Fonds Grothendieck, cote n° 9, pages 21–28 — transcriptionAlexandre Grothendiecktranscription automatique — première passe, non vérifiée contre les pages par une personne (2026-09-26)Opus 5.5 (claude-opus-5-5)procédure, outillage, export TEIgrothendieck.commutator.io (Commutator, Paris)Édition de démonstrationCommutatorParis2026-09-26
Le fonds Alexandre Grothendieck est sous droits. Cette transcription
est une édition de démonstration, non autorisée, produite par une
machine et non vérifiée ; aucune image du fonds n'est reproduite. La
source LaTeX dont ce fichier dérive est publiée sous https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-project.
https://grothendieck.commutator.ioFranceMontpellierUniversité de MontpellierFonds Alexandre Grothendieck (archives mathématiques, 1949–1991)9
Groupe de Barsotti-Tate et cristaux (jusqu’en été 1969) : notes manuscrites (s.d.)
Pages 21 à 28 de la cote, dans la
numérotation des archivistes (crayon, en bas à gauche de chaque
page) ; lot 2 de vingt pages.
Les pages absentes de la transcription ne portent pas de
mathématiques et sont omises ; le saut dans la numérotation en est
le seul enregistrement.https://grothendieck.umontpellier.fr/9.pdfFac-similé numérique de l'Université de Montpellier. Sa
première page est une feuille de garde générée par
l'université : la page n des archivistes
est la page n+1 du PDF, et l'attribut
facs de chaque
pb tient compte de ce décalage.
Transcription mathématique du fonds, une passe de vingt pages par
conversation avec un grand modèle multimodal, sous la procédure
transcribe-grothendieck du dépôt. Le fichier
LaTeX est la source de référence ; ce TEI en est dérivé mécaniquement
par scripts/tei.mjs et n'a pas été relu.
L'édition n'est pas diplomatique : elle encode les mathématiques et
l'apparat, rien du support. Correspondance avec l'apparat de la source :
\ill devient gap[@reason='illegible']
(jamais deviné) ; \uncertain devient
unclear ; \add devient
supplied ; \struck devient
del (biffé par l'auteur) ;
\note devient note[@type='editorial']
(du transcripteur) ; \marginal devient
note[@type='authorial'][@place='margin'] (de l'auteur) ;
\page devient pb.
Les mathématiques sont transportées en TeX dans
formula[@notation='TeX'], les diagrammes
commutatifs en formula[@notation='tikz-cd'],
sans conversion. Une marque d'apparat située à l'intérieur d'une
formule (un exposant illisible, un symbole biffé) reste dans le TeX de
la formule, sous les mêmes macros.
Orthographe, ponctuation et lapsus de l'auteur sont conservés ; une
faute évidente est signalée par une note, jamais corrigée.
https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-projectfrançais, avec la notation mathématique de l'auteurPremière passe de transcription.Export TEI depuis la source LaTeX.
Cette section mérite le nom d'invariant de Hasse de A. L'ensemble des
zéros de cette section est exactement l'ensemble des s tels que A_s soit
non ordinaire.
Quelles sont les relations entre \omega_A et \omega_{A^*} ? On a, grâce à
la suite exacte
0 \to \underline{t}_A^{\vee} \to \mathrm{DR}^1(A/S) \to \underline{t}_{A^*} \to 0
la relation
\det \underline{t}_A^{\vee} \otimes \det \underline{t}_{A^*} \simeq
\begin{array}{c}
\det \mathrm{DR}^1(A/S) \\
\wr \\
\mathrm{DR}^{2g}(A/S) \simeq \underline{\mathcal{O}}_S
\end{array}
donc on a
\omega_A \cdot \omega_{A^*}^{\vee} \simeq \underline{\mathcal{O}}_S ,
i.e. on a un isom. can.
\omega_A \simeq \omega_{A^*} .Je dis que cet isom. est compatible avec les
p-structures, — donc transforme\sigma_Aen\sigma_{A^*}, et dans le cas A ordinaire, induit un isom.
\det({}_{p}A)_{\text{ét}} \simeq \det({}_{p}A^*)_{\text{ét}} .les soulignements sont les siens ; au-dessus du p de
« p-structures » un petit trait que l'on n'a pas su lire
Il s'impose de regarder également, si A est ordinaire
T_p(A)_{\text{ét}} = \varprojlim \struck{\ill{}}\, ({}_{p^{\nu}}A)_{\text{ét}}
(N.B. T_p(A) est une extension
0 \to T_p(A)_{\mathrm{rad}} \to T_p(A) \to T_p(A)_{\text{ét}} \to 0 .
