Cote n° 90 · pages 1–24 · Lecture modernisée · KG (X) : notes manuscrites (s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : [à partir de 1964]
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

1–24

Le fil du dossier, et les conventions

Le dossier a vingt-quatre pages. Les pages impaires portent les notes, sans pagination de sa main ; les pages paires en sont les versos : des feuillets dactylographiés d'EGA IV, §§ 18.6 à 18.9, sans rapport avec les notes, dont on dit un mot à la fin. L'ordre de lecture est celui des pages impaires.

• Page 1 : Lemme 1. Saturation dans un module sans torsion sur un anneau de Dedekind ; quand les saturés des sous-modules de type fini restent de type fini.
• Page 3 : Lemme 2. Dans l'algèbre \(B\) d'un groupe affine, tout sous-module de type fini est contenu dans un sous-module de type fini, saturé, stable par la comultiplication.
• Page 5 : deux corollaires. Représentation linéaire fidèle sur un anneau de Dedekind ; groupes affines sur un corps comme limites projectives strictes de groupes de type fini.
• Pages 7 et 9 : les algèbres \(U_i\). Si \(B\) est réunion de sous-cogèbres \(B_i\) projectives de type fini, les \(G\)-modules de type fini sont les modules de type fini sur les duaux \(U_i\) ; tout \(G\)-module de type fini est quotient d'un \(G\)-module projectif de type fini.
• Pages 9 et 11 : sur un schéma \(S'\). Même conclusion, avec « localement libre », sur un schéma où les faisceaux de type fini sont quotients de localement libres.
• Pages 13 et 15 : énoncé général 1) à 4) pour un \(\mathcal{O}_X\)-\(G\)-module quasi-cohérent ; lu ici avec \(G\) agissant trivialement sur \(X\).
• Pages 17 et 19 : reprise avec \(G\) agissant sur \(X\) et un faisceau inversible ample \(G\)-linéarisé ; pages 19 à 23, la démonstration de 1) et 2) par le module gradué des sections, qui s'arrête là.

La progression est cohérente : chaque étape réduit la suivante à la précédente. Le Lemme 1 sert le Lemme 2, qui fournit les hypothèses des pages 7 et 13 ; et la démonstration des pages 19 à 23 ramène l'action sur \(X\) à une action sur la base \(S\), où l'énoncé des pages 13 et 15 s'applique.

Le titre de l'inventaire, « KG (X) », désigne le groupe de Grothendieck des faisceaux \(G\)-équivariants sur \(X\). Aucune page ne le nomme : le dossier en est le préalable — l'existence de résolutions équivariantes —, non la théorie¹ .

Sur la date : les notes sont écrites au dos de feuillets dactylographiés d'EGA IV, § 18. Si, comme d'ordinaire, le papier dactylographié a servi de brouillon, elles sont postérieures à la frappe de ces feuillets (la partie d'EGA IV qui les contient a paru en 1967) ; les pages elles-mêmes ne le disent pas, et la datation « à partir de 1964 » est celle de l'inventaire.

Conventions, valables pour tout le dossier. \(A\) est un anneau commutatif, \(G\) un \(A\)-groupe affine d'algèbre \(B\), de comultiplication \(\Delta \colon B \to B \otimes_A B\), \(\Delta f(g,h) = f(gh)\), et de coünité \(\varepsilon\). Un \(G\)-module (un « \(A\)-\(G\)-module ») est un \(A\)-module \(E\) muni d'une coaction \(\delta \colon E \to B \otimes E\), comme à la page 7 ; c'est un comodule sur \(B\). Pour une sous-cogèbre \(B_i\) projective de type fini, \(U_i = \check{B}_i = \mathrm{Hom}_A(B_i, A)\) est son algèbre duale. Le tilde a deux sens dans le dossier, et on les garde séparés : aux pages 1 à 5, \(\widetilde{N}\) est le saturé d'un sous-module ; aux pages 19 à 23, \(\widetilde{M}\) est le faisceau sur \(X\) associé à un module gradué \(M\). Sur un schéma, \(\underline{\Gamma}^{\cdot}(E) = \bigoplus_n f_{*}(E(n))\) et \(A^{\cdot} = \underline{\Gamma}^{\cdot}(\mathcal{O}_X)\).

