Cote n° 9, pages 1–20 — Transcription

Cote n° 9 · batch 1 · pages 1–20 · Transcription · Groupe de Barsotti-Tate et cristaux (jusqu’en été 1969) : notes manuscrites (s.d.)
Édition de démonstration

Dualité des modules de Dieudonné de gpes de B.T. duals l'un de l'autre

inscrit à l'encre en haut à droite du feuillet de garde (page 1), avec en dessous « Le module de Dieudonné réduit \(M \otimes_W k\) » ; le feuillet ne reçoit pas de numéro de page

\(k\) corps de car. \(p > 0\)

\(G\) gpe \(p\)-divisible, \(G^*\) dual

\(g = \dim G\), \(g^* = \dim G^*\)

\[ \begin{array}{ccccccccc} 0 & \to & \underline{t}_G^{\vee} & \to & H(G) & \to & \underline{t}_{G^*} & \to & 0 \\ & & \| & & {\scriptstyle H(V) = V_0}\downarrow\;\uparrow{\scriptstyle H(F) = F_0} & & & & \\ & & \omega_G & & & & & & \\ 0 & \to & \underline{t}_G^{\vee(p)} & \to & H(G)^{(p)} & \to & \underline{t}_{G^*}^{(p)} & \to & 0 \\ & & \| & & & & & & \\ & & \omega_G^{(p)} & & & & & & \\ & & \dim g & & \dim g + g^* & & \dim g^* & & \end{array} \] les deux suites sont écrites l'une sous l'autre, \(V_0\) descendant de \(H(G)\) vers \(H(G)^{(p)}\), \(F_0\) remontant ; « \(\dim g\) », « \(\dim g+g^*\) », « \(\dim g^*\) » sont inscrits sous les trois termes, tels qu'écrits (pour \(\dim = g\), etc.) ; le « \(H(V)\) » est surchargé. On rend \(t\) souligné comme en page 21 (lot 2), bien que le soulignement ne soit pas toujours visible ici

\(\tilde G\) groupe univ. enveloppantles mots sont écrits sur l'en-tête vu en transparence, qui les traverse ; ils ne sont pas barrés \[ 0 \to \mathbb{V}(\underline{t}_{G^*}) \to \tilde G \to G \to 0 \]

dual de \[ \begin{array}{ccccccccc} 0 & \to & \underline{t}_{G^*}^{\vee} & \to & \underline{t}_{\tilde G} & \to & \underline{t}_G & \to & 0 \\ & & \| & & {\scriptstyle V_0}\downarrow\;\uparrow{\scriptstyle F_0} & & & & \\ & & \omega_{G^*} & & & & & & \\ 0 & \to & \underline{t}_{G^*}^{\vee(p)} & \to & \underline{t}_{\tilde G}^{(p)} & \to & \underline{t}_G^{(p)} & \to & 0 \\ & & \| & & & & & & \\ & & \omega_{G^*}^{(p)} & & & & & & \end{array} \] les deux diagrammes sont côte à côte, séparés par un trait vertical, « dual de » écrit au-dessus du trait

[NB \(H(G) = \underline{t}_{\tilde G^*}\)]l'indice est recouvert d'une tache d'encre ; seul « \(G^*\) » en dessous se lit, et la lecture \(\tilde G^*\) s'appuie sur la même égalité, lisible, plus bas

(1) suite exacte pour \(\underline{t}_{\tilde G}\) et \(\underline{t}_{\tilde G^*}\) transposées l'une ⌜de⌝ […] l'autre pour un accouplement canonique fonctoriel, pour laquelle \(F_0\) et \(V_0\) ([…] […] […] […] \(p\)) s'interchangent.

(2) Donc La suite exacte de gauche, […] \[ \begin{aligned} \operatorname{Ker} F_0 &= \operatorname{Im} V_0 = \underline{t}_G^{\vee(p)} = \omega_G^{(p)} \\ \operatorname{Ker} V_0 &= \operatorname{Im} F_0 = \text{ce que ça \ill{}} \end{aligned} \] (nouveaux invariants […] […] […]) […]la parenthèse, à droite de « \(\operatorname{Im} F_0 =\) », court sur deux lignes ; seuls ses deux premiers mots se laissent deviner

(3) \(F_0\) et \(V\) \(V_0\) […] sur \(H(G)\)

? Dieudonné : […] \(G\) réduit mod \(p\). \[ \underline{t}_{G^*}^{(p)} \xrightarrow{F_0} H(G) \to \underline{t}_{G^*} \] correspond : le Verschiebung […] dérivation […] dans [et correspond : Frobenius dans \(H^2(G, \mathbb{G}_m)\)]deux lignes serrées et montantes à droite de la suite, la seconde entre crochets ; la première finit en haut à droite sur « dans », sans complément lisible

(4) Le comparer […] […]

Corollaireun mot souligné en tête des trois lignes qui suivent

\(G\) purement infinitésimal, i.e. \(G^*\) sans tore \(\iff\) \(F_0\) nilpotent dans \(H(G) = \underline{t}_{\tilde G^*}\) ;
\(G^*\) purement infinitésimal, i.e. \(G\) sans composante torique \(\iff\) \(V_0\) nilpotent ;
\(G\) et \(G^*\) purement infinitésimaux \(\iff\) \(F_0\) et \(V_0\) nilpotents.

