batch 7 · pages 121–140 · Transcription · Connexions de Gauss-Manin et équations de Picard-Fuchs. Opération de Cartier : copies de tapuscrit annoté (s.d.), tiré à part (1981), notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [1972]-1981
Édition de démonstration

121la page commence au milieu d'une phrase : l'argument vient de la page qui précède le lot

des ⌜$\mathrm{Conn}_{X/S}$ et des⌝ $H^{1}\mathcal{P}_{X/S} \longrightarrow \mathrm{Conn}_{X/S}$ s'étendant à $G_0(\ill{})$ et de \[ H^{1}\mathcal{P}_{X/S} \longleftrightarrow \mathrm{Conn}^{0}_{X/S} \] les premiers se déduisant du second de façon évidente, compte tenu de l'isom. can. \[ \mathrm{Conn}^{0}_{X/S} \longrightarrow \mathrm{Conn}_{X/S} \] compatible avec l'iso \[ \underline{\omega}_{X/S}^{\otimes 2} \xrightarrow{\ 12\,\mathrm{id}\ } \underline{\omega}_{X/S}^{\otimes 2} \] sur les champs d'opérateurs. (On ⌜écrira⌝ […] parfois, \[ c_{0}^{X}(\ill{}) = \tfrac{1}{12}\, c^{X}(\ill{}) \quad \ldots\,) \]

On peut espérer que si $X$ est de car. $p > 0$, et si $\mathcal{O}'_X$ est le sous-faisceau ⌜d'anneaux des fonctions⌝ de $\mathcal{O}_X$ défini par des $f$ tels que $D^{(i)}f = 0$ ($i \leqslant 3$), […] les conditions \[ H_{\mathcal{X}}(\mathcal{P}/S) \backslash \mathcal{P}_{X/S} \longleftrightarrow \mathrm{Conn}^{0}_{X/S} \] l'indice de $H$ surcharge un premier symbole ; lecture douteuse

sont injectifs, i.e. que […]

$\mathcal{O}'_{X/S}$ est $\mathcal{O}^{(p)}_{X/S}$ si $p \neq 2, 3$, sinon $\mathcal{O}^{(p^{2})}_{X/S}$ OK

Proposition […] $A$ anneau (local, plus généralement avec $\operatorname{Pic}(A) = 0$) de car. $p > 0$, $\alpha \in A$, $B = A[T]/(T^{p} - \alpha)$, $t \in B$ la classe de ⌜de⌝ $T$ dans $B$ (donc $t^{p} = \alpha$), […] $s \in B$, donc \[ s = a_0 + a_1 t + \cdots + a_{p-1} t^{p-1}, \qquad a_i \in A \ (0 \leqslant i \leqslant p-1), \] \[ D_t s = (ds)/(dt), \qquad D^{(i)}_t s = \tfrac{1}{i!}(D_t)^{i}s \quad\text{si } 1 \leqslant i \leqslant 3, \] $D^{(j)}_t s = \sum_{j \leqslant i \leqslant p-1} a_i \binom{i}{j} t^{i-j}$, et

cas $p \neq 2, 3$ […] […] ([…])

Posons Alors \[ c_0(s) = -\frac{D^{(3)}_t s}{D^{(1)}_t s} + \Bigl(\frac{D^{(2)}_t s}{D^{(1)}_t s}\Bigr)^{2} \quad \text{si } D^{(1)}_t s \in B^{*}. \] Supposons $c_0(s) = 0$ i.e. \[ (D^{(2)}s)^{2} = (D^{(1)}s)(D^{(3)}s). \] Alors $\exists\, a, b, c, d \in A$ (uniques […] […] […] ⌜scalaire⌝) ⌜avec $ad - bc = 1$⌝, tels que \[ s = \frac{at + b}{ct + d} \quad\text{i.e.}\quad s(ct + d) = at + b \] les exposants (2) et (3) se distinguent mal dans ces deux formules ; on les lit d'après les calculs de la page 122, où $D^{(3)}s\,D^{(1)}s$ et $(D^{(2)}s)^{2}$ sont comparés

122OPS […] pour les éléments […] $\in A^{p}$, puis $\alpha \neq 0$ […]

donc $t \in B$, donc $D^{(1)}s = a_1 + a_2 t + \cdots \equiv a_1 \ (tB)$lecture de « $(tB)$ » douteuse

donc $D^{(1)}s \in B^{*} \Longleftrightarrow a_1 \in A^{*}$. OPS, quitte à remplacer $s$ par $a_1^{-1}(s - a_0)$, que $s = t + a_2 t^{2} + \cdots + a_{p-1}t^{p-1}$, puis, quitte à faire encore un chgt de variable \[ s' = \frac{s}{1 + a_2 s} = \sum_{n \geqslant 0} (-1)^{n} a_2^{n} s^{n+1} = s - a_2 s^{2} + \cdots \equiv t \bmod t^{3} \] entre la fraction et la somme, une seconde fraction $\frac{1}{1+a_2 s}$ est biffée ; devant le $\sum$ un $s$ semble biffé

donc $s$ de la forme \[ s = t + \text{termes d'ordre} \geqslant 3 . \]

[…] À prouver que, sous une condition, la condition \[ c_0(s) = 0 \Longrightarrow s = t . \] Si […] […] par si : \[ s = t + a t^{d} + \cdots \quad (\text{termes d'ordre} \geqslant d+1), \] $3 \leqslant d \leqslant p-1$ $d \geqslant 3$, alors $a = 0$. \[\begin{align*} D^{(3)}s &\equiv a\binom{d}{3} t^{d-3} \bmod (t^{d-2})\\ D^{(2)}s &\equiv a\binom{d}{2} t^{d-2} \bmod (t^{d-1}) \text{ et a fortiori mod } t^{d-2}\\ D^{(1)}s &\equiv 1 \bmod (t^{d-1}) \text{ et a fortiori mod } t^{d-2}\\ D^{(3)}s\, D^{(1)}s &\equiv a\binom{d}{3} t^{d-3} \bmod t^{d-2}\\ (D^{(2)}s)^{2} &\equiv 0 \bmod t^{d-2} \end{align*}\] à la ligne de $D^{(1)}s$, un terme $+\,a d\, t^{d-1}$ est biffé ; à celle de $D^{(3)}s\,D^{(1)}s$, un terme $+\,a^{2} d \binom{d}{3} t^{2d-4}$ est biffé ; à celle de $(D^{(2)}s)^{2}$, le $0$ surcharge un $a^{2}$

donc \[ a\binom{d}{3} t^{d-3} \equiv 0 \bmod t^{d-2} \] donc $a\binom{d}{3} = 0$ dans $A$, i.e. \[ \frac{d(d-1)(d-2)}{6}\, a = 0 \text{ dans } A . \] Si $6$ inv. dans $A$, et aussi $d(d-1)(d-2)$, car $3 \leqslant d \leqslant p-1$ et $A$ de car. $p > 3$, donc $a = 0$ OK.

