Fonds Grothendieck, cote n° 89, pages 1–20

Les ensembles 3-3

ces mots sont de sa main : « les ensembles 3-3 », au crayon, occupent seuls le haut du feuillet de couverture (page 1), qui ne porte rien d'autre et ne reçoit donc pas de marqueur de page. L'inventaire les reprend entre crochets, « [Ensembles 3-3] » ; « [Hexagone] combinatoire » vient de la première ligne de la page 2

Soit H = (S, A, R) un hexagone combinatoireun hexagone régulier est dessiné dans la marge gauche, ses six sommets marqués d'un point, avec en pointillés ses diagonales et ses deux triangles inscrits. Il lui correspond

a)\omega_H \in \mathrm{Ens}_2 l'une des deux orientations, b)un torseur S sous ~~\mathbf{Z}/6\mathbf{Z} \wedge \omega_H \simeq \mathbf{Z}/3\mathbf{Z} \wedge \omega_H~~ \mathbf{Z}/6\mathbf{Z} \wedge \omega_H \simeq (\mathbf{Z}/3\mathbf{Z} \wedge \omega_H) \times \underbrace{(\mathbf{Z}/2\mathbf{Z} \wedge \omega_H)}_{\mathbf{Z}/2\mathbf{Z}}

ce qui revient au mêmeles deux mots sont écrits par un signe « = », une paire de deux torseurs :

Le groupoïde des hexagones combinatoires est équivalent à la catégorie (\mathrm{Ens}_3) \times (\mathrm{Ens}_2)

b_1)un torseur sous (\mathbf{Z}/3\mathbf{Z} \wedge \omega_H) i.e. un ~~tri~~ élément \begin{cases} \Delta \in \mathrm{Ens}_3 & \text{avec iso} \\ \omega_\Delta \simeq \omega_H \end{cases} NB a) et b_1) équivaut à : la donnée de \Delta \in \mathrm{Ens}_3 b_2)un ens. T à deux éléments.

Alors \Delta s'interprète comme l'un des ~~deux~~ trois diagonales de H, et T comme l'un des deux triangles inscrits. On récupère H par un iso. can. S \simeq \Delta \times T (un est connu quand on connaît les triangles inscrits et les diagonales qu'il détermine, et inversement, ceux-ci pouvant être donnés arbitrairement —)

Notons que cette décomposition implique S \simeq \coprod_{i \in T} S_i \qquad \text{avec}\quad \begin{array}{l} \operatorname{card} T = 2 \\ \operatorname{card} S_i = 3 \quad \forall\, i \in T \end{array}

en posant S_i = \Delta \times \{i\}, et on a un iso. canonique \omega_{S_i} \simeq \omega_\Delta pour \forall\, i \in T, d'où \bigwedge_{i \in T} \omega_{S_i} \simeq \mathbf{1}. \quad (\text{torseur } \uncertain{\text{neutre}} \text{ sous } \mathbf{Z}/2\mathbf{Z})

Considérons la structure ~~donnée~~ sur un ens S de card 6 donnée par une partition S = \coprod_{i \in T} S_i du type (3,3), et un ~~isom.~~ syst. trans. d'isom. entre les \omega_{S_i}« syst. trans. d' » est écrit au-dessus du mot biffé, i.e. un isom (\mathrm{A}) \qquad \bigwedge_{i \in T} \omega_{S_i} \simeq \mathbf{1}.

~~Considérons les~~ Le groupe des automorph. de cette structure est d'ordre 36 (car en effet

\begin{tikzcd} 1 \arrow[r] & G' \arrow[r] \arrow[d] & G \arrow[r] & \mathfrak{S}_T \arrow[r] \arrow[d, no head, "\shortparallel" description] & 1 \\ & \prod_{i \in T} \mathfrak{S}_{S_i} \arrow[d, "\prod_{i \in T} \mathrm{sg}_i"] & & \mathbf{Z}/2\mathbf{Z} & \\ & \mathbf{Z}/2\mathbf{Z} \arrow[d] & & & \\ & 1 & & & \end{tikzcd}

