Fonds Grothendieck, cote n° 91, pages 1–20 — transcriptionAlexandre Grothendiecktranscription automatique — première passe, non vérifiée contre les pages par une personne (2026-10-03)Opus 5.5 (claude-opus-5-5)procédure, outillage, export TEIgrothendieck.commutator.io (Commutator, Paris)Édition de démonstrationCommutatorParis2026-10-03
Le fonds Alexandre Grothendieck est sous droits. Cette transcription
est une édition de démonstration, non autorisée, produite par une
machine et non vérifiée ; aucune image du fonds n'est reproduite. La
source LaTeX dont ce fichier dérive est publiée sous https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-project.
https://grothendieck.commutator.ioFranceMontpellierUniversité de MontpellierFonds Alexandre Grothendieck (archives mathématiques, 1949–1991)91
Autour de Néron / Greenberg-Néron. Foncteurs Hom (méthodes non-projectives) : notes manuscrites (s.d.), lettre (1967).
Pages 1 à 20 de la cote, dans la
numérotation des archivistes (crayon, en bas à gauche de chaque
page) ; lot 1 de vingt pages.
Les pages absentes de la transcription ne portent pas de
mathématiques et sont omises ; le saut dans la numérotation en est
le seul enregistrement.[à partir de 1964-vers 1970]Datation de l'inventaire de l'Université de Montpellier, reproduite telle quelle ; les crochets sont ceux des archivistes.https://grothendieck.umontpellier.fr/91.pdfFac-similé numérique de l'Université de Montpellier. Sa
première page est une feuille de garde générée par
l'université : la page n des archivistes
est la page n+1 du PDF, et l'attribut
facs de chaque
pb tient compte de ce décalage.
Transcription mathématique du fonds, une passe de vingt pages par
conversation avec un grand modèle multimodal, sous la procédure
transcribe-grothendieck du dépôt. Le fichier
LaTeX est la source de référence ; ce TEI en est dérivé mécaniquement
par scripts/tei.mjs et n'a pas été relu.
L'édition n'est pas diplomatique : elle encode les mathématiques et
l'apparat, rien du support. Correspondance avec l'apparat de la source :
\ill devient gap[@reason='illegible']
(jamais deviné) ; \uncertain devient
unclear ; \supplied devient
supplied (restitué par le transcripteur) ;
\add devient add
(ajout de l'auteur, en interligne ou sur un mot biffé) ;
\struck devient
del (biffé par l'auteur) ;
\note devient note[@type='editorial']
(du transcripteur) ; \drawing devient
note[@type='drawing'] (dessin de l'auteur, décrit par le
transcripteur) ; \marginal devient
note[@type='authorial'][@place='margin'] (de l'auteur) ;
\page devient pb.
Restitution et ajout de l'auteur n'ont longtemps fait qu'une macro. Ils
ont été séparés le 26 septembre 2026 par une règle vérifiable dans le
fichier, non par une relecture : un ajout accolé au mot qu'il complète
est une restitution (supplied), un ajout
isolé est de l'auteur (add). Certains
add sont donc encore des restitutions du
transcripteur, que seuls les fac-similés départageront.
Les mathématiques sont transportées en TeX dans
formula[@notation='TeX'], les diagrammes
commutatifs en formula[@notation='tikz-cd'],
sans conversion. Une marque d'apparat située à l'intérieur d'une
formule (un exposant illisible, un symbole biffé) reste dans le TeX de
la formule, sous les mêmes macros.
Orthographe, ponctuation et lapsus de l'auteur sont conservés ; une
faute évidente est signalée par une note, jamais corrigée.
https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-projectfrançais, avec la notation mathématique de l'auteurExport TEI depuis la source LaTeX.Première passe de transcription.
Représentabilité des foncteurs \underline{\mathrm{Hom}}, \prod_{T/S} X/T, de Greenberg etc.
Ce titre est le sien : il est seul sur la feuille de la p. 1, qui sert de couverture.
Représentabilité relative de \prod_{X/S} P/X (sans hyp. projective)
« Flattening functor »
Passage au quotient
\underline{\mathrm{Hom}}_S(X,Y)
\underline{\mathrm{Aut}}_S(X)
La feuille ne porte que ces lignes, en haut à droite et au milieu : une liste de sujets plutôt qu'un texte.
