Cote n° 9, pages 1–20 — Transcription

Cote n° 9 · batch 1 · pages 1–20 · Transcription · Groupe de Barsotti-Tate et cristaux (jusqu’en été 1969) : notes manuscrites (s.d.)
Édition de démonstration

Dualité des modules de Dieudonné de gpes de B.T. duals l'un de l'autre

inscrit à l'encre en haut à droite du feuillet de garde (page 1), avec en dessous « Le module de Dieudonné réduit \(M \otimes_W k\) » ; le feuillet ne reçoit pas de numéro de page

\(k\) corps de car. \(p > 0\)

\(G\) gpe \(p\)-divisible, \(G^*\) dual

\(g = \dim G\), \(g^* = \dim G^*\)

\[ \begin{array}{ccccccccc} 0 & \to & \underline{t}_G^{\vee} & \to & H(G) & \to & \underline{t}_{G^*} & \to & 0 \\ & & \| & & {\scriptstyle H(V) = V_0}\downarrow\;\uparrow{\scriptstyle H(F) = F_0} & & & & \\ & & \omega_G & & & & & & \\ 0 & \to & \underline{t}_G^{\vee(p)} & \to & H(G)^{(p)} & \to & \underline{t}_{G^*}^{(p)} & \to & 0 \\ & & \| & & & & & & \\ & & \omega_G^{(p)} & & & & & & \\ & & \dim g & & \dim g + g^* & & \dim g^* & & \end{array} \] les deux suites sont écrites l'une sous l'autre, \(V_0\) descendant de \(H(G)\) vers \(H(G)^{(p)}\), \(F_0\) remontant ; « \(\dim g\) », « \(\dim g+g^*\) », « \(\dim g^*\) » sont inscrits sous les trois termes, tels qu'écrits (pour \(\dim = g\), etc.) ; le « \(H(V)\) » est surchargé. On rend \(t\) souligné comme en page 21 (lot 2), bien que le soulignement ne soit pas toujours visible ici

\(\tilde G\) groupe […]deux ou trois mots barrés d'un trait, sur l'en-tête en transparence \[ 0 \to \mathbb{V}(\underline{t}_{G^*}) \to \tilde G \to G \to 0 \]

dual de \[ \begin{array}{ccccccccc} 0 & \to & \underline{t}_{G^*}^{\vee} & \to & \underline{t}_{\tilde G} & \to & \underline{t}_G & \to & 0 \\ & & \| & & {\scriptstyle V_0}\downarrow\;\uparrow{\scriptstyle F_0} & & & & \\ & & \omega_{G^*} & & & & & & \\ 0 & \to & \underline{t}_{G^*}^{\vee(p)} & \to & \underline{t}_{\tilde G}^{(p)} & \to & \underline{t}_G^{(p)} & \to & 0 \\ & & \| & & & & & & \\ & & \omega_{G^*}^{(p)} & & & & & & \end{array} \] les deux diagrammes sont côte à côte, séparés par un trait vertical, « dual de » écrit au-dessus du trait

[NB \(H(G) = \underline{t}_{\tilde G^*}\)]l'indice est recouvert d'une tache d'encre ; seul « \(G^*\) » en dessous se lit, et la lecture \(\tilde G^*\) s'appuie sur la même égalité, lisible, plus bas

(1) suite exacte pour \(\underline{t}_{\tilde G}\) et \(\underline{t}_{\tilde G^*}\) transposée l'une de […] l'autre, […] […] […] fonctoriel, […] laquelle \(F_0\) et \(V_0\) […] […] […] […] \(p\)) s'interchangent.

(2) Donc La suite exacte […] […], \[ \begin{aligned} \operatorname{Ker} F_0 &= \operatorname{Im} V_0 = \underline{t}_G^{\vee(p)} = \omega_G^{(p)} \\ \operatorname{Ker} V_0 &= \operatorname{Im} F_0 = \text{ce que ça \ill{}} \end{aligned} \] ([…] […]) […] […] […]la fin de la ligne, à droite de « \(\operatorname{Im} F_0 =\) », est une parenthèse de prose rapide que l'on n'a pas su lire

(3) \(F_0\) et \(V\) \(V_0\) […] sur \(H(G)\)

? Dieudonné : […] \(G\) réduit mod \(p\). \[ \underline{t}_{G^*}^{(p)} \xrightarrow{F_0} H(G) \to \underline{t}_{G^*} \] correspond : le […] dérivation […] [et correspond : Frobenius dans \(H^2(G, \mathbb{G}_m)\)] […] dans \(H(G) = \underline{t}_{\tilde G^*}\)deux lignes serrées à droite de la suite, avec un crochet ; ordre et coupure des deux lignes incertains

(4) Le comparaison […]

Cas […]deux mots soulignés en tête des trois lignes qui suivent ; le second ne se lit pas

\(G\) purement infinitésimal, i.e. \(G^*\) sans tore \(\iff\) \(F_0\) nilpotent ;
\(G^*\) purement infinitésimal, i.e. \(G\) sans composante torique \(\iff\) \(V_0\) nilpotent ;
\(G\) et \(G^*\) purement infinitésimaux \(\iff\) \(F_0\) et \(V_0\) nilpotents.

\[ \langle x, y \rangle = \varphi_n(xy) \qquad \varphi_n : A_n \to W_n \]

a)\(\varphi_n\) est […] linéaire : gauche et droite sur \(W_n\)les deux mots soulignés, le premier deux fois
b)\(\varphi_n(Fz) = \struck{\ill{}}\, \varphi_n(zF)^{\pi}\)
c)\(\varphi_n(zV) = \struck{\ill{}}\, \varphi_n(Vz)^{\pi}\)

encadré, en haut à droite : \(\varphi_n(1) = 1\), \(\varphi_n(F^i) = 0\), \(\varphi_n(V^i) = 0\) \((i \geqslant 1)\) ; en dessous : \(\exists !\) \(\varphi_n\)

d) Les \(\varphi_n\) se […] (\(\varphi_n\) […] variable)

