Fonds Grothendieck, cote n° 91, pages 81–100

Parties constructibles, applications constructibles, ensembles élémentaires

le feuillet commence au milieu d'un argument sur les parties constructibles, venu d'avant le lot Z constructible dans X par définition donc et loc. localement constructible dans X.

~~Z loc. constructible~~ \begin{cases} Z \text{ quasi-compact et} \\ \forall x \in Z,\ \exists \text{ un voisinage } U_x \text{ de } x \text{ dans } X, \end{cases} tel que Z \cap U_x constr. dans U_x [donc \forall\, U' \subset U, U' \ni x, = \text{\uncertain{ouvert}}].

Réciproque évidente [car Z est constructible dans X, si pour U = X].

Démonstration. Z est recouvert par finis des U_x, soit U_i. Les U_i \cap Z sont constructibles dans U_i, donc dans X, et Z = \bigcup Z_i est constr.

Corollaire. Supposons Z loc. , tel que , Z est constructible. et x \in Z. Il existe un voisinage U de x dans X tel que Z \cap U soit ~~fermé~~ fermé et constructible dans U, [i.e. U - Z \cap U quasi-compact (pour U quasi-compact, et ) l'intersection de quasi-compacts, dans ouverts ].

Exemple. Si X est un préschéma quasi-séparé quasi-compact (p. ex. un schéma quasi-compact, ou un schéma affine) alors : Z constructible \Longleftrightarrow Z quasi-compact, et Z loc. fermé dans X, donc \forall x \in Z un voisinage affine U tel que Z \cap U soit défini par un nombre fini d'équations.

en haut à gauche, un croquis : une grande région marquée « qu. cpt », contenant deux ouverts qui se recoupent, notés U_f et U_g, avec leur intersection notée U_f \cap U_g ; un petit cercle au-dessus, et un cercle barré plus à droite ; un \overline{X} isolé.

[Supposons que tout pt de X a un syst. fond. de voisinages ~~ouverts~~ouverts, quasi-compacts dans X. [Alors ouvert de X est quasi-compact]] passage encadré, en partie barré ; lecture très incertaine

Z \subset U (schéma vertical) Soit T une partie fermée irréductible de X. Conditions équivalentes :

(i)Il existe une partie Z, partout dense dans T, telle que Z soit constructible dans X ; (ii)Il existe un ouvert quasi-compact U de X, tel que U \cap T \neq \emptyset, et U - U \cap T

le feuillet, déchiré en bas, s'arrête sur cette ligne

Préschémas atomiques : (sommes d'un nombre fini de spectres de corps) [sous-catégorie pleine de (Sch),]

\begin{tikzcd} \text{Préschémas atomiques} \arrow[d, "{\text{foncteur pleinement fidèle}}"] \\ \text{Foncteurs covariants}\ (\mathrm{Corps}) \to (\mathrm{Ens}) \end{tikzcd}

i.e. contravariants (\text{Sch ponctuels})^{\circ} \to (\mathrm{Ens})« Sch ponctuels » est une lecture incertaine.

\begin{tikzcd} \text{Préschémas atomiques sur } k\ [\text{i.e. sur } \operatorname{Spec}(k)] \arrow[d, "{\text{foncteur pleinement fidèle}}"] \\ \text{Foncteurs covariants}\ (\text{Extensions de } k) \to (\mathrm{Ens}) \end{tikzcd}

dans ces deux diagrammes, la lecture des étiquettes « foncteur pleinement fidèle » est incertaine, ainsi que « covariants » et « Préschémas » ; après la première étiquette, un mot illisible

~~(\mathrm{At})~~/\operatorname{Spec} k

Foncteurs '' (\text{Sch ponctuels}/\operatorname{Spec} k)^{\circ} \to (\mathrm{Ens}).

Soit X un préschéma, il définit un préschéma atomique |X| = \coprod_{x \in X} \operatorname{Spec} k(x), donc ~~(x_1, \dots, x_n)~~ un foncteur contravariant défini par X \colon (\mathrm{Sch})^{\circ} \to (\mathrm{Ens}) admissible par changement .

Bien sûr, on obtient un foncteur X \mapsto |X|, de la catégorie des préschémas vers : il n'est pas pleinement fidèle.

Soient X, Y deux préschémas, une application constructible« -plication » est souligné, et « pseudo-morphisme » plus haut sur la ligne : lecture incertaine du rapport entre les deux mots ou pseudo-morphisme de X dans Y, est un morphisme f \colon |X| \to |Y| qui a la propriété suivante : Pour toute partie ~~quasi-compacte~~ ouverte affine U de X, il existe une partition de U en des U_i loc. fermés (constructibles), telle que f \mid |U_i| soit un morphisme U_{i,\mathrm{red}} \to Y.