Th. Soit f\colon X\to S un morphisme plat de type fini, avec S loc. noeth., Y\to X un morph. de type finiun sous-préschéma de X. Pour que \prod_{X/S} Y/X soit représentable il f. et s. qu'il commute aux limites projectives adiques d'anneaux artiniens, et si Y\to X est une immersion (fermée) alors il est représentable par un sous-préschéma (fermé) de S.
il suffit que Y\to X soit un monomorphisme
Dém. Vérifions les conditions générales du th. de représentabilité par morphismes non nécessairement séparés.
1°) F faisceau pour fpqc : EGA IV 8 clair.
2°) F commute aux \varinjlim d'anneaux : clair EGA IV 8.
+ t.f.
3°) C'est la condition de commutation aux \varprojlim adiques d'artiniens.
4°), 5°), 6°) Dans le cas d'un monomorphisme F\to S se réduit à ceci : si A\to A' est un hom. injectif d'artiniens (A' fini sur A), alors F(A)\to F(A') est bijectif, ou encore F(A')\neq\emptyset \Rightarrow F(A)\neq\emptyset. Il faut prouver que si X_{A'}=Y_{A'}, alors X_A=Y_A. C'est clair, car X_A étant plat sur A, \mathcal{O}_{X_A}\to\mathcal{O}_{X_A}\otimes_A A' est injectif.
+ plat
7°) Si T sur S est noeth. local, noeth., muni d'un idéal de carré nul J, T_0=V(J), U ouvert de T tel que T soit l'adhérence schématique de U, alors pour le carré
\begin{array}{ccc}
F(T) & \longrightarrow & F(T_0)\\
\downarrow & & \downarrow\\
F(U) & \longrightarrow & F(U_0)
\end{array}
est cartésien.
+ plat
La démonstration de 7° continue en p. 6 ; la p. 5 en est une première rédaction de l'énoncé, biffée.
Théorème. Soit f\colon X\to Splat, de présentation finie, Y un sous-préschéma de X de présentation finie. Pour
Page entièrement biffée, où l'énoncé s'interrompt après « Pour ».
En d'autres termesr.c. : si F(T_0)\neq\emptyset, F(U)\neq\emptyset, alors F(T)\neq\emptyset. En fait, il suffit ici F(U)\neq\emptyset pour F(T)\neq\emptyset(6 lorsque Y est supposé fermé dans X). En d'autres termes si X_{T_0}=Y_{T_0} etX_U=Y_U, alors X=Y. En effet, comme T est l'adhérence schématique de U et X_T plat sur T, X_T est l'adhérence schématique de X_U, donc on gagneY_T=X_T puisque Y_T sous-préschéma fermé de X_T majorant X_U.
8°) Si T sur Sirréductible muni de J de carré nul, T_0=V(J), si F(T_0)\neq\emptyset, alors\exists ouvert dense\exists ouvert dense U de TF(\mathcal{O}_{T,\eta})\neq\emptysettel que F tel que F_Ureprésentable.
X plat t.f.
En effet, il suffit que X_U soit « ens. libre » sur U, et on sait qu'on peut trouver U de cette façon. EGA IV 11.
Donc conditions 1° 7° sont vérifiées par le foncteur .
Corollaire
Corollaire. Supposons que X soit un S-groupe, Y un S sous-groupe. Supposons que X ait la propriété suivante : Pour toutTsur Sspectre d'un anneau de valuation discrète, et tout de X_T qui contient spécial
Le corollaire est barré de trois longues diagonales ; il est repris p. 7.
La commutation aux \varprojlim adiques peut aussi s'exprimer ainsi :
(L) Pour tout Tsur S spectre d'un anneau local noeth. complet sur S(qu'on peut supposer complet, à corps rés. alg. clos), et tel que Y_T majore un voisinage induit de la fibre spéciale de X_T, on a X_T=Y_T.
Corollaire. Cas X propre sur S ; O.K.
