Cote n° 89 · batch 1 · pages 1–20 · Transcription · [Hexagone] combinatoire. [Ensembles 3-3] : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : s.d. — le groupe « Géométrie et topologie combinatoire » (69 à 102) est daté 1976-[vers 1986]
Édition de démonstration

Les ensembles 3-3

ces mots sont de sa main : « les ensembles 3-3 », au crayon, occupent seuls le haut du feuillet de couverture (page 1), qui ne porte rien d'autre et ne reçoit donc pas de marqueur de page. L'inventaire les reprend entre crochets, « [Ensembles 3-3] » ; « [Hexagone] combinatoire » vient de la première ligne de la page 2

I

2

Soit \(H = (S, A, R)\) un hexagone combinatoireun hexagone régulier est dessiné dans la marge gauche, ses six sommets marqués d'un point, avec en pointillés ses diagonales et ses deux triangles inscrits. Il lui correspond

ce qui revient au mêmeles deux mots sont écrits par un signe « \(=\) », une paire de deux torseurs :

Le groupoïde des hexagones combinatoires est équivalent à la catégorie \((\mathrm{Ens}_3) \times (\mathrm{Ens}_2)\)

Alors \(\Delta\) s'interprète comme l'un des deux trois diagonales de \(H\), et \(T\) comme l'un des deux triangles inscrits. On récupère \(H\) par un iso. can. \[ S \simeq \Delta \times T \] (un […] est connu quand on connaît les triangles inscrits et les diagonales qu'il détermine, et inversement, ceux-ci pouvant être donnés arbitrairement —)

Notons que cette décomposition implique \[ S \simeq \coprod_{i \in T} S_i \qquad \text{avec}\quad \begin{array}{l} \operatorname{card} T = 2 \\ \operatorname{card} S_i = 3 \quad \forall\, i \in T \end{array} \]

3

en posant \[ S_i = \Delta \times \{i\}, \] et on a un iso. canonique \(\omega_{S_i} \simeq \omega_\Delta\) pour \(\forall\, i \in T\), d'où \[ \bigwedge_{i \in T} \omega_{S_i} \simeq \mathbf{1}. \quad (\text{torseur } \uncertain{\text{neutre}} \text{ sous } \mathbf{Z}/2\mathbf{Z}) \]

Considérons la structure donnée sur un ens \(S\) de card \(6\) donnée par une partition \[ S = \coprod_{i \in T} S_i \] du type \((3,3)\), et un isom. [syst. trans. d']isom. entre les \(\omega_{S_i}\)« syst. trans. d' » est écrit au-dessus du mot biffé, i.e. un isom \[ (\mathrm{A}) \qquad \bigwedge_{i \in T} \omega_{S_i} \simeq \mathbf{1}. \]

Considérons les Le groupe des automorph. de cette structure est d'ordre \(36\) (car en effet

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\begin{tikzcd}
1 \arrow[r] & G' \arrow[r] \arrow[d] & G \arrow[r] & \mathfrak{S}_T \arrow[r] \arrow[d, no head, "\shortparallel" description] & 1 \\
 & \prod_{i \in T} \mathfrak{S}_{S_i} \arrow[d, "\prod_{i \in T} \mathrm{sg}_i"] & & \mathbf{Z}/2\mathbf{Z} & \\
 & \mathbf{Z}/2\mathbf{Z} \arrow[d] & & & \\
 & 1 & & &
\end{tikzcd}

)un court trait vertical est tracé au-dessus de \(G'\), sans terme au bout ; le \(\prod\) est écrit par-dessus un premier signe

La sous-groupe Une structure hexagonale subordonnée : il

4

structure unisignée équivaut à la donnée de l'antipodisme correspondant \(\sigma = \sigma_H\) : cette structure \(H\), qui […] [est] un autom. [involutif] de la structure unisignée, induisant la transposition sur \(T\) i.e. échangeant entre eux les \(S_i\) — il y a exactement […] correspondant […] le choix d'un \(i \in T\) aux trois isom \[ S_i \simeq S_j \qquad (j \in T,\ j \neq i) \] « inverseurs d'orientations » i.e. rendant \(\omega_{S_i} \simeq \omega_{S_j}\) l'iso. donné grâce à (A). Soit

