Cote n° 93 · pages 1–235 · Lecture modernisée · Connexions de Gauss-Manin et équations de Picard-Fuchs. Opération de Cartier : copies de tapuscrit annoté (s.d.), tiré à part (1981), notes manuscrites (s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : [1972]-1981

Résumé

Le fil du dossier, et les conventions

Les stations

L'inventaire date le dossier « [1972]-1981 » et le range dans le groupe « Géométrie et topologie combinatoire » (dossiers 69 à 102), dont le sujet n'est, ici encore, pas le sien.¹ Le dossier est fait de chemises successives ; chacune a sa couverture, souvent de sa main, et l'ordre des feuillets est celui des archivistes. On le suit.

1. I.Pages 2 à 24 : copie annotée d'un tapuscrit de P. Deligne, « Courbes elliptiques : formulaire, d'après J. Tate » (texte d'un tiers, signalé seulement).
2. II.Pages 26 à 32 : « Orientation » — un tiré à part de M. Wanderley (1981), puis ses axiomes pour une théorie de l'orientation.
3. III.Page 35 : un calcul de dérivée schwarzienne, isolé.
4. IV.Pages 36 à 53 : « Programme de la théorie (Cristaux) » — son tapuscrit sur la théorie de Dieudonné, corrigé de sa main, et ses « rabiots ».
5. V.Pages 54 à 67 : « \(\chi\) et \(\chi_!\) » — caractéristiques d'Euler avec et sans supports compacts.
6. VI.Pages 71 à 83 : invariants différentiels des applications étales d'une courbe dans la droite ; la dérivée schwarzienne comme seul invariant projectif ; les autres groupes.
7. VII.Pages 85 à 100 : fibrés en droites projectives, algèbres de Lie de type \(\mathfrak{sl}_2\), connexions transverses à une section.
8. VIII.Pages 101 à 114 : changement de coordonnée, équation d'horizontalité, dictionnaire des structures équivalentes.
9. IX.Pages 115 à 123 : mise au net — le cocycle schwarzien, le torseur des connexions projectives, le cas relatif, le facteur \(12\), la caractéristique \(p\).
10. X.Pages 125 à 139 : uniformisation et connexion projective canonique ; singularités régulières ; connexions invariantes.
11. XI.Pages 141 à 159 : connexions et stratifications sur les torseurs affines ; équations de Picard–Fuchs (couverture page 160).
12. XII.Pages 161 à 166 : filtration du complexe de De Rham et connexion de Gauss–Manin, d'après Katz–Oda.
13. XIII.Pages 167 à 186 : l'opération de Cartier (couverture page 167).
14. XIV.Pages 187 à 197 : « Connexions et stratifications intégrables : (suite, problèmes divers) » ; la page 197 dit « Fin 1ère partie ».
15. XV.Pages 198 à 203 : itérés de l'opération de Cartier et valeurs propres de Frobenius (« Fin de parenthèse »).
16. XVI.Pages 204 à 212 : « Variantes concernant des foncteurs de Picard relatifs ».
17. XVII.Pages 213 à 217 : « \(c^1(L)\) style connexions et opération de Cartier ».
18. XVIII.Pages 218 à 220 : « Connexion canonique de Gauss–Manin », un plan.
19. XIX.Pages 221 à 229 : intégrales de formes fermées relatives et équations de Picard–Fuchs.
20. XX.Pages 230 à 232 : opérateurs différentiels à coefficients constants.
21. XXI.Pages 233 à 235 : construction de la connexion canonique en cohomologie de De Rham ; la construction se poursuit au-delà du dossier.

Trois fils traversent ces chemises. Le premier est celui des connexions projectives (stations III, VI à X) : il commence par un calcul isolé et finit par une théorie sur une base quelconque. Le deuxième est celui de la connexion de Gauss–Manin et des équations de Picard–Fuchs (stations XI, XII, XVIII, XIX, XXI), qui en donne trois constructions : par la filtration de Katz–Oda, par des torseurs, par l'intégration sur des chemins. Le troisième est celui de la caractéristique \(p\) (stations IV, XIII à XVII) : Frobenius, Cartier, \(p\)-courbure. Les feuillets ne se renvoient presque jamais les uns aux autres ; les renvois qu'on fait ici entre stations sont notre lecture.

Conventions, valables pour tout le dossier

Pour une courbe lisse \(X\) sur \(S\), on note \(\omega = \Omega^1_{X/S}\) (il souligne : \(\underline{\omega}\)) et \(\omega^n\) sa puissance tensorielle \(n\)-ième. Une uniformisante est une fonction \(t\) telle que \(dt\) soit une base de \(\omega\), c'est-à-dire une application étale vers la droite affine ; pour deux uniformisantes \(t\), \(s\) on écrit \(s' = ds/dt\), \(s'' = ds'/dt\), etc. On note \[ G(t,s) = \Bigl(-2\,\frac{s'''}{s'} + 3\Bigl(\frac{s''}{s'}\Bigr)^2\Bigr)\,dt^2 = -2\,\{s,t\}\,dt^2, \] où \(\{s,t\} = s'''/s' - \tfrac32 (s''/s')^2\) est la dérivée schwarzienne classique ;² \(G_0 = G/12\) est la forme normalisée de la page 120. Une connexion projective est une section du torseur \(\mathrm{Conn}_{X/S}\) sous \(\omega^2\) (pages 117 et 119), et \(G(t,s) = c(s) - c(t)\).

Aux stations VII et VIII, \(E\) désigne le module localement libre de rang \(2\) extension de \(\mathcal{O}_X\) par un module inversible \(\Omega\), \(0 \to \Omega \to E \to \mathcal{O}_X \to 0\) ; \(\mathfrak{g}\) l'algèbre de Lie associée (une forme de \(\mathfrak{pgl}_2\)), \(\mathfrak{b} \subset \mathfrak{g}\) la sous-algèbre de Borel, \(P = \mathbb{P}(E)\) le fibré en droites projectives et \(\sigma\) sa section.³ En caractéristique \(p\), on note \(X' = X^{(p/S)}\) le tordu de Frobenius de \(X\) sur \(S\), \(F_{X/S} : X \to X'\) le Frobenius relatif et \(\widetilde{C}\) l'opération de Cartier. \(P^n_{S/T}(E)\) est le module des jets d'ordre \(n\) de \(E\), et \(P^\infty_{S/T}(E)\) leur limite projective.

Deux homonymies à ne pas confondre. La lettre \(P\) désigne un fibré en droites projectives aux stations VII à X et un torseur aux stations XI et XVI ; on rappelle chaque fois lequel. Et la lettre \(\mathcal{F}\) désigne aux pages 223 à 227 le quotient \(f_*(Z\Omega^1_{X/S})/d f_*(\mathcal{O}_X)\), et page 235 un faisceau quelconque.

2–24

I. Un formulaire sur les courbes elliptiques, d'un autre (pages 2 à 24)

Les pages 2 à 24 sont la copie d'un tapuscrit qui n'est pas de Grothendieck : « Courbes elliptiques : formulaire, d'après J. Tate, mis au goût du jour par P. Deligne », sans date. C'est le travail d'un tiers, que la transcription ne reproduit pas ; on n'en dit que ce que disent ses notes. Les titres de paragraphes relevés sont : « Formules générales » (§ 1), « Cas où \(2\) et \(3\) sont inversibles » (§ 2), « Cas où \(2\) et \(c_4\) sont inversibles » (§ 3), « Cas où \(2\) est nilpotent et \(c_4\) inversible » (§ 4), « Cas où \(c_4 = 0\), \(p = 2\) ou \(p = 3\) » (§ 5), « Applications » (§ 6), « Anneau des formes modulaires entières » (§ 7).⁴

La copie porte des annotations à l'encre noire, verte et bleue, d'une main qui écrit en tête de la page 2 « G? = correction de Grothendieck » et renvoie à une version plus complète dans les Lecture Notes 476 (Anvers IV). Cette main parle de lui à la troisième personne ; la transcription ne la prend pas pour la sienne, et l'attribution à Grothendieck des corrections marquées « G? » est la sienne, interrogative. Deux versos portent des notes de cette même main (pages 17 et 20), une page manuscrite de « Formules utiles » est intercalée (page 3) ; on ne les restitue pas davantage.

26–32

II. Axiomes d'une théorie de l'orientation (pages 26 à 32)

Un feuillet blanc porte le seul mot « Orientation ». Suivent un tiré à part, M. Wanderley, « Théorie axiomatique de l'orientation des variétés topologiques à bord », note présentée par H. Cartan, C. R. Acad. Sc. Paris, t. 292, série I, p. 213–215, 19 janvier 1981 (pages 27 à 29, sans annotation de sa main, non transcrites), puis deux pages de sa main qui posent des axiomes du même genre. On ne peut pas dire, faute du texte de la note, en quoi les siens s'en écartent.

Le cadre. Soit \(\overline{\mathcal{V}}\) la catégorie des variétés topologiques à bord, avec pour morphismes les immersions ouvertes, et \(\mathcal{V} \subset \overline{\mathcal{V}}\) la sous-catégorie des variétés sans bord ; \(\partial X\) est le bord de \(X\), \(\operatorname{Int} X = X - \partial X\) son intérieur. Une théorie de l'orientation est la donnée :

1. (i)d'un foncteur contravariant \(\Omega : \mathcal{V}^{\circ} \to (\mathrm{Ens})\), \(\Omega(X)\) étant l'ensemble des orientations de \(X\) ;
2. (ii)d'un élément \(\omega^+ \in \Omega(e)\), où \(e\) est la variété ponctuelle ;
3. (iii)d'une transformation naturelle, entre foncteurs sur \(\overline{\mathcal{V}}^{\circ}\), de \(X \mapsto \Omega(\operatorname{Int} X)\) vers \(X \mapsto \Omega(\partial X)\) — la règle qui oriente le bord d'une variété orientée ;

soumise aux conditions suivantes.

1. 1°)\(\Omega\) est un faisceau : sa restriction aux ouverts de chaque \(X\) est un faisceau \(\Omega_X\), le faisceau d'orientation de \(X\).
2. 2°)\(\Omega(e)\) a deux éléments. On note \(\omega^-\) l'autre, et l'on identifie \(\Omega(e)\) à \(\{+1,-1\}\).

Les variétés munies d'une section de \(\Omega\) forment la catégorie des variétés \(\Omega\)-orientées. Si \(X\) est orientée et \(Y \subset X\) une sous-variété de codimension \(1\), le faisceau \(\rho_{Y/X}\) des rives de \(Y\) dans \(X\) est un revêtement double de \(Y\) ;⁵ la donnée (iii), appliquée aux demi-voisinages de \(Y\), fournit un morphisme \[ \Omega_X|_Y \times \rho_{Y/X} \longrightarrow \Omega_Y , \qquad\text{ou}\qquad \Omega_X|_Y \longrightarrow \underline{\mathrm{Hom}}(\rho_{Y/X}, \Omega_Y). \] Les conditions se poursuivent :

1. 3°)(hypothèse d'induction) ce dernier morphisme est injectif : une orientation de \(X\) en un point de \(Y\) est connue quand on sait quelle orientation de \(Y\) chaque rive détermine ;
2. 4°)(non-trivialité) pour toute orientation \(\omega\) de \(X\), le morphisme \(\rho_{Y/X} \to \Omega_Y\) correspondant est injectif : deux rives différentes induisent des orientations différentes ;⁶
3. 5°)pour toute \(X\) sans bord, \(\Omega_X \to X\) est surjectif — il suffit que \(\Omega(\mathbb{R}^n)\) soit non vide pour \(n \geq 1\) ;
4. 6°)(prolongement des identités) \(\Omega_X\), vu comme espace étalé sur \(X\), est séparé : une orientation est connue en un point quand on la connaît en des points arbitrairement voisins.

Il ajoute, d'une autre encre, qu'il suffirait d'exiger 6°) pour les \(\mathbb{R}^n\), et qu'« il sera vrai a posteriori » qu'une orientation de \(\mathbb{R}^n\), ou de toute \(X\) connexe, est connue quand on la connaît en un seul point. La page s'arrête là ; aucun théorème n'est énoncé. Le but des axiomes est visible : 1°), 5°) et 6°) font de \(\Omega_X\) un revêtement de \(X\), 2°) à 4°) forcent par récurrence sur la dimension ses fibres à avoir deux éléments, et l'on retrouve le revêtement d'orientation, torseur sous \(\{\pm 1\}\).⁷

35–35

III. Un calcul isolé (page 35)

Une feuille de calculs sans texte suivi calcule l'effet d'une exponentielle sur l'expression \(-2\,g'''/g' + 3\,(g''/g')^2\). Pour \(g = \exp f\) on a \(g' = (\exp f)\,f'\), \(g'' = (\exp f)(f'^2 + f'')\), \(g''' = (\exp f)(f'^3 + 3f'f'' + f''')\), d'où \[ -2\,\frac{g'''}{g'} + 3\Bigl(\frac{g''}{g'}\Bigr)^2 = -2\,\frac{f'''}{f'} + 3\Bigl(\frac{f''}{f'}\Bigr)^2 + f'^2 , \] soit, dans les notations des conventions, \[ G(t, \exp f) = G(t, f) + (df)^2 . \] ⁸ C'est la formule \(c_{D + \omega} = c_D + 2D\omega + \omega^2\) des pages 81 et 104 dans un cas particulier (station VIII). Au verso, écrit la feuille retournée, le même objet est noté \(C(z,f)\), avec deux annotations : « invariance par \(\pi\) », reliée à \(f\), et « \(df/dz\) forme inv. par \(\pi\) » ; les seconds membres des dernières égalités, sur l'action d'une transformation \(\gamma\), ne se lisent pas. On n'en tire rien de plus.

36–47

IV. Programme de la théorie de Dieudonné (pages 36 à 53)

Le titre « V Programme de la Théorie (Cristaux) » est écrit de sa main sur un verso de listing (page 36) ; suit un tapuscrit de sa main, corrigé à la main, marqué en marge « Nouveau chapitre » et « \(\mathbb{D}^*\) ». Le chapitre appartient à un exposé plus long, auquel il renvoie (« cf. plus haut », « dans la suite du séminaire ») sans que les renvois soient remplis.

1) Le foncteur de Dieudonné cristallin (pages 37 à 40)

Soit \(S\) un schéma sur lequel \(p\) est localement nilpotent, et \(S_0 = V(p) \subset S\). On note \(\mathrm{BT}(S)\) la catégorie des groupes de Barsotti–Tate (groupes \(p\)-divisibles) sur \(S\) et \(\mathrm{Crisloclib}(S)\) celle des cristaux en modules localement libres sur le site cristallin de \(S\). Le programme est de définir un foncteur contravariant \[ \mathbb{D}^* : \mathrm{BT}(S)^{\circ} \longrightarrow \mathrm{Crisloclib}(S), \] compatible aux images inverses. Comme la restriction \(\mathrm{Crisloclib}(S) \to \mathrm{Crisloclib}(S_0)\) est une équivalence (l'idéal \(p\mathcal{O}_S\) est muni de puissances divisées), \(\mathbb{D}^*(G)\) ne dépend que de \(G_0 = G \times_S S_0\), et l'on est ramené à une base de caractéristique \(p\).

Sur \(S_0\) de caractéristique \(p\), le Frobenius et le Verschiebung de \(G_0\) et la compatibilité aux images inverses munissent \(M = \mathbb{D}^*(G_0)\) de morphismes \[ F_M : M^{(p)} = F_{S_0}^*(M) \longrightarrow M, \qquad V_M : M \longrightarrow M^{(p)}, \qquad V_M F_M = p, \quad F_M V_M = p . \] Un tel triple est un F-V-cristal, ou cristal de Dieudonné, et le foncteur \(G_0 \mapsto (M, F_M, V_M)\) est le foncteur de Dieudonné. Sa formation commute à tout changement de base, et sur le spectre d'un corps parfait il coïncide avec le foncteur de Dieudonné classique, qui est alors une équivalence ; le cristal \(\mathbb{D}^*(G_0)\) « saisit » donc les fibres de \(G_0\) en tous les points parfaits.

Problème 1. Sur une base \(S_0\) de caractéristique \(p\), le foncteur de Dieudonné est-il pleinement fidèle, et son image essentielle est-elle formée des F-V-cristaux « admissibles » (définis plus bas) ?

Il le croit lié à une théorie de Dieudonné pour les schémas en groupes finis localement libres d'ordre une puissance de \(p\), qui demanderait des « structures supplémentaires » — « très probablement » une filtration sur un objet convenable d'une catégorie dérivée —, sauf peut-être sur une base parfaite.