)un court trait vertical est tracé au-dessus de G', sans terme au bout ; le \prod est écrit par-dessus un premier signe

~~La sous-groupe~~ Une structure hexagonale subordonnée : il

structure unisignée équivaut à la donnée de l'antipodisme correspondant \sigma = \sigma_H : cette structure H, qui est un autom. involutif de la structure unisignée, induisant la transposition sur T i.e. échangeant entre eux les S_i — il y a exactement correspondant le choix d'un i \in T aux trois isom S_i \simeq S_j \qquad (j \in T,\ j \neq i) « inverseurs d'orientations » i.e. rendant \omega_{S_i} \simeq \omega_{S_j} l'iso. donné grâce à (A). ~~Soit~~

« involutif » est inséré au-dessus de la ligne ; le mot biffé après « qui » est surchargé d'un « est »

~~en effet, il exactement 2~~ il faut exiger de plus que trivialise commutant aux \omega_{S_i} (i \in T)) ; il y en a trois possibilités qui induisent des \omega, ils correspondent aux éléments des \bigwedge_{i \in T} S_i (par unicité) \Gamma\omega = \mathbf{Z}/3\mathbf{Z} \wedge_I \omega

cette note marginale est écrite en éventail, en biais à une soixantaine de degrés, sur toute la moitié supérieure de la marge gauche, et chevauche le début des lignes du corps ; seuls des fragments s'en lisent. Ses trois premières lignes sont barrées

Mais l'ens G_H des autom. de H = H_\sigma est le centralisateur de \sigma = Z(\sigma) — G_H (est d'indice 3 dans G, et en particulier le groupe normalisateur) il est non distingué, ses trois conjugués correspondent aux trois conjugués de \sigma, qui sont les trois « antipodismes » de G, correspondant aux trois structures hexagonales subordonnées : la structure « trihexagonale » unisignée.

« = Z(\sigma) » est écrit au-dessus de la ligne, et « et en particulier le groupe normalisateur » dans l'interligne suivant, rattaché par un trait au mot « distingué »

Considérons le 2-groupe (invariant) Vun G' est écrit au-dessus du V de G engendré par l'ens. I des trois anti-

podismes \sigma_i, on vérifie que pour I = \{i, j, k\} on a \sigma_k = \sigma_i \sigma_j \sigma_i donc (puisqu'on peut exiger les faire en permutation circulaire), donc \sigma_i = \sigma_j \sigma_k \sigma_j = \sigma_j (\sigma_i \sigma_j \sigma_i) \sigma_j \qquad \text{i.e.} \qquad (\sigma_i \sigma_j)^3 = 1

~~On constate que G' est le sous-groupe présenté~~ G' opérant sur I donne un iso ~~par~~ \struck{\sigma_i^2 = 1 \quad (i \in I)} G' \xrightarrow{\ \sim\ } \mathfrak{S}_I où \sigma_i correspond à la transposition de I d'indice i — G' est présenté par les gén. \sigma_i (i \in I) et les 3 + 6 = 9 relations \sigma_i^2 = 1 \qquad \sigma_k = \sigma_i \sigma_j \sigma_i \qquad (\text{si } I = \{i, j, k\}) « G' opérant sur » est écrit au-dessus de la ligne biffée ; « (i \in I) » et « 3 + 6 = 9 » sont insérés au-dessus de la ligne et rattachés par des traits i.e. encore (pour i, j \in I fixés, i \neq j), posant \sigma = \sigma_i, \sigma' = \sigma_j) \struck{\sigma_i^2 = \sigma_j^2 =} \qquad \sigma^2 = \sigma'^2 = (\sigma\sigma')^3 = 1 .