« dans \(H(G) = \underline{t}_{\tilde G^*}\) » est écrit au-dessus de la fin de la première ligne ; la lecture qui le rattache à « \(F_0\) nilpotent » plutôt qu'aux deux lignes précédentes est probable, non certaine

\[ \langle x, y \rangle = \varphi_n(xy) \qquad \varphi_n : A_n \to W_n \]

a)\(\varphi_n\) est bilinéaire linéaire : à gauche et à droite sur \(W_n\)« gauche » souligné deux fois, « à droite » une fois
b)\(\varphi_n(Fz) =\) \(\pi\) \(\varphi_n(zF)^{\pi}\)
c)\(\varphi_n(zV) =\) \(\pi\) \(\varphi_n(Vz)^{\pi}\)devant les deux seconds membres, un \(\pi\) biffé

encadré, en haut à droite : \(\varphi_n(1) = 1\), \(\varphi_n(F^i) = 0\), \(\varphi_n(V^i) = 0\) \((i \geqslant 1)\) ; en dessous : \(\exists !\) \(\varphi_n\)

d) Les \(\varphi_n\) se recollent (\(\varphi_n\), \(n\) variable)

\(F^iV^i \mapsto a\)

\(\varphi\bigl(\sum_{0 \leqslant i, j \leqslant n} a_{ij} F^i V^j\bigr) = \)\(\lambda_{00}\)sous la somme une accolade marquée \(z\) ; le dernier terme, surchargé d'une tache, se lit \(\lambda_{00}\) sous réserve

\[ \varphi_n\Bigl(a + \sum_{1}^{\to} \lambda_i F^i + \sum_{1}^{\to} \struck{\ill{}}\, V^i \mu_i\Bigr) = \varphi_n(z) = a \] l'argument est marqué \(z\) par une accolade. Autour, un premier essai annulé par des traits en zigzag : \(\varphi_n(1) = a\), \(\sum_0 \lambda_i F^i\), \(\varphi_n(F\ldots\), \(\varphi_n(Fz) = p\ldots\), \(\varphi_n(zF) =\) ; on ne le détaille pas

\[ \begin{aligned} \varphi_n(\lambda z) &= \lambda \varphi_n(z) \qquad \text{OK} \\ \varphi_n(z\lambda) &= \varphi_n\Bigl(\sum \lambda_{ij} \lambda^{\pi^{i-j}} F^i V^j\Bigr) = \varphi_n(z)\lambda \qquad \text{OK.} \end{aligned} \] \(\varphi_n(Fz) = \varphi\bigl(\sum \lambda_{ij}^{\pi} F^{i+1}V^j\bigr) = \ill{}\) / \(\varphi_n(zF) = \varphi_n\bigl(\sum \lambda_{ij} F^{i+1} V^j\bigr)\)

\(\varphi_n(Fz) = \varphi_n(zF) =\)la page s'arrête sur ce signe égal

\[ A_n = A/(F^{n+1}, V^{n+1}) \] \(I_n = A_n\) regardé comme bimodule sur \(A\) \[ I = \varinjlim_n I_n \qquad I_n \xrightarrow{\ p\ } I_{n+1} \] les exposants \(n+1\) de \(A/(F^{n+1}, V^{n+1})\) sont lus sur un trait rapide ; un trait horizontal sépare ensuite ce bloc de la suite

\(D : M \mapsto \operatorname{Hom}(M, I)\) foncteur dualisant.

Attention, il prend un module à g. et transforme en un module à droite, et vice versa. Mais on peut utiliser l'involution \(s\) de \(A\) échangeant \(F\) et \(V\), pour passer de l'un à l'autre.

\(D(M)\) \(A_n\) est fini sur \(W_n\). Un autre foncteur dualisant est obtenu en faisant (si \(M\) tué par \(F^n, V^n\)) \[ D' : M \mapsto \operatorname{Hom}_{W_n\text{-}\mathrm{mod.}}(M, W_n) \] sous « \(\operatorname{Hom}\) » un indice en toutes lettres, « \(W_n\)-modules », lecture incertaine et définissons sur \(D'(M)\) la structure de \(A\)-module à droite par « transpos. ».

\(D'(M) = \) \(\operatorname{Hom}(A_n, W_n)\) structure de bimodule

\(\operatorname{Hom}_{W_n}(M, W_n) = \operatorname{Hom}_{A_n}\bigl(M, \operatorname{Hom}_{W_n}(A_n, W_n)\bigr)\)la ligne est barrée ; sous le dernier terme, une accolade renvoie à « structure de bimodule naturelle », et un long trait courbe ramène le tout à la dernière ligne

Je dis qu'on a un isom. \[ I_n = A_n \simeq \operatorname{Hom}_{W_n}(A_n, W_n) \] \(u F = u \circ F\)

\(D'(M) = \operatorname{Hom}_{W_n}(M, W_n)\) module à droite sur \(A_n\)

\(uF\ \ Fu\ \ (uF)(x) = (u(F(x)))^{\pi}\)

\[ \begin{aligned} u \cdot F &= \pi^{-1}(u \circ F) \\ u \cdot V &= \pi(u \circ F) \\ u \cdot \lambda &= u \circ \lambda \end{aligned} \qquad\Bigg|\qquad \begin{aligned} u \cdot F \cdot V &= \pi\pi^{-1}\, u \circ F \circ V = p\,u \\ u\,VF &= p\,u \end{aligned} \] le second membre de \(u \cdot V\) porte bien « \(u \circ F\) », tel qu'écrit

bimodule sur \(A_n\)

\[ D'(A_n) = \operatorname{Hom}_{W_n}\bigl((A_n)_g, W_n\bigr) \] \[ \begin{aligned} u \cdot F &= \pi^{-1}(u \circ F_g) \\ u \cdot V &= \pi(u \circ V_g) \\ u \cdot \lambda &= u \circ \lambda_g \\ Fu &= u \circ F_d \\ Vu &= u \circ F_g \\ \lambda u &= u \circ \lambda_d \end{aligned} \qquad u\lambda = \lambda \cdot u = u \circ \lambda = \lambda \circ u \] les indices \(g\), \(d\) : action à gauche, à droite. « \(Vu = u \circ F_g\) » tel qu'écrit ; le \(V\) surcharge une autre lettre

