la page continue une liste d'exemples commencée avant ce lot (exemples I et II, auxquels elle renvoie). Notation du lot : le foncteur que Grothendieck écrit d'un W barré et souligné est transcrit \mathbb{W} ; ses préschémas en lettres d'écriture \mathfrak{X}, \mathfrak{Y}, \mathfrak{U} ; l'adjoint qu'il note d'un exposant a est \mathbb{W}^{a}.
défini soit
local sur les faisceaux. Les données \mathbb{W}
ainsi un foncteur covariant sur les S-préschémas, et un
isomorphisme fonctoriel |\mathbb{W}(T)| \simeq |T| (
sous-jacents). \operatorname{Hom}_{S}(T,\Lambda) =
une ligne biffée et une grande boucle de rature couvrent ici deux lignes, où se lisent seulement « \operatorname{Hom}(T,\Lambda)= » et « ait un ».
\Lambda, puis suffisant .
Exemple III Soit S' = \operatorname{Spec}(\mathcal{A}), où
\mathcal{A} est un faisceau loc. libre d'algèbres sur
\mathcal{O}_S. plus S' \to S
morphisme universel.
\Lambda = \struck{\ill{}} \mathbf{V}(\check{\mathcal{A}}). On est dans
rien de l'exemple I et de l'exemple II.
S' \to S
Exemple III' Comme dans l'exemple II, mais
\mathbb{W} \to S[t] d'anneaux, tel que pour tout
T/S, l'application correspondante
\mathcal{O}_{\mathbb{W}(T)} \to \mathcal{O}_T soit surjective, de noyau
nilpotent. Soit \mathfrak{X} un préschéma sur
\mathbb{W}(S). Considérons le foncteur contravariant
sur les S-préschémas T
(*) \qquad \operatorname{Hom}_{\mathbb{W}(S)}(\mathbb{W}(T), \mathfrak{X}) .
Cas particulier de l'exemple II :
foncteurs de Greenberg
On soit définie par u \mapsto \bigl(\mathbb{W}(T)
\xrightarrow{\mathbb{W}(u)} \mathbb{W}(X) \xrightarrow{\alpha}
\mathfrak{X}\bigr), soit bijective.
(*) T \to « foncteur local »,
il suffit de vérifier la , T
affine affine sur S,
bijectivité , p. ex.
Désignons par \mathbb{W}^{a} le foncteur adjoint de
\mathbb{W} (défini sur une sous-catégorie de la catégorie
des T-préschémas)
\operatorname{Hom}_{S^{a}}(T^{a}, \mathfrak{X}) \simeq
\operatorname{Hom}_{S}(T, \mathfrak{X})
la formule finale est en bas de page, coupée au bord ; ses indices et exposants (S^{a}, T^{a}) sont incertains.
(i) Si \mathbb{W}^{a}(\mathfrak{X}) et \mathbb{W}^{a}(\mathfrak{Y}) sont
définis, il en est de même de \mathbb{W}^{a}(\mathfrak{X}
\times_{\mathbb{W}(S)} \mathfrak{Y}), et on a
\mathbb{W}^{a}(\mathfrak{X} \times_{\mathbb{W}(S)} \mathfrak{Y}) \simeq
\mathbb{W}^{a}(\mathfrak{X}) \times_{S} \mathbb{W}^{a}(\mathfrak{Y})
et plus généralement pour la formule analogue pour les limites
projectives finies [donc (\alpha) l'objet final
(\beta) les produits fibrés, d'où comme cas particulier (\gamma) les
noyaux].
(ii)
\mathbb{W}^{a}(\mathfrak{X}) \times_{S} T \simeq
\mathbb{W}_{T}^{a}(\mathfrak{X} \times_{\mathbb{W}(S)} \mathbb{W}(T))
[l'existence du premier membre implique celle du second ; la
définition de \mathbb{W}_T est claire ]
De (i) résulte que le foncteur \mathbb{W}^{a} transforme un préschéma en
groupes, en anneaux etc. en un préschéma du même type.
Supposons que \mathbb{W}^{a}(\mathbb{W}(S)[t]) existe. C'est
alors, de façon naturelle, un préschéma en anneaux sur S, que nous
noterons \mathbb{W}, appelé préschéma d'anneaux
générateur du foncteur \mathbb{W}.
[Dans l'exemple II, c'est le schéma d'anneaux W de départ.
Dans le cas de l'exemple I,
Soit alors \mathfrak{X} sous-schéma fermé de
\mathbb{W}(S)[t_1, \ldots, t_r] défini par
feuille double, en deux colonnes ; la colonne de gauche d'abord.