Quel est le groupe quotient G/G' (d'ordre 6) ? Notons que les données de (S_i)_{i \in T} « données » est écrit au-dessus du mot biffé ; la lecture (S_i)_{i \in T} du dernier terme, en bout de ligne, n'est pas sûre

et de \bigwedge_{i \in T} \omega_{S_i} = \mathbf{1} équivaut à la donnée d'un ens. à deux éléments \omega (l'orientation « commune » des \omega_{S_i} identifiés par le syst. transitif d'iso \bigwedge_{i \in T} \omega_{S_i} \simeq \mathbf{1}) et une famille de torseurs S_i (i \in T) sous \mathbf{Z}/3\mathbf{Z} \wedge_{\pm 1} \omega = \Gamma_\omega. Considérons alors le \Gamma_\omega-torseur : \mathsf{T} = \struck{\prod_{i \in T}} \bigwedge_{i \in T} S_i alors G opère sur (\Gamma_\omega, \mathsf{T}), je dis que G' y opère trivialement. En effet, un antipodisme \sigma induisant S_i \overset{u}{\simeq} S_j et S_j \overset{u^{-1}}{\simeq} S_i induit S_i \wedge S_j \xrightarrow{\ \sim\ } S_j \wedge S_i \overset{\text{sym}}{\simeq} S_i \wedge S_j \qquad (x \wedge y \mapsto (u^{-1} y \wedge u x)) ~~On a ux~~ Fixons a \in S_i, posons ua = b \in S_j, on a x = \gamma a, \quad y = \gamma' b donc pour \gamma, \gamma' \in \Gamma_\omega \sigma(\underbrace{\gamma a \wedge \gamma' b}_{\gamma\gamma'\, a \wedge b}) = (\underbrace{u^{-1} \gamma' b}_{\gamma' a}) \wedge (\underbrace{u \gamma a}_{\gamma b}) = \struck{\gamma\gamma'}\ \gamma' a \wedge \gamma b = \underset{}{\gamma'\gamma\, a \wedge b} le \sigma en tête de la formule est écrit en surcharge d'un autre signe

~~Ainsi~~ Ainsi G/G' opère dans (\Gamma_\omega, \mathsf{T}). Mais \mathsf{T} se réalise ~~comme~~ canonique l'un des 3 automorph. involutifs ~~\alpha_\psi~~ de S = \coprod_{i \in T} S_i tels que \alpha induise la transposition de T et de \omega, et on vérifie que \alpha_t conjugue \alpha_{j'} en \alpha_{j''} (en fait l'a déjà fait …) « canonique » est écrit au-dessus de « comme », biffé ; le « 3 » est inséré au-dessus de la ligne

la page s'ouvre sur un double trait horizontal, de sa main, au milieu de la ligne de tête

Soit S de cardinal 6 muni d'une partitionun R est écrit au-dessus de « partition » du type (3,3), T l'ens de ses deux classes, S_i (i \in T) ses deux classes. Soit \mathcal{G} le groupe des automorph. de S, donc

\begin{tikzcd} 1 \arrow[r] & \prod_{i \in T} \mathfrak{S}_{S_i} \arrow[r] & \mathcal{G} \arrow[r] & \mathfrak{S}_T \arrow[r] \arrow[d, no head, "\shortparallel" description] & 1 \\ & & & \mathbf{Z}/2\mathbf{Z} & \end{tikzcd}

\mathcal{G} d'ordre 72. Soit S' \subset \mathcal{G} l'ens des éléments involutifs de \mathcal{G} au-dessus de l'élément \neq 1 de \mathfrak{S}_T, i.e. l'ens des scindages de l'ext. précédente.

Pour i \in T fixé, il est en corr. 1-1 avec \mathrm{Isom}(S_i, S_j) \qquad \text{où } j \in T,\ j \neq i, ou encore il est en corr. 1-1 avec l'ens des corr. bijectives entre (S_i)_{i \in T} i.e. des \Gamma \subset \prod_{i \in T} S_i telles que \forall\, i \in T, \Gamma \to S_i est bij.

C'est un ens qui a 6 éléments, et on a une ~~bijection~~ surjection S' \longrightarrow T' \overset{\text{déf}}{=} \bigwedge_i \omega_{S_i} (notation précédente) qui est de degré 3. Donc S' est également un ens. muni d'une partition du type (3,3).