Problème 2. Développer une telle théorie ; sur \(S_0\) parfait, établir une anti-équivalence entre les groupes finis localement libres sur \(S_0\) plats sur \(\Lambda_n = \mathbb{Z}/p^n\) et les \(W_n(\mathcal{O}_{S_0})\)-modules localement libres munis de \(F\) et \(V\).⁹

La filtration de Hodge. Sur \(S\) quelconque (\(p\) localement nilpotent), la valeur \(\mathbb{D}^*(G)_S\) du cristal sur \(S\) porte une filtration par un sous-module localement facteur direct \(\mathrm{Fil}^1 = \omega_G\), d'où une suite exacte fonctorielle et compatible aux changements de base \[ 0 \longrightarrow \omega_G \longrightarrow \mathbb{D}^*(G)_S \longrightarrow \mathfrak{t}_{G^*} \longrightarrow 0, \] où \(\omega_G\) est le module des différentielles invariantes du groupe formel associé à \(G\) et \(\mathfrak{t}_{G^*} = \omega_{G^*}^{\vee}\) l'algèbre de Lie du dual de Cartier–Serre \(G^*\). On a ainsi un foncteur vers les « F-V-cristaux filtrés ». C'est, dit la remarque de la page 41, l'analogue d'une filtration de Hodge sur un \(H^1\) de De Rham.

41–43

Le théorème de déformation (pages 41 et 42)

Soit \(S \subset S'\) un épaississement muni de puissances divisées nilpotentes. Pour tout relèvement \(G'\) de \(G\) à \(S'\), on a \(\mathbb{D}^*(G')_{S'} = \mathbb{D}^*(G)_{S'}\) (valeur du cristal sur l'objet \(S'\) du site), et la filtration de Hodge de \(G'\) relève celle de \(G\).

Théorème de déformation. Le foncteur qui à \(G' \in \mathrm{BT}(S')\) associe le couple formé de \(G = G'|_S\) et de la filtration \(\mathrm{Fil}^1 \subset \mathbb{D}^*(G)_{S'}\) relevant \(\omega_G\) est une équivalence de catégories.¹⁰

Comme \((S_0, S)\) est lui-même un tel épaississement, une réponse positive au problème 1 décrirait \(\mathrm{BT}(S)\) entièrement par des cristaux de Dieudonné filtrés ; et le cas général \((S, S')\) se ramène formellement au cas \((S_0, S')\). Problème 3 (ajouté à la main) : une variante pour les groupes finis localement libres — « j'ai un candidat ».

F-V-cristaux admissibles. En caractéristique \(p\) la filtration de Hodge est déterminée par la structure de cristal de Dieudonné. Soit \(\phi : S_{0,\mathrm{cris}/\mathbb{F}_p} \to S_0\) le morphisme de topos annelés, \(M_0\) la restriction de \(M\) au site cristallin relatif à \(\mathbb{F}_p\). Les relations \(FV = VF = p\) rendent nuls les composés de \(M_0^{(p)} \xrightarrow{F} M_0 \xrightarrow{V} M_0^{(p)} \xrightarrow{F} M_0\), et la suite est même exacte ; et l'on a \[ \phi^*(\mathrm{Fil}^1 M_{S_0}) = \operatorname{Ker} F_{M_0} = \operatorname{Im} V_{M_0} \subset M_0^{(p)} . \] Une propriété de fidélité de \(\phi\) fait que cette relation détermine \(\mathrm{Fil}^1\). On dit qu'un F-V-cristal est admissible s'il existe un \(\mathrm{Fil}^1\) localement facteur direct vérifiant cette relation (il est alors unique : c'est la filtration canonique) ; le cristal d'un groupe de Barsotti–Tate est admissible, et sa filtration de Hodge est la filtration canonique.¹¹ Une marge annonce encore trois paragraphes qui ne sont pas écrits : passage à la limite sur un anneau \(p\)-adiquement complet, théorème de Tate, dualité.

43–47

2) et 3) Schémas abéliens (pages 43 à 47)

Pour les schémas abéliens il n'y a plus de nombre premier privilégié, mais il faut le site cristallin nilpotent. On pose \(\mathbb{D}^*(A) = R^1 f_{\mathrm{cris}*}(\mathcal{O}_{A_{\mathrm{cris}}})\), d'où \(\mathbb{D}^*(A)_S = H^1_{\mathrm{DR}}(A/S)\) et, pour tout relèvement \(A'\) de \(A\) à un épaississement \(S'\) à puissances divisées localement nilpotentes, \(\mathbb{D}^*(A)_{S'} = H^1_{\mathrm{DR}}(A'/S')\). Un relèvement existe toujours sur \(S\) affine (il renvoie à la Geometric Invariant Theory de Mumford), et l'indépendance du choix est, dit-il, une conséquence du « tapis » de la cohomologie cristalline. La filtration de Hodge \[ 0 \to f_*\Omega^1_{A/S} = \omega_A \to H^1_{\mathrm{DR}}(A/S) \to R^1 f_*\mathcal{O}_A = \mathfrak{t}_{A^*} \to 0 \] factorise \(\mathbb{D}^*\) par des cristaux filtrés, et :

Théorème de déformation pour les schémas abéliens. Si \(S'\) est un épaississement de \(S\) à puissances divisées localement nilpotentes, la donnée d'un schéma abélien \(A'\) sur \(S'\) équivaut à celle de \(A = A'|_S\) et d'un relèvement localement facteur direct de \(\omega_A\) dans \(\mathbb{D}^*(A)_{S'}\).

Une seconde description passe par l'extension vectorielle universelle \(0 \to \omega_{A^*} \to E(A) \to A \to 0\) : elle s'étend en un cristal en groupes lisses \(\underline{E}(A)\), avec \(\underline{E}(A)_{S'} = E(A')\) pour tout relèvement \(A'\), et l'on a un isomorphisme canonique \(\mathbb{D}^*(A) \simeq \underline{\mathrm{Lie}}\,\underline{E}(A^*)\) compatible aux filtrations. Relever \(\omega_A\) en \(\mathrm{Fil}^1\), c'est relever le sous-groupe vectoriel correspondant \(L\) de \(\underline{E}(A^*)_{S'}\), et le quotient \(\underline{E}(A^*)_{S'}/L\) est le dual du schéma abélien \(A'\) cherché. En caractéristique nulle, le relèvement de \(E\) est unique à isomorphisme unique près — « le résultat déjà signalé dans ma vieille lettre à Tate » ; en général on procède par « la méthode de l'exponentielle », annoncée pour la suite du séminaire.¹² Il serait plus naturel, note-t-il, de travailler avec \(\mathbb{D}_*(A) = \underline{\mathrm{Lie}}\,\underline{E}(A) \simeq \mathbb{D}^*(A^*)\), les deux points de vue s'échangeant par l'accouplement parfait \(\mathbb{D}^*(A) \otimes \mathbb{D}^*(A^*) \to \mathcal{O}\). Une remarque (page 46) annonce que la théorie des groupes de Barsotti–Tate donnera de même deux constructions de \(\mathbb{D}^*(G)\), l'une cohomologique, l'autre par une extension vectorielle universelle \(\underline{E}(G)\), elle-même obtenue soit cohomologiquement, soit « par l'exponentielle », la voie adaptée au théorème de déformation.

Enfin (page 47), si \(p\) est localement nilpotent, on attend un isomorphisme fonctoriel \(\mathbb{D}^*(A[p^\infty]) \simeq R^1 f_{\mathrm{cris}*} \mathcal{O}_{A_{\mathrm{cris}}}\) compatible aux filtrations — c'est, ajoute-t-il, en postulant un tel isomorphisme qu'on arrive heuristiquement à la définition de \(\mathbb{D}^*(G)\). Il en résulte que les déformations de \(A\) et de \(A[p^\infty]\) sont les mêmes, d'où le théorème de Serre–Tate (« méthode suivie par Messing dans sa thèse »).

48–53

« Rabiots », problèmes, et un théorème de Tate (pages 48 à 53)

Une liste de compléments, sur un autre papier, ajoute :

a) Sur une base parfaite, la filtration canonique est caractérisée par \(\mathrm{Fil}^{1\,(p)} = \operatorname{Ker} F_M = \operatorname{Im} V_M\), et tout cristal de Dieudonné est admissible.

b) Les isogroupes de Barsotti–Tate : on remplace \(\mathrm{Hom}(G,H)\) par \(\mathrm{Hom}(G,H) \otimes \mathbb{Q}\) (définition « provisoire », qui ne fournit pas un champ). Proposition (« prouvée plus tard ») : si \(S \subset S'\) est une immersion nilpotente, \(p\) localement nilpotent, la restriction \(\mathrm{IsoBT}(S') \to \mathrm{IsoBT}(S)\) est une équivalence.¹³ Il en tire « l'énoncé VII 10.8.2 de mes notes de Pise », que nous n'identifions pas.

Problème 4 : décrire l'image essentielle de ce foncteur pour \(A\) noethérien, séparé et complet pour la topologie \(p\)-adique ; y a-t-il un critère valuatif ? Pour \(A\) de valuation discrète d'inégales caractéristiques, est-ce un ouvert de Zariski d'une grassmannienne sur le corps des fractions \(L\) ? Même pour \(A = W(k)\), \(k\) algébriquement clos, le foncteur n'est pas essentiellement surjectif.

Problème 5 : pour \(A\) de valuation discrète complet d'inégales caractéristiques, à corps résiduel parfait \(k\), expliciter le foncteur qui va des couples \((M, \mathrm{Fil})\) — un module de Dieudonné sur \(k\) et une filtration à deux crans de \(M \otimes_W L\) — vers les représentations \(p\)-adiques de \(\mathrm{Gal}(\overline{L}/L)\) ; peut-on le définir sans se borner à l'image, en imposant seulement des conditions de rang ?

Problème 6 : la même question sur une base \(A\) plus générale, vers les faisceaux \(p\)-adiques sur \(\mathrm{Spec}(A[1/p])\).¹⁴

Le théorème de Tate. Soit \(S\) normal, noethérien, intègre, de point générique \(\eta\) de caractéristique nulle. Alors \(\mathrm{BT}(S) \to \mathrm{BT}(\eta)\) est pleinement fidèle : un groupe de Barsotti–Tate sur \(S\) est connu, à isomorphisme unique près, par la représentation \(p\)-adique de \(\pi_1(\eta)\) qu'il définit.¹⁵ Pour \(S\) le spectre d'un anneau de valuation discrète complet \(V\) d'inégales caractéristiques, à corps résiduel parfait, deux questions se posent : caractériser les modules galoisiens obtenus (Tate montre qu'ils sont de Hodge–Tate) ; trouver un foncteur « explicite » de ces modules vers les F-cristaux sur \(k\) munis d'une filtration de \(M \otimes_W L\). Le théorème suggère que le « foncteur mystérieux » des F-cristaux filtrés vers les représentations galoisiennes est pleinement fidèle, et qu'il faut en expliciter un quasi-inverse sur une sous-catégorie convenable, sans doute contenue dans celle des représentations de Hodge–Tate.¹⁶

On conjecture enfin que l'hypothèse de caractéristique nulle sur \(k(\eta)\) est inutile ; le cas d'égales caractéristiques, dit-il, se ramènerait à la théorie de Dieudonné (problème 1) et à la question suivante : pour \(S\) normal noethérien intègre de caractéristique \(p\), la restriction \(\mathrm{Crisloclib}(S) \to \mathrm{Crisloclib}(\eta)\) (ou son analogue pour les F-cristaux) est-elle pleinement fidèle ? On se ramène à \(k[[t]]\), \(k\) algébriquement clos, où la question porte sur des modules à connexion formelle.¹⁷

54–59

V. \(\chi\) et \(\chi_!\) (pages 54 à 67)

Le titre est seul sur un feuillet (page 54) ; les pages suivantes sont à l'encre bleue.

Les axiomes (pages 55 et 59)

Soit \(k\) un corps. On note \(\mathcal{E}_{\chi_!}\) la classe des espaces localement compacts \(X\) dont la cohomologie à supports compacts \(H^*_!(X,k)\) est de dimension finie, et \(\mathcal{E}_\chi\) celle des espaces dont la cohomologie \(H^*(X,k)\) l'est ; \(\chi_!\) et \(\chi\) sont les caractéristiques d'Euler correspondantes.¹⁸ Il relève :

1. (a)si \(X\) est compact, \(X \in \mathcal{E}_{\chi_!} \Leftrightarrow X \in \mathcal{E}_\chi\), et \(\chi_!(X) = \chi(X)\) ;
2. (b)si \(Y \subset X\) est fermé, et deux des trois espaces \(X\), \(Y\), \(X - Y\) sont dans \(\mathcal{E}_{\chi_!}\), le troisième aussi, et \(\chi_!(X) = \chi_!(Y) + \chi_!(X - Y)\) (suite exacte de cohomologie à supports compacts) ;
3. (c)si \(X = X' \cup X''\) avec \(X'\), \(X''\) fermés, et trois des quatre espaces \(X, X', X'', X' \cap X''\) sont dans \(\mathcal{E}_\chi\), le quatrième aussi, et \(\chi(X) = \chi(X') + \chi(X'') - \chi(X' \cap X'')\) (Mayer–Vietoris) ;¹⁹
4. (d)si \(X\) est dominé homotopiquement par \(X'\) (\(X \to X' \to X\) homotope à l'identité), \(X' \in \mathcal{E}_\chi \Rightarrow X \in \mathcal{E}_\chi\) ; en particulier \(\chi\) est un invariant d'homotopie ;
5. (e)un point est dans \(\mathcal{E}_\chi\), \(\chi(\mathrm{pt}) = 1\), et \(\chi(\emptyset) = 0\) ;
6. (f)\(\chi_!(X \times Y) = \chi_!(X)\chi_!(Y)\) et \(\chi(X \times Y) = \chi(X)\chi(Y)\) (formules de Künneth) ;
7. (g)si \(f : X \to Y\) est une fibration localement triviale de fibre \(F\), avec \(Y, F \in \mathcal{E}_{\chi_!}\), alors \(\chi_!(X) = \chi_!(Y)\,\chi_!(F)\), et de même pour \(\chi\).

La démonstration de (g) passe par la suite spectrale de Leray \(H^p_!(Y, R^q f_!\,k) \Rightarrow H^{p+q}_!(X)\), et par un Lemme : pour un système local \(\mathcal{R}\) de rang \(b\) sur \(Y\), \(\chi_!(Y, \mathcal{R}) = b\,\chi_!(Y)\). Il le démontre lorsque \(Y\) admet une filtration finie par des fermés dont les différences sont des sommes finies de cellules \(Z_{ij} \simeq \mathbb{R}^{d_{ij}}\), par additivité et parce qu'un système local sur une cellule est constant.²⁰

Premières conclusions (page 57)

Pour tout \(n\), \(\mathbb{R}^n\), \(\overline{\mathbb{R}}^n = [-\infty,+\infty]^n\), la boule \(B^n\) et la sphère \(S^n\) sont dans \(\mathcal{E}_\chi \cap \mathcal{E}_{\chi_!}\), et \[ \chi(\mathbb{R}^n) = \chi(\overline{\mathbb{R}}^n) = \chi(B^n) = \chi_!(\overline{\mathbb{R}}^n) = \chi_!(B^n) = 1, \] \[ \chi(S^n) = \chi_!(S^n) = 1 + (-1)^n, \qquad \chi_!(\mathbb{R}^n) = (-1)^n . \] Les trois premiers sont contractiles, d'où \(\chi\) par (d) et (e), et les compacts relèvent de (a). Pour la sphère, \(S^n = S^n_+ \cup S^n_-\) avec \(S^n_+ \cap S^n_- \simeq S^{n-1}\), d'où par (c) \(\chi(S^n) = 2 - \chi(S^{n-1})\), et par récurrence (\(\chi(S^0) = 2\)) \(\chi(S^n) = 1 + (-1)^n\). Enfin \(\mathbb{R}^n \simeq S^n - \mathrm{pt}\), et (b) donne \(\chi_!(\mathbb{R}^n) = (1 + (-1)^n) - 1 = (-1)^n\).²¹

D'où la formule d'Euler : si \(X\) admet une filtration par des fermés \(\emptyset = X_{-1} \subset X_0 \subset \cdots \subset X_n = X\) telle que \(X_i - X_{i-1}\) soit réunion disjointe de \(f_i\) cellules ouvertes \(\simeq \mathbb{R}^i\), alors \(X \in \mathcal{E}_{\chi_!}\) et \(\chi_!(X) = \sum_i (-1)^i f_i\) — et si \(X\) est compact c'est aussi \(\chi(X)\).²²

61–67

Espaces localement coniques (pages 61 à 65)

Le recto de la page 61 commence au milieu d'un argument, sur des conditions \((\psi_1)\), \((\psi_2)\) qui ne figurent pas dans les pages conservées : il s'agit de recouvrements finis arbitrairement fins par des fermés dont toutes les intersections sont dans \(\mathcal{E}_{\chi_!}\), et, pour \(\chi\), d'un lemme analogue au précédent en homologie.