On sait, par dualité de Cartier, que dans la suite exacte correspondante
0 \to T_p(A^*)_{\mathrm{rad}} \to T_p(A^*) \to T_p(A^*)_{\text{ét}} \to 0
les termes extrêmes sont duaux l'un de l'autre, et plus précisément
cette dualité est compatible avec filtrations, donc
\begin{aligned}
T_p(A)_{\mathrm{rad}} &\simeq D(T_p(A^*)_{\text{ét}}) \\
T_p(A^*)_{\mathrm{rad}} &\simeq D(T_p(A)_{\text{ét}})
\end{aligned}
donc la connaissance de T_p(A)_{\text{ét}} et T_p(A^*)_{\text{ét}} permet
la des deux facteurs de T_p(A), donc T_p(A) si la base est
parfaite [en général, il y aurait lieu d'expliciter la structure
d'extension…].
On aimerait encore d'établir un isom. can. fonctoriel
[Soit Si \ell \neq p lieu de p, on a bien
\det T_\ell(A) \overset{\alpha_\ell}{\simeq} \det T_\ell(A^*) \simeq
\mathbb{Z}_\ell(g) \quad ]le crochet fermant est suivi d'un signe barré que l'on n'a pas su lire
car T_\ell(A^*) \simeq \det T_\ell(A^*)^{\vee} \otimes
\mathbb{Z}_\ell(1), d'où \det T_\ell(A^*) \simeq \det T_\ell(A)deux lignes annulées par un zigzag, la seconde en outre entourée ; le
« det » de la première est lui-même biffé, et on lit bien T_\ell(A^*) des
deux côtés
Si \varphi est une polarisation de A, Choisissons une
polarisation définissant \tilde\varphi : A \to A^* d'où
T_\ell(\tilde\varphi) : T_\ell(A) \to T_\ell(A^*),
\det T_\ell(\tilde\varphi) : \det T_\ell(A)
\xrightarrow{\ \beta_\ell(\varphi)\ } \det T_\ell(A^*) ,
alors l'isom. \alpha_\ell n'est autre que \beta_\ell(\varphi)/\deg\varphi.
En s'inspirant de cette formule, on définira,
\beta_p(\varphi) = \det\bigl(T_p(\tilde\varphi)_{\text{ét}}\bigr) :
\det T_p(A)_{\text{ét}} \to \det T_p(A^*)_{\text{ét}}
et on considère
\alpha_p(\varphi) = \beta_p(\varphi)\big/\sqrt{\deg\tilde\varphi} :
\det T_p(A)_{\text{ét}} \otimes \mathbb{Q}_p \to
\det T_p(A^*)_{\text{ét}} \otimes \mathbb{Q}_\ellles deux « \otimes\mathbb{Q} » sont ajoutés après coup, le premier
au-dessus de la flèche, le second sous la ligne, entouré et relié ;
l'indice \ell du second est tel qu'écrit
À prouver : a) \alpha_p(\varphi) ne dépend pas de \varphi.
formellement du
Lemme. Soit u un automorphisme endom. de
A, d'où
\Bigl[\det T_p(u)_{\text{ét}} : \det T_p(A)_{\text{ét}} \to
\det T_p(A)_{\text{ét}}\Bigr] \in \mathbb{Z}_p .
On a
\left\{
\begin{array}{l}
\deg u \text{ est un carré parfait} \\
\det\bigl(T_p(u)_{\text{ét}}\bigr) = \sqrt{\deg u}
\end{array}
\right.
i.e.
\deg u = \bigl(\det(T_p(u)_{\text{ét}})\bigr)^2 \quad \text{et} \quad
\det T_p(u)_{\text{ét}} \text{ est un entier} \geq 0 .fauxle lemme entier, depuis « Soit u », est annulé par quatre longs traits
obliques ; « faux », souligné, est écrit dans la marge gauche, à hauteur de
l'accolade
En effet, soit \psi une autre polarisation, donc
\tilde\psi = \tilde\varphi \circ u, où
u \in \operatorname{End}(A) \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q},
et la relation \tilde\psi' = -\tilde\psi (pour : \tilde\varphi' =
-\tilde\varphi) donne
\begin{array}{c}
u'\tilde\varphi' = -\tilde\varphi u \\
\| \\
-u'\tilde\varphi
\end{array}
\qquad \text{i.e.} \qquad u' = \tilde\varphi u \tilde\varphi^{-1} .