Si X est un groupe, Y un sous-groupe, on sait que Y_Tcontientmajore un voisinage induit de la section unité, donc Y_T\to X_T est un mono. étale, étant une immersion fermée, c'est une immersion ouverte et fermée. De plus, la vérification Y_T=X_T se faitDonc dans le casdans « connexité », donc se ramène au cas où T est le spectre d'un anneau de valuation discrète. Donc
Corollaire. Dans ce cas, la condition (L) équivaut à la suivante : Pour tout T sur S spectre d'un anneau local noeth.de valuation discrète (qu'on peut supposer complet à corps rés. alg. clos), tel que Y_T soit un sous-groupe ouvert et fermé de X_T qui contient la fibre génériquespéciale, on a Y_T=X_T. Cette condition est vérifiée dans chacun des cas suivants :
a) X à fibres connexes
b) Il existe une famille de sous-groupes finisschémasG_i de G, finis sur S, et telle que pour chaque s\in S, la réunion ensembliste des G_{i,\bar s}\cdot G^0_{\bar s} soit G_{\bar s}.
Dans b) le groupe s'appelle G et non plus X : c'est sur la page.
Définition. Un groupe(hypothèses)X sur S est ditrelativement
Définition. On dit qu'une condition R est satisfaite par un préschéma en groupes Gde type fini sur Slocalement noeth si pour tout schéma local T sur S, et tout sous-groupe ouvert et ferméU de G_T qui majore la fibre spéciale, on a U=G_T.
Condition R
Lorsque G estG est de type fini sur S loc. noeth., il suffit de tester avec T spectre d'un anneau de valuation discrète [complet, corps rés. alg. clos].
La première ligne de la définition est en partie surchargée ; « une condition R est satisfaite par » est une lecture de sens plus que de lettres.
Corollaire. Soit XX de type fini surtypeprésentation finie sur Sloc. noeth, HY un sous-groupe fermé de X, présentation finie. Supposons que X satisfait R. Alors \prod_{X/S} Y/X est représentable par un sous-préschéma fermé de S.
Exemples
SoitCorollaire. Soit G schéma en groupes noeth. sur S loc. noeth., H un sous-groupe fermé de type fini sur S satisfaisant à la condition R(si G séparé sur S). Alors \mathrm{Cent}_G(H) et \mathrm{Norm}_G(H) sont représentables par un sous-préschéma fermé de G. De même \mathrm{Transp}_G(H,K).
Ce dernier corollaire est barré de deux diagonales ; il est repris p. 9.
Corollaire. Soit u\colon H\to G un homom. de préschémas en groupes sur S, etséparés sur S, avec G loc. noeth., H de type fini sur S, AlorsHplat et satisfaisant à la condition R si G séparé sur S (p. ex. à fibres connexes…). Alors \mathrm{Cent}_G(u) est représentable par un sous-préschéma fermé de G, Celui-ci fermé si G est séparé sur S. Si K est un sous-groupe de Gde t.f. sur S, alors\mathrm{Transp}_G(u,K) est représentable, et si K est un sous-préschéma de G (resp. sous-préschéma fermé de G) il en est de même de \mathrm{Transp}_G(u,K). Enfin, si u et HK est également plat sur S et satisfait la condition R, et si u est un monom., alors Pour \mathrm{Transp}_G\mathrm{Transp}_G(u,K)\mathrm{Transp}_G(H,K) est représentable par un sous-préschéma de type fini sur G, et c'est un sous-préschéma (resp. sous-préschéma fermé) s'il en est de même de H et K dans G. En particulier, \mathrm{Norm}_G(H) est représentable, c'est un sous-préschéma (sous-préschéma fermé) de G si H l'est.
Variantesdébarrassées d'hypothèses noethériennes
Variante. Pour un morphisme Y\to X non ramifié.
N.B. Il faudrait également du Th. précédent .
Théorème. Soit f\colon X\to S morphisme de type fini, S loc. noeth., E cohérent sur X. Soit F le sous-foncteur de S :
F(S')=\begin{cases}\emptyset & \text{si } E_{S'} \text{ non plat sur } S'\\ \{\emptyset\} & \text{sinon}\end{cases}(comme Module plat). Pour que ce foncteur soit représentable, il f. et s. qu'il commute aux limites projectives adiques d'anneaux artiniens.