La donnée d'une structure hexagonale équivaut à : celle d'une structure (S, R), et d'un s \in S' — celle d'un hexagone et d'un sommet dessus, à un

la page s'arrête là, au premier tiers du feuillet ; le reste est blanc

Soit V un plan vectoriel sur \mathbf{F}_3. La droite projective P(V) a quatre éléments i.e. V contient quatre droites vectorielles — donnons nous une paire T de droites de V (D_i)_{i \in T}. On a donc (1) \qquad V = \bigoplus_{i \in T} D_i \simeq \prod_{i \in T} D_i « contient » et le T sont écrits au-dessus de la ligne

Considérons la paire complémentaire T' = P(V) \smallsetminus T, on a donc aussi (2) \qquad V = \bigoplus_{i \in T'} D_i \simeq \prod_{i \in T'} D_i

Notons les relations (3) \qquad \begin{cases} T' \simeq \bigwedge_{i \in T} D_i^{*} \\ T \simeq \bigwedge_{i \in T'} D_i^{*} \end{cases} l'application \prod_{i \in T} D_i^{*} \longrightarrow T' qui définit \bigwedge_{i \in T} D_i^{*} \to T' étant (4) \qquad (u_i)_{i \in T} \longmapsto \mathbf{F}_3 \cdot \Bigl(\sum_{i \in T} u_i\Bigr).

Si P est un V-torseur, i.e. un plan affine sur \mathbf{F}_3 admettant V comme groupe de translations, donc les formules (1) et (2) définissent respectivement deux décompositions de P en produits (5) \qquad P \simeq \prod_{i \in T} P_i\, , \qquad P \simeq \prod_{i \in T'} P_i le mot rendu par « plan » est barré d'un trait, et rien ne le remplace

~~où pour~~ pour tout i \in T \amalg T' = P(V), P_i est un D_i-torseur, défini par (6) \qquad P_i = P / D_{\bar\imath} = P \wedge_V (D_i \simeq V / D_{\bar\imath}) où i \mapsto \bar\imath est l'~~élément~~ involution de P(V) qui ~~est~~ correspond à la partition du type (2,2) \{T, T'\}, qui dans T et dans T' se réduit à la transposition dans ces ensembles. Ainsi, l'ensemble P, de cardinal 9, est muni, via (\ast) \qquad P \simeq \prod_{i \in T} P_i d'une paire de ~~deux~~ partitions du type (3,3,3), indexées par T, ces partitions étant « orthogonales » en ce sens que l'application canonique de P vers le produit des deux ens. quotients correspondants est bijective, ce qui signifie aussi que pour toute classe de l'une et toute classe de l'autre, l'intersection a exactement un élément (il suffit de supposer qu'elle est toujours non vide, ou qu'elle a toujours au plus un élément …). Et de même ensemble P est muni d'une deuxième paire (distincte de la première) de partitions de type (3,3)sic : le feuillet porte (3,3) et non (3,3,3), « orthogonales », indexée par T', correspondant à la décomposition (\ast') \qquad P \simeq \prod_{i \in T'} P_i « involution », « une paire de », « de » et « orthogonales », indexée par T' » sont écrits au-dessus des lignes

Ceci étant, on a des équivalences de catégories

\begin{tikzcd}[column sep=small] & (\mathbf{Tors}(V)) & \\ \prod_{i \in T} (\mathbf{Tors}(D_i)) \arrow[ur, leftrightarrow, "\approx"] & & \prod_{i \in T'} (\mathbf{Tors}(D_i)) \arrow[ul, leftrightarrow, "\approx"'] \end{tikzcd}

(7)le numéro (7) est porté à gauche du diagramme ; son soulignement de « Tors » est rendu en gras

