Cote n° 89 · pages 1–20 · Lecture modernisée · [Hexagone] combinatoire. [Ensembles 3-3] : notes manuscrites (s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : s.d. — le groupe « Géométrie et topologie combinatoire » (69 à 102) est daté 1976-[vers 1986]
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

2–20

Le fil du dossier, et les conventions

Le feuillet de couverture (page 1) porte seulement « les ensembles 3-3 ». Il n'y a pas de pagination de sa main ; deux chiffres romains, I (page 2) et II (page 9), ouvrent les deux premiers ensembles.

• Pages 2 à 8 (I) : hexagones et ensembles 3-3. Un hexagone combinatoire équivaut à un couple (diagonales, triangles) ; le groupe d'un ensemble 3-3 muni d'une identification de ses orientations, ses antipodies, le torseur \(\mathsf{T}\) ; puis, pages 7 et 8, l'ensemble \(S'\) des six scindages, lui-même un ensemble 3-3. La série s'interrompt au milieu d'une phrase.
• Pages 9 à 14 (II) : plans sur \(\mathbf{F}_3\) et carrés. Paires de droites, décompositions d'un plan affine à neuf points, l'équivalence (8) entre ensembles 3-3 indexés par deux paires complémentaires, les carrés combinatoires et leur dual, la relation (13).
• Pages 15 à 18 : modules libres de rang \(2\). Reconstituer \(V\) à partir de ses droites, des torseurs de générateurs et du déterminant. La liste des propriétés nécessaires s'arrête après a).
• Pages 19 et 20 : polygones combinatoires. Trois points de vue, orientations, un théorème en trois parties. D'une autre main, plus rapide.

Le lien entre I et II, qui est de cette lecture. Un ensemble 3-3 \(S = S_1 \sqcup S_2\) définit canoniquement deux droites sur \(\mathbf{F}_3\), \(D_i = \omega_{S_i} \sqcup \{0\}\) (page 13 : une droite sur \(\mathbf{F}_3\) est reconstituée par ses deux générateurs), un plan \(V_S = D_1 \oplus D_2\) et un \(V_S\)-torseur \(P_S = S_1 \times S_2\) à neuf points. Les deux autres droites de \(V_S\) sont les graphes des deux isomorphismes \(D_1 \to D_2\), et comme toute bijection entre deux ensembles à trois éléments est affine, les six bijections \(S_1 \to S_2\) sont exactement les six droites affines de \(P_S\) dans ces deux directions. L'ensemble \(S'\) des pages 7 et 8 est donc l'ensemble 3-3 que l'équivalence (8) de la page 12 associe à \(S\), et l'identification (A) des orientations de la page 3 revient au choix de l'une de ces deux directions.

Conventions, valables pour tout le dossier. \(\mathrm{Ens}_n\) est le groupoïde des ensembles à \(n\) éléments. Pour un ensemble \(E\) à trois éléments, \(\omega_E\) est l'ensemble de ses deux ordres circulaires, torseur sous \(\{\pm 1\}\) par inversion. Un ensemble 3-3 est un ensemble \(S\) à six éléments muni d'une partition en deux classes \(S_i\) à trois éléments, indexées par un ensemble \(T\) à deux éléments. Le produit contracté de torseurs est noté \(\wedge\), comme sur les pages. Pour un groupe abélien \(A\) sur lequel \(\{\pm 1\}\) agit par \(x \mapsto -x\), et un \(\{\pm 1\}\)-torseur \(\omega\), on note \(A \wedge \omega = (A \times \omega)/\bigl((x, o) \sim (-x, -o)\bigr)\) la forme tordue de \(A\) par \(\omega\) ; ainsi \(\Gamma_\omega = \mathbf{Z}/3\mathbf{Z} \wedge \omega\). Pour une droite \(D\) sur \(\mathbf{F}_3\), ou un module libre de rang \(1\), \(D^{*}\) désigne l'ensemble de ses générateurs. Le groupe noté \(G'\) par les pages désigne deux groupes différents ; on les nomme ici \(K\) (page 3) et \(N\) (pages 4 à 6).

