Cote n° 91 · batch 1 · pages 1–20 · Transcription · Autour de Néron / Greenberg-Néron. Foncteurs Hom (méthodes non-projectives) : notes manuscrites (s.d.), lettre (1967).
Datation de l’inventaire : [à partir de 1964-vers 1970]
Édition de démonstration

Représentabilité des foncteurs \(\underline{\mathrm{Hom}}\), \(\prod_{T/S} X/T\), de Greenberg etc.

Ce titre est le sien : il est seul sur la feuille de la p. 1, qui sert de couverture.

2Représentabilité relative de \(\prod_{X/S} P/X\) (sans hyp. projective)

« Flattening functor »

Passage au quotient

\(\underline{\mathrm{Hom}}_S(X,Y)\)

\(\underline{\mathrm{Aut}}_S(X)\)

La feuille ne porte que ces lignes, en haut à droite et au milieu : une liste de sujets plutôt qu'un texte.

4Th. Soit \(f\colon X\to S\) un morphisme ⌜plat⌝ de type fini, avec \(S\) loc. noeth., \(Y\to X\) un morph. ⌜de type fini⌝ un sous-préschéma […] de \(X\). Pour que \(\prod_{X/S} Y/X\) soit représentable il f. et s. qu'il commute aux limites projectives adiques d'anneaux artiniens, et ⌜si \(Y\to X\) est une immersion (fermée)⌝ alors il est représentable par un sous-préschéma (fermé) de \(S\).

il suffit que \(Y\to X\) soit un monomorphisme […]

Dém. Vérifions les conditions générales du th. de représentabilité par morphismes non nécessairement séparés.

1°) \(F\) faisceau pour fpqc : EGA IV 8 clair.

2°) \(F\) commute aux \(\varinjlim\) d'anneaux : clair EGA IV 8.

\(+\) t.f.

3°) C'est la condition de commutation aux \(\varprojlim\) adiques d'artiniens.

4°), 5°), 6°) Dans le cas d'un monomorphisme \(F\to S\) se réduit à ceci : si \(A\to A'\) est un hom. injectif d'artiniens ⌜(\(A'\) fini sur \(A\))⌝, alors \(F(A)\to F(A')\) est bijectif, ou encore \(F(A')\neq\emptyset \Rightarrow F(A)\neq\emptyset\). Il faut prouver que si \(X_{A'}=Y_{A'}\), alors \(X_A=Y_A\). C'est clair, car \(X_A\) étant plat sur \(A\), \(\mathcal{O}_{X_A}\to\mathcal{O}_{X_A}\otimes_A A'\) est injectif.

\(+\) plat

7°) Si \(T\) sur \(S\) est noeth. local, noeth., muni d'un idéal de carré nul \(J\), \(T_0=V(J)\), \(U\) ouvert de \(T\) tel que \(T\) soit l'adhérence schématique de \(U\), alors pour […] le carré \[ \begin{array}{ccc} F(T) & \longrightarrow & F(T_0)\\ \downarrow & & \downarrow\\ F(U) & \longrightarrow & F(U_0) \end{array} \] est cartésien.

\(+\) plat

La démonstration de 7° continue en p. 6 ; la p. 5 en est une première rédaction de l'énoncé, biffée.

5Théorème. Soit \(f\colon X\to S\) ⌜plat⌝, de présentation finie, \(Y\) un sous-préschéma de \(X\) de présentation finie. Pour

Page entièrement biffée, où l'énoncé s'interrompt après « Pour ».

6En d'autres termes ⌜r.c.⌝ […] : si \(F(T_0)\neq\emptyset\), \(F(U)\neq\emptyset\), alors \(F(T)\neq\emptyset\). ⌜En fait, il suffit ici \(F(U)\neq\emptyset\) pour \(F(T)\neq\emptyset\)⌝ ⌜(6 lorsque \(Y\) est supposé fermé dans \(X\))⌝. En d'autres termes si \(X_{T_0}=Y_{T_0}\) et \(X_U=Y_U\), alors \(X=Y\). En effet, comme \(T\) est l'adhérence schématique de \(U\) et \(X_T\) plat sur \(T\), \(X_T\) est l'adhérence schématique de \(X_U\), donc on gagne \(Y_T=X_T\) puisque \(Y_T\) sous-préschéma fermé de \(X_T\) majorant \(X_U\).