« involutif » est inséré au-dessus de la ligne ; le mot biffé après « qui » est surchargé d'un « est »

en effet, […] il […] exactement 2 […] il faut exiger de plus que […] trivialise […] commutant aux […] \(\omega_{S_i}\) (\(i \in T\))) ; il y en a trois […] possibilités […] qui induisent […] des \(\omega\), ils correspondent aux éléments […] des \(\bigwedge_{i \in T} S_i\) (par unicité) […] \(\Gamma\omega = \mathbf{Z}/3\mathbf{Z} \wedge_I \omega\) […]

cette note marginale est écrite en éventail, en biais à une soixantaine de degrés, sur toute la moitié supérieure de la marge gauche, et chevauche le début des lignes du corps ; seuls des fragments s'en lisent. Ses trois premières lignes sont barrées

Mais l'ens \(G_H\) des autom. de \(H = H_\sigma\) est le centralisateur de \(\sigma\) [\(= Z(\sigma)\)] — \(G_H\) (est d'indice \(3\) dans \(G\), et en particulier le groupe normalisateur) il est non distingué, ses trois conjugués correspondent aux trois conjugués de \(\sigma\), qui sont les trois « antipodismes » de \(G\), correspondant aux trois structures hexagonales subordonnées : la structure « trihexagonale » unisignée.

« \(= Z(\sigma)\) » est écrit au-dessus de la ligne, et « et en particulier le groupe normalisateur » dans l'interligne suivant, rattaché par un trait au mot « distingué »

Considérons le \(2\)-groupe (invariant) \(V\)un \(G'\) est écrit au-dessus du \(V\) de \(G\) engendré par l'ens. \(I\) des trois anti-

5

podismes \(\sigma_i\), on vérifie que pour \[ I = \{i, j, k\} \] on a \[ \sigma_k = \sigma_i \sigma_j \sigma_i \] donc (puisqu'on peut exiger les faire en permutation circulaire), donc \[ \sigma_i = \sigma_j \sigma_k \sigma_j = \sigma_j (\sigma_i \sigma_j \sigma_i) \sigma_j \qquad \text{i.e.} \qquad (\sigma_i \sigma_j)^3 = 1 \]

On constate que \(G'\) est le sous-groupe présenté \(G'\) opérant sur \(I\) donne un iso par \[ \struck{\sigma_i^2 = 1 \quad (i \in I)} \] \[ G' \xrightarrow{\ \sim\ } \mathfrak{S}_I \] où \(\sigma_i\) correspond à la transposition de \(I\) d'indice \(i\) — \(G'\) est présenté par les gén. \(\sigma_i\) [\((i \in I)\)] et les [\(3 + 6 = 9\)] relations \[ \sigma_i^2 = 1 \qquad \sigma_k = \sigma_i \sigma_j \sigma_i \qquad (\text{si } I = \{i, j, k\}) \] « \(G'\) opérant sur » est écrit au-dessus de la ligne biffée ; « \((i \in I)\) » et « \(3 + 6 = 9\) » sont insérés au-dessus de la ligne et rattachés par des traits i.e. encore (pour \(i, j \in I\) fixés, \(i \neq j\)), posant \(\sigma = \sigma_i\), \(\sigma' = \sigma_j\)) \[ \struck{\sigma_i^2 = \sigma_j^2 =} \qquad \sigma^2 = \sigma'^2 = (\sigma\sigma')^3 = 1 . \]

Quel est le groupe quotient \(G/G'\) (d'ordre \(6\)) ? Notons que les [données] […] de \((S_i)_{i \in T}\) « données » est écrit au-dessus du mot biffé ; la lecture \((S_i)_{i \in T}\) du dernier terme, en bout de ligne, n'est pas sûre