On veut prouver [posons \delta(\tilde\varphi) = \sqrt{\deg\tilde\varphi},
\alpha_p(\tilde\varphi) = \Delta(\tilde\varphi)]
\begin{array}{l}
\Delta(\tilde\psi)/\delta(\tilde\psi) = \Delta(\tilde\varphi)/\delta(\tilde\varphi) \\
\| \\
\Delta(\tilde\varphi)\cdot\Delta(u)/\delta(\tilde\varphi)\,\delta(u)
\end{array}
qui équivaut :
\Delta(u)/\delta(u) = 1 .
Or par on a
\Delta(u)\,\Delta(u^*) = \delta(u)^2 = \deg ule « = \deg u » est écrit sous \delta(u)^2, relié par un signe
d'égalité vertical ; un \Delta isolé, repassé, précède la formule
d'autre part, comme u^* = \tilde\varphi u \tilde\varphi^{-1}, on a ici
\Delta(u^*) = \Delta(u), donc \Delta(u)^2 = \delta(u)^2
d'où \Delta(u) = \pm\delta(u). Il faut encore exorciser le signe,
il faut prendre dans un
\operatorname{End}(A) \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q}, muni de l'involution
u \mapsto u' = \tilde\varphi u \tilde\varphi^{-1}, montrer que u > 0 (i.e.
u = \sum v_i v_i') u = u' implique
\Delta(u) = +\delta(u)« +\delta(u) » est souligné deux fois
[N.B. \delta(u) est bien défini, car \deg u est bien un carré parfait si
u = u']
et l'identité \Delta(u)^2 = \delta(u) est une identité des
toute la page est annulée par trois longs traits obliques ; on la
transcrit telle qu'elle se lit
Comme T_p(u) et T_p(u^*) sont de même
En effet, d'après le théorème p-adique ou th. caractéristique de Weil, on
aurait
(*) \qquad \deg u = \det T_p(u)_{\text{ét}}\, \det T_p(u^*)_{\text{ét}} ,
et il reste à prouver que
ce qui implique
\det(T_p(u)) = \varepsilon(u)\sqrt{\deg u}, \varepsilon(u) = \pm 1ajout à droite de 1°), relié par une accolade ; « de
même », en haut à droite, est relié par un trait après
« p-adique »
D'ailleurs on peut se borner à u \in \operatorname{Hom}(A,A)
\otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q} = F, un \varepsilon est écrit sous le
signe d'égalité et alors \varepsilon est un F^* \to (+1, -1) ,donc [position des ] fonction qui est une tel deux fonctions,
« se borner à » est ajouté au-dessus de la ligne, relié par un trait ; les deux
dernières lignes, déjà annulées par les traits obliques, sont en outre biffées
et raturées d'un zigzag
Or pour u variable, \Delta(u) est un polynôme dans
\mathbb{Q}\mathbb{Z}_p[T] (T = (T_1, \ldots, T_N), N ={}_{\mathbb{Z}}\operatorname{End}(A)_{\ldots})
le mot biffé devant l'indice \mathbb{Z} n'a pas été lu (on attend un
rang) ; un petit mot illisible est écrit en indice après
\operatorname{End}(A)
qui, , prend des valeurs entières pour des valeurs entières des
variables. Donc \Delta(u) est un polynôme à coeff. entiers dans
\mathbb{Q} (et même dans \mathbb{Q}_p),
à coeff.\mathbb{Z}_{(p\mathbb{Z})} [car \mathbb{Z}_p[T] \cap
\mathbb{Q}[T] = \mathbb{Z}[T],car \mathbb{Z}_p \cap \mathbb{Q} =
\mathbb{Z}_{(p\mathbb{Z})}].
ces deux lignes sont biffées et raturées de zigzags
Il faut prouver que ses valeurs sur le cône des u > 0 sont \geq 0, et
pour que il suffit de le prouver en passant de \mathbb{Q} à
\mathbb{R}. Mais dans \mathbb{R} tout élément \geq 0 est un carré, d'un
élém. \geq 0, donc
\Delta(u) = \Delta(v^2) = \Delta(v)^2 \in \mathbb{R}^2 = \mathbb{R}^+ ,
cqfd.