\(F^iV^i \mapsto a\)

\(\varphi\bigl(\sum_{0 \leqslant i, j \leqslant n} a_{ij} F^i V^j\bigr) = \ill{}\)sous la somme une accolade marquée \(z\)

\[ \varphi_n\Bigl(a + \sum_{1}^{\to} \lambda_i F^i + \sum_{1}^{\to} \struck{\ill{}}\, V^i \mu_i\Bigr) = \varphi_n(z) = a \] l'argument est marqué \(z\) par une accolade. Autour, un premier essai annulé par des traits en zigzag : \(\varphi_n(1) = a\), \(\sum_0 \lambda_i F^i\), \(\varphi_n(F\ldots\), \(\varphi_n(Fz) = p\ldots\), \(\varphi_n(zF) =\) ; on ne le détaille pas

\[ \begin{aligned} \varphi_n(\lambda z) &= \lambda \varphi_n(z) \qquad \text{OK} \\ \varphi_n(z\lambda) &= \varphi_n\Bigl(\sum \lambda_{ij} \lambda^{\pi^{i-j}} F^i V^j\Bigr) = \varphi_n(z)\lambda \qquad \text{OK.} \end{aligned} \] \(\varphi_n(Fz) = \varphi\bigl(\sum \lambda_{ij}^{\pi} F^{i+1}V^j\bigr) = \ill{}\) / \(\varphi_n(zF) = \varphi_n\bigl(\sum \lambda_{ij} F^{i+1} V^j\bigr)\)

\(\varphi_n(Fz) = \varphi_n(zF) =\)la page s'arrête sur ce signe égal

\[ A_n = A/(F^{n+1}, V^{n+1}) \] \(I_n = A_n\) regardé comme bimodule sur \(A\) \[ I = \varinjlim_n I_n \qquad I_n \xrightarrow{\ p\ } I_{n+1} \] les exposants \(n+1\) de \(A/(F^{n+1}, V^{n+1})\) sont lus sur un trait rapide ; un trait horizontal sépare ensuite ce bloc de la suite

\(D : M \mapsto \operatorname{Hom}(M, I)\) […] foncteur dualisant.

Attention, il transforme un module à gauche en module à droite, et vice versa. Mais on peut utiliser l'involution \(s\) de \(A\) échangeant \(F\) et \(V\), pour passer de l'un à l'autre.

\(D(M)\) \(A_n\) est fini sur \(W_n\). Un autre foncteur dualisant est obtenu en faisant (si \(M\) tué par \(F^n, V^n\)) \[ D' : M \mapsto \operatorname{Hom}_{W_n\text{-}\mathrm{mod.}}(M, W_n) \] sous « \(\operatorname{Hom}\) » un indice en toutes lettres, « \(W_n\)-modules », lecture incertaine et définissons sur \(D'(M)\) la structure de \(A\)-module à droite par « transposition ».

\(D'(M) = \) \(\operatorname{Hom}(A_n, W_n)\) structure de bimodule

\(\operatorname{Hom}_{W_n}(M, W_n) = \operatorname{Hom}_{A_n}\bigl(M, \operatorname{Hom}_{W_n}(A_n, W_n)\bigr)\)la ligne est barrée ; sous le dernier terme, une accolade renvoie à « structure de bimodule naturelle », et un long trait courbe ramène le tout à la dernière ligne

Je dis qu'on a un isom. \[ I_n = A_n \simeq \operatorname{Hom}_{W_n}(A_n, W_n) \] \(u F = u \circ F\)

\(D'(M) = \operatorname{Hom}_{W_n}(M, W_n)\) module à droite sur \(A_n\)

\(uF\ \ Fu\ \ (uF)(x) = (u(F(x)))^{\pi}\)

\[ \begin{aligned} u \cdot F &= \pi^{-1}(u \circ F) \\ u \cdot V &= \pi(u \circ F) \\ u \cdot \lambda &= u \circ \lambda \end{aligned} \qquad\Bigg|\qquad \begin{aligned} u \cdot F \cdot V &= \pi\pi^{-1}\, u \circ F \circ V = p\,u \\ u\,VF &= p\,u \end{aligned} \] le second membre de \(u \cdot V\) porte bien « \(u \circ F\) », tel qu'écrit

bimodule sur \(A_n\)

\[ D'(A_n) = \operatorname{Hom}_{W_n}\bigl((A_n)_g, W_n\bigr) \] \[ \begin{aligned} u \cdot F &= \pi^{-1}(u \circ F_g) \\ u \cdot V &= \pi(u \circ V_g) \\ u \cdot \lambda &= u \circ \lambda_g \\ Fu &= u \circ F_d \\ Vu &= u \circ F_g \\ \lambda u &= u \circ \lambda_d \end{aligned} \qquad u\lambda = \lambda \cdot u = u \circ \lambda = \lambda \circ u \] les indices \(g\), \(d\) : action à gauche, à droite. « \(Vu = u \circ F_g\) » tel qu'écrit ; le \(V\) surcharge une autre lettre