6

et de \(\bigwedge_{i \in T} \omega_{S_i} = \mathbf{1}\) équivaut à la donnée d'un ens. à deux éléments \(\omega\) (l'orientation « commune » des \(\omega_{S_i}\) identifiés par le syst. transitif d'iso \(\bigwedge_{i \in T} \omega_{S_i} \simeq \mathbf{1}\)) et une famille de torseurs \(S_i\) (\(i \in T\)) sous \(\mathbf{Z}/3\mathbf{Z} \wedge_{\pm 1} \omega = \Gamma_\omega\). Considérons alors le [\(\Gamma_\omega\)-]torseur : \[ \mathsf{T} = \struck{\prod_{i \in T}} \bigwedge_{i \in T} S_i \] alors \(G\) opère sur \((\Gamma_\omega, \mathsf{T})\), je dis que \(G'\) y opère trivialement. En effet, un antipodisme \(\sigma\) induisant \(S_i \overset{u}{\simeq} S_j\) et \(S_j \overset{u^{-1}}{\simeq} S_i\) induit \[ S_i \wedge S_j \xrightarrow{\ \sim\ } S_j \wedge S_i \overset{\text{sym}}{\simeq} S_i \wedge S_j \qquad (x \wedge y \mapsto (u^{-1} y \wedge u x)) \] On a \(ux\) Fixons \(a \in S_i\), posons \(ua = b \in S_j\), on a \[ x = \gamma a, \quad y = \gamma' b \] donc pour \(\gamma, \gamma' \in \Gamma_\omega\) \[ \sigma(\underbrace{\gamma a \wedge \gamma' b}_{\gamma\gamma'\, a \wedge b}) = (\underbrace{u^{-1} \gamma' b}_{\gamma' a}) \wedge (\underbrace{u \gamma a}_{\gamma b}) = \struck{\gamma\gamma'}\ \gamma' a \wedge \gamma b = \underset{}{\gamma'\gamma\, a \wedge b} \] le \(\sigma\) en tête de la formule est écrit en surcharge d'un autre signe

Ainsi Ainsi \(G/G'\) opère dans […] \((\Gamma_\omega, \mathsf{T})\). Mais \(\mathsf{T}\) se réalise comme [canonique] l'un des [\(3\)] automorph. involutifs \(\alpha_\psi\) de \(S = \coprod_{i \in T} S_i\) tels que \(\alpha\) induise la transposition de \(T\) et de \(\omega\), et on vérifie que \(\alpha_t\) conjugue \(\alpha_{j'}\) en \(\alpha_{j''}\) (en fait […] l'a déjà fait …) « canonique » est écrit au-dessus de « comme », biffé ; le « \(3\) » est inséré au-dessus de la ligne

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la page s'ouvre sur un double trait horizontal, de sa main, au milieu de la ligne de tête

Soit \(S\) de cardinal \(6\) muni d'une partitionun \(R\) est écrit au-dessus de « partition » du type \((3,3)\), \(T\) l'ens de ses deux classes, \(S_i\) (\(i \in T\)) ses deux classes. Soit \(\mathcal{G}\) le groupe des automorph. de \(S\), donc

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\begin{tikzcd}
1 \arrow[r] & \prod_{i \in T} \mathfrak{S}_{S_i} \arrow[r] & \mathcal{G} \arrow[r] & \mathfrak{S}_T \arrow[r] \arrow[d, no head, "\shortparallel" description] & 1 \\
 & & & \mathbf{Z}/2\mathbf{Z} &
\end{tikzcd}

\(\mathcal{G}\) d'ordre \(72\). Soit \(S' \subset \mathcal{G}\) l'ens des éléments involutifs de \(\mathcal{G}\) au-dessus de l'élément \(\neq 1\) de \(\mathfrak{S}_T\), i.e. l'ens des scindages de l'ext. précédente.

Pour \(i \in T\) fixé, il est en corr. 1-1 avec \[ \mathrm{Isom}(S_i, S_j) \qquad \text{où } j \in T,\ j \neq i, \] ou encore il est en corr. 1-1 avec l'ens des corr. bijectives entre \((S_i)_{i \in T}\) i.e. des \(\Gamma \subset \prod_{i \in T} S_i\) telles que \(\forall\, i \in T\), \(\Gamma \to S_i\) est bij.

8

C'est un ens qui a \(6\) éléments, et on a une bijection surjection \[ S' \longrightarrow T' \overset{\text{déf}}{=} \bigwedge_i \omega_{S_i} \] (notation précédente) qui est de degré \(3\). Donc \(S'\) est également un ens. muni d'une partition du type \((3,3)\).