2–8

Hexagones et ensembles 3-3 (pages 2 à 8)

2–3

Un hexagone équivaut à trois diagonales et deux triangles

Un hexagone combinatoire \(H\) est un polygone combinatoire à six sommets, au sens des pages 19 et 20 : un ensemble \(S\) de six sommets et un ensemble \(A\) d'arêtes, chaque sommet sur exactement deux arêtes, formant un seul cycle. Ses rotations forment un groupe cyclique d'ordre \(6\), qui agit simplement transitivement sur \(S\) ; mais l'identifier à \(\mathbf{Z}/6\mathbf{Z}\) demande de choisir un sens. Grothendieck évite le choix : si \(\omega_H\) est l'ensemble des deux orientations de \(H\), le groupe des rotations est canoniquement \(\mathbf{Z}/6\mathbf{Z} \wedge \omega_H\), et \(S\) en est un torseur. Comme \[ \mathbf{Z}/6\mathbf{Z} \wedge \omega_H \simeq (\mathbf{Z}/3\mathbf{Z} \wedge \omega_H) \times (\mathbf{Z}/2\mathbf{Z} \wedge \omega_H), \qquad \mathbf{Z}/2\mathbf{Z} \wedge \omega_H = \mathbf{Z}/2\mathbf{Z}, \] un torseur sous ce groupe est un couple de torseurs :

• le quotient \(\Delta = S/(\mathbf{Z}/2\mathbf{Z})\), ensemble des trois paires de sommets opposés, c'est-à-dire des trois grandes diagonales, torseur sous \(\mathbf{Z}/3\mathbf{Z} \wedge \omega_H\) — ce qui revient à la donnée d'une bijection \(\omega_\Delta \simeq \omega_H\) ;
• le quotient \(T = S/(\mathbf{Z}/3\mathbf{Z} \wedge \omega_H)\), ensemble à deux éléments des triangles inscrits.

Comme \(\omega_H\) se retrouve à partir de \(\Delta\), la donnée de \(H\) équivaut à celle du couple \((\Delta, T)\), et l'on a une bijection canonique \[ S \simeq \Delta \times T : \] un sommet est connu dès qu'on connaît le triangle et la diagonale qui le contiennent, et ces deux données sont arbitraires¹ . Réciproquement, sur \(\Delta \times T\), on reconstitue l'hexagone en joignant \((d, i)\) à \((d', i')\) si et seulement si \(d \neq d'\) et \(i \neq i'\) : c'est le graphe biparti complet \(K_{3,3}\) privé des trois arêtes \(\{(d, i), (d, i')\}\), qui est un cycle de longueur \(6\)² . D'où l'énoncé que la page porte en marge : \[ \{\text{hexagones combinatoires}\} \simeq \mathrm{Ens}_3 \times \mathrm{Ens}_2 , \] équivalence de groupoïdes ; on vérifie les groupes d'automorphismes, le groupe diédral d'ordre \(12\) étant isomorphe à \(\mathfrak{S}_3 \times \mathbf{Z}/2\mathbf{Z}\).

Cette décomposition fait de \(S\) un ensemble 3-3, de classes les deux triangles \(S_i = \Delta \times \{i\}\), \(i \in T\). Chaque \(S_i\) est en bijection avec \(\Delta\), d'où \(\omega_{S_i} \simeq \omega_\Delta\) pour tout \(i\), et donc un isomorphisme canonique \[ \bigwedge_{i \in T} \omega_{S_i} \simeq \mathbf{1}, \] le \(\{\pm 1\}\)-torseur trivial : le produit contracté de deux copies d'un même torseur sous \(\{\pm 1\}\) est canoniquement trivial.

3–6

Le groupe d'un ensemble 3-3 muni d'une identification des orientations

Considérons maintenant, sur un ensemble \(S\) à six éléments, la structure formée d'une partition de type \((3,3)\) indexée par \(T\) et d'un isomorphisme \[ (\mathrm{A}) \qquad \bigwedge_{i \in T} \omega_{S_i} \simeq \mathbf{1}, \] c'est-à-dire d'une identification des deux ensembles d'orientations \(\omega_{S_1} \simeq \omega_{S_2}\)³ . Son groupe d'automorphismes \(G\) est d'ordre \(36\). En effet, \(G\) se surjecte sur \(\mathfrak{S}_T \simeq \mathbf{Z}/2\mathbf{Z}\), et son noyau \[ K = \ker\Bigl(\prod_{i \in T} \mathfrak{S}_{S_i} \xrightarrow{\ \prod_i \mathrm{sg}_i\ } \mathbf{Z}/2\mathbf{Z}\Bigr) \] est formé des couples de permutations de même signature, d'ordre \(18\)⁴ . Un élément qui échange les deux classes par \(a : S_1 \to S_2\) et \(b : S_2 \to S_1\) préserve (A) si et seulement si \(b\,a\) est paire.

