Cote n° 91, pages 61–80

Cote n° 91 · batch 4 · pages 61–80 · Transcription · Autour de Néron / Greenberg-Néron. Foncteurs Hom (méthodes non-projectives) : notes manuscrites (s.d.), lettre (1967).
Datation de l’inventaire : [à partir de 1964-vers 1970]
Édition de démonstration

61la page continue une liste d'exemples commencée avant ce lot (exemples I et II, auxquels elle renvoie). Notation du lot : le foncteur que Grothendieck écrit d'un W barré et souligné est transcrit $\mathbb{W}$ ; ses préschémas en lettres d'écriture $\mathfrak{X}$, $\mathfrak{Y}$, $\mathfrak{U}$ ; l'adjoint qu'il note d'un exposant $a$ est $\mathbb{W}^{a}$.

[…] et que l'homomorphisme naturel $\Gamma(W_T/T) \to \Gamma(W_{T'}/T')$ pour $T' \to T$ défini soit local sur les […] faisceaux. Les données ⌜$\mathbb{W}$⌝ […] ainsi un foncteur covariant sur les $S$-préschémas, et un isomorphisme fonctoriel $|\mathbb{W}(T)| \simeq |T|$ ([…] sous-jacents). […] […] $\operatorname{Hom}_{S}(T,\Lambda) =$ […] une ligne biffée et une grande boucle de rature couvrent ici deux lignes, où se lisent seulement « $\operatorname{Hom}(T,\Lambda)=$ » et « […] ait un […] ».

$\Lambda$, puis […] […] suffisant […].

Exemple III Soit $S' = \operatorname{Spec}(\mathcal{A})$, où $\mathcal{A}$ est un faisceau loc. libre d'algèbres […] sur $\mathcal{O}_S$. […] plus […] $S' \to S$ […] morphisme universel. […] $\Lambda = \struck{\ill{}} \mathbf{V}(\check{\mathcal{A}})$. On est dans […] rien […] de l'exemple I et de l'exemple II. $S' \to S$

Exemple III$'$ Comme dans l'exemple II, mais […] […] […] $\mathbb{W} \to S[t]$ d'anneaux, tel que pour tout $T/S$, l'application correspondante $\mathcal{O}_{\mathbb{W}(T)} \to \mathcal{O}_T$ soit surjective, de noyau nilpotent. Soit $\mathfrak{X}$ un préschéma sur $\mathbb{W}(S)$. Considérons […] le foncteur contravariant sur les $S$-préschémas $T$ \[ (*) \qquad \operatorname{Hom}_{\mathbb{W}(S)}(\mathbb{W}(T), \mathfrak{X}) . \] Cas particulier de l'exemple II : foncteurs de Greenberg

62On […] le désignera […] s'il est représentable, i.e. […] […] le schéma sur $T$ […] foncteur adjoint (au sens de Kan) du foncteur $\mathbb{W}$ de $S$-préschémas en $T$-préschémas. Une solution des pbs universels posés par le foncteur $\mathbb{W}$ […] $T$ […] […] est un couple ($X$ $S$-préschéma) $\mathbb{W}(X) \xrightarrow{\alpha} \mathfrak{X}$ tel que pour tout $T$, l'application naturelle \[ \operatorname{Hom}_{S}(T, X) \xrightarrow{\ \sim\ } \operatorname{Hom}_{\mathbb{W}(S)}(\mathbb{W}(T), \mathfrak{X}) \] soit […] définie par $u \mapsto \bigl(\mathbb{W}(T) \xrightarrow{\mathbb{W}(u)} \mathbb{W}(X) \xrightarrow{\alpha} \mathfrak{X}\bigr)$, soit bijective.

[…] (*) […] $T \to$ […] « foncteur local », il suffit de vérifier la […] […] […], $T$ affine […] affine sur $S$, bijectivité […], p. ex.

Désignons par $\mathbb{W}^{a}$ le foncteur adjoint de $\mathbb{W}$ (défini sur une […] […] sous-catégorie de la catégorie des $T$-préschémas) \[ \operatorname{Hom}_{S^{a}}(T^{a}, \mathfrak{X}) \simeq \operatorname{Hom}_{S}(T, \mathfrak{X}) \] la formule finale est en bas de page, coupée au bord ; ses indices et exposants ($S^{a}$, $T^{a}$) sont incertains.

