Fonds Grothendieck, cote n° 90, pages 1–20

~~f(gh) = \sum f_i(g)\,\varphi_i(h), M~~ les deux premières lignes sont barrées de cinq longs traits obliques et d'une rature pleine à droite.

Lemme 1. Soit A un anneau de Dedekind, M un A-module plat. ~~Conditions équivalentes~~ Pour N sous-module de M, soit \widetilde{N} l'image inverse de torsion de M/N.

D. — \widetilde{N}/N est un de torsion.

Cond. équivalentes a) b) c) d) « a) b) » est écrit deux fois, la seconde fois suivi de « c) d) ».

a) \forall N de type fini, \widetilde{N}/N est de longueur finie, i.e. \widetilde{N} est de t.f. ~~A est un corps,~~ si A n'est pas un corps, de M un double trait vertical fléché, \Updownarrow, en face de a)

b) ~~Il n'existe pas de de A(\mathfrak{p}) = \bigcup_n \mathfrak{p}^{-n} = \Gamma(S - \lbrace\mathfrak{p}\rbrace, \underline{O}_S) (S = \mathrm{Spec}\,A), \mathfrak{p} est un idéal maximal~~ : ~~A est un corps~~ de A le passage de b) est enfermé dans un cadre et barré ; « A(\mathfrak{p}) » est récrit une seconde fois, surchargé, sous la ligne.

\Updownarrow Si A n'est pas un corps , c) (Pour idéal maximal \mathfrak{p} de A, M_{\mathfrak{p}} isomorphe à K.

d) M = \varinjlim M_i, les M_i \subset M de type fini et « saturés », i.e. M_i \to M_j tels que M_i facteur direct dans M_j, les applications de transition injectives. « de type fini et "saturés", i.e. … facteur direct dans M_j » est ajouté en interligne au-dessus d'un mot biffé ; la lecture de la suite est incertaine.

Pour que ces conditions soient satisfaites, il suffit que l'on ait :

e) les formes linéaires sur M séparent, i.e. équivalent M \hookrightarrow A^{I} \qquad (I \text{ un ensemble convenable}) [condition moins fine : M projectif] ; M , i.e. M (c'est aussi nécessaire si M a un ens. dénombrable de générateurs).

feuillet dactylographié, au verso des notes et sans rapport avec elles ; second feuillet de « EGA IV 18.9. (Rabiots) » (voir page 4), texte publié, non recomposé. Il porte la fin d'une démonstration de 18.9.7 : réduction au cas Y géométriquement unibranche (remarque que 19.9.7 est essentiellement contenu dans son corollaire 18.9.11), puis, via 15.5.6.1, au cas \dim Y = 1 et à la non-déconnexion de X par son point fermé, par \mathrm{prof}\,B = \mathrm{prof}\,A + \mathrm{prof}\,B \otimes_A k et le théorème de Hartshorne ; enfin le cas A universellement …, qui ramène à A normal et à un anneau de valuation discrète. Les flèches et les signes \geqslant, laissés en blanc par la machine, n'ont pas été portés. Une seule intervention manuscrite : « caténaire » est biffé et remplacé en interligne par japonais.

Lemme 2. Soit A comme dessus, G un A-groupe affine, d'algèbre B, satisfaisant aux conditions ci-dessus. Alors pour tout sous-module de type fini M de B, \exists sous-module N de B tel que N \supset M et tel que

a)\widetilde{N} = N i.e. N saturé — ce qui implique N \otimes_A N \hookrightarrow B \otimes_A B ; b)\Delta N \subset N \otimes N.

dans b), le produit tensoriel est d'abord écrit par une boucle surchargée, puis récrit.