Hexagones subordonnés et antipodies. Un hexagone sur \(S\) dont les triangles sont les \(S_i\) est déterminé par l'appariement de ses sommets opposés, c'est-à-dire par une bijection \(u : S_1 \to S_2\), et l'identification induite des orientations est celle que transporte \(u\). L'hexagone est donc subordonné à la structure (A) exactement quand \(u\) transporte l'orientation selon (A) : parmi les six bijections \(S_1 \to S_2\), trois conviennent. À chacune correspond l'antipodie \(\sigma_H\), involution de \(S\) égale à \(u\) sur \(S_1\) et à \(u^{-1}\) sur \(S_2\) : c'est un élément de \(G\) au-dessus de la transposition de \(T\), et il détermine \(H\)⁵ . Le groupe des automorphismes de \(H\) est le centralisateur \(Z(\sigma_H)\), d'ordre \(12\) et d'indice \(3\) dans \(G\) ; il n'est pas distingué, il est son propre normalisateur, et ses trois conjugués sont les centralisateurs des trois antipodies, qui forment une classe de conjugaison de \(G\) : les trois hexagones subordonnés sont échangés par \(G\)⁶ .

Le groupe engendré par les antipodies. Soit \(I = \{i, j, k\}\) l'ensemble des trois antipodies \(\sigma_i\) et \(N\) le sous-groupe de \(G\) qu'elles engendrent, distingué puisqu'engendré par une classe de conjugaison⁷ . On vérifie que \(\sigma_k = \sigma_i \sigma_j \sigma_i\), et par permutation circulaire \(\sigma_i = \sigma_j\sigma_k\sigma_j\), d'où \((\sigma_i\sigma_j)^3 = 1\). L'action de \(N\) par conjugaison sur \(I\) donne un isomorphisme \[ N \xrightarrow{\ \sim\ } \mathfrak{S}_I , \] qui envoie \(\sigma_i\) sur la transposition de \(I\) fixant \(i\). Ainsi \(N\) est présenté par les générateurs \(\sigma_i\) (\(i \in I\)) et les \(3 + 6 = 9\) relations \(\sigma_i^2 = 1\), \(\sigma_k = \sigma_i\sigma_j\sigma_i\) ; ou encore, pour \(i \neq j\) fixés, \(\sigma = \sigma_i\), \(\sigma' = \sigma_j\), par \[ \sigma^2 = \sigma'^2 = (\sigma\sigma')^3 = 1 , \] la présentation de Coxeter de \(\mathfrak{S}_3\).

Le quotient \(G/N\). La page demande ce qu'est ce quotient, d'ordre \(6\). La structure (A) équivaut à la donnée d'un ensemble \(\omega\) à deux éléments — l'orientation commune — et de deux torseurs \(S_i\) sous \(\Gamma_\omega = \mathbf{Z}/3\mathbf{Z} \wedge \omega\). On forme le \(\Gamma_\omega\)-torseur \[ \mathsf{T} = \bigwedge_{i \in T} S_i , \] et \(G\) agit sur le couple \((\Gamma_\omega, \mathsf{T})\). Le sous-groupe \(N\) y agit trivialement. En effet, une antipodie \(\sigma\) donnée par \(u : S_i \to S_j\) induit \(x \wedge y \mapsto u^{-1}y \wedge ux\) ; comme \(u\) respecte l'orientation, il commute à \(\Gamma_\omega\), et, pour \(a \in S_i\), \(b = ua\), \(x = \gamma a\), \(y = \gamma' b\) : \[ \sigma(\gamma a \wedge \gamma' b) = \gamma' a \wedge \gamma b = \gamma'\gamma\,(a \wedge b) = \gamma\gamma'\,(a \wedge b) = \gamma a \wedge \gamma' b , \] \(\Gamma_\omega\) étant commutatif. Donc \(G/N\) agit sur \((\Gamma_\omega, \mathsf{T})\).