63(i) Si $\mathbb{W}^{a}(\mathfrak{X})$ et $\mathbb{W}^{a}(\mathfrak{Y})$ sont définis, il en est de même de $\mathbb{W}^{a}(\mathfrak{X} \times_{\mathbb{W}(S)} \mathfrak{Y})$, et on a \[ \mathbb{W}^{a}(\mathfrak{X} \times_{\mathbb{W}(S)} \mathfrak{Y}) \simeq \mathbb{W}^{a}(\mathfrak{X}) \times_{S} \mathbb{W}^{a}(\mathfrak{Y}) \] et […] plus généralement pour la formule analogue pour les limites projectives finies [donc ($\alpha$) l'objet final ($\beta$) les produits fibrés, d'où comme cas particulier ($\gamma$) les noyaux].

(ii) \[ \mathbb{W}^{a}(\mathfrak{X}) \times_{S} T \simeq \mathbb{W}_{T}^{a}(\mathfrak{X} \times_{\mathbb{W}(S)} \mathbb{W}(T)) \] [l'existence du premier membre implique celle du second ; la définition de $\mathbb{W}_T$ est claire […]]

De (i) résulte que le foncteur $\mathbb{W}^{a}$ transforme un préschéma en groupes, en anneaux etc. en un préschéma du même type.

64Supposons que $\mathbb{W}^{a}(\mathbb{W}(S)[t])$ existe. C'est alors, de façon naturelle, un préschéma en anneaux sur $S$, que nous noterons $\mathbb{W}$, appelé préschéma d'anneaux générateur du foncteur $\mathbb{W}$.

[Dans l'exemple II, c'est le schéma d'anneaux $W$ de départ. Dans le cas de l'exemple I, […] si […] on suppose $S'$ ⌜fini et⌝ loc. libre sur $S$, c'est le […] schéma en anneaux $\mathbf{V}(\check{\mathcal{A}})$, où $\mathcal{A}$ est le faisceau d'algèbres sur $S$ associé à $S'$].

Soit alors $\mathfrak{X}$ sous-schéma fermé de $\mathbb{W}(S)[t_1, \ldots, t_r]$ défini par […] le faisceau d'idéaux dans $\mathcal{O}_{\mathbb{W}(S)}[t_1, \ldots, t_r]$ engendré par des sections $F_i$ ($i = 1, \ldots, s$), donc $\mathfrak{X}$ est le produit fibré, sur $\mathcal{Y}^{s}$, de $\mathcal{Y}^{r}$ et $\mathcal{Y}^{0}$ [où $\mathcal{Y}^{*} = \mathbb{W}[S][t]$].

65feuille double, en deux colonnes ; la colonne de gauche d'abord. Alors $\mathbb{W}^{a}(\mathfrak{X})$ existe, et […] […] […] comme produit fibré. De façon précise, les $F_j$ (⌜$1 \le j \le s$⌝) (définissent des polynômes […] les $t_i$ ($1 \le i \le r$), à coefficients dans les $\Gamma(\Lambda/S)$, d'où […] un $S$-morphisme $\Lambda^{r} \to \Lambda^{s}$, et $\mathbb{W}^{a}(\mathfrak{X})$ est isomorphe à l'image inverse de la section nulle de $\Lambda^{s}$.

Exemples […] $(\mathbb{G}_{a\,\mathbb{W}(S)})^{n}$, $\mathrm{Gl}(n)_{\mathbb{W}(S)}$, etc.