Dém. Faisons opérer G \times G sur B par (g,h)f(s) = f(g^{-1}sh) . ~~Alors les~~ N de B par G \times e (resp. e \times G) : \Delta N \subset N \otimes B \qquad \text{resp.}\qquad \Delta N \subset B \otimes N . Notons que ~~la stabilité de N,~~ les conditions passage de N à \widetilde{N} ( ). , la condition d'être invariant par G \times G, , . N.B. le passage de N à \widetilde{N} . : M \subset N par G \times G, \widetilde{N} de t.f., . N = \widetilde{N} Mais cela signifie \Delta\widetilde{N} \subset (\widetilde{N} \otimes B) \cap (B \otimes N) = N \otimes N cqfd. les tildes sont portés sur les deux premiers N de la formule et manquent aux trois derniers ; transcrit tel quel. L'insertion marginale, reliée par un trait au-dessus de la dernière ligne, se termine par « N = \widetilde{N} ».

feuillet dactylographié, au verso des notes et sans rapport avec elles, intitulé « EGA IV 18.9. (Rabiots) » ; texte publié, non recomposé. Il donne le Théorème 18.9.7 (pour A \to B homomorphisme local d'anneaux locaux noethériens, \mathrm{Spec}(B) \to \mathrm{Spec}(A) plat à fibres séparables, A géométriquement unibranche ou unibranche avec k(B) extension primaire de k(A) : la fibre générique est connexe, et X - T est connexe pour tout fermé T \subset f^{-1}(S), S \neq Y fermé), les Corollaires 18.9.8 (toutes les fibres géométriquement connexes si A est strictement local, ou hensélien avec k(B) primaire) avec sa démonstration, et 18.9.9 (fibres formelles connexes d'un anneau local noethérien hensélien universellement caténaire). Les flèches sont laissées en blanc. Une seule intervention manuscrite : « géom. » inséré en marge avant « connexes » à la dernière ligne de 18.9.9.

Cor. Maince titre, souligné, revient page 9 ; il peut se lire « Corollaire ». Si de plus G est de t.f. sur A, alors G admet une représentation linéaire fidèle. « de plus » est ajouté en interligne ; un trait vertical en marge gauche tient l'énoncé.

Il existe N tel que a) N engendre l'algèbre B, b) \widetilde{N} = N, c) \Delta N \subset N \otimes B. Alors de G : A'/A qui opère trivialement dans N', opère trivialement sur B', donc est l'unité. Donc la repr. est fidèle.

Cor. Main Si A est un corps k, alors G sur k est projective d'un syst. projectif strict ( morphismes fid. plats) de groupes affines de t.f.

feuillet dactylographié paginé « -3- », au verso des notes et sans rapport avec elles ; texte publié (EGA IV, 18.9.5), non recomposé. Il porte le Corollaire 18.9.5 (sous les hypothèses de 18.9.4, le foncteur Z \mapsto Z \otimes_A A' des préschémas étales sur X dans ceux sur X' est pleinement fidèle) et sa démonstration, d'abord pour Z_2 séparé, puis dans le cas général par le graphe \Gamma' d'un X'-morphisme Z'_1 \to Z'_2 ; c'est une rédaction plus développée que celle, barrée, de la page 8, et elle se poursuit page 14. Les interventions à l'encre, de main non établie :

« d'un morphisme unique » devient « d'un X-morphisme unique » ; « Supposons d'abord que Z_1 et Z_2 soient séparés » : « Z_1 et » est biffé et l'accord ramené au singulier (« Z_2 soit séparé ») ; après « le graphe \Gamma' d'un X'-morphisme Z'_1 \to Z'_2 », inséré « qui est ouvert (17.9.3) dans Z'_1 \times_{X'} Z'_2 » ; « par changement de base » reçoit en interligne « A \to A' » ; « la conclusion résulte donc de » devient « … donc alors de » ; « où \Gamma est ouvert » reçoit « dans Z » ; « un morphisme plat » devient « un morphisme fidèlement plat et quasi-compact » ; deux traits en marge gauche, en face des deux passages corrigés.

