Cote n° 9, pages 21–28

Cote n° 9 · batch 2 · pages 21–28 · Transcription · Groupe de Barsotti-Tate et cristaux (jusqu’en été 1969) : notes manuscrites (s.d.)
Édition de démonstration

Cette section mérite le nom d'invariant de Hasse de $A$. L'ensemble des zéros de cette section est exactement l'ensemble des $s$ tels que $A_s$ soit non ordinaire.

Quelles sont les relations entre $\omega_A$ et $\omega_{A^*}$ ? On a, grâce à la suite exacte \[ 0 \to \underline{t}_A^{\vee} \to \mathrm{DR}^1(A/S) \to \underline{t}_{A^*} \to 0 \] la relation \[ \det \underline{t}_A^{\vee} \otimes \det \underline{t}_{A^*} \simeq \begin{array}{c} \det \mathrm{DR}^1(A/S) \\ \wr \\ \mathrm{DR}^{2g}(A/S) \simeq \underline{\mathcal{O}}_S \end{array} \] donc on a \[ \omega_A \cdot \omega_{A^*}^{\vee} \simeq \underline{\mathcal{O}}_S , \] i.e. on a un isom. can. \[ \omega_A \simeq \omega_{A^*} . \] Je dis que cet isom. est compatible avec les $p$-structures, — donc transforme $\sigma_A$ en $\sigma_{A^*}$, et dans le cas $A$ ordinaire, induit un isom. \[ \det({}_{p}A)_{\text{ét}} \simeq \det({}_{p}A^*)_{\text{ét}} . \] les soulignements sont les siens ; au-dessus du $p$ de « $p$-structures » un petit trait que l'on n'a pas su lire

Il s'impose de regarder également, si $A$ est ordinaire \[ T_p(A)_{\text{ét}} = \varprojlim \struck{\ill{}}\, ({}_{p^{\nu}}A)_{\text{ét}} \] (N.B. $T_p(A)$ est une extension \[ 0 \to T_p(A)_{\mathrm{rad}} \to T_p(A) \to T_p(A)_{\text{ét}} \to 0 . \] On sait, par dualité de Cartier, que dans la suite exacte correspondante \[ 0 \to T_p(A^*)_{\mathrm{rad}} \to T_p(A^*) \to T_p(A^*)_{\text{ét}} \to 0 \] les termes extrêmes sont duaux l'un de l'autre, et plus précisément cette dualité est compatible avec filtrations, donc \[ \begin{aligned} T_p(A)_{\mathrm{rad}} &\simeq D(T_p(A^*)_{\text{ét}}) \\ T_p(A^*)_{\mathrm{rad}} &\simeq D(T_p(A)_{\text{ét}}) \end{aligned} \] donc la connaissance de $T_p(A)_{\text{ét}}$ et $T_p(A^*)_{\text{ét}}$ permet la […] des deux facteurs de $T_p(A)$, donc $T_p(A)$ si la base est parfaite [en général, il y aurait lieu d'expliciter la structure d'extension…].

On aimerait encore d'établir un isom. can. fonctoriel

\[ \det T_p(A)_{\text{ét}} \xrightarrow{\ \sim\ } \det T_p(A^*) \]

[Soit Si […] $\ell \neq p$ […] lieu de $p$, on a bien \[ \det T_\ell(A) \overset{\alpha_\ell}{\simeq} \det T_\ell(A^*) \simeq \mathbb{Z}_\ell(g) \quad ] \] le crochet fermant est suivi d'un signe barré que l'on n'a pas su lire

car $T_\ell(A^*) \simeq \det T_\ell(A^*)^{\vee} \otimes \mathbb{Z}_\ell(1)$, d'où $\det T_\ell(A^*) \simeq \det T_\ell(A)$ deux lignes annulées par un zigzag, la seconde en outre entourée ; le « det » de la première est lui-même biffé, et on lit bien $T_\ell(A^*)$ des deux côtés

