Cote n° 91 · pages 1–142 · Lecture modernisée · Autour de Néron / Greenberg-Néron. Foncteurs Hom (méthodes non-projectives) : notes manuscrites (s.d.), lettre (1967) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : [à partir de 1964-vers 1970]

Résumé

1–141

Le fil du dossier, et les conventions

Le dossier n'est pas paginé de sa main. Il est fait de suites séparées par deux feuilles de couverture, « Représentabilité des foncteurs \(\underline{\mathrm{Hom}}\), \(\prod_{T/S} X/T\), de Greenberg etc. » (page 1) et « Schémas localement compacts » (page 80), et par un titre isolé, « Greenberg – Néron » (page 123). Beaucoup de versos portent des dactylographies sans rapport (dont des pages Bourbaki) et ne sont pas transcrits. L'inventaire date l'ensemble « à partir de 1964 – vers 1970 » ; la seule date écrite est celle de la lettre, 11 septembre 1967.

Les stations, dans l'ordre des pages :

1. Pages 1 à 13. Sous-foncteurs de la base : le lieu où un sous-schéma \(Y\) de \(X\) remplit \(X\), le lieu où un faisceau est plat, le lieu où \(X \to S\) est fidèlement plat. Applications aux centralisateurs, normalisateurs, transporteurs, et aux quotients \(G/N\).
2. Pages 15 à 28. La méthode non projective pour \(\underline{\mathrm{Hom}}_S(X,Y)\) : le sous-foncteur ouvert \(\underline{\mathrm{Hom}}_S(X,Y;\varphi)\), sa théorie d'obstruction, et une série de corollaires (\(\underline{\mathrm{Isom}}\), \(\underline{\mathrm{Aut}}\)).
3. Pages 30 et 31. La lettre dactylographiée à Anantharaman qui expose cette méthode.
4. Pages 33 à 58. Deux plans d'exposé, le formalisme de la restriction de Weil, puis son étude le long d'un morphisme fini localement libre.
5. Pages 60 à 79. Un cadre commun : un foncteur \(\mathbb{W}\) « de nature locale » et son adjoint à droite \(\mathbb{W}^{a}\), dont la restriction de Weil et le foncteur de Greenberg sont deux cas.
6. Pages 80 à 121. « Schémas localement compacts » : applications constructibles, « ensembles schématiques », topologie constructible.
7. Pages 123 à 141. « Greenberg – Néron » : points épais, applications rationnelles entre schémas de Greenberg, l'ind-schéma \(A \mapsto A((t))^{*}\), pro-schémas, groupes de jets.

Les trois premières stations forment un tout, la quatrième et la cinquième en forment un autre, et les deux dernières un troisième. Le lien entre eux est celui que le résumé décrit : la méthode de la deuxième station demande la restriction de Weil des stations quatre et cinq ; celles-ci, prises dans le cas des vecteurs de Witt, donnent les schémas de Greenberg des deux dernières. Le dossier ne referme pas cette boucle : il n'y a ni construction d'un modèle de Néron, ni retour aux schémas \(\underline{\mathrm{Hom}}\) après la page 58.

Notations, valables pour tout le dossier. On écrit « schéma » pour son « préschéma »¹ et « lisse » pour son « simple ». La restriction de Weil d'un \(T\)-schéma \(X\) le long de \(f : T \to S\) est le foncteur sur les \(S\)-schémas \[ \mathrm{Res}_{T/S}(X) : S' \longmapsto \mathrm{Hom}_{T}(T \times_S S', X) = \Gamma\bigl(X \times_S S' / T \times_S S'\bigr), \] l'ensemble des sections de \(X' \to T'\) ; on le note ainsi partout, alors que les pages l'écrivent successivement \(\prod_{T/S} X/T\) (pages 1 à 33), \(f_{*}(X/T)\) (pages 34 à 58), \(\varphi_{S'/S}(\mathfrak{X})\) (pages 74 à 76) et \(\mathbb{W}^{a}(\mathfrak{X})\) (pages 60 à 79)² . Pour \(g : X \to Y\) un \(T\)-morphisme, \(\mathrm{Res}_{T/S}(g)\) est le morphisme qu'il note \(f_{*}(g)\). Le symbole souligné \(\underline{\mathrm{Hom}}_S(X,Y)\) est le foncteur \(S' \mapsto \mathrm{Hom}_{S'}(X', Y')\), et de même \(\underline{\mathrm{Isom}}\), \(\underline{\mathrm{Aut}}\) ; on garde le trait, qui note aujourd'hui encore le Hom interne. Les formules de la page 34 relient les deux : \(\underline{\mathrm{Hom}}_S(X,Y) = \mathrm{Res}_{X/S}(X \times_S Y)\), et \(\mathrm{Res}_{T/S}(X)\) est la fibre de \(\underline{\mathrm{Hom}}_S(T,X) \to \underline{\mathrm{Hom}}_S(T,T)\) au-dessus de l'identité.

Deux choses portent le même nom dans le dossier et sont tenues distinctes ici. Le « \(f_{*}\) » des pages 34 à 55 est la restriction de Weil, un adjoint à droite ; le « \(f_{*}^{\mathrm{\acute{e}t}}\) » des pages 56 à 58 est un adjoint à gauche, le schéma des composantes connexes relatives. Et la lettre \(\mathbb{W}\) désigne, page 64, à la fois le foncteur et le schéma en anneaux qui l'engendre ; on écrit \(\Lambda\) pour le second, lettre que les pages 61 et 65 emploient aussi.

1–13

I. Sous-foncteurs de la base (pages 1 à 13)

La couverture annonce le programme : « Représentabilité des foncteurs \(\underline{\mathrm{Hom}}\), \(\prod_{T/S} X/T\), de Greenberg etc. ». La page 2 n'est qu'une liste de sujets : représentabilité relative de \(\mathrm{Res}_{X/S}(P)\) sans hypothèse projective, « flattening functor », passage au quotient, \(\underline{\mathrm{Hom}}_S(X,Y)\), \(\underline{\mathrm{Aut}}_S(X)\). Les pages 4 à 13 en traitent la partie la plus simple : des foncteurs qui sont des sous-foncteurs de la base \(S\), c'est-à-dire qui prennent sur chaque \(S'\) au plus une valeur.

L'outil : un critère de représentabilité

Toutes les démonstrations de ces pages et des suivantes vérifient une même liste de huit conditions, numérotées de 1° à 8°, d'un « théorème de représentabilité par morphismes non nécessairement séparés » qui n'est pas énoncé dans le dossier. On reconnaît, par les conditions elles-mêmes et par la lettre de la page 30 qui l'attribue à « Murre's talk », le critère de représentabilité des foncteurs non ramifiés exposé par Murre au Séminaire Bourbaki³ . Les conditions sont, en substance : (1°) \(F\) est un faisceau pour la topologie fidèlement plate quasi-compacte ; (2°) \(F\) commute aux limites inductives filtrantes d'anneaux ; (3°) \(F\) commute aux limites projectives adiques d'anneaux locaux artiniens ; (4° à 6°) des conditions infinitésimales ; (7°) une condition de recollement : si \(T\) est local noethérien, muni d'un idéal \(J\) de carré nul, \(T_0 = V(J)\), et \(U\) un ouvert schématiquement dense de \(T\), le carré \[ \begin{array}{ccc} F(T) & \longrightarrow & F(T_0)\\ \downarrow & & \downarrow\\ F(U) & \longrightarrow & F(U_0) \end{array} \] est cartésien ; (8°) si \(T\) est intègre et \(F(T_0) \neq \emptyset\), \(F\) est représentable au-dessus d'un ouvert dense.

Le lieu où un sous-schéma remplit \(X\) (pages 4 à 7)

Théorème. Soient \(S\) localement noethérien, \(f : X \to S\) plat de type fini, et \(Y \to X\) un morphisme de type fini qui est un monomorphisme. Le sous-foncteur \(F\) de \(S\), défini par \(F(S') \neq \emptyset\) si et seulement si \(Y \times_S S' \to X \times_S S'\) est un isomorphisme, est représentable (par un monomorphisme de type fini \(S_Y \to S\)) si et seulement s'il commute aux limites projectives adiques d'anneaux artiniens. Si \(Y \to X\) est une immersion fermée, \(S_Y\) est alors un sous-schéma fermé de \(S\).⁴

Le foncteur est \(\mathrm{Res}_{X/S}(Y)\) : une section de \(Y' \to X'\), quand \(Y \to X\) est un monomorphisme, existe si et seulement si \(Y' = X'\), et elle est alors unique. Les conditions se vérifient ainsi. La platitude de \(X\) donne 4° à 6° : si \(A \to A'\) est un homomorphisme injectif d'anneaux artiniens, \(\mathcal{O}_{X_A} \to \mathcal{O}_{X_A} \otimes_A A'\) est injectif, de sorte que \(Y_{A'} = X_{A'}\) entraîne \(Y_A = X_A\). Elle donne aussi 7° : si \(T\) est l'adhérence schématique de \(U\), \(X_T\) est l'adhérence schématique de \(X_U\) (par platitude), donc un sous-schéma fermé de \(X_T\) qui contient \(X_U\) est \(X_T\) entier⁵ . La condition 8° vient de la platitude générique (EGA IV 11 : \(X_U\) « ensemblistement libre » sur un ouvert dense \(U\)).

La commutation aux limites adiques s'énonce aussi :

(L) pour tout \(S\)-schéma \(T\) spectre d'un anneau local noethérien (qu'on peut supposer complet, à corps résiduel algébriquement clos), si \(Y_T\) contient un voisinage de la fibre spéciale de \(X_T\), alors \(Y_T = X_T\).

Corollaires. Si \(X\) est propre sur \(S\), (L) est automatique. Si \(X\) est un groupe et \(Y\) un sous-groupe, \(Y_T\) contient un voisinage de la section unité, donc \(Y_T \to X_T\) est un monomorphisme étale, c'est-à-dire une immersion ouverte ; la vérification de \(Y_T = X_T\) se ramène, par connexité, au cas où \(T\) est le spectre d'un anneau de valuation discrète. D'où la condition, isolée page 8 :

(R) pour tout schéma local \(T\) sur \(S\) et tout sous-groupe ouvert \(U\) de \(G_T\) qui contient la fibre spéciale, on a \(U = G_T\).

Pour \(G\) de type fini sur \(S\) localement noethérien, il suffit de tester (R) sur les spectres d'anneaux de valuation discrète complets à corps résiduel algébriquement clos. (R) est vraie quand \(G\) est à fibres connexes, ou quand il existe des sous-schémas \(G_i\) finis sur \(S\) tels que, pour chaque \(s\), les \(G_{i,\bar s} \cdot G^{0}_{\bar s}\) recouvrent \(G_{\bar s}\).

