Cote n° 91, pages 81–100

Cote n° 91 · batch 5 · pages 81–100 · Transcription · Autour de Néron / Greenberg-Néron. Foncteurs Hom (méthodes non-projectives) : notes manuscrites (s.d.), lettre (1967).
Datation de l’inventaire : [à partir de 1964-vers 1970]
Édition de démonstration

Parties constructibles, applications constructibles, ensembles élémentaires

81le feuillet commence au milieu d'un argument sur les parties constructibles, venu d'avant le lot $Z$ constructible dans $X$ par définition ⌜donc⌝ et loc. […] localement constructible dans $X$.

$Z$ loc. constructible \[ \begin{cases} Z \text{ quasi-compact et} \\ \forall x \in Z,\ \exists \text{ un voisinage } U_x \text{ de } x \text{ dans } X, \end{cases} \] tel que $Z \cap U_x$ constr. dans $U_x$ [donc $\forall\, U' \subset U$, $U' \ni x$, […] $= \text{\uncertain{ouvert}}$].

Réciproque évidente [car $Z$ est constructible dans $X$, si […] pour […] $U = X$].

Démonstration. $Z$ est recouvert par […] […] finis des $U_x$, soit $U_i$. Les $U_i \cap Z$ sont constructibles dans $U_i$, donc dans $X$, et $Z = \bigcup Z_i$ est constr.

Corollaire. Supposons $Z$ loc. […], […] […] tel que […], $Z$ est constructible. […] […] […] et […] $x \in Z$. Il existe un voisinage […] $U$ de $x$ dans $X$ tel que $Z \cap U$ soit fermé ⌜fermé⌝ et constructible dans $U$, [i.e. $U - Z \cap U$ quasi-compact ⌜(pour $U$ quasi-compact, et […])⌝ […] l'intersection de […] quasi-compacts, […] […] dans […] ouverts […] […] ].

Exemple. Si $X$ est un préschéma quasi-séparé quasi-compact (p. ex. un schéma quasi-compact, ou un schéma affine) […] alors : $Z$ constructible $\Longleftrightarrow$ $Z$ quasi-compact, et $Z$ loc. fermé dans $X$, donc $\forall x \in Z$ un voisinage […] affine $U$ tel que $Z \cap U$ soit défini par un nombre fini d'équations.

83en haut à gauche, un croquis : une grande région marquée « qu. cpt », contenant deux ouverts qui se recoupent, notés $U_f$ et $U_g$, avec leur intersection notée $U_f \cap U_g$ ; un petit cercle au-dessus, et un cercle barré plus à droite ; un $\overline{X}$ isolé.

[Supposons que tout pt de $X$ a un syst. fond. de voisinages ouverts⌜ouverts⌝, quasi-compacts dans $X$. [Alors […] […] […] ouvert de $X$ est quasi-compact]] passage encadré, en partie barré ; lecture très incertaine

$Z \subset U$ (schéma vertical) Soit $T$ une partie fermée irréductible de $X$. Conditions équivalentes :

(i)Il existe une partie $Z$, partout dense dans $T$, telle que $Z$ soit constructible dans $X$ ;
(ii)Il existe un ouvert ⌜quasi-compact⌝ $U$ de $X$, tel que $U \cap T \neq \emptyset$, et $U - U \cap T$ […]

le feuillet, déchiré en bas, s'arrête sur cette ligne

86Préschémas atomiques : (sommes d'un nombre fini de spectres de corps) [sous-catégorie ⌜pleine de⌝ (Sch),]

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\begin{tikzcd}
\text{Préschémas atomiques} \arrow[d, "{\text{foncteur pleinement fidèle}}"] \\
\text{Foncteurs covariants}\ (\mathrm{Corps}) \to (\mathrm{Ens})
\end{tikzcd}

i.e. contravariants $(\text{Sch ponctuels})^{\circ} \to (\mathrm{Ens})$« Sch ponctuels » est une lecture incertaine.