}

Prop. A , G groupe affine sur A, d'algèbre B. On suppose que on A-module, B = \varinjlim B_i , \quad \text{où } B_i \subset B \text{ sont tels que} a) B/B_i est plat/A, donc B_i \otimes B_i \subset B \otimes B, et b) \Delta B_i \subset B_i \otimes B_i. c) les B_i sont projectifs de t.f.

~~Alors~~ Pour i fixé, utilisant a), on voit que pour tout A-module E, B_i \otimes E \subset B \otimes E. Si G opère sur E, disons que E est i-admissible si \delta \colon E \to B \otimes E se factorise par B_i \otimes E, donc on définit par \delta_i \colon E \to B_i \otimes E . Alors la catégorie des A-G-modules de t.f. est limite inductive, pour i variable, des sous-catégories C_i(A,G)_f des A-G-modules i-admissibles de t.f. les deux « de t.f. » sont ajoutés en interligne ; dans C_i(A,G)_f la première lettre de l'argument est surchargée. D'autre part, utilisant b) et c), et introduisant U_i = \check{B}_i, on trouve que U_i est une algèbre ass. unitaire ~~ainsi que pour que \varepsilon(B_i) = A,~~ Alors, la catégorie C_i(U_i) les deux avant-dernières lignes sont barrées et encadrées ; la dernière est barrée à partir de « la catégorie ».

feuillet dactylographié paginé à la main « IV-965 », au verso des notes et sans rapport avec elles ; texte publié, non recomposé. Il porte le Corollaire 18.9.4 (pour A local noethérien hensélien à fibres formelles géométriquement normales, A' = \widehat{A}, g \colon X' \to X : U \mapsto g^{-1}(U) est une bijection des parties ouvertes et fermées, d'où \pi_0(X') \to \pi_0(X) bijectif) et sa démonstration, puis une première rédaction de 18.9.5, barrée de deux longs traits obliques (la rédaction reprise est celle des pages 6 et 14), et le début de la Remarque 18.9.6. Les interventions, de main non établie :

la référence à Bourbaki, Top. gén., chap. I, § 11, n° 3, est complétée en « prop. 7 » ; dans l'énoncé barré de 18.9.5 : « X-schémas » devient « préschémas », « (supposés étales et finis) » est ajouté puis biffé deux fois, « (et séparés) » ajouté deux fois dans des cadres ; en marge gauche : « « séparés » inutile ! » et « le vrai énoncé porte sur X-schémas … » ; dans 18.9.6, « Dans tous les cas connus » est biffé et remplacé par « Il est possible que si le corps résiduel de A est de car. nulle, » ; « est » est remplacé par « induit ».

}

formant un syst. projectif strict d'algèbres sur A. C_i(G)_f est équivalente canoniquement à la catégorie des U_i-modules de t.f. Et les foncteurs de transition entre les C_i(G) sont isomorphes aux foncteurs restriction des scalaires. « strict » et « de t.f. » sont ajoutés en interligne ; la page suit directement la page 7.

Cor. Main Sous les conditions précédentes, tout module de t.f. E d'une représentation de G est quotient d'un module projectif de t.f. où G opère. « de t.f. E » est ajouté en interligne avec un signe de renvoi ; « projectif », souligné, est ajouté au-dessus d'un mot biffé.

Prop. Soit G groupe affine plat sur A anneau de Dedekind, d'algèbre B satisfaisant aux conditions du Lemme 1 (cela signifie que pour les composantes irréd. de G, leurs fibres sont non vides). Soit S' un schéma sur S, sur S, module quasi-coh. soit de t.f. quotient d'un module localement libre de t.f. ~~Alors~~ (p. ex. S , S noeth. régulier). Alors

feuillet dactylographié paginé à la main « IV-964 », au verso des notes et sans rapport avec elles ; texte publié, non recomposé. Il porte la fin d'un énoncé sur les anneaux unibranches, la Proposition 18.8.15 (^{hs}A universellement caténaire si A l'est), le début du § 18.9 « Fibres formelles des anneaux noethériens henséliens » : Théorème 18.9.1 (fibres formelles géométriquement intègres), Corollaire 18.9.2 (\widehat{A} intègre) et Corollaire 18.9.3 (le corps des fractions de \widehat{A} est une extension séparable de celui de A, dans laquelle ce dernier est algébriquement fermé), avec leurs démonstrations. Les interventions, de main non établie :