1–1

Saturation sur un anneau de Dedekind (page 1)

Soit \(A\) un anneau de Dedekind et \(M\) un \(A\)-module plat, c'est-à-dire sans torsion. Pour un sous-module \(N \subset M\), soit \(\widetilde{N}\) l'image inverse dans \(M\) de la torsion de \(M/N\) : c'est le saturé de \(N\), le plus petit sous-module \(N' \supset N\) tel que \(M/N'\) soit sans torsion, et \(\widetilde{N}/N\) est de torsion² . On dit \(N\) saturé si \(\widetilde{N} = N\).

Lemme 1. Les conditions suivantes sont équivalentes :

• a)pour tout sous-module de type fini \(N\) de \(M\), \(\widetilde{N}\) est de type fini (de façon équivalente, \(\widetilde{N}/N\) est de longueur finie³ ) ;
• d)\(M\) est réunion filtrante de sous-modules \(M_i\) de type fini et saturés ; pour \(M_i \subset M_j\), \(M_i\) est alors facteur direct de \(M_j\).

Elles sont satisfaites si

• e)les formes linéaires sur \(M\) séparent ses éléments, c'est-à-dire s'il existe une injection \(M \hookrightarrow A^{I}\) ; c'est le cas en particulier si \(M\) est projectif ;

et, si \(M\) admet un ensemble dénombrable de générateurs, e) est aussi nécessaire — et équivaut alors à « \(M\) projectif »⁴ .

Démonstration (la page n'en donne pas ; celle-ci est de cette lecture). a) \(\Rightarrow\) d) : les \(\widetilde{N}\), \(N\) de type fini, forment un système filtrant de sous-modules saturés de type fini dont la réunion est \(M\). Si \(M_i \subset M_j\) sont saturés, \(M_j/M_i \subset M/M_i\) est sans torsion de type fini, donc projectif, et \(M_i\) est facteur direct de \(M_j\). d) \(\Rightarrow\) a) : un \(N\) de type fini est contenu dans un \(M_i\) ; \(M/M_i\), réunion filtrante des \(M_j/M_i\) sans torsion, est sans torsion, donc \(\widetilde{N} \subset M_i\), qui est noethérien. e) \(\Rightarrow\) a) : si \(N\) est de type fini, \(N \otimes K\) est de dimension finie, donc un nombre fini de coordonnées \(A^{I} \to A^{k}\) sont injectives sur \(N \otimes K \supset \widetilde{N}\), et \(\widetilde{N}\) est un sous-module de \(A^{k}\). Enfin, si \(M\) est dénombrablement engendré et satisfait d), on extrait une suite croissante \(M_1 \subset M_2 \subset \cdots\) de saturés de type fini de réunion \(M\) ; chaque \(M_{n+1}/M_n\) est projectif, donc \(M \simeq \bigoplus_n M_{n+1}/M_n\) est projectif et se plonge dans un \(A^{I}\).

On retiendra que, sous d), \(M\) est limite inductive de modules projectifs de type fini à transitions scindées : un module plat et de Mittag-Leffler, dirait-on aujourd'hui⁵ .

3–3

Sous-modules stables de l'algèbre d'un groupe (page 3)

Lemme 2. Soit \(A\) un anneau de Dedekind et \(G\) un \(A\)-groupe affine d'algèbre \(B\) plate, satisfaisant aux conditions du Lemme 1. Pour tout sous-module de type fini \(M\) de \(B\), il existe un sous-module \(N \supset M\) de \(B\), de type fini⁶ , tel que

• a)\(N\) est saturé — ce qui entraîne que \(N \otimes_A N \to B \otimes_A B\) est injectif ;
• b)\(\Delta N \subset N \otimes N\).

Un tel \(N\), sans torsion et de type fini, est projectif ; b) en fait une sous-cogèbre de \(B\).