Attention les deux structures de \(W_n\)-module sur \(I\) […] […] […] […] […] […]deux lignes de prose rapide que l'on n'a pas su lire

\[ A_n \overset{?}{\xrightarrow{\ \sim\ }} \operatorname{Hom}_{W_n}\bigl((A_n)_g, W_n\bigr) \qquad \text{\uncertain{isom.}\ de \uncertain{bimodules}} \]

\[ \boxed{A_n \times A_n \longrightarrow W_n} \qquad (x, y) \mapsto \langle x, y \rangle \qquad \text{\uncertain{bimodule}} \] \[ \begin{aligned} &\langle \lambda x, y \rangle = \lambda \langle x, y \rangle & \lambda &\in W_n \\ &\langle x, y\lambda \rangle = \langle \lambda x, y \rangle & \lambda &\in W_n \\ &\langle x, yF \rangle = \pi^{-1} \langle Fx, y \rangle \\ &\langle x, yV \rangle = \pi \langle Vx, y \rangle \\ &\langle x, \lambda y \rangle = \langle x\lambda, y \rangle \\ &\langle x, Fy \rangle = \langle xF, y \rangle \\ &\langle x, Vy \rangle = \langle xV, y \rangle \end{aligned} \] marques « \(x\) », « \(x\) », puis « \(\lambda\) », « \(\alpha\) », « \(x\) » dans la marge gauche, en face des lignes ; sous la dernière, un « \(F\) » biffé

à droite, deux accolades : la première, sur les lignes 2 à 4, « assure que \(A_n \to \operatorname{Hom}_{W_n}((A_n)_g, W_n)\) est \(A_n\)-linéaire à droite » ; la seconde, sur les trois dernières, « assure […] […] \(A_n\)-lin. », suivi de \(\langle x, y \rangle\) \(\langle x, y \rangle = \langle 1, xy \rangle\) i.e. \(\langle x, y \rangle = \langle 1, xy \rangle = \langle xy, 1 \rangle\)

\[ A_n \underset{A_n}{\otimes} A_n \longrightarrow W_n \qquad W_n\text{-bilinéaire} \] le tout encadré ; sous le produit tensoriel et sous \(W_n\), deux renvois « \(W_n\) » et un mot biffé illisible \[ \struck{\pi\langle x, yF\rangle =}\ \langle Fx, y \rangle = \pi \langle x, yF \rangle , \qquad \langle x, yV \rangle = \pi \langle Vx, y \rangle \]

page entière annulée par trois longs traits presque verticaux ; elle se lit néanmoins, et on la donne

Question Comment définir directement une connexion intégrable sur \(\mathbb{R}^{*} f_{*}(\Omega^{\bullet}_{X/S})\) ??

Lemme \(X\) topos, \(K^{\bullet}\), \(L^{\bullet}\) complexes abéliens sur \(X\), \(\mathcal{G}\) faisceau abélien de \(X\), \[ \mathcal{G} \xrightarrow{\ i\ } \underline{\mathrm{Hom}}^{\bullet}(K^{\bullet}, L^{\bullet})^{-1} = \prod_i \underline{\mathrm{Hom}}(K^{i}, L^{i-1}) \] \(P\) un \(\mathcal{G}\)-torseur, \(P \xrightarrow{\ \theta\ } Z\bigl(\underline{\mathrm{Hom}}^{\bullet}(K^{\bullet}, L^{\bullet})^{(0)}\bigr)\)

Alors […] espace […] \(P\) un homomorphisme […] […] \(D(X)\), […] […] un […] de \(K^{\bullet} \to\)deux lignes biffées d'un trait ondulé compatible avec les opérations de \(\underline{\mathrm{Hom}}(K^{\bullet}, L^{\bullet})^{-1}\) \[ \theta(g \cdot p) = \theta(p) + \underbrace{\bigl(d \circ i(g) + i(g) \circ d\bigr)}_{\delta(i(g))} \]

Alors on peut trouver un homom. […] dans \(D(X)\) \[ \varphi = \varphi_{K, L}(\mathcal{G}, P, i, \theta) : K^{\bullet} \longrightarrow L^{\bullet} \] tel que :

1°)\(\varphi\) est fonctoriel en \(L^{\bullet}\) (complexe variable dans \(C^{+}(X)\)) ([…] […] sens évident) ;
2°)Si \(\mathcal{G}\), \(P\) […] […] […] […] […] […] […] \(P \xrightarrow{u} P'\), \(\mathcal{G} \xrightarrow{u} \mathcal{G}'\), \(\mathcal{G}, P, i, \theta\) par \(\mathcal{G}', P', i', \theta'\), avec \(i = i' u\), \(\theta = u \theta'\), […] […] ;
3°)Si \(P\) admet une section, alorsla page s'arrête ici

Caractères des groupes de B.T. à réduction semi-stable virtuelle essentielle

inscrit à l'encre en haut à droite du feuillet de garde rose (page 9), qui ne porte rien d'autre et ne reçoit pas de numéro de page

Caractère d'un groupe de B.T. sur un corps local.

les pages 10 à 13 sont un tapuscrit, tapé en bleu, sans pagination de frappe, et non identifié comme publié ; on le donne en entier. Le titre est de sa main, à l'encre, souligné ; ses autres interventions à l'encre sont signalées au fil du texte. Les surfrappes de la dactylographie (« xxx ») ne sont pas relevées