Soit $\mathbb{W}'(T) \xrightarrow{\alpha(T)} \mathbb{W}(T)$ un morphisme fonctoriel de préschémas, définissant en particulier \[ \mathbb{W}'(S) \to \mathbb{W}(S) . \] Soit de plus $\mathfrak{X}$ sur $\mathbb{W}(S)$, posons \[ \mathfrak{X}' = \mathfrak{X} \times_{\mathbb{W}(S)} \mathbb{W}'(S) . \] On a donc, pour tout $T$, une application ⌜[…]⌝ \[ (*) \qquad \operatorname{Hom}_{\mathbb{W}(S)}(\mathbb{W}(T), \mathfrak{X}) \to \operatorname{Hom}_{\mathbb{W}'(S)}(\mathbb{W}(T) \times_{\mathbb{W}(S)} \mathbb{W}'(S), \mathfrak{X}') \] (l'image réciproque d'un morphisme par $\mathbb{W}'(S) \to \mathbb{W}(S)$] d'autre part, on a \[ \mathbb{W}'(T) \to \mathbb{W}(T) \times_{\mathbb{W}(S)} \mathbb{W}'(S) \] […] grâce aux morphismes $\mathbb{W}'(T) \to \struck{\ill{}} \mathbb{W}(T)$ et $\mathbb{W}'(T) \to \mathbb{W}'(S)$, d'où \[ (**) \qquad \operatorname{Hom}_{\mathbb{W}'(S)}(\mathbb{W}(T) \times_{\mathbb{W}(S)} \mathbb{W}'(S), \mathfrak{X}') \to \operatorname{Hom}_{\mathbb{W}'(S)}(\mathbb{W}'(T), \mathfrak{X}') \] d'où en composant (*) et (**) un ⌜morphisme⌝ […], évidemment fonctoriel en $T$ \[ \operatorname{Hom}_{\mathbb{W}(S)}(\mathbb{W}(T), \mathfrak{X}) \longrightarrow \operatorname{Hom}_{\mathbb{W}'(S)}(\mathbb{W}'(T), \mathfrak{X}') . \] Par suite, si $\mathbb{W}^{a}(\mathfrak{X})$ et $\mathbb{W}'^{a}(\mathfrak{X}')$ existent, on a un morphisme canonique \[ \mathbb{W}^{a}(\mathfrak{X}) \xrightarrow{\alpha^{*}(\mathfrak{X})} \mathbb{W}'^{a}(\mathfrak{X} \times_{\mathbb{W}(S)} \mathbb{W}'(S)) . \]

66De cette façon, pour $\mathbb{W}$ fixé, […] lorsque $\mathfrak{X}$ et $\mathbb{W}'$ varient, \[ \mathbb{W}'^{a}(\mathfrak{X} \times_{\mathbb{W}(S)} \mathbb{W}'(S)) \] devient un bifoncteur en $\mathfrak{X}$, $\mathbb{W}'$, covariant en $\mathfrak{X}$, contravariant en $\mathbb{W}'$.

(2) Critère d'existence : cas affine

Supposons que $\mathbb{W}$ transforme schémas affines (sur […] affine de $S$) en schémas affines. Donc, au-dessus d'un […] affine de $S$, d'anneau $A$, $\mathbb{W}$ est défini par un foncteur covariant, noté aussi $\mathbb{W}$, transformant ⌜$B$⌝ $A$-algèbres en anneaux $\mathbb{W}(B)$. [[…] L'hypothèse de localité ⌜caractère local⌝ de […] foncteur, […] […] explicitation […]]. Le […] […] […] […] \[ \mathbb{W}(B) = \operatorname{Hom}_{A\text{-}\mathrm{alg}}(\Lambda, B) \] où $\Lambda$ est l'algèbre affine ⌜l'anneau⌝ d'un schéma en anneaux affine sur $S$, affine sur $S$.

Ici il suffit que $\mathbb{W}$ transforme […] affines […] […]. Foncteur $\mathbb{W}$ spécial […] […] […] schémas affines sur $S$

67[C'est […] le cas en particulier dans le cas de l'exemple I, […] ⌜lorsque $S'$ est⌝ fini et loc. libre sur $S$, et l'exemple II, ⌜lorsque⌝ $W$ […] affine sur $S$].

Proposition Sous ces conditions, si […] $\mathfrak{X}$ est un schéma affine sur $\mathbb{W}(S)$, $\mathbb{W}^{a}(\mathfrak{X})$ existe et est un schéma affine sur $S$.

Démonstration. Soit $\mathfrak{X}$ ⌜on peut supposer $S$ affine⌝. Soit $\mathfrak{X} = \operatorname{Spec}(\mathcal{C})$ où $\mathcal{C}$ est une algèbre de type fini de présentation sur $\mathbb{W}(A)$, engendrée […] […], il résulte des résultats […] […] que $\mathbb{W}^{a}(\mathfrak{X})$ existe et est […] […] sous-préschéma fermé de $\mathbb{W}^{r}$ [défini par des « équations polynomiales » à coeff. dans $\Gamma(\mathbb{W}/S)$]. ⌜[…]⌝ […] $\mathbb{W}$ […] affine, il en est de même de […] $\mathbb{W}^{r}$ […] […] de $\mathbb{W}^{a}(\mathfrak{X})$ (cqfd). […] obtenu […]

Cor. Si […] ⌜$S$-[…], $S$ affine⌝. Si $\mathfrak{X}$ est […] […] […] générateurs […] sur celui de $\mathbb{W}(S)$, et celui de $\mathbb{W}^{a}$ […] engendré sur celui de $S$, alors

68l'anneau de $\mathbb{W}^{a}(\mathfrak{X})$ est engendré par […] […] générateurs sur celui de $S$.