Alors \mathbb{W}^{a}(\mathfrak{X}) existe, et comme
produit fibré. De façon précise, les F_j (1 \le j \le s)
(définissent des polynômes les t_i (1 \le i \le r), à
coefficients dans les \Gamma(\Lambda/S), d'où
Exemples
Soit \mathbb{W}'(T) \xrightarrow{\alpha(T)} \mathbb{W}(T) un morphisme
fonctoriel de préschémas, définissant en particulier
\mathbb{W}'(S) \to \mathbb{W}(S) .
Soit de plus \mathfrak{X} sur \mathbb{W}(S), posons
\mathfrak{X}' = \mathfrak{X} \times_{\mathbb{W}(S)} \mathbb{W}'(S) .
On a donc, pour tout T, une application
De cette façon, pour \mathbb{W} fixé, bifoncteur en \mathfrak{X}, \mathbb{W}',
covariant en \mathfrak{X}, contravariant en \mathbb{W}'.
(2) Critère d'existence : cas affine
Supposons que \mathbb{W} transforme schémas affines (sur affine
de S) en schémas affines. Donc, au-dessus d'un affine
de S, d'anneau A, \mathbb{W} est défini par un foncteur
covariant, noté aussi \mathbb{W}, transformant
B A-algèbres en anneaux \mathbb{W}(B). [localité caractère local
de foncteur, explicitation ]. Le
\mathbb{W}(B) = \operatorname{Hom}_{A\text{-}\mathrm{alg}}(\Lambda, B)
où \Lambda est l'algèbre affine l'anneau d'un schéma en
anneaux affine sur S, affine sur S.
Ici il suffit que \mathbb{W} transforme
affines spécial
[C'est le cas en particulier dans le cas de l'exemple I,
Proposition Sous ces conditions, si affine sur \mathbb{W}(S),
\mathbb{W}^{a}(\mathfrak{X}) existe et est un schéma affine sur
S.
Démonstration. Soit \mathfrak{X} on peut
supposer S affine. Soit \mathfrak{X} =
\operatorname{Spec}(\mathcal{C}) où \mathcal{C} est une algèbre de type
fini de présentation sur \mathbb{W}(A),
engendrée , il résulte des résultats
que \mathbb{W}^{a}(\mathfrak{X}) existe et est
sous-préschéma fermé de \mathbb{W}^{r} [défini
par des « équations polynomiales » à coeff. dans
\Gamma(\mathbb{W}/S)]. \mathbb{W}
affine, il en est de même de
Cor. Si
l'anneau de \mathbb{W}^{a}(\mathfrak{X}) est engendré par
générateurs sur celui de S.
Dans le cas général (S affine), on a \mathcal{C} =
\varinjlim \mathcal{C}_i, où les \mathcal{C}_i sont des
\mathbb{W}(A)-algèbres de type fini dans \mathcal{C}.
On a donc, pour T affine
\begin{aligned}
\operatorname{Hom}_{\mathbb{W}(S)}(\mathbb{W}(T), \mathfrak{X})
&= \operatorname{Hom}_{\mathbb{W}(A)\text{-}\mathrm{alg}}(\mathcal{C},
\mathbb{W}(B)) \\
&\simeq \varprojlim \operatorname{Hom}_{\mathbb{W}(A)\text{-}\mathrm{alg}}
(\mathcal{C}_i, \mathbb{W}(B)) \\
&\simeq \varprojlim \operatorname{Hom}_{A\text{-}\mathrm{alg}}
(\mathbb{W}^{a}(\mathcal{C}_i), B) \\
&\simeq \operatorname{Hom}_{A\text{-}\mathrm{alg}}
(\varinjlim \mathbb{W}^{a}(\mathcal{C}_i), B)
\end{aligned}
dans la première ligne, sous l'argument \mathcal{C}, un premier argument est biffé (\mathbb{W}(B) ?).
Soit donc
\varinjlim \mathbb{W}^{a}(\mathcal{C}_i) = \mathcal{D},
Corollaire Sous les conditions précédentes, si
\mathfrak{X} \xrightarrow{f} \mathfrak{Y} est un morphisme
Corollaire 2 Soit f\colon \mathfrak{X} \to \mathfrak{Y}
\mathbb{W}(S)-préschémas, que
\mathbb{W}^{a}(\mathfrak{X}) et \mathbb{W}^{a}(\mathfrak{Y})
existent, alors \mathbb{W}^{a}(f)\colon\mathbb{W}^{a}(\mathfrak{X}) \to \mathbb{W}^{a}(\mathfrak{Y})
ces deux énoncés sont barrés de longues diagonales ; un texte en marge gauche, à demi biffé, s'y rattache : « alors \mathbb{W}^{a}(f) morphisme affine de type fini \mathbb{W}(S) \mathbb{W}^{a}(\mathfrak{Y}) \to \mathbb{W}^{a}(\mathfrak{X}) compact ».