8°) Si \(T\) sur \(S\) irréductible muni de \(J\) de carré nul, \(T_0=V(J)\), si \(F(T_0)\neq\emptyset\), alors \(\exists\) ouvert dense […] \(\exists\) ouvert dense \(U\) de \(T\) \(F(\mathcal{O}_{T,\eta})\neq\emptyset\) tel que \(F\) tel que \(F_U\) représentable.

\(X\) plat t.f.

En effet, il suffit que \(X_U\) soit « ens. libre » sur \(U\), et on sait qu'on peut trouver \(U\) de cette façon. EGA IV 11.

⌜D⌝onc […] conditions 1° […] 7° […] sont vérifiées par le foncteur […].

Corollaire

Corollaire. Supposons que \(X\) soit un \(S\)-groupe, \(Y\) un \(S\) sous-groupe. Supposons que \(X\) ait la propriété suivante : Pour tout \(T\) ⌜sur \(S\)⌝ spectre d'un anneau de valuation discrète, et tout […] de \(X_T\) qui contient […] spécial […]

Le corollaire est barré de trois longues diagonales ; il est repris p. 7.

7La commutation aux \(\varprojlim\) adiques peut aussi s'exprimer ainsi :

(L) Pour tout \(T\) ⌜sur \(S\)⌝ spectre d'un anneau local noeth. complet sur \(S\) ⌜(qu'on peut supposer complet, à corps rés. alg. clos)⌝, et tel que \(Y_T\) majore un voisinage induit de la fibre spéciale de \(X_T\), on a […] \(X_T=Y_T\).

Corollaire. Cas \(X\) propre sur \(S\) ; O.K.

Si \(X\) est un groupe, \(Y\) un sous-groupe, on sait que \(Y_T\) contient ⌜majore⌝ un voisinage induit de la section unité, donc \(Y_T\to X_T\) est ⌜un mono.⌝ étale, […] étant une immersion fermée, c'est une immersion ouverte et fermée. ⌜De plus, la vérification \(Y_T=X_T\) se fait⌝ Donc dans le cas dans […] « connexité », donc se ramène au cas où \(T\) est ⌜le spectre d'un anneau⌝ de valuation discrète. Donc

Corollaire. Dans ce cas, la condition (L) équivaut à la suivante : Pour tout \(T\) sur \(S\) spectre d'un anneau local noeth. ⌜de valuation discrète⌝ (qu'on peut supposer complet à corps rés. alg. clos), tel que \(Y_T\) soit un sous-groupe ouvert et fermé de \(X_T\) qui contient la fibre générique ⌜spéciale⌝, on a \(Y_T=X_T\). Cette condition est vérifiée dans chacun des cas suivants :

a) \(X\) à fibres connexes

b) Il existe une famille de sous-groupes finis ⌜schémas⌝ \(G_i\) de \(G\), finis sur \(S\), et telle que pour chaque \(s\in S\), la réunion ensembliste des \(G_{i,\bar s}\cdot G^0_{\bar s}\) soit \(G_{\bar s}\).

Dans b) le groupe s'appelle \(G\) et non plus \(X\) : c'est sur la page.

8Définition. Un groupe ⌜(hypothèses)⌝ \(X\) sur \(S\) est dit ⌜relativement⌝ […]

Définition. On dit qu'une condition R est satisfaite par un préschéma en groupes \(G\) de type fini sur \(S\) localement noeth si pour tout schéma local \(T\) sur \(S\), et tout sous-groupe ouvert et fermé \(U\) de \(G_T\) qui majore la fibre spéciale, on a \(U=G_T\).

Condition R

Lorsque \(G\) est \(G\) est de type fini sur \(S\) loc. noeth., il suffit de tester avec \(T\) spectre d'un anneau de valuation discrète [complet, corps rés. alg. clos].