Attention les deux structures de \(W_n\)-module sur \(I_n\) ne sont pas […]le dernier signe de la ligne, peut-être une flèche \(\Rightarrow\), ne se lit pas

\[ A_n \overset{?}{\xrightarrow{\ \sim\ }} \operatorname{Hom}_{W_n}\bigl((A_n)_g, W_n\bigr) \qquad \text{isom.\ de bimodules} \]

\[ \boxed{A_n \times A_n \longrightarrow W_n} \qquad (x, y) \mapsto \langle x, y \rangle \qquad \text{\uncertain{bimodule}} \] \[ \begin{aligned} &\langle \lambda x, y \rangle = \lambda \langle x, y \rangle & \lambda &\in W_n \\ &\langle x, y\lambda \rangle = \langle \lambda x, y \rangle & \lambda &\in W_n \\ &\langle x, yF \rangle = \pi^{-1} \langle Fx, y \rangle \\ &\langle x, yV \rangle = \pi \langle Vx, y \rangle \\ &\langle x, \lambda y \rangle = \langle x\lambda, y \rangle \\ &\langle x, Fy \rangle = \langle xF, y \rangle \\ &\langle x, Vy \rangle = \langle xV, y \rangle \end{aligned} \] marques « \(x\) », « \(x\) », puis « \(\lambda\) », « \(\alpha\) », « \(y\) » dans la marge gauche, en face des lignes ; sous la dernière, un « \(F\) » biffé

à droite, deux accolades : la première, sur les lignes 2 à 4, « assure que c'est \(A_n\)-linéaire à droite », avec un trait qui renvoie à \(A_n \to \operatorname{Hom}_{W_n}((A_n)_g, W_n)\), écrit plus haut et surmonté de « à dr. » ; la seconde, sur les trois dernières, « assure que c'est \(A_n\)-lin. », suivi de \(\langle x, y \rangle\) \(\langle x, y \rangle = \langle 1, xy \rangle\) i.e. \(\langle x, y \rangle = \langle 1, xy \rangle = \langle xy, 1 \rangle\)

\[ A_n \underset{A_n}{\otimes} A_n \longrightarrow W_n \qquad W_n\text{-bilinéaire} \] le tout encadré ; sous le produit tensoriel et sous \(W_n\), deux renvois « \(W_n\) » et un mot biffé illisible \[ \struck{\pi\langle x, yF\rangle =}\ \langle Fx, y \rangle = \pi \langle x, yF \rangle , \qquad \langle x, yV \rangle = \pi \langle Vx, y \rangle \]

page entière annulée par trois longs traits presque verticaux ; elle se lit néanmoins, et on la donne

Question Comment définir directement une connexion intégrable sur \(\mathbb{R}^{*} f_{*}(\Omega^{\bullet}_{X/S})\) ??

Lemme \(X\) topos, \(K^{\bullet}\), \(L^{\bullet}\) complexes abéliens sur \(X\), \(\mathcal{G}\) faisceau abélien de \(X\), \[ \mathcal{G} \xrightarrow{\ i\ } \underline{\mathrm{Hom}}^{\bullet}(K^{\bullet}, L^{\bullet})^{-1} = \prod_i \underline{\mathrm{Hom}}(K^{i}, L^{i-1}) \] \(P\) un \(\mathcal{G}\)-torseur, \(P \xrightarrow{\ \theta\ } Z\bigl(\underline{\mathrm{Hom}}^{\bullet}(K^{\bullet}, L^{\bullet})^{(0)}\bigr)\)

Alors […] […] : \(P\) […] homomorphisme […] \(D(X)\), […] de \(\mathcal{G}\) […] \(K^{\bullet} \to\)deux lignes biffées d'un trait ondulé et encadrées un homomorphisme compatible avec les opérations de \(\underline{\mathrm{Hom}}(K^{\bullet}, L^{\bullet})^{-1}\) \[ \theta(g \cdot p) = \theta(p) + \underbrace{\bigl(d \circ i(g) + i(g) \circ d\bigr)}_{\delta(i(g))} \]

Alors on peut trouver un homom. dans \(D(X)\) \[ \varphi = \varphi_{K, L}(\mathcal{G}, P, i, \theta) : K^{\bullet} \longrightarrow L^{\bullet} \] tel que :

1°)\(\varphi\) est fonctoriel en \(L^{\bullet}\) (complexe variable dans \(C^{+}(X)\)) (en un sens évident) ;
2°)Si \(\varphi\) \(P \to\) fonctoriel […] admet […] […] si […] morph. \(P \xrightarrow{u} P'\), \(\mathcal{G} \xrightarrow{u} \mathcal{G}'\), \(\mathcal{G}, P, i, \theta\) par \(\mathcal{G}', P', i', \theta'\), avec un \(u\)-hom. \(i = i' u\), \(\theta = u \theta'\), compatibles avec ;« avec un \(u\)-hom. » est écrit au bout de la ligne, au-dessus de « compatibles avec » biffé ; l'ordre de lecture de la fin de l'alinéa reste incertain
3°)Si \(P\) admet une section, alorsla page s'arrête ici

Caractères des groupes de B.T. à réduction semi-stable virtuelle essentielle

inscrit à l'encre en haut à droite du feuillet de garde rose (page 9), qui ne porte rien d'autre et ne reçoit pas de numéro de page

Caractère d'un groupe de B.T. sur un corps local.

les pages 10 à 13 sont un tapuscrit, tapé en bleu, sans pagination de frappe, et non identifié comme publié ; on le donne en entier. Le titre est de sa main, à l'encre, souligné ; ses autres interventions à l'encre sont signalées au fil du texte. Les surfrappes de la dactylographie (« xxx ») ne sont pas relevées