Vérification en divers pts.
1°) Faisceau pour fpqc : clair.
2°) Commute aux \varinjlim d'anneaux : EGA IV 8 et IV 11.
X type fini sur S, Ecoh.
3°) Condition de commutation aux \varprojlim d'artiniens.
4°) 5°) 6°) Si A\to A' injectif (A' fini sur A local artinien) alors F(A)\to F(A') bijectif, i.e. F(A')\neq\emptyset\Rightarrow F(A)\neq\emptyset, i.e. X_{A'} plat (je veux dire E plat) sur A'\RightarrowX_A plat (id.) sur A. EGA IV 11.
7°) F(T_0)\neq\emptyset, F(U)\neq\emptyset \Rightarrow F(T)\neq\emptyset, i.e. X_{T_0} plat et X_U plat \RightarrowX_T plat. EGA IV 11.
Ici comme en 4°–6°, il écrit X_\cdot plat là où il s'agit de la platitude de E_\cdot ; il le dit lui-même en 4°.
8°) Trouver U ; il suffit de trouver que X_{U_0} soit « ens. libre » sur U_0, OK par EGA IV 11.
La condition énoncée dans le th. signifie ceci :
(L) Pour tout T spectre d'un anneau local noeth.de valuation discrète, \{complet à corps résiduel alg. clos si on y tient\}, tel que E_T sur X_T soit plat sur T dans un voisinage de la fibre spéciale, alorsE_T est plat sur T. Exemple
N.B. On peut supposer \dim T=1, T irréductible i.e. spectre d'un anneau de valuation discrète
Corollaire 1. O.K. si f\colon X\to S est propre.
Corollaire 2. O.K. si GE=\mathcal{O}_X, X un préschéma en groupes sur S, satisfaisant à la condition R plus haut.
Corollaire 3. Soit f\colon X\to S un morphisme de type finiprés. finie, Sloc. noeth.. Conditions équivalentes :
(i) f se factorise en f'f'', X\xrightarrow{f''}S'\xrightarrow{f'}S, avec f'' fid. plat et quasi-compact, f' immersion
(i bis) id., avec f'' plat, f' imm.,
(ii) Le morphismeX\times_S X\xrightarrow{\mathrm{pr}_1}X est plat.
La disposition de la factorisation X\to S'\to S en (i) est restituée ; le second mot après « fid. plat » est peu lisible.
Sous ces conditions, la factorisation (i) est unique à isom. près, et S' est de t.f.prés. finie sur S.
(i) \Rightarrow (i bis) \Rightarrow (ii) trivial. D'où l'unicité de la factorisation (i), car X\to S' sera quotient, donc quotient pour fpqc, donc S'=X/R, où R=X\times_S X.
Reste à prouver (ii) \Rightarrowle faisceauX/R est représentable par un S' de prés.type finie sur S. (N.B. alors, )
[N.B. Alors X\to S' est couvrant pour fpqc, comme on le voit X\to S' et donc X\times_S X=R\to X qui est fid. plat par hypothèse, il est fid. plat , ce qui implique aussi que S'\to S est donc plat.]
Or le foncteur représenté par X/R\to S est (i.e. le suivant :\Leftrightarrow X_T\to T couvrant fpqc)F(T)=\begin{cases}\emptyset & \text{si } X_T \text{ non fid.\ plat sur } T\\ \{\emptyset\} & \text{sinon}\end{cases}
D'ailleurs on est ramené au cas S affine, noethérien. et Alors on applique le th., qui nous dit qu'il suffit de vérifier pour (L). Or de cette condition, X_T\to T est couvrant [car il existe un pt x de la fibre spéciale, et pour \mathcal{O}_{X,x} sur \mathcal{O}_{T,t_0} est fid. plat] .
Exemple
Corollaire. Soit G un préschéma en groupes de typeprés. finie sur S, loc. noeth.P un fibré principal préschéma de prés. finie sur S sur lequel G opère, de façon que P soit formellement principal homogène sous G. Sous ces conditions, il existe un sous-préschéma S'\hookrightarrow S, tel que P\to S se factorise par P\to S', et que PP devienne formellement principal homogène sous G, i.e. P\to S' est plat fid. plat. [De plus, S' est unique à isomorphisme unique près, et est de prés. finie sur S.]