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\begin{tikzcd}
\text{Préschémas atomiques sur } k\ [\text{i.e. sur } \operatorname{Spec}(k)] \arrow[d, "{\text{foncteur pleinement fidèle}}"] \\
\text{Foncteurs covariants}\ (\text{Extensions de } k) \to (\mathrm{Ens})
\end{tikzcd}

dans ces deux diagrammes, la lecture des étiquettes « foncteur pleinement fidèle » est incertaine, ainsi que « covariants » et « Préschémas » ; après la première étiquette, un mot illisible

$(\mathrm{At})$$/\operatorname{Spec} k$

Foncteurs '' $(\text{Sch ponctuels}/\operatorname{Spec} k)^{\circ} \to (\mathrm{Ens})$.

Soit $X$ un préschéma, il définit un préschéma atomique $|X| = \coprod_{x \in X} \operatorname{Spec} k(x)$, donc $(x_1, \dots, x_n)$ […] un foncteur contravariant défini par $X \colon (\mathrm{Sch})^{\circ} \to (\mathrm{Ens})$ […] ⌜admissible⌝ par changement […].

Bien sûr, on obtient un foncteur $X \mapsto |X|$, de la catégorie des préschémas vers […] […] : il n'est pas pleinement fidèle.

Soient $X$, $Y$ deux préschémas, une application constructible« -plication » est souligné, et « pseudo-morphisme » plus haut sur la ligne : lecture incertaine du rapport entre les deux mots ou pseudo-morphisme de $X$ dans $Y$, est un morphisme $f \colon |X| \to |Y|$ qui a la propriété […] suivante : Pour toute partie quasi-compacte ⌜ouverte affine⌝ $U$ de $X$, il existe une partition de $U$ en des $U_i$ ⌜loc. fermés⌝ (constructibles), telle que $f \mid |U_i|$ soit un morphisme $U_{i,\mathrm{red}} \to Y$.

88Transitivité. [N.B. il suffit de le vérifier pour un ouvert affine, puis quasi-compact ⌜$U^{\alpha}$⌝ recouvrant $X$, et pour $\forall\, U^{\alpha}$ trouver un recouvrement de $U^{\alpha}$ par des parties ⌜loc. fermées⌝ constructibles $U^{\alpha}_i$, telles que $f \mid |U^{\alpha}_i|$ soit […] morphique… début de page biffé par deux grands traits en croix ; le crochet n'est pas refermé

Propositions

On appelle ensemble algébrique ⌜scindé⌝ élémentaire un préschéma quasi-séparé quasi-compact (quasi-noethérien quasi-compact), […], considéré comme objet d'une catégorie dont les morphismes sont les applications constructibles.

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\begin{tikzcd}[column sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
(\mathrm{Sch}) \arrow[r] & (\mathrm{Sch}) \arrow[r, "\mathrm{red}"', "\text{fidèle}"] & (\text{ens. } \mathrm{Sch}) \arrow[r, "\text{fidèle}"'] & (\text{Sch. atom.}) \arrow[r, "\text{pl.\ fid.}"'] & {\underline{\operatorname{Hom}}((\mathrm{Corps}), \mathrm{Ens})}
\end{tikzcd}

dans le premier terme, un mot biffé illisible après « Sch » ; les étiquettes « fidèle » et « pl. fid. » sont des lectures incertaines ; sous la chaîne, des arcs et des étiquettes « fidèle » répétées, en partie biffées par un zigzag : on ne transcrit que la ligne principale

N.B. Dans les foncteurs ci-dessus, […] commutent aux $\varprojlim$ finies

Les définitions donnent aux notions de les ensembles élémentaires, qui se définissent par deux d'ensembles élémentaires (i.e. isom. constructibles). Notons comme […] […]

\[ \begin{array}{ll} X \to Y & \\ X_i & Y_i \\ X'_j & \\ X_i \cap X'_j \to Y_{ij} & \end{array} \]

[Lemme. Soit $X$ préschéma quasi-compact quasi-séparé. ($Z_i$) une famille disjointe de parties constructibles recouvrant $X$. Alors il existe une partition de $X$ en des parties loc. fermées constructibles affines, plus fine que une partition de $X$ par des ens. constructibles.]