La page indique ensuite que \(\mathsf{T}\) se réalise canoniquement comme l'ensemble des trois involutions de \(S\) qui échangent les deux classes et renversent l'orientation commune, et que ces involutions se conjuguent entre elles. On peut achever⁸ : ces trois involutions engendrent un sous-groupe \(M \simeq \mathfrak{S}_3\), qui commute à \(N\) et le rencontre trivialement, de sorte que \[ G = N \times M \simeq \mathfrak{S}_I \times \mathfrak{S}_{\mathsf{T}}, \qquad G/N \simeq M \simeq \mathfrak{S}_{\mathsf{T}} , \] \(M\) agissant fidèlement sur \(\mathsf{T}\). Le groupe \(G\) est donc le produit de deux groupes symétriques, chacun engendré par trois involutions qui échangent les triangles — celles qui respectent l'orientation et celles qui la renversent.

7–8

L'ensemble des scindages, nouvel ensemble 3-3

Les pages 7 et 8 reprennent sans la structure (A). Soit \(S\) un ensemble 3-3 et \(\mathcal{G}\) son groupe d'automorphismes, extension \[ 1 \to \prod_{i \in T} \mathfrak{S}_{S_i} \to \mathcal{G} \to \mathfrak{S}_T \to 1 , \] d'ordre \(72\) : c'est le produit en couronne \(\mathfrak{S}_3 \wr \mathbf{Z}/2\mathbf{Z}\). Soit \(S' \subset \mathcal{G}\) l'ensemble des éléments involutifs au-dessus de l'élément non trivial de \(\mathfrak{S}_T\), c'est-à-dire des scindages de l'extension. Pour \(i \in T\) fixé, \(S'\) est en bijection avec \(\mathrm{Isom}(S_i, S_j)\), \(j \neq i\), ou avec l'ensemble des graphes \(\Gamma \subset \prod_i S_i\) de ces bijections : il a six éléments.

On a une surjection \[ S' \longrightarrow T' := \bigwedge_{i \in T} \omega_{S_i}, \] qui envoie une bijection sur l'identification des orientations qu'elle transporte, et dont les fibres ont trois éléments. Ainsi \(S'\) est à son tour un ensemble 3-3, de classes indexées par \(T'\). Un choix de (A) est un point de \(T'\) ; au-dessus de lui, la fibre est l'ensemble \(I\) des trois antipodies, et l'autre fibre celui des trois involutions renversantes, qu'on vient d'identifier à \(\mathsf{T}\). Le groupe \(G\) des pages 3 à 6 est le stabilisateur de ce point dans \(\mathcal{G}\), et l'égalité \(G \simeq \mathfrak{S}_I \times \mathfrak{S}_{\mathsf{T}}\) dit que \(G\) est le groupe des automorphismes de l'ensemble 3-3 \(S'\) qui préservent chacune de ses deux classes.

Enfin, un hexagone de triangles donnés équivaut à un appariement de ses sommets opposés, donc à un point de \(S'\) : la donnée d'une structure hexagonale sur \(S\) équivaut à celle de la partition et d'un élément \(s \in S'\)⁹ .

9–14

Plans sur \(\mathbf{F}_3\) et carrés combinatoires (pages 9 à 14)

9–10

Deux paires de droites, deux paires de quadrillages

Soit \(V\) un plan vectoriel sur \(\mathbf{F}_3\). La droite projective \(P(V)\) a quatre points : \(V\) contient quatre droites. Donnons-nous une paire \(T\) de droites \((D_i)_{i \in T}\), et soit \(T' = P(V) \smallsetminus T\) la paire complémentaire. On a \[ (1)\quad V = \bigoplus_{i \in T} D_i, \qquad (2)\quad V = \bigoplus_{i \in T'} D_i . \] Chaque \(D_i^{*}\) a deux éléments, et l'on a des bijections canoniques \[ (3) \qquad T' \simeq \bigwedge_{i \in T} D_i^{*}, \qquad T \simeq \bigwedge_{i \in T'} D_i^{*}, \] la première induite par \[ (4) \qquad (u_i)_{i \in T} \longmapsto \mathbf{F}_3 \cdot \Bigl(\sum_{i \in T} u_i\Bigr) : \] la somme d'un générateur de chaque droite de \(T\) n'est sur aucune d'elles, donc engendre une droite de \(T'\) ; changer les deux signes ne change pas la droite, et changer un seul signe fait passer à l'autre¹⁰ .