Soit \(V\) un anneau de val. discrète à corps résiduel parfaitajout à l'encre, entouré, relié par un trait à « discrète » ; pour ce qu'on va faire, on peut le supposer complet. à corps résiduel algébriquement clos […] semble l'hypothèse corps résiduel parfait ; on peut alors, au besoin, (quitte : passer au complété de l'hensélisé strict).le passage est barré à l'encre ; « résiduel algébriquement clos » est en outre souligné d'un tiret discontinu, et un trait brisé encadre la dernière ligne, avec « (quitte : » écrit en marge gauche : sans doute la parenthèse « quitte à passer au complété de l'hensélisé strict » est-elle rétablie, mais ce n'est pas sûr. Les derniers mots de la première ligne barrée sont surchargés à l'encre et ne se lisent pas On suppose que le corps résiduel \(k\) de \(V\) est de car. \(p > 0\) ; le corps des fractions \(K\) de \(V\) est donc de car \(p\) ou \(0\). On s'intéresse aux [\(p\)-]groupes de Barsotti-Tate sur \(K\), notés \(M = (M(\nu))_{\nu \geqslant 0}\).« \(p\)- » est ajouté à la machine au-dessus de la ligne ; les deux \(\nu\) sont portés à l'encre dans les blancs de la frappe On dit qu'un tel groupe satisfait à la condition de monodromie s'il admet une suite de composition par des groupes de B.T., telle que les \(N = \operatorname{Gr}^{i}(M)\) aient essentiellement bonne réduction, i.e. qu'il existe pour chacun d'eux une extension finie [séparable] \(K'\) de \(K\) telle que \(N_{K'}\) ait bonne réduction sur le normalisé \(S'\) de \(S\) dans \(K'\).« \(N =\) » est ajouté à la machine au-dessus de « les \(\operatorname{Gr}^{i}(M)\) » et relié par un trait à l'encre ; « séparable » est tapé au-dessus de la ligne, entouré à l'encre Alors \(N_{K'}\) provient donc, d'après le th. de Tate (démontré pour l'instant seulement dans le cas d'[in]égales caractéristiques), d'un groupe de B.T. \(N\) sur \(S'\) déterminé à isomorphisme unique près. Par suite, si \(K'\) est prise galoisienne de groupe \(G\), \(G\) opère sur \(N\) de façon compatible avec son action sur \(S'\). — Bien entendu, on peut prendre \(K'\) indépendant de \(i\) ; on dira, si \(K'\) marche pour \(M\) satisfaisant la condition de monodromie, que \(K'\) est un corps de bonne réduction virtuelle pour \(M\).« in » est tapé au-dessus de « d'égales » et relié à l'encre ; \(S\) n'a pas été introduit : c'est évidemment \(\operatorname{Spec} V\)

Soit \(K_{BT}(K; K')\) le groupe « de Grothendieck » défini par les groupes de BT sur \(K\) admettant \(K'\) comme corps de bonne réduction virtuelle. Alors, si \(K'/K\) est galoisienne de groupe de Galois \(G\), on trouve un homomorphisme naturel \[ K_{BT}(K; K') \longrightarrow K_{BT}(S'; G) , \tag{1} \] où le deuxième membre est le groupe de Grothendieck des groupes de B.T. sur \(S'\) avec opérations de \(G\) (compatibles aux opérations de \(G\) sur \(S'\)).le numéro (1) est à l'encre D'ailleurs, \(S\) étant complet donc hensélien, \(S'\) est local, de sorte que,

si \(s'\) est son point fermé, on trouve aussi un homomorphisme de restriction \[ K_{BT}(S', G) \to K_{BT}(s', G) , \tag{2} \] en notant que \(G\) opère sur \(s'\) (de façon pas nécessairement fidèle). Or, \(k' = k(s')\) étant supposé complet parfait, on a un foncteur covariant naturel \[ \mathrm{BT}(s') \to \mathrm{Modlib}(W(k')) , \] et même vers \(\mathrm{Cris}(k')\)« parfait » est tapé au-dessus de « complet » surfrappé ; l'ajout « et même vers \(\mathrm{Cris}(k')\) » est au crayon, à droite de la formule et comme \(G\) opère sur \(k'\), donc sur \(W(k')\), le foncteur précédent induit trivialement un foncteur \[ \mathrm{BT}(s', G) \to \mathrm{Modlib}(W(k'), G) , \] d'où par suite un homomorphisme \[ K_{BT}(s', G) \longrightarrow K(W(k'), G) . \tag{3} \] Composant (1), (2) et (3), on trouve un homomorphisme canonique \[ K_{BT}(K; K') \longrightarrow K(W(k'), G) . \tag{4} \] Notons d'ailleurs que si \(k\) est algébriquement clos, alors \(G\) opère trivialement sur \(k'\) donc sur \(W(k')\), et on a alors \[ K(W(k'), G) = R_{W(k')}(G) ; \] dans le cas général, il y a lieu d'introduire le groupe d'intertiesic, pour « inertie » \(I \subset G\), et on trouve un homomorphisme \[ K(W(k'), G) \to K(W(k'), I) \simeq R_{W(k')}(I)^{G/I} , \] NB \(G/I\) opère sur \(R\) via ses opérations sur \(I\) et sur \(W(k')\) par transport de structure l'exposant \(G/I\) est ajouté à l'encre, et répété entouré au-dessus du signe \(\simeq\) ; la note NB est à droite, séparée par un trait vertical. Dans la marge gauche, en oblique, trois lignes de crayon : « On peut dire […] suivant les définitions … » d'où grâce à (4) \[ K_{BT}(K, K') \to R_{W(k')}(I)^{G/I} \longrightarrow \operatorname{Cent}(I, W(k'))^{G} , \tag{5} \] les exposants \(G/I\) et \(G\) sont à l'encre ; la seconde flèche est redessinée à l'encre et le \(k'\) du dernier terme repassé la dernière flèche étant la flèche trace. L'homomorphisme composé est appelé encore l'homomorphisme trace, l'image de \(\mathrm{c}\ell(M)\) dans le dernier membre est appelé le caractère du groupe de B.T. \(M\). On voit facilement que dans un sens évident, il ne dépend pas du choix du corps de bonne réduction virtuelle \(K'\) : la fonction caractère est alors envisagée comme fonction sur le [sous-]groupe d'inertie (infini) de \(\operatorname{Gal}(\bar K/K)\).« \(\ell\) » de « \(\mathrm{c}\ell\) » et la barre de \(\bar K\) sont portés à la main ; « sous- » est tapé au-dessus de la ligne