Transitivité. [N.B. il suffit de le vérifier pour un ouvert affine, puis quasi-compact U^{\alpha} recouvrant X, et pour \forall\, U^{\alpha} trouver un recouvrement de U^{\alpha} par des parties loc. fermées constructibles U^{\alpha}_i, telles que f \mid |U^{\alpha}_i| soit morphique… début de page biffé par deux grands traits en croix ; le crochet n'est pas refermé

~~Propositions~~

On appelle ensemble ~~algébrique~~ scindé élémentaire un préschéma quasi-séparé quasi-compact (quasi-noethérien quasi-compact), , considéré comme objet d'une catégorie dont les morphismes sont les applications constructibles.

\begin{tikzcd}[column sep=small, nodes={font=\scriptsize}] (\mathrm{Sch}) \arrow[r] & (\mathrm{Sch}) \arrow[r, "\mathrm{red}"', "\text{fidèle}"] & (\text{ens. } \mathrm{Sch}) \arrow[r, "\text{fidèle}"'] & (\text{Sch. atom.}) \arrow[r, "\text{pl.\ fid.}"'] & {\underline{\operatorname{Hom}}((\mathrm{Corps}), \mathrm{Ens})} \end{tikzcd}

dans le premier terme, un mot biffé illisible après « Sch » ; les étiquettes « fidèle » et « pl. fid. » sont des lectures incertaines ; sous la chaîne, des arcs et des étiquettes « fidèle » répétées, en partie biffées par un zigzag : on ne transcrit que la ligne principale

N.B. Dans les foncteurs ci-dessus, commutent aux \varprojlim finies

Les définitions donnent aux notions de les ensembles élémentaires, qui se définissent par deux d'ensembles élémentaires (i.e. isom. constructibles). Notons comme

\begin{array}{ll} X \to Y & \\ X_i & Y_i \\ X'_j & \\ X_i \cap X'_j \to Y_{ij} & \end{array}

[Lemme. Soit X préschéma quasi-compact quasi-séparé. (Z_i) une famille disjointe de parties constructibles recouvrant X. Alors il existe une partition de X en des parties loc. fermées constructibles affines, plus fine que une partition de X par des ens. constructibles.]

Proposition. Supposons X quasi-séparé et quasi-compact, f \colon |X| \to |Y| donnée. Conditions équivalentes :

(i)f est constructible ; (ii)\exists une partition finie de X en des parties loc. fermées constructibles affines Z_i, telles que f \mid |Z_i| soit morphique ; (iii)~~Il existe une suite croissante d'ouverts quasi-compacts U_i couvrant X, telle que U_{i+1} - U_i soit morphique~~

la condition (iii) est biffée d'un zigzag ; la page s'arrête là

Proposition. Soit f \colon X \to Y ~~un morphisme~~ une application constructible d'ensembles élémentaires. Pour toute partie constructible E de Y, f^{-1}(E) est constructible.

X \to Y, U, X_ipetit schéma griffonné en marge, en partie biffé

En effet, soit X = \coprod_i X_i, les X_i loc. fermés et constructibles dans X, tels que f_i = f \mid |X_i| soit un morphisme. Donc f^{-1}(E) = \bigcup_i f_i^{-1}(E), et il suffit de prouver que chaque f_i^{-1}(E) = f^{-1}(E) \cap X_i est constructible dans X_i , ce qui résulte de , appliqué aux morphismes f_i X_i \to X dans fini et des des préschémas, il suffit, par une structure induite constructible sur X_i ] un des morphismes (de préschémas) ; comme il est connu . toujours l'argument

Corollaire. Isomorphisme de la notion de partie constructible d'un ensemble élémentaire.

Proposition. Soit f \colon X \to Y une application constructible d'~~un ens. élémentaire~~ préschémas quasi-compacts quasi-séparés d'un ensemble élémentaire ; il faut et il suffit qu'il existe pour un ensemble fini I, deux familles (X_i)_{i \in I} de X, (Y_i)_{i \in I} de Y de parties loc. fermées constructibles [formant des partitions], telles que f induise un isomorphisme de X_i sur Y_i.

\begin{tikzcd} X \arrow[r, bend left=20, "f"] & Y \arrow[l, bend left=20, "g"] \end{tikzcd}