Notons que pour une droite vectorielle D sur \mathbf{F}_3, la catégorie \mathbf{Tors}(D) est isomorphe canoniquement à celle des ens. E de cardinal 3, munis d'une bijection \omega_E \simeq D^{*} \omega_E : l'une des 2 orientations de E, i.e. des deux permutations circulaires de E inverses l'une de l'autre de sorte que la catégorie \prod_{i \in T} (\mathbf{Tors}(D_i)) peut être regardée comme celle des familles à deux éléments, indexées par T, d'ensembles de cardinal 3 (P_i)_{i \in T} munis chacun d'une bijection \omega_{P_i} \simeq D_i^{*} \qquad (i \in T) — et de même pour la catégorie \prod_{i \in T'} (\mathbf{Tors}(D_i)). la glose sur \omega_E est écrite en petits caractères sous la formule, et non en marge

On peut aussi l'interpréter, via (P_i)_{i \in T} \longmapsto \coprod_{i \in T} P_i, comme la catégorie des ensembles E de cardinal 6, munis d'une partition (P_i)_{i \in T} du type (3,3) indexée par T, et pour chaque i \in T d'une bijection \omega_{P_i} \simeq D_i^{*}. Ainsi les deux équivalences (7), fournissent une équivalence « via (P_i)_{i \in T} \mapsto \coprod_{i \in T} P_i » et « (P_i)_{i \in T} » sont écrits au-dessus des lignes (8) \qquad \begin{array}{l} \text{Catégorie des ens. } E \text{ de} \\ \text{cardinal } 6, \text{ munis d'une} \\ \text{partition } (P_i)_{i \in T} \text{ du type } (3,3), \\ \text{indexée par } T, \text{ et d'une} \\ \struck{\text{famille}}\ \text{paire de bijections} \\ \qquad D_i^{*} \simeq \omega_{P_i} \end{array} \quad \xrightarrow{\ \approx\ } \quad \begin{array}{l} \text{Catégorie analogue} \\ \text{définie en termes} \\ \text{de } T' \text{ et de} \\ \quad (D_i^{*})_{i \in T'} \end{array}

Quand (grâce à V) on échange le rôle de T et de T', il est évident que le diagramme d'équivalences (7) reste le même à symétrie près, et que l'équivalence (8) est donc remplacée par l' une équivalence, conséquemment quasi-inverse de la précédente.

Les catégories figurant de part et d'autre dans (8), se définissent en termes de la famille, indexée par P(V) = T \amalg T', d'ensembles à deux éléments \omega_i = D_i^{*} (dont la donnée équivaut à celle de la famille des droites vect. D_i )

vu que ~~\mathbf{F}_3^{*}~~ l'on a \mathbf{F}_3^{*} = \{\pm 1\} \quad ).

~~Ainsi~~ Notons que la donnée de \{(\omega_i)_{i \in T}\} permet ainsi de reconstituer (à isom. près) la famille (D_i)_{i \in T} de droites vectorielles sur \mathbf{F}_3 (via D_i = \omega_i \amalg \{0\} …), donc le vectoriel V = \prod_{i \in T} D_i sur \mathbf{F}_3, donc aussi le plan vectoriel V = \prod_{i \in T} D_i avec la paire de droites indexée par T, d'où la paire complémentaire (D_i)_{i \in T'}. La

~~Donc ainsi on fait~~ donnée d'une famille (\omega_i)_{i \in T} d'ens. à deux éléments, indexée par T, équivaut à celle d'un carré comb. Q, admettant T comme ens. des diagonales. On trouve ainsi ~~une~~ équivalences (9) \qquad \begin{array}{c} \text{Carrés combinatoires} \\ Q \end{array} \quad \overset{\approx}{\longleftrightarrow} \quad \begin{array}{l} \text{plans vectoriels } V \text{ sur } \mathbf{F}_3, \\ \text{munis d'une paire} \\ \text{de droites vectorielles} \\ \quad (D_i)_{i \in T} \end{array} « Notons que », « (à isom. près) », « le plan vectoriel », « comb. », « ainsi » et le V de (9) sont écrits au-dessus des lignes. La lecture « carré » d'un mot souligné qu'on pourrait prendre pour « couvé » est dictée par la suite : un ensemble de quatre sommets dont T est l'ensemble des deux diagonales