Si $\varphi$ est une polarisation de $A$, Choisissons une polarisation définissant $\tilde\varphi : A \to A^*$ d'où $T_\ell(\tilde\varphi) : T_\ell(A) \to T_\ell(A^*)$, \[ \det T_\ell(\tilde\varphi) : \det T_\ell(A) \xrightarrow{\ \beta_\ell(\varphi)\ } \det T_\ell(A^*) , \] alors l'isom. $\alpha_\ell$ n'est autre que $\beta_\ell(\varphi)/\deg\varphi$. En s'inspirant de cette formule, on définira, \[ \beta_p(\varphi) = \det\bigl(T_p(\tilde\varphi)_{\text{ét}}\bigr) : \det T_p(A)_{\text{ét}} \to \det T_p(A^*)_{\text{ét}} \] et on considère \[ \alpha_p(\varphi) = \beta_p(\varphi)\big/\sqrt{\deg\tilde\varphi} : \det T_p(A)_{\text{ét}} \otimes \mathbb{Q}_p \to \det T_p(A^*)_{\text{ét}} \otimes \mathbb{Q}_\ell \] les deux « $\otimes\mathbb{Q}$ » sont ajoutés après coup, le premier au-dessus de la flèche, le second sous la ligne, entouré et relié ; l'indice $\ell$ du second est tel qu'écrit

À prouver : a) $\alpha_p(\varphi)$ ne dépend pas de $\varphi$.

[…] formellement du […]

Lemme. Soit $u$ un automorphisme […] endom. de $A$, d'où \[ \Bigl[\det T_p(u)_{\text{ét}} : \det T_p(A)_{\text{ét}} \to \det T_p(A)_{\text{ét}}\Bigr] \in \mathbb{Z}_p . \] On a \[ \left\{ \begin{array}{l} \deg u \text{ est un carré parfait} \\ \det\bigl(T_p(u)_{\text{ét}}\bigr) = \sqrt{\deg u} \end{array} \right. \] i.e. \[ \deg u = \bigl(\det(T_p(u)_{\text{ét}})\bigr)^2 \quad \text{et} \quad \det T_p(u)_{\text{ét}} \text{ est un entier} \geq 0 . \] faux le lemme entier, depuis « Soit $u$ », est annulé par quatre longs traits obliques ; « faux », souligné, est écrit dans la marge gauche, à hauteur de l'accolade

En effet, soit $\psi$ une autre polarisation, donc $\tilde\psi = \tilde\varphi \circ u$, où $u \in \operatorname{End}(A) \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q}$, […] et la relation $\tilde\psi' = -\tilde\psi$ (pour : $\tilde\varphi' = -\tilde\varphi$) donne \[ \begin{array}{c} u'\tilde\varphi' = -\tilde\varphi u \\ \| \\ -u'\tilde\varphi \end{array} \qquad \text{i.e.} \qquad u' = \tilde\varphi u \tilde\varphi^{-1} . \] On veut prouver [posons $\delta(\tilde\varphi) = \sqrt{\deg\tilde\varphi}$, $\alpha_p(\tilde\varphi) = \Delta(\tilde\varphi)$] \[ \begin{array}{l} \Delta(\tilde\psi)/\delta(\tilde\psi) = \Delta(\tilde\varphi)/\delta(\tilde\varphi) \\ \| \\ \Delta(\tilde\varphi)\cdot\Delta(u)/\delta(\tilde\varphi)\,\delta(u) \end{array} \] qui équivaut : \[ \Delta(u)/\delta(u) = 1 . \] Or par […] on a \[ \Delta(u)\,\Delta(u^*) = \delta(u)^2 = \deg u \] le « $= \deg u$ » est écrit sous $\delta(u)^2$, relié par un signe d'égalité vertical ; un $\Delta$ isolé, repassé, précède la formule