Proposition. Supposons $X$ quasi-séparé et quasi-compact, $f \colon |X| \to |Y|$ donnée. Conditions équivalentes :

(i)$f$ est constructible ;
(ii)$\exists$ une partition ⌜finie⌝ de $X$ en des parties loc. fermées constructibles ⌜affines⌝ $Z_i$, telles que $f \mid |Z_i|$ soit morphique ;
(iii)Il existe une suite croissante d'ouverts quasi-compacts $U_i$ couvrant $X$, telle que $U_{i+1} - U_i$ […] soit morphique

la condition (iii) est biffée d'un zigzag ; la page s'arrête là

90Proposition. Soit $f \colon X \to Y$ un morphisme une application constructible d'ensembles élémentaires. Pour toute partie constructible $E$ de $Y$, $f^{-1}(E)$ est constructible.

$X \to Y$, $U$, $X_i$petit schéma griffonné en marge, en partie biffé

En effet, soit $X = \coprod_i X_i$, les $X_i$ loc. fermés et constructibles dans $X$, tels que $f_i = f \mid |X_i|$ soit un morphisme. Donc $f^{-1}(E) = \bigcup_i f_i^{-1}(E)$, et il suffit de prouver que chaque $f_i^{-1}(E) = f^{-1}(E) \cap X_i$ est constructible dans $X_i$ […], ce qui résulte de […], appliqué aux morphismes ⌜$f_i$⌝ $X_i \to X$ dans fini et des […] des préschémas, il suffit, par une structure induite constructible sur $X_i$ […]] […] […] […] […] un des morphismes ⌜(de préschémas)⌝ ; comme il est connu […] […] […]. toujours l'argument

Corollaire. Isomorphisme de la notion de partie constructible d'un ensemble élémentaire.

Proposition. Soit $f \colon X \to Y$ une application constructible d'un ens. élémentaire ⌜préschémas quasi-compacts quasi-séparés⌝ d'un ensemble élémentaire ; il faut et il suffit qu'il existe pour un ensemble fini $I$, deux familles $(X_i)_{i \in I}$ de $X$, $(Y_i)_{i \in I}$ de $Y$ de parties loc. fermées constructibles [formant des partitions], telles que $f$ induise un isomorphisme de $X_i$ sur $Y_i$.

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\begin{tikzcd}
X \arrow[r, bend left=20, "f"] & Y \arrow[l, bend left=20, "g"]
\end{tikzcd}

C'est évident. Soit $g$ l'inverse de $f$, […] […], […] la nécessité dans les […] de $f$, $X_\alpha$, $Y_\beta$ des partitions ⌜de $X$, $Y$⌝ […] de conditions constructibles de $f$ et $g$. Evidemment dès lors les hypothèses donc […] […]. la suite se lit au haut de la p. 92

92suite de la démonstration de la proposition de la p. 90 Soit $X_{\alpha\beta} = X_{\alpha} \cap f^{-1}(Y_{\beta})$, $Y_{\beta\alpha} = Y_{\beta} \cap g^{-1}(X_{\alpha})$, alors $X_{\alpha\beta}$ et $Y_{\beta\alpha}$ sont des ensembles constructibles, qui se correspondent par $f$, $g$. Pour ⌜[…]⌝ $X_{\alpha\beta}$ est […]

$X \leftarrow Y$, $Y_{\beta}$

Comme […] fini $\bigcup_{\lambda} X_{\alpha\beta\lambda}$, où les $X_{\alpha\beta\lambda}$ sont des parties […] constructibles de ⌜[…] $X_{\alpha\beta}$⌝ $X_{\alpha\beta}$]. Alors $g^{-1}(X_{\alpha\beta\lambda}) = g_{\beta}^{-1}(X_{\alpha\beta\lambda})$ est un ensemble […] […] de $Y_{\beta}$ ⌜constructible⌝. passage enfermé dans un trait sinueux qui semble le biffer ; lecture très incertaine

D'ailleurs $X_{\alpha\beta} = f_{\alpha}^{-1}(Y_{\beta})$ est un ensemble élémentaire de loc. fermé dans $X_{\alpha}$, donc dans $X$.

et $f_{\alpha\beta} \colon X_{\alpha\beta} \to Y$ est un morphisme ⌜de schémas⌝ (car induit par $f_{\alpha} \colon X_{\alpha} \to Y$]. […] […] De même par les $Y_{\alpha\beta}$ sont constructibles, et loc. fermés, et ⌜$g_{\beta} \colon Y_{\alpha\beta} \to X$ est un morphisme de schémas.⌝

Enfin les morphismes $X_{\alpha\beta} \to Y_{\alpha\beta}$ et […] fixés par les […] $X_{\alpha\beta} \to Y_{\alpha\beta}$ [car il les fixe ainsi], et de même un morphisme $Y_{\alpha\beta} \to X_{\alpha\beta}$. Ils sont inverses l'un de l'autre.