b) \alpha_p(\varphi) induit bien un isom. de
\det T_p(A)_{\text{ét}} avec \det T_p(A^*)_{\text{ét}}. Cela
que les deux équivaut : la relation
(i) \alpha_p(\varphi) applique \det T_p(A)_{\text{ét}} dans
\det T_p(A^*)_{\text{ét}}]\text{i.e.}\quad
v_p\Bigl(\operatorname{card}\bigl(\operatorname{Coker}
T_p(\tilde\varphi)_{\text{ét}}\bigr)\Bigr) = v_p\bigl(\sqrt{\deg\tilde\varphi}\bigr) .avant ce « i.e. », un \beta_p(\varphi) est écrit puis raturé ; dans le
conoyau, un premier symbole est noirci et remplacé par T
On a évidemment
\operatorname{Coker} T_p(\tilde\varphi)_{\text{ét}} \simeq
\bigl(\operatorname{Ker} \tilde\varphi\bigr)(p)_{\text{ét}}
Or on sait que \operatorname{Ker}\tilde\varphi est autodual, donc
(\operatorname{Ker}\tilde\varphi)(p)_{\text{ét}} est dual de
(\operatorname{Ker}\tilde\varphi(p))_{\mathrm{rad}}, donc comme
ordinaire, d'où la relation
\begin{array}{c}
\bigl(\operatorname{card} (\operatorname{Ker}\tilde\varphi)(p)_{\text{ét}}\bigr)^2
= \operatorname{card} \operatorname{Ker}(\tilde\varphi(p)) \\
\hspace{7em}\| \\
\hspace{7em}(\deg\tilde\varphi)(p)
\end{array}
d'où la relation envisagée… Cela définit bien un isom. canonique
(*) \qquad \boxed{\det T_p(A)_{\text{ét}} \xrightarrow[\alpha_A]{\ \sim\ }
\det T_p(A^*)_{\text{ét}}}
compatible avec changement de base, et isom. en A.
[Si u est un automorphisme de A, et \check u = u^{*-1},
on aura … \alpha, \det T_p(u)_{\text{ét}} = \det T_p(\check
u)_{\text{ét}}{}^{\alpha}, donc en identifiant à
\mathbb{Z}_p, on aura
\begin{array}{c}
\det T_p(u)_{\text{ét}} = \det T_p(u^{*-1})_{\text{ét}} \\
\hspace{7em}\| \\
\hspace{7em}\bigl(\det T_p(u^*)\bigr)^{-1}
\end{array}
donc
\boxed{\det T_p(u)_{\text{ét}}\,\det T_p(u^*)_{\text{ét}} = 1}
\qquad \text{\emph{$u$ un automorphisme de $A$}} \quad ]au-dessus du second facteur, un « det » est récrit en correction
Attention, si u est un endomorphisme de A, on aura en général
\det T_p(u) \neq \det T_p(u^*)dans la marge gauche, en regard, un grand signe en forme de « 2 » ou de
« Z »
si A corps alg. clos ; donc l'isom. bien fonctoriel pour les de = dimension [dans la mesure où ça
pourrait avoir un sens, les deux foncteurs n'étant pas de = variance en
A…]. Cependant, \boxed{\det T_p(u)_{\text{ét}}\, \det T_p(u^*)_{\text{ét}} = \deg u}vaut aussi pour de = dimension
Sch. A. deajout de la marge gauche, écrit en oblique et relié au texte par un
trait ; lecture très incertaine
c) Il faudrait vérifier que
\alpha_{A^*} = \alpha_A^{-1}
[ signe (?)…]. Noter aussi la compatibilité par de
\mathcal{V}A. —
d) L'isom. ({}_{p}A)_{\text{ét}} \to ({}_{p}A^*)_{\text{ét}} induit par
\alpha_A est bien celui déduit plus haut de la dualité en cohomologie de De
Rham (à vérifier…).
« plus haut » renvoie à la page 21, où l'isomorphisme est écrit entre
les déterminants \det({}_{p}A)_{\text{ét}} et \det({}_{p}A^*)_{\text{ét}}