La première ligne de la définition est en partie surchargée ; « une condition R est satisfaite par » est une lecture de sens plus que de lettres.

Corollaire. Soit \(X\) \(X\) de type fini sur ⌜type⌝ présentation finie sur \(S\) ⌜loc. noeth⌝, \(H\) \(Y\) un sous-groupe fermé de \(X\), présentation finie. Supposons que \(X\) satisfait R. Alors \(\prod_{X/S} Y/X\) est représentable par un sous-préschéma fermé de \(S\).

Exemples

Soit Corollaire. Soit \(G\) schéma en groupes noeth. sur \(S\) loc. noeth., \(H\) un sous-groupe fermé de type fini sur \(S\) satisfaisant à la condition R ⌜(si \(G\) séparé sur \(S\))⌝. Alors \(\mathrm{Cent}_G(H)\) et \(\mathrm{Norm}_G(H)\) sont représentables par un sous-préschéma fermé de \(G\). De même \(\mathrm{Transp}_G(H,K)\).

Ce dernier corollaire est barré de deux diagonales ; il est repris p. 9.

9Corollaire. Soit \(u\colon H\to G\) un homom. de préschémas en groupes ⌜sur \(S\)⌝, ⌜et⌝ séparés sur \(S\), avec \(G\) loc. noeth., \(H\) de type fini sur \(S\), Alors \(H\) ⌜plat et⌝ satisfaisant à la condition R si \(G\) séparé sur \(S\) (p. ex. à fibres connexes…). Alors \(\mathrm{Cent}_G(u)\) est représentable par un sous-préschéma fermé de \(G\), Celui-ci fermé si \(G\) est séparé sur \(S\). Si \(K\) est un sous-groupe de \(G\) ⌜de t.f. sur \(S\)⌝, alors \(\mathrm{Transp}_G(u,K)\) est représentable, et si \(K\) est un sous-préschéma de \(G\) (resp. sous-préschéma fermé de \(G\)) il en est de même de \(\mathrm{Transp}_G(u,K)\). Enfin, si \(u\) et \(H\) \(K\) est également plat sur \(S\) et satisfait la condition R, et si \(u\) est un monom., alors Pour \(\mathrm{Transp}_G\) \(\mathrm{Transp}_G(u,K)\) \(\mathrm{Transp}_G(H,K)\) est représentable par un sous-préschéma de type fini sur \(G\), et c'est un sous-préschéma (resp. sous-préschéma fermé) s'il en est de même de \(H\) et \(K\) dans \(G\). En particulier, \(\mathrm{Norm}_G(H)\) est représentable, c'est un sous-préschéma (sous-préschéma fermé) de \(G\) si \(H\) l'est.

10Variantes débarrassées d'hypothèses noethériennes […]

Variante. Pour un morphisme \(Y\to X\) non ramifié.

N.B. Il faudrait également […] du Th. précédent […].

Théorème. Soit \(f\colon X\to S\) morphisme de type fini, \(S\) loc. noeth., \(E\) cohérent sur \(X\). Soit \(F\) le sous-foncteur de \(S\) : \[ F(S')=\begin{cases}\emptyset & \text{si } E_{S'} \text{ non plat sur } S'\\ \{\emptyset\} & \text{sinon}\end{cases} \] (comme Module plat). Pour que ce foncteur soit représentable, il f. et s. qu'il commute aux limites projectives adiques d'anneaux artiniens.

Vérification en divers pts.

1°) Faisceau pour fpqc : clair.

2°) Commute aux \(\varinjlim\) d'anneaux : EGA IV 8 et IV 11.

\(X\) type fini sur \(S\), \(E\) coh.

3°) Condition de commutation aux \(\varprojlim\) d'artiniens.