le numéro « (18.8.13) » est corrigé en « (18.8.15) », « (18.?.3) » en « (18.9.3) » ; « et » ajouté devant « K est algébriquement fermé dans L » ; « La première assertion » est biffé et remplacé par « Cela » ; un mot biffé devant « intègre » ; la référence finale est complétée : « et de (4.3.2) et (4.3.5) ».

}

G_{S'}-modules quasi-coh. de t.f. est quotient d'un idem, qui est de plus loc. libre. suite directe de la page 9 ; le reste du feuillet est blanc.

feuillet dactylographié paginé à la main « IV-9 », au verso des notes et sans rapport avec elles ; texte publié, non recomposé. Il porte la fin d'un énoncé sur ^{hs}A (fibres géométriquement régulières), les Corollaires 18.8.12 (Cohen-Macaulay, (S_n), régulier, (R_n) passent de A à ^{hs}A et inversement) et 18.8.13 (idéaux premiers associés), la Proposition 18.8.14 (équivalence de A géométriquement unibranche, de l'irréductibilité de \mathrm{Spec}(A') pour A' essentiellement étale, et de celle de \mathrm{Spec}(^{hs}A)) avec sa démonstration, et le début du Corollaire 18.8.15. Les interventions, de main non établie :

les numéros sont décalés à l'encre : 18.8.9, 10, 11, 12 deviennent 18.8.12, 13, 14, 15 ; dans le dernier, un mot tapé est surchargé en « Corollaire » ; une accolade en marge réunit b), c), d) de 18.8.12, avec un signe ; « en utilisant (18.8.7.1) » est mis entre crochets et souligné d'un trait ondulé ; un trait en marge ; dans 18.8.15, « local » est inséré devant « hensélien ».

}

Proposition Soit A anneau de Dedekind, G gr. plat affine de t.f. sur A, d'algèbre B satisfaisant aux conditions du Lemme 1. ~~Alors~~ Soit N comme dans le Lemme 2, et considérons la représentation de G dans N induite par la repr. régulière gauche. Alors l'hom. G \to \underline{\mathrm{Aut}}(N) ~~est~~ un morphisme plat tout l'énoncé est barré de six longs traits obliques et séparé de la suite par un trait horizontal.

\left\lbrace \begin{array}{l} \mathcal{B} = \varinjlim \mathcal{B}_i \\ 1)\ \mathcal{B}/\mathcal{B}_i \text{ plat, donc } \mathcal{B}_i \otimes \mathcal{B}_i \subset \mathcal{B} \otimes \mathcal{B} \\ 2)\ \Delta \mathcal{B}_i \subset \mathcal{B}_i \otimes \mathcal{B}_i \\ 3)\ \mathcal{B}_i \text{ loc. libres de t.f.} \end{array} \right. après 3), « Supposons X quasi-proj. » est biffé.

Soit E un \underline{O}_X-G-module quasi-coh.

Alors 1) Pour tout sous-module quasi-coh. F, il existe un plus petit sous-module qu.-coh. qui contienne F, stable par G, et sa formation commute tout changement de base plat. Si F est de t.f., F' itou.

2) Si X quasi-compact quasi-séparé, alors E est lim. ind. de sous-modules de t.f. qu.-coh. stables par G.