Dans le cas général ⌜($S$ affine)⌝, on a $\mathcal{C} = \varinjlim \mathcal{C}_i$, où les $\mathcal{C}_i$ sont des $\mathbb{W}(A)$-algèbres ⌜de type fini⌝ dans $\mathcal{C}$. On a donc, pour $T$ affine […] \[ \begin{aligned} \operatorname{Hom}_{\mathbb{W}(S)}(\mathbb{W}(T), \mathfrak{X}) &= \operatorname{Hom}_{\mathbb{W}(A)\text{-}\mathrm{alg}}(\mathcal{C}, \mathbb{W}(B)) \\ &\simeq \varprojlim \operatorname{Hom}_{\mathbb{W}(A)\text{-}\mathrm{alg}} (\mathcal{C}_i, \mathbb{W}(B)) \\ &\simeq \varprojlim \operatorname{Hom}_{A\text{-}\mathrm{alg}} (\mathbb{W}^{a}(\mathcal{C}_i), B) \\ &\simeq \operatorname{Hom}_{A\text{-}\mathrm{alg}} (\varinjlim \mathbb{W}^{a}(\mathcal{C}_i), B) \end{aligned} \] dans la première ligne, sous l'argument $\mathcal{C}$, un premier argument est biffé ($\mathbb{W}(B)$ ?).

Soit donc \[ \varinjlim \mathbb{W}^{a}(\mathcal{C}_i) = \mathcal{D}, \] […] on obtient un isomorphisme fonctoriel \[ \operatorname{Hom}_{\mathbb{W}(S)}(\mathbb{W}(T), \mathfrak{X}) \simeq \operatorname{Hom}_{S}(T, \operatorname{Spec}(\mathcal{D})) \] d'où le résultat.

Corollaire Sous les conditions précédentes, si $\mathfrak{X} \xrightarrow{f} \mathfrak{Y}$ est un morphisme […] de $S$-préschémas affines […] […] […] (c.-à-d. […] […]) […] […]

Corollaire 2 Soit $f\colon \mathfrak{X} \to \mathfrak{Y}$ […] $\mathbb{W}(S)$-préschémas, […] […] que $\mathbb{W}^{a}(\mathfrak{X})$ et $\mathbb{W}^{a}(\mathfrak{Y})$ existent, alors $\mathbb{W}^{a}(f)\colon$ $\mathbb{W}^{a}(\mathfrak{X}) \to \mathbb{W}^{a}(\mathfrak{Y})$ […] ces deux énoncés sont barrés de longues diagonales ; un texte en marge gauche, à demi biffé, s'y rattache : « alors $\mathbb{W}^{a}(f)$ […] morphisme affine […] de type fini […] $\mathbb{W}(S)$ […] $\mathbb{W}^{a}(\mathfrak{Y}) \to \mathbb{W}^{a}(\mathfrak{X})$ […] compact […] ».

(3) Recollement

[…] hyp. faites sur $\mathbb{W}$.

Lemme 1 Proposition Soit $\mathfrak{X}$ un $\mathbb{W}(S)$-préschéma, […] […] […] […] […] $\mathfrak{X}$, […] les lignes suivantes sont prises dans un encadré et barrées d'une longue diagonale ; on lit : Supposons […] […] $T$ sur $S$, et $\mathbb{W}(T) \xrightarrow{f} \mathfrak{X}$, $T = \bigcup T_i$ (les $T_i$ […]), […] $f(\mathbb{W}(T_i)) \subset \mathfrak{X}_i$. Si les ⌜$\mathbb{W}(S)$⌝ […] morphisme […] $\mathbb{W}(T)$ […] réunion