Démonstration. On fait opérer \(G \times G\) sur \(B\) par \[ \bigl((g,h)f\bigr)(s) = f(g^{-1} s h) . \] Un sous-module \(N\) à quotient \(B/N\) plat est stable par \(G \times e\) (resp. \(e \times G\)) si et seulement si \(\Delta N \subset B \otimes N\) (resp. \(\Delta N \subset N \otimes B\))⁷ . L'argument a trois temps, dont le premier est presque illisible sur la page⁸ :

1. \(M\) est contenu dans un sous-module de type fini \(N_0\) stable par \(G \times G\) : c'est la finitude locale des comodules sur un anneau de Dedekind quand \(B\) est plat⁹ ;
2. le saturé \(N = \widetilde{N_0}\) est de type fini par le Lemme 1 a), et il reste stable : si \(x \in N\) et \(ax \in N_0\), \(a \neq 0\), alors \(a\,\Delta x \in N \otimes B\), et \((B \otimes B)/(N \otimes B) = (B/N) \otimes B\) est sans torsion, donc \(\Delta x \in N \otimes B\) ; de même de l'autre côté ;
3. comme \(B/N\) est plat, \[ \Delta N \subset (N \otimes B) \cap (B \otimes N) = N \otimes N \] (un élément de \(N \otimes B\) nul dans \(B \otimes (B/N)\) est nul dans \(N \otimes (B/N)\), qui s'y injecte).

C'est la formule finale de la page¹⁰ .

5–5

Deux corollaires (page 5)

Corollaire (représentation fidèle). Soient \(A\) et \(G\) comme au Lemme 2, et \(G\) de plus de type fini sur \(A\). Alors \(G\) admet une représentation linéaire fidèle sur un \(A\)-module projectif de type fini¹¹ .

En effet, \(B\) est une \(A\)-algèbre de type fini ; appliquons le Lemme 2 à un sous-module de type fini qui l'engendre. On obtient \(N\) qui a) engendre l'algèbre \(B\), b) est saturé, donc projectif de type fini, c) vérifie \(\Delta N \subset N \otimes B\) : \(N\) est un sous-comodule de \(B\) pour la représentation régulière. Un point \(g\) de \(G\) à valeurs dans une \(A\)-algèbre \(A'\) qui opère trivialement sur \(N \otimes A'\) opère trivialement sur l'algèbre \(B \otimes A'\) qu'il engendre, donc est l'unité¹² . On a même davantage : les coefficients matriciels de \(N\) contiennent \(N\) (puisque \(n = (\varepsilon \otimes \mathrm{id})\Delta n\)), donc engendrent \(B\), et \(G \to \mathrm{GL}(N)\) est une immersion fermée¹³ .

Corollaire (groupes sur un corps). Si \(A\) est un corps \(k\), tout groupe affine sur \(k\) est limite projective d'un système projectif strict — à morphismes de transition fidèlement plats — de groupes affines de type fini¹⁴ . C'est un résultat classique : \(B\) est réunion filtrante de ses sous-algèbres de Hopf de type fini (celle qu'engendrent un \(N\) du Lemme 2 et son image par l'antipode), et une algèbre de Hopf est fidèlement plate sur toute sous-algèbre de Hopf.

7–9

Les modules sur les algèbres duales (pages 7 et 9)

Proposition. Soit \(A\) un anneau¹⁵ , \(G\) un \(A\)-groupe affine d'algèbre \(B\). On suppose que \(B\) est réunion filtrante de sous-modules \(B_i\) tels que

• a)\(B/B_i\) est plat sur \(A\), donc \(B_i \otimes B_i \subset B \otimes B\) ;
• b)\(\Delta B_i \subset B_i \otimes B_i\) ;
• c)les \(B_i\) sont projectifs de type fini.

Par a), \(B_i \otimes E \subset B \otimes E\) pour tout \(A\)-module \(E\). Un \(G\)-module \(E\) est dit \(i\)-admissible si sa coaction se factorise en \(\delta_i \colon E \to B_i \otimes E\). Alors :

1. la catégorie des \(G\)-modules de type fini est la réunion, pour \(i\) croissant, de ses sous-catégories pleines \(C_i(G)_f\) formées des \(i\)-admissibles ;
2. par b) et c), \(B_i\) est une cogèbre et \(U_i = \check{B}_i\) une algèbre associative unitaire ; les \(U_i\) forment un système projectif strict d'algèbres ;
3. \(C_i(G)_f\) est canoniquement équivalente à la catégorie des \(U_i\)-modules de type fini, et les foncteurs de transition \(C_i \subset C_j\) correspondent à la restriction des scalaires le long de \(U_j \to U_i\)¹⁶ .