123Cas car. 2 ou 3. Ici il faut supposer $B = A[T]/(T^{p^{2}} - \alpha)$, dans l'unicité (modulo vérification de la […] ⌜définition⌝ des $D^{(i)}_{t}$ …) du résultat sur formes d'[…] connues, et la réduction au cas $\alpha = 0$, $s \equiv t \ (t^{3}B)$, est comme dessus. Il faut prouver que $s = t$, donc si $s = t + a t^{d}$ ($3 \leqslant d \leqslant$ […] $p^{2}-1$) alors $a = 0$. On trouve comme […] \[ a\binom{d}{3} = 0 \quad\text{i.e.}\quad a\, c_{3,d-3} = 0, \] sous $c_{3,d-3}$, une flèche renvoie à « coeff. binômial »

d'autre part $c_{3,d-3} \in \mathbb{F}_p^{*}$ ssi. $d \geqslant d-3$ \[ \text{pour}\quad \begin{aligned} d-3 &= d_0 + d_1 p\\ 3 &= d'_0 + d'_1 p \end{aligned} \qquad \Bigl|\ 0 \leqslant d_0, d_1, d'_0, d'_1 \leqslant p-1 \] on a $d_0 + d'_0 \leqslant p-1$, $d_1 + d'_1 \leqslant p-1$.

1) Cas car. $p = 2$, donc $d - 3 = \ill{}\,(d_0 - 1) + (d_1 - 1)p$ […] On $d_0, d_1 \geqslant 1$ […] […] Cas : signifie […] pour $d = 3$ […] \[ c_{3,3} = 1 \Longrightarrow a = 0 \qquad \text{OK} \] […]

2) Cas $p = 3$. […] Si $d_1 \neq 0$ i.e. $d_1 \geqslant 1$, \[ d - 3 = d - p = d_0 + (d_1 - 1)p, \quad\text{et} \] \[ c_{d,d-3} \equiv c_{d_0,d_0}\, c_{d_1,d_1-1} \quad \text{dans } \mathbb{F}_p, \] \[ \in \mathbb{F}_p^{*} \text{ ssi } \begin{aligned} 2d_0 &\leqslant p-1 = 2\\ 2d_1 - 1 &\leqslant p-1 = 2 \end{aligned} \] i.e. $d_1 = 1$, $d_0 = 0$ ou $1$, dans ce qui ici dépend … (a) $d_1 = 0$ ; (a) $d_1 = 2$. b) $d_1 = 1$, $d_0 = 2$. […] Le cas $d_1 = 0$ […] on fait facilement, […] alors $3 \leqslant d \leqslant p-1$ dans $c_{d,d-3}$ tout ce cas 2) est barré de trois longues diagonales ; « (a) $d_1 = 0$ » est cerclé

$d - 3 = d_0 + d_1 p$, $0 \leqslant d_0, d_1 \leqslant 2$ ; $0 \leqslant d_1 \leqslant 1$ ; donc $d_1 \leqslant 1$ (de même $0 \leqslant d-3 \leqslant 5$ car $3 \leqslant d \leqslant p^{2}-1 = 8$). $3 = 0 + 1\cdot p$. La condition $c_{3,d-3} \in \mathbb{F}_p^{*}$ signifie ici $d_1 + 1 \leqslant p-1$ i.e. $d_1 + 1 \leqslant 2$ i.e. $d_1 \leqslant 1$, qui est vérifié. On gagne encore ! cette colonne de droite, écrite après coup en haut à droite de la feuille, porte sur le cas $p = 3$ ; elle est suivie d'un grand paraphe

125Soit $P$ une droite projective sur $\mathbb{C}$. Un ouvert non vide $D \subset P^{\mathrm{an}}$ est dit « homogène » si le ⌜sous-⌝groupe $G$ de $\operatorname{Aut}(P) \xrightarrow{\sim} \operatorname{Aut}(P^{\mathrm{an}})$ ($\simeq GP(1)_{\mathbb{C}}$) agit homogènement sur $D$. Si $D$ est homogène et $g \in \operatorname{Aut}(P)$, $g(D)$ est homogène et a comme groupe de stabilité $\operatorname{int}(g).G$.

Le « théorème d'uniformisation » nous donne

Th. (classiques) 1

a) Il y a exactement trois classes (à conj. près par $\operatorname{Aut}(P)$) de domaines homogènes dans $P$, savoir

1°)$D = P$
2°)$D = P - \{x\}$, $x \in P$
3°)$D$ un disque ouvert [pour une métrique (⌜riemannienne⌝) invariante sur $X$ — les métriques ⌜invariantes⌝ sont toutes multiples l'une d'elles, et les disques ouverts ⌜dans⌝ pour une ⌜telle⌝ métrique sont indépendants du choix de celle-ci]

b) Pour $D$ domaine homogène dans $X$, $G \subset \operatorname{Aut}(P)$ son stabilisateur, l'application $G \to \operatorname{Aut}(D)$ est un iso. De plus, $D$ est connexe et ⌜simplement⌝ connexe.

c) Le foncteur $(P, D) \longmapsto D$, de la catégorie ⌜(pour iso)⌝ des couples $(P, D)$, $P$ droite projective et $D$ domaine homogène de $P$, dans la catégorie ⌜(pour iso)⌝ des […] espaces $\mathbb{C}$-analytiques réguliers de dim 1 connexes et simplement connexes, est une équivalence de catégories.