La donnée d'une structure hexagonale équivaut à : celle d'une structure \((S, R)\), et d'un \(s \in S'\) — celle d'un hexagone et d'un sommet dessus, à un

la page s'arrête là, au premier tiers du feuillet ; le reste est blanc

II

9

Soit \(V\) un […] plan vectoriel sur \(\mathbf{F}_3\). La droite projective \(P(V)\) a quatre éléments i.e. \(V\) [contient] quatre droites vectorielles — donnons nous une paire \(T\) de droites de \(V\) \((D_i)_{i \in T}\). On a donc \[ (1) \qquad V = \bigoplus_{i \in T} D_i \simeq \prod_{i \in T} D_i \] « contient » et le \(T\) sont écrits au-dessus de la ligne

Considérons la paire complémentaire \(T' = P(V) \smallsetminus T\), […] on a donc aussi \[ (2) \qquad V = \bigoplus_{i \in T'} D_i \simeq \prod_{i \in T'} D_i \]

Notons les relations \[ (3) \qquad \begin{cases} T' \simeq \bigwedge_{i \in T} D_i^{*} \\ T \simeq \bigwedge_{i \in T'} D_i^{*} \end{cases} \] l'application \[ \prod_{i \in T} D_i^{*} \longrightarrow T' \] qui définit \(\bigwedge_{i \in T} D_i^{*} \to T'\) étant \[ (4) \qquad (u_i)_{i \in T} \longmapsto \mathbf{F}_3 \cdot \Bigl(\sum_{i \in T} u_i\Bigr). \]

Si \(P\) est un \(V\)-torseur, i.e. un plan affine sur \(\mathbf{F}_3\) admettant \(V\) comme groupe de translations, donc les formules (1) et (2) définissent respectivement deux décompositions de \(P\) en produits \[ (5) \qquad P \simeq \prod_{i \in T} P_i\, , \qquad P \simeq \prod_{i \in T'} P_i \] le mot rendu par « plan » est barré d'un trait, et rien ne le remplace

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où pour pour tout \(i \in T \amalg T' = P(V)\), \(P_i\) est un \(D_i\)-torseur, défini par \[ (6) \qquad P_i = P / D_{\bar\imath} = P \wedge_V (D_i \simeq V / D_{\bar\imath}) \] où \(i \mapsto \bar\imath\) est l'élément [involution] de \(P(V)\) qui est correspond à la partition du type \((2,2)\) \(\{T, T'\}\), qui dans \(T\) et dans \(T'\) se réduit à la transposition dans ces ensembles. Ainsi, l'ensemble \(P\), de cardinal \(9\), est muni, via \[ (\ast) \qquad P \simeq \prod_{i \in T} P_i \] d'[une paire de] deux partitions du type \((3,3,3)\), indexées par \(T\), ces partitions étant « orthogonales » en ce sens que l'application canonique [de] \(P\) vers le produit des deux ens. quotients correspondants est bijective, ce qui signifie aussi que pour toute classe de l'une et toute classe de l'autre, l'intersection a exactement un élément (il suffit de supposer qu'elle est toujours non vide, ou qu'elle a toujours au plus un élément …). Et de même ensemble \(P\) est muni d'une deuxième paire (distincte de la première) de partitions de type \((3,3)\)sic : le feuillet porte \((3,3)\) et non \((3,3,3)\), « orthogonales », indexée par \(T'\), correspondant à la décomposition \[ (\ast') \qquad P \simeq \prod_{i \in T'} P_i \] « involution », « une paire de », « de » et « orthogonales », indexée par \(T'\) » sont écrits au-dessus des lignes

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Ceci étant, on a des équivalences de catégories

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\begin{tikzcd}[column sep=small]
 & (\mathbf{Tors}(V)) & \\
\prod_{i \in T} (\mathbf{Tors}(D_i)) \arrow[ur, leftrightarrow, "\approx"] & & \prod_{i \in T'} (\mathbf{Tors}(D_i)) \arrow[ul, leftrightarrow, "\approx"']
\end{tikzcd}