Corollaire. Soit u\colon G\to H un homom. de S-préschémas en groupes, de présentation et de présentation finie. Supposons \mathrm{Ker}\,u=N [qui est de prés. finie sur S] plat sur S. Alors le foncteurG/N existe.
\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
Z \arrow[r, "\varphi"] \arrow[dr, "h"'] & X \arrow[d, no head, "f"] & Y \arrow[dl, no head, "g"] \\
& S &
\end{tikzcd}
Dans le premier diagramme, f et g sont deux traits sans pointe ; dans le second, toutes les flèches vont vers S'. L'étiquette de la flèche X'\to Y' se lit w, celle de l'arc Z'\to Y' se lit v.
Énoncé plutôt en termes de \prod_{X/S} P/X\to\prod_{Z/S} Q/Z
f, h plat et propre sur S loc. noeth.
gg,h de type fini [et non ramifié ?]
suffit si Z\to X est surjectif
N.B. L'hypothèse S loc. noeth. peut être remplacée par des hypothèses de présentation finie sur f,g,h.
Posons
a) Le sous-foncteur de \underline{\mathrm{Hom}}_S(X,Y)u\mapsto u\circ\varphi, \underline{\mathrm{Hom}}_S(X,Y)\to\underline{\mathrm{Hom}}_S(Z,Y)non ramifié sur \underline{\mathrm{Hom}}_S(Z,Y), est un sous-foncteur ouvert.
Il correspond à u'\colon X'\to Y' tel que, pour tout s\in S',
\mathrm{Hom}\bigl(u_s'^{*}(\Omega^1_{Y'_s/k(s)}),k(s)\bigr)\longrightarrow\mathrm{Hom}\bigl(v_s^{*}(\Omega^1_{Y'_s/k(s)}),k(s)\bigr)
soit injectif. Or on peut trouver sur S' des Modules cohérentsM_u, M_v tels que pour toutJquasi-cohérent sur S', on ait des isomorphismes fonctoriels\mathrm{Hom}_{\mathcal{O}_{X'}}\bigl(u^*(\Omega^1_{Y'/S'}),\mathcal{O}_{X'}\otimes_{\mathcal{O}_{S'}}J\bigr)\simeq\mathrm{Hom}_{\mathcal{O}_{S'}}(M_u,J),\mathrm{Hom}_{\mathcal{O}_{Z'}}\bigl(v^*(\Omega^1_{Y'/S'}),\mathcal{O}_{Z'}\otimes_{\mathcal{O}_{S'}}J\bigr)\simeq\mathrm{Hom}_{\mathcal{O}_{S'}}(M_v,J),
et la formation de M_u, M_vcommute à l'extension de la base. Ceci dit, un homomorphisme
(*)\qquad M_v\longrightarrow M_u
qui définit par \mathrm{Hom}(\;,J) l'homomorphisme naturel
\mathrm{Hom}_{\mathcal{O}_{X'}}\bigl(u^*(\Omega^1_{Y'/S'}),\mathcal{O}_{X'}\otimes_{\mathcal{O}_{S'}}J\bigr)\longrightarrow\mathrm{Hom}_{\mathcal{O}_{Z'}}\bigl(v^*(\Omega^1_{Y'/S'}),\mathcal{O}_{Z'}\otimes_{\mathcal{O}_{S'}}J\bigr).
Dire la condition de non ramification en un pt s\in S', signifie que
M_v\otimes k(s)\longrightarrow M_u\otimes k(s)est surjectif, et par Nakayama ceci
N.B.
Page très serrée en haut ; les deux diagrammes, l'encadré et les hypothèses y sont disposés côte à côte, et sont transcrits l'un après l'autre. La phrase continue en tête de la p. 16.
voisinage.
Nous désignerons par
F=F_\varphi=\underline{\mathrm{Hom}}_S(X,Y;\varphi)
le sous-foncteur précédent de \underline{\mathrm{Hom}}_S(X,Y), dont les valeurs sur S' sont l'ens. des S'-homomorphismes u\colon X'\to Y' tels que, posant v=u\varphi', et considérant M_v, M_u, M_v\to M_u correspondants, M_v\to M_u soit surjectif.
