Cote n° 88 · pages 1–15 · Lecture modernisée · Cartes standards : notes manuscrites (s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : s.d. — le groupe « Géométrie et topologie combinatoire » (69 à 102) est daté [1976-vers 1986]
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

Le fil du dossier, et les conventions

1. 1.Du système de racines au groupe de Weyl épinglé (pages 2 à 4) : un foncteur \(\Phi\), et la question de savoir s'il est une équivalence.
2. 2.Le complexe des drapeaux (pages 4 et 5) : parties paraboliques, facettes, triangulation de la sphère, repères.
3. 3.Les opérations sur les repères (pages 6 à 8) : relations, et l'ordre \(2\nu\).
4. 4.Le théorème des cartes standard (pages 10 à 15), en sept articles, énoncé et non démontré.

Les deux textes ne se citent pas. Le premier construit, à partir d'un système de racines de rang \(\ell\), une carte de dimension \(\ell - 1\) ; le second ne parle que de cartes de dimension 2. Ce qui les rattache est la méthode — lire une carte sur ses drapeaux et les opérations qui les échangent — et le titre de la chemise.

Conventions. \(\Sigma\) est un système de racines dans \(V\), \(W\) son groupe de Weyl, \(R\) l'ensemble de ses bases — ses « repères » —, sur lequel \(W\) opère simplement transitivement, \(I\) l'ensemble des types, de cardinal \(\ell\), et \(\varphi(r, i)\) la réflexion simple d'indice \(i\) relative à la base \(r\) ; \(n_{ij}\) est l'ordre de \(\varphi(r,i)\varphi(r,j)\). Pour une carte, \(p\) est l'ordre des sommets et \(q\) celui des faces ; le symbole de Schläfli de \(C_{p,q}\) est \(\{q, p\}\), et on ne l'utilise pas.¹

2–4

Le groupe de Weyl épinglé (pages 2 à 4)

À un système de racines \(\Sigma\) on associe le quadruplet \[ \Phi(\Sigma) = \bigl(W,\ R,\ I,\ \varphi : R \times I \to W\bigr), \] qui satisfait :

1. a)\(\varphi(wr, i) = \mathrm{int}(w)\,\varphi(r,i)\) ;
2. b)pour tout \(r\), les \(\varphi(r,i)\) engendrent \(W\) et en font un « groupe de Weyl épinglé » ;
3. c)\(\varphi(r,i)^{2} = 1\) et \(\bigl(\varphi(r,i)\varphi(r,j)\bigr)^{n_{ij}} = 1\) pour \(i \neq j\) forment une présentation de \(W\) ;
4. d)\(I\), muni des \(n_{ij}\), \(i\) étant relié à \(j\) si et seulement si \(n_{ij} \geq 3\), est le graphe de Coxeter d'un groupe de Weyl.

Les systèmes de ce type forment une catégorie, et \(\Sigma \mapsto \Phi(\Sigma)\) est un foncteur.²

Le centre. Chaque base \(r\) donne un système de générateurs \(\Psi(r) = (\varphi(r,i))_{i \in I}\) de \(W\) indexé par \(I\). On a \(\Psi(wr) = \Psi(r)\) si et seulement si \(\mathrm{int}(w)\) fixe tous les \(\varphi(r,i)\), c'est-à-dire si et seulement si \(w\) est central. Donc \(\Psi\) est injective — et \(R\) s'identifie à un ensemble de systèmes de générateurs de \(W\) indexés par \(I\) — si et seulement si \(Z(W) = \{1\}\).³

La question. \(\Phi\) est-il une équivalence de catégories ? La page répond : il est évidemment fidèle et essentiellement surjectif ; deux systèmes dont les images sont isomorphes ont des diagrammes isomorphes, donc sont isomorphes ; il reste la pleine fidélité, c'est-à-dire que \(\mathrm{Aut}(\Sigma) \to \mathrm{Aut}(\Phi(\Sigma))\) soit bijectif.