Cor. Naïve Les groupes $G$ de stabilité d'un domaine homogène $D$ de $P$ sont respectivement

1)$\operatorname{Aut}(P)$ ($\simeq GP(1)_{\mathbb{C}}$)
2)$\operatorname{Aut}(\mathbb{E}^{1})$ ($\simeq \operatorname{Aff}(1, \mathbb{C})$)
3)$\simeq GP(1, \mathbb{R}) \simeq Gl(2, \mathbb{R})/\mathbb{R}^{*} \simeq Sl(2, \mathbb{R})/\mu_2(\mathbb{R})$

(On notera les affirmations 1°) et 2°) d'une […] […], où on trouve ([…] groupes analytiques complexes) […] une agissant sur $\mathbb{C}$, et le cas 3°)

126où on trouve un ⌜le groupe des pts réels $GP(1)(\mathbb{R})$⌝ groupe algébrique réel $GP(1)_{\mathbb{R}}$ — qui en fait est une forme réelle de $GP(1)_{\mathbb{C}}$, […] ⌜dans 3°)⌝ […] ⌜on trouve⌝ que la […] ⌜correspondance⌝ forme biunivoque entre

$\alpha$)choix d'une forme réelle ⌜descente du corps de base de $\mathbb{C}$ à $\mathbb{R}$⌝ dans le groupe alg. $\operatorname{Aut}_{\mathbb{C}} P$
$\beta$)choix d'une descente du corps de base de $\mathbb{C}$ à $\mathbb{R}$ dans l'algèbre de Lie complexe \[ \operatorname{Lie}\operatorname{Aut}_{\mathbb{C}} P = H^{0}(P, \mathcal{V}_{P/\mathbb{C}}) \simeq H^{0}(P, \Omega^{-1}_{P/\mathbb{C}}) \]
$\gamma$)choix d'un domaine homogène du type 3°) (i.e. non algébrique) dans $P$, à polarité près (la polaire de $D$ est $P - \overline{D}$)

$\delta$) choix d'une […] géodésique […] ($= \ill{}$) dans $P$

La relation entre $\alpha$) et $\beta$) claire, celle entre $\alpha$) et $\gamma$) est la suivante : À une […] forme réelle $P_{\mathbb{R}}$, on associe l'ensemble de ses pts réels, qui est un « cercle » dans $P_{\mathbb{R}}(\mathbb{C}) = P(\mathbb{C})$ ($P = P_{\mathbb{R}} \otimes_{\mathbb{R}} \mathbb{C}$) et on prend les deux composantes connexes de $P_{\mathbb{R}}(\mathbb{C}) - P_{\mathbb{R}}(\mathbb{R})$ …. Notons que l'inversion p.r. au cercle $P_{\mathbb{R}}(\mathbb{R})$ …

Scholie On a un foncteur ⌜$\mathbb{P}$⌝ de la catégorie des courbes analytiques non sing. connexes et simplement connexes, vers la catégorie des droites projectives complexes, et un homomorphisme fonctoriel \[ X \xhookrightarrow{\ i_X\ } \mathbb{P}(X)(\mathbb{C}) \] faisant de $X$ un domaine homogène de $\mathbb{P}(X)$. Un tel foncteur est unique (à isom. unique près respectant $i : \mathrm{id} \to \mathbb{P}(-)(\mathbb{C})$).

Soit maintenant $X$ une courbe analytique non singulière. Pour tout pt $x \in X$, soit $\widetilde{X}(x)$ le rev. universel de $X$ en $x$. C'est un espace analytique simplement connexe, et pour $x$ variable, on trouve un système local (foncteur sur le groupoïde fondamental $\Pi(X)$ de $X$) à valeurs les $\widetilde{X}(x)$ (considérés comme objets de la cat. des ⌜courbes⌝ esp. analytiques connexes et simplement connexes — mais pas pointées). Le système des projections \[ \widetilde{X}(x) \longrightarrow X = X(x) \] est un tel système local d'espaces analytiques. On lui associe donc trivialement un homomorphisme d'espaces analytiques sur $X$

LaTeX source

\begin{tikzcd}
\widetilde{X} \arrow[r] \arrow[dr] & X \times X \arrow[d, "\mathrm{pr}_2"] \\
 & X
\end{tikzcd}

munis de connexions intégrables (en un sens strict : il y a transport parallèle …). L'hom. est compatible avec les connexions, et transforme la section unique $\sigma$ : $x \mapsto \tilde{x}$ de $\widetilde{X}$ en la section diagonale de $X$ (d'où on conclut que $\sigma$ est analytique).

Cette construction marche pour des […] analytiques. Mais utilisant le fait que $X$ est une courbe non sing., donc les $\widetilde{X}(x)$ sont des courbes non sing. connexes et simplement connexes, on trouve que le système local des $\widetilde{X}(x)$ donne naissance au système local des $\mathbb{P}(\widetilde{X}(x))(\mathbb{C})$, d'où un fibré projectif canonique sur $X$, noté

127$\mathbb{P}_X$, avec une […] ⌜connexion⌝ intégrable, et une immersion ⌜de $X$-esp. an.⌝ (respectant les conn.)

LaTeX source

\begin{tikzcd}
\widetilde{X} \subset \mathbb{P}_X \arrow[d] \\
X
\end{tikzcd}

Comme $\widetilde{X}$ est muni d'une section unique, $\mathbb{P}_X$ a une section unique analytique. Donc

Théorème 2 Pour $X$ courbe analytique ⌜non sing.⌝ connexe, on trouve, de façon unique à iso unique près :

a)Un fibré analytique $\mathbb{P}_X$ sur $X$ en droites projectives
b)Une connexion (intégrable) dans $\mathbb{P}_X$ (rel : $X/\mathbb{C}$)
c)Une section $\sigma$ de $\mathbb{P}_X$ sur $X$
d)Un ouvert $\widetilde{X}$ de $\mathbb{P}_X$ contenant $\sigma(X)$
e)Un hom. de $X$-espaces analytiques $\widetilde{X} \xrightarrow{\ p\ } X_X$ ($= X \times X$)

tels que

1°)$p \circ \sigma = \Delta_X$ (section diagonale)
2°)$\forall x \in X$, $p_x : \widetilde{X}_x \longrightarrow (X_X)_x = X$ fait de $\widetilde{X}_x$ un rev. universel de $X$ (i.e. c'est un rev. de $X$, ⌜la comp. connexe de $x$ dans⌝ connexe et simplement connexe)
3°)$p$ est compatible avec les connexions
4°)$\forall x \in X$, $\widetilde{X}_x \subset (\mathbb{P}_X)_x$ est un domaine homogène de $(\mathbb{P}_X)_x$.