C'est évident. Soit g l'inverse de f, , la nécessité dans les de f, X_\alpha, Y_\beta des partitions de X, Y de conditions constructibles de f et g. Evidemment dès lors les hypothèses donc . la suite se lit au haut de la p. 92

suite de la démonstration de la proposition de la p. 90 Soit X_{\alpha\beta} = X_{\alpha} \cap f^{-1}(Y_{\beta}), Y_{\beta\alpha} = Y_{\beta} \cap g^{-1}(X_{\alpha}), alors X_{\alpha\beta} et Y_{\beta\alpha} sont des ensembles constructibles, qui se correspondent par f, g. ~~Pour X_{\alpha\beta} est~~

X \leftarrow Y, Y_{\beta}

Comme fini \bigcup_{\lambda} X_{\alpha\beta\lambda}, où les X_{\alpha\beta\lambda} sont des parties constructibles de X_{\alpha\beta} X_{\alpha\beta}]. Alors g^{-1}(X_{\alpha\beta\lambda}) = g_{\beta}^{-1}(X_{\alpha\beta\lambda}) est un ensemble de Y_{\beta} constructible. passage enfermé dans un trait sinueux qui semble le biffer ; lecture très incertaine

D'ailleurs X_{\alpha\beta} = f_{\alpha}^{-1}(Y_{\beta}) est un ~~ensemble élémentaire de~~ loc. fermé dans X_{\alpha}, donc dans X.

et f_{\alpha\beta} \colon X_{\alpha\beta} \to Y ~~est~~ un morphisme de schémas (car induit par f_{\alpha} \colon X_{\alpha} \to Y]. De même par les Y_{\alpha\beta} sont constructibles, et loc. fermés, et g_{\beta} \colon Y_{\alpha\beta} \to X est un morphisme de schémas.

Enfin les morphismes X_{\alpha\beta} \to Y_{\alpha\beta} et fixés par les X_{\alpha\beta} \to Y_{\alpha\beta} [car il les fixe ainsi], et de même un morphisme Y_{\alpha\beta} \to X_{\alpha\beta}. Ils sont inverses l'un de l'autre.

Cor. 0. Si X noethérien, alors Y l'est.

Cor. 1. Tout un ensemble élémentaire est isomorphe à un |X|, avec X affine… les Cor. 0 et Cor. 1 sont reliés par un grand trait courbe à la note de la marge inférieure

Cor. 2. Tout morphisme d'ensembles élémentaires est isom. à un morphisme d'ensembles élémentaires ( comme application constructible).

~~Dimension d'un ensemble élémentaire, et . Un morphisme f \colon X \to Y de préschémas quasi-compacts et quasi-séparés d'un ensemble élémentaire est de type fini…~~ ces lignes sont biffées de traits obliques

Notion d'ens. élémentaire noethérien ; [définition : X noethérien] Cor. 3 : note écrite en oblique dans la marge inférieure gauche, partiellement perdue (trous dans le papier)

~~[quasi-fini]~~

Morphismes de type fini (d'ensembles élémentaires) : tel qu'il existe une partition de X en ensembles loc. fermés constructibles affines X_i, telles que les f \mid X_i soient des morphismes de type fini ~~[quasi-finis]~~. et c'est indépendant du choix des préschémas définis ?

Un tel morphisme d'ens. élémentaires est isom. à un morphisme de type fini de schémas affines, considéré comme morphisme d'ens. élémentaires). Transitivité.

Ens. élémentaire noethérien, de type fini sur un autre. Tous sont sur \mathbb{Z} !

Ens. élémentaires définis par une partie constructible d'un ens. élémentaire, immersion canonique, de X en somme X = E \amalg (X - E), factorisabilité par une partie constructible, évidemment !

Produits fibrés [et \varinjlim finies] dans la catégorie des ens. élémentaires. Existent, et le ~~foncteur~~ ~~préschémas~~ (préschémas quasi-compacts quasi-séparés) \to (ens. élém.) commute aux produits fibrés. Si X et Y sont sur Z, si X', Y' sont des parties constructibles de X, Y, alors X' \times_Z Y' = \mathrm{pr}_1^{-1}(X') \cap \mathrm{pr}_2^{-1}(Y') \ \dots

(X_i)_{i \in I} système projectif filtrant de préschémas ~~quasi-compacts~~ quasi-compacts quasi-séparés, les f_{ij} étant affines. Je suppose finies.

Donc X = \varprojlim X_i existe.

A-t-on ~~élémentaires~~ \operatorname{Cons} X \xrightarrow{\ \sim\ } \varprojlim \operatorname{Cons}(X_i) \quad ???