Centralisateurs, normalisateurs, transporteurs (pages 8 et 9)

Corollaire. Soit \(X\) un schéma en groupes plat de type fini sur \(S\) localement noethérien, satisfaisant à (R), et \(Y\) un sous-groupe fermé. Alors \(\mathrm{Res}_{X/S}(Y)\) est représentable par un sous-schéma fermé de \(S\).⁶

Corollaire. Soit \(u : H \to G\) un homomorphisme de schémas en groupes sur \(S\), avec \(G\) localement noethérien, \(H\) plat de type fini sur \(S\) et satisfaisant à (R) (par exemple à fibres connexes). Alors \(\mathrm{Cent}_G(u)\) est représentable par un sous-schéma de \(G\), fermé si \(G\) est séparé sur \(S\). Si \(K\) est un sous-groupe de \(G\), le transporteur \(\mathrm{Transp}_G(u, K)\) est représentable, et c'est un sous-schéma (resp. un sous-schéma fermé) de \(G\) si \(K\) en est un. Si \(K\) est en outre plat et satisfait à (R), et si \(u\) est un monomorphisme, \(\mathrm{Transp}_G(H,K)\) est représentable par un schéma de type fini sur \(G\) ; en particulier \(\mathrm{Norm}_G(H)\) est représentable, et c'est un sous-schéma (fermé) de \(G\) si \(H\) l'est.

On l'obtient en appliquant le théorème au-dessus de \(G\) : le centralisateur est le lieu des \(g\) où les deux morphismes \(H_G \to G_G\), \(u\) et \(g u g^{-1}\), coïncident, c'est-à-dire où le sous-schéma « égaliseur » remplit \(H_G\). Ce sont les énoncés que SGA 3 établit dans les exposés VIII et XI sous d'autres hypothèses⁷ .

Le lieu de platitude (pages 10 et 11)

Théorème. Soient \(f : X \to S\) de type fini, \(S\) localement noethérien, \(E\) un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent. Le sous-foncteur de \(S\) \[ F(S') = \begin{cases} \{\ast\} & \text{si } E_{S'} \text{ est plat sur } S',\\ \emptyset & \text{sinon,}\end{cases} \] est représentable si et seulement s'il commute aux limites projectives adiques d'anneaux artiniens⁸ . La condition s'écrit : pour tout \(T\) spectre d'un anneau local noethérien, si \(E_T\) est plat sur \(T\) au voisinage de la fibre générique, il est plat. Elle est satisfaite si \(f\) est propre, et si \(E = \mathcal{O}_X\) avec \(X\) un schéma en groupes satisfaisant à (R).

C'est ce que la page 2 appelait « flattening functor ». Le cas propre est aujourd'hui le théorème de l'aplatissement universel, dû à Mumford dans le cas projectif et à Raynaud et Gruson en général⁹ .

Le lieu où un morphisme est fidèlement plat, et les quotients (pages 11 à 13)

Corollaire 3. Soit \(f : X \to S\) de présentation finie. Conditions équivalentes :

1. (i)\(f\) se factorise en \(X \xrightarrow{f''} S' \xrightarrow{f'} S\), avec \(f''\) fidèlement plat et \(f'\) un monomorphisme ;
2. (i bis)de même avec \(f''\) seulement plat ;
3. (ii)la projection \(\mathrm{pr}_1 : X \times_S X \to X\) est plate.

Sous ces conditions la factorisation (i) est unique à isomorphisme unique près, \(S' = X/R\) avec \(R = X \times_S X\), et \(S'\) est de présentation finie sur \(S\).¹⁰

La démonstration est celle de la page 12 : (i) \(\Rightarrow\) (i bis) \(\Rightarrow\) (ii) est immédiat, puisque \(X \times_S X = X \times_{S'} X\) quand \(S' \to S\) est un monomorphisme ; l'unicité vient de ce que \(X \to S'\) est un épimorphisme effectif pour fpqc. Pour (ii) \(\Rightarrow\) (i), on se ramène à \(S\) affine noethérien et l'on applique le théorème au foncteur « \(X_T \to T\) fidèlement plat » ; sous (ii), la condition (L) est satisfaite, car un point \(x\) de la fibre spéciale donne un anneau local \(\mathcal{O}_{X,x}\) fidèlement plat sur celui de \(T\).

Corollaires (page 13). (a) Soient \(G\) un schéma en groupes de présentation finie sur \(S\) et \(P\) un \(S\)-schéma de présentation finie sur lequel \(G\) opère de façon que \(P\) soit formellement principal homogène. Il existe un monomorphisme \(S' \to S\) par lequel \(P \to S\) se factorise et au-dessus duquel \(P\) est un torseur (fidèlement plat) sous \(G\) ; \(S'\) est unique à isomorphisme unique près. (b) Soit \(u : G \to H\) un homomorphisme de schémas en groupes de présentation finie, dont le noyau \(N\) est plat (et de présentation finie) sur \(S\). Alors le quotient \(G/N\) existe, comme schéma, et \(G \to G/N \to H\) factorise \(u\) en un épimorphisme fidèlement plat suivi d'un monomorphisme.

Pour (b) : \(G \times_H G \simeq G \times_S N\) est plat sur \(G\), et le corollaire 3 s'applique à \(G \to H\)¹¹ .

15–24

II. Le foncteur \(\underline{\mathrm{Hom}}_S(X, Y; \varphi)\) (pages 15 à 24)

La donnée, et le sous-foncteur ouvert (pages 15 et 16)

On se donne sur \(S\) un morphisme \(\varphi : Z \to X\) entre deux \(S\)-schémas \(X\) et \(Z\) plats et propres, et un \(S\)-schéma \(Y\) de type fini et séparé¹² . La composition avec \(\varphi\) définit \[ \varphi^{\sharp} : \underline{\mathrm{Hom}}_S(X,Y) \longrightarrow \underline{\mathrm{Hom}}_S(Z,Y), \qquad u \longmapsto u\varphi . \] Pour \(u : X' \to Y'\) au-dessus de \(S'\), posons \(v = u\varphi'\). Comme \(X'\) et \(Z'\) sont propres et plats, il existe des \(\mathcal{O}_{S'}\)-modules cohérents \(M_u\), \(M_v\), dont la formation commute au changement de base, tels que pour tout \(\mathcal{O}_{S'}\)-module quasi-cohérent \(J\) \[ \mathrm{Hom}_{\mathcal{O}_{X'}}\bigl(u^{*}\Omega^1_{Y'/S'},\, \mathcal{O}_{X'} \otimes J\bigr) \simeq \mathrm{Hom}_{\mathcal{O}_{S'}}(M_u, J), \] et de même pour \(v\) et \(Z'\) (EGA III 7.7.6). L'application naturelle entre les deux groupes de gauche provient d'un homomorphisme \(M_v \to M_u\). Le morphisme \(\varphi^{\sharp}\) est « non ramifié en \(u\) » au-dessus d'un point \(s\) si l'application tangente \(\mathrm{Hom}(u_s^{*}\Omega^1, k(s)) \to \mathrm{Hom}(v_s^{*}\Omega^1, k(s))\) est injective, c'est-à-dire si \(M_v \otimes k(s) \to M_u \otimes k(s)\) est surjectif ; par Nakayama, la condition est ouverte. On note \(\underline{\mathrm{Hom}}_S(X,Y;\varphi)\) le sous-foncteur ouvert des \(u\) pour lesquels \(M_v \to M_u\) est surjectif.

Théorème (page 16). Le morphisme \(\underline{\mathrm{Hom}}_S(X,Y;\varphi) \to \underline{\mathrm{Hom}}_S(Z,Y)\) est représentable par des morphismes non ramifiés. En particulier, si \(\underline{\mathrm{Hom}}_S(Z,Y)\) est représentable, \(\underline{\mathrm{Hom}}_S(X,Y; \varphi)\) l'est aussi.

La démonstration : l'obstruction (pages 16 à 20)

On fixe \(v : Z \to Y\) et l'on représente le foncteur des \(u\) tels que \(u\varphi = v\) et que \(M_v \to M_u\) soit surjectif, par le critère des pages 4 à 7 (version non ramifiée et séparée). Toutes les conditions sont « habituelles » sauf les deux de modularité, et la seule qui demande un calcul est 7° : \(S = \mathrm{Spec}\,A\) local noethérien de dimension \(1\) (dans le calcul, l'anneau d'une uniformisante \(\pi\)), \(J\) un idéal de carré nul, \(S_0 = V(J)\), \(\eta\) le point générique ; on a \(u_0 : X_0 \to Y_0\) avec \(u_0\varphi_0 = v_0\), et un prolongement \(u_\eta\) avec \(u_\eta \varphi_\eta = v_\eta\). Il s'agit de prolonger \(u_0\) en \(u\) avec \(u\varphi = v\).

Les prolongements de \(u_0\) (resp. \(v_0\)) sur \(S\) et sur le localisé en \(\eta\) forment un carré d'ensembles principaux homogènes sous le carré de groupes \[ \begin{array}{ccc} \mathrm{Hom}(M_{u_0}, J) & \longrightarrow & \mathrm{Hom}(M_{u_0}, J_\eta)\\ \downarrow & & \downarrow\\ \mathrm{Hom}(M_{v_0}, J) & \longrightarrow & \mathrm{Hom}(M_{v_0}, J_\eta) \end{array} \] et l'on cherche un élément du coin supérieur gauche relevant les deux éléments donnés aux coins voisins¹³ . Il suffit que l'ensemble des prolongements de \(u_0\) sur \(S\) soit non vide : le carré d'ensembles est alors isomorphe au carré de groupes, et celui-ci est cartésien parce que \(M_{v_0} \to M_{u_0}\) est surjectif et que \(J\) est sans torsion sur \(A\), ce qui rend \(\mathrm{Hom}(N, J) \to \mathrm{Hom}(N, J_\eta)\) injectif¹⁴ .