Ce qui est démontré (pages 3 et 4). Soit \(\alpha : W \to \mathrm{Aut}(\Phi(\Sigma))\), \(\alpha(w) = (\mathrm{int}(w), w_{R}, \mathrm{id}_{I})\) ; c'est un morphisme, par a). Il est injectif, et son image est formée des automorphismes \((u_{W}, u_{R}, \mathrm{id}_{I})\) qui induisent l'identité sur \(I\). En effet, un tel automorphisme est la donnée d'un automorphisme \(u_{W}\) de \(W\) et d'une bijection \(u_{R}\) de \(R\) affine de partie homogène \(u_{W}\),⁴ qui vérifient \[ (\ast\ast) \qquad \varphi(u_{R}\,r,\ i) = u_{W}\,\varphi(r,i). \] Choisissons \(r_{0} \in R\), et \(a \in W\) tel que \(u_{R}(r_{0}) = a\,r_{0}\) ; alors \(u_{R}(w\,r_{0}) = u_{W}(w)\,a\,r_{0}\), et \((\ast\ast)\) pour \(r = w\,r_{0}\) se développe en \[ a\,\varphi(r_{0}, i)\,a^{-1} = u_{W}\bigl(\varphi(r_{0}, i)\bigr) \qquad (i \in I). \] Les \(\varphi(r_{0}, i)\) engendrant \(W\), \(u_{W} = \mathrm{int}(a)\) ; puis \(u_{R}(w\,r_{0}) = (awa^{-1})(ar_{0}) = a(w\,r_{0})\), soit \(u_{R} = a_{R}\), et l'automorphisme est \(\alpha(a)\).

On a donc un diagramme à lignes exactes

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
  1 \arrow[r] & W \arrow[r, "\alpha_0"] \arrow[d, "\mathrm{id}"] &
    \operatorname{Aut}(\Sigma) \arrow[r, "p_0"] \arrow[d] &
    \operatorname{Aut}(\mathrm{Dyn}(\Sigma)) \arrow[r] \arrow[d, hook] & 1 \\
  1 \arrow[r] & W \arrow[r, "\alpha"'] &
    \operatorname{Aut}(\Phi(\Sigma)) \arrow[r, "p"'] &
    \operatorname{Aut}(I, (n_{ij})) &
\end{tikzcd}

où \(\mathrm{Aut}(\Sigma)/W = \mathrm{Aut}(\mathrm{Dyn}(\Sigma))\) est le groupe des automorphismes du diagramme de Dynkin — « gr. des automorphismes ext. de \(\Sigma\) », écrit-il — et \(\mathrm{Aut}(I, (n_{ij}))\) celui du graphe de Coxeter. Le lemme des cinq donne :

Proposition. \(\mathrm{Aut}(\Sigma) \to \mathrm{Aut}(\Phi(\Sigma))\) est injectif ; il est bijectif si et seulement si tout automorphisme du graphe de Coxeter de \(\Sigma\) respecte les longueurs des racines, c'est-à-dire si et seulement si aucune composante irréductible de \(\Sigma\) n'est de type \(B_{2}\), \(G_{2}\) ou \(F_{4}\), et si \(\Sigma\) n'a pas à la fois une composante de type \(B_{n}\) et une de type \(C_{n}\), \(n \geq 3\).

Conséquence. \(\Phi\) est fidèle, et essentiellement surjectif sur les systèmes qui satisfont a) à d). Il n'est pas une équivalence : il n'est pas plein dans ces cas, et il ne distingue pas \(B_{n}\) de \(C_{n}\) pour \(n \geq 3\). Sa restriction aux systèmes de racines dont toutes les racines ont même longueur — types \(A\), \(D\), \(E\) — est une équivalence sur son image.⁵

4–5

Le complexe des drapeaux (pages 4 et 5)

Les parties paraboliques de \(\Sigma \subset V\) correspondent aux facettes fermées de l'arrangement des hyperplans de réflexion dans le dual \(\check{V}\), et l'inclusion des parties paraboliques — ou des sous-groupes paraboliques, quand \(\Sigma\) provient d'un groupe algébrique — devient l'inclusion opposée des facettes. On munit l'ensemble des parties paraboliques propres de cet ordre opposé ; il devient la géométrie des drapeaux stricts, un complexe simplicial dont les sommets sont les paraboliques minimaux pour cet ordre, et les simplexes maximaux les « Borels », ou systèmes de racines simples, ou repères \(r \in R\).⁶

« Il s'agit manifestement d'une triangulation de la sphère \(S^{\ell - 1}\) » : les chambres de Weyl découpent la sphère unité de \(\check{V}\) en simplexes sphériques, à supposer que \(\Sigma\) engendre \(V\), de dimension \(\ell\).⁷

Les repères du complexe. Un drapeau complet de faces d'un simplexe maximal \(r\) est une numérotation de ses \(\ell\) sommets, et les sommets d'une chambre sont indexés par leurs types. L'ensemble des repères est donc \[ R \times \mathrm{Rep}'(I), \qquad \mathrm{Rep}'(I) = \mathrm{Bij}\bigl([1, \ell],\ I\bigr), \] et \(\mathrm{Rep}'(I)\) s'envoie sur l'ensemble des ordres totaux sur \(I\). C'est un torseur à droite sous \(\mathfrak{S}_{\ell}\).