4°) 5°) 6°) Si \(A\to A'\) injectif (\(A'\) fini sur \(A\) local artinien) alors \(F(A)\to F(A')\) bijectif, i.e. \(F(A')\neq\emptyset\Rightarrow F(A)\neq\emptyset\), i.e. \(X_{A'}\) plat (je veux dire \(E\) plat) sur \(A'\) \(\Rightarrow\) \(X_A\) plat (id.) sur \(A\). EGA IV 11.

7°) […] \(F(T_0)\neq\emptyset\), \(F(U)\neq\emptyset \Rightarrow F(T)\neq\emptyset\), i.e. \(X_{T_0}\) plat et \(X_U\) plat \(\Rightarrow\) \(X_T\) plat. EGA IV 11.

Ici comme en 4°–6°, il écrit \(X_\cdot\) plat là où il s'agit de la platitude de \(E_\cdot\) ; il le dit lui-même en 4°.

118°) […] Trouver \(U\) ; il suffit de trouver que \(X_{U_0}\) soit « ens. libre » sur \(U_0\), OK par EGA IV 11.

La condition énoncée dans le th. signifie ceci :

(L) Pour tout \(T\) spectre d'un anneau ⌜local noeth.⌝ de valuation discrète, \(\{\)complet à corps résiduel alg. clos si on y tient\(\}\), tel que \(E_T\) sur \(X_T\) soit plat sur \(T\) dans un voisinage de la fibre spéciale […], alors \(E_T\) est plat sur \(T\). Exemple

N.B. On peut supposer \(\dim T=1\), […] \(T\) irréductible […] i.e. […] spectre d'un anneau de valuation discrète […]

Corollaire 1. O.K. si \(f\colon X\to S\) est propre.

Corollaire 2. O.K. si \(G\) \(E=\mathcal{O}_X\), \(X\) un préschéma en groupes sur \(S\), satisfaisant à la condition R plus haut.

Corollaire 3. Soit \(f\colon X\to S\) un morphisme de type fini ⌜prés. finie⌝, \(S\) loc. noeth. […]. Conditions équivalentes […] :

(i) \(f\) se factorise en \(f'f''\), \(X\xrightarrow{f''}S'\xrightarrow{f'}S\), avec \(f''\) fid. plat et quasi-compact, \(f'\) immersion

(i bis) id., avec \(f''\) plat, \(f'\) imm.,

(ii) Le morphisme \(X\times_S X\xrightarrow{\mathrm{pr}_1}X\) est plat.

La disposition de la factorisation \(X\to S'\to S\) en (i) est restituée ; le second mot après « fid. plat » est peu lisible.

12Sous ces conditions, la factorisation (i) est unique à isom. près, et \(S'\) est de t.f. ⌜prés. finie⌝ sur \(S\).

(i) \(\Rightarrow\) (i bis) \(\Rightarrow\) (ii) trivial. D'où l'unicité de la factorisation (i), car \(X\to S'\) sera quotient, donc quotient pour fpqc, donc \(S'=X/R\), où \(R=X\times_S X\).

Reste à prouver (ii) \(\Rightarrow\) ⌜le faisceau⌝ \(X/R\) est représentable par un \(S'\) de ⌜prés.⌝ type finie sur \(S\). (N.B. alors, […])

[N.B. Alors \(X\to S'\) est couvrant pour fpqc, comme on le voit […] \(X\to S'\) et donc \(X\times_S X=R\to X\) qui est fid. plat par hypothèse, il est fid. plat […], ce qui implique ⌜aussi⌝ que \(S'\to S\) est ⌜[…]⌝ donc plat.]

Or […] le foncteur représenté par \(X/R\to S\) est ⌜(i.e. le suivant :⌝ ⌜\(\Leftrightarrow X_T\to T\) couvrant fpqc)⌝ \[ F(T)=\begin{cases}\emptyset & \text{si } X_T \text{ non fid.\ plat sur } T\\ \{\emptyset\} & \text{sinon}\end{cases} \] D'ailleurs on est ramené au cas \(S\) affine, noethérien. et Alors on applique le th., qui nous dit qu'il suffit de vérifier pour (L). Or […] de cette condition, \(X_T\to T\) est couvrant [car il existe un pt \(x\) de la fibre spéciale, et pour […] \(\mathcal{O}_{X,x}\) sur \(\mathcal{O}_{T,t_0}\) est fid. plat] […].