[…] […] […] $\mathfrak{X}$, les […] $\mathbb{W}^{a}(\mathfrak{U})$ […] […] $\mathbb{W}^{a}(\mathfrak{X}) = X$ existe, soit $\mathfrak{U}'$ l'[…] […] $\mathfrak{U}'$ […] \[ \mathbb{W}(X) \xrightarrow{\ \varphi\ } \mathfrak{X} \qquad \mathfrak{U}' \subset \mathfrak{U} . \]

($\alpha$) Supposons $\mathbb{W}$ […] : qu'il existe un […] $\mathfrak{U}$ dans $X$ tel que pour tout $T/S$, […] morphisme $\mathbb{W}(T) \xrightarrow{f} \mathbb{W}(X)$, […] la condition $f(\mathbb{W}(T)) \subset \mathfrak{U}'$ $\Longleftrightarrow$ $f(\mathbb{W}(T)) \subset \mathbb{W}(\mathfrak{U})$ […] [[…] $\mathbb{W}(\mathfrak{U}) \subset \mathfrak{U}'$] […] […], $\mathfrak{U}$ […] […] $\mathbb{W}(\mathfrak{U}) \to \mathfrak{U}$ […] […] […] […] $\mathbb{W}(\mathfrak{U}')$. texte fortement abrégé ; seules les formules sont sûres.

70C'est trivial. […] […] $\Gamma'$ ou $\Gamma''$ une note encadrée, dans un cadre en escalier, renvoie à « $\Gamma'$ ou $\Gamma''$ » ; elle est barrée.

Proposition Si $\mathbb{W}^{a}(\mathfrak{X})$ existe et […]

Lemme 2 Soient $\mathfrak{X}/\mathbb{W}(S)$, […] […] $\mathfrak{X}$ : […] […] ouverts […] […] $\mathbb{W}^{a}(\mathfrak{X}_i)$ existe $\mathfrak{X}_i$ dans $\mathfrak{X}$ […] […] […] […] […] […] […] les $\mathbb{W}^{a}(\mathfrak{X}_i)$ […] existent et […] pour deux $\mathfrak{X}_i \cap \mathfrak{X}_j$ ouverts, $\mathfrak{X}_i$ […] […] […], [donc $\mathbb{W}^{a}(\mathfrak{X}_i \cap \mathfrak{X}_j)$ existe] et […] […] […] […] […] (et kif-kif pour les $\mathfrak{X}_i \cap \mathfrak{X}_j \cap \mathfrak{X}_k$ dans $\mathfrak{X}_i \cap \mathfrak{X}_j$) […] […] $\mathbb{W}^{a}(\mathfrak{X}_i)$ ], […] […]

($\beta$) Pour […] $T/S$, et […] morphisme \[ \mathbb{W}(T) \xrightarrow{\ f\ } \mathfrak{X}, \qquad T = \bigcup_{i} T_i \ \text{(les \ill{} de $T$) tel que} \] $T_i$ […] […] […] \[ f(\mathbb{W}(T_i)) \subset \mathfrak{X}_i . \] […] […] conditions, $\mathbb{W}^{a}(\mathfrak{X})$ existe, […] […] réunion des $\mathbb{W}^{a}(\mathfrak{X}_i)$, qui […] identifiés : […] […] […] à $\mathbb{W}^{a}(\mathfrak{X})$,

71$\mathbb{W}^{a}(\mathfrak{X}_i \cap \mathfrak{X}_j)$ […] $\gamma_{ij}$ ⌜noté⌝ […] bijection ⌜[…]⌝ […] $X_{ij}$ […] de $\mathbb{W}^{a}(\mathfrak{X}_i)$ […] ⌜$X_{ji}$ […]⌝ $\mathbb{W}^{a}(\mathfrak{X}_j)$ : […] […] […] recollement […] $\mathbb{W}^{a}(\mathfrak{X}_i) = X_i$. Il faut vérifier […] […] $X_{ijk} \ill{} X_{ikj}$ […] compatibilité […], \[ \begin{array}{ccccc} X_{ijk} & \xrightarrow{\varphi_{ji} \mid} & X_{jik} & \xrightarrow{\varphi_{kj} \mid} & X_{kij} \\ \| & & \| & & \| \\ X_{ij} \cap X_{ik} & & X_{ji} \cap X_{jk} & & X_{ki} \cap X_{kj} \end{array} \] une flèche courbe, étiquetée $\varphi_{ki} \mid$, joint au-dessus le premier terme au dernier ; les indices sont lus au plus près.