Il définit alors \(\mathcal{C}_{-1} = \{\emptyset\}\) et, pour \(n \geq 0\), \(\mathcal{C}_n\) la classe des espaces compacts \(X\) dont tout point \(x\) a un voisinage homéomorphe au cône sur un \(S \in \mathcal{C}_{n-1}\), le sommet allant en \(x\) ; \(\mathcal{C}_\infty = \bigcup_n \mathcal{C}_n\) est la classe des compacts localement coniques, et \(\mathcal{E}_\infty\) celle des espaces localement compacts séparés \(X\) dont le compactifié d'Alexandroff \(\hat{X} = X \cup \{\omega\}\) est dans \(\mathcal{C}_\infty\).²³

Proposition. \(\mathcal{C}_\infty \subset \mathcal{E}_\chi \cap \mathcal{E}_{\chi_!}\), et \(\mathcal{E}_\infty \subset \mathcal{E}_\chi \cap \mathcal{E}_{\chi_!}\).

Un compact localement conique est localement contractile, donc dans \(\mathcal{E}_\chi\) (et dans \(\mathcal{E}_{\chi_!}\) par (a)). Pour \(X \in \mathcal{E}_\infty\), (b) appliqué à \(\hat{X}\) et au point \(\omega\) donne \(X \in \mathcal{E}_{\chi_!}\) et \(\chi_!(X) = \chi(\hat X) - 1\). Pour \(\chi\), soit \(C \simeq \mathrm{C}(S_\omega)\) un voisinage conique de \(\omega\), \(T\) le cône homothétique de rapport \(\tfrac12\), et \(X' = \hat X - \mathring T\), compact ; \(X'\) est localement conique et \(X'\) est homotopiquement équivalent à \(X\), d'où \(X \in \mathcal{E}_\chi\). Par (c), \(\chi(X) = \chi(\hat{X}) - \chi(T) + \chi(\partial T)\) avec \(\chi(T) = 1\) et \(\partial T \simeq S_\omega\), d'où \[ \chi(X) - \chi_!(X) = \chi(S_\omega), \] où \(S_\omega\) est le « lien à l'infini » de \(X\) : la différence des deux caractéristiques « exprime la structure locale de \(X\) à l'infini ». (Pour \(X = \mathbb{R}^n\) : \(1 - (-1)^n = \chi(S^{n-1})\).)

Théorème (page 65). Sur \(\mathcal{E}_\infty\), \(\chi\) et \(\chi_!\) sont deux fonctions à valeurs entières satisfaisant (a) à (f), (g) au moins quand la base est un polyèdre relatif, et \(\chi_!(X) = \chi(\hat X) - 1\), \(\chi(X) - \chi_!(X) = \chi(S_\omega)\). Sur les polyèdres relatifs (différences de deux polyèdres, l'un plongé linéairement dans l'autre), elles sont caractérisées par (a) à (e) et données par la formule d'Euler.²⁴

Une feuille isolée (page 67) porte une liste de thèmes : « orientations ; plongements ; \(H^i\), \(\chi\) ; rev. et \(\pi_1\) ; rel. entre \(\pi_1\) et th. de Galois ; rev. et fonctions de var. complexes ; Conj. de Weil ». Les deux premières chemises du dossier en traitent les deux premiers points ; on n'en infère pas davantage.

71–73

VI. Invariants différentiels des applications étales d'une courbe (pages 71 à 83)

Changement de papier : des feuillets perforés à l'encre bleu-noir, dont les marges gauches sont couvertes d'ajouts écrits en long, lus en partie seulement. Le sujet est celui de la page 35, devenu théorème.

L'invariant projectif, et son unicité (pages 71 à 73)

Soit \(X\) une courbe analytique complexe régulière, \(\mathcal{E}_X\) (resp. \(\mathcal{P}_X\)) le faisceau des applications étales d'ouverts de \(X\) dans \(\mathbb{C}\) (resp. dans \(\mathbb{P}^1(\mathbb{C})\)).

Théorème I. Il existe un morphisme de faisceaux \(G : \mathcal{E}_X \times \mathcal{E}_X \to \omega_X^{2}\) tel que :

1. a)\(G\) est un opérateur différentiel non linéaire : en termes d'une uniformisante locale \(t\), \(G(f,g) = R(f,\ldots,f^{(n)}, g, \ldots, g^{(n)})\,dt^2\) avec \(R\) rationnelle, dont le dénominateur ne s'annule identiquement pour aucun couple de fonctions étales et dont la valeur n'a pas de pôle là où \(f'\) et \(g'\) n'ont pas de zéro ;
2. b)\(G(f,g) + G(g,h) = G(f,h)\) ;
3. c)\(G(f, ag) = G(f, g + b) = G(f,g)\) pour \(a \in \mathbb{C}^*\), \(b \in \mathbb{C}\), et \(G(f, 1/g) = G(f,g)\) si \(g\) n'a pas de zéro ;
4. d)si \(G(f,g) = 0\) et si \(f\), \(g\) coïncident à l'ordre \(2\) en un point d'un ouvert connexe \(U\), alors \(f = g\) sur \(U\) ;
5. e)pour \(f\) fixé, \(g \mapsto G(f,g)\) est un épimorphisme de \(\mathcal{E}_U\) sur \(\omega_U^2\).

Deux tels morphismes diffèrent par un facteur \(\varphi \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X^*)\). II. Si l'on demande en outre la compatibilité aux morphismes étales entre courbes variables, les coefficients de \(R\) sont des constantes, et l'indétermination se réduit à une constante \(c \in \mathbb{C}^*\). On peut prendre \[ G(f,g) = \Bigl(\Bigl[-2\,\frac{g'''}{g'} + 3\Bigl(\frac{g''}{g'}\Bigr)^2\Bigr] - \Bigl[-2\,\frac{f'''}{f'} + 3\Bigl(\frac{f''}{f'}\Bigr)^2\Bigr]\Bigr)dt^2 , \] et l'on trouve un torseur canonique \(\mathcal{T}_X\) sous \(\omega_X^2\), fonctoriel pour les morphismes étales, et une application \(c^X : \mathcal{P}_X \to \mathcal{T}_X\) telle que \(G(f,g) = c^X(g) - c^X(f)\), qui induit un isomorphisme \(H\backslash\mathcal{P}_X \xrightarrow{\sim} \mathcal{T}_X\), où \(H = \mathrm{PGL}_2(\mathbb{C})\).²⁵

III. Le cas relatif. Pour \(X\) lisse de dimension relative \(1\) sur un schéma \(S\) variable, avec compatibilité aux changements de base et aux morphismes étales, les « dérivées » doivent être remplacées par les opérateurs \(D^{(i)}_t = \frac{1}{i!}\frac{d^i}{dt^i}\), et les coefficients doivent être dans \(\mathbb{Z}\). On trouve encore existence, et unicité au signe près. L'expression \(G\) ne convient plus, à cause de ses coefficients \(2\) et \(3\) ; il faut prendre \(G_0 = \frac{1}{12}G\) : \[ G_0(f,g) = \Bigl[\Bigl(-\frac{D^{(3)}_t g}{D^{(1)}_t g} + \Bigl(\frac{D^{(2)}_t g}{D^{(1)}_t g}\Bigr)^2\Bigr) - \Bigl(-\frac{D^{(3)}_t f}{D^{(1)}_t f} + \Bigl(\frac{D^{(2)}_t f}{D^{(1)}_t f}\Bigr)^2\Bigr)\Bigr] dt^2 . \] Le signe est fixé par une valeur test : \(G_0(t, t^3) = \frac{2}{3t^2}\,dt^2\), qui a un sens en caractéristique \(2\) — où d'ailleurs les deux choix coïncident.²⁶

Remarques (pages 72 et 73). 1) Le rôle de \(\omega^2\) est universel : un morphisme \(G' : \mathcal{E}_X \times \mathcal{E}_X \to \mathcal{F}\) vers un faisceau cohérent, ayant les mêmes propriétés, s'écrit de façon unique \(G' = uG\) avec \(u : \omega^2 \to \mathcal{F}\), et \(u\) est un isomorphisme. 2) Le torseur \(\mathcal{T}^G\) dépend du choix de \(G\) : \(\mathcal{T}^{\varphi G}\) est le « multiple » de \(\mathcal{T}^G\) par \(\varphi\), et le choix le plus fin est \(\mathcal{T}^{G_0}\). 3) En caractéristique \(p > 0\) donnée, on peut chercher à caractériser \(G_0\) par a), b), c) et la non-nullité ; l'indétermination serait une constante de \(\mathbb{F}_p^*\), ou de \(\Gamma(S, \mathcal{O}_S^*)\) sur une base fixée.²⁷

74–83

D'autres groupes (pages 74 à 83)

Ce qui précède était centré sur \(H = \mathrm{PGL}_2\) opérant sur \(\mathbb{P}^1\). Il passe en revue les analogues pour d'autres groupes opérant sur un espace homogène de dimension \(1\) — ce qui « semble condition de succès », \(\mathbb{C}^*\) opérant sur \(\mathbb{C}\), qui n'est pas homogène, étant « mauvais ».

1. a)Translations sur la droite. \(d : \mathcal{O}_X \to \omega\) est surjectif de noyau les constantes ; on pose \(A(f,g) = dg - df\). Il vaut mieux se restreindre aux fonctions étales, et remplacer \(\omega\) par le sous-faisceau \(\omega^*\) de ses bases (torseur sous \(\mathcal{O}_X^*\)), l'invariant devenant \(dg/df \in \mathcal{O}_X^*\).
2. b)Homothéties sur \(\mathbb{G}_m\). Pour un module inversible \(L\), de faisceau des bases \(L^*\), chaque base \(f\) définit la connexion \(D_f\) qui la rend horizontale ; d'où \(L^*/\mathbb{C}^* \xrightarrow{\sim} \mathrm{Conn}(L)\), torseur sous \(\omega\), et l'invariant \(B(f,g) = d(g/f)/(g/f) = D_g - D_f\). Pour \(L = \mathcal{O}_X\) c'est \(g \mapsto dg/g\).²⁸
3. c)Groupe affine. En composant a) et b) : \(\mathrm{Aff}(1,\mathbb{C})\backslash\mathcal{E}_X \xrightarrow{\sim} \mathrm{Conn}(\omega)\) par \(f \mapsto D_{df}\), la connexion de \(\omega\) pour laquelle \(df\) est horizontale, et l'invariant \[ D(f,g) = \frac{d\,(dg/df)}{dg/df} = \Bigl(\frac{g''}{g'} - \frac{f''}{f'}\Bigr)dt . \]
4. d)\(\mathbb{G}_m\) et son automorphisme \(f \mapsto 1/f\). Sur \(\mathcal{E}_X^*\) (applications étales vers \(\mathbb{C}^*\)), \(f \mapsto (df/f)^2\), et l'invariant \(E(f,g) = (dg/g)^2/(df/f)^2\) (page 83).

La table des « écarts » (page 81). Une feuille dresse le tableau de ces invariants — écart additif \(dg/df\), sa puissance \(n\)-ième, écart affine \(D_{dg} - D_{df}\), écart multiplicatif \((dg/g)/(df/f)\), écart projectif \(G(f,g)\) — et les relie par une chaîne de quotients \[ \mathcal{E}_X \to \mathcal{E}_X/\mathbb{G}_a \simeq \omega^{*} \xrightarrow{\ \alpha_n\ } \mathcal{E}_X/(\mu_n\cdot\mathbb{G}_a) \simeq \omega^{n*} \xrightarrow{\ \beta_n\ } \mathcal{E}_X/\mathrm{Aff}_1 \simeq \mathrm{Conn}(\omega), \] \[ \mathrm{Conn}(\omega) \xrightarrow{\ \gamma\ } \mathcal{E}_X/\mathrm{PGL}_2 \simeq \mathrm{Conn}_X , \] où \(\alpha_n(\omega_1) = \omega_1^n\), \(\beta_n(\psi) = D_{dt} - \frac1n \frac{d\psi}{\psi}\) pour une base \(\psi\) de \(\omega^n\) écrite relativement à \(dt^n\), et où \(\gamma\) envoie une connexion \(D\) de \(\omega\) sur la connexion projective \(c_D\) qui la rend « horizontale ». La formule clé, encadrée, est \[ c_{D + \omega_1} = c_D + 2D\omega_1 + \omega_1^2 \qquad (\omega_1 \in \omega). \] Pour \(\psi = f\,dt^n\) (\(n \neq 0\)), elle donne la connexion projective attachée à une \(n\)-différentielle, \[ c_n(f\,dt^n) = c_t + \Bigl[-\frac{2}{n}\,\frac{f''}{f} + \frac{2n+1}{n^2}\Bigl(\frac{f'}{f}\Bigr)^2\Bigr]dt^2 , \] qui pour \(n = 1\) et \(f = s'\) redonne \(G(t,s)\).²⁹

Les pages 79 et 80 sont des brouillons. Le second, traversé de deux traits, porte un diagramme reliant revêtement universel et disques en un point \(x\), des produits tensoriels \(\check{E} \otimes E\) pour \(E = \Omega^{-1} \oplus \Omega^0\) — la décomposition graduée en \(\Omega^1, \Omega^0, \Omega^{-1}\) qui sera celle de la station VII — et les nombres \(g+1\), \(3g-3\), \(4g-2\) ; on ne le restitue pas.

Une page étrangère (page 82). Une feuille isolée pose, pour un espace de lacets \(X = \Omega Y\), la question de savoir si le premier invariant de Postnikov \(k_1 \in H^3(\pi_1 X, \pi_2 X)\) est nul, en notant qu'il provient de \(k'_1 \in H^4(K(\pi_1 X, 2), \pi_2 X)\) (l'invariant de \(Y\)), et, après une nouvelle délooping, d'un élément de \(H^5(K(\pi_1 X, 3), \pi_2 X)\), déjà dans le domaine stable \(H^{5+i}(K(\pi_1X, 3+i), \pi_2X)\). La page ne répond pas ; elle ne se rattache visiblement à rien de ce qui l'entoure.

85–87

VII. Fibrés en droites projectives et connexions transverses (pages 85 à 100)

La station change d'échelle : au lieu de formules en coordonnée, des structures sur un schéma \(X\), puis sur une courbe \(X/S\).

1.1 et 1.2. Données équivalentes (pages 85 et 86)

Sur un schéma \(X\), se correspondent :

1. a)un fibré en droites projectives \(f : P \to X\) (fibré de Brauer–Severi de rang \(1\)) ;
2. b)un module localement libre \(E\) de rang \(2\), à tensorisation près par un module inversible (\(P = \mathbb{P}(E)\), \(E = f_*L\) pour \(L\) de degré \(1\) sur les fibres) ;
3. c)une algèbre d'Azumaya \(M\) de rang \(4\) (\(M = \underline{\mathrm{End}}(E)\)) ;
4. d)une forme \(\mathfrak{g}\) de \(\mathfrak{pgl}_{2,X}\), et d\('\)) une forme de \(\mathfrak{sl}_{2,X}\) — ces deux-là si \(2\) est inversible sur \(X\) ;
5. e)une forme de \(\mathrm{PGL}_{2,X}\) (\(G = \underline{\mathrm{Aut}}_X P\)), et e\('\)) une forme de \(\mathrm{SL}_{2,X}\) (\(G' = \underline{\mathrm{SL}}(E)\), son revêtement universel).