13Exemple

Corollaire. Soit \(G\) un préschéma en groupes de type ⌜prés.⌝ finie sur \(S\), loc. noeth. \(P\) un fibré principal préschéma de prés. finie sur \(S\) sur lequel \(G\) opère, de façon que \(P\) soit formellement principal homogène sous \(G\). Sous ces conditions, il existe un sous-préschéma \(S'\hookrightarrow S\), tel que \(P\to S\) se factorise par \(P\to S'\), et que \(P\) \(P\) devienne formellement principal homogène sous \(G\), i.e. \(P\to S'\) est plat fid. plat. [De plus, \(S'\) est unique à isomorphisme unique près, et est de prés. finie sur \(S\).]

Corollaire. Soit \(u\colon G\to H\) un homom. de \(S\)-préschémas en groupes, de présentation et de présentation finie. Supposons \(\mathrm{Ker}\,u=N\) [qui est de prés. finie sur \(S\)] plat sur \(S\). Alors le foncteur \(G/N\) existe.

15

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
Z \arrow[r, "\varphi"] \arrow[dr, "h"'] & X \arrow[d, no head, "f"] & Y \arrow[dl, no head, "g"] \\
 & S &
\end{tikzcd}

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
{Z'} \arrow[r, "{\varphi'}"] \arrow[rr, bend left=20, "v"] \arrow[dr, "{h'}"'] & {X'} \arrow[r, "w"] \arrow[d, "{f'}"] & {Y'} \arrow[dl, "{g'}"] \\
 & {S'} &
\end{tikzcd}

Dans le premier diagramme, \(f\) et \(g\) sont deux traits sans pointe ; dans le second, toutes les flèches vont vers \(S'\). L'étiquette de la flèche \(X'\to Y'\) se lit \(w\), celle de l'arc \(Z'\to Y'\) se lit \(v\).

Énoncé plutôt en termes de \(\prod_{X/S} P/X\to\prod_{Z/S} Q/Z\)

\(f\), \(h\) plat et propre sur \(S\) loc. noeth.

\(g\) \(g,h\) de type fini [et non ramifié ?]

suffit si \(Z\to X\) est surjectif

N.B. L'hypothèse \(S\) loc. noeth. peut être remplacée par des hypothèses de présentation finie sur \(f,g,h\).

Posons […]

a) Le sous-foncteur de \(\underline{\mathrm{Hom}}_S(X,Y)\) […] \(u\mapsto u\circ\varphi\), \(\underline{\mathrm{Hom}}_S(X,Y)\to\underline{\mathrm{Hom}}_S(Z,Y)\) non ramifié sur ⌜\(\underline{\mathrm{Hom}}_S(Z,Y)\)⌝ […], est un sous-foncteur ouvert.

Il correspond à \(u'\colon X'\to Y'\) tel que, pour tout \(s\in S'\), \[ \mathrm{Hom}\bigl(u_s'^{*}(\Omega^1_{Y'_s/k(s)}),k(s)\bigr)\longrightarrow\mathrm{Hom}\bigl(v_s^{*}(\Omega^1_{Y'_s/k(s)}),k(s)\bigr) \] soit injectif. Or on peut trouver sur \(S'\) des Modules cohérents \(M_u\), \(M_v\) tels que pour tout \(J\) quasi-cohérent sur \(S'\), on ait des isomorphismes fonctoriels \[ \mathrm{Hom}_{\mathcal{O}_{X'}}\bigl(u^*(\Omega^1_{Y'/S'}),\mathcal{O}_{X'}\otimes_{\mathcal{O}_{S'}}J\bigr)\simeq\mathrm{Hom}_{\mathcal{O}_{S'}}(M_u,J), \] \[ \mathrm{Hom}_{\mathcal{O}_{Z'}}\bigl(v^*(\Omega^1_{Y'/S'}),\mathcal{O}_{Z'}\otimes_{\mathcal{O}_{S'}}J\bigr)\simeq\mathrm{Hom}_{\mathcal{O}_{S'}}(M_v,J), \] et la formation de \(M_u\), \(M_v\) commute […] à l'extension de la base. Ceci dit, […] un homomorphisme \[ (*)\qquad M_v\longrightarrow M_u \] qui définit par \(\mathrm{Hom}(\;,J)\) l'homomorphisme naturel \[ \mathrm{Hom}_{\mathcal{O}_{X'}}\bigl(u^*(\Omega^1_{Y'/S'}),\mathcal{O}_{X'}\otimes_{\mathcal{O}_{S'}}J\bigr)\longrightarrow\mathrm{Hom}_{\mathcal{O}_{Z'}}\bigl(v^*(\Omega^1_{Y'/S'}),\mathcal{O}_{Z'}\otimes_{\mathcal{O}_{S'}}J\bigr). \] Dire […] la condition de non ramification […] en un pt \(s\in S'\), signifie que \[ M_v\otimes k(s)\longrightarrow M_u\otimes k(s) \] est surjectif, et par Nakayama ceci […]