[…] que une $\widetilde{F}$ d'hom. […] […] le long de $\sigma$ […] […] st. […] […] le long de $\sigma$) et […] […] analytiques […] plus […] […] b) et c) ([…] que […] pour […] sous […] … ) cf. […] d) et e) […] les faisant […] […] des […] […] Inversement, 1°), 2°), 3°) […] d) et e) […] quatre notes marginales, écrites verticalement le long du bord gauche et reliées par des accolades aux données a) à e) et aux conditions 1°) à 3°) ; elles semblent dire en quoi les données se déterminent l'une l'autre, mais ne se lisent pas

128Supposons $X$ connexe et distinguons ces 3 cas, suivant le type d'isomorphie de son revêt. universel de $X$

1°) Cas $S^{2} =$ $\mathbb{P}^{1}(\mathbb{C})$. Alors $X$ $\simeq$ $\mathbb{P}^{1}_{\mathbb{C}}$ est une droite projective (car simpl. connexe), tout autour analytique — et en deux […] […] — […] […] connexion triviale, […] […] …), $\widetilde{X} \simeq X \times X$ ⌜$= \mathbb{P}^{1}_{X}$ […]⌝, $p$ est l'identité.

2°) Cas $\mathbb{E}^{1}(\mathbb{C}) = \mathbb{C}$. Alors $X$ est soit isomorphe algébrique (car $X$ comp. […]), soit isomorphe à $\mathbb{C}^{*}$ (cela provient de ce que les ⌜autres sous-gpes fixes de $\mathbb{R}^{2}$,⌝ […] groupes discrets […] de $\mathbb{E}^{1}_{\mathbb{C}}$, c'est kif-kif) $\operatorname{Aff}(1, \mathbb{C}) \simeq \mathbb{C}^{*} . \mathbb{C}$ ([…] […] […]) des translations, et les […] groupes discrets […] ⌜sous-groupes discrets⌝ du groupe des translations $\mathbb{C}$ sont de rang $0$, $1$ (quotient $\mathbb{C}^{*}$) ou $2$ (quotient courbe elliptique). On note que $X$ est muni d'une structure algébrique (tout autant analytique d'une $\mathbb{E}^{1}_{\mathbb{C}}$, — de courbe elliptique, — étant algébriques). Ici $\widetilde{X} = \mathbb{P}_X - \sigma'$,

où $\sigma'$ est une sect. horizontale de $\mathbb{P}_X$ ; donc, $\subset \mathbb{P}_X$ […] […] muni des deux sections analytiques $\sigma$, $\sigma'$ disjointes, en considérant $\mathbb{P}_X$ comme clôture projective d'un fibré vectoriel analytique $V$, qui n'est autre ⌜munit $\widetilde{X}$ comme esp. analytique sur $X$⌝ […] […] ⌜d'une structure vectorielle⌝. On observe que la connexion de $X$ […] n'induit pas la structure vectorielle. Mais on peut

La cat. (pour iso) des […] […] […] […] ([…] $\ill{}$) […] […] des […] […] […] note marginale écrite en oblique dans l'angle inférieur gauche, reliée par une accolade au cas 2°) ; elle ne se lit pas

129écrire $V = \mathbb{V}(\omega_\sigma)$, $\omega_\sigma$ étant le fibré conormal le long de la section $\sigma$, qui est aussi isom. au fibré conormal de $X_X$ le long de la section diagonale, donc \[ V = \mathbb{V}(\underbrace{\Omega^{1}_{X/\mathbb{C}}}_{\omega_{X/\mathbb{C}}}) = \mathbb{W}(\underbrace{t_{X/\mathbb{C}}}_{\text{fibré tangent}}) \] Donc $\widetilde{X}$ s'identifie au fibré tangent à $X$, $\sigma$ à la section nulle, $\mathbb{P}_X$ à la clôture projective de $\widetilde{X} = \mathbb{W}(t_{X/\mathbb{C}})$. La connexion intégrable ⌜plate⌝ canonique de $\mathbb{P}_X$ est associée à une connexion de $\widetilde{X}$ considéré comme fibré en droites affines, i.e. une connexion sur le fibré principal associé de groupe $\operatorname{Aff}(1, \mathbb{C})$ (contenant $\mathbb{G}_m(\mathbb{C})$ dans $\widetilde{X} = \mathbb{W}(t_{X/\mathbb{C}})$ provient, et contenu dans $GP(1, \mathbb{C})$).

Il y aurait lieu ⌜conviendrait⌝ de caractériser cette connexion, et prouver (en l'espérant !) qu'elle est en fait algébrique. Cette question ne se pose que si $X$ est compacte, i.e. $X = \mathbb{E}^{1}_{\mathbb{C}}$ ou $X = \mathbb{G}_{m\,\mathbb{C}}$ (le cas compact réglé par GAGA !). Or dans le cas $X \simeq \mathbb{E}^{1}_{\mathbb{C}}$, on a encore $\widetilde{X} = X \times X \subset \mathbb{P}_X = \mathbb{P}(X) \times X$, puisque $\widetilde{X} \simeq X$, $p : \widetilde{X} \to X_X$ est l'identité (donc $\sigma = \Delta_X$), tout est clair (et tout est algébrique — la connexion étant d'ailleurs singulière à l'infini !)

Dans le cas où $X \simeq \mathbb{C}^{*} \simeq \mathbb{G}_{m}(\mathbb{C})$

oui, elle est algébrique […] […] […] note marginale à gauche, reliée par une flèche à la phrase « qu'elle est en fait algébrique »

130Dans les éléments de structure canoniques associés à la courbe ⌜$\mathbb{C}$-⌝analytique $X$, nous allons retenir maintenant ceux qui « gardent un sens algébrique » lorsque $X$ « est » algébrique — et a fortiori dans le cas propre, grâce à Gaga. Ce sont

a)Fibré en droites projectives $\mathbb{P}_X$ sur $X$
b)connexion (plate) $c_X$ sur $\mathbb{P}_X$ (rel. $X/\mathbb{C}$)
c)section $\sigma$ de $\mathbb{P}_X$

[d) Un isom. de « solutions formelles sur $X$ » \[ \widehat{\mathbb{P}}_X \xrightarrow[\ \sim\ ]{\ \hat{p}_X\ } \widehat{X}_X \] (complétions formelles le long des sections uniques $\sigma$ et $\Delta_X$) respectant les connexions.

D'ailleurs, l'élément de structure d) est contenu dans b) et d), moyennant la condition (vérifiée […] ⌜si $\exists$ ([…] d) compatibles⌝) […] […] entre eux) :

1°) La section $\sigma$ est nulle part stationnaire (pour la connexion donnée […] sur $\mathbb{P}_X$ …] « contenu dans b) et d) » se lit ainsi ; on attendrait « b) et c) »

Même si $X$ n'est pas propre, […] les travaux de Deligne montrent l'existence et l'unicité de structures algébriques a) b) ⌜(unicité, pas l'existence de c) !)⌝ déduites des constructions transcendantes du th. 2, lorsqu'on fait ⌜rajoute⌝ de plus la condition :

[…] La connexion $c_X$ de $\mathbb{P}_X$ est régulière à l'infini.