On a \(\mathfrak{g} = M/\mathcal{O}_X \simeq f_*(T_{P/X})\), avec le crochet des champs de vecteurs verticaux, et \(\mathfrak{g}' \subset M\) les éléments de trace nulle ; \(P\) est le schéma des sous-algèbres de Borel de \(\mathfrak{g}\), ou des sous-groupes de Borel de \(G\). La marge avertit : « attention à la car. (notamment car. 2 !) ».³⁰

Si l'on se donne en outre une section \(\sigma\) de \(P\) (1.2), on obtient une extension \(0 \to \Omega \to E \to \mathcal{O}_X \to 0\), \(\Omega\) inversible ; \(P = \mathbb{P}(E)\) a pour section celle que définit le quotient \(\mathcal{O}_X\). Alors \(\mathfrak{g} \simeq \mathrm{Sym}^2(E) \otimes \Omega^{-1}\) (\(\det E \simeq \Omega\)) est filtré : \[ \mathrm{Fil}_1 = \Omega \subset \mathrm{Fil}_2 = \mathfrak{b} \subset \mathrm{Fil}_3 = \mathfrak{g}, \qquad \mathrm{gr}_1 = \Omega,\ \mathrm{gr}_2 = \mathcal{O}_X,\ \mathrm{gr}_3 = \Omega^{-1}, \] où la sous-algèbre de Borel \(\mathfrak{b}\) (stabilisateur de \(\sigma\)) est isomorphe à \(E\) comme extension de \(\mathcal{O}_X\) par \(\Omega\), et \(\Omega\) est son radical nilpotent.³¹ Deux sections disjointes \(\sigma\), \(\sigma'\) (1.3) équivalent à un module inversible \(\Omega\) (\(P\) est la clôture projective du fibré vectoriel \(W(\Omega)\), \(\sigma\) la section à l'infini, \(\sigma'\) la section nulle), ou à une graduation \(\mathfrak{g} \simeq \Omega \oplus \mathcal{O}_X \oplus \Omega^{-1}\), c'est-à-dire au choix d'une sous-algèbre de Cartan et d'un des deux sous-groupes unipotents qu'elle normalise.

88–94

1.4. Connexions, et la condition de transversalité (pages 88 à 94)

Soit maintenant \(X\) lisse sur \(S\), et \(\omega = \Omega^1_{X/S}\). On considère des connexions (relatives à \(S\), sans hypothèse de platitude) sur \(\mathfrak{g}\), compatibles au crochet — c'est-à-dire sur \(P\). Localement, après choix d'un scindage \(\mathfrak{g} = \Omega \oplus \mathcal{O}_X \oplus \Omega^{-1}\) et d'une base \(\delta\) de \(\Omega\), il y a une connexion d'origine \(c_0\) (qui annule \(\delta\), \(1\), \(\delta^{-1}\)), et toute autre s'écrit \(c = c_0 + \mathrm{ad}(\varpi)\), \(\varpi = \varpi_2 + \varpi_1 + \varpi_0\) avec \(\varpi_2 \in \Omega \otimes \omega\), \(\varpi_1 \in \omega\), \(\varpi_0 \in \Omega^{-1} \otimes \omega\) (toute dérivation de \(\mathfrak{g}\) est intérieure).

Proposition. Toute connexion \(c\) sur \(\mathfrak{g}\) vérifie \(c(\mathrm{Fil}_i\,\mathfrak{g}) \subset \mathrm{Fil}_{i+1}(\mathfrak{g}) \otimes \omega\), et les applications induites \[ c_{1,2} : \mathrm{gr}_1 = \Omega \to \mathrm{gr}_2 \otimes \omega = \omega, \qquad c_{2,3} : \mathrm{gr}_2 = \mathcal{O}_X \to \mathrm{gr}_3 \otimes \omega = \Omega^{-1} \otimes \omega \] sont \(\mathcal{O}_X\)-linéaires, données par \(\varpi_0\), avec \(c_{1,2} = -2\,c_{2,3}\).³²

La connexion respecte la filtration si et seulement si \(\varpi_0 = 0\), ce qui revient à dire qu'elle respecte la Borel, ou que \(\sigma\) est horizontale. À l'opposé, on dit que \(c\) est transverse à \(\sigma\) — ou que \(\sigma\) est « nulle part stationnaire » — si \(c_{2,3}\) est un isomorphisme \(\mathcal{O}_X \xrightarrow{\sim} \Omega^{-1} \otimes \omega\), c'est-à-dire si \(i = c_{2,3}\) identifie \(\Omega\) à \(\omega\) (pages 90 et 91).³³

La forme canonique (pages 90 à 93). Supposons \(2\) inversible et \(c\) transverse, \(i : \Omega \xrightarrow{\sim} \omega\). La restriction \(c|_\Omega : \Omega \to \mathfrak{b} \otimes \omega\) est un opérateur différentiel d'ordre \(1\) ; il se factorise par l'opérateur universel \(d^1 : \Omega \to P^1_{X/S}(\Omega)\) et une application linéaire \(\gamma : P^1_{X/S}(\Omega) \to \mathfrak{b} \otimes \omega\), morphisme d'extensions de \(\Omega\) par \(\Omega \otimes \omega\) qui induit \(-2i\) sur les quotients et l'identité sur les sous-modules (\(\gamma(\lambda\delta \otimes df) = \lambda\delta \otimes df\)). Après multiplication par \(-\frac12\) sur \(\omega\), on obtient un isomorphisme d'extensions \[ \mathfrak{b} \xrightarrow{\ \sim\ } P^1_{X/S}(\omega) \otimes \omega^{-1} \] induisant \(-\frac12\,\mathrm{id}_\omega\) et \(\mathrm{id}_{\mathcal{O}_X}\), et par lequel \(c|_\Omega\) devient l'opérateur différentiel universel \(d^1_{\omega} : \omega \to P^1_{X/S}(\omega)\).³⁴ Ainsi :

Proposition. Pour \(X/S\) une courbe lisse et \(2\) inversible, les triples \((\mathfrak{g}, \mathfrak{b}, c|_\Omega)\) formés d'une connexion transverse sont uniques à isomorphisme unique près : \(E \simeq P^1_{X/S}(\omega)\otimes\omega^{-1}\), et \(c|_\Omega = d^1_\omega\). Les connexions de \(\mathfrak{g}\) qui prolongent \(c|_\Omega\) forment un torseur sous \(\Omega^2 \otimes \omega \simeq \omega^{2}\) (pages 93 et 94).

Ce sont, dans le vocabulaire d'aujourd'hui, les \(\mathfrak{sl}_2\)-opers de la courbe, et ce torseur est celui des connexions projectives. ³⁵ La page 94 propose de faire le lien avec la description \((P, \sigma, c)\) et avec l'isomorphisme \(\mathcal{O}_{\hat P} \simeq P^\infty_{X/S}\) — ce que fera la page 108.

95–100

1.5 et 1.6. Sections horizontales (pages 95 à 100)

Les sections de \(P\) disjointes de \(\sigma\) sont les scindages de \(E\), c'est-à-dire (dans le cas canonique) les scindages de \(P^1_{X/S}(\omega)\), ou encore les connexions sur \(\omega\) : les opérateurs \(D : \omega \to \omega^2\) tels que \(D(f\eta) = fD\eta + \eta\,df\). Elles forment un torseur sous \(\omega\).

Proposition (page 95). Pour chaque scindage, il y a une et une seule connexion transverse sur \(\mathfrak{g}\) pour laquelle la section correspondante de \(P\) est horizontale.

En coordonnée \(t\), prenant pour référence la connexion \(c_0\) qui rend horizontale la section \(D_t\) (la connexion de \(\omega\) pour laquelle \(dt\) est horizontale), une connexion projective s'écrit \(c_0 + \mu\,dt^2\), une connexion sur \(\omega\) s'écrit \(D_t + \lambda\,dt\), et la section correspondante est horizontale si et seulement si \[ 2\,\frac{d\lambda}{dt} + \lambda^2 = \mu , \] équation de Riccati.³⁶ Sur une courbe lisse en caractéristique nulle, il y a au plus une solution de valeur donnée en un point, et une solution formelle, en général transcendante ; ses pôles sont les points où la section qu'elle définit rencontre \(\sigma\).

Sections quelconques (1.6). Une section de \(P = \mathbb{P}(P^1_{X/S}(\omega))\) est un quotient inversible \(P^1_{X/S}(\omega) \twoheadrightarrow L\), c'est-à-dire un opérateur différentiel d'ordre \(1\), \(D : \omega \to L\), de symbole \(\sigma_0 \in \Gamma(L \otimes \omega^{-2})\), tel que \(D(f\eta) - fD(\eta) = \sigma_0(\eta\,df)\) ; elle rencontre la section canonique aux zéros du symbole, les points de dégénérescence de \(D\). Les sections non disjointes de \(\sigma\) sont donc les connexions sur \(\omega\) à singularités polaires (page 100).

Quand une telle section est-elle horizontale ? (pages 97 à 99). Il faut que l'ouvert de non-dégénérescence soit dense dans chaque fibre, et que la connexion projective qu'elle détermine sur cet ouvert se prolonge en une section régulière. Condition locale aux points de dégénérescence : si \(\lambda_t = b/a\) (dans \(D(f\,dt) = a\,df/dt + bf\)), \(\lambda_t\) n'a que des pôles simples, de partie principale \[ \lambda_t = \frac{2}{t} + (\text{pas de terme constant}) + O(t), \] car \(2\lambda' + \lambda^2\) doit rester régulier là où \(\lambda\) a un pôle. ³⁷ Il y a donc, le long de \(\sigma\), un champ d'éléments de contact d'ordre \(2\), et les sections qui admettent une connexion projective les rendant horizontales sont celles qui ont ce contact en leurs points de rencontre avec \(\sigma\). La page 100, un brouillon numéroté « 1 », pose encore la question des automorphismes de \(P\) qui changent \(c\) en \(c + \varpi_2\).

101–107

VIII. Changement de coordonnée, et le dictionnaire (pages 101 à 114)

Les pages 101 à 105 sont numérotées par lui 5, 2, 2 bis, 3, 4 ; dans son ordre, le calcul commence page 102 et finit page 101.

La formule de transformation (pages 101 à 107)

À toute connexion \(D\) sur \(\omega\) correspond la connexion projective \(c_D\), l'unique qui rende horizontale la section de \(P\) définie par \(D\), et \[ c_{D_0 + \omega_1} = c_{D_0} + 2D_0(\omega_1) + \omega_1^2 , \] qu'il vérifie par transitivité (« OK », page 104). L'application \(\omega_1 \mapsto 2D_0(\omega_1) + \omega_1^2\), \(\omega \to \omega^2\), n'est ni linéaire ni semi-linéaire. Pour deux uniformisantes \(t\), \(s\), on a \(D_s = D_t + s'\,d(1/s') = D_t - (s''/s')\,dt\), d'où \[ c_{D_s} = c_{D_t} + \Bigl[-2\Bigl(\frac{s''}{s'}\Bigr)' + \Bigl(\frac{s''}{s'}\Bigr)^2\Bigr]dt^2 = c_{D_t} + \frac{3s''^2 - 2s's'''}{s'^2}\,dt^2 = c_{D_t} + G(t,s). \] Objection (page 101) : \(c_{D_s} = c_{D_t}\) si et seulement si \(3s''^2 = 2s's'''\), soit \(s''^2 = C s'^3\), soit — en intégrant — \(s\) fonction homographique de \(t\). Les trois types d'homographies \(t \mapsto t + a\), \(t \mapsto bt\), \(t \mapsto 1/t\) s'y vérifient directement.

Conclusion (page 103) : « changer de connexion projective revient simplement à changer le second membre de l'équation ». Une section rationnelle de \(P\), donnée par une forme \(\omega_1\) à pôles, est horizontale pour une connexion projective (alors unique) si et seulement si \(2D_0(\omega_1) + \omega_1^2\) reste régulière aux pôles — d'où la condition « résidu \(2\), pas de terme constant » de la station VII (page 106).

108–114

Le dictionnaire (pages 107 à 114)

Structures équivalentes (pages 108 et 109). Sur une courbe lisse \(X/S\), les données suivantes se correspondent :

1. (a)un triple \((P, \sigma, c)\) : fibré en droites projectives, section, connexion relative à \(S\) transverse à \(\sigma\) ;
2. (a\('\))\((P, \sigma)\) et un isomorphisme d'algèbres augmentées \(\mathcal{O}_{(\hat P, \sigma)} \simeq P^\infty_{X/S}\) tel que la connexion transportée se globalise ;
3. (b)une algèbre de Lie de type \(\mathfrak{sl}_2\) quasi-scindée \(\Omega \subset \mathfrak{b} \subset \mathfrak{g}\) munie d'une connexion transverse ; (b\('\)) la forme canonique de la station VII ;
4. (c)sur \(\mathbb{P}_X = \mathbb{P}(P^1_{X/S}(\omega))\), avec l'isomorphisme canonique \(\mathcal{O}_{\mathbb{P}_X}/\mathcal{J}^3 \simeq P^2_{X/S}\), un isomorphisme \(\mathcal{O}_{\mathbb{P}_X}/\mathcal{J}^4 \simeq P^3_{X/S}\) qui le prolonge ;
5. (d)une équation différentielle du troisième ordre sur \(\mathbb{P}^1_X\), invariante par \(\mathrm{PGL}_{2,X}\) ;
6. (e)(\(S = \mathrm{Spec}\,\mathbb{C}\)) un faisceau d'applications analytiques étales de \(X^{\mathrm{an}}\) dans \(\mathbb{P}^1(\mathbb{C})\) qui soit un torseur sous \(\mathrm{PGL}_2(\mathbb{C})\) — une structure projective au sens des atlas.

Il passe de (e) à (a) par le fibré associé au torseur et une section canonique (les couples \((f, f(x))\), \(f\) germe du torseur, sont tous conjugués), et GAGA ; de (a) à (e) en trivialisant \(P\) par la connexion au voisinage d'un point et en lisant la section comme une application vers \(\mathbb{P}^1\).³⁸

Les équations explicites (page 113). Dans une coordonnée \(t\), avec \(c_0 = c_{D_t} + \mu\,dt^2\), et \(P = \mathcal{T}/B\), \(B_u \subset B\) le radical unipotent :

1. a)les sections horizontales de \(P\) disjointes de \(\sigma\) sont les connexions \(D = D_t + \lambda\,dt\) avec \(c_D = c_0\) : \(2\lambda' + \lambda^2 = \mu\) ;
2. b)les sections horizontales de \(\mathcal{T}/B_u\) au-dessus d'elles sont les couples \((D, \varphi)\), \(\varphi = \alpha\,dt\) base de \(\omega\) avec \(D\varphi = 0\) : \(\alpha'/\alpha = -\lambda\) ;
3. c)celles de \(\mathcal{T}\) sont les uniformisantes \(s\) telles que \(D_s = D\) : \(s''/s' = -\lambda\), et \(\varphi = ds\), \(\alpha = s'\) ;

et l'élimination de \(\lambda = -s''/s'\) donne \[ G_t(s) = -2\,\frac{s'''}{s'} + 3\Bigl(\frac{s''}{s'}\Bigr)^2 = \mu(t) . \] L'équation de Riccati, l'équation linéaire du premier ordre et l'équation schwarzienne sont ainsi les trois étages d'un même torseur \(\mathcal{T} \to \mathcal{T}/B_u \to \mathcal{T}/B\).

La propriété essentielle de \(G_t\) est son invariance par \(s \mapsto (as + b)/(cs + d)\). Par changement d'uniformisante \(\tau\), \[ G_\tau(s)\,d\tau^2 = G_t(s)\,dt^2 - G_t(\tau)\,dt^2 . \] ³⁹

Théorème (page 113). Soit \(X\) une courbe algébrique complète sur \(\mathbb{C}\) et \(t : U \to \mathbb{C}\) une uniformisante sur un ouvert. Il existe une unique section \(\mu\) de \(\omega_U^2\) telle que les solutions de \(G_t(s) = \mu\) soient exactement les restrictions des fonctions uniformisantes de \(X^{\mathrm{an}}\) — les inverses locaux de la projection du revêtement universel, plongé dans \(\mathbb{P}^1(\mathbb{C})\).

Question. Cette section \(\mu\), analytique, est-elle algébrique ? « Premier cas douteux : \(X = \mathbb{P}^1_{\mathbb{C}}\) moins trois points, ou une courbe elliptique moins un point. »⁴⁰ Autre question : quand \(X\) varie dans une famille algébrique, la section \(\mu\) dépend-elle algébriquement du paramètre, et sinon quelle est sa nature « transcendante » ?⁴¹

115–120

IX. Mise au net : le cocycle schwarzien (pages 115 à 123)

D'une écriture soignée, la théorie est reprise depuis le début.

Le cas analytique. Soit \(\mathcal{X}\) une courbe analytique et \(t\), \(s\) deux uniformisantes. On a :

1. (1)\(G(t, s + b) = G(t, as) = G(t, 1/s) = G(t,s)\) (\(a \in \mathbb{C}^*\), \(b \in \mathbb{C}\), \(s\) sans zéro dans le troisième cas) ;
2. (2)\(G(t,s) + G(s,r) = G(t,r)\) ;
3. (3)la formation de \(G\) commute à la restriction aux ouverts.