(7)le numéro (7) est porté à gauche du diagramme ; son soulignement de « Tors » est rendu en gras

Notons que pour une droite vectorielle \(D\) sur \(\mathbf{F}_3\), la catégorie \(\mathbf{Tors}(D)\) est isomorphe canoniquement à celle des ens. \(E\) de cardinal \(3\), munis d'une bijection \[ \omega_E \simeq D^{*} \] \(\omega_E\) : l'une des \(2\) orientations de \(E\), i.e. des deux permutations circulaires de \(E\) inverses l'une de l'autre de sorte que la catégorie \(\prod_{i \in T} (\mathbf{Tors}(D_i))\) peut être regardée comme celle des familles à deux éléments, indexées par \(T\), d'ensembles de cardinal \(3\) \[ (P_i)_{i \in T} \] munis chacun d'une bijection \[ \omega_{P_i} \simeq D_i^{*} \qquad (i \in T) \] — et de même pour la catégorie \(\prod_{i \in T'} (\mathbf{Tors}(D_i))\). la glose sur \(\omega_E\) est écrite en petits caractères sous la formule, et non en marge

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On peut aussi l'interpréter, [via \((P_i)_{i \in T} \longmapsto \coprod_{i \in T} P_i\),] comme la catégorie des ensembles \(E\) de cardinal \(6\), munis d'une partition [\((P_i)_{i \in T}\)] du type \((3,3)\) indexée par \(T\), et pour chaque \(i \in T\) d'une bijection \(\omega_{P_i} \simeq D_i^{*}\). Ainsi les deux équivalences (7), fournissent une équivalence « via \((P_i)_{i \in T} \mapsto \coprod_{i \in T} P_i\) » et « \((P_i)_{i \in T}\) » sont écrits au-dessus des lignes \[ (8) \qquad \begin{array}{l} \text{Catégorie des ens. } E \text{ de} \\ \text{cardinal } 6, \text{ munis d'une} \\ \text{partition } (P_i)_{i \in T} \text{ du type } (3,3), \\ \text{indexée par } T, \text{ et d'une} \\ \struck{\text{famille}}\ \text{paire de bijections} \\ \qquad D_i^{*} \simeq \omega_{P_i} \end{array} \quad \xrightarrow{\ \approx\ } \quad \begin{array}{l} \text{Catégorie analogue} \\ \text{définie en termes} \\ \text{de } T' \text{ et de} \\ \quad (D_i^{*})_{i \in T'} \end{array} \]

Quand [(grâce à \(V\))] on échange le rôle de \(T\) et de \(T'\), il est évident que le diagramme d'équivalences (7) reste le même à symétrie près, et que l'équivalence (8) est donc remplacée par l' une équivalence, [conséquemment] quasi-inverse de la précédente.

Les catégories figurant de part et d'autre dans (8), se définissent en termes de la famille, indexée par \(P(V) = T \amalg T'\), d'ensembles à deux éléments \(\omega_i = D_i^{*}\) (dont la donnée équivaut à celle de la famille des droites vect. \(D_i\) […])

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vu que \(\mathbf{F}_3^{*}\) l'on a \[ \mathbf{F}_3^{*} = \{\pm 1\} \quad ). \]

Ainsi [Notons que] la donnée de \(\{(\omega_i)_{i \in T}\}\) permet ainsi de reconstituer [(à isom. près)] la famille \((D_i)_{i \in T}\) de droites vectorielles sur \(\mathbf{F}_3\) (via \(D_i = \omega_i \amalg \{0\}\) …), donc le vectoriel \[ V = \prod_{i \in T} D_i \] sur \(\mathbf{F}_3\), donc aussi [le plan vectoriel] \(V = \prod_{i \in T} D_i\) avec la paire de droites indexée par \(T\), d'où la paire complémentaire \((D_i)_{i \in T'}\). La