Mais nous allons étudier l'existence (et l'unicité, et préciser ce pb d'existence — pour une autre voie

131Quand a-t-on de telles données algébriques sur une courbe algébrique $X$ ⌜sur $\mathbb{C}$⌝, […] conduisant nécessairement par la relation analytique du th. aux termes de celles-ci ? Il faut donc construire l'ouvert $\widetilde{X} \subset (\mathbb{P}_X)^{\mathrm{an}}$ et $\widetilde{X} \longrightarrow (X_X)^{\mathrm{an}}$.

Il nous a déjà une bonne forme d), et celui-ci pourrait se prolonger, suivant les cas : 1°) en $\mathbb{P}_X \to X_X$ par un iso (cas $X$ droite projective) 2°) un […] ⌜hom.⌝ \[ \text{\struck{$(\mathbb{P}_X^{\mathrm{an}} \supset \sigma'(X))$}}\quad \widetilde{X} \overset{\mathrm{df}}{=} \mathbb{P}_X^{\mathrm{an}} - \sigma'^{\mathrm{an}}(X^{\mathrm{an}}) \xrightarrow{\ p\ } (X_X)^{\mathrm{an}}, \] où $\sigma'$ est une section horizontale (univoquement déterminée) de $\mathbb{P}_X$ sur $X$, faisant de $\widetilde{X}$ un rev. de $(X_X)^{\mathrm{an}}$, et transformant $\sigma$ en $\Delta_X$. ([…] ⌜Ici⌝ $p$ est un iso […] $X \simeq \mathbb{E}^{1}_{\mathbb{C}}$ i.e. $X$ simplement connexe non propre). Le cas où $X \simeq \mathbb{E}^{1}_{\mathbb{C}}$, $\mathbb{G}_{m\,\mathbb{C}}$, ou $X$ courbe elliptique. Question A-t-on une description purement algébrique de $\sigma'$ (en supposant qu'on ait aux données de $(\mathbb{P}_X, c_X, p_X)$) ? Et de $p_X$ dans le cas où c'est un iso analytique, i.e. $X \simeq \mathbb{E}^{1}_{\mathbb{C}}$ — alors $p_X$ est lui-même algébrique ! 3°) On a un ouvert $\widetilde{X}$ […] (⌜dont les fibres sont des⌝ ⌜disques⌝) […] dans les fibres de $\mathbb{P}_X^{\mathrm{an}}$, lesquels disques sont les domaines d'existence maximaux des $\hat{p}_x : (\mathbb{P}_x)^{\mathrm{an}} \longrightarrow X^{\mathrm{an}}$ …

N.B. P. Deligne […] […] […] […] […] […] note marginale à gauche, cerclée et barrée d'une croix On a toujours […] […] […] $\mathbb{C}$, […] […] […] […] […] […] clôture projective […] fibré […] […] seconde note marginale, écrite en oblique à gauche des cas 2°) et 3°) ; à peu près illisible

132Or, pour une courbe lisse donnée $X$ sur un schéma de base $S$ de car. nulle (p. ex. $S = \operatorname{Spec}\mathbb{C}$) on a donné une description purement alg. des structures du type a) b) c) (avec connexion $c_X$ sur $P$ rel. à $X/S$), satisfaisant la condition 1° — pour le moment une condition par la condition 2°. La cat. de ces structures est rigide — de façon précise, les $P$ (fibré de S.D. de rang 1 sur $X$) sont can. isom. à $\mathbb{P}(E)$, où $E$ est l'extension \[ 0 \longrightarrow \underline{\omega}_{X/S} \longrightarrow E \longrightarrow \underline{\mathcal{O}}_X \longrightarrow 0 \] sous $\underline{\omega}_{X/S}$, un signe $\Vert$ le renvoie à $\underline{\omega}$

donnée par \[ E \simeq \mathcal{J}/\mathcal{J}^{3} \otimes \omega^{-1} \] ($\mathcal{J} \subset \mathcal{P}^{\infty}_{X/S}$ l'idéal d'augmentation, donc $\mathcal{J}/\mathcal{J}^{2} \simeq \omega_{X/S} = \omega$), la section $\sigma$ est alors définie par cette structure d'extension, enfin la connexion $c$ sur $P = \mathbb{P}(E)$ est déduite d'un isom. $p : \mathcal{P}^{\infty}_{X/S} \xrightarrow{\ \sim\ } \underline{\mathcal{O}}_{\hat{P}}$ ($\hat{P}$ complété formel de $P$ le long de $\sigma$), prolongeant l'isom. $\add{p(\sigma)}$ (et l'ind. 2 canonique) impliqué par la description de $P = \mathbb{P}(E)$ par le choix particulier de $E$. On a un produit, par les isom. $\hat{p}$ tels que la conn. de $\hat{p}$ déduite par transport de structure de celle de $\mathcal{P}^{\infty}_{X/S}$ (provenant de la conn. tautologique de $X \times X$ $X \times_S X$ sur $X$) provienne bien d'une connexion de $P$. On constate donc que ces iso (correspondant la phrase se poursuit à la page suivante

133donc à toutes les structures possibles du type envisagé sur $X$) sont en correspondance biunivoque, i.e. vérifient, avec l'ens. des relèvements $p_{(3)}$ de $p_{(2)}$ à l'ordre 3 (sans autre condition sur ceux-ci). Ce sont ⌜donc⌝ les sections sur $X$ d'un torseur canonique sur $S$, sous le faisceau abélien $\underline{\mathrm{Hom}}(\underline{\omega}, \underline{\omega}^{\otimes 3}) \simeq \underline{\omega}^{\otimes 2}$ : \[ \text{\struck{$\mathcal{P}$}} \quad \mathcal{C}_{X/S} \quad \text{torseur sous } \underline{\omega}^{\otimes 2} = \underline{\Omega}^{1\,\otimes 2}_{X/S} \] sous $\mathcal{C}_{X/S}$ : « ensemble des “connexions projectives” »