Soit \(P\) un \(V\)-torseur, plan affine à neuf points. Pour \(i \in P(V)\), notons \(\bar\imath\) l'autre élément de la paire, \(T\) ou \(T'\), qui contient \(i\) : c'est l'involution de \(P(V)\) associée à la partition de type \((2,2)\) \(\{T, T'\}\). Le quotient \[ (6) \qquad P_i = P/D_{\bar\imath} = P \wedge_V (V/D_{\bar\imath}), \qquad V/D_{\bar\imath} \simeq D_i , \] est un \(D_i\)-torseur à trois éléments, et (1), (2) donnent deux décompositions \[ (5) \qquad P \simeq \prod_{i \in T} P_i, \qquad P \simeq \prod_{i \in T'} P_i . \] Ainsi les neuf points de \(P\) portent deux paires de partitions de type \((3,3,3)\) — les classes de parallélisme des quatre directions —, indexées l'une par \(T\), l'autre par \(T'\)¹¹ . Les deux partitions d'une même paire sont « orthogonales » : l'application canonique de \(P\) vers le produit des deux quotients est bijective, ce qui revient à dire que chaque classe de l'une rencontre chaque classe de l'autre en exactement un point — et il suffit pour cela que l'intersection soit toujours non vide, ou toujours d'au plus un point.

11–12

L'équivalence entre les deux côtés

Les décompositions (5) donnent des équivalences de groupoïdes de torseurs \[ (7) \qquad \prod_{i \in T} \mathbf{Tors}(D_i) \ \simeq\ \mathbf{Tors}(V) \ \simeq\ \prod_{i \in T'} \mathbf{Tors}(D_i) . \] Pour une droite \(D\) sur \(\mathbf{F}_3\), \(\mathbf{Tors}(D)\) s'identifie canoniquement au groupoïde des ensembles \(E\) à trois éléments munis d'une bijection \(\omega_E \simeq D^{*}\) : les deux générateurs de \(D\) agissent sur un torseur par les deux permutations circulaires, inverses l'une de l'autre. Par \((P_i)_{i \in T} \mapsto \coprod_{i \in T} P_i\), le groupoïde \(\prod_{i \in T} \mathbf{Tors}(D_i)\) devient celui des ensembles 3-3 de classes indexées par \(T\) munis de bijections \(\omega_{P_i} \simeq D_i^{*}\). Les deux équivalences (7) fournissent donc une équivalence \[ (8) \qquad \left\{\begin{array}{l} \text{ensembles 3-3 } (P_i)_{i \in T}, \\ \text{avec } D_i^{*} \simeq \omega_{P_i} \ (i \in T) \end{array}\right\} \ \xrightarrow{\ \simeq\ }\ \left\{\begin{array}{l} \text{ensembles 3-3 } (P_j)_{j \in T'}, \\ \text{avec } D_j^{*} \simeq \omega_{P_j} \ (j \in T') \end{array}\right\} \] Si l'on échange les rôles de \(T\) et \(T'\), le diagramme (7) est le même à symétrie près, et l'équivalence obtenue est quasi-inverse de (8).

Sur les ensembles sous-jacents, (8) envoie \(S = P_1 \sqcup P_2\) sur l'ensemble des droites affines de \(P = P_1 \times P_2\) dans les deux directions de \(T'\). C'est, comme on l'a dit dans « Le fil du dossier », l'ensemble \(S'\) des scindages des pages 7 et 8, et le point de \(T'\) que choisit (A) à la page 3 est l'une de ces deux directions¹² .