Soit \(V\) un anneau de val. discrète à corps résiduel parfaitajout à l'encre, entouré, relié par un trait à « discrète » ; pour ce qu'on va faire, on peut le supposer complet. à corps résiduel algébriquement clos (ce qui importe semble l'hypothèse corps résiduel parfait ; on peut alors, au besoin, (quitte : passer au complété de l'hensélisé strict).le passage est barré à l'encre ; « résiduel algébriquement clos » est en outre souligné d'un tiret discontinu, et un trait brisé encadre la dernière ligne, avec « (quitte : » écrit en marge gauche : sans doute la parenthèse « quitte à passer au complété de l'hensélisé strict » est-elle rétablie, mais ce n'est pas sûr. Les premiers mots de la parenthèse tapée, « (ce qui » sous réserve, sont surchargés à l'encre ; « importe » se lit encore On suppose que le corps résiduel \(k\) de \(V\) est de car. \(p > 0\) ; le corps des fractions \(K\) de \(V\) est donc de car \(p\) ou \(0\). On s'intéresse aux [\(p\)-]groupes de Barsotti-Tate sur \(K\), notés \(M = (M(\nu))_{\nu \geqslant 0}\).« \(p\)- » est ajouté à la machine au-dessus de la ligne ; les deux \(\nu\) sont portés à l'encre dans les blancs de la frappe On dit qu'un tel groupe satisfait à la condition de monodromie s'il admet une suite de composition par des groupes de B.T., telle que les \(N = \operatorname{Gr}^{i}(M)\) aient essentiellement bonne réduction, i.e. qu'il existe pour chacun d'eux une extension finie ⌜séparable⌝ \(K'\) de \(K\) telle que \(N_{K'}\) ait bonne réduction sur le normalisé \(S'\) de \(S\) dans \(K'\).« \(N =\) » est ajouté à la machine au-dessus de « les \(\operatorname{Gr}^{i}(M)\) » et relié par un trait à l'encre ; « séparable » est tapé au-dessus de la ligne, entouré à l'encre Alors \(N_{K'}\) provient donc, d'après le th. de Tate (démontré pour l'instant seulement dans le cas d'[in]égales caractéristiques), d'un groupe de B.T. \(N\) sur \(S'\) déterminé à isomorphisme unique près. Par suite, si \(K'\) est prise galoisienne de groupe \(G\), \(G\) opère sur \(N\) de façon compatible avec son action sur \(S'\). — Bien entendu, on peut prendre \(K'\) indépendant de \(i\) ; on dira, si \(K'\) marche pour \(M\) satisfaisant la condition de monodromie, que \(K'\) est un corps de bonne réduction virtuelle pour \(M\).« in » est tapé au-dessus de « d'égales » et relié à l'encre ; \(S\) n'a pas été introduit : c'est évidemment \(\operatorname{Spec} V\)

Soit \(K_{BT}(K; K')\) le groupe « de Grothendieck » défini par les groupes de BT sur \(K\) admettant \(K'\) comme corps de bonne réduction virtuelle. Alors, si \(K'/K\) est galoisienne de groupe de Galois \(G\), on trouve un homomorphisme naturel \[ K_{BT}(K; K') \longrightarrow K_{BT}(S'; G) , \tag{1} \] où le deuxième membre est le groupe de Grothendieck des groupes de B.T. sur \(S'\) avec opérations de \(G\) (compatibles aux opérations de \(G\) sur \(S'\)).le numéro (1) est à l'encre D'ailleurs, \(S\) étant complet donc hensélien, \(S'\) est local, de sorte que,

si \(s'\) est son point fermé, on trouve aussi un homomorphisme de restriction \[ K_{BT}(S', G) \to K_{BT}(s', G) , \tag{2} \] en notant que \(G\) opère sur \(s'\) (de façon pas nécessairement fidèle). Or, \(k' = k(s')\) étant supposé complet parfait, on a un foncteur covariant naturel \[ \mathrm{BT}(s') \to \mathrm{Modlib}(W(k')) , \] et même vers \(\mathrm{Cris}(k')\)« même » est noté d'un signe en forme de « \(=\) »« parfait » est tapé au-dessus de « complet » surfrappé ; l'ajout « et même vers \(\mathrm{Cris}(k')\) » est au crayon, à droite de la formule et comme \(G\) opère sur \(k'\), donc sur \(W(k')\), le foncteur précédent induit trivialement un foncteur \[ \mathrm{BT}(s', G) \to \mathrm{Modlib}(W(k'), G) , \] d'où par suite un homomorphisme \[ K_{BT}(s', G) \longrightarrow K(W(k'), G) . \tag{3} \] Composant (1), (2) et (3), on trouve un homomorphisme canonique \[ K_{BT}(K; K') \longrightarrow K(W(k'), G) . \tag{4} \] Notons d'ailleurs que si \(k\) est algébriquement clos, alors \(G\) opère trivialement sur \(k'\) donc sur \(W(k')\), et on a alors \[ K(W(k'), G) = R_{W(k')}(G) ; \] dans le cas général, il y a lieu d'introduire le groupe d'intertiesic, tapé tel, pour « inertie » \(I \subset G\), et on trouve un homomorphisme \[ K(W(k'), G) \to K(W(k'), I) \simeq R_{W(k')}(I)^{G/I} , \] NB \(G/I\) opère sur \(R\) via ses opérations sur \(I\) et sur \(W(k')\) par transport de structure l'exposant \(G/I\) est ajouté à l'encre, et répété entouré au-dessus du signe \(\simeq\) ; la note NB est à droite, séparée par un trait vertical. Dans la marge gauche, en oblique, trois lignes de crayon : « On peut dire […] suivant les définitions variantes … » d'où grâce à (4) \[ K_{BT}(K, K') \to R_{W(k')}(I)^{G/I} \longrightarrow \operatorname{Cent}(I, W(k'))^{G} , \tag{5} \] les exposants \(G/I\) et \(G\) sont à l'encre ; la seconde flèche est redessinée à l'encre et le \(k'\) du dernier terme repassé la dernière flèche étant la flèche trace. L'homomorphisme composé est appelé encore l'homomorphisme trace, l'image de \(\mathrm{c}\ell(M)\) dans le dernier membre est appelé le caractère du groupe de B.T. \(M\). On voit facilement que dans un sens évident, il ne dépend pas du choix du corps de bonne réduction virtuelle \(K'\) : la fonction caractère est alors envisagée comme fonction sur le sous-groupe d'inertie (infini) de \(\operatorname{Gal}(\bar K/K)\).« \(\ell\) » de « \(\mathrm{c}\ell\) » et la barre de \(\bar K\) sont portés à la main ; « sous- » est tapé au-dessus de la ligne