(3) Recollement
hyp. faites sur \mathbb{W}.
Lemme 1 Proposition Soit \mathfrak{X} un
\mathbb{W}(S)-préschéma, \mathfrak{X},
les lignes suivantes sont prises dans un encadré et barrées d'une longue diagonale ; on lit :
Supposons T sur S, et
\mathbb{W}(T) \xrightarrow{f} \mathfrak{X}, T = \bigcup T_i (les T_i
), f(\mathbb{W}(T_i)) \subset \mathfrak{X}_i. Si les
\mathbb{W}(S) morphisme
\mathbb{W}(T) réunion
\mathfrak{X}, les
\mathbb{W}^{a}(\mathfrak{U})
\mathbb{W}^{a}(\mathfrak{X}) = X existe, soit \mathfrak{U}' l'
\mathfrak{U}'
\mathbb{W}(X) \xrightarrow{\ \varphi\ } \mathfrak{X}
\qquad \mathfrak{U}' \subset \mathfrak{U} .
(\alpha) Supposons \mathbb{W} : qu'il existe
un \mathfrak{U} dans X tel que pour tout T/S,
morphisme \mathbb{W}(T) \xrightarrow{f} \mathbb{W}(X),
la condition f(\mathbb{W}(T)) \subset \mathfrak{U}' \Longleftrightarrow
f(\mathbb{W}(T)) \subset \mathbb{W}(\mathfrak{U}) [
\mathbb{W}(\mathfrak{U}) \subset \mathfrak{U}'] , \mathfrak{U}
\mathbb{W}(\mathfrak{U}) \to \mathfrak{U}
\mathbb{W}(\mathfrak{U}').
texte fortement abrégé ; seules les formules sont sûres.
C'est trivial. \Gamma' ou \Gamma''
une note encadrée, dans un cadre en escalier, renvoie à « \Gamma' ou \Gamma'' » ; elle est barrée.
Proposition
Lemme 2 Soient \mathfrak{X}/\mathbb{W}(S),
\mathfrak{X} : ouverts
\mathbb{W}^{a}(\mathfrak{X}_i) existe
\mathfrak{X}_i dans \mathfrak{X}
les \mathbb{W}^{a}(\mathfrak{X}_i)
existent et pour deux
\mathfrak{X}_i \cap \mathfrak{X}_j ouverts,
\mathfrak{X}_i , [donc
\mathbb{W}^{a}(\mathfrak{X}_i \cap \mathfrak{X}_j) existe]
et (et kif-kif pour les
\mathfrak{X}_i \cap \mathfrak{X}_j \cap \mathfrak{X}_k dans
\mathfrak{X}_i \cap \mathfrak{X}_j)
\mathbb{W}^{a}(\mathfrak{X}_i) ],
(\beta) Pour T/S, et
morphisme
\mathbb{W}(T) \xrightarrow{\ f\ } \mathfrak{X}, \qquad
T = \bigcup_{i} T_i \ \text{(les \ill{} de $T$) tel que}
T_i
f(\mathbb{W}(T_i)) \subset \mathfrak{X}_i .
conditions, \mathbb{W}^{a}(\mathfrak{X})
existe, réunion des \mathbb{W}^{a}(\mathfrak{X}_i),
qui identifiés : à
\mathbb{W}^{a}(\mathfrak{X}),
\mathbb{W}^{a}(\mathfrak{X}_i \cap \mathfrak{X}_j)
\gamma_{ij} noté bijection
X_{ij} de
\mathbb{W}^{a}(\mathfrak{X}_i) X_{ji}
\mathbb{W}^{a}(\mathfrak{X}_j) :
recollement \mathbb{W}^{a}(\mathfrak{X}_i) = X_i. Il
faut vérifier X_{ijk} \ill{} X_{ikj}
compatibilité ,
\begin{array}{ccccc}
X_{ijk} & \xrightarrow{\varphi_{ji} \mid} & X_{jik} & \xrightarrow{\varphi_{kj} \mid} & X_{kij} \\
\| & & \| & & \| \\
X_{ij} \cap X_{ik} & & X_{ji} \cap X_{jk} & & X_{ki} \cap X_{kj}
\end{array}
une flèche courbe, étiquetée \varphi_{ki} \mid, joint au-dessus le premier terme au dernier ; les indices sont lus au plus près.