Soit T un préschéma quasi-compact et quasi-séparé, alors : \operatorname{Hom}(\operatorname{Cons} T, \operatorname{Cons} X) = \operatorname{App\,cons}(T, X) = \varinjlim_{\mathfrak{P}} \operatorname{Hom}\Bigl(\text{\struck{$\Pi$}}\ \coprod_{\alpha \in \operatorname{Ind}(\mathfrak{P})} T_{\alpha}^{\mathfrak{P}}, X\Bigr) \mathfrak{P} une partition finie de T en ens. loc. fermés constructibles = \varinjlim_{\mathfrak{P}} \varprojlim_{i} \prod_{\alpha \in \operatorname{Ind}(\mathfrak{P})} \operatorname{Hom}(T_{\alpha}^{\mathfrak{P}}, X_i) \operatorname{Hom}\bigl(\operatorname{Cons}(T), \text{\struck{$\operatorname{Cons} X$}}\ \varprojlim \operatorname{Cons}(X_i)\bigr) = \varprojlim_{i} \varinjlim_{\mathfrak{P}} \prod_{\alpha \in \operatorname{Ind}(\mathfrak{P})} \operatorname{Hom}(T_{\alpha}^{\mathfrak{P}}, X_i) le \mathfrak{P} est un P gothique ; l'indice \operatorname{Ind}(\mathfrak{P}) est une lecture incertaine

Cependant, considérons un autre système X_j (Y_j)_{j \in J}, d'où Y = \varprojlim Y_j. Quelles sont les ~~morphismes~~ appl. constructibles de X dans Y ? Il faut \operatorname{Hom}(\operatorname{Cons} X, \operatorname{Cons} Y) = \varinjlim_{\mathfrak{P}} \prod_{\alpha} \operatorname{Hom}(\text{\struck{\ill{}}}\, X_{\alpha}^{\mathfrak{P}}, Y) \mathfrak{P} partitions finies de X en parties loc. fermées constructibles X_{\alpha}^{\mathfrak{P}}. la page s'arrête sur cette formule, sans conclure

suite de la formule qui clôt la p. 96 = \varinjlim_{\mathfrak{P}} \varprojlim_{j} \text{\struck{$\operatorname{Hom}$}}\ \prod_{\alpha} \operatorname{Hom}(X_{\alpha}^{\mathfrak{P}}, Y_j)

Ensembles quasi-élémentaires. Les ens. quasi-élémentaires de type fini sur un ens. quasi-élémentaire noethérien forment une catégorie géométrique (?)

~~Pseudo-schémas sur k~~

\begin{tikzcd}[column sep=large] (\text{Ens. élémentaires sur } k) \arrow[r, "\text{pl.\ fidèle}"'] & {\underline{\operatorname{Hom}}\bigl((\text{Ens. élém.}/k)^{\circ}, (\mathrm{Ens})\bigr)} \end{tikzcd}

lecture incertaine de « Ens. élémentaires » et de « pl. fidèle » dans ce diagramme ; le ^{\circ} n'est pas sûr

\begin{tikzcd} & X & \\ S \arrow[ur, dashed] & S' \arrow[l] \arrow[u] & S'' \arrow[l, bend left=12] \arrow[l, bend right=12] \end{tikzcd}

~~application surjective~~ morphisme fid. plat au-dessous du diagramme de descente, « application surjective » est biffé et « morphisme fid. plat » écrit à côté, souligné ; la flèche S' \to S est l'épimorphisme en question

Tout épimorphisme est un morphisme de descente

1)Existence de \varprojlim finies 2)Existence du quotient par un groupoïde d'équivalence [dans ce pour groupoïdes d'équivalence…] 3)Tout épimorphisme est effectif 4)Tout épim. est universel 5)~~Tout morphisme se factorise par un produit [épim., ]~~

les points 1)–2) et 3)–4) sont groupés par des crochets, l'ensemble par une accolade ; le point 5) est biffé

\begin{tikzcd}[column sep=small] X \times_Y X \arrow[r, bend left=12] \arrow[r, bend right=12] & X \arrow[r] \arrow[dr] & Y \\ & & X/\mathrm{Rel} \end{tikzcd}

« X/\mathrm{Rel} » est une lecture incertaine ; ce petit diagramme est entouré d'une boucle, reliée par un trait à la marge droite de la liste ; devant lui, une flèche biffée

1')Existence de \varinjlim finies 2')Existence du conoyau par un couple d'équivalence 3')Tout monom. est effectif 4')Changement de base dans un monomorphisme

Axiome géométrique X \times \coprod_i Y_i \simeq \coprod_i X \times Y_i [ : dire que le commute aux dans les \varinjlim finies ???]

R \to S la page s'achève sur ce « R \to S » isolé ; la suite, si elle existe, est hors du lot