Supposons que \(M_{K'}\) soit constant, de sorte que \(T_p(M)\) est un faisceau \(p\)-adique localement constant (au sens technique

du terme). On voit alors facilement que le caractère de \(M\) coïncide, sur les éléments de \(I\) d'ordre premier à \(p\), avec le caractère modulaire de la représentation de \(I\) sur \(\mathbb{F}_p\) définie par \(M(0)\) ?le \(\mathbb{F}\) de \(\mathbb{F}_p\), le \(0\) de \(M(0)\) et le point d'interrogation sont repassés à l'encre Comme, pour \(K\) de caractéristique nulle, la donnée d'un groupe de BT sur \(K\) revient à la donnée d'une représentation \(p\)-adique de \(\operatorname{Gal}(\bar K/K)\) (dans un Module libre de type fini sur \(\mathbb{Z}_p\)), on peut se demander s'il n'est pas vrai en tous cas que le caractère d'un \(M\) (satisfaisant la condition de monodromie) est déterminé ainsi par la seule connaissance de \(M(0) = {}_{p}M\). Il n'en est rien, car si cette condition était vérifiée, on en déduirait facilement, en utilisant la théorie de Brauer des relèvements virtuels des représentations sur \(\mathbb{F}_p\) en représentations sur \(\mathbb{Z}_p\), que pour tout \(M\) satisfaisant la condition de monodromie, le caractère de \(M\) coïncide avec le caractère modulaire de \(M(0)\) sur les éléments d'ordre premier à \(p\) de \(I\). En particulier, si \(M\) a bonne réduction, il s'ensuivrait que le caractère modulaire de \(M(0)\) serait trivial dès que \(M\) a bonne réduction.« de \(M(0)\) » est tapé au-dessus de « serait » et relié à l'encre Or c'est déjà faux en prenant \(M = \mathbb{Z}_p(1)\), donc \(M(0) = \mu_p\), en se plaçant dans le cas où \(K\) ne contient pas les racines \(p\).èmes de \(1\).le \(\mu\) de \(\mu_p\) est porté à l'encre dans le blanc de la frappe Dans le cas où il les contient, au contraire, il n'y a pas d'ennuis pour les groupes de BT sur \(K\) qui sur un \(K'\) ont une bonne réduction qui est, soit de type constant (cf plus haut), soit de type multiplicatif, et il conviendrait alors d'examiner encore le cas où il est de type ind-unipotent sur la fibre point fermé.

NB Cela impliquerait que la fonction caractère est à valeurs dans \(\mathbb{Z}_p \subset W(k)\), dès que \(K\) contient les racines \(p\).ièmes de \(1\) […] \(I\), [donc […] congruence d'indice \((p-1)\)] […]note au crayon dans la marge gauche, en face des lignes suivantes ; la dernière ligne est biffée

Cas test : soient \(E_i\) \((i = 1, 2)\) deux courbes elliptiques sur \(K\), qui ont bonne réduction essentielle, \({}_{p}E_1\) isomorphe à \({}_{p}E_2\), \(K\) contient les racines \(p\).èmes de \(1\), est-il vrai que les fonctions traces \(\phi_{E_1}\) et \(\phi_{E_2}\) sur le groupe d'inertie (qu'on peut, comme on sait, calculer aussi via les \(T_\ell\) pour \(\ell\) nombre premier quelconque) sont égales ⌜sur les éléments premiers à \(p\)⌝ ? « \((i = 1, 2)\) » est ajouté à l'encre au-dessus de « \(E_1\), \(E_2\) » surfrappés ; les \(\ell\) sont portés à la main ; « sur les éléments premiers à \(p\) » est tapé au-dessus de la ligne, entouré à l'encre et renvoyé après « égales » Le cas intéressant est celui où l'une au moins des deux courbes, après extension \(K \to K'\), se réduit en une courbe à invariant de Hasse nul. Ou encore : si \(A_K\) schéma abélien sur \(K\)

(par exemple courbe elliptique) est tel que \({}_{p}A_K\) soit un groupe constant, alors est-il vrai que la trace \(\phi_E\) soit ⌜égale à \(n = \dim A_K\)⌝ sur les points éléments premiers à \(p\) de \(I\) ? (Seul le cas de réduction non semi-stable de \(A\) offre un problème ; donc il faudrait ici trouver un exemple où le critère de réduction semi-stable de Raynaud est en défaut pour \(\ell = p\) !).« égale à \(n = \dim A_K\) » est tapé au-dessus de la ligne, sur des mots surfrappés ; le \(\ell\) est porté à la main

faux par Tateau crayon, en oblique dans la marge gauche, en face du paragraphe qui suit Dans le cas d'une courbe elliptique, et en car. rés. \(\neq 2, 3\), prenant pour \(K'\) la plus petite extension sur laquelle on a réduction semi-stable, on trouve que \(G\) est un sous-groupe de \(\operatorname{Aut}(A_{s'})\), lequel ⌜est cyclique⌝ a (2, 4 ou 6 éléments) donc est premier à \(p\), et la question revient à celle de savoir si \(\phi_E\) est de valeur constante égale à \(2\) ⌜(?)⌝ si ⌜lorsque⌝ \({}_{p}A\) est constant (et si \(K\) contient les racines \(p\).èmes de l'unité, il suffit de regarder le cas où la courbe elliptique réduite, après extension \(K \to K'\), est d'invariant de Hasse nul).« est cyclique » est tapé au-dessus de la ligne et relié à l'encre ; « lorsque » est à l'encre au-dessus de « si » surfrappé, et le « (?) » à l'encre ; la parenthèse ouvrante devant « 2, 4 ou 6 » et la parenthèse fermante finale sont portées à l'encre