On dit aussi que les structures du type envisagé sur $X$ sont des connexions projectives sur $X$, et le torseur envisagé est le torseur des connexions projectives sur $X/S$. [Elles sont aussi en correspondance biunivoque avec l'ens. des connexions ⌜correspondantes⌝ $c$ sur $P = \mathbb{P}(E)$ ($E$ comme dessus), ou ce qui revient au même, des connexions ⌜(compatibles […] […])⌝ sur le fibré en $M_3$ […] lié associé (i.e. qui ⌜dirait⌝ […] $P \to X$ de $\mathcal{J}_{R/X}$, on aura $E \otimes \check{E}/\underline{\mathcal{O}}_X$) — on trouve \[ \mathcal{V} \simeq (\operatorname{Sym}^{2} E) \otimes \underline{\omega}^{-1} \] extension successive — commençant […] […] — de $\underline{\omega}^{1}, \underline{\omega}^{0}, \underline{\omega}^{-1}$ — et il faut prendre les connexions $\nabla$ \[ c : \mathcal{V} \longrightarrow \mathcal{V} \otimes \underline{\omega} \simeq \operatorname{Sym}^{2} E \] qui, sur $\underline{\omega} \subset \mathcal{V}$ (défini nécessairement dans $\operatorname{Ker}(\operatorname{Sym}^{2} E \to \operatorname{Sym}^{2}\underline{\mathcal{O}}_X \simeq \underline{\mathcal{O}}_X)$, ext. de $\underline{\omega}$ par $\underline{\omega}^{2}$, la phrase se poursuit à la page suivante

134laquelle extension s'identifie à $\mathcal{P}^{1}_{X/S}(\omega)$ par sa structure d'extension naturelle de $\omega$ par $\underline{\omega} \otimes \underline{\Omega}^{1}_{X/S} \simeq \underline{\omega} \otimes \underline{\omega} = \underline{\omega}^{2}$) s'identifie à l'op. diff. de degré 1 (rel. à $S$) universel sur $\underline{\omega}$ \[ c|\underline{\omega} = d^{1}_{\underline{\omega}, X/S} : \underline{\omega} \longrightarrow \mathcal{P}^{1}_{X/S}(\underline{\omega}) . \] L'indéterminati[on] ⌜dans cette⌝, sur cette condition, au lieu d'être dans $\Gamma(\underline{\omega} \otimes \mathcal{V})$ — […] (connexion sur $\mathcal{V}$ ⌜par produit, i.e. dans⌝ ⌜une section⌝ des $\mathcal{V} \otimes \underline{\omega}$) est dans $(\underline{\omega} \otimes \underline{\mathrm{Bil}}_0 \simeq \underline{\omega} \otimes \underline{\omega} \simeq \underline{\omega}^{\otimes 2}$ — on retombe sur ses pattes !

Ceci « rappelé », on voit donc que si $S = \operatorname{Spec}\mathbb{C}$, donc $X$ courbe algébrique lisse$/\mathbb{C}$, dans la […] ⌜construction⌝ transcendante […] ⌜indiquée⌝ plus haut […] […] des ⌜s'interprète comme la⌝ construction d'une connexion projective (canonique) sur $X/\mathbb{C}$, i.e. d'une section canonique du torseur $\mathcal{C}_{X/\mathbb{C}}$ (des connexions projectives sur $X$), ⌜sous $\underline{\omega}^{\otimes 2}_{X/\mathbb{C}} = \underline{\omega}^{2}$⌝ ⌜on se demande quand⌝ (cette connexion projective est de plus « régulière » à l'infini » i.e. la connexion correspondante sur $\mathbb{P}_X \simeq \mathbb{P}(\mathcal{J}/\mathcal{J}^{3})$ ($\mathcal{J}$ idéal d'augmentation de $\mathcal{P}^{\infty}_{X/\mathbb{C}}$) étant ⌜est⌝ régulière à l'infini. Sauf erreur, cela doit signifier

[…] […] […] […] […] […] […] projectives […] […] régulière […] […] […] donnée […] […] […] […] $\mathbb{E}^{1}_{\mathbb{C}}$ […] $\mathbb{G}_{m\,\mathbb{C}}$ […] $\mathbb{P}$ […] […] […] […] […] […] deux notes marginales écrites verticalement le long du bord gauche, la seconde reliée par un trait courbe à la condition « régulière à l'infini » ; à peu près illisibles

135que cette section du torseur $\mathcal{C}$ (qui est en fait défini sur $\hat{X}$, compactifiée non singulière naturelle de $X$,) sont $\mathcal{C}_{\hat{X}/\mathbb{C}}$) est admet « à l'infini » $\hat{X} - X$ que des pôles simples au plus, i.e. si $D$ est le diviseur correspondant ⌜sur $\hat{X}$⌝ à multiplicités toutes 1, de support $\hat{X} - X$, on aura comme groupe d'indéterminations des conn. proj. rég. à l'infini sur $\hat{X}$ \[ H^{0}(\hat{X}, \underline{\omega}^{\otimes 2}_{\hat{X}}(D)) \] (qu'on peut relier aussi aux invariants classiques de la courbe complétée $\hat{X}$ les écrivant […] d'abord $\underline{\lambda} = $ $\underline{\omega}^{2}$ … lieu de $\underline{\omega}^{\otimes 2}_{\hat{X}/\mathbb{C}}$) \[ \text{\struck{$0 \to \underline{\lambda} \to \underline{\lambda}(D) \to$}} \quad \underline{\omega}(D)/\underline{\omega}^{2} \longrightarrow 0 \] \[ 0 \longrightarrow \underline{\lambda} \longrightarrow \underline{\lambda}(D) \longrightarrow \underline{\lambda}(D)/\underline{\lambda} \longrightarrow 0 \] déduite par $\otimes\,\underline{\lambda}$ de \[ 0 \longrightarrow \underline{\mathcal{O}}_{\hat{X}} \longrightarrow \underline{\mathcal{O}}_{\hat{X}}(D) \longrightarrow \underline{\mathcal{O}}_{\hat{X}}(D)/\underline{\mathcal{O}}_{\hat{X}} \longrightarrow 0 \] où $\underline{\mathcal{O}}_{\hat{X}}(D) = \mathcal{J}_D^{-1}$ (idéal de $D$) et $\underline{\mathcal{O}}_{\hat{X}}(D)/\underline{\mathcal{O}}_{\hat{X}} \simeq (\mathcal{J}_D/\mathcal{J}_D^{2})^{-1} \simeq$ […] $(\underline{\omega}^{-1}|D)$, d'où \[ \underline{\lambda}(D)/\underline{\lambda} \simeq (\underline{\lambda}\,\underline{\omega}^{-1})|D \] et la suite exacte \[ 0 \to H^{0}(\hat{X}, \underline{\lambda}) \to H^{0}(\hat{X}, \underline{\lambda}(D)) \to H^{0}(D, \underline{\lambda}\,\underline{\omega}^{-1}|D) \to H^{1}(\hat{X}, \underline{\lambda}) \] (ici $\underline{\lambda} = \underline{\omega}^{\otimes 2}_{\hat{X}/\mathbb{C}} \simeq \underline{\omega}^{2}$).