L'obstruction à l'existence de \(u\) est une classe \(\xi \in \mathrm{Ext}^1_{\mathcal{O}_{P_0}}(I_{\Gamma_0}, \mathcal{O}_{\Gamma_0} \otimes J)\), où \(P_0 = X_0 \times_{S_0} Y_0\), \(\Gamma_0\) est le graphe de \(u_0\) et \(I_{\Gamma_0}\) son idéal. Elle s'annule en \(\eta\), donc \(\pi^{n+1}\xi = 0\) pour un \(n\). La suite exacte \(0 \to J \xrightarrow{\pi^{n+1}} J \to J_n \to 0\), avec \(J_n = J/\pi^{n+1}J\), permet de la relever en une classe de \(\mathrm{Hom}(I_{\Gamma_0}/I_{\Gamma_0}^2, \mathcal{O}_{\Gamma_0} \otimes J_n) = \mathrm{Hom}(M_{u_0}, J_n)\) modulo l'image de \(\mathrm{Hom}(M_{u_0}, J)\), d'où une classe \(\xi'' \in \mathrm{Ext}^1_{A_0}(M_{u_0}, J)\), tuée par une puissance de \(\pi\), dont l'annulation équivaut au prolongement de \(u_0\). De même pour \(v_0\) une classe \(\eta''\), qui est nulle puisque \(v\) existe. Avec la suite exacte \(0 \to N \to M_{v_0} \to M_{u_0} \to 0\), \(\xi''\) provient d'une classe \(\xi''' \in \mathrm{Hom}(N, J)/\mathrm{Im}\,\mathrm{Hom}(M_{v_0}, J)\) ; la compatibilité des prolongements génériques donne une classe \(\eta'\) dans \(\mathrm{Hom}(N, J_\eta)/\mathrm{Im}\,\mathrm{Hom}(M_{v_0}, J)\), nulle par hypothèse, et si \(\eta' = \xi'''\) on conclut.

Deux pas sont admis, et la page le dit : que \(\eta''\) soit l'image de \(\xi''\) par \(M_{v_0} \to M_{u_0}\), et que \(\eta' = \xi'''\). La démonstration n'est donc pas achevée sur ces feuillets¹⁵ .

Une variante sous hypothèse de rigidité (pages 21 à 24)

La page 21 se propose de « simplifier les raisonnements, en éliminant les hypothèses de propreté sur \(X\), \(Z\) et le résultat délicat de l'existence de \(M_u\), \(M_v\) », en imposant une hypothèse de rigidité : l'application \[ \mathrm{Hom}\bigl(u_0^{*}\Omega^1_{Y_0/S_0}, \mathcal{O}_{X_0} \otimes G\bigr) \longrightarrow \mathrm{Hom}\bigl(v_0^{*}\Omega^1_{Y_0/S_0}, \mathcal{O}_{Z_0} \otimes G\bigr) \] injective pour tout \(G\) quasi-cohérent sur \(S_0\)¹⁶ . Les pages 22 à 24 refont alors le calcul : les relèvements de \(u_0\) correspondent aux scindages d'une extension \(0 \to \mathcal{O}_{\Gamma_0} \otimes J \to E \to I_{\Gamma_0} \to 0\) sur \(P_0\), ceux de \(v_0\) à ceux de l'extension qui s'en déduit sur \(Z_0 \times_{S_0} Y_0\), laquelle est déjà scindée. Les foncteurs \(\mathrm{Ext}^1\) en \(G\) sont représentés, d'où un diagramme de modules \(L \to M \to N \to 0\) au-dessus de \(0 \to L' \to M' \to N' \to 0\), et la condition d'existence d'un relèvement compatible, pour un \(\lambda : J \to G\) donné, est l'annulation de \(\lambda\) sur un sous-module \(R = R_1 + R_2\) de \(J\) ; autrement dit, le foncteur en \(G\) est représenté par \(J/R\), le conoyau d'une flèche \(\rho : L \oplus M' \to J\), et sa formation commute aux extensions plates de la base. C'est ce qui donne les conditions 7° et 8°. La surjectivité de \((i,\beta) : L \oplus M' \to M\), notée en marge, est la condition de non ramification¹⁷ .

24–28

III. Les théorèmes de représentabilité (pages 24 à 28)

Corollaire (page 24). Soit \(k\) un corps algébriquement clos, \(X\) propre sur \(k\) et \(P \to X\) localement de type fini et séparé. Alors \(\mathrm{Res}_{X/k}(P)\) est représentable par un schéma localement de type fini. Si \(P\) est quasi-projectif sur \(X\), ou seulement à fibres quasi-projectives, toute partie ouverte quasi-compacte en est quasi-projective sur \(k\) ; il suffit que pour tout \(x \in \mathrm{Ass}\,\mathcal{O}_X\) il existe \(y \in \overline{\{x\}}\) tel que la fibre \(P_y\) soit quasi-projective.¹⁸

Théorème (page 25), tel qu'il est annoncé. Soient \(X\) propre, plat et de présentation finie sur \(S\), \(P \to X\) localement de présentation finie, et \(Z_1, \ldots, Z_n\) des sous-schémas fermés de \(X\), plats et de présentation finie sur \(S\). On suppose :

1. (a)chaque \(\mathrm{Res}_{Z_i/S}(P_{Z_i})\) est représentable (par exemple \(Z_i\) radiciel sur \(S\), ou \(Z_i/S\) et \(P_{Z_i}/Z_i\) projectifs) ;
2. (b)\(X\) est normalement plat le long de chaque \(Z_i\) (par exemple \(Z_i\) lisse sur \(S\) et \(X\) lisse sur \(S\) aux points de \(Z_i\)) ;
3. (c)pour tout \(s \in S\) et tout point associé \(x\) de \(X_{\bar s}\), \(\bigcup_i Z_{i,\bar s}\) rencontre l'adhérence de \(x\).

Alors (i) \(\mathrm{Res}_{X/S}(P)\) est représentable par un schéma localement de présentation finie sur \(S\) ; (ii) pour toute partie ouverte quasi-compacte \(U\) de celui-ci, \(U \to \prod_i \mathrm{Res}_{Z_i/S}(P_{Z_i})\) est quasi-affine ; (iii) si les \(\mathrm{Res}_{Z_i/S}(P_{Z_i})\) sont quasi-projectifs sur \(S\) (par exemple \(Z_i\) fini et \(P_{Z_i}\) projectif), toute partie quasi-compacte de \(\mathrm{Res}_{X/S}(P)\) est quasi-projective sur \(S\), et il existe un fibré en droites sur \(\mathrm{Res}_{X/S}(P)\) ample relativement à \(S\) sur toute partie quasi-compacte.

La démonstration n'est pas dans le dossier, et nous ne vérifions pas que les hypothèses (a) à (c) suffisent¹⁹ . Il est suivi, pages 26 à 28, d'une liste de corollaires :

• Cor. 1 est contenu dans le théorème.
• Cor. 2. \(k\) un corps quelconque, \(X\) propre sur \(k\), \(P/X\) localement de type fini : si tout point associé \(x_i\) de \(X\) a dans son adhérence un point \(x'_i\) à corps résiduel radiciel sur \(k\) (plus généralement, tel que \(\mathrm{Res}_{k(x'_i)/k}(P_{x'_i})\) soit représentable), \(\mathrm{Res}_{X/k}(P)\) est représentable ; c'est le cas si \(X\) est irréductible et a un point rationnel.
• Cor. 3. Sans hypothèse sur les points, la représentabilité a lieu après une extension finie séparable \(k'/k\).
• Cor. 4. \(P/X\) à fibres quasi-projectives, \(X/k\) propre : \(\mathrm{Res}_{X/k}(P)\) existe et toute partie ouverte quasi-compacte est quasi-projective.
• Cor. 5. \(X\) propre et plat sur \(S\) noethérien intègre : il existe un ouvert \(U \neq \emptyset\) et un revêtement fini étale surjectif \(U' \to U\) au-dessus duquel \(\mathrm{Res}\) est représentable.
• Cor. 6. \(X \to S\) propre et plat à fibres géométriques intègres, muni d'une section le long de laquelle il est lisse : \(\mathrm{Res}_{X/S}(P)\) est représentable.
• Cor. 7. \(X \to S\) lisse et propre : représentable localement pour la topologie étale ; pour \(X\) seulement propre, plat, à fibres sans cycles associés immergés, localement pour la topologie fidèlement plate quasi-finie.
• Cor. 8. \(X\) et \(Y\) propres sur un corps \(k\) : \(\underline{\mathrm{Isom}}_k(X,Y)\) est représentable ; en particulier \(\underline{\mathrm{Aut}}_k(X)\).
• Cor. 9. \(X\) propre et plat sur \(S\) noethérien intègre : il existe \(U \neq \emptyset\) et \(U' \to U\) fini étale surjectif tels que \(\underline{\mathrm{Aut}}_S(X) \times_S U'\) soit représentable. « Il est plausible qu'on puisse même prendre \(U' = U\), c'est lié à une question d'effectivité de données de descente » ; en marge, « cf. Raynaud ».

Le corollaire 8 est le théorème de Matsumura et Oort : pour \(X\) propre sur un corps, \(\underline{\mathrm{Aut}}_k(X)\) est un schéma en groupes localement de type fini²⁰ . Le dossier EGA VI (cote 26) annonce au § 22 des « théorèmes du type Matsumura » pour \(\mathrm{Res}_{Y/S}(X)\) et les foncteurs voisins ; ces pages sont, en partie, ce que ce paragraphe aurait contenu, par une autre méthode que le schéma de Hilbert que la lecture du dossier 26 lui prête.

30–31

IV. La lettre à Anantharaman (pages 30 et 31)

Deux feuillets dactylographiés en anglais, sans signature, datés à la main « 11.9.1967 », adressés « Dear Anantharaman ». Ils sont de Grothendieck : le « je » y expose la méthode des pages 15 à 28 et propose d'envoyer « a photocopy of the statement of the general theorem », c'est-à-dire du théorème de la page 25²¹ .

En substance, Matsumura a prouvé que, pour \(X\) propre sur un corps \(k\), \(\underline{\mathrm{Aut}}_{X/k}\) est représentable par un schéma en groupes localement de type fini ; la lettre propose d'en systématiser l'étape centrale. Pour \(\varphi : Z \to X\) entre \(S\)-schémas propres, plats et de présentation finie, et \(Y\) localement de présentation finie et séparé, on a le sous-foncteur ouvert \(\underline{\mathrm{Hom}}_S(X,Y;\varphi)\) où \(\varphi^{\sharp}\) est non ramifié, et le résultat de l'exposé de Murre montre que \(\underline{\mathrm{Hom}}_S(X,Y;\varphi) \to \underline{\mathrm{Hom}}_S(Z,Y)\) est représentable par des morphismes non ramifiés, séparés, localement de présentation finie. Pour représenter \(\underline{\mathrm{Hom}}_S(X,Y)\), on cherche des \(\varphi_i : Z_i \to X\) dont les ouverts \(\underline{\mathrm{Hom}}_S(X,Y;\varphi_i)\) recouvrent \(\underline{\mathrm{Hom}}_S(X,Y)\) comme faisceau fpqc et dont les \(\underline{\mathrm{Hom}}_S(Z_i, Y)\) sont représentables. Sur un corps algébriquement clos on prend pour \(Z_i\) tous les sous-schémas finis de \(X\) à points radiciels ; sur un corps quelconque, cela marche après extension finie, d'où le théorème de Matsumura par descente.