Tout tient en peu de mots. Les images par \(\delta\) d'un système fini de générateurs sont des sommes finies, contenues dans un \(B_i \otimes E\), d'où 1. La coünité se restreint à \(B_i\), et la coassociativité aussi, puisque \(B_i \otimes B_i \otimes E \to B \otimes B \otimes E\) est injectif par a) et c) ; une \(B_i\)-coaction sur \(E\) est la même chose, par dualité des projectifs de type fini, qu'une structure de \(U_i\)-module, \(u \cdot e = (u \otimes \mathrm{id})\,\delta_i(e)\). Pour \(i \leq j\), \(B_j/B_i\) est plat de type fini, donc projectif, \(B_i\) est facteur direct de \(B_j\) et \(U_j \to U_i\) est surjectif : c'est le sens de « strict ».

Corollaire. Sous ces hypothèses, tout \(G\)-module \(E\) de type fini est quotient d'un \(G\)-module projectif de type fini¹⁷ .

Car \(E\) est un \(U_i\)-module de type fini pour un \(i\), donc quotient de \(U_i^{n}\), qui est un \(U_i\)-module projectif de type fini sur \(A\), donc un \(G\)-module dans \(C_i(G)_f\). Autrement dit, si \(A^{n} \to E\) est surjectif, \(A^{n} \otimes \check{B}_i \to E\), \(x \otimes u \mapsto u \cdot x\), est un épimorphisme de \(G\)-modules ; c'est la forme que prend l'énoncé 3) de la page 15.

9–11

Sur un schéma de base (pages 9 et 11)

Proposition. Soit \(A\) un anneau de Dedekind, \(S = \mathrm{Spec}\,A\), \(G\) un groupe affine plat sur \(A\) d'algèbre \(B\) satisfaisant aux conditions du Lemme 1¹⁸ . Soit \(S'\) un schéma quasi-compact sur \(S\) sur lequel tout module quasi-cohérent de type fini est quotient d'un module localement libre de type fini — par exemple \(S'\) muni d'un faisceau inversible ample, ou noethérien régulier et séparé¹⁹ . Alors tout \(G_{S'}\)-module quasi-cohérent de type fini est quotient d'un \(G_{S'}\)-module quasi-cohérent de type fini qui est de plus localement libre.

La démonstration n'est pas écrite. Elle tient aux deux sections précédentes : par le Lemme 2, \(B\) est réunion filtrante de sous-cogèbres \(B_i\) saturées de type fini (on sature et on stabilise chaque sous-module de type fini), qui satisfont a), b), c) de la page 7. Si \(F \to E\) est un épimorphisme d'un localement libre de type fini (sans action), \(F \otimes \check{B}_i \to E\) est un épimorphisme de \(G\)-modules dès que \(E\) est \(i\)-admissible, comme dans le corollaire de la page 9.

13–15

L'énoncé général (pages 13 et 15)

La page 13 s'ouvre sur une Proposition barrée : pour \(A\) de Dedekind et \(G\) plat affine de type fini sur \(A\), \(N\) comme dans le Lemme 2 et la représentation de \(G\) dans \(N\) induite par la représentation régulière gauche, le morphisme \(G \to \underline{\mathrm{Aut}}(N)\) aurait une propriété dont le nom est perdu²⁰ . Il l'abandonne pour un énoncé sur une base quelconque.

Soit \(S\) un schéma, \(G\) un \(S\)-groupe affine d'algèbre \(\mathcal{B}\) (quasi-cohérente sur \(S\)), réunion filtrante de sous-Modules \(\mathcal{B}_i\) tels que

• 1)\(\mathcal{B}/\mathcal{B}_i\) est plat, donc \(\mathcal{B}_i \otimes \mathcal{B}_i \subset \mathcal{B} \otimes \mathcal{B}\) ;
• 2)\(\Delta \mathcal{B}_i \subset \mathcal{B}_i \otimes \mathcal{B}_i\) ;
• 3)les \(\mathcal{B}_i\) sont localement libres de type fini.