6–8

Les opérations sur les repères, et l'ordre \(2\nu\) (pages 6 à 8)

Sur les repères d'un complexe de dimension \(\ell - 1\) opèrent \(\ell\) involutions \(\sigma_{0}, \ldots, \sigma_{\ell-1}\), \(\sigma_{k}\) changeant la face de dimension \(k\) du drapeau en gardant les autres. Ici : \[ \sigma_{i}(r, u) = (r,\ u \circ \tau_{i+1}) \quad (0 \leq i \leq \ell - 2), \qquad \sigma_{\ell-1}(r, u) = \bigl(\varphi(r, u(\ell)) \cdot r,\ u\bigr), \] où \(\tau_{i+1} \in \mathfrak{S}_{\ell}\) est la transposition de \(i+1\) et \(i+2\).⁸ La seconde formule traduit la géométrie : la cloison du drapeau est la face de \(r\) opposée au sommet de type \(u(\ell)\), et la chambre voisine à travers elle est \(s_{u(\ell)}\,r\).

Relations. On vérifie :

• \(\sigma_{i}^{2} = 1\) pour tout \(i\) — pour \(\sigma_{\ell-1}\), parce que \(\varphi(sr, u(\ell)) = s\,\varphi(r,u(\ell))\,s^{-1} = s\) si \(s = \varphi(r, u(\ell))\) ;
• \(\sigma_{i}\sigma_{j} = \sigma_{j}\sigma_{i}\) pour \(j \geq i + 2\), le seul cas non trivial étant \(j = \ell - 1\), \(i \leq \ell - 3\), où \((u \circ \tau_{i+1})(\ell) = u(\ell)\) ;
• \((\sigma_{i}\sigma_{i+1})^{3} = 1\) pour \(i \leq \ell - 3\), par \((\tau_{i+1}\tau_{i+2})^{3} = 1\).

Le dernier produit. Soit \(\pi = \sigma_{\ell-1}\sigma_{\ell-2}\) : \[ \pi(r, u) = \bigl(\varphi(r, u(\ell - 1)) \cdot r,\ u \circ \tau_{\ell-1}\bigr). \] Posons \(a = \varphi(r, u(\ell-1))\) et \(b = \varphi(r, u(\ell))\). Par a), \(\pi^{2}(r,u) = \bigl(a\,\varphi(r,u(\ell))\,a^{-1}\,a\,r,\ u\bigr) = (ab\,r, u)\), et par récurrence \[ \pi^{2n}(r, u) = \bigl((ab)^{n}\, r,\ u\bigr), \qquad \pi^{2n+1}(r, u) = \bigl((ab)^{n} a\, r,\ u \circ \tau_{\ell-1}\bigr). \] Une puissance impaire change \(u\) ; une puissance paire \(2n\) fixe \((r, u)\) si et seulement si \((ab)^{n} = 1\), \(R\) étant un torseur, c'est-à-dire si et seulement si \(n_{u(\ell-1),\,u(\ell)}\) divise \(n\). Sur l'orbite de \((r,u)\), \(\pi\) est donc d'ordre \(2\,n_{u(\ell-1),\,u(\ell)}\).⁹ Faisant varier \(u\), toutes les paires \(i \neq j\) apparaissent, et :

Proposition. L'ordre de \(\sigma_{\ell-2}\sigma_{\ell-1}\) sur \(R \times \mathrm{Rep}'(I)\) est \(2\nu\), où \(\nu\) est le plus petit commun multiple des \(n_{ij}\), \(i \neq j\).¹⁰

Pour \(\ell = 3\) c'est une carte de dimension 2 sur la sphère : les faces sont des triangles (\(\sigma_{0}\sigma_{1}\) d'ordre 3), et un sommet de type \(k\) est d'ordre \(2 n_{ij}\), \(\{i, j\} = I - \{k\}\) ; elle n'est quasi-régulière, au sens de la seconde partie, que si les trois \(n_{ij}\) sont égaux.