3) Soit F \to E un , F quasi-coh. de t.f., l'image engendre E. Alors il existe entre 2) et 3), un passage est biffé et enfermé dans un cadre : « si X quasi-compact et principal ».

feuillet dactylographié paginé « -4- », au verso des notes et sans rapport avec elles ; fin de la démonstration du Corollaire 18.9.5 commencée page 6 (réduction, via 4.5.19.1, à q_1^{-1}(\Gamma') = q_2^{-1}(\Gamma'), puis au cas où X est le spectre d'un corps, où tout X-préschéma étale est séparé, 17.6.2, c')). Seule intervention : la lettre finale de « est », complétée à la main.

un G-hom. F' \to E surjectif, avec F' de la forme F \otimes \check{\mathcal{B}}_i — donc F' loc. libre (de t.f.) si F l'est. suite directe de la page 13.

4) Supposons X quasi-proj. et que module de t.f. sur X quotient d'un loc. libre de t.f. (p. ex. X admet faisceau inversible ample, ou X noethérien régulier). Alors \underline{O}_X-G-module sur X est quotient d'un loc. libre de t.f.

feuillet dactylographié paginé à la main « IV-962 », au verso des notes et sans rapport avec elles ; texte publié, non recomposé. Il porte la fin de la démonstration de 18.8.7 (pour C fini sur A : C \otimes_A {}^{hs}\!A composé direct d'anneaux strictement locaux C'_i, construction de w \colon C'_i \to {}^{hs}C et de son inverse w'), la Remarque 18.8.10 (étendue à B entière semi-locale à extensions résiduelles de degré séparable fini) et le début de la Proposition 18.8.11 (réduit, normal ; (^{hs}A)_{\mathfrak p}/\mathfrak{p}(^{hs}A)_{\mathfrak p} composé d'extensions séparables). Les interventions, de main non établie :

un diagramme tracé à la main, sans lequel le texte ne se suit pas : A \to {}^{hs}\!A, A \to C, f \colon C \to C', C' \to C'_i, v \colon C \to {}^{hs}C, w \colon C'_i \to {}^{hs}C, u \colon {}^{hs}\!A \to {}^{hs}C, avec en marge « C \to {}^{hs}C » pour le blanc laissé après « Soit v » ; les relations w_0 \circ g = u, w_0 \circ f = v et la flèche \varphi_i sont portées à la main dans des blancs ; « (18.8.5) » ajouté au-dessus de w' \circ v = \varphi_i \circ f ; les numéros « (18.8.7.1) » et « (18.8.8) » deviennent « (18.8.10) » et « (18.8.11) » ; en marge, dans une ellipse au crayon : « pour une A-algèbre B entière sur A », relié par un trait au texte de la Remarque.

}

G un groupe plat et affine sur S, d'algèbre \mathcal{B}. On suppose \mathcal{B} = \varinjlim \mathcal{B}_i , \qquad \mathcal{B}_i \subset \mathcal{B} \text{ sous-Modules avec}

1)\mathcal{B}/\mathcal{B}_i plat (donc \mathcal{B}_i \otimes \mathcal{B}_i \subset \mathcal{B} \otimes \mathcal{B}) 2)\Delta \mathcal{B}_i \subset \mathcal{B}_i \otimes \mathcal{B}_i donc \check{\mathcal{B}}_i est un faisceau d'algèbres associatives à unité 3)\mathcal{B}_i ~~projectif~~ loc. libre de t.f. donc les \check{\mathcal{B}}_i itou.

« loc. libre » est écrit au-dessus de « projectif », biffé.

X un préschéma sur S, ~~muni de \underline{L} ample rel/S~~ où G opère. ~~Groupe~~ On suppose que sur X existe un faisceau inversible \underline{L} ample rel/S, sur lequel G opère de façon compatible avec son action sur X.

Soit E un \underline{O}_X-G-Module quasi-coh.

1) Pour tout sous-module quasi-coh. F de E, il existe un plus petit sous-module quasi-coh. F' de E ~~qui~~ stable par G contenant F. Sa formation commute à tout changement de base plat en S.

~~2) Si S quasi-compact quasi-séparé, alors E est lim. de sous-modules quasi-coh. de t.f. stables par G.~~ ce passage est encadré et barré de traits obliques ; en marge gauche, biffé, « de t.f. ».