Soit \(X\) un \(S\)-schéma, et \(E\) un \(\mathcal{O}_X\)-\(G\)-module quasi-cohérent, \(G\) agissant trivialement sur \(X\)²¹ . Alors :

• 1)tout sous-module quasi-cohérent \(F\) de \(E\) est contenu dans un plus petit sous-module quasi-cohérent \(F'\) stable par \(G\) ; sa formation commute à tout changement de base plat ; si \(F\) est de type fini, \(F'\) aussi ;
• 2)si \(X\) est quasi-compact et quasi-séparé, \(E\) est réunion filtrante de sous-modules quasi-cohérents de type fini stables par \(G\) ;
• 3)si \(X\) est quasi-compact, \(F\) quasi-cohérent de type fini et \(F \to E\) un morphisme dont l'image engendre \(E\) comme \(G\)-module, il existe un épimorphisme de \(G\)-modules \(F \otimes \check{\mathcal{B}}_i \to E\) — localement libre de type fini si \(F\) l'est²² ;
• 4)si tout module quasi-cohérent de type fini sur \(X\) est quotient d'un localement libre de type fini (par exemple si \(X\) admet un faisceau inversible ample, ou s'il est noethérien régulier et séparé) et \(X\) quasi-compact, tout \(\mathcal{O}_X\)-\(G\)-module quasi-cohérent de type fini est quotient d'un \(\mathcal{O}_X\)-\(G\)-module localement libre de type fini²³ .

Aucune démonstration n'est écrite ; voici celle que les pages 7 et 9 contiennent en germe — la formule est de cette lecture. Soit \(E_i \subset E\) la partie \(i\)-admissible, noyau de \(E \to (\mathcal{B}/\mathcal{B}_i) \otimes E\) ; c'est un sous-\(G\)-module (avec une base duale locale \((b_k, b_k^{*})\) de \(\mathcal{B}_i\), \(\delta e = \sum b_k \otimes b_k^{*} \cdot e\)), un \(U_i\)-module, et \(E = \bigcup_i E_i\). Alors \[ F' = \sum_i U_i \cdot (F \cap E_i) . \] C'est un sous-\(G\)-module contenant \(F\) (la coünité est dans \(U_i\)) ; et tout sous-\(G\)-module \(E''\) contenant \(F\) est stable par chaque \(U_i\), car la platitude de \(\mathcal{B}/\mathcal{B}_i\) donne \((\mathcal{B}_i \otimes E) \cap (\mathcal{B} \otimes E'') = \mathcal{B}_i \otimes E''\). La formation de \(E_i\) et des images commute aux changements de base plats. Si \(F\) est de type fini, localement \(F \subset E_{i_0}\) et \(F' = U_{i_0} \cdot F\), image de \(\check{\mathcal{B}}_{i_0} \otimes F\), est de type fini — ce qui donne 3) ; 2) suit de 1), puisqu'un module quasi-cohérent sur un schéma quasi-compact quasi-séparé est réunion de ses sous-modules de type fini ; 4) suit de 3).

17–19

Avec une action sur \(X\) (pages 17 et 19)

L'énoncé est repris, cette fois avec \(G\) agissant sur \(X\).

Soit \(G\) un groupe plat et affine sur \(S\), d'algèbre \(\mathcal{B}\) satisfaisant 1), 2), 3) de la page 13 ; par 2) et 3), les \(\check{\mathcal{B}}_i\) sont des faisceaux d'algèbres associatives unitaires, localement libres de type fini. Soit \(f \colon X \to S\) quasi-compact et quasi-séparé²⁴ , sur lequel \(G\) opère, et \(L\) un faisceau inversible ample relativement à \(S\) sur lequel \(G\) opère de façon compatible à son action sur \(X\) — un faisceau inversible \(G\)-linéarisé, dit-on aujourd'hui²⁵ . Soit \(E\) un \(\mathcal{O}_X\)-\(G\)-Module quasi-cohérent.