10–10

Le théorème des cartes standard : (1) à (4) (page 10)

La seconde partie porte, de sa main, le titre « Théorème (à prouver) ». Une carte cellulaire est un triple \((X \supset K \supset S)\) : une surface, un graphe tracé dessus dont le complémentaire est une réunion de cellules, et l'ensemble de ses sommets. Elle est quasi-régulière si tous ses sommets combinatoires ont le même ordre \(p\) et toutes ses faces le même ordre \(q\), de type \((p, q)\), \(1 \leq p, q \leq \infty\) ; régulière si son groupe d'automorphismes est transitif sur les repères ; complète si les sommets d'ordre fini sont effectifs.

Dans le langage de l'Esquisse d'un programme, les repères — ou bi-drapeaux — d'une carte sont permutés par le groupe cartographique \(\widehat{\Gamma} = \langle \sigma_{0}, \sigma_{1}, \sigma_{2} \mid \sigma_{i}^{2},\ (\sigma_{0}\sigma_{2})^{2} \rangle\), et \(\rho_{s} = \sigma_{1}\sigma_{2}\), \(\rho_{f} = \sigma_{0}\sigma_{1}\) sont les rotations autour d'un sommet et d'une face.¹¹

1. (1)Toute carte cellulaire non vide, connexe, simplement connexe et quasi-régulière est régulière ; elle est complète, sauf si elle est isomorphe à \((\mathbb{R}^{2} \supset \mathbb{R})\), dont la complétion est la sphère munie d'un grand cercle ponctué.
2. (2)Une telle carte régulière et complète — une carte standard — est déterminée à isomorphisme près par son type \((p, q)\), et tous les types sont atteints sauf \((1, p)\) et \((p, 1)\) pour \(p \neq 2\). On note \((C_{p,q}, r_{p,q})\) la carte standard épinglée par un repère, définie à isomorphisme unique près dans la catégorie des cartes à isotopie près.¹²
3. (3)\(\mathrm{Aut}(C_{p,q}) \simeq \widehat{\Gamma}/\langle \rho_{s}^{p}, \rho_{f}^{q} \rangle = \Gamma_{p,q}\), le sous-groupe distingué engendré par \(\rho_{s}^{p}\) et \(\rho_{f}^{q}\) étant sous-entendu, et aucune relation n'étant imposée pour un ordre infini.¹³
4. (4)Corollaire. Pour une carte cellulaire complète connexe quasi-régulière \(\mathcal{C}\) de type \((p,q)\), le groupe fondamental de sa surface s'identifie à un sous-groupe de \(\Gamma_{p,q}\) ; si \(\mathcal{C}\) est régulière et épinglée, le groupe de ses automorphismes s'identifie au quotient correspondant de \(\Gamma_{p,q}\).¹⁴

11–13

(5) : surfaces standard et cartes géodésiques (pages 11 à 13)

Surfaces standard. Une surface riemannienne standard est une surface analytique réelle munie d'une métrique riemannienne, non vide, connexe, simplement connexe, dont le groupe des isométries est transitif. À un facteur constant près sur la métrique, c'est l'une des trois :

1. 1°)la sphère \(S^{2}\), espace homogène sous \(SO(3, \mathbb{R})\) — plan sphérique, déplacements sphériques ;
2. 2°)le plan complexe, sous le produit semi-direct \(\mathrm{U} \cdot \mathbb{C}\) du cercle unité et des translations, groupe des déplacements euclidiens — plan euclidien ;
3. 3°)le demi-plan de Poincaré, espace homogène sous \(SL(2, \mathbb{R})/\{\pm 1\}\) — plan hyperbolique.

Les groupes écrits sont les composantes neutres des groupes d'isométries, c'est-à-dire les isométries qui conservent l'orientation, ou les automorphismes de la structure complexe associée à une orientation.¹⁵ Dans les cas 1° et 3° toute similitude est une isométrie, et l'on normalise la courbure à \(\pm 1\) ; dans le cas euclidien on normalisera la carte elle-même.