dans cette équivalence, donc, ~~on T correspond à~~ (10) \qquad \left\{ \begin{array}{l} T \simeq \operatorname{diag} Q \quad \text{et} \quad D_i^{*} \simeq d_i \quad \text{pour } i \in T \\[4pt] S_Q = \bigcup_{i \in T} D_i^{*} = \coprod_{i \in T} D_i^{*} \\[4pt] A_Q = \prod_{i \in T} D_i^{*} \simeq V^{*} \smallsetminus \bigcup_{i \in T} D_i^{*} = \bigcup_{i \in T'} D_i^{*} \end{array} \right. où d_i est l'ensemble des deux sommets de Q qui constituent la diagonale i à gauche de l'accolade, un « Diag Q » est biffé au-dessus du numéro (10). Le dernier membre « = \bigcup_{i \in T'} D_i^{*} » est rejeté dans la marge gauche, en bas du feuillet, qui coupe la dernière ligne ; dans la ligne de A_Q un premier signe est surchargé en \prod

~~Rien~~ On a d'ailleurs \underset{\substack{\text{ens. d'arêtes} \\ \text{de } Q}}{A_Q} \simeq \underset{\substack{\text{produit} \\ \text{des deux} \\ \text{diagonales de } Q}}{\prod_{i \in T} D_i^{*}} \simeq V^{*} - \bigcup_{i \in T} D_i^{*} = \bigcup_{i \in T'} D_i^{*} ce qui montre que le carré défini par l'~~ens.~~ paire (D_i)_{i \in T'} des droites de V^{*} complémentaire de la paire (D_i)_{i \in T} s'identifie au carré dual DQ de Q. Si on désigne par V(Q) le plan vectoriel sur \mathbf{F}_3 défini par Q, on trouve donc un isomorphisme (11) \qquad V(DQ) \xrightarrow[\ \sim\ ]{\ \alpha_Q\ } V(Q) et de façon symétrique (\uncertain{12}) \qquad \underset{\substack{\wr \\ DDQ}}{V(Q)} \xrightarrow{\ \alpha_{DQ}\ } V(DQ) le numéro de cette formule est écrit comme celui de la précédente ; la suite, (13), demande (12). Le Q de V(Q) est surchargé

Ceci posé, on a la relation (13) \qquad \alpha_Q\, \alpha_{DQ} = -\mathrm{id}_{V(Q)} = V(\underset{\substack{\text{antipodisme} \\ \text{de } Q}}{a_Q}) les indices du premier membre sont écrits en surcharge d'une première version et de même bien entendu \alpha_{DQ}\, \alpha_Q = -\mathrm{id}_{V(DQ)} = V(a_{DQ})

Soient V un Module ~~loc.~~ libre de rang 2 sur un anneau \Lambda ~~topos loc. annelé~~, d'où P(V) = ens. des « droites vectorielles » de V (i.e. des sous-modules ~~libres de~~ loc. inversibles facteurs directs), ~~et P(V)^! =~~

(1)V^{*} = ens. des éléments de V partout \neq 0 (i.e. qui font partie d'une base) (2)P(V)^! = V^{*} / \Lambda^{*} \hookrightarrow P(V) l'ens. des « droites dans V » qui sont des modules libres de rang 1.

« de rang 2 », « anneau \Lambda » et « loc. » sont écrits au-dessus des mots biffés

On a envie d'expliciter comment on récupère le \Lambda-module V à l'aide de l'ens. P(V)^!, muni d'une structure supplémentaire, qui est un essentiellement le \Lambda^{*}-torseur relatif (ensembliste) V^{*} sur P(V)^! = X.