D'où \(G(t,t) = 0\) et \(G(s,t) = -G(t,s)\), l'invariance en la première variable (1 bis), et l'extension de \(G\) aux applications étales vers \(\mathbb{P}^1(\mathbb{C})\) (fonctions méromorphes à pôles simples, uniformisantes ailleurs), avec \(G(g\cdot t, g'\cdot s) = G(t,s)\) pour \(g, g' \in H = \mathrm{Aut}\,\mathbb{P}^1(\mathbb{C}) = \mathrm{PGL}_2(\mathbb{C})\). On obtient \(G : \mathcal{P}_X \times \mathcal{P}_X \to \omega_X^2\) invariant par \(H \times H\) (I) et vérifiant la relation de cocycle (II). Le théorème d'existence et d'unicité des équations différentielles donne la réciproque (I\('\)) : sur un ouvert connexe, \(G(t,s) = 0\) entraîne \(t = g \cdot s\) pour un \(g \in H\) ; et, \(t\) fixé, \(s \mapsto G(t,s)\) induit un isomorphisme \(H\backslash\mathcal{P}_X \xrightarrow{\sim} \omega_X^2\).

Proposition (page 117, « presque formelle à partir de (II) »). Il existe, de façon unique, un torseur \(\mathrm{Conn}_{\mathcal{X}}\) sous \(\omega^2_{\mathcal{X}}\) et un morphisme \(c^X : \mathcal{P}_X \to \mathrm{Conn}_{\mathcal{X}}\), \(t \mapsto c_t\), tels que \(G(t,s) = c_s - c_t\). \(\mathrm{Conn}_{\mathcal{X}}\) est le faisceau des connexions projectives de \(\mathcal{X}\) ; \(c^X\) est invariant par \(H\) et induit \(H\backslash\mathcal{P}_X \xrightarrow{\sim} \mathrm{Conn}_{\mathcal{X}}\) ; tout est compatible aux morphismes étales \(\mathcal{X}' \to \mathcal{X}\).

Sur \(\mathbb{P}^1(\mathbb{C})\) il y a une connexion projective canonique \(\mathcal{C} = c_{\mathrm{id}}\), et c'est la seule, car \(H^0(\mathbb{P}^1, \omega^2) = 0\) (\(\omega^2\) est de degré \(-4\)). Pour toute uniformisante, \(c_t = t^*(\mathcal{C})\).

Extension à la géométrie algébrique (pages 118 à 120). Pour \(X\) lisse de dimension relative \(1\) sur un schéma \(S\) (ou formel), les mêmes formules définissent \(G(t,s)\) pour \(t\), \(s : X \to \mathbb{A}^1_S\) étales, puis pour des applications étales vers \(\mathbb{P}^1_S\), invariant sous \(H_S = \underline{\mathrm{Aut}}_S(\mathbb{P}^1_S)\) et vérifiant (II) ; d'où le faisceau étale \(\mathrm{Conn}_{X/S}\), torseur sous \(\omega_{X/S}^2\), et \(c^X : \mathcal{P}_{X/S} \to \mathrm{Conn}_{X/S}\) avec \(c^X(t) = t^*(\mathcal{C})\). Plus généralement, tout fibré en droites projectives \(\mathcal{X}_0\) sur \(S\) porte une unique connexion projective, et \(G(t,s) = s^*c_{\mathcal{X}_0} - t^*c_{\mathcal{X}_0}\) pour \(t, s : X \to \mathcal{X}_0\) étales.⁴²

En caractéristique nulle, pour \(X/S\) à fibres géométriquement connexes, \(G(t,s) = 0\) entraîne encore \(s = g \circ t\) ; \(f^{-1}(H_S)\backslash\mathcal{P}_X \to \mathrm{Conn}_{X/S}\) est injectif, mais n'est plus surjectif. Une connexion projective dans l'image est dite « intégrable par fonctions algébriques ».

En caractéristique \(p > 0\) l'injectivité tombe aussi : les homographies à coefficients dans \(\mathcal{O}_{X'}\) (fonctions \(p\)-ièmes puissances relatives) laissent \(G\) invariant, et le mieux qu'on puisse espérer est \(F_X^{-1}(H_{X'})\backslash\mathcal{P}_X \hookrightarrow \mathrm{Conn}_{X/S}\).

Le facteur \(12\). Avec les dérivées divisées \(D^{(n)}_t = \frac{1}{n!} \frac{d^n}{dt^n}\), qui ont un sens dès que \(X/S\) est différentiellement lisse, \[ G(t,s) = 12\,G_0(t,s), \qquad G_0(t,s) = -\frac{D^{(3)}_t s}{D^{(1)}_t s} + \Bigl(\frac{D^{(2)}_t s}{D^{(1)}_t s}\Bigr)^2 . \] La page affirme la formule sans écrire le calcul.⁴³ Donc, si \(12\) est nul sur \(S\), toutes les \(c_t\) sont égales et il y a une connexion projective canonique ; et en toute caractéristique, \(\mathrm{Conn}_{X/S}\) se déduit, par le changement de groupe \(12\,\mathrm{id} : \omega^2 \to \omega^2\), d'un torseur plus fin \(\mathrm{Conn}_{0,X/S}\) muni de \(c_0^X\) avec \(c_0^X(s) - c_0^X(t) = G_0(t,s)\), et l'on écrira \(c_0 = \frac{1}{12}c\) (page 121).⁴⁴

121–123

L'injectivité en caractéristique \(p\) (pages 121 à 123)

On peut espérer que, \(\mathcal{O}'_X\) désignant le sous-faisceau des fonctions annulées par \(D^{(1)}, D^{(2)}, D^{(3)}\) — c'est \(\mathcal{O}_X^{p}\) si \(p \neq 2,3\), et \(\mathcal{O}_X^{p^2}\) si \(p = 2\) ou \(3\) —, le quotient de \(\mathcal{P}_{X/S}\) par les homographies à coefficients dans \(\mathcal{O}'_X\) s'injecte dans \(\mathrm{Conn}^0_{X/S}\).⁴⁵ Un cas local le confirme :

Proposition. Soient \(A\) un anneau de caractéristique \(p > 3\) avec \(\mathrm{Pic}(A) = 0\), \(B = A[T]/(T^p - \alpha)\), \(t\) la classe de \(T\), et \(s \in B\) avec \(D^{(1)}_t s \in B^*\). Si \(c_0(s) = 0\), c'est-à-dire \((D^{(2)} s)^2 = D^{(1)}s \cdot D^{(3)}s\), il existe \(a, b, c, d \in A\), avec \(ad - bc \in A^*\), tels que \(s = (at + b)/(ct + d)\).⁴⁶

Démonstration. On se ramène à \(\alpha = 0\) ; \(D^{(1)}s \in B^*\) veut dire \(a_1 \in A^*\) (\(s = \sum a_i t^i\)), et, quitte à composer par des homographies, \(s = t + a t^d + \cdots\) avec \(3 \leq d \leq p - 1\). Modulo \(t^{d-2}\), on trouve \(D^{(3)}s\,D^{(1)}s \equiv a\binom{d}{3}t^{d-3}\) et \((D^{(2)}s)^2 \equiv 0\), donc \(a\binom d3 = 0\), et \(\binom d3\) est inversible pour \(3 \leq d \leq p-1\), \(p > 3\) : \(a = 0\), et par récurrence \(s = t\). Cas \(p = 2, 3\). Il faut prendre \(B = A[T]/(T^{p^2} - \alpha)\), et \(3 \leq d \leq p^2 - 1\). Par le théorème de Lucas, \(\binom d3\) est non nul modulo \(p\) si et seulement si l'addition \(3 + (d-3)\) en base \(p\) se fait sans retenue : pour \(p = 2\) seul \(d = 3\) intervient (\(\binom33 = 1\)) ; pour \(p = 3\), \(3 = (0,1)\) en base \(3\) et \(d - 3 \leq 5\) a un chiffre des « \(3\) » au plus égal à \(1\), donc pas de retenue — « on gagne encore ! ».⁴⁷

125–129

X. Uniformisation et connexion projective canonique (pages 125 à 139)

Domaines homogènes et revêtement universel (pages 125 à 129)

Soit \(P\) une droite projective complexe. Un ouvert non vide \(D \subset P^{\mathrm{an}}\) est homogène si un sous-groupe de \(\mathrm{Aut}(P)\) y agit transitivement.

Théorème 1 (classique). a) À conjugaison près, il y a exactement trois domaines homogènes : \(P\), \(P\) moins un point, un disque. b) Le stabilisateur \(G\) de \(D\) dans \(\mathrm{Aut}(P)\) s'identifie à \(\mathrm{Aut}(D)\), et \(D\) est connexe et simplement connexe. c) \((P, D) \mapsto D\) est une équivalence de la catégorie des couples (droite projective, domaine homogène) sur celle des courbes analytiques connexes et simplement connexes.

Les stabilisateurs sont \(\mathrm{PGL}_2(\mathbb{C})\), \(\mathrm{Aff}(1,\mathbb{C})\) et, pour un disque, \(\mathrm{PSL}_2(\mathbb{R})\).⁴⁸ Il y a correspondance entre les formes réelles de \(P\) ayant des points réels (un « cercle » \(P_{\mathbb{R}}(\mathbb{R})\)), les formes réelles correspondantes de \(\mathrm{Lie}\,\mathrm{Aut}\,P = H^0(P, T_P)\), et les domaines homogènes du troisième type à polarité près (les deux composantes du complémentaire du cercle).⁴⁹

Scholie. Il y a un foncteur \(\mathbb{P}\) des courbes analytiques simplement connexes vers les droites projectives, avec un plongement fonctoriel \(X \hookrightarrow \mathbb{P}(X)(\mathbb{C})\) en domaine homogène, unique à isomorphisme unique près. C'est le théorème d'uniformisation de Koebe et Poincaré, mis sous forme fonctorielle.

Appliqué aux revêtements universels \(\widetilde{X}(x)\) d'une courbe \(X\), qui forment un système local sur le groupoïde fondamental, il donne :

Théorème 2. Pour \(X\) une courbe analytique connexe non singulière, il existe, à isomorphisme unique près : un fibré en droites projectives \(\mathbb{P}_X\) sur \(X\), une connexion intégrable sur \(\mathbb{P}_X\), une section \(\sigma\), un ouvert \(\widetilde{X} \supset \sigma(X)\) de \(\mathbb{P}_X\) et un morphisme \(p : \widetilde{X} \to X \times X\) au-dessus de \(X\), tels que \(p\sigma = \Delta_X\), que chaque \(p_x : \widetilde{X}_x \to X\) soit un revêtement universel, que \(p\) soit compatible aux connexions, et que chaque \(\widetilde{X}_x\) soit un domaine homogène de \((\mathbb{P}_X)_x\).⁵⁰

Selon le type du revêtement universel : si c'est \(\mathbb{P}^1\), \(X = \mathbb{P}^1\) et tout est trivial ; si c'est \(\mathbb{C}\), \(X\) est \(\mathbb{C}\), \(\mathbb{C}^*\) ou une courbe elliptique (quotients par des réseaux de rang \(0\), \(1\), \(2\)), \(\widetilde{X} = \mathbb{P}_X - \sigma'\) pour une section horizontale \(\sigma'\), et \(\widetilde{X}\) s'identifie au fibré tangent, la connexion étant celle d'une structure affine. La question de son algébricité ne se pose que pour \(\mathbb{C}\) et \(\mathbb{C}^*\), le cas compact étant « réglé par GAGA » ; pour \(\mathbb{C}\) tout est algébrique.

130–137

Le torseur des connexions projectives, et les singularités régulières (pages 130 à 137)

On retient de ces structures celles qui ont un sens algébrique : \(\mathbb{P}_X\), la connexion \(c_X\), la section \(\sigma\), et l'isomorphisme formel \(\widehat{\mathbb{P}}_X \simeq \widehat{X \times X}\) le long de \(\sigma\) et de la diagonale ; la condition est que \(\sigma\) soit nulle part stationnaire. « Les travaux de Deligne » donnent, si \(X\) n'est pas propre, l'existence et l'unicité de structures algébriques induisant les structures transcendantes — l'unicité, pas l'existence, de \(\sigma\) — sous la condition que la connexion soit régulière à l'infini.⁵¹

Le torseur algébrique (pages 132 à 134). Pour une courbe lisse \(X/S\) en caractéristique nulle, la catégorie des triples \((P, \sigma, c)\) transverses est rigide : \(P = \mathbb{P}(E)\) avec \(E = \mathcal{J}/\mathcal{J}^3 \otimes \omega^{-1}\), extension de \(\mathcal{O}_X\) par \(\omega\) (\(\mathcal{J}\) l'idéal d'augmentation de \(P^\infty_{X/S}\)), \(\sigma\) définie par cette extension, et \(c\) déduite d'un isomorphisme \(P^\infty_{X/S} \simeq \mathcal{O}_{\hat P}\) prolongeant l'isomorphisme canonique d'ordre \(2\). Ces isomorphismes sont en bijection avec les relèvements à l'ordre \(3\), et forment donc un torseur canonique \[ \mathcal{C}_{X/S} \quad\text{sous}\quad \underline{\mathrm{Hom}}(\omega, \omega^3) \simeq \omega^2 : \] le torseur des connexions projectives, qui est le \(\mathrm{Conn}_{X/S}\) de la station IX. De façon équivalente, ce sont les connexions sur \(\mathfrak{g} \simeq \mathrm{Sym}^2 E \otimes \omega^{-1}\) (gradué par \(\omega, \mathcal{O}, \omega^{-1}\)) qui se restreignent sur \(\omega\) en l'opérateur universel \(d^1_\omega : \omega \to P^1_{X/S}(\omega)\) — « on retombe sur ses pattes ». La construction transcendante est donc celle d'une section canonique de \(\mathcal{C}_{X/\mathbb{C}}\).

Régularité à l'infini (pages 134 à 137). Soit \(\hat X\) la complétée lisse de \(X\), \(D = \hat X - X\) (multiplicités \(1\), \(\nu = \mathrm{card}\,D\)), \(\lambda = \omega^2_{\hat X}\). « Sauf erreur », la régularité à l'infini doit signifier que la section n'a que des pôles simples le long de \(D\), le groupe des indéterminations des connexions projectives régulières étant \(H^0(\hat X, \omega^2(D))\).⁵² La suite exacte \[ 0 \to H^0(\hat X, \lambda) \to H^0(\hat X, \lambda(D)) \to H^0(D, \omega|_D) \to H^1(\hat X, \lambda) \] donne les dimensions :

1. (a)si \(g \geq 2\), \(H^1(\hat X, \omega^2) = 0\), et l'espace des connexions projectives régulières est de dimension \((3g-3) + \nu\), avec \(H^0(\hat X, \omega^2)\) cotangent à la variété modulaire \(M_g\) et \(H^0(X, \omega^2)^{\text{rég}}\) « (canoniquement ?) » cotangent à \(M_{g,\nu}\) ;
2. (b)si \(g = 1\) et \(\nu \geq 1\), le défaut d'injectivité passe par \(H^0(\hat X, T_{\hat X})\), de dimension \(1\), et la dimension est \(\nu\) ;
3. (c)si \(g = 0\), \(\dim H^0(\hat X, T) = 3\) et \(\dim H^0(\hat X, T(-D)) = 2, 1, 0\) pour \(\nu = 1, 2, \geq 3\) ; d'où \(\dim H^0(X, \omega^2)^{\text{rég}} = \max(0, \nu - 3)\).

⁵³ Il n'y a donc qu'une seule connexion projective régulière sur une courbe de genre \(0\) à au plus trois trous — celle qu'induit la droite projective, qui est par conséquent la connexion uniformisante —, et pour \(\nu \geq 4\) un espace de dimension \(\nu - 3\), la dimension de l'espace modulaire \(M_{0,\nu}\), « et sans doute un isomorphisme canonique » \(H^0(X, \omega^2)^{\text{rég}} \simeq \Omega^1_{M_{0,\nu}}(s)\).⁵⁴

138–139

Connexions invariantes sur un torseur (pages 138 et 139)

Deux pages très incertaines, sous l'hypothèse « inversible sur \(S\) » d'un entier qu'on ne lit pas : \(H\) un schéma en groupes lisse de dimension relative \(1\) sur \(S\), \(X\) un torseur sous \(H\). Les connexions projectives invariantes par \(H\) correspondent aux sections d'un sous-torseur de \(\mathfrak{g}_0 \otimes \omega_0\) sous \(\omega_0^2\), où \(\mathfrak{g}_0 \simeq \omega_0 \oplus \mathcal{O}_S \oplus \omega_0^{-1}\) est l'algèbre de Lie descendue sur \(S\) ; parmi elles il y a une connexion canonique, caractérisée sur un corps algébriquement clos par l'existence d'une section invariante de \(P\) horizontale. Si \(H\) est propre (schéma en courbes elliptiques), toutes les connexions projectives sont invariantes.⁵⁵

141–147

XI. Connexions, stratifications, et équations de Picard–Fuchs (pages 141 à 160)

La couverture brune qui ferme cette chemise (page 160) porte : « Modules stratifiés et équations de Picard-Fuchs », avec « Connexions intégrables et » biffé. Les sections sont numérotées par lui de 1) à 4).