2) Si F est de t.f., de même F'. inséré en interligne au-dessus du passage barré ; le numéro 2) est porté en tête du passage barré et repris pour l'insertion.

feuillet dactylographié paginé à la main « IV-953 », au verso des notes et sans rapport avec elles ; texte publié, non recomposé. Il porte la fin d'une démonstration (espace compact noethérien, donc fini et discret), le Corollaire 18.6.10 (Cohen-Macaulay, (S_n), régulier, (R_n) pour ^{h}\!A), le Corollaire 18.6.11 (idéaux premiers associés) et la Proposition 18.6.12 (A unibranche ssi \mathrm{Spec}(^{h}\!A) irréductible) avec le début de sa démonstration. Les interventions, de main non établie : une accolade en marge réunit b), c), d) de 18.6.10 avec un signe cerclé ; les chiffres finaux de « (18.6.9) » et « (18.6.12) » sont surchargés ; un trait en marge de 18.6.12 ; « Soient » corrigé en « Soit ».

~~3) Si \underline{E} est de t.f., il existe un \underline{O}_X-G-Module loc. libre de t.f. \underline{F}, et un épimorphisme de \underline{O}_X-G-Modules \underline{F} \to \underline{E}.~~ ce 3) est barré de traits obliques ; au-dessus, ajouté puis biffé avec lui : « et est quotient d'un module loc. libre (sans op. !) ».

3) ~~Si S faisceau~~ quasi-proj. et si tt module quasi-coh. de t.f. sur S est quotient d'un loc. libre de t.f., alors \underline{E} est quotient d'un \underline{O}_X-G-Module loc. libre de type fini de la forme f^{*}(H)(-n), la condition sur S est écrite en interligne au-dessus d'une ligne biffée.

Dém. Il suffit de prouver 1) et 3). Posons (où f \colon X \to S) \underline{\Gamma}_{*}(E) = \coprod_n f_{*}(E(n)) . le signe de somme est un \coprod, n en dessous ; la page emploie ensuite \underline{\Gamma}^{\cdot} pour le même objet. Dans le cas où G est plat sur S et f qu.-cpt et (qu.-)sép., on trouve que \underline{\Gamma}^{\cdot}(E) est un Module gradué sur S sur lequel G opère. Si \underline{\Gamma}^{\cdot}(\underline{O}_X) = \struck{\ill{}}\, A^{\cdot} c'est une Algèbre graduée sur laquelle G opère. E \mapsto \underline{\Gamma}^{\cdot}(E) est un foncteur de E, à valeurs dans la cat. des A^{\cdot}-G-modules gradués. Ce foncteur est exact à gauche. On a un foncteur (exact) la phrase se poursuit en tête de la page 21 (batch 2) : « M \mapsto \widetilde{M} en sens inverse ».

feuillet dactylographié paginé à la main « IV-95 », au verso des notes et sans rapport avec elles ; texte publié, non recomposé. Il porte la fin de l'énoncé de 18.6.9 (fibres de \mathrm{Spec}(^{h}\!A) \to \mathrm{Spec}(A) géométriquement régulières), la démonstration de (i) (réduit, normal) et de (ii), et les Lemmes 18.6.9.1 (limite inductive noethérienne d'anneaux artiniens) et 18.6.9.2 (limite projective noethérienne d'espaces finis discrets). Les interventions, de main non établie :

« les morphismes \mathrm{Spec}(A_\beta) \to \mathrm{Spec}(A_\alpha) » devient « A_\alpha \to A_\beta » ; « surjectifs » devient « injectifs » ; la référence « (2.3.4, (ii)) » est barrée ; en marge gauche : « précisions mélangées ! » ; « (On peut se borner au cas où A est local.) » est rattaché à (ii) par une parenthèse ; « \varphi_{\beta\alpha} » porté à la main au-dessus de « les homomorphismes B_\alpha \to B_\beta », puis dans la démonstration ; « étant discrets » devient « finis et discrets » ; une note au crayon en marge gauche, .

}