Elle ajoute trois remarques. \(\underline{\mathrm{Hom}}_S(X,Y)\) n'est pas toujours représentable, même quand \(X\) est le spectre d'une extension quadratique de \(k\) et \(Y\) propre non projectif ; c'est la non-existence de certaines restrictions de Weil, dont les pages 34 et 35 donnent un exemple. Sur une base quelconque, les points radiciels sont remplacés par des sous-schémas plats : \(\underline{\mathrm{Hom}}_S(X,Y)\) est représentable si \(X\) a des fibres géométriques intègres et une section le long de laquelle il est lisse, et localement pour la topologie étale si \(X\) a des fibres géométriques réduites²² ; et il est représentable si \(Y\) est quasi-projectif sur un corps.

33–36

V. Deux plans, le formalisme, et le contre-exemple de Nagata (pages 33 à 36)

La page 33 est le plan d'un exposé « Schémas Hom etc. » : (1) formalisme des \(\underline{\mathrm{Hom}}\) et des restrictions de Weil ; (2) foncteurs de Serre–Lang et de Greenberg ; (3)–(4) existence ; (5) application aux immersions et morphismes de type fini ; (6) morphismes quasi-projectifs ; (7) morphismes lisses et étales ; [8] morphismes quasi-étales ; (9) cas d'un \(S' \to S\) étale, « à reporter à la fin » ; [10] compléments dans le cas de Greenberg²³ . C'est, à peu près, l'ordre des pages 37 à 79.

La page 34 pose le formalisme. Pour \(T \to S\), \(X\) sur \(T\), \(Y\) sur \(S\) : \[\begin{align*} \mathrm{Res}_{T/S}(X) &= \underline{\mathrm{Hom}}_S(T, X) \times_{\underline{\mathrm{Hom}}_S(T,T)} S,\\ \underline{\mathrm{Hom}}_{T/S}(X, Y_T) &= \mathrm{Res}_{T/S}\bigl(\underline{\mathrm{Hom}}_T(X, Y_T)\bigr),\\ \underline{\mathrm{Hom}}_S(X,Y) &= \mathrm{Res}_{X/S}(X \times_S Y). \end{align*}\] Et une formule de descente : si \(X\) sur \(T\) est muni d'une donnée de descente relativement à \(T \to S\) et si les restrictions de Weil existent, l'objet descendu existe et \[ X_0 = \mathrm{Res}_{T/S}(X) \times_{\mathrm{Res}_{T \times_S T/S}(X \times_S T)} \mathrm{Res}_{T/S}(X), \] les deux flèches étant l'image inverse par \(\mathrm{pr}_1\) et l'image inverse par \(\mathrm{pr}_2\) suivie de la donnée de descente²⁴ .

Le contre-exemple (pages 34 et 35). Soit \(X\) un schéma lisse sur un corps algébriquement clos \(k\), muni d'une action libre de \(G = \mathbf{Z}/2\) sans quotient schématique, parce qu'une orbite n'est contenue dans aucun ouvert affine²⁵ . Soient \(L\) une extension de \(k\) sur laquelle \(G\) opère fidèlement et \(K = L^{G}\). L'action diagonale sur \(X \otimes_k L\) est une donnée de descente galoisienne relativement à \(L/K\), non effective. Par la formule précédente :

Corollaire. \(\mathrm{Res}_{L/K}(X_L)\) n'est pas représentable ; a fortiori \(\underline{\mathrm{Hom}}_K(\mathrm{Spec}\,L, X_L)\) ne l'est pas.

C'est l'exemple qu'annonçait la lettre²⁶ .

La page 36 est un second plan, en paragraphes : § 1 descente d'objets plats par morphismes quelconques ; § 2 descente d'objets quelconques par morphismes plats ; § 3 application aux morphismes non ramifiés ; § 4 cas élémentaires (quotients \(X/G\), descente galoisienne, le contre-exemple de Nagata, descente plate finie par opérateurs différentiels, cas de Cartier) ; § 5 \(\underline{\mathrm{Hom}}_S(X,Y)\) et restriction de Weil, existence pour \(X\) fini et plat, les \(\check{\mathbf{V}}(\mathcal{F})\) ; § 6 applications (géométrie différentielle, Picard, Greenberg) ; § 7 hypothèses sur \(S\), critère de représentabilité ; § 8 théorème fondamental d'existence : théorie formelle des modules, restriction de Weil pour \(X\) projectif sur un \(Y\) plat et propre, Picard. C'est le plan d'EGA VI dans une de ses versions, et il recoupe le plan du dossier 26 (descente, puis représentabilités)²⁷ .

37–58

VI. La restriction de Weil le long d'un morphisme fini (pages 37 à 58)

Dans toute cette partie \(f : T \to S\) est fini et localement libre, de rang \(n\) quand il est constant.

Fibrés vectoriels, et une question (pages 37 et 38)

Proposition. Pour \(\mathcal{F}\) localement libre de type fini sur \(T\), on a un isomorphisme fonctoriel, compatible au changement de base, \[ \mathrm{Res}_{T/S}\bigl(\check{\mathbf{V}}(\mathcal{F})\bigr) = \check{\mathbf{V}}\bigl(f_{*}\mathcal{F}\bigr), \] où \(\check{\mathbf{V}}(\mathcal{F}) = \mathbf{V}(\mathcal{F}^{\vee})\) est le fibré vectoriel dont le faisceau des sections est \(\mathcal{F}\).²⁸

La page 38 pose une question qui reste ouverte sur la feuille. Soient \(f : X \to Y\) plat et propre, \(Y\) local noethérien, \(F\) cohérent sur \(Y\) et \(F'_1\) un sous-faisceau cohérent de \(f^{*}F\) : y a-t-il un plus petit sous-faisceau cohérent \(F_1\) de \(F\) avec \(f^{*}F_1 \supset F'_1\) ? Par platitude, la famille des \(F_i\) convenables est stable par intersection finie ; tout revient à savoir si \(f^{*}\) commute aux intersections filtrantes décroissantes, et la page écrit : « est-il vrai que \(\bigcap f^{*}(F_i) = 0\) ? »²⁹

Existence (pages 39 à 42)

Proposition 2 bis. Soit \(X = \bigcup_i U_i\) un recouvrement ouvert tel que, pour tout \(s \in S\), toute section de \(X_s \to T_s\) définie sur une extension finie de \(k(s)\) ait son image dans un des \(U_i\). Si les \(\mathrm{Res}_{T/S}(U_i)\) existent, \(\mathrm{Res}_{T/S}(X)\) existe et en est la réunion, les \(\mathrm{Res}_{T/S}(U_i)\) y étant ouverts.

La démonstration (pages 40 et 41) recolle les \(\mathrm{Res}_{T/S}(U_i)\) le long de leurs intersections en un schéma \(H\), puis montre que \(H \times_S T \to X\) est universel : une section \(\sigma\) de \(X_{S'} \to T_{S'}\) envoie, au voisinage de chaque point \(s'\), \(T_{s'}\) dans un \(U_i\), donc tout un voisinage, parce que \(T\) est fini, donc fermé³⁰ .

Théorème (page 41). Si, pour tout \(s \in S\), toute multisection de \(X_s\) sur \(T_s\) définie sur une extension finie de \(k(s)\) est contenue dans un ouvert affine de \(X\), alors \(\mathrm{Res}_{T/S}(X)\) existe et est la réunion des \(\mathrm{Res}_{T/S}(U)\), \(U\) parcourant les ouverts affines de \(X\).

Le cas affine est immédiat : la restriction de Weil d'un \(T\)-schéma affine est un \(S\)-schéma affine. L'hypothèse est satisfaite si \(S\) est recouvert par des ouverts au-dessus desquels toute partie finie de \(X\) est contenue dans un ouvert affine, en particulier si \(X\) est quasi-projectif sur \(S\) (corollaire 1). Le corollaire 2 ajoute que, sous ces conditions, la restriction de Weil d'un sous-schéma fermé est un sous-schéma fermé. C'est la condition d'existence qu'on trouve aujourd'hui dans le livre de Bosch, Lütkebohmert et Raynaud (§ 7.6)³¹ .

Ce que la restriction de Weil préserve (pages 43 à 48)

Le foncteur \(\mathrm{Res}_{T/S}\) est exact à gauche : \(\mathrm{Res}_{T/S}(T) = S\) et \(\mathrm{Res}_{T/S}(X \times_Z Y) = \mathrm{Res}_{T/S}(X) \times_{\mathrm{Res}_{T/S}(Z)} \mathrm{Res}_{T/S}(Y)\). Il transforme immersions ouvertes en immersions ouvertes, recouvrements ouverts en recouvrements ouverts (sous la condition du théorème), immersions fermées en immersions fermées, morphismes affines en morphismes affines, morphismes quasi-projectifs en morphismes quasi-projectifs, et morphismes projectifs, ou propres, en morphismes projectifs, ou propres, pourvu que \(T \to S\) soit étale³² .

Proposition (page 44). Soit \(g : X \to Y\) un morphisme de \(T\)-schémas et \(\mathcal{L}\) un fibré en droites sur \(X\) ample relativement à \(g\). Soit \(\mathrm{ev} : \mathrm{Res}_{T/S}(X) \times_S T \to X\) le morphisme universel et \(p : \mathrm{Res}_{T/S}(X) \times_S T \to \mathrm{Res}_{T/S}(X)\) la projection, finie localement libre. Alors \(\det p_{*}\mathrm{ev}^{*}\mathcal{L}\), la norme de \(\mathcal{L}\), est ample relativement à \(\mathrm{Res}_{T/S}(g)\).

Il le note \(\det f_{*}(\mathcal{L})\) et ajoute « (resp. très ample) »³³ . La démonstration se ramène, la question étant locale et compatible aux produits, au cas \(X = \mathbf{P}^m_T\), \(Y = T\), \(S = \mathrm{Spec}\,A\), \(T = \mathrm{Spec}\,B\) avec \(B\) libre de rang \(\nu\) sur \(A\). Il faut alors (A) déterminer une grassmannienne et un fibré ample dessus, et (B) représenter, sur un schéma \(G\) portant une \(\mathcal{O}_G\)-algèbre \(\mathcal{A}\) localement libre de rang \(\nu\), un \(\mathcal{A}\)-module libre \(\mathcal{F}\) et un sous-\(\mathcal{O}_G\)-module \(\mathcal{F}_1\) à quotient localement libre de rang \(k\nu\), le lieu où \(\mathcal{F}_1\) est un sous-\(\mathcal{A}\)-module et \(\mathcal{F}/\mathcal{F}_1\) un \(\mathcal{A}\)-module localement libre de rang \(k\). En coordonnées (pages 45 à 47) : la stabilité de \(\mathcal{F}_1\) par \(\mathcal{A}\) est l'annulation de coefficients \(\varphi_{i\lambda\mu}\), d'où un sous-schéma fermé \(G_1\) ; sur \(G_1\), la liberté locale de \(M = \mathcal{F}/\mathcal{F}_1\) est l'inversibilité d'un des déterminants \(\det(u_\xi)\) pour \(\xi \in M^k\), d'où un ouvert. Le lieu cherché est donc localement fermé, et la condition est ponctuelle, compatible aux extensions du corps résiduel.