Supposons que \(M_{K'}\) soit constant, de sorte que \(T_p(M)\) est un faisceau \(p\)-adique localement constant (au sens technique

du terme). On voit alors facilement que le caractère de \(M\) coïncide, sur les éléments de \(I\) d'ordre premier à \(p\), avec le caractère modulaire de la représentation de \(I\) sur \(\mathbb{F}_p\) définie par \(M(0)\) ?le \(\mathbb{F}\) de \(\mathbb{F}_p\), le \(0\) de \(M(0)\) et le point d'interrogation sont repassés à l'encre Comme, pour \(K\) de caractéristique nulle, la donnée d'un groupe de BT sur \(K\) revient à la donnée d'une représentation \(p\)-adique de \(\operatorname{Gal}(\bar K/K)\) (dans un Module libre de type fini sur \(\mathbb{Z}_p\)), on peut se demander s'il n'est pas vrai en tous cas que le caractère d'un \(M\) (satisfaisant la condition de monodromie) est déterminé ainsi par la seule connaissance de \(M(0) = {}_{p}M\). Il n'en est rien, car si cette condition était vérifiée, on en déduirait facilement, en utilisant la théorie de Brauer des relèvements virtuels des représentations sur \(\mathbb{F}_p\) en représentations sur \(\mathbb{Z}_p\), que pour tout \(M\) satisfaisant la condition de monodromie, le caractère de \(M\) coïncide avec le caractère modulaire de \(M(0)\) sur les éléments d'ordre premier à \(p\) de \(I\). En particulier, si \(M\) a bonne réduction, il s'ensuivrait que le caractère modulaire de \(M(0)\) serait trivial dès que \(M\) a bonne réduction.« de \(M(0)\) » est tapé au-dessus de « serait » et relié à l'encre Or c'est déjà faux en prenant \(M = \mathbb{Z}_p(1)\), donc \(M(0) = \mu_p\), en se plaçant dans le cas où \(K\) ne contient pas les racines \(p\).èmes de \(1\).le \(\mu\) de \(\mu_p\) est porté à l'encre dans le blanc de la frappe Dans le cas où il les contient, au contraire, il n'y a pas d'ennuis pour les groupes de BT sur \(K\) qui sur un \(K'\) ont une bonne réduction qui est, soit de type constant (cf plus haut), soit de type multiplicatif, et il conviendrait alors d'examiner encore le cas où il est de type ind-unipotent sur la fibre point fermé.

NB Cela impliquerait que la fonction caractère est à valeurs dans \(\mathbb{Z}_p \subset W(k)\), dès que \(K\) contient les racines \(p\).ièmes de \(1\) […] […] [[…] […] congruence […] \((p-1)\)] […]note au crayon dans la marge gauche, en face des lignes suivantes ; la dernière ligne est biffée

Cas test : soient \(E_i\) \((i = 1, 2)\) deux courbes elliptiques sur \(K\), qui ont bonne réduction essentielle, \({}_{p}E_1\) isomorphe à \({}_{p}E_2\), \(K\) contient les racines \(p\).èmes de \(1\), est-il vrai que les fonctions traces \(\phi_{E_1}\) et \(\phi_{E_2}\) sur le groupe d'inertie (qu'on peut, comme on sait, calculer aussi via les \(T_\ell\) pour \(\ell\) nombre premier quelconque) sont égales [sur les éléments premiers à \(p\)] ? « \((i = 1, 2)\) » est ajouté à l'encre au-dessus de « \(E_1\), \(E_2\) » surfrappés ; les \(\ell\) sont portés à la main ; « sur les éléments premiers à \(p\) » est tapé au-dessus de la ligne, entouré à l'encre et renvoyé après « égales » Le cas intéressant est celui où l'une au moins des deux courbes, après extension \(K \to K'\), se réduit en une courbe à invariant de Hasse nul. Ou encore : si \(A_K\) schéma abélien sur \(K\)

(par exemple courbe elliptique) est tel que \({}_{p}A_K\) soit un groupe constant, alors est-il vrai que la trace \(\phi_E\) soit [égale à \(n = \dim A_K\)] sur les points éléments premiers à \(p\) de \(I\) ? (Seul le cas de réduction non semi-stable de \(A\) offre un problème ; donc il faudrait ici trouver un exemple où le critère de réduction semi-stable de Raynaud est en défaut pour \(\ell = p\) !).« égale à \(n = \dim A_K\) » est tapé au-dessus de la ligne, sur des mots surfrappés ; le \(\ell\) est porté à la main

faux par Tateau crayon, en oblique dans la marge gauche, en face du paragraphe qui suit Dans le cas d'une courbe elliptique, et en car. rés. \(\neq 2, 3\), prenant pour \(K'\) la plus petite extension sur laquelle on a réduction semi-stable, on trouve que \(G\) est un sous-groupe de \(\operatorname{Aut}(A_{s'})\), lequel [est cyclique] a (2, 4 ou 6 éléments) donc est premier à \(p\), et la question revient à celle de savoir si \(\phi_E\) est de valeur constante égale à \(2\) (?) si [lorsque] \({}_{p}A\) est constant (et si \(K\) contient les racines \(p\).èmes de l'unité, il suffit de regarder le cas où la courbe elliptique réduite, après extension \(K \to K'\), est d'invariant de Hasse nul).« est cyclique » est tapé au-dessus de la ligne et relié à l'encre ; « lorsque » est à l'encre au-dessus de « si » surfrappé, et le « (?) » à l'encre ; la parenthèse ouvrante devant « 2, 4 ou 6 » et la parenthèse fermante finale sont portées à l'encre