N.B. […]

Page très serrée en haut ; les deux diagrammes, l'encadré et les hypothèses y sont disposés côte à côte, et sont transcrits l'un après l'autre. La phrase continue en tête de la p. 16.

16voisinage.

Nous désignerons par \[ F=F_\varphi=\underline{\mathrm{Hom}}_S(X,Y;\varphi) \] le sous-foncteur précédent de \(\underline{\mathrm{Hom}}_S(X,Y)\), dont les valeurs sur \(S'\) sont l'ens. des \(S'\)-homomorphismes \(u\colon X'\to Y'\) tels que, posant \(v=u\varphi'\), et considérant \(M_v\), \(M_u\), \(M_v\to M_u\) correspondants, \(M_v\to M_u\) soit surjectif.

Théorème. \(\underline{\mathrm{Hom}}_S(X,Y;\varphi)\to\underline{\mathrm{Hom}}_S(Z,Y)\) est représentable par immersions ouvertes […].

Corollaire. Si \(\underline{\mathrm{Hom}}_S(Z,Y)\) est représentable, alors \(\underline{\mathrm{Hom}}_S(X,Y;\varphi)\) l'est également, et le morphisme \(\underline{\mathrm{Hom}}_S(X,Y;\varphi)\to\underline{\mathrm{Hom}}_S(Z,Y)\) est non ramifié.

Principe de la démonstration. On peut supposer donné un \(v\colon\underline{\mathrm{Hom}}_S(Z,Y)\) […], et on doit représenter le sous-foncteur de \(\underline{\mathrm{Hom}}_S(X,Y)\) dont les valeurs sur \(S'\) sont l'ens. des homomorphismes \(u'\colon X'\to Y'\) tels que 1°) \(u'\circ\varphi'=v'\) 2°) La condition \(M_{v'}\to M_{u'}\) surjectif. On applique le critère général des représentabilités ⌜[…]⌝ foncteurs

N.B. Réduction au cas \(S\) noeth. intègre […] dans toute […] représentabilité […]

17préschémas […] ⌜non ramifiés⌝ […] séparés sur \(S\). Seules ⌜deux conditions⌝ les conditions de modularité ne résultent pas des techniques habituelles. […] Celles qui […] se démontrent par […], avec le calcul habituel d'obstructions.

[…]

Reste le cas où \(S\) est local […] de dim 1, avec Idéal \(J\) annulé par l'idéal maximal, d'où \(S_0=V(J)\), et où on dispose de \(u_0\colon X_0\to Y_0\) (tel que \(u_0\varphi_0=v_0\)) et un prolongement \(u_\eta\colon X_\eta\to Y_\eta\) (\(\eta\) le pt générique de \(S\)) tel que \(u_\eta\varphi_\eta=v_\eta\), \(u_{\eta 0}=u_{0\eta}\). Question de prolonger \(u_0\) en \(u\) tel que \(u\varphi=v\). Soient \(P(u_0,S)\), \(P(u_0,S_\eta)\) ; \(P(v_0,S)\), \(P(v_0,S_\eta)\) les prolongements de \(u_0\) resp. \(v_0\) sur \(S\), […] de \(u_{0\eta}\) resp. \(v_{0\eta}\) sur \(S_\eta\), d'où le diagramme commutatif