Pour x \in P(V)^!, soit D_x \subset V la droite vectorielle correspondante, et posons (3) \qquad T_x = D_x^{*} \qquad (\Lambda^{*}\text{-torseur}) Soit de plus (4) \qquad \omega_V = \det(V)^{*} \qquad (\text{un } \Lambda^{*}\text{-torseur})

Sur P(V)^! on a la relation binaire de disjonction x, y \in P(V)^! \ \text{« \textbf{disjoints} »} \ \text{ssi} \ V \simeq D_x \oplus D_y (si \Lambda est un corps, cela équivaut à : x \neq y ; si \Lambda est local, cela équivaut à : x_0 \neq y_0 (l'indice 0

désignant la réduction mod. l'idéal maximal). Si x et y sont disjoints, alors (et alors seulement) ~~l'appl.~~ \begin{array}{c} (u, v) \longmapsto u \wedge v \\ D_x \times D_y \longrightarrow \det V \end{array} induit T_x \times T_y \longrightarrow \omega_V qui se factorise par un isomorphisme (5) \qquad \underset{\substack{\text{produit contracté} \\ \text{de } \Lambda^{*}\text{-torseurs}}}{T_x \wedge T_y} \xrightarrow{\ \sim\ } \omega_V

~~noté~~ L'image de (u \wedge v) dans \omega_V par cette application sera encore notée u \wedge v. On a encore (6) \qquad u \wedge v = - v \wedge u NB -1 \in \Lambda^{*}, et on pose, pour un \Lambda^{*}-torseur T, et u \in T, -u \overset{\text{déf}}{=} (-1).u)

Soient x, y disjoints \in P(V)^!, et z \in P(V)^! quelc., soient u \in T_x, \quad v \in T_y, \quad w \in T_z considérons les relations (7) \qquad u \wedge v = v \wedge w = w \wedge u équivalentes à (7') \qquad w \wedge v = v \wedge u = u \wedge w \qquad ) le premier membre de (7') est écrit en surcharge on vérifie de suite qu'elle équivaut à (8) \qquad u + v + w = 0 et qu'elle implique que z est disjoint de x, y.

Je dis que le \Lambda-module V se reconstitue (du moins si \Lambda est un corps) à partir de

a)l'ens. P = P(V)^! b)la famille des \Lambda^{*}-torseurs (T_x)_{x \in P} — i.e. le \Lambda^{*}_P-torseur relatif \coprod_{x \in P(V)^!} T_x = V^{*} sur P c)le \Lambda^{*}-torseur \omega = \omega_V d)la donnée de la relation de disjonction dans P = P(V)^! [ou ce qui revient au même, dans V^{*} — cette relation étant bi-stable par l'opération de \Lambda^{*} (i.e. u, v disjoints \Rightarrow \lambda u, \mu v disjoints pour \lambda, \mu \in \Lambda^{*})]. e)~~le \Lambda^{*}-torseur \omega = \omega_V~~ e)la donnée, pour x, y disjoints, de l'isom. de \Lambda^{*}-torseurs T_x \wedge T_y \simeq \omega \qquad \text{noté}\quad u \mathbin{\underset{\Lambda^{*}}{\wedge}} v \longmapsto u \wedge v .

à gauche de a) et b), qu'embrasse un trait vertical, écrit en biais dans la marge : équivaut à : la donnée de l'ens. V^{*}, avec l'opération (libre) de \Lambda^{*} sur V^{*} à gauche de d) et e), qu'embrasse un crochet, de même : Si \Lambda est un corps, cette relation est la relation triviale x \neq y, et on de donnée

En effet, pour u, v, w dans V^{*}, deux à deux disjoints, on trouve u + v + w = 0 \iff u \wedge v = v \wedge w = w \wedge u donc on arrive à trouver la loi de composition partielle (u, v) \longmapsto u + v \quad \text{sur } V^{*} \text{ pour } u, v \ \textbf{disjoints}.

~~On a~~ Dans le cas où \Lambda est un corps, posant \begin{cases} V = V^{*} \amalg \{0\} \\ D_x = T_x \cup \{0\} \subset V \end{cases} les D_x sont des droites vectorielles sur \Lambda, et on

définit u + v (u, v \in V^{*}) séparément quand u ou v = 0 (comme étant v resp. u), quand u, v \in V^{*} et u, v dans une même D_x (grâce à l'addition dans D_x), et quand u, v sont disjoints par la somme -w, où w est l'unique w \in V^{*} qui soit disj. de u, v et tel que u \wedge v = v \wedge w = w \wedge u . Pour pouvoir réaliser cette construction, on a besoin des ~~ceci~~ propriétés que voici sur les données a) b) c) [d)] e) :

a)Pour x, y, z \in P mutuellement disjoints, on peut trouver u \in T_x, v \in T_y, w \in T_z tels que l'on ait u \wedge v = v \wedge w = w \wedge u \qquad (\ill{}) (et alors on peut même supposer que u ou v ou w soit donné d'avance).

