[Ici, on montre que la condition a) implique que pour tout X fixé, l'expression de a), G(f,g) = R(f, f', \dots, f^{(n)}; g, g', \dots, g^{(n)}), doit avoir des coefficients \in \mathbb{C}, indépendants de X, donc R \in \mathbb{C}(F_0, F_1, \dots, F_n; G_0, \dots, G_n) et en fait, R(\ ) = \underbrace{P(F_0, \dots; G_0, \dots)}_{\in\, \mathbb{C}[F_0, \dots, G_n]} / F_1^{\,?}\, G_1^{\,?} \;]

On peut prendre G(f,g) = \left( \left[ -2\, \frac{g'''}{g'} + 3 \left( \frac{g''}{g'} \right)^2 \right] - \left[ -2\, \frac{f'''}{f'} + 3 \left( \frac{f''}{f'} \right)^2 \right] \right) dt^2

De plus, on trouve un torseur canonique \mathcal{T}_X sous \underline{\omega}_{X/\mathbb{C}}^{\otimes 2}, dépendant fonctoriellement de X (pour morphismes étales), et c^X : \mathcal{P}_X \longrightarrow \mathcal{T}_X tel que \begin{cases} G(f,g) = c^X(g) - c^X(f) \\ c^X \text{ se factorise en } {}_H\backslash \mathcal{P}_X \to \mathcal{T}_X \\ \text{ce dernier morphisme est un iso} \end{cases}

III) On prend maintenant X schéma (variété lisse lisse de dim. rel. égale à 1) sur des schémas variables, et on cherche pour tout tel X \mathcal{E}_X \times \mathcal{E}_X \xrightarrow{\ G\ } \omega^{2}_{X/S} de façon compatible avec chgt de base S' \to S, aux morphismes étales X' \to X au-dessus de S, et satisfaisant les conditions qui correspondent à a) b) c) (si S courbe de car. 0, et e) ), plus les conditions d) « analytique complexe ». la forme précédente G(f,g) cont. f' [Mais quand on parle « d'op. différentiel », il faut maintenant remplacer un polynôme R en f, f', f'', \dots, g, g', g'', g''' par un polynôme en f,\ f' = D_t^{(1)} f,\ D_t^{(2)}(f), \dots, D_t^{(n)} f,\ g,\ g' = D_t^{(1)} g,\ D_t^{(2)} g, \dots, D_t^{(n)} g. On voit A priori, les coeff. sont dans \Gamma(U, \underline{\mathcal{O}}_U) (où t est uniformisante définie sur U) mais si on les fait varier X, on voit que les coefficients doivent être dans \mathbb{Z} (ou dans \Gamma(S_0, \underline{\mathcal{O}}_{S_0}) si on a fixé un schéma de base commun S_0 pour les S, X …). On trouve encore l'existence d'un tel, et l'unicité à un facteur \varepsilon \in \mathbb{Z}^* près, i.e. \varepsilon = \pm 1 : unicité au signe près ! Ici, on ne peut pas prendre l'expression G(f,g) précédente, car elle a des coeff. 2 et 3 ! Il faut prendre \frac{1}{12} G(f,g), savoir G_0(f,g) = \left[ \left( -\frac{D_t^{(3)} g}{D_t^{(1)} g} + \left( \frac{D_t^{(2)} g}{D_t^{(1)} g} \right)^2 \right) - \left( -\frac{D_t^{(3)} f}{D_t^{(1)} f} + \left( \frac{D_t^{(2)} f}{D_t^{(1)} f} \right)^2 \right) \right] dt^2

Pour déterminer ce choix (parmi les deux possibles au signe près) on va calculer p.ex. G_0(t, t^2) = \text{\struck{$\frac{1}{2t}$}}\ \frac{1}{2t}\, dt^2 \qquad \left(\text{au lieu de } -\frac{1}{2t}\, dt^2\right) le calcul direct donne \frac{1}{4t^2}\,dt^2 ; on transcrit tel qu'écrit [Je ne fais pas d'affirmation sur ce dénominateur, parce que 2 n'est pas inv. sur X : alors t^2 n'est jamais une uniformisante !] On trouve aussi quelque chose qui ait un sens aussi en car. 2 : G_0(t, t^3) = \underbrace{\left( -\frac{1}{3t^2} + \left( \frac{3t}{3t^2} \right)^2 \right)}_{\frac{1}{t^2}\left(-\frac{1}{3} + 1\right)} dt^2 = \text{\struck{$\frac{1}{3t^2}$}}\ \frac{2}{3}\, \frac{1}{t^2}\, dt^2 [mais c'est inutile, car en car. 2 les deux choix possibles sur \mathbb{Z} coïncident !].

Remq 1) On peut se demander quel est le rôle joué ici par les bijections, et s'il n'y aurait pas moyen d'éliminer ce rôle. On est alors conduit, dans I), à se donner un faisceau analytique cohérent \mathcal{F} sur X, et à supposer G' : \mathcal{E}_X \times \mathcal{E}_X \to \mathcal{F}. On trouve alors qu'un tel G' s'écrit de façon unique (si G est connu dès l'énoncé initial, p.ex. celui de II)) comme G' = uG, où u : \underline{\omega}_X^{\otimes 2} \to \mathcal{F}, et on voit que u est un iso ! Donc \underline{\omega}_X^{\otimes 2} joue ici un rôle universel. Dans II) on pourrait se donner un \mathcal{F}_X dépendant