Donc ainsi on fait donnée d'une famille \((\omega_i)_{i \in T}\) d'ens. à deux éléments, indexée par \(T\), équivaut à celle d'un carré [comb.] \(Q\), admettant \(T\) comme ens. des diagonales. On trouve [ainsi] une équivalences \[ (9) \qquad \begin{array}{c} \text{Carrés combinatoires} \\ Q \end{array} \quad \overset{\approx}{\longleftrightarrow} \quad \begin{array}{l} \text{plans vectoriels } V \text{ sur } \mathbf{F}_3, \\ \text{munis d'une paire} \\ \text{de droites vectorielles} \\ \quad (D_i)_{i \in T} \end{array} \] « Notons que », « (à isom. près) », « le plan vectoriel », « comb. », « ainsi » et le \(V\) de (9) sont écrits au-dessus des lignes. La lecture « carré » d'un mot souligné qu'on pourrait prendre pour « couvé » est dictée par la suite : un ensemble de quatre sommets dont \(T\) est l'ensemble des deux diagonales

dans cette équivalence, donc, on \(T\) correspond à \[ (10) \qquad \left\{ \begin{array}{l} T \simeq \operatorname{diag} Q \quad \text{et} \quad D_i^{*} \simeq d_i \quad \text{pour } i \in T \\[4pt] S_Q = \bigcup_{i \in T} D_i^{*} = \coprod_{i \in T} D_i^{*} \\[4pt] A_Q = \prod_{i \in T} D_i^{*} \simeq V^{*} \smallsetminus \bigcup_{i \in T} D_i^{*} = \bigcup_{i \in T'} D_i^{*} \end{array} \right. \] où \(d_i\) est l'ensemble des deux sommets de \(Q\) qui constituent la diagonale \(i\) à gauche de l'accolade, un « Diag \(Q\) » est biffé au-dessus du numéro (10). Le dernier membre « \(= \bigcup_{i \in T'} D_i^{*}\) » est rejeté dans la marge gauche, en bas du feuillet, qui coupe la dernière ligne ; dans la ligne de \(A_Q\) un premier signe est surchargé en \(\prod\)

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Rien On a d'ailleurs \[ \underset{\substack{\text{ens. d'arêtes} \\ \text{de } Q}}{A_Q} \simeq \underset{\substack{\text{produit} \\ \text{des deux} \\ \text{diagonales de } Q}}{\prod_{i \in T} D_i^{*}} \simeq V^{*} - \bigcup_{i \in T} D_i^{*} = \bigcup_{i \in T'} D_i^{*} \] ce qui montre que […] le carré défini par l'ens. [paire] \((D_i)_{i \in T'}\) des droites de \(V^{*}\) complémentaire de la paire \((D_i)_{i \in T}\) s'identifie au carré dual \(DQ\) de \(Q\). Si on désigne par \(V(Q)\) le [plan] vectoriel sur \(\mathbf{F}_3\) défini par \(Q\), on trouve donc un isomorphisme \[ (11) \qquad V(DQ) \xrightarrow[\ \sim\ ]{\ \alpha_Q\ } V(Q) \] et de façon symétrique \[ (\uncertain{12}) \qquad \underset{\substack{\wr \\ DDQ}}{V(Q)} \xrightarrow{\ \alpha_{DQ}\ } V(DQ) \] le numéro de cette formule est écrit comme celui de la précédente ; la suite, (13), demande (12). Le \(Q\) de \(V(Q)\) est surchargé

Ceci posé, on a la relation \[ (13) \qquad \alpha_Q\, \alpha_{DQ} = -\mathrm{id}_{V(Q)} = V(\underset{\substack{\text{antipodisme} \\ \text{de } Q}}{a_Q}) \] les indices du premier membre sont écrits en surcharge d'une première version et de même bien entendu \[ \alpha_{DQ}\, \alpha_Q = -\mathrm{id}_{V(DQ)} = V(a_{DQ}) \]

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Soient \(V\) un Module loc. libre [de rang \(2\)] sur un [anneau \(\Lambda\)] topos loc. annelé, d'où \(P(V) =\) ens. des « droites vectorielles » de \(V\) (i.e. des sous-modules libres de [loc.] inversibles facteurs directs), et \(P(V)^! =\)

« de rang \(2\) », « anneau \(\Lambda\) » et « loc. » sont écrits au-dessus des mots biffés

On a envie d'expliciter comment on récupère [le \(\Lambda\)-module] \(V\) à l'aide de l'ens. \(P(V)^!\), muni d'une structure supplémentaire, qui est un essentiellement le \(\Lambda^{*}\)-torseur relatif (ensembliste) \(V^{*}\) sur \(P(V)^! = X\).