Théorème.\underline{\mathrm{Hom}}_S(X,Y;\varphi)\to\underline{\mathrm{Hom}}_S(Z,Y) est représentable par immersions ouvertes.
Corollaire. Si \underline{\mathrm{Hom}}_S(Z,Y) est représentable, alors \underline{\mathrm{Hom}}_S(X,Y;\varphi) l'est également, et le morphisme \underline{\mathrm{Hom}}_S(X,Y;\varphi)\to\underline{\mathrm{Hom}}_S(Z,Y) est non ramifié.
Principe de la démonstration. On peut supposer donné un v\colon\underline{\mathrm{Hom}}_S(Z,Y), et on doit représenter le sous-foncteur de \underline{\mathrm{Hom}}_S(X,Y) dont les valeurs sur S' sont l'ens. des homomorphismes u'\colon X'\to Y' tels que 1°) u'\circ\varphi'=v' 2°) La condition M_{v'}\to M_{u'} surjectif. On applique le critère général des représentabilités foncteurs
N.B. Réduction au cas Snoeth. intègre dans toute représentabilité
préschémas non ramifiésséparés sur S. Seules deux conditions les conditions de modularité ne résultent pas des techniques habituelles. Celles qui se démontrent par , avec le calcul habituel d'obstructions.
Reste le cas où S est local de dim 1, avec Idéal J annulé par l'idéal maximal, d'où S_0=V(J), et où on dispose de u_0\colon X_0\to Y_0 (tel que u_0\varphi_0=v_0) et un prolongement u_\eta\colon X_\eta\to Y_\eta (\eta le pt générique de S) tel que u_\eta\varphi_\eta=v_\eta, u_{\eta 0}=u_{0\eta}. Question de prolonger u_0 en u tel que u\varphi=v. Soient P(u_0,S), P(u_0,S_\eta) ; P(v_0,S), P(v_0,S_\eta) les prolongements de u_0 resp. v_0 sur S, de u_{0\eta} resp. v_{0\eta} sur S_\eta, d'où le diagramme commutatif
L'indice qu'il écrit comme un y est lu \eta, le point générique qu'il nomme ainsi plus haut. Les deux étoiles du diagramme (1) marquent les éléments dont parle la p. 18 ; l'astérisque de M_{u_0}^{*} dans (2) est sur la page.
marqués de (\ast), dont l'image dans le coin droit du bas sont les mêmes, on cherche un élément du coin gaucheen haut qui nos éléments marqués. On note qu'il suffit pour ceci que P(u_0,S)\neq\emptyset, car alors le diagramme (1) est isomorphe à (2), or (2) est cartésien, grâce au fait que M_{v_0}\to M_{u_0} est surjectif. Or l'obstruction à trouver un élément dans P(u_0,S) est \partial(u_0)=\xi\in\mathrm{Ext}^1_{\mathcal{O}_{P_0}}(P_0;I_{\Gamma_0},\mathcal{O}_{\Gamma_0}\otimes_{S_0}J)
où P_0=X_0\times_{S_0}Y_0, \Gamma_0 est le sous-préschéma de P_0 graphe de u_0, et où I_{\Gamma_0} est l'Idéal de P_0 qui le définit. C'est un module sur A_0, qui s'annule quand on localise en \eta, donc si \pi est une uniformisante de A, il existe un n\geqslant 0 tel que \pi^n\xi=0. Utilisons la suite exacte
(\ast)\qquad 0\to J\xrightarrow{\;\pi^{n}\;}J\to J_n\to 0
et la suite exacte correspondante
0\to\mathcal{O}_{\Gamma_0}\otimes_{S_0}J\xrightarrow{\;\pi^{n}\;}\mathcal{O}_{\Gamma_0}\otimes_{S_0}J\to\mathcal{O}_{\Gamma_0}\otimes_{S_0}J_n\to 0
et la suite exacte des \mathrm{Ext}^i_{\mathcal{O}_{P_0}}(P_0;I_{\Gamma_0},-) ; on trouve que \xi provient d'un élément
\xi'\in\mathrm{Hom}_{\mathcal{O}_{P_0}}(P_0;I_{\Gamma_0},\mathcal{O}_{\Gamma_0}\otimes_{S_0}J_n)mod\mathrm{Im}\,\mathrm{Hom}_{\mathcal{O}_{P_0}}(P_0;I_{\Gamma_0},\mathcal{O}_{\Gamma_0}\otimes_{S_0}J).