Détermination des « stratifications canoniques » sur les déformations

inscrit au crayon en haut à droite du feuillet de garde (page 14), sous un titre biffé de quatre traits, « Déformations des groupes de B.T. ordinaires » ; en dessous, « L'isom. de nature globale », souligné, et encadré : \(\det T_p(A)_{\text{ét}} \simeq \det T_p(A^*)_{\text{ét}}\). Le feuillet ne reçoit pas de numéro de page

\(A_0\) VA sur un corps \(k\) de car. \(> 0\).

Question : quand est-il possible, pour toute déf. inf. \(A/\Lambda\) de \(A_0\) (avec \(\Lambda\) \(k\)-algèbre artinienne locale) d'associer une \(k\)-stratification sur \(\mathrm{DR}^1(A/\Lambda)\), compatible avec changement de base et fonctorielle en \(A\) ?

Si \(M\) est la var. des modules formels de \(A_0\) sur \(k\), il faut et \(A_M\) la déformation universelle, il faut que \(\mathcal{H} = \mathrm{DR}^1(A_M/M)\) ait une […] stratification formelle compatible avec les opérations \(F, V\) : \[ \mathcal{H}^{(p)} \overset{F}{\underset{V}{\rightleftarrows}} \mathcal{H} . \] Cela implique que pour \(x \in M\), le type (géométrique) de \(\mathcal{H}_x\) muni de \(F_x\), \(V_x\) est le même que celui de \(\mathcal{H}_0 = \mathrm{DR}^1(A_0)\), muni de \(F_0\), \(V_0\). Cela implique sans doute que \(A_0\) est « ordinaire » i.e.

\[ \begin{array}{ccccccc} 0 \to & H^{10} & \to & H & \to & H^{01} & \to 0 \\ & & & {\scriptstyle V}\downarrow\;\uparrow{\scriptstyle F} & & & \\ 0 \to & H^{10(p)} & \to & H^{(p)} & \to & H^{01(p)} & \to 0 \end{array} \] \[ \operatorname{Im} V = \operatorname{Ker} F = H^{10(p)} , \qquad \operatorname{Ker} V = \operatorname{Im} F , \] à gauche du trait vertical qui les sépare de la prose ; sous \(V\) et à droite de \(F\), deux signes biffés illisibles. Les exposants \(10\), \(01\) sont lus sur des traits rapides à droite du diagramme : c'est le sub. max. de pts d'ordre \(p\), ou ce qui revient au même, que les \(\underline{t}_{A_0^*} = H^1(A_0, \mathcal{O}_{A_0}) = H^{01}(A_0)\), la puissance \(p\).ième« même » est noté, ici et plus bas, d'un signe en forme de « \(=\) »

soit une […] [i.e. induise un isom. de \(H^{01(p)}\) sur \(H^{01}\)].deux traits obliques séparent ce qui précède de ce qui suit Mais dans il le cas \(A\) sur \(\Lambda\), il en est de même dans \(\mathrm{DR}^1(A)\). Cela implique que l'ext. \(H = \mathrm{DR}^1(A)\) de \(H^{01}\) par \(H^{10}\) est splittée can., par \(\operatorname{Im} F = F(\mathcal{H}^{(p)})\), car […] \(\operatorname{Im} F \xrightarrow{\ \sim\ } H^{01}\) évidemment ? « \(= H^{01}\) » est ajouté au-dessus de la flèche, relié par un trait courbe ; les trois dernières lignes sont d'une prose rapide dont seuls les termes mathématiques sont sûrs

stable par la stratification canonique. De même, comme \(VF = 0\), ([…] \(= \operatorname{Ker} V = \operatorname{Im} F = H^{1}\)) \(V\) est nul sur \(H^{1}\), et se factorise donc à travers \[ H^{10(p)} = \operatorname{Ker} F , \] car \(FV = 0\), et de même, i.e. un […], que \(H^{10(p)}\) est stable par […] ⌜la stratification⌝, doncla parenthèse de la deuxième ligne est ajoutée au-dessus de la ligne et reliée par une accolade ; son premier terme ne se lit pas, et « \(H^{1}\) », ici et à la ligne suivante, est lu sur un « \(H\) » suivi d'un prime ou d'un \(1\) (peut-être \(H^{01}\)). Sous « \(H^{10(p)} = \operatorname{Ker} F\) », un « \(\S\) » et un mot biffés