Or trivial faire
X_{ijk} \simeq \mathbb{W}^{a}(\mathfrak{X}_i \cap \mathfrak{X}_j \cap
\mathfrak{X}_k)
et les applications \varphi (p. ex.)
s'identifient à l'identité.
On a ainsi défini X = \bigcup X_i, X_i \simeq
\mathbb{W}^{a}(\mathfrak{X}_i). On définit
\mathbb{W}(X) \to \mathfrak{X}
en notant que \mathbb{W}(X) = \bigcup_i \mathbb{W}(X_i)
morphismes
\mathbb{W}(X_i) \to \mathfrak{X}_i \subset \mathfrak{X}
par définition de X_i = \mathbb{W}^{a}(\mathfrak{X}_i). Le
recollement de ces morphismes immédiat.
Par suite, on a défini \mathbb{W}(X) \xrightarrow{\ \varphi\ }
\mathfrak{X}.
Je dis que c'est une solution du pb universel i.e. que
pour tout T,
\operatorname{Hom}_{S}(T, X) \to
\operatorname{Hom}_{\mathbb{W}(S)}(\mathbb{W}(T), \mathfrak{X})
est bijectif. Soit u\colon T \to X,
\mathbb{W}(T) \xrightarrow{\ \psi\ } \mathfrak{X}
je dis qu'il factorisation de façon unique en
\mathbb{W}(T) \xrightarrow{\mathbb{W}(u)} \mathbb{W}(X)
\xrightarrow{\ \varphi\ } \mathfrak{X}
En effet, factorisation,
T_i \mathbb{W}(T)
utilisons la condition (\beta) : T = \bigcup T_i,
\psi(\mathbb{W}(T_i)) \subset \mathfrak{X}_i. Donc
\psi \mid \mathbb{W}(T_i) est défini par u_i\colon T_i \to X_i, par
factorisation
\mathbb{W}(T_i) \xrightarrow{\mathbb{W}(u_i)} \mathbb{W}(X_i)
\xrightarrow{\ \varphi_i\ } X_i
la dernière flèche aboutit à « X_i » sur la page, où l'on attendrait \mathfrak{X}_i.
On vérifie que les morphismes T_i \to X_i \to X
\mathbb{W}(T_i) \to \mathbb{W}(X_i) \to \mathbb{W}(X)
coïncident dans les T_i \cap T_j, donc définissent T \to X
et satisfait conditions
voulues. D'ailleurs,
Lemme 3 La condition (\beta) est automatiquement vérifiée
(pour \mathfrak{X} = \bigcup \mathfrak{X}_i
), il un isomorphisme de foncteurs
|T| \xrightarrow{\ \sim\ } |\mathbb{W}(T)|
en particulier dans les cas II,
Lemme 4 La condition \alpha est automatiquement vérifiée dans
les cas I', II^{*}.
C'est trivial pour II^{*}. Pour I', prenons
voisinages , utilisons un morphisme fini est
fermé. ( hyp. noeth.)
Mauvaises I'.
Mettons ensemble les résultats obtenus
Théorème 1 Dans le cas d'un foncteur de Greenberg
spécial, ou d'un foncteur \mathbb{W}_{S'} défini par un
morphisme S' \to S fini, loc. libre, nature locale.
un petit schéma encadré, illisible
Théorème 1 bis Dans le cas , I',
Supposons dans le cas I'.
\varphi_{S'/S}(\ill{}) (i) Si \varphi_{S'/S}(\mathfrak{X})
existe, alors pour tout \mathfrak{U} de \mathfrak{X},
\varphi_{S'/S}(\mathfrak{U}) existe et \varphi_{S'/S}(\mathfrak{U}) \to
\varphi_{S'/S}(\mathfrak{X}) est une immersion ouverte.
(ii) Soit \mathfrak{X} = \bigcup \mathfrak{X}_i, où les \mathfrak{X}_i
sont tels que pour tout s \in S, tout
existe et est réunion des \varphi_{S'/S}(\mathfrak{X}_i).