1) Connexions sur les torseurs affines (pages 141 à 147)

Soit \(q : S \to T\) et \(E\) un \(\mathcal{O}_S\)-module quasi-cohérent. On a l'extension \(0 \to E \otimes \Omega^1_{S/T} \to P^1_{S/T}(E) \to E \to 0\) et son scindage \(q^{-1}\mathcal{O}_T\)-linéaire \(d^1_E\), qui identifie additivement \(P^1_{S/T}(E)\) à \(E \oplus E \otimes \Omega^1_{S/T}\), avec \(f(d^1_E x + \eta) = d^1_E(fx) + (f\eta - x \otimes df)\). Une connexion est un scindage \(\mathcal{O}_S\)-linéaire \(\delta_E = d^1_E - d^0_E\) ; la condition porte sur \(d^0_E : E \to E \otimes \Omega^1_{S/T}\), qui doit vérifier \(d^0_E(fx) = f\,d^0_E(x) + x \otimes df\). Elle s'étend en un opérateur de degré \(1\) sur \(E \otimes \Omega^\bullet_{S/T}\), de carré nul si et seulement si la courbure \(d^1_E d^0_E\) est nulle ; on définit alors \(H^*_{\mathrm{DR}}(S,E) = \mathbb{H}^*(S, E \otimes \Omega^\bullet_{S/T})\), avec la suite spectrale de la filtration bête, les flèches \(H^*\Gamma(S, E\otimes\Omega^\bullet) \to H^*_{\mathrm{DR}}(S,E)\) (isomorphismes pour \(S\) affine) et \(H^i_{\mathrm{DR}}(S,E) \to H^i(S,E)\) ; \(H^0_{\mathrm{DR}}\) est le module des sections horizontales.

\(\mathbb{H}^1\) par les torseurs. Pour un complexe de faisceaux abéliens \(K^\bullet\) sur un topos, \(\mathbb{H}^1(K^\bullet)\) classe les couples \((P, \xi)\) : \(P\) un torseur sous \(K^0\), \(\xi\) une section de \(P \times^{K^0} K^1\) dont l'image dans \(P \times^{K^0} K^2\) est la section canonique. De façon équivalente, \(\xi\) est une application \(\bar d^0 : P \to Z^1K\) telle que \(\bar d^0(x + f) = \bar d^0(x) + d^0(f)\). ⁵⁶ Appliqué au complexe de De Rham :

Proposition. \(H^1_{\mathrm{DR}}(S,E)\) classe les torseurs \(P\) sous \(E\) munis d'une application \(d_P : P \to E \otimes \Omega^1_{S/T}\) telle que \(d_P(x + \xi) = d_P(x) + d^0_E(\xi)\) et \(d^1_E d_P = 0\) — une connexion intégrable sur \(P\), compatible à celle de \(E\). Les automorphismes d'un tel objet sont les translations par les sections horizontales de \(E\).⁵⁷

147–153

2) et 3) Stratifications, et comparaison (pages 147 à 153)

Une stratification de \(E\) relative à \(T\) est un \(\delta^\infty_E : E \to P^\infty_{S/T}(E)\) satisfaisant les conditions de cocycle, d'où \(H^*_{\mathrm{strat}}(S,E)\), cohomologie du site stratifiant, et les flèches \(H^*_{\mathrm{strat}} \to H^*_{\mathrm{DR}}\). Un torseur stratifié sous \(E\) est un torseur ordinaire \(P\) muni d'une stratification compatible, et \(P^\infty_{S/T}(E)\), vu comme pro-faisceau, a une stratification canonique. D'où, de la suite exacte \(0 \to E \xrightarrow{\delta} P^\infty_{S/T}(E) \xrightarrow{p} P^\infty_{S/T}(E)/\delta E \to 0\) :

Proposition (page 150). Pour un torseur \(P\) sous \(E\), une stratification compatible équivaut à une application \(\lambda : P \to (P^\infty_{S/T}(E)/\delta E)^{\natural}\) — à valeurs dans les sections horizontales — telle que \(\lambda(x + \xi) = \lambda(x) + p\,d^\infty(\xi)\).⁵⁸

Par l'isomorphisme additif \(P^\infty_{S/T}(E)^+ \simeq P^\infty_{S/T}(E)/\delta E\) (l'idéal d'augmentation), \(\lambda\) devient \(\lambda^+\) avec \(\lambda^+(x + \xi) = \lambda^+(x) + d^+(\xi)\), \(d^+ = d^\infty - \delta^\infty\), et sa réduction à l'ordre \(1\) est la connexion associée.⁵⁹

Corollaire (page 152). Si \(T\) est de caractéristique nulle et \(S\) lisse sur \(T\), stratifications et connexions intégrables se correspondent, sur \(E\) comme sur les torseurs, et \(H^*_{\mathrm{strat}} \simeq H^*_{\mathrm{DR}}\). En particulier (le torseur trivial) la réduction induit un isomorphisme de faisceaux \(P^\infty_{S/T}(E)^{+\natural} \simeq Z^1(E \otimes \Omega^\bullet_{S/T})\) : une \(1\)-forme fermée à coefficients dans \(E\) est un jet d'ordre infini intégrable.⁶⁰

153–159

4) Équations de Picard–Fuchs (pages 153 à 159)

Soit \(E\) stratifié et \(0 \to E' \xrightarrow{u} E \xrightarrow{v} E'' \to 0\) une suite exacte de modules quasi-cohérents, \(E'\) non stratifié. Soit \(P'\) un torseur sous \(E'\) et \(P = P' \times^{E'} E\). Une stratification de \(P\) compatible à celle de \(E\) équivaut à \(\lambda' : P' \to (P^\infty(E)/\delta E)^\natural\) avec \(\lambda'(x' + \xi') = \lambda'(x') + p\,d^\infty(u\xi')\) ; en poussant par \(v\), on obtient une section canonique \[ \varphi(\lambda') \in \Gamma\bigl(S, (P^\infty_{S/T}(E'')/v\delta(E))^\natural\bigr), \] le jet de Picard–Fuchs défini par \((P', \lambda')\) : un jet intégrable de \(E''\), défini seulement modulo l'image d'une section de \(E'\).

Un opérateur différentiel \(D : E'' \to F\) est un opérateur de Picard–Fuchs (relativement à la suite exacte) si l'application linéaire \(u_D : P^\infty(E'') \to F\) qu'il définit s'annule sur \(v\delta(E)\) — autrement dit, si \(D\) tue les images dans \(E''\) des sections horizontales de \(E\). On pose alors \[ \mu_D(P', \lambda') = \bar u_D\bigl(\varphi(\lambda')\bigr) \in \Gamma(S, F), \] la section de Manin associée à \(D\) et à \((P', \lambda')\) ; l'équation universelle est à valeurs dans le pro-faisceau \(P^\infty(E'')/v\delta u(E')\).⁶¹

Variante, si \(E\) n'a qu'une connexion intégrable : les connexions intégrables sur \(P\) sont les \(d_{P'} : P' \to E \otimes \Omega^1_{S/T}\) avec \(d_{P'}(x' + \xi') = d_{P'}(x') + d^0_E(u\xi')\) et \(d^1_E d_{P'} = 0\) ; on prend des opérateurs \(\Delta : E \otimes \Omega^1_{S/T} \to F\) nuls sur \(d^0_E(u(E'))\), modulo ceux de la forme \(\Delta' \circ d^1_E\), d'où une section \(\nu_\Delta(P', d_{P'}) \in \Gamma(S,F)\). Pour \(D_0 = \Delta \circ d^0_E\), qui passe au quotient en un opérateur de Picard–Fuchs \(D\) sur \(E''\), on a \(\nu_\Delta = \mu_D\) (« faire la vérification »).

Lemme (page 159). En caractéristique nulle, \(S\) lisse sur \(T\), les opérateurs différentiels \(E \to F\) dont l'application linéaire associée tue \(\delta(E)\) sont exactement les \(\Delta \circ d^0_E\), \(\Delta : E \otimes \Omega^1 \to F\) différentiel, à un \(\Delta' \circ d^1_E\) près. Il en résulte que, sur \(S\) affine, les \(\mu_D\) s'expriment par les \(\nu_\Delta\). Le lemme est un cas particulier, dit-il, d'un fait général sur les opérateurs différentiels, qu'il formule à la station XX.

161–166

XII. Le complexe de De Rham filtré, et la connexion de Gauss–Manin (pages 161 à 166)

Le titre est le sien : « Filtration du complexe de De Rham d'un schéma relatif lisse, et connexion de Gauss-Manin (d'après Katz-Oda) ».⁶²

Soit \(X \xrightarrow{f} S \xrightarrow{g} T\), \(f\) lisse. La suite exacte \(0 \to f^*\Omega^1_{S/T} \to \Omega^1_{X/T} \to \Omega^1_{X/S} \to 0\) filtre \(\Omega^\bullet_{X/T}\), avec \[ \mathrm{Gr}^p(\Omega^\bullet_{X/T}) \simeq f^*\Omega^p_{S/T} \otimes \Omega^\bullet_{X/S}[-p] , \] et la filtration est respectée par la différentielle. Par la formule de projection (« dans un cadre pas très catholique — il faudra faire une petite vérification »), pour \(f\) quasi-compact et quasi-séparé, \(\mathrm{Gr}^p\,\mathbf{R}f_*\Omega^\bullet_{X/T} \simeq \Omega^p_{S/T} \otimes^{\mathbf{L}} \mathbf{R}f_*\Omega^\bullet_{X/S}[-p]\). La différentielle \(d_1\) de la suite spectrale de la filtration donne, pour \(p = 0\), \[ \nabla : \mathbf{R}f_*\Omega^\bullet_{X/S} \longrightarrow \Omega^1_{S/T} \otimes \mathbf{R}f_*\Omega^\bullet_{X/S} , \] la connexion de Gauss–Manin, intégrable puisque \(d_1 d_1 = 0\) ; si \(\Omega^1_{S/T}\) est plat, on obtient une connexion intégrable sur chaque \(H^q_{\mathrm{DR}}(X/S) = \mathbf{R}^q f_*\Omega^\bullet_{X/S}\). « Il semble bien que c'est la même que celle que j'ai définie » — dans un texte dont la référence ne se lit pas.⁶³

La filtration donne la suite spectrale de Leray filtrée (« lecture incertaine du dernier mot ») \[ H^{p+q}_{\mathrm{DR}}(X/T) \Longleftarrow E_2^{p,q} = H^p_{\mathrm{DR}}\bigl(S/T, H^q_{\mathrm{DR}}(X/S)\bigr) \qquad (\Omega^1_{S/T} \text{ plat}), \] dont le terme \(E_2\) se calcule avec la connexion de Gauss–Manin.

Application. Une classe \(\xi \in H^n_{\mathrm{DR}}(X/T)\) a une image horizontale dans \(H^0(S, H^n_{\mathrm{DR}}(X/S))\) ; si cette image est nulle, \(\xi\) définit un élément de \(E_\infty^{1,n-1} \subset E_2^{1,n-1} = H^1_{\mathrm{DR}}(S/T, H^{n-1}_{\mathrm{DR}}(X/S))\), c'est-à-dire (station XI) une classe de torseurs sous \(H^{n-1}_{\mathrm{DR}}(X/S)\) munis d'une connexion intégrable compatible à celle de Gauss–Manin.⁶⁴ Il note qu'en caractéristique nulle, sans hypothèse de platitude, la donnée équivaut à une stratification du torseur (station XI).

Variantes (page 166) : des coefficients \(E\) à connexion intégrable sur \(X\) — il suffit, semble-t-il, que \(E\) soit plat sur \(X\) ou \(\Omega^1_{S/T}\) plat, d'où \(H^*_{\mathrm{DR}}(X/T, E) \Leftarrow H^p_{\mathrm{DR}}(S/T, H^q_{\mathrm{DR}}(X/S, E))\) ; et la relativisation sur une base au-dessus de \(T\).

168–172

XIII. L'opération de Cartier (pages 167 à 186)

La chemise porte « Opération de Cartier » (page 167). « Tous les anneaux sont des \(\mathbb{F}_p\)-algèbres. »

① à ③. La cohomologie de De Rham d'une algèbre à \(p\)-base, et l'isomorphisme de Cartier (pages 168 à 172)

Soit \(B\) une \(A\)-algèbre et \(\Lambda = A[B^p] \subset B\). Alors \(\Omega^\bullet_{B/A} = \Omega^\bullet_{B/\Lambda}\). Si \(B = \Lambda[X]/(X^p - a)\) (une \(p\)-base à un élément \(x\)), le complexe \(\Lambda\)-linéaire \(1, x, \ldots, x^{p-1} \to dx, \ldots, x^{p-1}dx\) envoie \(x^k\) sur \(kx^{k-1}dx\), et \(H^*_{\mathrm{DR}}(B/A)\) a pour base \(1\) et la classe de \(x^{p-1}dx\). Pour une \(p\)-base \((x_i)_{i \in I}\), Künneth donne \(H^*_{\mathrm{DR}}(B/A) \simeq \bigotimes_{i,\Lambda} H^*_{\mathrm{DR}}(B_i/\Lambda)\).

Il existe un unique homomorphisme d'algèbres graduées \(\psi : \Omega^*_{B/A} \to Z^*_{B/A}\) avec \(\psi(x) = x^p\) et \(\psi(dx) = x^{p-1}dx\) (il suffit que \((xy)^{p-1}d(xy) = x^p y^{p-1}dy + y^p x^{p-1}dx\)). Notons \(\widetilde{A} = A\) vu comme \(A\)-algèbre par Frobenius et \(\widetilde{B} = B \otimes_A \widetilde A\), dont l'image dans \(B\) est \(\Lambda\). Par passage aux scalaires on obtient \(\varphi : \Omega^*_{\widetilde B/\widetilde A} \to H^*_{\mathrm{DR}}(B/A)\).

Théorème 1. Si \(B/A\) admet une \(p\)-base, \(\varphi\) induit un isomorphisme \(\Omega^*_{\widetilde B/\widetilde A} \otimes_{\widetilde B} \Lambda \xrightarrow{\sim} H^*_{\mathrm{DR}}(B/A)\) ; c'est un isomorphisme si \(\widetilde B \to B\) est injectif. (Par Künneth on se ramène à une \(p\)-base à un élément, où \(\varphi\) envoie la base \(1, d\tilde x\) sur la base \(1, [x^{p-1}dx]\).)

Corollaire 1. \(Z^*(B/A) = B^*(B/A) \oplus \widetilde\psi\bigl(\Omega^*_{\widetilde B/\widetilde A} \otimes \Lambda\bigr)\), où \(B^*(B/A)\) désigne les formes exactes.

L'isomorphisme inverse est l'opération de Cartier \(\widetilde C : H^*_{\mathrm{DR}}(B/A) \to \Omega^*_{\widetilde B/\widetilde A} \otimes \Lambda\), et l'on note encore \(\widetilde C : Z^*(B/A) \to \Omega^*_{\widetilde B/\widetilde A}\otimes\Lambda\) le composé, surjectif de noyau les formes exactes. Il est caractérisé (corollaire 2) par : \(\widetilde C\) est nul sur les formes exactes, est un homomorphisme de \(\Lambda\)-algèbres, et \(\widetilde C(x^{p-1}dx) = d\tilde x \otimes 1\). Pour \(x\) inversible, \(\widetilde C(dx/x) = d\tilde x/\tilde x \otimes 1\) (corollaire 3, car \(dx/x = x^{-p}\cdot x^{p-1}dx\)).⁶⁵ Si \(A\) est parfait et \(B\) réduit, on retrouve la forme classique : \(C : Z^*(B) \to \Omega^*_B\), \(C(f^p\omega) = fC(\omega)\), \(C(x^{p-1}dx) = dx\), \(C(dx/x) = dx/x\) — « le cas envisagé dans le texte initial de Cartier ».