Or trivial […] faire […] […] […] \[ X_{ijk} \simeq \mathbb{W}^{a}(\mathfrak{X}_i \cap \mathfrak{X}_j \cap \mathfrak{X}_k) \] et […] les applications $\varphi$ […] (p. ex.) s'identifient à l'identité.

On a ainsi défini […] $X = \bigcup X_i$, $X_i \simeq \mathbb{W}^{a}(\mathfrak{X}_i)$. On définit \[ \mathbb{W}(X) \to \mathfrak{X} \] en notant que $\mathbb{W}(X) = \bigcup_i \mathbb{W}(X_i)$ […] […] […] […] […] morphismes \[ \mathbb{W}(X_i) \to \mathfrak{X}_i \subset \mathfrak{X} \] par définition de $X_i = \mathbb{W}^{a}(\mathfrak{X}_i)$. Le

72recollement de ces morphismes […] immédiat. Par suite, on a défini $\mathbb{W}(X) \xrightarrow{\ \varphi\ } \mathfrak{X}$.

Je dis que c'est une solution du pb universel […] i.e. que pour tout $T$, \[ \operatorname{Hom}_{S}(T, X) \to \operatorname{Hom}_{\mathbb{W}(S)}(\mathbb{W}(T), \mathfrak{X}) \] est bijectif. Soit $u\colon T \to X$, \[ \mathbb{W}(T) \xrightarrow{\ \psi\ } \mathfrak{X} \] je dis qu'il […] […] factorisation de façon unique en \[ \mathbb{W}(T) \xrightarrow{\mathbb{W}(u)} \mathbb{W}(X) \xrightarrow{\ \varphi\ } \mathfrak{X} \] En effet, […] […] […] […] […] factorisation, […] […] $T_i$ […] $\mathbb{W}(T)$ […] utilisons la condition ($\beta$) : $T = \bigcup T_i$, […] $\psi(\mathbb{W}(T_i)) \subset \mathfrak{X}_i$. Donc $\psi \mid \mathbb{W}(T_i)$ est défini par $u_i\colon T_i \to X_i$, par factorisation \[ \mathbb{W}(T_i) \xrightarrow{\mathbb{W}(u_i)} \mathbb{W}(X_i) \xrightarrow{\ \varphi_i\ } X_i \] la dernière flèche aboutit à « $X_i$ » sur la page, où l'on attendrait $\mathfrak{X}_i$. On vérifie […] […] que les morphismes $T_i \to X_i \to X$ $\mathbb{W}(T_i) \to \mathbb{W}(X_i) \to \mathbb{W}(X)$

73coïncident dans les $T_i \cap T_j$, donc définissent $T \to X$ et […] […] satisfait […] conditions voulues. D'ailleurs, […] […] […] […], a priori, […] […] […] construction […] […] […] fait précéder. Introduisons […] […] recouvrements : $(T_i)$, $(T'_j)$, […] recouvrement […] $(T_i \cap T'_j)_{(i,j) \in I \times I'}$ […] […] l'unicité.

Lemme 3 La condition ($\beta$) est automatiquement vérifiée (pour […] $\mathfrak{X} = \bigcup \mathfrak{X}_i$ […] […]), […] […] il […] […] un isomorphisme […] de foncteurs \[ |T| \xrightarrow{\ \sim\ } |\mathbb{W}(T)| \] en particulier dans les cas II, […], en particulier III. C'est trivial.

Lemme 4 La condition $\alpha$ est automatiquement vérifiée dans les cas I$'$, II$^{*}$.

C'est trivial pour II$^{*}$. Pour I$'$, prenons voisinages […], utilisons […] […] un morphisme fini est fermé. ([…] hyp. noeth.)

74[…] Conditions […] satisfaites dans le cas I, si $S'$ est propre sur $S$ et si $\mathbb{W}^{a}(\mathfrak{X})$ est loc. noeth.

Mauvaises […] […] […] I$'$.