Finitude (pages 47 et 48). Si \(g : X \to Y\) est de type fini et \(S\) localement noethérien, \(\mathrm{Res}_{T/S}(g)\) est de type fini (sous la condition d'existence). On se ramène à \(Y = T\) et l'on recouvre \(X\) par un nombre fini d'ouverts affines \(U_i\) tels que les \(U_i^{\nu} = U_i \times_S \cdots \times_S U_i\) recouvrent ceux des \(U^{\nu}\) (c'est possible parce que \(X^{\nu}\) est un espace noethérien), puis au cas affine, et enfin, par la proposition de la page 37, au cas d'un fibré vectoriel³⁴ .

Remarque (page 48). La dimension des fibres de \(\mathrm{Res}_{T/S}(X)\) n'est pas bornée par \(n\) fois celle des fibres de \(X/T\). Exemple : \(S = \mathrm{Spec}\,k\), \(T\) radiciel sur \(S\), \(X = T \times_S T\) (de dimension relative nulle) ; alors \(\mathrm{Res}_{T/S}(X) = \underline{\mathrm{Hom}}_k(T, T)\), qui peut être de dimension \(> 0\). Ainsi pour \(T = \mathrm{Spec}\,k[x]/(x^2)\) en caractéristique \(\neq 2\), les endomorphismes \(x \mapsto a + bx\) avec \(a^2 = 0\) forment, sur les points, une droite.

Lissité, étalitude, dimension (pages 49 à 53)

Proposition (page 49). Soit \(g : X \to Y\) un morphisme de type fini de \(T\)-schémas dont les restrictions de Weil existent, \(S\) et \(T\) localement noethériens. (i) Si \(g\) est lisse, \(\mathrm{Res}_{T/S}(g)\) l'est. (ii) Si \(g\) est étale, \(\mathrm{Res}_{T/S}(g)\) l'est.

(i) est le critère infinitésimal : un problème de relèvement le long d'une immersion fermée nilpotente \(S'_1 \to S'\) devient, après \(\times_S T\), un problème de relèvement le long de \(T'_1 \to T'\), que la lissité de \(g\) résout localement, \(T'\) étant affine sur \(S'\) affine. Pour (ii), le même raisonnement donne la non-ramification ; reste la platitude, qu'on obtient en remarquant qu'un relèvement existe point par point, \(T'\) étant, au-dessus d'un corps algébriquement clos, un nombre fini de schémas nilpotents connexes³⁵ .

Dimension. Si \(g\) est lisse de dimension relative \(d\) et \(T/S\) de degré \(n\) constant, \(\mathrm{Res}_{T/S}(g)\) est lisse de dimension relative \(nd\). Plus finement (corollaire 2, page 51), pour \(s \in S\) notons \(D(s)\) l'ensemble des dimensions des composantes des fibres de \(X_s \to Y_s\), et \(D'(s)\) l'analogue pour \(\mathrm{Res}_{T/S}(g)_s\) ; si \(T_s\) est local, \(D'(s) = n D(s)\)³⁶ . Une première version, encadrée puis barrée (page 51), bornait la dimension par le produit de \(n\) et d'un « maximum des rangs des anneaux locaux artiniens des \(T_s\) » ; c'est le degré \([T_s : k(s)]\) qui convient³⁷ .

Corollaire 1 bis (page 53). Si \(g : X \to Y\) est fini étale de degré \(\lambda\), \(\mathrm{Res}_{T/S}(g)_s\) est fini étale de degré \(\lambda^{\nu_s}\), où \(\nu_s\) est le nombre de points géométriques de \(T_s\) (son degré séparable). Une section au-dessus de \(T_{\bar s}\) se choisit en effet indépendamment en chacun des \(\nu_s\) points, et se prolonge de façon unique aux épaississements nilpotents.

Corollaire 3 (page 53). Conditions équivalentes : (i) \(\nu(s)\) est localement constant ; (ii) \(\mathrm{Res}_{T/S}\) transforme revêtements finis étales en revêtements finis étales ; (iii) \(\mathrm{Res}_{T/S}(T')\) est fini étale pour tout \(T'\) fini étale sur \(T\) ; (iv) \(\mathrm{Res}_{T/S}(T \sqcup T)\) est fini étale sur \(S\). Une marge relie (i) \(\Rightarrow\) (ii) \(\Rightarrow\) (iii) \(\Rightarrow\) (iv) \(\Rightarrow\) (i).

Corollaire 4 (page 54). Si \(g\) est lisse et surjectif, \(\mathrm{Res}_{T/S}(g)\) est surjectif.

Torseurs, et les composantes connexes relatives (pages 54 à 58)

La restriction de Weil transforme torseurs en torseurs : un revêtement principal de groupe fini \(G\) de \(Y\) devient un torseur sur \(\mathrm{Res}_{T/S}(Y)\) sous le groupe \(\mathrm{Res}_{T/S}(G_T)\)³⁸ . D'où la question de déterminer, pour un ensemble fini \(I\), le schéma étale \(\mathrm{Res}_{T/S}(T \times I)\).

La réponse occupe les pages 55 à 58. Supposons \(\nu(s)\) localement constant, comme au corollaire 3³⁹ . Le foncteur \(I \mapsto \mathrm{Res}_{T/S}(T \times I)\), des revêtements finis étales de \(S\) dans eux-mêmes, est exact à gauche ; au-dessus d'un point géométrique \(a\) de \(S\) connexe, c'est un foncteur exact à gauche sur les \(\pi_1(S,a)\)-ensembles finis, donc de la forme \(E \mapsto \mathrm{Hom}_{\pi_1}(A, E)\) pour un \(\pi_1\)-ensemble fini \(A = A(T)\). Le revêtement étale correspondant, qu'il note \(f^{\mathrm{\acute{e}t}}_{*}(T)\), est caractérisé par \[ \mathrm{Hom}_S\bigl(f^{\mathrm{\acute{e}t}}_{*}(T), S'\bigr) \simeq \mathrm{Hom}_S(T, S') \] pour tout revêtement fini étale \(S'\) de \(S\) ; d'où, pour \(S' = f^{\mathrm{\acute{e}t}}_{*}(T)\), un morphisme canonique \(T \to f^{\mathrm{\acute{e}t}}_{*}(T)\), surjectif et à fibres géométriques connexes. Une réciproque : un morphisme surjectif à fibres géométriques connexes de \(T\) sur un revêtement fini étale \(\overline{T}\) identifie \(\overline{T}\) à \(f^{\mathrm{\acute{e}t}}_{*}(T)\)⁴⁰ .

C'est le schéma des composantes connexes relatives \(\pi_0(T/S)\), et la variance demande un mot. Le nom est celui d'une image directe, mais \(f^{\mathrm{\acute{e}t}}_{*}\) est un adjoint à gauche (de l'inclusion des revêtements finis étales dans les \(S\)-schémas), alors que la restriction de Weil est un adjoint à droite. Les deux se rejoignent par la formule même qui le définit : \(\mathrm{Res}_{T/S}(T \times I)\) est le schéma des applications de \(\pi_0(T/S)\) dans \(I\)⁴¹ .

60–79

VII. Un foncteur de nature locale et son adjoint : Weil et Greenberg (pages 60 à 79)

Le cadre, et les exemples (pages 60 à 66)

La page 60 ouvre une nouvelle rédaction, « (1) Set up optimal »⁴² . Soit \(\mathbb{W}\) un foncteur covariant des \(S\)-schémas dans des schémas, de nature locale : il transforme immersions ouvertes en immersions ouvertes, et commute aux réunions et aux intersections d'ouverts. Exemples :

• I.Le changement de base \(\mathbb{W}_{S'}(T) = T \times_S S'\), pour un \(S\)-schéma \(S'\) ; I\('\) : \(S'\) fini localement libre sur \(S\).
• II.Un schéma en anneaux commutatifs \(\Lambda\) sur \(S\) tel que, pour tout \(T\), le faisceau d'anneaux \(\Gamma(\Lambda_T/T)\) sur l'espace \(|T|\) fasse de \(|T|\) un schéma \(\mathbb{W}(T)\) : \(|\mathbb{W}(T)| = |T|\), et les anneaux locaux sont « tordus » par \(\Lambda\). C'est le cas des vecteurs de Witt tronqués, et ce sont les foncteurs de Greenberg ; II\('\) : \(\mathbb{W}(T) \to T\) surjectif à noyau nilpotent sur les faisceaux d'anneaux.
• III.\(S' = \mathrm{Spec}\,\mathcal{A}\), \(\mathcal{A}\) localement libre, \(S' \to S\) homéomorphisme universel, et \(\Lambda = \mathbf{V}(\check{\mathcal{A}})\), à la fois I et II.

Pour \(\mathfrak{X}\) un schéma sur \(\mathbb{W}(S)\), on considère le foncteur sur les \(S\)-schémas \(T \mapsto \mathrm{Hom}_{\mathbb{W}(S)}(\mathbb{W}(T), \mathfrak{X})\), et l'on note \(\mathbb{W}^{a}(\mathfrak{X})\) le schéma qui le représente quand il existe : \[ \mathrm{Hom}_S\bigl(T, \mathbb{W}^{a}(\mathfrak{X})\bigr) \simeq \mathrm{Hom}_{\mathbb{W}(S)}\bigl(\mathbb{W}(T), \mathfrak{X}\bigr). \] \(\mathbb{W}^{a}\) est donc un adjoint à droite de \(\mathbb{W}\), défini sur la sous-catégorie des \(\mathfrak{X}\) pour lesquels il existe⁴³ . Dans l'exemple I c'est la restriction de Weil \(\mathrm{Res}_{S'/S}\), dans l'exemple II le foncteur de Greenberg^{44 45} .