Pour \(x \in P(V)^!\), soit \(D_x \subset V\) la droite vectorielle correspondante, et posons \[ (3) \qquad T_x = D_x^{*} \qquad (\Lambda^{*}\text{-torseur}) \] Soit de plus \[ (4) \qquad \omega_V = \det(V)^{*} \qquad (\text{un } \Lambda^{*}\text{-torseur}) \]

Sur \(P(V)^!\) on a la relation binaire de disjonction \[ x, y \in P(V)^! \ \text{« \textbf{disjoints} »} \ \text{ssi} \ V \simeq D_x \oplus D_y \] (si \(\Lambda\) est un corps, cela équivaut à : \(x \neq y\) ; si \(\Lambda\) est local, cela équivaut à : \(x_0 \neq y_0\) (l'indice \(0\)

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désignant la réduction mod. l'idéal maximal). Si \(x\) et \(y\) sont disjoints, alors [(et alors seulement)] l'appl. \[ \begin{array}{c} (u, v) \longmapsto u \wedge v \\ D_x \times D_y \longrightarrow \det V \end{array} \] induit \[ T_x \times T_y \longrightarrow \omega_V \] qui se factorise par un [iso]morphisme \[ (5) \qquad \underset{\substack{\text{produit contracté} \\ \text{de } \Lambda^{*}\text{-torseurs}}}{T_x \wedge T_y} \xrightarrow{\ \sim\ } \omega_V \]

noté L'image de \((u \wedge v)\) [dans \(\omega_V\)] par cette application sera encore notée \(u \wedge v\). On a encore \[ (6) \qquad u \wedge v = - v \wedge u \] NB \(-1 \in \Lambda^{*}\), et on pose, pour un \(\Lambda^{*}\)-torseur \(T\), et \(u \in T\), \(-u \overset{\text{déf}}{=} (-1).u\))

Soient \(x, y\) disjoints [\(\in P(V)^!\)], et \(z \in P(V)^!\) quelc., soient \[ u \in T_x, \quad v \in T_y, \quad w \in T_z \] considérons les relations \[ (7) \qquad u \wedge v = v \wedge w = w \wedge u \] équivalentes à \[ (7') \qquad w \wedge v = v \wedge u = u \wedge w \qquad ) \] le premier membre de (7') est écrit en surcharge on vérifie de suite qu'elle équivaut à \[ (8) \qquad u + v + w = 0 \] et qu'elle implique que \(z\) est disjoint de \(x, y\).

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Je dis que [le \(\Lambda\)-module] \(V\) se reconstitue [(du moins si \(\Lambda\) est un corps)] à partir de

à gauche de a) et b), qu'embrasse un trait vertical, écrit en biais dans la marge : équivaut à : la donnée de l'ens. \(V^{*}\), avec l'opération (libre) de \(\Lambda^{*}\) sur \(V^{*}\) à gauche de d) et e), qu'embrasse un crochet, de même : Si \(\Lambda\) est un corps, cette relation est la relation triviale \(x \neq y\), et on […] de donnée […]

En effet, pour […] \(u, v, w\) dans \(V^{*}\), deux à deux disjoints, on trouve \[ u + v + w = 0 \iff u \wedge v = v \wedge w = w \wedge u \] donc on arrive à trouver la loi de composition [partielle] \[ (u, v) \longmapsto u + v \quad \text{sur } V^{*} \text{ pour } u, v \ \textbf{disjoints}. \]

On a Dans le cas où \(\Lambda\) est un corps, posant \[ \begin{cases} V = V^{*} \amalg \{0\} \\ D_x = T_x \cup \{0\} \subset V \end{cases} \] les \(D_x\) sont des droites vectorielles sur \(\Lambda\), et on

