Fonds Grothendieck, cote n° 93, pages 1–20

Courbes elliptiques : formulaire (tapuscrit d'un tiers)

Les pages 2 à 19 sont une copie d'un tapuscrit qui n'est pas de Grothendieck : « Courbes elliptiques : formulaire, d'après J. Tate, mis au goût du jour par P. Deligne », paginé 1 à 16, sans date. Texte d'un tiers : il n'est pas transcrit ici. La copie porte des annotations manuscrites (encres noire, verte et bleue) d'une main qui écrit en tête de la p. 2 « G? = correction de Grothendieck » : elle parle de lui à la troisième personne et n'est donc pas prise pour la sienne ; ces annotations sont signalées, non transcrites. Les quelques corrections que cette main marque « G? » sont indiquées là où elles se trouvent ; leur attribution à Grothendieck est la sienne, et elle est elle-même interrogative.

Tapuscrit de P. Deligne d'après J. Tate, s.d., p. 1 : titre, § 1 « Formules générales » (courbes de genre 1 sur une base S, types de fibres elliptique, multiplicatif, additif ; faisceau \omega = e^{*}\Omega^{1}_{E/S}). En tête, de la main annotatrice : la légende « G? = correction de Grothendieck », et un renvoi à une version plus complète (Lecture Notes 476, Anvers IV, et l'exposé de Tate dans le même volume). En marge, « G? » en regard de « arithmétique », souligné à l'encre bleue.

Feuillet manuscrit de la main annotatrice, à l'encre verte, intitulé « Formules utiles » : relation 1728\Delta = c_4^3 - c_6^2, invariant j, formes c_4, c_6, \Delta comme sections de puissances de \omega, développements de c_4, c_6 pour la courbe de Tate, invariant de Hasse, courbe de Legendre. Écriture d'un tiers : non transcrite.

Tapuscrit de Deligne, p. 2 : filtration de p_{*}\mathcal{O}(ne), formule (1.1), faisceau des différentielles régulières \Omega^{\mathrm{reg}}_{E/S}. Deux renvois marginaux « réf » de la main annotatrice, à l'encre bleue.

Tapuscrit de Deligne, p. 3 : différentielles invariantes, changements de coordonnées (1.2), équation de Weierstrass (1.3). En marge, « G? » en regard de la ligne où le signe \otimes de l'exposant \otimes{-2} est repassé à l'encre bleue.

Tapuscrit de Deligne, p. 4 : forme différentielle invariante, quantités b_2, b_4, b_6, b_8, d_6, d_8 (1.4). Sans annotation manuscrite.

Tapuscrit de Deligne, p. 5 : formules (1.5) pour c_4, c_6, \Delta, et formules de changement de variables (1.6), (1.7). Sans annotation manuscrite.

Tapuscrit de Deligne, p. 6 : (1.8) ; § 2 « Cas où 2 et 3 sont inversibles », forme de Weierstrass, proposition 2.5 (schéma de modules au-dessus de \operatorname{Spec}\mathbb{Z}[2^{-1},3^{-1}]). Sans annotation manuscrite.

Tapuscrit de Deligne, p. 7 : fin de la proposition 2.5, relation (2.6) ; § 3 « Cas où 2 et c_4 sont inversibles ». En marge, de la main annotatrice à l'encre bleue, un point d'interrogation et « section e ».

Tapuscrit de Deligne, p. 8 : formules (3.3), (3.4), proposition 3.5. Même annotation marginale « ? section e » à l'encre bleue.

Tapuscrit de Deligne, p. 9 : § 4 « Cas où 2 est nilpotent et c_4 inversible » ; début du § 5 « Cas où c_4 = 0, p = 2 ou p = 3 ». Sans annotation manuscrite.

Tapuscrit de Deligne, p. 10 : suite du § 5, caractéristiques 3 et 2. Sans annotation manuscrite.

Tapuscrit de Deligne, p. 11 : § 6 « Applications », proposition 6.1 (types de fibres selon \Delta et c_4). Sans annotation manuscrite.

Tapuscrit de Deligne, p. 12 : invariant j (6.2), proposition 6.3 sur \mathrm{Isom}(E,E'). L'indice S est ajouté à l'encre bleue sous les trois \mathrm{Isom} de l'énoncé.

Tapuscrit de Deligne, p. 13 : proposition 6.4 et sa preuve. Une parenthèse complétée à l'encre bleue dans « 1/(j-1728) ».

Tapuscrit de Deligne, p. 14 : suite de la preuve ; formes types (6.5), (6.6). Sans annotation manuscrite.

Verso resté blanc du tapuscrit, portant seulement des notes de la main annotatrice à l'encre bleue (« Question connexe » sur le schéma formel des modules d'une courbe elliptique sur W(k) et le quotient par \mathrm{Aut}(E), cas j = 0 et j = 12^3). Écriture d'un tiers : non transcrite.

Tapuscrit de Deligne, p. 15 : formes types (6.7), (6.8) ; proposition 6.9 sur les automorphismes. En marge de (I), à l'encre bleue, une réserve de la main annotatrice ; un point d'interrogation en regard de (V).

Tapuscrit de Deligne, p. 16 : preuve de la proposition 6.9, (I) à (V). Sans annotation manuscrite. La preuve de (V) n'est pas achevée sur cette page : le tapuscrit se poursuit au-delà du lot.

Verso resté blanc, portant seulement une courte note de la main annotatrice à l'encre bleue (un corollaire pour S plat sur \mathbb{Z}). Écriture d'un tiers : non transcrite.