Cor. 0. Si $X$ noethérien, alors […] $Y$ l'est.

Cor. 1. Tout un ensemble élémentaire est isomorphe à […] un $|X|$, avec $X$ affine… les Cor. 0 et Cor. 1 sont reliés par un grand trait courbe à la note de la marge inférieure

Cor. 2. Tout morphisme d'ensembles élémentaires est isom. à un morphisme d'ensembles élémentaires […] ([…] comme application constructible).

Dimension d'un ensemble élémentaire, […] et […]. Un morphisme $f \colon X \to Y$ de préschémas quasi-compacts et quasi-séparés d'un ensemble élémentaire est de type fini… ces lignes sont biffées de traits obliques

Notion d'ens. élémentaire noethérien ; [définition : $X$ noethérien] […] Cor. 3 : […] […] note écrite en oblique dans la marge inférieure gauche, partiellement perdue (trous dans le papier)

94[quasi-fini]

Morphismes de type fini (d'ensembles élémentaires) : tel qu'il existe une partition de $X$ en ensembles loc. fermés constructibles affines $X_i$, telles que les $f \mid X_i$ soient des morphismes de type fini [quasi-finis]. et c'est indépendant du choix des préschémas définis ?

Un tel morphisme d'ens. élémentaires est isom. à un morphisme de type fini de schémas affines, considéré comme morphisme d'ens. élémentaires). Transitivité.

Ens. élémentaire noethérien, de type fini sur un autre. Tous sont sur $\mathbb{Z}$ !

Ens. élémentaires définis par une partie constructible d'un ens. élémentaire, […] immersion canonique, […] de $X$ en somme $X = E \amalg (X - E)$, […] factorisabilité par une partie constructible, évidemment !

Produits fibrés [et $\varinjlim$ finies] dans la catégorie des ens. élémentaires. Existent, et le foncteur préschémas (préschémas quasi-compacts quasi-séparés) $\to$ (ens. élém.) commute aux produits fibrés. Si $X$ et $Y$ sont sur $Z$, si $X'$, $Y'$ sont des parties constructibles de $X$, $Y$, alors \[ X' \times_Z Y' = \mathrm{pr}_1^{-1}(X') \cap \mathrm{pr}_2^{-1}(Y') \ \dots \]

96$(X_i)_{i \in I}$ système projectif filtrant de préschémas quasi-compacts quasi-compacts quasi-séparés, les $f_{ij}$ étant affines. Je suppose […] […] finies.

Donc $X = \varprojlim X_i$ existe.

A-t-on élémentaires \[ \operatorname{Cons} X \xrightarrow{\ \sim\ } \varprojlim \operatorname{Cons}(X_i) \quad ??? \]

Soit $T$ un préschéma quasi-compact et quasi-séparé, alors […] […] : \[ \operatorname{Hom}(\operatorname{Cons} T, \operatorname{Cons} X) = \operatorname{App\,cons}(T, X) = \varinjlim_{\mathfrak{P}} \operatorname{Hom}\Bigl(\text{\struck{$\Pi$}}\ \coprod_{\alpha \in \operatorname{Ind}(\mathfrak{P})} T_{\alpha}^{\mathfrak{P}}, X\Bigr) \] $\mathfrak{P}$ une partition finie de $T$ en ens. loc. fermés constructibles \[ = \varinjlim_{\mathfrak{P}} \varprojlim_{i} \prod_{\alpha \in \operatorname{Ind}(\mathfrak{P})} \operatorname{Hom}(T_{\alpha}^{\mathfrak{P}}, X_i) \] \[ \operatorname{Hom}\bigl(\operatorname{Cons}(T), \text{\struck{$\operatorname{Cons} X$}}\ \varprojlim \operatorname{Cons}(X_i)\bigr) = \varprojlim_{i} \varinjlim_{\mathfrak{P}} \prod_{\alpha \in \operatorname{Ind}(\mathfrak{P})} \operatorname{Hom}(T_{\alpha}^{\mathfrak{P}}, X_i) \] le $\mathfrak{P}$ est un P gothique ; l'indice $\operatorname{Ind}(\mathfrak{P})$ est une lecture incertaine