d'autre part, comme $u^* = \tilde\varphi u \tilde\varphi^{-1}$, on a ici $\Delta(u^*) = \Delta(u)$, donc […] \[ \Delta(u)^2 = \delta(u)^2 \] d'où $\Delta(u) = \pm\delta(u)$. Il faut encore exorciser le signe, il faut prendre dans un $\operatorname{End}(A) \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q}$, muni de l'involution $u \mapsto u' = \tilde\varphi u \tilde\varphi^{-1}$, montrer que $u > 0$ (i.e. […] $u = \sum v_i v_i'$) $u = u'$ implique \[ \Delta(u) = +\delta(u) \] « $+\delta(u)$ » est souligné deux fois [N.B. $\delta(u)$ est bien défini, car $\deg u$ est bien un carré parfait si $u = u'$]

et l'identité $\Delta(u)^2 = \delta(u)$ est une identité des

toute la page est annulée par trois longs traits obliques ; on la transcrit telle qu'elle se lit

Comme $T_p(u)$ et $T_p(u^*)$ sont de même

En effet, d'après le théorème $p$-adique ou th. caractéristique de Weil, on aurait \[ (*) \qquad \deg u = \det T_p(u)_{\text{ét}}\, \det T_p(u^*)_{\text{ét}} , \] et il reste à prouver que

1°)$T_p(u)_{\text{ét}} = T_p(u^*)_{\text{ét}}$
2°)$\varepsilon(u) = 1$

ce qui implique $\det(T_p(u)) = \varepsilon(u)\sqrt{\deg u}$, $\varepsilon(u) = \pm 1$ ajout à droite de 1°), relié par une accolade ; « de même », en haut à droite, est relié par un trait après « $p$-adique »

D'ailleurs on peut se borner à […] $u \in \operatorname{Hom}(A,A) \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q} = F$, un $\varepsilon$ est écrit sous le signe d'égalité et alors $\varepsilon$ est un […] \[ F^* \to (+1, -1) , \] donc [position des […]] […] fonction […] qui est une […] […] tel […] […] deux fonctions, « se borner à » est ajouté au-dessus de la ligne, relié par un trait ; les deux dernières lignes, déjà annulées par les traits obliques, sont en outre biffées et raturées d'un zigzag

Or pour $u$ variable, $\Delta(u)$ est un polynôme dans $\mathbb{Q}$$\mathbb{Z}_p[T]$ ($T = (T_1, \ldots, T_N)$, $N =$ […] ${}_{\mathbb{Z}}\operatorname{End}(A)_{\ldots}$) le mot biffé devant l'indice $\mathbb{Z}$ n'a pas été lu (on attend un rang) ; un petit mot illisible est écrit en indice après $\operatorname{End}(A)$ qui, […], prend des valeurs entières pour des valeurs entières des variables. Donc $\Delta(u)$ est un polynôme à coeff. entiers dans $\mathbb{Q}$ (et même dans $\mathbb{Q}_p$), […] […] à coeff. […] $\mathbb{Z}_{(p\mathbb{Z})}$ [car $\mathbb{Z}_p[T] \cap \mathbb{Q}[T] = \mathbb{Z}[T]$, car $\mathbb{Z}_p \cap \mathbb{Q} = \mathbb{Z}_{(p\mathbb{Z})}$]. ces deux lignes sont biffées et raturées de zigzags Il faut prouver que ses valeurs sur le cône des $u > 0$ sont $\geq 0$, et pour que il suffit de le prouver en passant de $\mathbb{Q}$ à $\mathbb{R}$. Mais dans $\mathbb{R}$ tout élément $\geq 0$ est un carré, d'un élém. […] $\geq 0$, donc \[ \Delta(u) = \Delta(v^2) = \Delta(v)^2 \in \mathbb{R}^2 = \mathbb{R}^+ , \] cqfd.