Propriétés (pages 63 à 66) : \(\mathbb{W}^{a}\) commute aux limites projectives finies, donc transforme schémas en groupes, en anneaux, en schémas du même type ; il commute au changement de base, \(\mathbb{W}^{a}(\mathfrak{X}) \times_S T = \mathbb{W}^{a}_T(\mathfrak{X} \times_{\mathbb{W}(S)} \mathbb{W}(T))\). Si \(\mathbb{W}^{a}(\mathbf{A}^1_{\mathbb{W}(S)})\) existe, c'est un schéma en anneaux sur \(S\) qui engendre \(\mathbb{W}\) : c'est \(\Lambda\) dans l'exemple II, et \(\mathbf{V}(\check{\mathcal{A}})\) dans l'exemple I\('\). Alors, pour \(\mathfrak{X}\) fermé dans \(\mathbf{A}^r_{\mathbb{W}(S)}\) défini par \(F_1, \ldots, F_s\), les \(F_j\) ont des coefficients dans \(\Gamma(\Lambda/S)\), définissent \(\Lambda^r \to \Lambda^s\), et \(\mathbb{W}^{a}(\mathfrak{X})\) est l'image inverse de la section nulle. Exemples donnés (page 65) : \(\mathbb{W}^{a}\) de \(\mathbf{G}_a^n\), de \(\mathrm{GL}_n\) sur \(\mathbb{W}(S)\). Enfin un morphisme \(\mathbb{W}' \to \mathbb{W}\) de tels foncteurs induit \(\mathbb{W}^{a}(\mathfrak{X}) \to \mathbb{W}'^{a}(\mathfrak{X} \times_{\mathbb{W}(S)} \mathbb{W}'(S))\), et l'expression de droite est un bifoncteur covariant en \(\mathfrak{X}\), contravariant en \(\mathbb{W}'\) ; la variance est bien celle de la page.

Le cas affine (pages 66 à 68)

Supposons que \(\mathbb{W}\) transforme schémas affines en schémas affines ; sur un ouvert affine \(\mathrm{Spec}\,A\) de \(S\), il est alors donné par \(\mathbb{W}(B) = \mathrm{Hom}_{A\text{-alg}}(\Lambda, B)\), \(\Lambda\) l'anneau d'un schéma en anneaux affine sur \(S\) (cas I\('\), et cas II quand \(\Lambda\) est affine).

Proposition. Si \(\mathfrak{X}\) est affine sur \(\mathbb{W}(S)\), \(\mathbb{W}^{a}(\mathfrak{X})\) existe et est affine sur \(S\). Si l'anneau de \(\mathfrak{X}\) est engendré par \(r\) éléments et celui de \(\Lambda\) par \(s\) éléments, celui de \(\mathbb{W}^{a}(\mathfrak{X})\) l'est par \(rs\) éléments.⁴⁶

Pour \(\mathfrak{X} = \mathrm{Spec}\,\mathcal{C}\) quelconque, on écrit \(\mathcal{C} = \varinjlim \mathcal{C}_i\) (sous-algèbres de type fini) et l'on trouve \(\mathbb{W}^{a}(\mathfrak{X}) = \mathrm{Spec}\,\mathcal{D}\), avec \(\mathcal{D} = \varinjlim \mathcal{D}_i\), \(\mathcal{D}_i\) l'anneau de \(\mathbb{W}^{a}(\mathrm{Spec}\,\mathcal{C}_i)\).

Recollement (pages 69 à 76)

Sans hypothèse sur \(\mathbb{W}\), deux conditions sur un recouvrement ouvert \(\mathfrak{X} = \bigcup \mathfrak{X}_i\) :

• (\(\alpha\))(lemme 1) si \(\mathbb{W}^{a}(\mathfrak{X}) = X\) existe et \(\mathfrak{U} \subset \mathfrak{X}\) est ouvert, d'image inverse \(\mathfrak{U}'\) dans \(\mathbb{W}(X)\), il existe un ouvert \(U\) de \(X\) tel qu'un morphisme \(\mathbb{W}(T) \to \mathbb{W}(X)\) se factorise par \(\mathfrak{U}'\) si et seulement s'il se factorise par \(\mathbb{W}(U)\) ; alors \(U = \mathbb{W}^{a}(\mathfrak{U})\)⁴⁷ ;
• (\(\beta\))(lemme 2) pour tout \(\mathbb{W}(T) \to \mathfrak{X}\), il existe un recouvrement ouvert \(T = \bigcup T_i\) avec \(\mathbb{W}(T_i)\) envoyé dans \(\mathfrak{X}_i\).

Sous (\(\beta\)), et si les \(\mathbb{W}^{a}(\mathfrak{X}_i)\) existent avec leurs intersections ouvertes, \(\mathbb{W}^{a}(\mathfrak{X})\) existe et est leur recollement ; la démonstration (pages 70 à 73) vérifie la condition de cocycle et l'universalité, par raffinement de deux recouvrements⁴⁸ . La condition (\(\beta\)) est automatique si \(|\mathbb{W}(T)| \simeq |T|\) (cas II\('\) et III, lemme 3) ; (\(\alpha\)) l'est dans les cas I\('\) et « Greenberg spécial » (lemme 4 ; pour I\('\), parce qu'un morphisme fini est fermé). Un corollaire (page 74) note que les conditions sont encore satisfaites dans le cas I quand \(S'\) est propre sur \(S\) et \(\mathbb{W}^{a}(\mathfrak{X})\) localement noethérien ; une ligne suivante, « Mauvaises … I\('\) », est presque illisible.

Théorème 1 (page 74). Pour un foncteur de Greenberg spécial, ou pour le changement de base le long de \(S' \to S\) fini, localement libre et radiciel, \(\mathbb{W}^{a}(\mathfrak{X})\) existe pour tout \(\mathfrak{X}\) sur \(\mathbb{W}(S)\), et \(\mathbb{W}^{a}\) est de nature locale.

C'est exact : dans ces deux cas \(|\mathbb{W}(T)| = |T|\), et une section au-dessus d'un point a son image en un seul point, donc dans un ouvert affine^{49 50} .

Théorème 1 bis (pages 74 et 75). Dans le cas I\('\) : (i) si \(\mathrm{Res}_{S'/S}(\mathfrak{X})\) existe, \(\mathrm{Res}_{S'/S}(\mathfrak{U})\) existe pour tout ouvert \(\mathfrak{U}\) et en est un ouvert ; (ii) si \(\mathfrak{X} = \bigcup \mathfrak{X}_i\) et que, pour tout \(s\), toute section de \(\mathfrak{X}_s\) sur \(S'_s\) définie sur une extension de \(k(s)\) tombe dans un \(\mathfrak{X}_i\), l'existence des \(\mathrm{Res}_{S'/S}(\mathfrak{X}_i)\) entraîne celle de \(\mathrm{Res}_{S'/S}(\mathfrak{X})\), réunion des précédents.⁵¹ Ce sont, dans le nouveau cadre, la proposition 2 bis et le théorème des pages 39 à 41 ; les corollaires (pages 75 et 76) redonnent l'existence quand toute partie finie des fibres est dans un ouvert affine, et la finitude par le même argument noethérien sur \(\mathfrak{X} \times_S \cdots \times_S \mathfrak{X}\).

Immersions, morphismes de type fini, affines (pages 77 à 79)

Pour \(\mathbb{W}\) de type I\('\) ou Greenberg spécial : \(\mathbb{W}^{a}\) transforme immersions fermées en immersions fermées (dans le cas I\('\), sous la condition d'existence pour le but), immersions en immersions si le but est quasi-projectif, morphismes séparés en morphismes séparés (appliquer ce qui précède à la diagonale), morphismes de type fini en morphismes de type fini, et morphismes affines en morphismes affines^{52 53} .

80–121

VIII. « Schémas localement compacts » (pages 80 à 121)

La couverture de la page 80 porte ce titre, sous un premier titre biffé (« Notions d'espaces … »). Le mot « compact » y a le sens de Bourbaki, séparé compris, et il s'agit de regarder un schéma à travers ses parties constructibles seulement, c'est-à-dire en oubliant tout ce que les morphismes ont de « continu » pour ne garder que ce qu'ils ont de « par morceaux ».

Applications constructibles et ensembles schématiques (pages 81 à 100)

Les pages paires portent les notes, les impaires sont des versos sans rapport, et la main est rapide : on en donne les définitions et les énoncés, la prose qui les relie étant souvent incertaine.

Constructibilité locale (pages 81 et 83). Une partie \(Z\) est constructible si et seulement si elle est quasi-compacte et localement constructible ; une partie localement fermée \(Z\) d'un schéma quasi-compact et quasi-séparé est constructible si et seulement si elle est quasi-compacte et localement définie, dans un ouvert affine, par un nombre fini d'équations⁵⁴ .

Schémas atomiques (page 86). Un schéma atomique est une somme de spectres de corps ; ils forment une sous-catégorie pleine, qui se plonge pleinement fidèlement dans les foncteurs covariants des corps vers les ensembles (par \(\coprod_x \mathrm{Spec}\,k(x) \mapsto \coprod_x \mathrm{Hom}(k(x), -)\), et le lemme de Yoneda). Tout schéma \(X\) définit le schéma atomique \(|X| = \coprod_{x \in X} \mathrm{Spec}\,k(x)\), et \(X \mapsto |X|\) est fidèle sur les schémas réduits.

Définition. Une application constructible \(f : X \to Y\) est un morphisme \(|X| \to |Y|\) tel que tout ouvert affine \(U\) de \(X\) admette une partition finie en parties localement fermées constructibles \(U_i\), sur chacune desquelles \(f\) provient d'un morphisme \((U_i)_{\mathrm{r\acute ed}} \to Y\). Un ensemble schématique est un schéma quasi-compact et quasi-séparé, vu comme objet de la catégorie dont les morphismes sont les applications constructibles.⁵⁵

Il les étudie (pages 88 à 94). Un lemme, cerné en marge : sur un schéma quasi-compact quasi-séparé, tout recouvrement fini par des parties constructibles est raffiné par une partition finie en parties localement fermées constructibles affines. Puis : pour \(X\) quasi-compact quasi-séparé, \(f\) est constructible si et seulement s'il existe une partition finie de \(X\) en parties localement fermées constructibles affines sur lesquelles \(f\) est morphique ; l'image inverse d'une partie constructible par une application constructible est constructible, de sorte que la notion de partie constructible est invariante par isomorphisme d'ensembles schématiques ; \(f\) est un isomorphisme d'ensembles schématiques si et seulement s'il existe des partitions finies \((X_i)\), \((Y_i)\) en parties localement fermées constructibles avec \(f\) induisant des isomorphismes \(X_{i,\mathrm{r\acute ed}} \simeq Y_{i,\mathrm{r\acute ed}}\). D'où :

• tout ensemble schématique est isomorphe à un \(|X|\) avec \(X\) affine (somme finie des morceaux) ;
• si \(X\) est noethérien, l'espace sous-jacent de \(Y\) l'est⁵⁶ ;
• tout morphisme d'ensembles schématiques est isomorphe à un morphisme de schémas, vu comme application constructible⁵⁷ ;
• les morphismes de type fini, les produits fibrés et les limites projectives finies existent dans la catégorie, et le foncteur des schémas quasi-compacts quasi-séparés vers elle commute aux produits fibrés.