Cependant, considérons un autre système […] $X_j$ […] $(Y_j)_{j \in J}$, d'où $Y = \varprojlim Y_j$. Quelles sont les morphismes appl. constructibles de $X$ dans $Y$ ? Il faut […] ⌜[…]⌝ \[ \operatorname{Hom}(\operatorname{Cons} X, \operatorname{Cons} Y) = \varinjlim_{\mathfrak{P}} \prod_{\alpha} \operatorname{Hom}(\text{\struck{\ill{}}}\, X_{\alpha}^{\mathfrak{P}}, Y) \] $\mathfrak{P}$ partitions finies de $X$ en parties loc. fermées constructibles $X_{\alpha}^{\mathfrak{P}}$. la page s'arrête sur cette formule, sans conclure

98suite de la formule qui clôt la p. 96 \[ = \varinjlim_{\mathfrak{P}} \varprojlim_{j} \text{\struck{$\operatorname{Hom}$}}\ \prod_{\alpha} \operatorname{Hom}(X_{\alpha}^{\mathfrak{P}}, Y_j) \]

Ensembles quasi-élémentaires. Les ens. quasi-élémentaires de type fini sur un […] ens. quasi-élémentaire noethérien forment une catégorie géométrique (?)

100Pseudo-schémas sur $k$

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\begin{tikzcd}[column sep=large]
(\text{Ens. élémentaires sur } k) \arrow[r, "\text{pl.\ fidèle}"'] & {\underline{\operatorname{Hom}}\bigl((\text{Ens. élém.}/k)^{\circ}, (\mathrm{Ens})\bigr)}
\end{tikzcd}

lecture incertaine de « Ens. élémentaires » et de « pl. fidèle » dans ce diagramme ; le $^{\circ}$ n'est pas sûr

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\begin{tikzcd}
& X & \\
S \arrow[ur, dashed] & S' \arrow[l] \arrow[u] & S'' \arrow[l, bend left=12] \arrow[l, bend right=12]
\end{tikzcd}

application surjective morphisme fid. plat au-dessous du diagramme de descente, « application surjective » est biffé et « morphisme fid. plat » écrit à côté, souligné ; la flèche $S' \to S$ est l'épimorphisme en question

Tout épimorphisme est un morphisme de descente

1)Existence de $\varprojlim$ finies
2)Existence du quotient par un groupoïde d'équivalence [dans ce […] pour groupoïdes d'équivalence…]
3)Tout épimorphisme est effectif
4)Tout épim. est universel
5)Tout morphisme se factorise par un produit […] [épim., […]]

les points 1)–2) et 3)–4) sont groupés par des crochets, l'ensemble par une accolade ; le point 5) est biffé

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\begin{tikzcd}[column sep=small]
X \times_Y X \arrow[r, bend left=12] \arrow[r, bend right=12] & X \arrow[r] \arrow[dr] & Y \\
& & X/\mathrm{Rel}
\end{tikzcd}

« $X/\mathrm{Rel}$ » est une lecture incertaine ; ce petit diagramme est entouré d'une boucle, reliée par un trait à la marge droite de la liste ; devant lui, une flèche biffée

1')Existence de $\varinjlim$ finies
2')Existence du conoyau par un couple d'équivalence
3')Tout monom. est effectif
4')Changement de base dans un monomorphisme

Axiome géométrique \[ X \times \coprod_i Y_i \simeq \coprod_i X \times Y_i \] [[…] : dire que le […] commute aux […] dans les $\varinjlim$ finies ???]

\[ R \to S \] la page s'achève sur ce « $R \to S$ » isolé ; la suite, si elle existe, est hors du lot