Cartes géodésiques. Une carte sur une surface riemannienne est géodésique si ses arêtes sont des arcs de géodésiques ; métriquement régulière si elle est géodésique et si le groupe de ses automorphismes isométriques est transitif sur les repères ; une carte géodésique standard si elle est de plus complète, sur une surface standard. On doit avoir :

1. a)toute carte standard est topologiquement isomorphe à une carte géodésique standard \((X_{0}, K_{0}, S_{0})\) ;
2. b)entre deux cartes géodésiques standard, il y a dans chaque classe d'isotopie d'isomorphismes topologiques un unique isomorphisme qui soit une isométrie — à un facteur près dans le cas euclidien ;
3. c)le groupe des automorphismes d'une carte géodésique standard opère proprement sur la surface.

Une carte géodésique standard est normalisée si, dans le cas euclidien, ses arêtes de longueur finie sont de longueur 1, les deux autres cas étant normalisés par la courbure.¹⁶

Corollaire. Le foncteur « métrique » de la catégorie des cartes géodésiques standard normalisées — les morphismes étant les isométries qui respectent la carte — dans la catégorie des cartes cellulaires standard est une équivalence de catégories. Épinglées, les cartes géodésiques standard normalisées vivent canoniquement sur \(S^{2}\), \(\mathbb{R}^{2} = \mathbb{C}\) et \(\mathbb{H}\) munis de leur repère habituel, et on les note encore \(C_{p,q}\).

14–14

(6) : sphérique, euclidien, hyperbolique (page 14)

1. (6)\(C_{p,q}\) est sphérique exactement pour \(p = 2\), \(1 \leq q < \infty\) ; \(q = 2\), \(1 \leq p < \infty\) ; et \[ (3,3), \quad (3,4), \quad (4,3), \quad (3,5), \quad (5,3), \] le tétraèdre, le cube, l'octaèdre, le dodécaèdre et l'icosaèdre ; ou encore si et seulement si \(C_{p,q}\) est finie, si et seulement si \(\Gamma_{p,q}\) est fini.
2. (b)\(C_{p,q}\) est euclidienne exactement pour \[ (4,4), \quad (3,6), \quad (6,3), \] les pavages carré, hexagonal et triangulaire ; \(\Gamma_{p,q}\) est alors infini et résoluble.
3. (c)\(C_{p,q}\) est hyperbolique dans les autres cas : pour \(p, q \geq 3\), dès que \(p + q \geq 9\) et \((p,q) \neq (3,6), (6,3)\), ou dès que \(p\) ou \(q\) est infini ; ou encore si et seulement si \(\Gamma_{p,q}\) contient un sous-groupe libre à deux générateurs, donc des sous-groupes libres à \(n\) générateurs pour tout \(n\).

Les trois cas sont ceux où \(\frac{1}{p} + \frac{1}{q}\) est supérieur, égal ou inférieur à \(\frac{1}{2}\) : c'est la somme des angles du triangle fondamental, \(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{p} + \frac{\pi}{q}\), comparée à \(\pi\).¹⁷

14–15

(7) : les cartes de type \((p,q)\) comme quotients (pages 14 et 15)

1. (7)Les cartes quasi-régulières épinglées de type \((p,q)\) s'obtiennent canoniquement à partir des sous-groupes \(\pi \subset \Gamma_{p,q}\) opérant librement sur \(X_{p,q}\), la carte étant le quotient de \(C_{p,q}\) par \(\pi\) et le groupe fondamental de sa surface s'identifiant à \(\pi\) ; la surface quotient hérite d'une métrique riemannienne pour laquelle la carte est géodésique, et la carte est régulière exactement quand \(\pi\) est distingué dans \(\Gamma_{p,q}\).¹⁸

NB. Pour \((p,q)\) donné, déterminer les \(\pi\) possibles revient à étudier l'action de \(\Gamma_{p,q}\) sur \(X_{p,q}\), et en particulier les stabilisateurs des points : \(\pi\) opère librement si et seulement s'il ne rencontre ces stabilisateurs qu'en l'élément neutre. Ce sont des groupes finis : diédraux d'ordre \(2p\), \(4\) et \(2q\) aux sommets, aux milieux d'arêtes et aux centres de faces, d'ordre 2 aux autres points des droites de réflexion.¹⁹

Le cas compact. La page se termine sur un palimpseste dont on lit qu'une carte finie orientée, \(\pi\) étant d'indice fini, définit sur sa surface une structure complexe, et que dans le cas compact on obtient ainsi des courbes algébriques projectives. Le dernier mot, souligné, est un nom propre lu « Bourguignon ».²⁰