Mettons ensemble les résultats obtenus

Théorème 1 Dans le cas d'un foncteur de Greenberg ⌜spécial⌝, ou d'un foncteur $\mathbb{W}_{S'}$ défini par un morphisme $S' \to S$ fini, loc. libre, […] radiciel, le $\mathbb{W}^{a}(\mathfrak{X})$ existe pour tout préschéma $\mathfrak{X}$ sur $\mathbb{W}(S)$. […] $\mathbb{W}^{a}$ est de plus un foncteur de nature locale. un petit schéma encadré, illisible […]

Théorème 1 bis Dans le cas […], I$'$, ⌜Supposons […] […] dans le cas I$'$.⌝ $\varphi_{S'/S}(\ill{})$ (i) Si $\varphi_{S'/S}(\mathfrak{X})$ existe, alors pour tout […] $\mathfrak{U}$ de $\mathfrak{X}$, $\varphi_{S'/S}(\mathfrak{U})$ existe et $\varphi_{S'/S}(\mathfrak{U}) \to \varphi_{S'/S}(\mathfrak{X})$ est une immersion ouverte.

(ii) Soit $\mathfrak{X} = \bigcup \mathfrak{X}_i$, où les $\mathfrak{X}_i$ sont tels que pour tout $s \in S$, tout […] ⌜[…] […]⌝ de $\mathfrak{X}_s$ sur $S'_s$ soit contenu dans un $\mathfrak{X}_i$. Alors si les $\varphi_{S'/S}(\mathfrak{X}_i)$ existent, $\varphi_{S'/S}(\mathfrak{X})$

75existe et est réunion des $\varphi_{S'/S}(\mathfrak{X}_i)$.

Démonstration. Il suffit de prouver (ii), et pour cela de prouver que l'hypothèse faite implique la condition de recollement. Or, si $u\colon T' \to \mathfrak{X}$ est donné, on introduit les $T'_i = u^{-1}(\mathfrak{X}_i)$, […] et les \[ T_i = \complement\, \varphi_{T}(T' - T'_i) \] […] […] […] […] de $T$, […] […] prouver que $T = \bigcup T_i$, et pour cela, il […] $t \in T_i$ signifie que la restriction à $T'_t$ de $\varphi$ applique $T'_t$ dans $\mathfrak{X}_i$ : donc […] […] de $(\mathfrak{X}_s/S'_s)_{/k(s)}$ définie […] l'extension $k(t)$ de $k(s)$, doit être contenue dans […] […] $\mathfrak{X}_i$. Or si […] […] […] […] $\mathfrak{X}_s$ ⌜[…] des $\mathfrak{X}_i^{\alpha}$⌝ […] […] […] […] $S'^{\alpha}_s$, […] […] […] […] […] […] […] $\mathfrak{X}_i^{\alpha}$ […] tout ce passage est encadré et barré de diagonales ; au-dessus, un ajout « en des $\mathfrak{X}_i^{\alpha}$ », et à sa droite une insertion « […] $s \in S(\ill{})$ […] ».

diagramme, à gauche des lignes : $\mathfrak{X} \leftarrow T'$ au-dessus de $S \leftarrow S'$ et $T \leftarrow T'$ (flèche $\varphi_T$), puis $\mathfrak{X}_s$, $S'_s$ sur $k(s)$ et $T'_t$ sur $k(t)$

Corollaire 1 Si toute partie […] finie ⌜d'un⌝ $\mathfrak{X}_s$ est contenue dans un […] affine de $\mathfrak{X}$, […] [par exemple si […] ⌜$\mathfrak{X}/S$⌝ […] […] quasi-projectifs] alors $\varphi_{S'/S}(\mathfrak{X})$ existe, et est Soit […] […] […] […] de $S'/S$

76réunion des $\varphi_{S'/S}(\mathfrak{U})$, où $\mathfrak{U}$ parcourt les ouverts affines de $\mathfrak{X}$.

Corollaire 2 Supposons de plus $\mathfrak{X}$ ⌜sur $S'$⌝ de type ⌜tel que toute partie finie de $\mathfrak{X}$ soit contenue dans un ouvert affine, et⌝ fini sur $S$ loc. noeth. Alors $\varphi_{S'/S}(\mathfrak{X})$ est de type fini sur $S$.

La question étant locale ⌜sur $S$⌝, on peut supposer […] affine. Tout résulte […]

Lemme Soit $S$ noethérien, $\mathfrak{X}$ de type fini sur $S$, […] […] […] ⌜les $(\mathfrak{X}_i)_{i \in I}$ telles […]⌝ supposons que […] partie finie $E$ de $\mathfrak{X}$ telle que $\operatorname{card}(E) \le n$ […] contenue dans un […] […] $\mathfrak{X}_i$. Alors il existe une sous-famille finie de $(\mathfrak{X}_i)_{i \in I}$ ayant la […] propriété.