• 1)Pour tout sous-module quasi-cohérent \(F\) de \(E\), il existe un plus petit sous-module quasi-cohérent \(F'\) de \(E\) stable par \(G\) et contenant \(F\) ; sa formation commute à tout changement de base plat \(S' \to S\).
• 2)Si \(F\) est de type fini, \(F'\) l'est aussi²⁶ .
• 3)Si \(S\) est quasi-compact, \(E\) de type fini, et si tout module quasi-cohérent de type fini sur \(S\) est quotient d'un localement libre de type fini, \(E\) est quotient d'un \(\mathcal{O}_X\)-\(G\)-Module localement libre de type fini de la forme \(f^{*}(H)(-n)\), \(H\) un \(G\)-module localement libre de type fini sur \(S\)²⁷ .

19–23

La démonstration par le module gradué des sections (pages 19 à 23)

« Il suffit de prouver 1) et 3) » ; la démonstration écrite prouve 1) et 2), et s'arrête²⁸ .

19–19

Le dictionnaire gradué

Posons \[ \underline{\Gamma}^{\cdot}(E) = \bigoplus_{n} f_{*}(E(n)), \qquad E(n) = E \otimes L^{\otimes n} . \] La page écrit d'abord \(\underline{\Gamma}_{*}\) et un coproduit, puis \(\underline{\Gamma}^{\cdot}\) pour le même objet²⁹ . Comme \(G\) est plat sur \(S\) et \(f\) quasi-compact et quasi-séparé, \(f_{*}\) commute au changement de base plat \(G \to S\), et \(\underline{\Gamma}^{\cdot}(E)\) est un \(\mathcal{O}_S\)-Module gradué quasi-cohérent sur lequel \(G\) opère — trivialement sur la base \(S\). De même \(A^{\cdot} = \underline{\Gamma}^{\cdot}(\mathcal{O}_X)\) est une \(\mathcal{O}_S\)-Algèbre graduée sur laquelle \(G\) opère, et \(E \mapsto \underline{\Gamma}^{\cdot}(E)\) est un foncteur exact à gauche à valeurs dans les \(A^{\cdot}\)-\(G\)-modules gradués. En sens inverse, \(M \mapsto \widetilde{M}\) est exact, adjoint à gauche de \(\underline{\Gamma}^{\cdot}\), et comme \(L\) est ample, la coünité \(\widetilde{\underline{\Gamma}^{\cdot}(E)} \to E\) est un isomorphisme³⁰ ; \(\underline{\Gamma}^{\cdot}\) est donc pleinement fidèle. Tout se passe désormais sur \(S\), où l'action de \(G\) ne déplace pas la base et où l'énoncé des pages 13 et 15 s'applique.

21–23

Le plus petit sous-module stable (pages 21 et 23)

Un sous-module quasi-cohérent \(F \subset E\) correspond au sous-\(A^{\cdot}\)-module \(\underline{\Gamma}^{\cdot}(F)\) de \(\underline{\Gamma}^{\cdot}(E)\), et si \(F \subset F_1 \subset E\) avec \(F_1\) stable par \(G\), alors \(\underline{\Gamma}^{\cdot}(F) \subset \underline{\Gamma}^{\cdot}(F_1) \subset \underline{\Gamma}^{\cdot}(E)\) avec \(\underline{\Gamma}^{\cdot}(F_1)\) stable par \(G\)³¹ .

Par l'énoncé de la page 13, appliqué sur \(S\), il y a un plus petit sous-module \(N\) de \(\underline{\Gamma}^{\cdot}(E)\) contenant \(\underline{\Gamma}^{\cdot}(F)\) et stable par \(G\). Il est gradué : l'action de \(G\) respecte la graduation, chaque \(U_i\) opère degré par degré, et la formule \(N = \sum_i U_i \cdot (\underline{\Gamma}^{\cdot}(F) \cap E_i)\) le montre³² . C'est un sous-\(A^{\cdot}\)-module : la multiplication \(A^{\cdot} \otimes \underline{\Gamma}^{\cdot}(E) \to \underline{\Gamma}^{\cdot}(E)\) est \(G\)-équivariante et \(\underline{\Gamma}^{\cdot}(F)\) est un \(A^{\cdot}\)-module, de sorte que, pour des points, \(a \cdot g x = g\bigl((g^{-1}a) \cdot x\bigr)\) reste dans \(N\) (« par fonctorialité de la construction de \(N\) », dit la page).