« \in P » et les deux « ou » sont écrits au-dessus des lignes ; la parenthèse au bout de la formule reste illisible. La page s'arrête au tiers inférieur du feuillet

Polygones

\mathrm{Pol}\ \mathrm{top} \longrightarrow \mathrm{Pol}\ \mathrm{comb} est ess. surjectif, Foncteur réalisation topologique : dim. à droite, un polygone dessiné : un cercle portant alternativement des points et des croix, un arc épaissi entre deux points

dualité : échange de S et A

point de vue ens. ordonnés P = S \amalg A (S él. minimaux, A éléments maximaux

chaque ~~élément~~ minimal majoré chaque élément minimal majoré strict. par exactement deux él. maximaux) chaque élément maximal minoré par exactement deux éléments minimaux)

ici dualité : renversement de la relation d'ordre

~~Point de vue~~ Composantes connexes des v.t. des ens. comb. polygones combinatoires (définitions combinatoires) Point de vue ens. de base S (valable si les comp. connexes sont d'ordre \geqslant 3) A \hookrightarrow \mathfrak{P}_2(S) \quad \text{structure ens. de parties à deux éléments de } S \ (\text{appelées \textbf{arêtes}}) tel que \forall\, s \in S appartient : exactement deux arêtes

Point de vue dual : structure sur A, d'une ens. S \hookrightarrow \mathfrak{P}_2(A) (qui « les sommets »)

Point de vue ordres circulaires (cas des polygones d'ordre \geqslant 3) : donnée sur S (ou A) d'une paire d'ordres circulaires (i.e. permutations transitives) inverses l'un de l'autre — une orientation de \Pi correspond au choix de l'un des deux ordres circulaires en question.

les deux lignes insérées au-dessus de « Point de vue ens. de base S » sont serrées et en partie illisibles

Orientation d'une arête : par choix d'une « origine ». Orientations induites sur le bord de l'arête (extrémité - origine)

Orientation d'un contour combinatoire : choix d'une orientation sur chaque arête, de telle façon que pour tout sommet s, les deux orientations induites sur s soient opposées \longrightarrow\!\bullet\!\longrightarrow orientations opposées

Relations avec le cas topologique ; orientation d'un segment topologique, d'une 1-variété topologique

Théorème a) Tout polygone combinatoire admet exactement 2 orientations, les d'un contour. i.e. il y a orientations

b) À toute orientation \omega d'un contour, correspond une unique bijection f_\omega telle que

1)f_\omega conserve l'orientation 2)\forall\, s \in S, \struck{\ill{}}\,(s, f_\omega(s)) soit une arête a, et dont l'origine o_\omega(a) soit s. c)

NB 2) caractérise déjà f_\omega, si les comp. de \Pi sont d'ordre \geqslant 3.

c) \omega \mapsto f_\omega induit une bij. entre l'ens. des orientations de \Pi, et l'ens. des automorphismes de \Pi qui satisfont 2).

la marge gauche porte, en biais et reliée au texte par un long trait coudé, une seconde formulation de 2) : b) \forall\, s \in S, \ill{}\, f(s) soit adjacent à s ; \beta) \forall\, a \in A, \ill{} ; f(a) \neq a origine de f(s)

NB La description des orientations, via f est . Orientons \Pi en un sommet s revient à choisir l'arête « origine » et l'arête « extrémité » en s (croquis : deux segments se rencontrant en un point, marqués + et -) les trois lignes biffées qui précèdent le premier NB ne se lisent pas ; le feuillet s'arrête en bas de page, la suite manque