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
\text{(1)} & P(u_0,S) \arrow[r] \arrow[d] & P(u_0,S_\eta)\ast \arrow[d] \\
 & \ast P(v_0,S) \arrow[r] & P(v_0,S_\eta)
\end{tikzcd}

d'ensembles principaux homogènes sous les gr. du diagramme

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
\text{(2)} & \mathrm{Hom}(M_{u_0}^{*},J) \arrow[r] \arrow[d] & \mathrm{Hom}(M_{u_0},J_\eta) \arrow[d] \\
 & \mathrm{Hom}(M_{v_0},J) \arrow[r] & \mathrm{Hom}(M_{v_0},J_\eta)
\end{tikzcd}

Par hypothèse on tient des éléments aux […]

L'indice qu'il écrit comme un \(y\) est lu \(\eta\), le point générique qu'il nomme ainsi plus haut. Les deux étoiles du diagramme (1) marquent les éléments dont parle la p. 18 ; l'astérisque de \(M_{u_0}^{*}\) dans (2) est sur la page.

18marqués de \((\ast)\), dont l'image dans le coin droit du bas sont les mêmes, on cherche un élément du coin gauche en haut qui […] nos éléments marqués. On note qu'il suffit pour ceci que \(P(u_0,S)\neq\emptyset\), car alors le diagramme (1) est isomorphe à (2), or (2) est cartésien, grâce au fait que \(M_{v_0}\to M_{u_0}\) est surjectif. Or l'obstruction à trouver un élément dans \(P(u_0,S)\) est […] \[ \partial(u_0)=\xi\in\mathrm{Ext}^1_{\mathcal{O}_{P_0}}(P_0;I_{\Gamma_0},\mathcal{O}_{\Gamma_0}\otimes_{S_0}J) \] où \(P_0=X_0\times_{S_0}Y_0\), […] \(\Gamma_0\) est le sous-préschéma de \(P_0\) graphe de \(u_0\), et où \(I_{\Gamma_0}\) est l'Idéal de \(P_0\) qui le définit. C'est un module sur \(A_0\), qui s'annule quand on […] ⌜localise en \(\eta\)⌝, donc si \(\pi\) est une uniformisante de \(A\), il existe un \(n\geqslant 0\) tel que \(\pi^n\xi=0\). Utilisons la suite exacte \[ (\ast)\qquad 0\to J\xrightarrow{\;\pi^{n}\;}J\to J_n\to 0 \] et la suite exacte correspondante \[ 0\to\mathcal{O}_{\Gamma_0}\otimes_{S_0}J\xrightarrow{\;\pi^{n}\;}\mathcal{O}_{\Gamma_0}\otimes_{S_0}J\to\mathcal{O}_{\Gamma_0}\otimes_{S_0}J_n\to 0 \] et la suite exacte des \(\mathrm{Ext}^i_{\mathcal{O}_{P_0}}(P_0;I_{\Gamma_0},-)\) ; on trouve que \(\xi\) provient d'un élément \[ \xi'\in\mathrm{Hom}_{\mathcal{O}_{P_0}}(P_0;I_{\Gamma_0},\mathcal{O}_{\Gamma_0}\otimes_{S_0}J_n) \] mod \(\mathrm{Im}\,\mathrm{Hom}_{\mathcal{O}_{P_0}}(P_0;I_{\Gamma_0},\mathcal{O}_{\Gamma_0}\otimes_{S_0}J)\).

[…] \(P_0\) […] \(P_1\) […]

L'exposant de \(\pi\) au-dessus de la flèche de \((\ast)\) est à demi effacé ; \(\pi^{n}\) est la lecture qui s'accorde avec \(\pi^n\xi=0\).