P_0P_1
L'exposant de \pi au-dessus de la flèche de (\ast) est à demi effacé ; \pi^{n} est la lecture qui s'accorde avec \pi^n\xi=0.
Or le premier terme desdeuxième membres se réduit à
\mathrm{Hom}_{\mathcal{O}_{P_0}}(I_{\Gamma_0}/I_{\Gamma_0}^2,\mathcal{O}_{\Gamma_0}\otimes_{S_0}J_n)\simeq\mathrm{Hom}_{\mathcal{O}_{X_0}}\bigl(u_0^*(\Omega^1_{Y_0/S_0}),\mathcal{O}_{X_0}\otimes_{S_0}J_n\bigr)\simeq\mathrm{Hom}_{S_0}(M_{u_0},J_n)
et de même le deuxième terme s'écrit \mathrm{Hom}_{S_0}(M_{u_0},J), de sorte que l'obstruction peut être considérée comme un élément
\xi''\in\mathrm{Hom}_{A_0}(M_{u_0},J_n)/\mathrm{Im}\,\mathrm{Hom}_{A_0}(M_{u_0},J)\hookrightarrow\mathrm{Ext}^1_{A_0}(M_{u_0},J)
[en utilisant encore, pour la dernière inclusion, la suite exacte (\ast)]. Donc on obtient un élément
\xi''\in\mathrm{Ext}^1_{A_0}(M_{u_0},J)
annulé par une puissance de \pi dont l'annulation est nécessaire et suffisante pour la possibilité de prolonger u_0 en u\colon X\to Y. On trouve de même un
\eta''\in\mathrm{Ext}^1_{A_0}(M_{v_0},J)
et nous admettrons que \eta'' est l'image de \xi'' par M_{v_0}\to M_{u_0}. Or \eta'' est nul, carv_0 se prolonge en v, . Utilisons la suite exacte
0\to N\to M_{v_0}\to M_{u_0}\to 0,
il vient, par la suite exacte des \mathrm{Ext}^i(\;,J), que \xi'' correspond à un élément
« \eta'' est nul » est souligné par lui.
\xi'''\in\mathrm{Hom}(N,J)/\mathrm{Im}\,\mathrm{Hom}(M_{v_0},J).Cet Cet élément localisé en \eta est nul, mais c'est là tout ce que nous pouvons tirer du fait que u_0\varphi_0 et u_\eta se prolongent. Mais v et u_\eta nous savons plus : les prolongements sont faits de façon que v_\eta=\varphi_\etau_\eta\varphi_\eta. À priori, l'idée une fois acquise le jeu des 2 possibilités séparées des deux obstructions, i.e. dans (1) de l'existence de deux éléments dans les coins, la possibilité de les choisir de façon cohérente se trouve dans
\mathrm{Hom}(M_{v_0},J_\eta)/\mathrm{Im}\bigl(\mathrm{Hom}(M_{v_0},J)+\mathrm{Hom}(M_{u_0},J_\eta)\bigr)=\mathrm{Hom}(N,J_\eta)/\mathrm{Im}\,\mathrm{Hom}(M_{v_0},J).
Soit \eta' cet élément. Notons que \xi''' définit également un élément de ce groupe, puisque
\mathrm{Hom}(N,J_n)/\mathrm{Im}\,\mathrm{Hom}(M_{v_0},J)\subset\mathrm{Hom}(N,J_\eta)/\mathrm{Im}\ldots
Nous admettrons que l'on a \eta'=\xi'''. Comme par hypothèse \eta'=0, on a \xi'''=0, OK.
Dans ces deux pages les indices J_n et J_\eta se ressemblent sur la feuille ; la lecture suit la p. 18, où J_n est le quotient de J par \pi^{n}, et J_\eta est le localisé en \eta.