Attention, cela n'implique pas a priori que \(H^{10}\) le soit également. Tout ce qu'on peut dire (admettons aussi pour \(\Lambda\) une \(\Lambda\)-algèbre locale noeth. complète, corps résiduel \(k\)…) c'est que si \(S = \operatorname{Spf}(\Lambda)\), et si on considère les deux images inverses \(E_1\), \(E_2\) de \(H\) sur […] \(T = \operatorname{Spf}(\Lambda \hat\otimes \Lambda) = S \times S\), […] et les deux images inverses \(F_1\), \(F_2\) de \(H^{10}\), et considérant l'isom. de stratification \[ u : E_1 \xrightarrow{\ \sim\ } E_2 , \qquad \text{d'où} \qquad u^{(p)} : E_1^{(p)} \to E_2^{(p)} , \] alors \[ u^{(p)}(F_1^{(p)}) = \struck{\ill{}}\, F_2^{(p)} , \quad \text{i.e.} \quad u(F_1)^{(p)} = F_2^{(p)} . \] Si donc \(u(F_1) = G\), \(F_2 = G'\), \(E = E_2\), on aura \(G^{(p)} = G'^{(p)}\) comme […] ⌜sections⌝ de \(\operatorname{Grass}(E)\) sur \(T\), on ne peut pour autant […] \(=\), ces sections devenant égales par changement de base \[ T' \xrightarrow{\ \pi\ } T , \qquad T' = T , \ \pi = \text{\uncertain{Frobenius} \uncertain{absolu}.} \] sous \(T'\), un signe d'égalité vertical et « \(T\) », avec deux mots superposés, lus « Frobenius absolu » sans certitude On ne peut […] en conclure \(G = G'\), car en général \(\pi\) n'est pas un épim. Mais si ⌜\(S\) donc⌝ \(T\) est formellement lisse sur \(k\),« \(S\) donc » est ajouté au-dessus de la ligne, souligné d'un trait courbe ; la page s'arrête sur cette virgule

cela marchera (c'est loc. fid. plat). On en a suffisamment, en se ramenant au cas \(S = M\) (variété des modules formels). Donc \(H^{10}\) est stable par la stratification. Donc \(H\) admet une décomposition fonctorielle et stable par ext. de la base \[ H \simeq H^{10} + H^{01} \] et cette décomposition est stable par stratification.

Donc le pb est maintenant de trouver une stratification […] (fonctorielle fonctorielle dans les deux sens) sur les deux morceaux \[ H^{10} = \underline{t}_A^{\vee} \quad \text{et} \quad H^{01} = \underline{t}_{A^*} , \] Les deuxièmes ⌜pour \(A_0\),⌝ s'identifiant au premier pour \(A_0^*\).« pour \(A_0\), » est ajouté au-dessus de la ligne, relié par un trait courbe Donc il faut trouver une stratification fonctorielle sur \(\underline{t}_A\). Or il y en a ⌜une⌝ a priori, grâce à la structure de puissances divisées, qui à préciser … permet d'intr. d'emblée la structure (pour \(A\), \(A\) donnés) standard disons \(\mathrm{Gl}(g)_k\). Est-ce la seule, comme ou sait définir directement en utilisant la compatibilité avec les puissances \(p\).ièmes (pour \(\Lambda\), \(A\) sur \(X\), donnés).« à préciser … » est en marge gauche, séparé du texte par un trait vertical le long des trois lignes ; « une » est écrit au-dessus de « a priori »

Remarque. On sait donc que la position de la filtration p.r. à la stratification sur base ⌜au voisinage des déf.⌝ doit donner un principe de classification (infinitésimale en car. \(p > 0\) !la remarque est marquée d'un double trait vertical dans la marge gauche ; l'insertion « au voisinage des déf. », au-dessus de la ligne, est reliée par un trait courbe ; la parenthèse n'est pas fermée

La décomposition envisagée (can., fonct.) \[ \mathrm{DR}^1(A/S) \simeq \underline{t}_A^{\vee} + \underline{t}_{A^*} \] vaut pour le préschéma abélien ordinaire sur un \(S\) de car. \(p > 0\), en même temps que les expressions \[ \underline{t}_A \simeq \mathcal{L}_A \otimes_{\mathbb{F}_p} \underline{\mathcal{O}}_S , \qquad \underline{t}_{A^*} \simeq \mathcal{L}_{A^*} \otimes_{\mathbb{F}_p} \underline{\mathcal{O}}_S \] où \(\mathcal{L}_A\), \(\mathcal{L}_{A^*}\) sont les faisceaux ⌜étales⌝ loc. const. libres de rang \(g\) (\(=\) dim. rel. de \(A/S\)) des vectoriels sur \(\mathbb{F}_p\). Si \(S\) est le spectre d'un corps parfait,la lettre cursive que l'on rend \(\mathcal{L}\) est un L bouclé, lu tel ; « étales » est ajouté au-dessus de la ligne et reporté par un trait \[ \mathcal{L}_{A^*} = (\underline{t}_{A^*})^{F} = H^1(A, \underline{\mathcal{O}}_A)^{F} = H^1(A, \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}) = \operatorname{Hom}({}_{p}A, \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}) = \struck{\ill{}}\ {}_{p}A(k)^{\vee} \] le \(A\) de \(\operatorname{Hom}({}_pA, \ldots)\) porte un petit signe en exposant, peut-être un prime, qui n'est pas repris ensuite \[ \left\{ \begin{aligned} \mathcal{L}_{A^*}(k) &= {}_{p}A(k)^{\vee} \\ \mathcal{L}_{A}(k) &= {}_{p}A^*(k)^{\vee} \end{aligned} \right. \] Donc \[ \left\{ \begin{aligned} \underline{t}_A^{\vee} &= \mathcal{L}_A^{\vee} \otimes_{\mathbb{F}_p} k = {}_{p}A^*(k) \otimes_{\mathbb{F}_p} k \\ \underline{t}_{A^*} &= {}_{p}A(k)^{\vee} \otimes_{\mathbb{F}_p} k \end{aligned} \right. \] après \(\mathcal{L}_A\) dans la première ligne, un indice surchargé et illisible ; le dernier \(k\) est écrit en capitale

On a des relations analogues pour \(S\) (de car. \(p > 0\)) quelconque : l'hyp. sur \(A\) implique (cas […]) que \[ {}_{p}A \to S \] s'insère de façon unique comme composé \[ {}_{p}A \to ({}_{p}A)_{\text{ét}} \to S \] les deux morphismes finis localement libres, le premier radiciel surj., le 2^ème étale.