19Or le ⌜premier terme des⌝ deuxième membres se réduit à \[ \mathrm{Hom}_{\mathcal{O}_{P_0}}(I_{\Gamma_0}/I_{\Gamma_0}^2,\mathcal{O}_{\Gamma_0}\otimes_{S_0}J_n)\simeq\mathrm{Hom}_{\mathcal{O}_{X_0}}\bigl(u_0^*(\Omega^1_{Y_0/S_0}),\mathcal{O}_{X_0}\otimes_{S_0}J_n\bigr) \] \[ \simeq\mathrm{Hom}_{S_0}(M_{u_0},J_n) \] et de même […] le deuxième terme s'écrit \(\mathrm{Hom}_{S_0}(M_{u_0},J)\), de sorte que l'obstruction peut être considérée comme un élément \[ \xi''\in\mathrm{Hom}_{A_0}(M_{u_0},J_n)/\mathrm{Im}\,\mathrm{Hom}_{A_0}(M_{u_0},J)\hookrightarrow\mathrm{Ext}^1_{A_0}(M_{u_0},J) \] [en utilisant encore, pour la dernière inclusion, la suite exacte \((\ast)\)]. Donc on obtient un élément \[ \xi''\in\mathrm{Ext}^1_{A_0}(M_{u_0},J) \] annulé par une puissance de \(\pi\) dont l'annulation est nécessaire et suffisante pour la possibilité de prolonger \(u_0\) en \(u\colon X\to Y\). On trouve de même un \[ \eta''\in\mathrm{Ext}^1_{A_0}(M_{v_0},J) \] et nous admettrons que \(\eta''\) est l'image de \(\xi''\) par \(M_{v_0}\to M_{u_0}\). Or \(\eta''\) est nul, car \(v_0\) se prolonge en \(v\), […]. Utilisons la suite exacte \[ 0\to N\to M_{v_0}\to M_{u_0}\to 0, \] il vient, par la suite exacte des \(\mathrm{Ext}^i(\;,J)\), que \(\xi''\) correspond à un élément

« \(\eta''\) est nul » est souligné par lui.

20\[ \xi'''\in\mathrm{Hom}(N,J)/\mathrm{Im}\,\mathrm{Hom}(M_{v_0},J). \] Cet Cet élément localisé en \(\eta\) est nul, […] mais c'est là tout ce que nous pouvons tirer du fait que \(u_0\varphi_0\) et \(u_\eta\) se prolongent. Mais ⌜\(v\) et \(u_\eta\)⌝ nous savons plus : les prolongements sont faits de façon que \(v_\eta=\) \(\varphi_\eta\) \(u_\eta\varphi_\eta\). À priori, l'idée une fois acquise le jeu des 2 possibilités séparées des deux obstructions, i.e. dans (1) de l'existence de deux éléments dans les coins, la possibilité de les choisir de façon cohérente se trouve dans \[ \mathrm{Hom}(M_{v_0},J_\eta)/\mathrm{Im}\bigl(\mathrm{Hom}(M_{v_0},J)+\mathrm{Hom}(M_{u_0},J_\eta)\bigr) \] \[ =\mathrm{Hom}(N,J_\eta)/\mathrm{Im}\,\mathrm{Hom}(M_{v_0},J). \] Soit \(\eta'\) cet élément. Notons que \(\xi'''\) définit également un élément de ce groupe, puisque \[ \mathrm{Hom}(N,J_n)/\mathrm{Im}\,\mathrm{Hom}(M_{v_0},J)\subset\mathrm{Hom}(N,J_\eta)/\mathrm{Im}\ldots \] Nous admettrons que l'on a \(\eta'=\xi'''\). Comme par hypothèse \(\eta'=0\), on a \(\xi'''=0\), OK.

Dans ces deux pages les indices \(J_n\) et \(J_\eta\) se ressemblent sur la feuille ; la lecture suit la p. 18, où \(J_n\) est le quotient de \(J\) par \(\pi^{n}\), et \(J_\eta\) est le localisé en \(\eta\).