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définit \(u + v\) (\(u, v \in V^{*}\)) séparément quand \(u\) ou \(v = 0\) (comme étant \(v\) resp. \(u\)), quand \(u, v \in V^{*}\) et \(u, v\) dans une même \(D_x\) (grâce à l'addition dans \(D_x\)), et quand \(u, v\) sont disjoints par la […] somme \(-w\), où \(w\) est l'unique \(w \in V^{*}\) qui soit disj. de \(u, v\) et tel que \[ u \wedge v = v \wedge w = w \wedge u . \] Pour pouvoir réaliser cette construction, on a besoin des ceci propriétés que voici sur les données a) b) c) [d)] e) :

« \(\in P\) » et les deux « ou » sont écrits au-dessus des lignes ; la parenthèse au bout de la formule reste illisible. La page s'arrête au tiers inférieur du feuillet

Polygones

19

\(\mathrm{Pol}\ \mathrm{top} \longrightarrow \mathrm{Pol}\ \mathrm{comb}\) [est] ess. surjectif[, Foncteur réalisation topologique] : dim. […] à droite, un polygone dessiné : un cercle portant alternativement des points et des croix, un arc épaissi entre deux points

dualité : échange de \(S\) et \(A\)

point de vue ens. ordonnés \(P = S \amalg A\) […] (\(S\) él. minimaux, \(A\) éléments maximaux

ici dualité : renversement de la relation d'ordre

Point de vue [Composantes connexes des v.t. des ens. comb. polygones combinatoires (définitions combinatoires)] Point de vue ens. de base \(S\) (valable si les comp. connexes sont d'ordre \(\geqslant 3\)) \[ A \hookrightarrow \mathfrak{P}_2(S) \quad \text{structure ens. de parties à deux éléments de } S \ (\text{appelées \textbf{arêtes}}) \] tel que \(\forall\, s \in S\) appartient : exactement deux arêtes

Point de vue dual : structure sur \(A\), d'une ens. \(S \hookrightarrow \mathfrak{P}_2(A)\) (qui […] « les sommets »)

Point de vue ordres circulaires (cas des polygones d'ordre \(\geqslant 3\)) : donnée sur \(S\) (ou \(A\)) d'une paire d'ordres circulaires [(i.e. permutations transitives)] inverses l'un de l'autre — une orientation de \(\Pi\) correspond au choix de l'un des deux ordres circulaires en question.

les deux lignes insérées au-dessus de « Point de vue ens. de base \(S\) » sont serrées et en partie illisibles

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Orientation d'une arête : par choix d'une « origine ». Orientations induites sur le bord de l'arête (extrémité \(-\) origine)

Orientation d'un contour combinatoire : choix d'une orientation sur chaque arête, de telle façon que pour tout sommet \(s\), les deux orientations induites sur \(s\) soient opposées \(\longrightarrow\!\bullet\!\longrightarrow\) orientations opposées

[…] Relations avec le cas topologique ; orientation d'un segment topologique, d'une \(1\)-variété topologique

Théorème a) Tout […] polygone combinatoire admet exactement \(2\) orientations, […] [les […] d'un contour.] i.e. il y a […] orientations

b) À toute orientation \(\omega\) [d'un contour,] correspond une unique bijection \(f_\omega\) telle que

NB 2) caractérise déjà \(f_\omega\), si les comp. de \(\Pi\) sont d'ordre \(\geqslant 3\).

c) \(\omega \mapsto f_\omega\) induit une bij. entre l'ens. des orientations de \(\Pi\), et l'ens. des automorphismes de \(\Pi\) qui satisfont 2).

la marge gauche porte, en biais et reliée au texte par un long trait coudé, une seconde formulation de 2) : b) \(\forall\, s \in S\), \(\ill{}\, f(s)\) soit adjacent à \(s\) ; \(\beta\)) \(\forall\, a \in A\), \(\ill{}\) ; \(f(a) \neq a\) […] origine […] de \(f(s)\) […]

NB La description des orientations, via \(f\) est […]. Orientons \(\Pi\) en un sommet \(s\) revient à choisir l'arête « origine » et l'arête « extrémité » en \(s\) (croquis : deux segments se rencontrant en un point, marqués \(+\) et \(-\)) les trois lignes biffées qui précèdent le premier NB ne se lisent pas ; le feuillet s'arrête en bas de page, la suite manque