En effet, l'hyp. signifie que \[ \bigcup_{i \in I} \underbrace{\mathfrak{X}_i \times_S \cdots \times_S \mathfrak{X}_i}_{n\ \text{facteurs}} = \underbrace{\mathfrak{X} \times_S \cdots \times_S \mathfrak{X}}_{n\ \text{facteurs}} . \] […] résulte […] fait que $\mathfrak{X} \times_S \cdots \times_S \mathfrak{X}$ est ⌜un espace⌝ noethérien.

[…] Le foncteur $\mathbb{W}^{a}$ […] […] local en tous les […] […] […] […] vérifie […] […] la dernière ligne est séparée par un trait ; elle est écrite serrée au bord inférieur.

4) Applications aux immersions, etc.

Proposition Supposons que $\mathbb{W}$ soit […] ⌜I$'$, ou Greenberg spécial⌝. Soit $f\colon \mathfrak{X} \to \mathfrak{Y}$ un morphisme localement de type fini d'immersion […] fermée. ⌜Supposons dans le⌝ […] cas I$'$ […] ⌜l'hypothèse faite […]⌝ $\mathbb{W}^{a}(\mathfrak{Y})$ existe […] […] $\mathfrak{Y}_s$ […] […] […] […] $\mathbb{W}^{a}(\mathfrak{U})$ $\mathfrak{U}$ ⌜contenue dans un […] affine de $\mathfrak{Y}$⌝. affine […] $\mathfrak{Y}$. Alors $\mathbb{W}^{a}(\mathfrak{X})$ existe ⌜(existe et)⌝ et $\mathbb{W}^{a}(f)$ est une immersion fermée.

En effet, […] […] […] […] […] cas affine, où […] […] […].

Corollaire ⌜Sous les conditions précédentes sur $\mathbb{W}$⌝, si $\mathfrak{Y}$ est quasi-projectif sur $S^{*}$, et si $f\colon \mathfrak{X} \to \mathfrak{Y}$ est une immersion, alors $\mathbb{W}^{a}(f)$ est une immersion.

En effet, $f$ se factorise en \[ \mathfrak{X} \xrightarrow{\ f'\ } \mathfrak{X}' \xrightarrow{\ f''\ } \mathfrak{Y} \] […] $f'$ une immersion fermée et $f''$ immersion ouverte. $\mathfrak{X}'$ […] […] […] quasi-projectif, […]

78appliquer la prop. à $f'$, et on applique […] à $f''$.

[…] Corollaire 2 Sous les conditions de la prop. sur $\mathbb{W}$, […] supposons que $\mathfrak{X} \times_{\mathfrak{Y}} \mathfrak{X}$ toute partie finie de $\mathfrak{X}$ soit contenue dans un ouvert affine. Alors si $f\colon \mathfrak{X} \to \mathfrak{Y}$ est séparé, alors […] […] […] de $\mathbb{W}^{a}(f)$ [[…], supposons que $\mathbb{W}^{a}(\mathfrak{Y})$ existe dans le cas I$'$].

On applique la prop. à : $\mathfrak{X} \to \mathfrak{X} \times_{\mathfrak{Y}} \mathfrak{X}$.

Proposition $\mathbb{W}$, […] comme dans la prop. précédente. Soit $f\colon \mathfrak{X} \to \mathfrak{Y}$, on suppose ⌜dans le cas I$'$⌝ […] que […] toute […] […] ouvert affine $\mathfrak{U}$ de $\mathfrak{Y}$, ⌜toute partie finie […]⌝ $f^{-1}(\mathfrak{U})$ est […] contenue dans un […] affine (p. ex. $f$ quasi-projectif). On suppose de plus $\mathfrak{Y}$ […] loc. noeth. et $f$ de type fini. Alors $\mathbb{W}^{a}(f)$ est de type fini […] affine. Dans le « Greenberg spécial » […] […] […] remplacer […] […] […] quasi-projectif

79Proposition Comme dessus, pour un morphisme affine. la page s'arrête sur cet énoncé ; le reste de la feuille est blanc.

Schémas localement compacts

titre écrit de sa main, au coin supérieur droit d'une feuille de couverture (p. 80, sans autre contenu), sous un premier titre biffé et illisible […] ; il annonce la suite, qui commence au lot suivant.