Détermination des « stratifications canoniques » sur les déformations

inscrit au crayon en haut à droite du feuillet de garde (page 14), sous un titre biffé de quatre traits, « Déformations des groupes de B.T. ordinaires » ; en dessous, « L'isom. de nature globale », souligné, et encadré : \(\det T_p(A)_{\text{ét}} \simeq \det T_p(A^*)_{\text{ét}}\). Le feuillet ne reçoit pas de numéro de page

\(A_0\) VA sur un corps \(k\) de car. \(> 0\).

Question : quand est-il possible, pour toute déf. inf. \(A/\Lambda\) de \(A_0\) (avec \(\Lambda\) \(k\)-algèbre artinienne locale) d'associer une \(k\)-stratification sur \(\mathrm{DR}^1(A/\Lambda)\), compatible avec changement de base et fonctorielle en \(A\) ?

Si \(M\) est le module des modules formels […] de \(A_0\) sur \(k\), il faut et \(A_M\) la déformation universelle, il faut que \(\mathcal{H} = \mathrm{DR}^1(A_M/M)\) ait une […] stratification formelle compatible avec les opérations \(F, V\) : \[ \mathcal{H}^{(p)} \overset{F}{\underset{V}{\rightleftarrows}} \mathcal{H} . \] Cela implique que pour \(x \in M\), le type (géométrique) de \(\mathcal{H}_x\) muni de \(F_x\), \(V_x\) est le même que celui de \(\mathcal{H}_0 = \mathrm{DR}^1(A_0)\), muni de \(F_0\), \(V_0\). Cela implique sans doute que \(A_0\) est « ordinaire » i.e.

\[ \begin{array}{ccccccc} 0 \to & H^{10} & \to & H & \to & H^{01} & \to 0 \\ & & & {\scriptstyle V}\downarrow\;\uparrow{\scriptstyle F} & & & \\ 0 \to & H^{10(p)} & \to & H^{(p)} & \to & H^{01(p)} & \to 0 \end{array} \] \[ \operatorname{Im} V = \operatorname{Ker} F = H^{10(p)} , \qquad \operatorname{Ker} V = \operatorname{Im} F , \] à gauche du trait vertical qui les sépare de la prose ; sous \(V\) et à droite de \(F\), deux signes biffés illisibles. Les exposants \(10\), \(01\) sont lus sur des traits rapides à droite du diagramme : […] la sub max. […] pts […] ordre \(p\), […] […] […] […] […], que les \(\underline{t}_{A_0^*} = H^1(A_0, \mathcal{O}_{A_0}) = H^{01}(A_0)\), la puissance \(p\).ième

soit un supplémentaire [i.e. induise un isom. de \(H^{01(p)}\) sur \(H^{01}\)].deux traits obliques séparent ce qui précède de ce qui suit Mais dans […] le cas \(A\) sur \(\Lambda\), dans \(\mathrm{DR}^1(A)\). Cela implique que l'ext. \(H = \mathrm{DR}^1(A)\) de \(H^{01}\) par \(H^{10}\) est canoniquement […], par \(\operatorname{Im} F = F(\mathcal{H}^{(p)})\), […] […] \(\operatorname{Im} F \xrightarrow{\ \sim\ } H^{01}\) évidemment ? « \(= H^{01}\) » est ajouté au-dessus de la flèche, relié par un trait courbe ; les trois dernières lignes sont d'une prose rapide dont seuls les termes mathématiques sont sûrs

stable par la stratification canonique. De même, comme \(VF = 0\), ([…] \(= \operatorname{Ker} V = \operatorname{Im} F = H^{1}\)) \(V\) est nul sur \(H^{1}\), et se factorise donc à travers \[ H^{10(p)} = \operatorname{Ker} F , \] […] \(FV = 0\), et est égal à un homomorphisme […], […] que \(H^{10(p)}\) est stable par la […] stratification, donc […]la parenthèse de la deuxième ligne est ajoutée au-dessus de la ligne et reliée par une accolade ; son premier terme ne se lit pas, et « \(H^{1}\) », ici et à la ligne suivante, est lu sur un « \(H\) » suivi d'un prime ou d'un \(1\) (peut-être \(H^{01}\)). Sous « \(H^{10(p)} = \operatorname{Ker} F\) », un « \(\S\) » et un mot biffés