b) $\alpha_p(\varphi)$ induit bien un isom. […] de $\det T_p(A)_{\text{ét}}$ avec $\det T_p(A^*)_{\text{ét}}$. Cela […] que les deux équivaut : la relation (i) $\alpha_p(\varphi)$ applique $\det T_p(A)_{\text{ét}}$ dans $\det T_p(A^*)_{\text{ét}}$] \[ \text{i.e.}\quad v_p\Bigl(\operatorname{card}\bigl(\operatorname{Coker} T_p(\tilde\varphi)_{\text{ét}}\bigr)\Bigr) = v_p\bigl(\sqrt{\deg\tilde\varphi}\bigr) . \] avant ce « i.e. », un $\beta_p(\varphi)$ est écrit puis raturé ; dans le conoyau, un premier symbole est noirci et remplacé par $T$ On a évidemment

\[ \operatorname{Coker} T_p(\tilde\varphi)_{\text{ét}} \simeq \bigl(\operatorname{Ker} \tilde\varphi\bigr)(p)_{\text{ét}} \] Or on sait que $\operatorname{Ker}\tilde\varphi$ est autodual, donc $(\operatorname{Ker}\tilde\varphi)(p)_{\text{ét}}$ est dual de $(\operatorname{Ker}\tilde\varphi(p))_{\mathrm{rad}}$, donc comme […] ordinaire, d'où la relation \[ \begin{array}{c} \bigl(\operatorname{card} (\operatorname{Ker}\tilde\varphi)(p)_{\text{ét}}\bigr)^2 = \operatorname{card} \operatorname{Ker}(\tilde\varphi(p)) \\ \hspace{7em}\| \\ \hspace{7em}(\deg\tilde\varphi)(p) \end{array} \] d'où la relation envisagée… Cela définit bien un isom. canonique \[ (*) \qquad \boxed{\det T_p(A)_{\text{ét}} \xrightarrow[\alpha_A]{\ \sim\ } \det T_p(A^*)_{\text{ét}}} \] compatible avec changement de base, et isom. en $A$.

[Si $u$ est un automorphisme de $A$, et $\check u = u^{*-1}$ […], […] on aura … $\alpha$, $\det T_p(u)_{\text{ét}} = \det T_p(\check u)_{\text{ét}}{}^{\alpha}$, donc en identifiant […] […] à $\mathbb{Z}_p$ […], on aura \[ \begin{array}{c} \det T_p(u)_{\text{ét}} = \det T_p(u^{*-1})_{\text{ét}} \\ \hspace{7em}\| \\ \hspace{7em}\bigl(\det T_p(u^*)\bigr)^{-1} \end{array} \] donc \[ \boxed{\det T_p(u)_{\text{ét}}\,\det T_p(u^*)_{\text{ét}} = 1} \qquad \text{\emph{$u$ un automorphisme de $A$}} \quad ] \] au-dessus du second facteur, un « det » est récrit en correction

Attention, si $u$ est un endomorphisme de $A$, on aura en général \[ \det T_p(u) \neq \det T_p(u^*) \] dans la marge gauche, en regard, un grand signe en forme de « 2 » ou de « Z »

[…] si $A$ […] […] […] corps alg. clos ; donc l'isom. […] bien fonctoriel pour les […] de $=$ dimension [dans la mesure où ça pourrait avoir un sens, les deux foncteurs n'étant pas de $=$ variance en $A$…]. Cependant, […] \[ \boxed{\det T_p(u)_{\text{ét}}\, \det T_p(u^*)_{\text{ét}} = \deg u} \] vaut aussi […] […] pour […] de $=$ dimension […] Sch. A. de ajout de la marge gauche, écrit en oblique et relié au texte par un trait ; lecture très incertaine

c) Il faudrait vérifier que \[ \alpha_{A^*} = \alpha_A^{-1} \] [[…] signe (?)…]. Noter aussi la compatibilité par […] de $\mathcal{V}A$. —

d) L'isom. $({}_{p}A)_{\text{ét}} \to ({}_{p}A^*)_{\text{ét}}$ induit par $\alpha_A$ est bien celui déduit plus haut de la dualité en cohomologie de De Rham (à vérifier…). « plus haut » renvoie à la page 21, où l'isomorphisme est écrit entre les déterminants $\det({}_{p}A)_{\text{ét}}$ et $\det({}_{p}A^*)_{\text{ét}}$