12–14

Carrés combinatoires et carré dual

Les deux groupoïdes de (8) ne dépendent que de la famille, indexée par \(P(V) = T \sqcup T'\), des ensembles à deux éléments \(\omega_i = D_i^{*}\). Or une famille \((\omega_i)_{i \in T}\) suffit à reconstituer, à isomorphisme près, les droites \(D_i = \omega_i \sqcup \{0\}\) — tout ensemble à deux éléments est de façon unique un torseur sous \(\mathbf{F}_3^{*} = \{\pm 1\}\) —, donc le plan \(V = \prod_{i \in T} D_i\) avec sa paire de droites, et la paire complémentaire. D'autre part, une famille de deux ensembles à deux éléments est exactement la donnée d'un carré combinatoire \(Q\) dont \(T\) est l'ensemble des diagonales : les sommets sont \(\coprod_i \omega_i\), chaque sommet d'une diagonale étant joint aux deux sommets de l'autre¹³ . D'où une équivalence de groupoïdes \[ (9) \qquad \{\text{carrés combinatoires } Q\} \ \simeq\ \{\text{plans sur } \mathbf{F}_3 \text{ munis d'une paire de droites}\}, \] dans laquelle, en notant \(d_i\) la diagonale \(i\) de \(Q\), \[ (10) \qquad T \simeq \operatorname{diag} Q, \quad D_i^{*} \simeq d_i, \quad S_Q = \coprod_{i \in T} D_i^{*}, \quad A_Q = \prod_{i \in T} D_i^{*} \simeq V \smallsetminus \bigcup_{i \in T} D_i = \bigcup_{j \in T'} D_j^{*} . \] Les groupes d'automorphismes se correspondent : le groupe diédral d'ordre \(8\) d'un côté, les matrices monomiales de \(GL_2(\mathbf{F}_3)\) de l'autre¹⁴ .

La dernière égalité de (10) montre que le carré défini par la paire complémentaire \((D_j)_{j \in T'}\) s'identifie au carré dual \(DQ\), dont les sommets sont les arêtes de \(Q\), deux arêtes étant adjacentes dans \(DQ\) quand elles ont un sommet commun : les arêtes \((u_1, u_2)\) et \((u_1, -u_2)\) ont pour sommes deux vecteurs de directions différentes, et les arêtes \((u_1, u_2)\) et \((-u_1, -u_2)\), sans sommet commun, deux vecteurs opposés d'une même droite. Si \(V(Q)\) désigne le plan associé à \(Q\) par (9), on a donc un isomorphisme \[ (11) \qquad \alpha_Q : V(DQ) \xrightarrow{\ \sim\ } V(Q), \qquad e = (u_1, u_2) \longmapsto u_1 + u_2 , \] et, symétriquement, en identifiant \(DDQ\) à \(Q\) — un sommet de \(Q\) est l'arête de \(DQ\) formée des deux arêtes de \(Q\) qui s'y rencontrent —, \[ (12) \qquad \alpha_{DQ} : V(Q) = V(DDQ) \xrightarrow{\ \sim\ } V(DQ) . \] La page numérote cette dernière formule (11), comme la précédente¹⁵ .

La relation (13). \[ \alpha_Q\, \alpha_{DQ} = -\mathrm{id}_{V(Q)} = V(a_Q), \qquad \alpha_{DQ}\, \alpha_Q = -\mathrm{id}_{V(DQ)} = V(a_{DQ}), \] où \(a_Q\) est l'antipodie de \(Q\), l'automorphisme qui échange les deux sommets de chaque diagonale. La page l'énonce ; en voici la raison¹⁶ . Un sommet \(u_1 \in d_1\) de \(Q\) est commun aux arêtes \(e = (u_1, u_2)\) et \(e' = (u_1, -u_2)\), qui sont sur les deux diagonales de \(DQ\) ; donc \(\alpha_{DQ}(u_1) = e + e'\), et \[ \alpha_Q(e + e') = (u_1 + u_2) + (u_1 - u_2) = 2u_1 = -u_1 , \] puisque \(2 = -1\) dans \(\mathbf{F}_3\). De même pour les sommets de \(d_2\). La relation est ainsi propre à la caractéristique \(3\) : passer du carré à son dual et revenir ne donne pas l'identité, mais l'antipodie.