Attention, cela n'implique pas a priori que \(H^{10}\) le soit également. Tout ce qu'on peut dire (admettons aussi pour \(\Lambda\) une \(\Lambda\)-algèbre locale noeth. complète, corps résiduel \(k\)…) c'est que si \(S = \operatorname{Spf}(\Lambda)\), et si on considère les deux images inverses \(E_1\), \(E_2\) de \(H\) sur […] \(T = \operatorname{Spf}(\Lambda \hat\otimes \Lambda) = S \times S\), […] et les deux images inverses \(F_1\), \(F_2\) de \(H^{10}\), et considérant l'isom. de stratification \[ u : E_1 \xrightarrow{\ \sim\ } E_2 , \qquad \text{d'où} \qquad u^{(p)} : E_1^{(p)} \to E_2^{(p)} , \] alors \[ u^{(p)}(F_1^{(p)}) = \struck{\ill{}}\, F_2^{(p)} , \quad \text{i.e.} \quad u(F_1)^{(p)} = F_2^{(p)} . \] Si donc \(u(F_1) = G\), \(F_2 = G'\), \(E = E_2\), on a \(G^{(p)} = G'^{(p)}\) comme […] [sections] de \(\operatorname{Grass}(E)\) sur \(T\), on ne peut conclure […] \(G = G'\), ces sections devenant égales par changement de base \[ T' \xrightarrow{\ \pi\ } T , \qquad T' = T , \ \pi = \text{\uncertain{Frobenius} \uncertain{absolu}.} \] sous \(T'\), un signe d'égalité vertical et « \(T\) », avec deux mots superposés, lus « Frobenius absolu » sans certitude On veut prouver […] […] […] […] conclure \(G = G'\), car en général \(\pi\) n'est pas un épim. Mais si [\(S\) donc] \(T\) est formellement lisse sur \(k\),« \(S\) donc » est ajouté au-dessus de la ligne, souligné d'un trait courbe ; la page s'arrête sur cette virgule

cela marchera (c'est loc. fid. plat). On sait que c'est suffisant, si on remonte au cas \(S = M\) (variété des modules formels). Donc \(H^{10}\) est stable par la stratification. Donc \(H\) admet une décomposition fonctorielle et stable par ext. de la base \[ H \simeq H^{10} + H^{01} \] et cette décomposition est stable par stratification.

Donc le pb est maintenant de trouver une stratification […] (fonctorielle fonctorielle dans les deux sens) sur les deux morceaux \[ H^{10} = \underline{t}_A^{\vee} \quad \text{et} \quad H^{01} = \underline{t}_{A^*} , \] Les deuxièmes [pour \(A_0\),] s'identifiant au premier pour \(A_0^*\).« pour \(A_0\), » est ajouté au-dessus de la ligne, relié par un trait courbe ; la phrase est d'une lecture incertaine au-delà des formules Donc il faut trouver une stratification fonctorielle sur \(\underline{t}_A\). Or il y en a une a priori [une], grâce à la structure de puissances divisées, qui à préciser … permet d'introduire la structure […] (pour \(A\), \(A\) […]) naturelle disons de \(\mathrm{Gl}(g)_k\). Est-ce la seule, […] […] sait définir directement en utilisant la compatibilité avec les puissances \(p\).ièmes (pour \(\Lambda\), \(A\) sur \(X\), donnés).« à préciser … » est en marge gauche, séparé du texte par un trait vertical le long des trois lignes ; dans la parenthèse biffée, seuls les deux « \(A\) » se lisent

Remarque. On sait donc que la position de la filtration par […] […] […] […] stratification sur la base [… des déf.] doit donner un principe de classification (infinitésimale […] en car. \(p > 0\) !la remarque est marquée d'un double trait vertical dans la marge gauche ; une insertion au-dessus de la ligne, reliée par un trait courbe, ne se lit qu'en partie ; la parenthèse n'est pas fermée

La décomposition envisagée (can., fonct.) \[ \mathrm{DR}^1(A/S) \simeq \underline{t}_A^{\vee} + \underline{t}_{A^*} \] vaut pour le préschéma abélien ordinaire sur un \(S\) de car. \(p > 0\), en même temps que les expressions \[ \underline{t}_A \simeq \mathcal{L}_A \otimes_{\mathbb{F}_p} \underline{\mathcal{O}}_S , \qquad \underline{t}_{A^*} \simeq \mathcal{L}_{A^*} \otimes_{\mathbb{F}_p} \underline{\mathcal{O}}_S \] où \(\mathcal{L}_A\), \(\mathcal{L}_{A^*}\) sont les faisceaux [étales] loc. […] libres de rang \(g\) (\(=\) dim. relative de \(A/S\)) des vecteurs invariants sur \(\mathbb{F}_p\). Si \(S\) est le spectre d'un corps parfait,la lettre cursive que l'on rend \(\mathcal{L}\) est un L bouclé, lu tel ; « étales » est ajouté au-dessus de la ligne et reporté par un trait \[ \mathcal{L}_{A^*} = (\underline{t}_{A^*})^{F} = H^1(A, \underline{\mathcal{O}}_A)^{F} = H^1(A, \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}) = \operatorname{Hom}({}_{p}A, \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}) = \struck{\ill{}}\ {}_{p}A(k)^{\vee} \] le \(A\) de \(\operatorname{Hom}({}_pA, \ldots)\) porte un petit signe en exposant, peut-être un prime, qui n'est pas repris ensuite \[ \left\{ \begin{aligned} \mathcal{L}_{A^*}(k) &= {}_{p}A(k)^{\vee} \\ \mathcal{L}_{A}(k) &= {}_{p}A^*(k)^{\vee} \end{aligned} \right. \] Donc \[ \left\{ \begin{aligned} \underline{t}_A^{\vee} &= \mathcal{L}_A^{\vee} \otimes_{\mathbb{F}_p} k = {}_{p}A^*(k) \otimes_{\mathbb{F}_p} k \\ \underline{t}_{A^*} &= {}_{p}A(k)^{\vee} \otimes_{\mathbb{F}_p} k \end{aligned} \right. \] après \(\mathcal{L}_A\) dans la première ligne, un indice surchargé et illisible ; le dernier \(k\) est écrit en capitale

On a des relations analogues pour \(S\) (de car. \(p > 0\)) quelconque : l'hyp. sur \(A\) implique (cas […]) que \[ {}_{p}A \to S \] s'insère de façon unique comme […] \[ {}_{p}A \to ({}_{p}A)_{\text{ét}} \to S \] les deux morphismes finis localement libres, le premier radiciel surj., le 2^ème étale.