Les pages 96 et 98 posent une question : pour un système projectif à transitions affines, a-t-on \(\mathrm{Cons}(\varprojlim X_i) \simeq \varprojlim \mathrm{Cons}(X_i)\) ? Les formules écrites interchangent une limite inductive sur les partitions finies et une limite projective sur \(i\), et la page ne conclut pas (« ??? »). Elle avance ensuite que les ensembles « quasi-schématiques » de type fini sur un noethérien forment une « catégorie géométrique (?) », et la page 100 en dresse la liste d'axiomes : limites projectives finies, quotients par les groupoïdes d'équivalence, épimorphismes effectifs et universels, et leurs duaux ; puis l'« axiome géométrique » \(X \times \coprod_i Y_i \simeq \coprod_i X \times Y_i\). La liste rappelle les axiomes de Giraud des topos (SGA 4, 1963–1964), transposés à une catégorie d'espaces ; la page s'arrête sur « \(R \to S\) »⁵⁸ .

La topologie constructible (pages 103 à 110)

Définition 1. La topologie constructible d'un espace \(X\) est celle dont les ouverts sont les réunions de parties localement constructibles ; on note \(X^{\mathrm{cons}}\) l'espace ainsi topologisé. Une partie pro-constructible est un fermé de \(X^{\mathrm{cons}}\), c'est-à-dire une intersection de parties localement constructibles.⁵⁹

Proposition 1. Si \(X\) a une base d'ouverts rétrocompacts : (0) les parties constructibles forment une base de \(X^{\mathrm{cons}}\) ; (i) \(X^{\mathrm{cons}} \to X\) est continue ; (ii) \(X^{\mathrm{cons}}\) est séparé (et totalement discontinu) si et seulement si \(X\) est \(T_0\) ; (iii) sur une partie constructible \(E\), la topologie constructible de \(E\) est induite par celle de \(X\).

Un lemme (pages 104 et 105) établit la transitivité : pour \(E\) localement constructible, une partie de \(E\) est (localement) constructible dans \(E\) si et seulement si elle l'est dans \(X\) (EGA \(0_{\mathrm{III}}\) 9.1.8 et 9.1.13, auxquels la page renvoie).

Corollaires (pages 105 à 107). Si de plus les ouverts de base sont quasi-compacts pour la topologie constructible et \(X\) est \(T_0\) : \(X^{\mathrm{cons}}\) est localement compact, et compact si \(X\) est quasi-compact ; une partie est fermée dans \(X^{\mathrm{cons}}\) si et seulement si elle y est compacte ; \(E\) est constructible si et seulement si \(E\) et \(X - E\) sont pro-constructibles, si et seulement si \(E\) est ouvert et fermé dans \(X^{\mathrm{cons}}\).

Une parenthèse de la page 108 rappelle le critère topologique dont tout cela dépend : si \(X\) a une base d'ouverts quasi-compacts \(U_i\), une application continue \(f : X' \to X\) est quasi-compacte si et seulement si les \(f^{-1}(U_i)\) le sont ; et les \(U_i\) sont rétrocompacts si et seulement si tout ouvert quasi-compact l'est.

Proposition 2 et corollaires (pages 107 à 109). Si \(f : X \to Y\) est continue et que l'image inverse d'un ouvert rétrocompact soit rétrocompacte, \(f\) ramène les parties (localement) constructibles en parties (localement) constructibles, et \(f^{\mathrm{cons}}\) est continue. Pour \(X\), \(Y\) de la classe précédente : \(f\) est quasi-compacte si et seulement si \(f^{\mathrm{cons}}\) est propre ; si \(X\) et \(Y\) sont quasi-compacts, \(f\) envoie constructibles sur constructibles si et seulement si \(f^{\mathrm{cons}}\) est ouverte, ce qui a lieu si \(f\) est bijective ; \(f(X)\) est pro-constructible ; une partie \(E\) de \(f(X)\) est pro-constructible si et seulement si \(f^{-1}(E)\) l'est, et si \(f\) est surjective, \(E\) est constructible si et seulement si \(f^{-1}(E)\) l'est.⁶⁰

Théorème (page 110). Si \(X\) est affine, \(X^{\mathrm{cons}}\) est compact. Si \(X\) est quasi-séparé, \(X\) est \(T_0\) et a une base d'ouverts rétrocompacts et compacts pour la topologie constructible, de sorte que \(X^{\mathrm{cons}}\) est localement compact. Si \(X\) est quasi-compact et quasi-séparé : \(X^{\mathrm{cons}}\) est compact ; les parties constructibles sont les ouverts fermés de \(X^{\mathrm{cons}}\) ; les parties pro-constructibles sont les images des morphismes quasi-compacts \(X' \to X\), et l'on peut prendre \(X' \to X\) un monomorphisme.⁶¹

Le dossier 23 (page 72) rencontre la même topologie par l'autre bout : il caractérise les schémas pour lesquels \(X^{\mathrm{cons}} \to X\) est un homéomorphisme (les schémas de dimension zéro) et, parmi eux, ceux dont tout module est plat.

Le foncteur \(\mathrm{Cons}\) et l'anneau \(A^{\mathrm{cons}}\) (pages 112 à 115)

La page 112 étend la notion d'application constructible aux couples \((X, E)\), \(E\) partie localement constructible d'un schéma \(X\), et introduit la catégorie \((\mathrm{Cons\,Aff})\) : objets les schémas affines (ou quasi-compacts quasi-séparés), morphismes les applications constructibles. À \((X,E)\) elle associe le préfaisceau \(\mathrm{Cons}(X,E) : Y \mapsto \mathrm{App\,cons}(Y, (X,E))\) sur \((\mathrm{Cons\,Aff})\), et la page 113 affirme que \((X,E) \mapsto \mathrm{Cons}(X,E)\) est pleinement fidèle, de même que les foncteurs \((\mathrm{Cons\,Aff}) \to (\text{couples}) \to \mathrm{Ind}(\mathrm{Cons\,Aff})' \to \underline{\mathrm{Hom}}((\mathrm{Cons\,Aff})^{\circ}, \mathrm{Ens})\)⁶² .

La construction de la page 114. Soit \(A\) un anneau, \(X = \mathrm{Spec}\,A\). Pour une partition finie \(\mathfrak{P} = (X_i)\) de \(X\) en parties localement fermées constructibles affines, posons \(A_{\mathfrak{P}} = \prod_i \Gamma(X_{i,\mathrm{r\acute ed}}, \mathcal{O})\), et \[ A^{\mathrm{cons}} = \varinjlim_{\mathfrak{P}} A_{\mathfrak{P}} . \] Les transitions sont injectives. \(\mathrm{Spec}\,A_{\mathfrak{P}} = \coprod_i X_{i,\mathrm{r\acute ed}}\) est en bijection avec \(X\), les transitions sont des bijections, et \(\mathrm{Spec}\,A^{\mathrm{cons}} = \varprojlim \mathrm{Spec}\,A_{\mathfrak{P}}\) est donc en bijection avec \(X\) ; la topologie limite est engendrée par les ouverts des morceaux, qui sont constructibles, et c'est la topologie constructible : \(\mathrm{Spec}\,A^{\mathrm{cons}} \simeq X^{\mathrm{cons}}\)^{63 64} . C'est la même limite sur les partitions constructibles finies que le dossier 43 (pages 91 à 97) emploie pour définir le foncteur qu'il appelle « de Néron ».

La page 115, barrée entière, est un premier essai de la définition 1.

Le plan de la suite, et les schémas compacts (pages 117 à 121)

La page 117 est un plan : N° 1 schémas compacts et localement compacts, anneaux flasques ; N° 2 proschémas flasques, espaces schématiques compacts ; N° 3 espaces schématiques ; N° 4 opérations, et limites projectives ; N° 5 espaces quasi-schématiques ; N° 6 « Pb d'espaces. Espaces de Néron ». Il est suivi de deux diagrammes de catégories (pages 117 et 119) : schémas quasi-compacts quasi-séparés, pro-schémas « flasques », schémas compacts réduits, et leurs versions \(\mathrm{Ind}\), avec des foncteurs \(\gamma\), \(\beta\) et des adjoints \(\gamma'\), \(\beta'\) pleinement fidèles, \(\mathrm{Hom}(K, \gamma X) \simeq \mathrm{Hom}(\gamma' K, X)\), où \(\gamma'\) est donc adjoint à gauche de \(\gamma\)⁶⁵ . Ce que sont les « espaces de Néron » n'est dit nulle part.

Schémas compacts (page 121). Soit \(X\) un schéma compact, c'est-à-dire quasi-compact et séparé comme espace topologique. Alors (i) \(X\) est totalement discontinu, tout point ayant un système fondamental de voisinages ouverts et fermés ; (ii) \(X\) est affine ; (iii) ses parties constructibles sont ses parties ouvertes et fermées. Pour (ii) : on recouvre \(X\) par des ouverts affines \(X_1, \ldots, X_n\), qui sont ouverts et fermés ; les \(X'_i = X_i - \bigcup_{j<i} X_j\) sont ouverts et fermés dans des affines, donc affines, et \(X\) est leur somme. Ces schémas sont ceux de dimension zéro à espace quasi-compact, dont le dossier 23 (page 72) donne d'autres caractérisations.

123–141

IX. « Greenberg – Néron » (pages 123 à 141)

La page 123 ne porte que ce titre. Ce qui suit est la partie la plus fragmentaire du dossier : des définitions et des énoncés sans démonstration, puis des calculs.

Points épais d'une limite projective (pages 125 et 127)

Soit \((X_i)\) un système projectif de schémas essentiellement affine (les transitions sont affines à partir d'un rang), de sorte que \(X = \varprojlim X_i\) existe et que son espace est la limite des espaces. Un point \(x = (x_i)\) est épais si

(Ep) il existe \(i\) tel que pour tout \(j \geq i\), \(x_j\) soit un point maximal de la fibre \(\varphi_{ij}^{-1}(x_i)\).