15–18

Reconstituer un module libre de rang \(2\) à partir de ses droites (pages 15 à 18)

La page 13 reconstituait un plan sur \(\mathbf{F}_3\) à partir d'une paire de droites données. Les pages 15 à 18 reprennent la question sans choisir de paire, et sur un anneau quelconque¹⁷ .

Soit \(\Lambda\) un anneau commutatif et \(V\) un \(\Lambda\)-module libre de rang \(2\). On note

• \(V^{*}\) l'ensemble des vecteurs unimodulaires de \(V\), ceux qui font partie d'une base, et \(\Lambda^{*}\) le groupe des unités ;
• \(P(V)^{!} = V^{*}/\Lambda^{*}\), l'ensemble des droites de \(V\) — facteurs directs de rang \(1\) — qui sont libres, partie de la droite projective \(P(V)\) ;
• pour \(x \in P(V)^{!}\), \(D_x\) la droite correspondante et \(T_x = D_x^{*}\) le \(\Lambda^{*}\)-torseur de ses générateurs ;
• \(\omega_V = \det(V)^{*}\), le \(\Lambda^{*}\)-torseur des générateurs de \(\det V = \Lambda^2 V\).

Deux droites \(x, y\) sont disjointes si \(V = D_x \oplus D_y\) : sur un corps, cela veut dire \(x \neq y\) ; sur un anneau local, que leurs réductions modulo l'idéal maximal sont distinctes. C'est le cas si et seulement si, pour \(u \in T_x\) et \(v \in T_y\), \(u \wedge v\) engendre \(\det V\) ; l'application \((u, v) \mapsto u \wedge v\) passe alors au produit contracté et donne un isomorphisme de \(\Lambda^{*}\)-torseurs \[ (5) \qquad T_x \wedge_{\Lambda^{*}} T_y \xrightarrow{\ \sim\ } \omega_V , \] avec \(u \wedge v = -\,v \wedge u\), où \(-u = (-1)\cdot u\).

La relation fondamentale. Soient \(x, y\) disjointes, \(z\) quelconque, et \(u \in T_x\), \(v \in T_y\), \(w \in T_z\). Alors \[ u \wedge v = v \wedge w = w \wedge u \iff u + v + w = 0 , \] et ces conditions entraînent que \(z\) est disjointe de \(x\) et de \(y\). En effet, \((u, v)\) est une base ; écrivons \(w = au + bv\). Alors \(v \wedge w = -a\,(u \wedge v)\) et \(w \wedge u = -b\,(u \wedge v)\), et les égalités demandées équivalent à \(a = b = -1\)¹⁸ . Sur \(\mathbf{F}_3\), c'est la bijection (4) de la page 9 : pour \(x, y\) données, la droite \(z\) de \(w = -(u + v)\) ne dépend que de la classe de \((u, v)\) dans \(T_x \wedge T_y\).

La reconstruction. Grothendieck affirme que, du moins si \(\Lambda\) est un corps, \(V\) se reconstitue à partir des données suivantes :

• a)l'ensemble \(P = P(V)^{!}\) ;
• b)la famille des \(\Lambda^{*}\)-torseurs \((T_x)_{x \in P}\), i.e. le torseur relatif \(\coprod_x T_x = V^{*}\) sur \(P\) — ce qui revient, avec a), à se donner l'ensemble \(V^{*}\) muni de l'action libre de \(\Lambda^{*}\) ;
• c)le \(\Lambda^{*}\)-torseur \(\omega = \omega_V\) ;
• d)la relation de disjonction sur \(P\), ou sur \(V^{*}\), où elle est stable par \(\Lambda^{*}\) en chaque variable — triviale si \(\Lambda\) est un corps ;
• e)pour \(x, y\) disjointes, les isomorphismes (5).