Ceci dit, on a des isom. can. \[ \left\{ \begin{aligned} \mathcal{L}_A &= ({}_{p}A^*)_{\text{ét}}^{\vee} \\ \mathcal{L}_{A^*} &= ({}_{p}A)_{\text{ét}}^{\vee} \end{aligned} \right. \]

N.B. Soit \(\varphi\) une polarisation de \(A\) (i.e. une section de \(\underline{\mathrm{NS}}_{A/S}\)). Alors […] […] […] \(\varphi\) définit une section […] […] \(A\) […] […] […] de \(\bigwedge^2 \mathrm{DR}^1(A/S)\), […] Cela […] […] […] deux lignes et demie biffées, dont un « \(A\) » et « de \(S\) » ; le passage qui suit, de « donc » à « Cet homomorphisme », est en outre traversé de trois longues diagonales, sans doute une annulation donc […] […] […] composantes \[ \bigwedge^2 \mathrm{DR}^1(A/S) \simeq \bigwedge^2 \underline{t}_A^{\vee} + \underline{t}_A^{\vee} \otimes \underline{t}_{A^*} + \bigwedge^2 \underline{t}_{A^*} \] sur \(\underline{H}^{10} = \underline{t}_A^{\vee}\) et \(H^{01} = \underline{t}_{A^*}\) comme facteurs isotropes, et définit donc un homomorphisme \[ \underline{t}_A^{\vee} \otimes \underline{t}_{A^*} \longrightarrow \underline{\mathcal{O}}_S \quad \text{i.e.} \quad \underline{t}_{A^*} \longrightarrow \underline{t}_A . \] Cet homomorphisme n'est […] […] […] […] autre que l'homomorphisme tangent à \(\tilde\varphi : A \to A^*\) \[ \underbrace{\operatorname{Hom}(\underline{t}_A, \underline{t}_{A^*})} \] la ligne « Cet homomorphisme … \(A^*\) » est barrée d'un long trait ; sous \(\operatorname{Hom}(\underline{t}_A, \underline{t}_{A^*})\), une accolade renvoie à la composante médiane de la décomposition précédente

Ceci dit, c'est dire que la composante médiane, et donc autre que l'homom. tangent \(\tilde\varphi' : \underline{t}_A \to \underline{t}_{A^*}\) de \(\tilde\varphi : A \to A^*\) défini par \(\varphi\), qui se déduit formellement […], par tensorisation […] \(\otimes_{\mathbb{F}_p} \underline{\mathcal{O}}_S\), par \[ \mathcal{L}_A \to \mathcal{L}_{A^*} \quad \text{\uncertain{homom.}}\ \ldots \] \[ ({}_{p}A)_{\text{ét}} \to ({}_{p}A^*)_{\text{ét}} \quad \text{\uncertain{induit}} \ \text{par}\ {}_{p}\tilde\varphi : {}_{p}A \to {}_{p}A^* \ldots \] au-dessus de \(\mathcal{L}_A\) et \(\mathcal{L}_{A^*}\), deux renvois « \(\wr\wr\) » vers \(({}_{p}A^*)_{\text{ét}}^{\vee}\) et \(({}_{p}A)_{\text{ét}}^{\vee}\), écrits entre les deux lignes ; la page s'arrête sur les points de suspension

Re N.B. Soit toujours \(g =\) dim. rel. de \(A/S\), et considérons (formé […] […] […] […] […] […]) \[ \omega_A = \struck{A}\, \det(\underline{t}_A)^{-1} = \bigwedge^{g} \underline{t}_A^{\vee} \] (C'est un faisceau inv. à \(p\)-structure […] dégénérée, i.e. d'[…] […] […] faisceau loc. ct […] […] […] […] […] […] sur \(\mathbb{F}_p\), savoir \(\{\det({}_{p}A^*)_{\text{ét}}\}\).la première ligne, sous la formule, est une insertion de deux lignes serrées, barrée d'un trait ; après \(\underline{t}_A^{\vee}\), une rature d'encre. La parenthèse qui suit est biffée par un long trait qui court jusqu'au milieu de la page ; sa fin est lue sous réserve

Si […] […] […] […] \(M\) […] […] […] […] […], et si \(U\) est l'ouvert des \(s \in S\) tels que \(A_s\) soit ordinaire, […] […] […] \(A|U\), une polarisation […] […] […] […] section canonique \(\sigma\) de […]. […] \(U\) est […] dense dans \(S\), […] […] pseudo-[…] […] \(\sigma\) commune […] […] […], en […] […] […] \(S\)), […] […] \(S\) dans fonction […]un long passage encadré et traversé de quatre diagonales et de deux traits horizontaux : annulé. Il porte notamment \(U\), \(A|U\), \(M\), une section \(\sigma\), un « pseudo- » surchargé ; on n'en donne que ce qui se lit

Mais en fait, on peut parler d'une section de \(L^{\otimes(p-1)}\) sur \(S\) (\(A\) arbitraire), définie canoniquement à l'aide de \[ \underline{t}_A^{(p)} \xrightarrow{\ \pi\ } \underline{t}_A \] en passant au dét., d'où \[ (\det \underline{t}_A)^{\otimes p} \longrightarrow \det \underline{t}_A \] d'où \[ \sigma_A \in \Gamma(\det \underline{t}_A)^{1-p} = \Gamma\, \omega_A^{(p-1)} \] le lot 2 (page 21) reprend exactement ici : « Cette section mérite le nom d'invariant de Hasse de \(A\) »