On suppose $X$ connexe Si $\hat{X}$ est de genre $g \geqslant 2$, $H^{1}(\hat{X}, \underline{\lambda}) = 0$ (i.e. le dual de $H^{0}(\hat{X}, \underline{\omega}^{-1}) = 0$) donc \[ 0 \to H^{0}(\hat{X}, \underline{\omega}^{2}) \to H^{0}(X, \underline{\omega}^{2})^{\mathrm{reg}} \to H^{0}(D, \underline{\omega}|D) \to 0 \] sous les termes, de gauche à droite : $H^{0}(\hat{X}, \underline{\omega}^{2}) \simeq \underline{\Omega}^{1}_{M_g/\mathbb{C}}(s)$, de rang $3g-3$ (cerclé), $M_g$ variété modulaire des courbes de genre $g$ non compactes ; $H^{0}(X, \underline{\omega}^{2})^{\mathrm{reg}} \simeq$ (can. ?) $\underline{\Omega}^{1}_{M_{g,\nu}/\mathbb{C}}(s)$, $M_{g,\nu}$ variété modulaire des courbes de genre $g$ à $\nu$ trous ; $H^{0}(D, \underline{\omega}|D)$ de rang $\nu = \operatorname{card} D$

136(b) $g \leqslant 1$, i.e. $g = 0, 1$. Est-ce que \[ H^{1}(\hat{X}, \underline{\lambda}) \longrightarrow H^{1}(\hat{X}, \underline{\lambda}(D)) \quad \text{est inj.\ ?} \] On a encore \[ H^{0}(\hat{X}, \underline{\omega}^{-1}) \longleftarrow H^{0}(\hat{X}, \underline{\omega}^{-1}(-D)) \] sous $\underline{\omega}^{-1}$ : $= \underline{t}_{\hat{X}/\mathbb{C}}$, fibré tangent, et $H^{0}(\hat{X}, \underline{\omega}^{-1}) = \operatorname{Lie}\underline{\mathrm{Aut}}(\hat{X})$ (cerclé) ; sous $\underline{\omega}^{-1}(-D)$ : $= \underline{t}_{\hat{X}/\mathbb{C}}(-D)$, champs tangents s'annulant sur $D$, et $H^{0} = \operatorname{Lie}\underline{\mathrm{Aut}}(X)$ (cerclé)

injectif, surjectif ? Si son conoyau ⌜sans pôles⌝ $\check{Q}(X)$, on aura \[ 0 \to H^{0}(\hat{X}, \underline{\omega}^{2}) \to H^{0}(X, \underline{\omega}^{2})^{\mathrm{rég}} \to H^{0}(D, \underline{\omega}|D) \to \check{Q}(X) \to 0 \] Cas $g = 1$, ⌜dans⌝ dimension $H^{0}(\hat{X}, \underline{t}_{\hat{X}/\mathbb{C}}) =$ […] 1 et si $D \neq 0$ i.e. $X \neq \hat{X}$ i.e. $X$ non complète, on a $Q(X) \simeq H^{0}(\hat{X}, \underline{\omega}^{-1}) \simeq t_{\hat{X}}$ (⌜algèbre de Lie⌝ […] du groupe des translations) d'où $\check{Q}(X) = \omega_{\hat{X}} = \check{t}_{\hat{X}}$ (formes diff. inv. sur […]). Interprétation plausible sur rigidité du pb modulaire des courbes elliptiques (i.e. pt marqué) avec $\nu$ pts ⌜distincts⌝ de somme nulle […] ⌜(cas où […] à […])⌝ — courbes elliptiques tenues à […] et $\nu$ pts ⌜(non ordonnés)⌝ marqués distincts et un pt choisi à leur somme … […] \[ \text{Alors } H^{0}(\hat{X}, \underline{t}_{\hat{X}/\mathbb{C}}) = 0 \] Cas $g = 0$. $H^{0}(\hat{X}, \underline{t}_{\hat{X}/\mathbb{C}})$ est de dim 3, et suivant les cas \[ \begin{array}{ll} \nu = 1 & \dim H^{0}(\hat{X}, \underline{t}_{\hat{X}/\mathbb{C}}(-D)) = 2\\ \nu = 2 & \phantom{\dim H^{0}(\hat{X}, \underline{t}(-D))} = 1\\ \nu \geqslant 3 & \phantom{\dim H^{0}(\hat{X}, \underline{t}(-D))} = 0 \end{array} \] donc $Q(X)$ est respectivement de dim $1$, $2$ ou $3$.

Donc pour $0 \leqslant \nu \leqslant 3$, on aura $\dim \check{Q}(X) = \operatorname{card}\operatorname{supp} D = \dim H^{0}(D, \underline{\omega}|D)$ la ligne « Alors $H^{0}(\hat{X}, \underline{t}_{\hat{X}/\mathbb{C}}) = 0$ » est reliée par une accolade au cas $g = 0$ qui suit ; la conclusion, « $0 \leqslant \nu \leqslant 3$ », se lit ainsi alors que le cas $\nu \geqslant 3$ vient de donner $\dim Q(X) = 3$ : on transcrit tel quel

137donc $H^{0}(X, \underline{\omega}^{2})^{\mathrm{rég}} = 0$ : il n'y a qu'une seule connexion projective ⌜régulière à l'$\infty$ !⌝ sur $X$ si $X$ est de genre $0$ et à $\nu \leqslant 3$ trous. Par contre pour $\nu \geqslant 4$, l'espace $H^{0}(X, \underline{\omega}^{2})^{\mathrm{rég}}$ est de dim $\nu - 3$ — c'est encore la dim de l'espace modulaire pour la droite projective à $\nu$ trous, et sans doute on trouve un isom. can. \[ H^{0}(X, \underline{\omega}^{2})^{\mathrm{rég}} \simeq \underline{\Omega}^{1}_{M_{0,\nu}}(s) \quad \ldots \] Bien entendu, dans le cas $\nu \leqslant 3$, la seule et unique connexion projective sur $X$ est celle induite par la connexion projective de $\hat{X}$ (et […] toutes celles de […] transcendant !) Dans le cas de $\nu \leqslant 3$, ⌜[…]⌝ ⌜possibilités⌝ dans sa description par tout […] transcendant ! […] la connexion projective ⌜unique⌝ ([…] ⌜[…]⌝) de $\mathbb{P}_X = \hat{X} \times X$, munie de la section diagonale (et de la connexion triviale. Dans le cas de $X$ quelconque (de genre $0$) cette connexion est après définition, et fournit une section canonique […] […] […] […] […] […] […] […] note marginale écrite en oblique à gauche, à la hauteur de « transcendant ! » ; illisible. La phrase finale reste en suspens au bas de la page, dont le reste est blanc