Démonstration. Il suffit de prouver (ii), et pour cela de prouver
que l'hypothèse faite implique la condition de recollement. Or,
si u\colon T' \to \mathfrak{X} est donné, on introduit les
T'_i = u^{-1}(\mathfrak{X}_i), et les
T_i = \complement\, \varphi_{T}(T' - T'_i)
de T, prouver que
T = \bigcup T_i, et pour cela, il t \in T_i signifie que
la restriction à T'_t de \varphi applique T'_t dans
\mathfrak{X}_i : donc de (\mathfrak{X}_s/S'_s)_{/k(s)}
définie l'extension k(t) de k(s), doit être
contenue dans \mathfrak{X}_i. Or
si \mathfrak{X}_s des
\mathfrak{X}_i^{\alpha}
S'^{\alpha}_s,
\mathfrak{X}_i^{\alpha}
tout ce passage est encadré et barré de diagonales ; au-dessus, un ajout « en des \mathfrak{X}_i^{\alpha} », et à sa droite une insertion « s \in S(\ill{}) ».
diagramme, à gauche des lignes : \mathfrak{X} \leftarrow T'
au-dessus de S \leftarrow S' et T \leftarrow T' (flèche \varphi_T),
puis \mathfrak{X}_s, S'_s sur k(s) et T'_t sur k(t)
Corollaire 1 Si toute partie
réunion des \varphi_{S'/S}(\mathfrak{U}), où \mathfrak{U}
parcourt les ouverts affines de \mathfrak{X}.
Corollaire 2 Supposons de plus
\mathfrak{X} sur S' de type
tel que toute partie finie de \mathfrak{X} soit contenue
dans un ouvert affine, et fini sur S loc. noeth. Alors
\varphi_{S'/S}(\mathfrak{X}) est de type fini sur S.
La question étant locale sur S, on peut supposer
affine. Tout résulte
Lemme Soit S noethérien, \mathfrak{X} de type fini sur S,
les (\mathfrak{X}_i)_{i \in I}
telles supposons que partie
finie E de \mathfrak{X} telle que \operatorname{card}(E) \le n
contenue dans un
En effet, l'hyp. signifie que
\bigcup_{i \in I} \underbrace{\mathfrak{X}_i \times_S \cdots \times_S
\mathfrak{X}_i}_{n\ \text{facteurs}}
= \underbrace{\mathfrak{X} \times_S \cdots \times_S \mathfrak{X}}_{n\
\text{facteurs}} .
résulte fait que
\mathfrak{X} \times_S \cdots \times_S \mathfrak{X} est un espace
noethérien.
Le foncteur \mathbb{W}^{a} local en tous
les vérifie
la dernière ligne est séparée par un trait ; elle est écrite serrée au bord inférieur.
4) Applications aux immersions, etc.
Propositionlocalement de type fini d'immersion
\mathbb{W}^{a}(\mathfrak{Y})
existe \mathfrak{Y}_s
\mathbb{W}^{a}(\mathfrak{U}) \mathfrak{U}
contenue dans un affine de \mathfrak{Y}.
affine \mathfrak{Y}. Alors
\mathbb{W}^{a}(\mathfrak{X}) existe (existe et) et
\mathbb{W}^{a}(f) est une immersion fermée.
En effet, cas affine, où
.
Corollaire Sous les conditions précédentes sur \mathbb{W},
si \mathfrak{Y} est quasi-projectif sur S^{*}, et si
f\colon \mathfrak{X} \to \mathfrak{Y} est une immersion, alors
\mathbb{W}^{a}(f) est une immersion.
En effet, f se factorise en
\mathfrak{X} \xrightarrow{\ f'\ } \mathfrak{X}' \xrightarrow{\ f''\ }
\mathfrak{Y}
f' une immersion fermée et f'' immersion
ouverte. \mathfrak{X}'
quasi-projectif,
appliquer la prop. à f', et on applique
à f''.
Corollaire 2 Sous les conditions de la prop. sur
\mathbb{W}, \mathfrak{X}
\times_{\mathfrak{Y}} \mathfrak{X} toute partie finie de \mathfrak{X}
soit contenue dans un ouvert affine. Alors si f\colon \mathfrak{X} \to
\mathfrak{Y} est séparé, alors de \mathbb{W}^{a}(f)
[, supposons que \mathbb{W}^{a}(\mathfrak{Y}) existe dans
le cas I'].
On applique la prop. à : \mathfrak{X} \to \mathfrak{X}
\times_{\mathfrak{Y}} \mathfrak{X}.
Proposition \mathbb{W}, affine.
Dans le « Greenberg spécial »
remplacer
quasi-projectif
Proposition Comme dessus, pour un morphisme affine.
la page s'arrête sur cet énoncé ; le reste de la feuille est blanc.
Schémas localement compacts
titre écrit de sa main, au coin supérieur droit d'une feuille de couverture (p. 80, sans autre contenu), sous un premier titre biffé et illisible