Sur un corps, on pose \(V = V^{*} \sqcup \{0\}\) et \(D_x = T_x \sqcup \{0\}\), qui est une droite sur \(\Lambda\) ; on définit \(u + v\) quand l'un est nul, quand \(u\) et \(v\) sont sur une même droite (par l'addition de \(D_x\)), et, quand ils sont disjoints, par \(u + v = -w\), où \(w\) est l'unique élément de \(V^{*}\) disjoint de \(u\) et \(v\) tel que \(u \wedge v = v \wedge w = w \wedge u\). Pour que cette construction réussisse, il faut des propriétés des données a) à e), dont la page n'écrit que la première :

• a)pour \(x, y, z\) deux à deux disjointes, il existe \(u \in T_x\), \(v \in T_y\), \(w \in T_z\) avec \(u \wedge v = v \wedge w = w \wedge u\), et l'on peut même imposer l'un des trois.

Cette propriété est vraie, sur tout anneau : si \(w\) engendre \(D_z\), sa décomposition \(-w = u + v\) dans \(D_x \oplus D_y\) a des composantes qui engendrent \(D_x\) et \(D_y\), puisque \(z\) est disjointe de chacune¹⁹ .

19–20

Polygones combinatoires (pages 19 et 20)

Ces deux pages, d'une main plus rapide, posent les définitions dont les hexagones de la page 2 et les carrés de la page 13 sont des cas. Le foncteur qui associe à un polygone topologique sa structure combinatoire est essentiellement surjectif : tout polygone combinatoire se réalise topologiquement²⁰ .

Trois points de vue. Un polygone combinatoire \(\Pi\) peut se définir :

1. comme un ensemble ordonné \(S \sqcup A\), où \(S\) (les sommets) est l'ensemble des éléments minimaux et \(A\) (les arêtes) celui des éléments maximaux, chaque sommet étant strictement majoré par exactement deux arêtes et chaque arête strictement minorée par exactement deux sommets ; la dualité échange \(S\) et \(A\) en renversant l'ordre ;
2. par l'ensemble de base \(S\) et une partie \(A \subset \mathfrak{P}_2(S)\) de parties à deux éléments, chaque sommet appartenant à exactement deux arêtes — point de vue valable si les composantes connexes ont au moins trois sommets, le digone ayant deux arêtes de mêmes extrémités ;
3. pour un polygone connexe d'au moins trois sommets, par une paire d'ordres circulaires sur \(S\) (ou sur \(A\)) inverses l'un de l'autre, c'est-à-dire de permutations circulaires \(f, f^{-1}\).

Le premier point de vue décrit les graphes bipartis \(2\)-réguliers, c'est-à-dire les réunions disjointes de cycles, digones et cycles infinis compris²¹ .

Orientations. Orienter une arête, c'est choisir son origine ; son bord est alors « extrémité moins origine ». Une orientation de \(\Pi\) est un choix d'orientation de chaque arête tel qu'en chaque sommet \(s\) les deux orientations induites soient opposées : une arête arrive en \(s\), l'autre en part. Dans le troisième point de vue, c'est le choix de l'un des deux ordres circulaires.

Théorème. Soit \(\Pi\) un polygone combinatoire connexe, d'au moins trois sommets²² .

1. a)\(\Pi\) admet exactement deux orientations.
2. b)À toute orientation \(\omega\) correspond un unique automorphisme \(f_\omega\) de \(\Pi\) qui respecte \(\omega\) et envoie chaque sommet \(s\) sur l'extrémité de l'arête d'origine \(s\) ; il envoie chaque arête sur l'arête suivante.
3. c)\(\omega \mapsto f_\omega\) est une bijection de l'ensemble des orientations sur l'ensemble des automorphismes \(f\) de \(\Pi\) tels que, pour tout sommet \(s\), \(f(s)\) soit adjacent à \(s\), et, pour toute arête \(a\), \(f(a) \neq a\).

Pour a), l'orientation d'une arête se propage de proche en proche le long du cycle. Pour c), la condition sur les arêtes n'est nécessaire que pour le carré, dont les deux réflexions par rapport aux médiatrices de côtés envoient elles aussi chaque sommet sur un voisin, mais fixent deux arêtes²³ . Autrement dit : une orientation d'un polygone, c'est la même chose qu'une rotation élémentaire. La page se termine sur la remarque qu'orienter \(\Pi\) en un sommet \(s\) revient à choisir, parmi les deux arêtes en \(s\), l'arête « origine » et l'arête « extrémité », et annonce la comparaison avec l'orientation d'un segment et d'une variété topologique de dimension \(1\), sans la faire.