138⌜On suppose […] inv. sur $S$.⌝

Prop. Soit $H$ schéma en groupes lisse sur $S$, de dim rel. 1, et $X$ un torseur sous $H$. Soit $(\mathcal{V}, \mathcal{L}, \underline{\omega})$ l'alg. de Lie de rang lin. 3 correspondante ⌜$(\mathbb{P}, \sigma)$, le fibré proj. : section associée⌝ sur $X$. Il y a un fibré par translation et le descend par \[ \underset{\omega_0}{\underline{\omega}_0} \subset \underset{\underline{\mathcal{O}}_S}{\mathcal{L}_0} \subset \underset{\omega_0^{-1}\ \text{sur } X}{\mathcal{V}_0}, \qquad (P_0, \sigma_0) \quad P_0 = \mathbb{P}(\mathcal{L}_0) \] \[ \mathcal{L}_0 = (\underline{\mathcal{O}}_H/\mathcal{J}^{3})^{+}, \quad \mathcal{J} \text{ id.\ d'augm.\ de } H \] Alors les conn. projectives ⌜invariantes sous $H$⌝ sont en corresp. 1–1 avec ⌜les sections d'⌝un certain sous-torseur […] de $\mathcal{V}_0 \otimes \underline{\omega}_0$ sous $\underline{\omega}_0 \otimes \underline{\omega}_0 = \underline{\omega}_0^{2}$, se projetant sur la section $1$ de $\underline{\omega}_0^{-1} \otimes \underline{\omega}_0 \simeq \underline{\mathcal{O}}_S$, [formée des sections ⌜locales⌝ […] de $\mathcal{V}_0 \otimes \underline{\omega}_0$ qui sont compatibles à $\mathcal{L}_0 \otimes \underline{\omega}_0$, ⌜suivant celle de Hausdorff⌝] on a […] l'ensemble canonique de \[ \mathcal{V}_0 \simeq \underline{\omega}_0 \oplus \underline{\mathcal{O}}_S \oplus \underline{\omega}_0^{-1} \] […] […] suivant sous la forme \[ \omega_2 + \omega_1 + 1 \in \Gamma(\underline{\omega}_0^{2} + \underline{\omega}_0 + \underline{\mathcal{O}}_S). \] Les sections de ce sous-torseur correspondent aux sections de $\mathbb{P}(\omega_0 + \omega_0^{-1})$ qui ne disparaissent […] de la section canonique déduite de $\omega_0 \subset \omega_0 \oplus \omega_0^{-1}$, — […] […] aux scindages de $0 \to \omega_0 \to \omega_0 \oplus \omega_0^{-1} \to \omega_0^{-1} \to 0$. Il y a donc une canonique parmi elles -ci celle de Campbell-Hausdorff) correspondant à la section $0 + 0 + 1$ de $\mathcal{V}_0 \otimes \underline{\omega}_0$. Elle est caractérisée ⌜parmi les conn. proj. inv.⌝ ⌜loc. sur $S(\ell)$⌝ par la condition que […] l'on puisse trouver un $P$ une section ⌜invariante par translations⌝ (du groupe structural […]) à $G_m$, i.e. qu'on puisse trouver une

[…] […] […] […] $[\underline{\mathcal{O}}_S] \subset \mathcal{L}_0$ correspond aux parties d'ordre 2 des fonctions […] invariantes ; on a $[\underline{\mathcal{O}}_S] \otimes \underline{\omega}$, […] […] : $\omega_0 \to \mathcal{L}_0 \otimes \omega_0$ […] […] […] […] […] […] $\mathbb{V}(\omega)$ […] […] […] deux notes marginales à gauche ; la seconde, écrite verticalement, à peu près illisible

139$G$-extension sur $X$ invariante par translation \[ 0 \longrightarrow \underline{\omega}_X \longrightarrow F \longrightarrow \underline{\mathcal{O}}_X \longrightarrow 0 \] et un $G$-iso. $P \simeq \mathbb{P}(F)$ ($\simeq \overline{\mathbb{V}(\mathcal{T})}$, où $\mathcal{T}$ est le $G$-torseur associé sur $\underline{\mathcal{O}}_X$, avec la structure tautologique de $\underline{\omega}_X$ définie par l'extension …) [La ⌜trace $\sigma'$⌝ section$/$de $P$ qui y correspond est toute disjointe de $\sigma$, donc correspond à un scindage ⌜(inv. par $H$)⌝ $\mathcal{V} \simeq \underline{\omega} \oplus \underline{\mathcal{O}}_X \oplus \underline{\omega}^{-1}$, qu'on peut écrire par celui [que d'abord un scindage […] […] […]] et d'autre un scindage de Campbell-Hausdorff, sur $S$ déjà canonique …) avec $\underline{\mathcal{O}}_X + \underline{\omega}^{-1}$ ⌜et $\underline{\omega}^{-1}$⌝ (invariant par la connexion), et elle induit […] […] triviale sur le [quotient $\underline{\mathcal{O}}_X$ […]]. Pour les conn. projectives invariantes, pour lesquelles on dispose de ce que l'on peut dire de la « distinction », il y a $G$-réduction (⌜[…]⌝) du groupe structural […] ⌜[…] de⌝ à un sous-groupe du $G_0 = GP(\mathbb{P}(\underline{\omega}_0 + \underline{\mathcal{O}}_S))/$. Si on est sur un corps alg. clos (S spectre de $k$), alors la connexion proj. can. est caractérisée, parmi celles qui sont invariantes, par la condition […] que $P$ admette une section horizontale ⌜[…] […]⌝ (N.B. en car. $0$, […] ⌜[…]⌝) […] invariante), toutes les autres en ont exactement deux …

N.B. Si $H$ est propre sur $S$, i.e. fibrés connexes (donc $X/S$ est schéma en courbes elliptiques) alors les connexions projectives sur $X$ sont toutes inv. par $H$. Ce qui caractérise donc la conn. proj. canonique parmi toutes les connexions …

[…] […] […] […] […] […] […] […] […] […] le long du bord gauche, sur toute la hauteur de la page, plusieurs colonnes de notes marginales écrites verticalement et reliées par des accolades ; à peu près illisibles. En face de la phrase sur la condition, un « ? » en marge