Ceci dit, on a des isom. can. \[ \left\{ \begin{aligned} \mathcal{L}_A &= ({}_{p}A^*)_{\text{ét}}^{\vee} \\ \mathcal{L}_{A^*} &= ({}_{p}A)_{\text{ét}}^{\vee} \end{aligned} \right. \]

N.B. Soit \(\varphi\) une polarisation de \(A\) (i.e. une section de \(\underline{\mathrm{NS}}_{A/S}\)). Alors […] […] […] \(\varphi\) définit une section […] […] \(A\) […] […] […] de \(\bigwedge^2 \mathrm{DR}^1(A/S)\), […] Cela […] […] […] deux lignes et demie biffées, dont un « \(A\) » et « de \(S\) » ; le passage qui suit, de « donc » à « Cet homomorphisme », est en outre traversé de trois longues diagonales, sans doute une annulation donc […] […] les composantes \[ \bigwedge^2 \mathrm{DR}^1(A/S) \simeq \bigwedge^2 \underline{t}_A^{\vee} + \underline{t}_A^{\vee} \otimes \underline{t}_{A^*} + \bigwedge^2 \underline{t}_{A^*} \] sur \(\underline{H}^{10} = \underline{t}_A^{\vee}\) et \(H^{01} = \underline{t}_{A^*}\) comme facteurs isotropes, et définit donc un homomorphisme \[ \underline{t}_A^{\vee} \otimes \underline{t}_{A^*} \longrightarrow \underline{\mathcal{O}}_S \quad \text{i.e.} \quad \underline{t}_{A^*} \longrightarrow \underline{t}_A . \] Cet homomorphisme n'est […] […] […] […] autre que l'homomorphisme tangent à \(\tilde\varphi : A \to A^*\) \[ \underbrace{\operatorname{Hom}(\underline{t}_A, \underline{t}_{A^*})} \] la ligne « Cet homomorphisme … \(A^*\) » est barrée d'un long trait ; sous \(\operatorname{Hom}(\underline{t}_A, \underline{t}_{A^*})\), une accolade renvoie à la composante médiane de la décomposition précédente

Ceci dit, \(\varphi'\) est dans la composante médiane, et comme telle n'est autre que l'homom. tangent \(\tilde\varphi' : \underline{t}_A \to \underline{t}_{A^*}\) de \(\tilde\varphi : A \to A^*\) défini par \(\varphi\), qui se déduit formellement, par tensorisation par \(\otimes_{\mathbb{F}_p} \underline{\mathcal{O}}_S\), par \[ \mathcal{L}_A \to \mathcal{L}_{A^*} \quad \text{\uncertain{homom.}}\ \ldots \] \[ ({}_{p}A)_{\text{ét}} \to ({}_{p}A^*)_{\text{ét}} \quad \text{\uncertain{induit}} \ \text{par}\ {}_{p}\tilde\varphi : {}_{p}A \to {}_{p}A^* \ldots \] au-dessus de \(\mathcal{L}_A\) et \(\mathcal{L}_{A^*}\), deux renvois « \(\wr\wr\) » vers \(({}_{p}A^*)_{\text{ét}}^{\vee}\) et \(({}_{p}A)_{\text{ét}}^{\vee}\), écrits entre les deux lignes ; la page s'arrête sur les points de suspension

Re N.B. Soit toujours \(g =\) dim. rel. de \(A/S\), et considérons (forme effet de dégénérescence […] […] […] section nulle) \[ \omega_A = \struck{A}\, \det(\underline{t}_A)^{-1} = \bigwedge^{g} \underline{t}_A^{\vee} \] (C'est un faisceau inv. à \(p\)-structure dégénérée, i.e. déduit par faisc. […] ext. des scalaires d'un faisceau loc. ct […] sur \(\mathbb{F}_p\), savoir \(\{\det({}_{p}A^*)_{\text{ét}}\}\).)la première ligne, sous la formule, est une insertion de deux lignes serrées, barrée d'un trait ; après \(\underline{t}_A^{\vee}\), une rature d'encre. Dans la parenthèse, deux mots biffés au-dessus de « loc. ct », et un mot biffé, peut-être « \(({}_pA^*)_{\text{ét}}\) », en tête de ligne ; après \(({}_pA^*)_{\text{ét}}\), un signe surchargé

À ce titre, \(\omega_A^{\otimes(p-1)}\) admet une section canonique. Si […] […] […] […] […], et si \(U\) \(M\) est l'ouvert des \(s \in S\) tels que \(A_s\) soit ordinaire, […] […] qui […] \(A|U\), une polarisation principale s'explique : […] […] une section canonique \(\sigma\) de \(L|U\), partout \(\neq 0\). Si \(U\) est dense dans \(S\), […] considérons […] […] une pseudo-[…] \(\sigma\) commune […] […] (\(\ldots\) sur \(S\)), […]le dernier passage, de « Si \(U\) est dense » à la fin de l'alinéa, est encadré et traversé de diagonales et d'un trait horizontal : annulé ; un « pseudo- » y est surchargé. La lecture qui distingue ce qui est annulé de ce qui ne l'est pas repose sur les tuiles à 700 dpi

Mais en fait, on peut parler d'une section de \(L^{\otimes(p-1)}\) sur \(S\) (\(A\) arbitraire), définie canoniquement à l'aide de« section » est écrit au-dessus de la ligne, après « d'une » \[ \underline{t}_A^{(p)} \xrightarrow{\ \pi\ } \underline{t}_A \] en passant au dét., d'où \[ (\det \underline{t}_A)^{\otimes p} \longrightarrow \det \underline{t}_A \] d'où \[ \sigma_A \in \Gamma(\det \underline{t}_A)^{1-p} = \Gamma\, \omega_A^{(p-1)} \] le lot 2 (page 21) reprend exactement ici : « Cette section mérite le nom d'invariant de Hasse de \(A\) »