Alors \(\widetilde{N}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-\(G\)-module quasi-cohérent, et pour tout \(F_1\) stable contenant \(F\), \[ F = \widetilde{\underline{\Gamma}^{\cdot}(F)} \subset \widetilde{N} \subset \widetilde{\underline{\Gamma}^{\cdot}(F_1)} = F_1 . \] C'est donc le faisceau cherché, \(F' = \widetilde{N}\). Par construction, sa formation commute à toute extension plate \(S' \to S\) de la base : c'est 1).

Finitude (c'est 2)). Si \(F\) est de type fini, \(F'\) l'est : on peut supposer \(S\) affine, la question étant locale sur \(S\) et la construction compatible aux localisations. Comme \(L\) est ample, il existe \(n\) tel que \(F(n)\) soit engendré par un nombre fini de sections \(\varphi_1, \ldots, \varphi_r \in \Gamma(S, \underline{\Gamma}^{n}(F))\). Soit \(N^{n}\) le plus petit sous-module de \(\underline{\Gamma}^{n}(E)\) stable par \(G\) et contenant les \(\varphi_i\) ; il est de type fini par l'énoncé 1) de la page 13. Le sous-Module de \(E\) qu'il définit, image de \(f^{*}(N^{n})(-n) \to E\), est stable par \(G\), contient \(F\) (engendré par les \(\varphi_i\)) et est contenu dans \(F'\) ; c'est donc \(F'\), qui est de type fini³³ .

En marge : « Rédiger mieux ce début de la démonstration, pour pouvoir y … »³⁴ Le dossier s'arrête là.

Ce que 3) demandait (esquisse de cette lecture, non sur la page). Si \(E\) est de type fini, \(E(n)\) est engendré par ses sections pour \(n\) grand ; par 2) appliqué sur \(S\), elles sont contenues dans un sous-\(G\)-module \(N^{n} \subset \underline{\Gamma}^{n}(E)\) de type fini, et par la page 9 (ou le 4) de la page 15, sur \(S\)) \(N^{n}\) est quotient d'un \(G\)-module \(H\) localement libre de type fini. Alors \(f^{*}(H)(-n) \to f^{*}(N^{n})(-n) \to E\) est l'épimorphisme annoncé. C'est, sous le nom de « résolution équivariante », un théorème de Thomason³⁵ .

2–24

Les versos dactylographiés (pages paires)

Les pages paires sont des feuillets de la frappe d'EGA IV, chapitre 18, lus retournés ; le texte est publié et n'est pas repris ici. La transcription les décrit un à un, avec les corrections à l'encre dont la main n'est pas établie³⁶ . Pour s'y retrouver :

• pages 4 et 2 : « EGA IV 18.9. (Rabiots) », le Théorème 18.9.7 et les Corollaires 18.9.8 et 18.9.9, puis la fin d'une démonstration de 18.9.7 (« caténaire » corrigé en un mot lu « japonais ») ;
• pages 6 et 14, paginées « -3- » et « -4- » : une rédaction reprise du Corollaire 18.9.5 ;
• page 8 (IV-965) : le Corollaire 18.9.4, une première rédaction barrée de 18.9.5, avec en marge « "séparés" inutile ! », et le début de la Remarque 18.9.6 ;
• page 10 (IV-964) : la Proposition 18.8.15, le Théorème 18.9.1, les Corollaires 18.9.2 et 18.9.3 ;
• page 12 : les Corollaires 18.8.12 et 18.8.13, la Proposition 18.8.14, le début de 18.8.15, renumérotés à l'encre ;
• page 16 (IV-962) : la fin de 18.8.7, la Remarque 18.8.10, le début de la Proposition 18.8.11, avec un diagramme tracé à la main ;
• page 18 (IV-953) : les Corollaires 18.6.10 et 18.6.11 et la Proposition 18.6.12 ;
• page 20 : la fin du Théorème 18.6.9 et les Lemmes 18.6.9.1 et 18.6.9.2, avec en marge « précisions mélangées ! » (lecture incertaine) ;
• pages 24 (IV-950) et 22 (IV-951) : la fin de 18.6.6, 18.6.7, la Proposition 18.6.8 et le début de 18.6.9 ; en marge de la page 22, une critique : « la forme hybride ici ne mérite pas le nom de "propr. universelle" ».