Variantes : (Ep)\('\) il existe une partie ouverte non vide \(U_i\) de \(\overline{\{x_i\}}\) avec \(\varphi_{ij}^{-1}(U_i) \subset \overline{\{x_j\}}\) pour \(j \geq i\) ; (Ep)\(''\) \(\overline{\{x\}}\) est une partie constructible de \(X\), c'est-à-dire l'image inverse de \(\overline{\{x_i\}}\) pour \(i\) grand ; (Ep)\('''\) \(\overline{\{x\}}\) contient une partie constructible ouverte non vide. L'encadré de la page 127 donne (Ep)\('\) \(\Rightarrow\) (Ep), (Ep)\(''\) \(\Rightarrow\) (Ep)\('\) sous une condition de Mittag-Leffler et un ensemble d'indices dénombrable, (Ep)\(''\) \(\Rightarrow\) (Ep)\('''\), et une réciproque (Ep)\('''\) \(\Rightarrow\) (Ep)\('\) marquée « ??? »⁶⁶ . L'idée est qu'un point épais est un point générique d'une partie « de dimension finie » d'un objet de dimension infinie, comme le sont les schémas de Greenberg d'un schéma sur un anneau de valuation discrète.

Applications rationnelles entre schémas de Greenberg (pages 130 et 131)

Soit \(V\) un anneau de valuation discrète de corps résiduel parfait \(k\) et de corps des fractions \(K\). Pour \(X\) sur \(V\), \(\overline{X}\) est le schéma de Greenberg, avec \(\overline{X}(k') = X(V_{k'})\) pour \(k'\) algébrique sur \(k\), \(V_{k'}\) l'extension correspondante de \(V\), de valuation discrète si \(k'\) est parfait. Soit \(\varphi : X_K \to Y_K\) un \(K\)-morphisme, \(Y\) propre sur \(V\). Il définit une application d'ensembles \(\bar\varphi : \overline{X} \to \overline{Y}\) : un point \(\bar x\) donne, avec \(k'\) la clôture parfaite de \(k(\bar x)\), un point de \(X(V_{k'}) \subset X(K_{k'})\) ; son image par \(\varphi\) est dans \(Y(K_{k'}) = Y(V_{k'})\) (critère valuatif de propreté), c'est-à-dire dans \(\overline{Y}(k')\), et l'on prend le point sous-jacent. On a \(k(\bar\varphi(\bar x)) \to k(\bar x)^{\mathrm{parf}}\).

Proposition 1, telle qu'elle est énoncée. Pour \(X\), \(Y\) intègres de type fini, \(\bar x\) épais et \(\varphi\) dominante et génériquement séparable, \(\bar y = \bar\varphi(\bar x)\) est épais, \(k(\bar y) \subset k(\bar x)\), et \(\bar\varphi\) provient, sur un voisinage constructible de \(\bar x\), d'un morphisme « d'indice fini ». Corollaire : l'ensemble des points épais de \(\overline{X}\) est fonctoriel en \(X_K\) pour les applications rationnelles dominantes génériquement séparables entre \(K\)-schémas propres. Proposition 2 : si \(X_K\) est lisse et \(S\) une partie constructible de \(\overline{X}\), \(\bar\varphi(S)\) est constructible, et \(S\) admet une partition finie sur les morceaux de laquelle \(\bar\varphi\) est morphique d'indice fini ; d'où la fonctorialité de l'ensemble \(\mathrm{Cons}(\overline{X})\) des parties constructibles.

Les démonstrations ne sont pas sur les pages, et « d'indice fini » n'est pas défini ; il faut sans doute entendre : défini à un niveau fini de troncation de Greenberg⁶⁷ . C'est ici que les applications constructibles des pages 81 à 115 trouvent leur emploi : \(\bar\varphi\) n'est pas un morphisme, mais il l'est par morceaux. Le dossier 43 (pages 91 à 97) construit de même, sur un trait, un foncteur « dit de Néron » par limite sur les partitions constructibles⁶⁸ .

L'ind-schéma \(A \mapsto A((t))^{*}\) (pages 133 et 134)

Le foncteur \(\Gamma : A \mapsto A((t))^{*}\) des unités des séries de Laurent est ind-représentable par \(\mathcal{G} = \varinjlim_n \mathcal{G}_n\), où \(\mathcal{G}_n\) représente les couples de séries \(\sum a_i t^i\), \(\sum b_j t^j\) inverses l'une de l'autre avec \(a_i = b_i = 0\) pour \(i < -n\) : un sous-schéma fermé de \(\mathrm{Spec}\,\mathbf{Z}[(a_i, b_i)_{i \geq -n}]\). Pour \(n = 0\), \(\mathcal{G}_0 = \mathbf{G}_m \times \mathrm{Spec}\,\mathbf{Z}[(a_i)_{i \geq 1}]\) représente \(A[[t]]^{*}\). On a \(\varphi_n : [-n, n] \times \mathcal{G}_0 \to \mathcal{G}_n\), \((\nu, u) \mapsto t^{\nu}u\).

Théorème (page 134). (i) \(\varphi_n\) est une immersion fermée surjective. (ii) Sa restriction à \(\{\nu\} \times \mathcal{G}_0\) est une immersion ouverte pour \(\nu = \pm n\), et ne l'est pas pour \(|\nu| < n\), après aucun changement de base non vide. (iii) \(\mathcal{G}_n\) est la somme disjointe d'ouverts fermés \(\mathcal{G}_n^{\nu}\) de même espace que les images, et \(\mathcal{G}_n^{\nu} \to \mathcal{G}_{n'}^{\nu}\) n'est jamais un isomorphisme.

(i) se vérifie : l'image de la composante \(\nu\) est le fermé \(a_i = 0\) (\(i < \nu\)), \(b_i = 0\) (\(i < -\nu\)), sur lequel \(a_\nu b_{-\nu} = 1\), et ces fermés sont disjoints ; elle est surjective parce qu'une unité de \(k((t))\), \(k\) un corps, est un \(t^{\nu}\) fois une unité de \(k[[t]]\). Pour \(\nu = n\), l'image est l'ouvert où \(b_{-n}\) est inversible (les coefficients de \(t^{-2n}, t^{-2n+1}, \ldots\) dans le produit tuent alors les \(a_i\), \(i < n\)) ; de même pour \(\nu = -n\). Pour \(|\nu| < n\), les éléments \(1 + \varepsilon t^{-1}\), \(\varepsilon^2 = 0\), montrent que l'image n'est pas ouverte. Le théorème dit, en termes d'aujourd'hui, que le groupe des lacets de \(\mathbf{G}_m\) a pour réduit \(\mathbf{Z} \times L^{+}\mathbf{G}_m\), et que la structure non réduite est portée par les « queues » nilpotentes⁶⁹ .

Pro-schémas (page 135)

Soit \(\mathrm{Pro}''(\mathrm{Sch}/S)\) la catégorie des pro-schémas \((X_i)\) à transitions affines à partir d'un rang, avec \(X_i\) quasi-compact et de présentation finie sur \(S\) pour \(i\) grand. Pour \(\mathfrak{X}\) dans \(\mathrm{Pro}''\) et \(\mathcal{Y} = (Y_j)\) à transitions affines, \(Y_j\) quasi-compacts et quasi-séparés, \[ \mathrm{Hom}_{\mathrm{Pro}(\mathrm{Sch}/S)}(\mathcal{Y}, \mathfrak{X}) \xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{Hom}_S\bigl(\varprojlim \mathcal{Y}, \varprojlim \mathfrak{X}\bigr) : \] le passage à la limite est pleinement fidèle sur \(\mathrm{Pro}''\) (EGA IV 8.13.1)⁷⁰ .

Remarque : « Dans Serre et Néron, on utilise des systèmes projectifs de schémas (de Greenberg) qui sont dans \(\mathrm{Pro}''\). Il y a avantage à les interpréter comme étant de véritables schémas sur \(k\), au lieu de pro-objets. » C'est la remarque que cite le résumé⁷¹ .

Groupes de changements de coordonnées (pages 137 à 141)

Les dernières pages sont des calculs. Soit \(A\) local d'idéal maximal \(\mathfrak{m}\), d'« échelon infinitésimal » \(N\) (\(\mathfrak{m}^{N+1} = 0\)). Un système \(f = (f_1, \ldots, f_n)\) de séries \[ f_i = a_i + \sum_j b_{ij} t_j + \sum_{|p| \geq 2} c_{ip} t^{p}, \qquad a_i \in \mathfrak{m},\ \det(b_{ij}) \notin \mathfrak{m}, \] définit une bijection \(\lambda_f\) de \(\mathfrak{m}^{n}\) sur lui-même, qui ne dépend que des termes de degré \(\leq N\). Les changements de coordonnées sans terme constant forment le schéma en groupes \(G_{n,N} = \underline{\mathrm{Aut}}_{\text{alg.\ aug.}}\,\mathbf{Z}[t_1, \ldots, t_n]/(t_1, \ldots, t_n)^{N+1}\), dont le transformé de Greenberg \(\Gamma_n\) opère sur \(\mathfrak{m}^n\) regardé comme schéma sur \(k\) ; avec les translations \(a \in \mathfrak{m}^n\) on obtient le groupe \(\mathbb{G}_{A,n}\) des changements de coordonnées affines-polynomiaux de la page 141. L'échelle \(\mathfrak{m}^k / \mathfrak{m}^{k+1}\) découpée en tranches \(V_1, \ldots, V_N\) (page 137) et les termes \(\mathcal{T}^{0}_{B_0/A_0} \otimes V_i\) de la page 141 suggèrent un dévissage de ce groupe par des groupes vectoriels, faisceau tangent tensorisé par les gradués⁷² . La page 141 calcule enfin, modulo \(t^{3}\), la composition de deux polynômes \(a'_0 + a'_1 u + a'_2 u^2\) et \(u = a_0 + a_1 t + a_2 t^2\) : les coefficients sont \(a'_0 + a'_1 a_0 + a'_2 a_0^2\), \(a'_1 a_1 + 2a'_2 a_0 a_1\) et \(a'_1 a_2 + a'_2(a_1^2 + 2 a_0 a_2)\), ce qui est exact. Le dossier s'arrête là.

Ce que le dossier annonce et ne fait pas

• Les deux « nous admettrons » des pages 19 et 20, qui laissent ouverte la démonstration du théorème de la page 16 sous sa forme générale.
• La démonstration du théorème de la page 25, que la lettre propose d'envoyer et que le dossier ne contient pas.
• La question de la page 38 (commutation de \(f^{*}\) aux intersections filtrantes) et celle de la page 96 (\(\mathrm{Cons}\) et limites projectives).
• La « catégorie géométrique » de la page 98, dont la page 100 ne donne que les axiomes.
• Les « espaces de Néron » du plan de la page 117, et la notion d'« indice fini » des pages 130 et 131.
• La rubrique 9 du plan de la page 33 (cas d'un \(S' \to S\) étale) et les compléments de Greenberg de la rubrique 10.
• Le calcul de la page 139, interrompu.