172–180

④ à ⑥. Globalisation ; différentielles logarithmiques ; formes de degré maximum (pages 172 à 180)

Pour \(X \to S\) en caractéristique \(p\), avec le Frobenius relatif \(F_{X/S} : X \to X' = X^{(p/S)}\) (radiciel, entier, surjectif), on a \(\psi : \Omega^*_{X'/S} \to F_{X/S*}\mathcal{H}^*(\Omega^\bullet_{X/S})\), un isomorphisme quand \(F_{X/S*}\mathcal{O}_X\) a localement une \(p\)-base, d'inverse \(\widetilde C\) ; la construction est fonctorielle.

Connexions sur un module inversible (pages 173 à 175). Soit \(L\) inversible muni d'une connexion \(\Delta_0\) à courbure nulle et compatible aux puissances \(p\)-ièmes. Les connexions sur \(L\) s'écrivent \(\Delta = \Delta_0 + \omega\) ; elles sont à courbure nulle si et seulement si \(d\omega = 0\), et alors compatibles aux puissances \(p\)-ièmes si et seulement si \[ \widetilde C\omega = \tilde\omega \quad (\text{l'image de } \omega \text{ par le changement de base de Frobenius}). \] En coordonnées, avec une \(p\)-base \((x_i)\), \(D_i = \partial/\partial x_i\) et \(\omega = \sum c_i\,dx_i\), la formule de Jacobson donne \((\Delta^0_i + c_i)^p = c_i^p + D_i^{p-1}c_i\), et la condition est \(c_i^p + D_i^{p-1}c_i = 0\) ; or \(\widetilde C\omega = \sum -D_i^{p-1}c_i\,(d\tilde x_i \otimes 1)\) et \(\tilde\omega = \sum c_i^p\,(d\tilde x_i \otimes 1)\).⁶⁶

Comme une connexion à courbure nulle et compatible aux puissances \(p\)-ièmes équivaut à une donnée de descente le long de \(X \to X'\), on obtient :

Théorème. Une \(1\)-forme \(\omega\) est localement une différentielle logarithmique \(df/f\), \(f \in \mathcal{O}_X^*\), si et seulement si \(d\omega = 0\) et \(\widetilde C\omega = \tilde\omega\). Le noyau de \(f \mapsto df/f\) est \(\Lambda^*\), soit \(\mathcal{O}_X^{*p}\) si \(S\) est parfait.

Le cas lisse (page 176). Si \(X\) est lisse sur \(S\), \(F_{X/S}\) est fini localement libre, \(X\) a localement une \(p\)-base, et \(\widetilde C : F_{X/S*}(Z\Omega^*_{X/S}) \to \Omega^*_{X'/S}\).

Théorème 3. En degré maximum \(n\) (la dimension relative), \(\widetilde C : F_{X/S*}\Omega^n_{X/S} \to \Omega^n_{X'/S}\) est le morphisme trace (de Gysin) de \(F_{X/S}\) pour la dualité. De façon équivalente, pour un sous-schéma fini défini par \(f_1, \ldots, f_n\), \[ \operatorname{res}\Bigl(\frac{\widetilde C\omega}{\tilde f_1 \cdots \tilde f_n}\Bigr) = \operatorname{res}\Bigl(\frac{\omega}{f_1^p \cdots f_n^p}\Bigr), \] et, en dimension \(1\) sur une base parfaite, \((\operatorname{res} C\omega)^p = \operatorname{res}\omega\).⁶⁷

Remarques. ① L'image inverse \(F^* : \Omega^i_{X'} \to F_*\Omega^i_X\) est nulle pour \(i \geq 1\), de sorte que les morphismes de type « trace » qu'on définirait par dualité en degré \(i \neq n\) ne sont pas l'opération de Cartier sur les formes fermées. ② On peut définir \(C\) sur le module dualisant relatif sans hypothèse de lissité, lorsque sa formation commute au changement de base par \(F_S\) (par exemple \(S\) parfait).

Dualité (pages 179 et 180). Pour \(X\) propre et lisse sur \(S\) parfait et \(E\) localement libre, le transposé (dualité de Serre) du morphisme « puissance \(p\)-ième » \(\mathbf{R}f_*(\widetilde E) \to \mathbf{R}f_*(E^{(p)})\) est induit par la trace \(F_{X/S*}(\check E^{(p)} \otimes \Omega^n) \to \check{\widetilde E} \otimes \Omega^n_{X'}\), c'est-à-dire par l'opération de Cartier. Pour \(E = \mathcal{O}_X\) : le Frobenius \(R^if_*(\mathcal{O}_X)^{(p)} \to R^if_*\mathcal{O}_X\) est le transposé de \(\widetilde C\) sur \(R^{n-i}f_*\Omega^n_{X/S}\).⁶⁸ Pour \(i = 1\), \(R^1f_*\mathcal{O}_{X'} \to R^1f_*\mathcal{O}_X\) est l'application tangente de \(F^* : \mathrm{Pic}_{X'/S} \to \mathrm{Pic}_{X/S}\), et l'on « admet » que celle-ci est le Verschiebung \(V : \mathrm{Pic}^{(p/S)}_{X/S} \to \mathrm{Pic}_{X/S}\) (avec \(FV = VF = p\)).⁶⁹

181–186

⑦. Courbes : un accouplement remarquable (pages 181 à 186)

Supposons \(\Omega^1_{X/S}\) inversible, c'est-à-dire que \(X\) a localement une \(p\)-base à un élément sur \(S\), et \(Q = F_{X/S*}\mathcal{O}_X/\Lambda\), localement libre de rang \(p - 1\). On pose \[ \varphi(f,g) = \widetilde C(f\,dg) \in \Omega^1_{X'/S} \otimes \Lambda . \] Cette forme est \(\Lambda\)-bilinéaire, nulle si \(f\) ou \(g\) est dans \(\Lambda\), et antisymétrique (\(\varphi(f,g) + \varphi(g,f) = \widetilde C(d(fg)) = 0\)) : alternée si \(p \neq 2\), symétrique si \(p = 2\).

Proposition. L'accouplement induit \(Q \times Q \to \Omega^1_{X'/S} \otimes \Lambda\) est parfait. En effet, pour une \(p\)-base \(x\), la base \(x^i\) (\(1 \leq i \leq p-1\)) de \(Q\) donne \(\widetilde C(x^i\,dx^j) = \widetilde C(j\,x^{i+j-1}dx)\), égal à \(j\,d\tilde x\) si \(i + j = p\) et nul sinon.⁷⁰ La matrice est antidiagonale de coefficients \(1, 2, \ldots, p-1\), de déterminant \(\pm (p-1)! = \mp 1\) par le théorème de Wilson.

Corollaire. \(Q \simeq \check Q \otimes (\Omega^1_{X'/S} \otimes \Lambda)\), d'où \((\det Q)^{\otimes 2} \simeq (\Omega^1_{X'/S})^{\otimes(p-1)} \otimes \Lambda\).

Cas \(p = 2\) : \(\Omega^1_{X'/S} \otimes \Lambda\) est un carré, celui de \(\det Q\) — en particulier, sur un corps et pour \(X\) réduit, \(\Omega^1_{X/S}\) est lui-même un carré.⁷¹

Cas \(p \neq 2\) : on aimerait relever \((**)\) en un isomorphisme canonique \(\psi : \det Q \simeq (\Omega^1_{X'/S})^{\otimes\frac{p-1}{2}} \otimes \Lambda\), défini par \(\psi(\dot x \wedge \dot x^2 \wedge \cdots \wedge \dot x^{p-1}) = d\tilde x^{\otimes\frac{p-1}{2}}\), et il faut vérifier que ce choix est compatible à \((**)\) et indépendant de la \(p\)-base ; pour l'indépendance, il esquisse un argument de connexité des fibres du schéma des \(p\)-bases relatives.⁷²

Le diagramme autodual (page 185). Pour \(X \to S\) propre et lisse de dimension relative \(1\), \(H^1_{\mathrm{DR}}(X/S)\) porte deux filtrations : la filtration de Hodge (la colonne), \(0 \to f_*\Omega^1 \to H^1_{\mathrm{DR}} \to R^1f_*\mathcal{O}_X \to 0\), et une ligne \[ 0 \to R^1f_*(\mathcal{O}_X)^{(p)} \xrightarrow{\ \alpha\ } H^1_{\mathrm{DR}} \xrightarrow{\ \beta\ } f_*(\Omega^1_{X/S})^{(p)} \to 0 , \] \(\alpha\) déduit du Frobenius de \(H^1\), \(\beta\) son transposé, les flèches composées étant le Frobenius \(F\) de \(R^1f_*\mathcal{O}\) et l'opération de Cartier \(C\), transposées l'une de l'autre par la dualité de Poincaré.⁷³ On a toujours \(\operatorname{Ker}\alpha = (\operatorname{Im}\beta)^\perp\) et \(\operatorname{Im}\alpha = (\operatorname{Ker}\beta)^\perp\).⁷⁴ La page 186, scannée à l'envers et barrée, porte des diagrammes d'une autre nature (immersions et voisinages infinitésimaux) ; on ne la restitue pas.

188–192

XIV. Connexions et stratifications intégrables : problèmes divers (pages 187 à 197)

Le titre est celui de la couverture (page 187). Une marge note qu'« il serait plus naturel » de travailler avec les PD-connexions, « pareil dans le cas lisse ».

1) Connexions triviales. Un module à connexion \((E, \nabla)\) sur \(X/S\) est trivial s'il est isomorphe à \(f^*F\) avec sa connexion canonique ; si \(X \to S\) est lisse, surjectif, à fibres géométriquement connexes et \(S\) de caractéristique nulle, \(F \mapsto f^*F\) est pleinement fidèle. Il est intégrable s'il est trivial localement pour la topologie étale (« Zar.-intégrable » pour celle de Zariski).

2) Caractéristique \(p\). Si \(X/S\) a localement une \(p\)-base, sont équivalents : \(E\) est Zariski-intégrable ; \(E\) est intégrable ; \(E\) est à courbure et \(p\)-courbure nulles ; \(E\) provient d'un module sur \(X'\) (ou sur \((X', \Lambda)\)). Et le foncteur \(F \mapsto F^*_{X/S}F\) est une équivalence des modules quasi-cohérents sur \((X', \Lambda)\) vers les modules à connexion intégrable.⁷⁵

3) Stratifications et groupe fondamental. Un torseur sous un groupe étale \(G\) et une représentation de \(G\) produisent, par torsion, un module à stratification intégrable. Sur un corps \(k\), avec un point rationnel \(x\), la catégorie des modules à stratification intégrable « doit être équivalente » à celle des représentations de dimension finie d'un pro-groupe \(\underline{\Pi}_1(X,x)\) ; et sur une base générale, pour un ensemble \(\mathbb{L}\) de nombres premiers, à celle des représentations d'un \(\underline{\Pi}_1^{\mathbb{L}}(X,e)\) dans des modules cohérents.⁷⁶

4) Le rang un. Pour \(X\) de type fini sur un corps, géométriquement unibranche, un module inversible stratifié est intégrable si et seulement si une puissance \(L^{\otimes n}\), \(n\) premier à \(p\), est triviale comme module stratifié. En caractéristique nulle, les stratifications de \(\mathcal{O}_X\) sont les formes fermées \(\omega\) ; la triviale correspond aux différentielles logarithmiques ; l'intégrabilité, à ce qu'un multiple \(n\omega\) en soit une. Comme le groupe des différentielles logarithmiques est de type fini (\(\simeq \mathbb{Z}^r\), par le théorème des unités de Rosenlicht), il y a des connexions intégrables non triviales sur \(\mathcal{O}_X\), et leurs classes forment un groupe \(\simeq (\mathbb{Q}/\mathbb{Z})^r\) ; si \(\Gamma(X, \mathcal{O}_X^*)\) est réduit aux constantes, il n'y en a pas d'autre que la triviale.

193–197

Questions (pages 193 à 197)

Soit \(S\) intègre, de type fini et dominant sur \(\mathrm{Spec}\,\mathbb{Z}\), de point générique \(\eta\), \(X\) lisse de type fini sur \(S\), et \(E\) localement libre sur \(X\) avec une connexion à courbure nulle relative à \(S\). La connexion de \(E_\eta\) est dite intégrable si \(E_\eta\) devient localement trivial sur un revêtement fini étale de \(X_\eta\) — sur \(\mathbb{C}\), si sa monodromie est finie. Si elle l'est, il existe un voisinage \(U\) de \(\eta\) tel que, pour tout \(s \in U\), la \(p\)-courbure de \(E_s\) sur \(X_s/k(s)\) soit nulle (il suffit de le demander aux points fermés).

Question : « la réciproque est-elle vraie ? »⁷⁷

Le rang un se décompose en deux questions : a) si les connexions des \(E_s\) sont intégrables pour presque tout \(s\), l'image de \(E_\eta\) dans \(\mathrm{Pic}(X_\eta)\) est-elle de torsion ? b) si \(\omega\) est une \(1\)-forme fermée sur \(X/S\) dont les réductions \(\omega_s\) sont localement des différentielles logarithmiques — par Cartier, \(\widetilde C\omega_s = \tilde\omega_s\) —, un multiple entier de \(\omega_\eta\) est-il une différentielle logarithmique ?⁷⁸

Il les généralise aux torseurs sous un schéma en groupes \(G\) (pages 195 à 197 ; la page 196 précède la page 195 dans l'ordre de la rédaction). Pour un schéma abélien, avec l'extension vectorielle universelle \(E\) du dual : c) une section \(\varphi\) de \(E\) telle que \(\varphi(s) \in pE_s\) pour tout point fermé \(s\) est-elle d'ordre fini ? d) pour un schéma en groupes de type fini et une section \(\omega\) qui tombe, en chaque point fermé, dans un sous-groupe connexe d'un type donné (unipotent, affine, de rang unipotent nul), en est-il de même au point générique ? Les cas « affine » et « unipotent » seraient triviaux, par le théorème de Chevalley. e) si une section \(\omega\) d'un schéma abélien se relève, en chaque point fermé, par le Verschiebung \(A_s^{(p)} \to A_s\), est-elle d'ordre fini ?⁷⁹

La page 197 se termine par « Fin 1ère partie ».

198–203

XV. Itérés de Cartier et valeurs propres de Frobenius (pages 198 à 203)

Sous les conditions où \(\widetilde C : f_*\Omega^1_{X/S} \to f_*\Omega^1_{X/S}{}^{(p)}\) est défini et \(\mathcal{O}_S\)-linéaire (par exemple \(f_*\Omega^1 = f_*Z^1\)), notons \(\underline{\omega} = f_*\Omega^1_{X/S}\) et formons \(F_*^{(\nu)} = \widetilde C^{(p^{\nu-1})} \cdots \widetilde C^{(p)}\widetilde C : \underline\omega \to \underline\omega^{(p^\nu)}\). Si \(\lambda \mapsto \lambda^{p^\nu}\) est l'identité sur \(\mathcal{O}_S\) (par exemple \(S\) sur \(\mathbb{F}_{p^\nu}\)), c'est un endomorphisme \(\mathcal{O}_S\)-linéaire de \(\underline\omega\), et pour une forme logarithmique (\(\widetilde C\omega = \omega^{(p)}\)) on a \(F_*^{(\nu)}\omega = \omega\). En dimension relative \(1\), \(F_*^{(\nu)}\) est la trace du Frobenius itéré \(F^\nu_X\), qui est alors un \(S\)-endomorphisme de \(X\) ; c'est le transposé de l'action de \(F^\nu_X\) sur la cohomologie.

Sur \(S = \mathrm{Spec}\,\mathbb{F}_{p^\nu}\), \(X\) propre, l'opération induite sur \(H^1_{\mathrm{DR}}/\underline\omega \simeq R^1f_*\mathcal{O}\) est nulle, et il en conclut que les valeurs propres non nulles de \(F_*^{(\nu)}\) sur \(\underline\omega\) sont, modulo \(p\), celles des valeurs propres de Frobenius (\(\ell\)-adiques ou cristallines) qui sont des unités \(p\)-adiques — « (Katz) ». D'où :

Énoncé (page 203). Il existe \(\omega \neq 0\) avec \(\widetilde C\omega = \tilde\omega\) si et seulement si une valeur propre de Frobenius est congrue à \(1\) modulo \(p\) ; la dimension de l'espace des formes logarithmiques est le nombre de ces valeurs propres, et c'est aussi \(\dim_{\mathbb{F}_p} {}_p\mathbf{A}(k)\), \(\mathbf{A}\) la jacobienne.⁸⁰ « Fin de parenthèse ».

205–212

XVI. Foncteurs de Picard relatifs avec connexion (pages 204 à 212)

Le titre est celui de la chemise (page 204). Soit \(f : X \to S\) et \(f^{\mathrm{fl}}\) le morphisme des sites fppf. On définit, comme faisceaux associés :

1. ①\(P^c_{X/S}\) : les modules inversibles munis d'une connexion relative. On a la suite exacte \[ 0 \to f_*\Omega^1_{X/S}/d\log f_*\mathcal{O}_X^* \to P^c_{X/S} \to \underline{\mathrm{Pic}}_{X/S} \to R^1f_*\Omega^1_{X/S} , \] la dernière flèche étant la classe d'Atiyah. Si \(f\) est propre et \(\underline{\mathrm{Pic}}^0_{X/S} = B\) un schéma abélien, tout morphisme de \(B\) vers \(R^1f_*\Omega^1\) est nul, d'où \(0 \to f_*\Omega^1_{X/S} \to (P^c)^0 \to B \to 0\) ; pour une courbe propre et lisse, ou un torseur sous un schéma abélien, c'est l'extension vectorielle universelle de \(B\). ⁸¹
2. ②\(P^{ci}\) : les connexions à courbure nulle ; \(0 \to P^{ci} \to P^c \to f_*Z^2_{X/S}\), et dans le cas lisse \(0 \to f_*Z^1/d\log \to P^{ci} \to \underline{\mathrm{Pic}} \to \mathbf{R}^2f_*(\Omega^{\geq 1}_{X/S})\). Si \(f_*\Omega^1 = f_*Z^1\) (toutes les formes globales sont fermées), \((P^c)^0 = (P^{ci})^0\).
3. ③Si \(p\cdot 1_S = 0 \) et \(X/S\) a localement une \(p\)-base, \(P^{cip} \subset P^{ci}\) : les connexions de \(p\)-courbure nulle. On a \(0 \to P^{cip} \to P^{ci} \xrightarrow{K} f_*(\Omega^1)^{\otimes p}\), \(K\) la \(p\)-courbure, et pour la connexion \(d + \omega\) sur \(\mathcal{O}\), \[ K_0(\omega) = \omega^{\otimes p} - F^*_{X/S}(\widetilde C\omega) \qquad (d\omega = 0), \] additive, somme d'une partie \(p\)-linéaire et d'une partie linéaire. Par la descente de Cartier, \(P^{cip}\) est le faisceau associé à \(S' \mapsto \mathrm{Pic}((X_{S'})^{(p)})\) ; si \(X\) est lisse, \(P^{cip} \simeq \underline{\mathrm{Pic}}_{X'/S} \simeq \underline{\mathrm{Pic}}^{(p)}_{X/S}\), et \(P^{cip} \to \underline{\mathrm{Pic}}\) est le Verschiebung. D'où \[ \operatorname{Ker}(V : \underline{\mathrm{Pic}}^{(p)}_{X/S} \to \underline{\mathrm{Pic}}_{X/S}) \simeq \{\omega : d\omega = 0,\ C\omega = \tilde\omega\}/d\log f_*\mathcal{O}^* . \]
4. ④Si \(p\) est seulement nilpotent sur \(S\), \(P^{cin}\) : les connexions à courbure nulle nilpotentes ; sur les bases réduites ce sont les mêmes que \(P^{cip}\), et \(P^{cin}\) apparaît comme le complété formel de \(P^{cip} \simeq \underline{\mathrm{Pic}}^{(p)}\) dans \(P^{ci}\).

Question (page 208) : pour un module \(E\) à connexion à courbure nulle en caractéristique \(p\), peut-on définir un tenseur de \(p\)-courbure \(K \in \Gamma(X, \underline{\mathrm{End}}(E) \otimes (\Omega^1)^{\otimes p})\) ?⁸²

Pour un schéma abélien \(B\), l'extension \(P^{cip,0}\) de \(B\) par \(\alpha_B = \operatorname{Ker}(V_B)\) serait l'extension universelle de cette nature, d'où se déduirait l'extension vectorielle universelle par « enveloppe vectorielle ».⁸³

214–217

XVII. \(c^1(L)\) et connexions (pages 213 à 217)

Le titre est celui de la chemise (page 213), lecture incertaine du mot « connexions ». Pour \(X/S\) lisse, soit \(\Omega^{\geq 1}_{X/S}\) le complexe de De Rham tronqué. La classe de \(L\) dans \(\mathbb{H}^2(X, \Omega^{\geq 1}_{X/S})\), image de \(L\) par \(d\log : \mathcal{O}^* \to \Omega^{\geq 1}[1]\), est l'obstruction à l'existence d'une connexion intégrable sur \(L\) ; par la suite spectrale elle se décompose en ⓐ la classe de Hodge \(c^1_{\mathrm{Hdg}}(L) \in H^1(X, \Omega^1)\), et ⓑ une seconde obstruction dans \(Z^2/\mathrm{Im}\). En caractéristique \(p\), l'obstruction est tuée par \(p\) : elle s'annule sur \(p\,\mathrm{Pic}(X)\) et, « à vérifier », sur \(\mathrm{Pic}^\tau\) si \(X\) est propre.

Quand elle est nulle, les connexions intégrables diffèrent par des formes fermées \(\omega\), et la \(p\)-courbure \(v\) — le « défaut de compatibilité aux puissances \(p\)-ièmes », section de \(\Omega^{1\,(p)}\) — devient \[ v' = v + \bigl(\omega^{\otimes p} - F^*_{X/S}\widetilde C\omega\bigr) , \] d'où une nouvelle obstruction dans \(\Gamma(\Omega^{1\otimes p})/\mathrm{Im} \bigl(Z^1 \to \Gamma(\Omega^{1\otimes p})\bigr)\), l'application \(\omega \mapsto \omega^{\otimes p} - F^*\widetilde C\omega\) n'étant « pas linéaire ! ». Sous des hypothèses de platitude (« OK si \(X\) de dimension relative 1 »), le foncteur des modules inversibles à connexion intégrable serait représentable par un fibré vectoriel au-dessus de \(\underline{\mathrm{Pic}}\) — la page s'arrête sur cette phrase. Les pages 215 et 217, barrées, portent sur des catégories de couples \(S \leftarrow U_0 \hookrightarrow U\) (voisinages infinitésimaux) et leur ind-représentabilité ; elles sont à peine lisibles.

219–220

XVIII. Connexion canonique de Gauss–Manin : un plan (pages 218 à 220)

La chemise (page 218) porte « Connexion canonique de Gauss-Manin ». Un plan : 1) compatibilités pour \(S\), \(T\), \(E\) variables ; 2) complexes de De Rham tronqués, filtration à deux crans, suites exactes de Hodge–De Rham, et « transversalités de Griffiths et de Deligne » ; 3) variantes stratifiées en caractéristique nulle, et variantes cristallines en caractéristique quelconque. La page 220 commence une construction : pour un groupe \(G\) de faisceau de sections \(\underline\Gamma(G)\) et d'algèbre de Lie \(\mathfrak{g}\), l'application \(g \mapsto g^{-1}dg\) (forme de Maurer–Cartan) vers les \(1\)-formes fermées à coefficients dans \(\mathfrak{g}\), composée avec la factorisation \(\tilde D\) d'un opérateur différentiel \(D : \mathfrak{g} \to \mathcal{M}\) par \(d^0\) (« spécial à car. 0 ? ») ; la page s'arrête là.

221–229

XIX. Intégrales de formes fermées, et équations de Picard–Fuchs (pages 221 à 229)

Soit \(f : X \to S\) une submersion holomorphe, \(\omega\) une \(1\)-forme relative fermée, \(a\), \(b\) deux sections holomorphes avec \(a(s)\), \(b(s)\) dans la même composante de \(X_s\). Localement sur \(S\), des arcs \(C_s\) de \(a(s)\) à \(b(s)\) dépendant continûment de \(s\) définissent une fonction holomorphe \(I(s) = \int_{a(s)}^{b(s)} \omega_s\), déterminée modulo les périodes \(\int_{Z_s}\omega_s\) sur les \(1\)-cycles. Une famille \(\mu = (D_i, \omega_i)\) d'opérateurs différentiels \(D_i\) sur \(S\) et de formes fermées définit une équation de Picard–Fuchs si \(\sum_i D_i\int_{Z_s}\omega_{i,s} = 0\) pour toute famille continue de cycles ; alors \[ \mu(a,b) = \sum_i D_{i,s} \int_{a(s)}^{b(s)} \omega_{i,s} \] est une fonction holomorphe bien définie, et \(\mu(a,b) + \mu(b,c) = \mu(a,c)\).

Critère. Soit \(\mathcal{F} = f_*(Z\Omega^1_{X/S})/d f_*\mathcal{O}_X\), muni de sa connexion intégrable naturelle (par la formule de Cartan ; « attention, en réalité il faut que \(X \to S\) soit steinien »). Il suffit que \(\sum_i D_i\,\omega'_i = 0\) dans \(\mathcal{F}\), \(\omega'_i\) la classe de \(\omega_i\). En effet, si \(X/S\) porte localement une connexion intégrable (un feuilletage transverse aux fibres), on relève les \(D_i\) en opérateurs \(\bar D_i\) commutant à \(d_{X/S}\), et la condition dit que \(\varpi = \sum \bar D_i\omega_i = d\varphi\) ; la formule de dérivation sous le signe somme \[ D_s\int_{a(s)}^{b(s)}\omega_s = \int_{a(s)}^{b(s)} (\bar D\omega)_s , \] valable quand \(a\), \(b\) sont des sections horizontales, et qui se vérifie sur de petits chemins où \(\omega = d\varphi\), donne alors \(\sum_i D_i \int_{Z_s}\omega_i = \int_{Z_s}d\varphi = 0\). Réciproquement, admettant la formule \(D_s\int_{Z_s}\omega' = \int_{Z_s}(\bar D\omega')_s\) (15), le théorème de De Rham sur les fibres montre que la condition est nécessaire.⁸⁴

Calcul algébrique de \(\mu(a,b)\). Localement, si \(a\) et \(b\) sont horizontales, \(\mu(a,b) = \varphi(b(s)) - \varphi(a(s))\), \(\varphi\) défini par \(\sum\bar D_i\omega_i = d\varphi\) ; en général, avec les sections horizontales \(a_0\), \(b_0\) qui coïncident avec \(a\), \(b\) en \(s_0\), \(\mu(a,b) = \mu(a_0,b_0) + \mu(b_0,b) - \mu(a_0,a)\), et il reste un calcul purement local, que la page commence puis barre. C'est l'avatar analytique de la « section de Manin » de la station XI.

230–232

XX. Opérateurs différentiels à coefficients constants (pages 230 à 232)

Pour \(S \to T\) : 1) si \(F \xrightarrow{D} G \xrightarrow{D'} H\) est une suite d'opérateurs différentiels d'ordre \(1\) « formellement exacte », les suites \(\mathrm{Diff}^i(P,F) \to \mathrm{Diff}^{i+1}(P,G) \to \mathrm{Diff}^{i+2}(P,H)\) (composition à gauche) et \(\mathrm{Diff}^i(H,P) \to \mathrm{Diff}^{i+1}(G,P) \to \mathrm{Diff}^{i+2}(F,P)\) (à droite) sont exactes. 2) Si \(E\) est localement libre stratifié et que le lemme de Poincaré formel vaut pour \(E \otimes \Omega^\bullet_{S/T}\) (par exemple \(S\) lisse sur \(T\) de caractéristique nulle), la suite \[ 0 \leftarrow \mathrm{Hom}(E,P) \leftarrow \mathrm{Diff}^i(E,P) \xleftarrow{\,\circ d^0_E\,} \mathrm{Diff}^{i-1}(E \otimes \Omega^1, P) \xleftarrow{\,\circ d^1_E\,} \cdots \] est exacte. Le noyau \(\mathrm{Diff}^i_+(E,P)\) de la première flèche — les opérateurs « à coefficients constants » relativement à la stratification — est donc \(\mathrm{Diff}^{i-1}(E\otimes\Omega^1,P)/\mathrm{Im}\,\mathrm{Diff}^{i-2}(E \otimes\Omega^2,P)\), ce qui précise le lemme de la page 159, et il s'envoie (injectivement ?) dans les opérateurs différentiels de \(\operatorname{Ker} d^1_E\) dans \(P\) ; le module universel est \(P^i(E)/\mathcal{O}_S\cdot\delta_i(E)\). 3) Pour un sous-module \(N \subset E\) et \(M = E/N\), les opérateurs sur \(M\) qui proviennent d'opérateurs à coefficients constants sur \(E\) sont représentés par \(P^i(M)/\mathcal{O}_S\cdot\rho_i(E)\), \(\rho_i : E \to P^i(E) \to P^i(M)\) ; ils sont déterminés par \(\rho_\infty : E \to P^\infty(M)\), soumis à des conditions d'intégrabilité. C'est le cadre des opérateurs de Picard–Fuchs de la station XI, avec \(M = E''\).

233–235

XXI. Construction de la connexion canonique en cohomologie de De Rham (pages 233 à 235)

Les pages sont numérotées par lui « 1 » et « 2 », sous ce titre encadré.

Soit \(T_0 \hookrightarrow T\) une immersion de carré nul, d'idéal \(I\), \(X_0\) lisse sur \(T_0\), et \(X'\), \(X''\) deux relèvements lisses de \(X_0\) sur \(T\) (localement isomorphes). Le faisceau \(\mathcal{P}\) des germes de \(T\)-isomorphismes \(X' \to X''\) induisant l'identité sur \(X_0\) est un torseur sous le faisceau abélien \(\mathcal{G} = \underline{\mathrm{Hom}}(\Omega^1_{X_0/T_0}, f_0^*I) = T_{X_0/T_0} \otimes f_0^*I\). Chaque \(p \in \mathcal{P}\) induit un isomorphisme de complexes \(u(p)\) entre \(\Omega^\bullet_{X'/T}\) et \(\Omega^\bullet_{X''/T}\), et chaque \(g \in \mathcal{G}\), champ de vecteurs à valeurs dans \(I\), donne par produit intérieur un opérateur \(k(g)\) de degré \(-1\), avec la formule d'homotopie de Cartan \[ u(p + g) - u(p) = d\,k(g) + k(g)\,d . \] ⁸⁵

La construction générale (pages 234 et 235). Sur un espace annelé, soient \(K'\), \(K''\) deux complexes, \(\mathcal{G}\) un faisceau abélien, \(\mathcal{P}\) un \(\mathcal{G}\)-torseur, \(u : \mathcal{P} \to \underline{\mathrm{Hom}}^0(K', K'')\) et \(k : \mathcal{G} \to \underline{\mathrm{Hom}}^{-1}(K',K'')\) avec \(u(p+g) - u(p) = dk(g) + k(g)d\). Soit \(\overline{\mathcal{G}}\) l'extension \(0 \to \mathcal{G} \to \overline{\mathcal{G}} \xrightarrow{j} \mathbb{Z} \to 0\) telle que \(j^{-1}(1) = \mathcal{P}\), et \(\mathcal{L}\) le complexe \(\mathcal{G} \to \overline{\mathcal{G}}\) (en degrés \(-1\) et \(0\)), quasi-isomorphe à \(\mathbb{Z}\). Les données \(k\) et \(u\) définissent un morphisme de complexes \(\varphi : \mathcal{L} \to \mathcal{H} = \underline{\mathrm{Hom}}^\bullet(K',K'')\), avec \(\varphi^{-1} = k\) et \(\varphi^0|_{\mathcal{P}} = u\) — un morphisme de \(\overline{\mathcal{G}}\) dans un faisceau étant la donnée d'un morphisme sur \(\mathcal{G}\) et d'une application sur \(\mathcal{P}\) compatibles. D'où, dans la catégorie dérivée, \[ \mathbb{Z} \simeq \mathcal{L} \longrightarrow \mathcal{H} \longrightarrow \mathbf{R}\underline{\mathrm{Hom}}(K',K''), \] puis \(\mathbf{R}\Gamma_X(\mathcal{O}_X) \to \mathbf{R}\underline{\mathrm{Hom}}(K',K'')\), et en degré \(0\) un élément de \(\mathrm{Hom}_{D}(K', K'')\) : un morphisme canonique \(K' \to K''\) dans la catégorie dérivée, sans choix de \(p\).⁸⁶

Appliqué à \(K' = \Omega^\bullet_{X'/T}\), \(K'' = \Omega^\bullet_{X''/T}\), c'est l'isomorphisme canonique entre les cohomologies de De Rham de deux relèvements — le fait que la cohomologie de De Rham est un cristal —, dont la connexion de Gauss–Manin se déduit en l'appliquant aux deux relèvements \(\mathrm{pr}_1^*\), \(\mathrm{pr}_2^*\) au voisinage infinitésimal de la diagonale. Cette dernière étape n'est pas dans le dossier : la page 235 s'arrête sur « un homom. de la cat. dérivée ».⁸⁷